Apuntes polinomios

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS 
 
 
A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. 
 
Cuando se quiere indicar un número no conocido, una cantidad o una 
expresión general de la medida de una magnitud (distancia , superficie , 
volumen, etc…) se usan letras o bien combinaciones de números y letras. 
 
x
x 
Por ejemplo si x es el lado de un cuadrado , entonces : 
 
Su perímetro es 4x Su superficie (área) es x 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se llama expresión algebraica a toda combinación de letras y números 
ligados por los signos de las operaciones aritméticas : suma , resta , 
producto, división y potencia. 
Cada una de las distintas letras de una expresión algebraica se denominan 
variables 
 
a 
a 
a 
 Cuando una expresión algebraica designa la 
medida de una magnitud se le llama fórmula. Por 
ejemplo el volumen de un cubo cuyo lado vale a 
viene dado por la fórmula V = a3 
 
Toda expresión algebraica tendrá un valor 
numérico concreto cuando sustituyamos la 
variable por un cierto valor ; si en el caso del cubo 
nos dicen que a=3 entonces V=33=27 
 
 
B. MONOMIOS ENTEROS. 
Expresiones algebraicas hay de muchos tipos: 3xy , yz3x
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, 5x-1 ,etc… 
A nosotros nos van a interesar un tipo muy concreto de estas expresiones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Se llama monomio a toda expresión algebraica en la que las únicas 
operaciones que interviene son la multiplicación y la potencia de 
exponente natural. 
 
• En particular nos interesan los monomios enteros que son aquellos en 
los que sólo aparecen números enteros ( …-4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, …) 
 
• Además sólo consideraremos monomios con una única variable ( letra). 
Ejemplos : -7x3 , 2y2 , 3x5, -x3, … son monomios enteros 3+x , 5xy, x , no lo son 
© Juan Ignacio Sierra Sánchez 2001 
 
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• Se llama grado del monomio al exponente de su variable. Por ejemplo 
el monomio 5x4 es de grado 4 o 4º 
 
• Diremos que dos monomios son semejantes cuando tengan el mismo 
grado 
 
 A los números que acompañan a la variable se les llama coeficientes 
Por ejemplo el coeficiente del monomio –6x3 es –6. 
 
 Vemos que el hecho de que dos monomios sean semejantes dependerá 
de los exponentes y no de los coeficientes(números). 
 
SUMA Y DIFERENCIA DE MONOMIOS 
 
 Sólo se pueden sumar ( o restar) monomios semejantes. 
 
 Si los monomios no son semejantes la operación se deja indicada 
Por ejemplo si tenemos M(x)=4x4 y N(x)=−7x2 entonces su suma es: 
M(x) + N(x) = 4x4 +( −7x2) = 4x4 −7x2 
 
 Cuando son semejantes el resultado de la suma ( o la diferencia) 
será otro monomio semejante cuyo coeficiente será la suma ( o la 
diferencia ) de los coeficientes de los sumandos. 
 
Por ejemplo tenemos M(x)=4x2 y N(x)=3x2 calculemos su suma: 
 
 M(x)+ N(x)=4x2 + 3x2=( 4+3 ) x2= 7x2 
Monomio semejante 
a los sumandos 
 
 Suma de 
coeficientes 
 La diferencia será : 
 
 M(x)- N(x)=4x2 - 3x2=( 4-3 ) x2 = x2 
 
Diferencia de los 
coeficientes
 
PRODUCTO DE MONOMIOS 
 
 Se pueden multiplicar todo tipo de monomios. 
 
 El resultado será otro monomio cuyo coeficiente es el resultado de 
multiplicar los coeficientes y cuya variable es el resultado del 
producto de las variables , es decir , un producto de potencias en el 
que tendremos que sumar los exponentes 
 
Ejemplo : Usando los monomios del ejemplo de la suma 
 
M(x) ⋅ N(x) = ( 4x2) ⋅ ( 3x2 ) = 4⋅ 3 ⋅ x2 ⋅ x2 = 12 x2+2 = 12 x4 
© Juan Ignacio Sierra Sánchez 2001 
 
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C. POLINOMIOS ENTEROS 
 
 
 
 
 
Un polinomio entero es una expresión algebraica formada por sumas o 
diferencias de monomios enteros. 
 
Según lo que acabamos de decir un polinomio cualquiera será de la forma: 
 
P(x)= a0x0+ a1x1+ a2x2+ a3x3+…………..+ anxn 
 
 Aquí aparecen todos los monomios posibles ( de grado cero , de grado 1 , 
de grado 2 , etc…, hasta que el polinomio se termina en un cierto 
monomio de grado n ). 
A cada uno de los sumandos de un polinomio se les llama términos 
del polinomio. 
 
 Las letras a0 ,a1 ,a2 ,a3,……., an que hemos puesto son los 
coeficientes de cada monomio y hemos dicho que van a ser números 
enteros. 
 
 Como sabemos que x0=1 y que x1=x entonces la forma definitiva que 
vamos a observar en todo polinomio es: 
 
P(x)= a0+ a1x+ a2x2+ a3x3+…………..+ anxn 
 
Término independiente: es el de 
grado cero, es decir, el que no lleva x 
Término principal : 
es el de mayor grado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se llama grado del polinomio al valor del exponente del término principal 
( el de mayor valor) 
 
Término principal: 13x4 
Término independiente: 3 
Coeficientes: 3 , 6 , -2 , 1 y 13 
Grado del polinomio: 4 
 Ejemplo: 
 
P(x)= 3+ 6x-2x2+ x3+ 13x4 
 
 
 
 
 Al trabajar con polinomios es siempre aconsejable ordenar sus términos 
( de menor a mayor grado , como en el ejemplo anterior , o de mayor a 
menor que es lo más habitual). 
 
 Se llama binomio a un polinomio que solo tiene dos términos ( da igual 
del grado que sean estos ), por ejemplo x+ 3 , x2-1 , -x3+ x2 , … 
© Juan Ignacio Sierra Sánchez 2001 
 
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SUMA Y DIFERENCIA DE POLINOMIOS 
 
 
Dados dos ( o más ) polinomios su suma será otro polinomio que 
resultará de sumar ( o restar)los monomios semejantes. 
 
Ejemplo : M(x)= x3-3x+1 y N(x)=5x4+ 3x3-2x2+ 4x-6 
 
Su suma es: 
 
M(x)+ N(x)=(x3-3x+1)+(5x4+ 3x3-2x2+ 4x-6)= 
5x4+x3+3x3-2x2-3x+4x+1-6= 
=5x4+4x3-2x2+x-5 
 
Su diferencia es: 
 
M(x)- N(x)=(x3-3x+1)-(5x4+ 3x3-2x2+ 4x-6)= 
 = (x3-3x+1)-5x4-3x3+2x2-4x+6= 
 =-5x4+ x3-3x3 + 2x2 - 3x-4x + 1+6 =5x4-2x3+ 2x2-7x+7 
Términos semejantes
 
 
 
 
PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO 
 
 
Es un polinomio que resulta de multiplicar el monomio por cada uno de 
los términos del polinomio 
 
Por ejemplo: M(x)=3x3 y P(x)=x2+ 2x-3 
 
M(x)* P(x)= 3x3*( x2+ 2x -3) = 
 = 3x3* x2 + 3x3* 2x + 3x3*(-3) = 
 = 3x3+2 +3x3+1+ 3*(-3)x3 = 
 = 3x5 + 3x4 –9x3 
 
 
 
 
 
 
© Juan Ignacio Sierra Sánchez 2001 
 
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© Juan Ignacio Sierra Sánchez 2001 
 
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PRODUCTO DE POLINOMIOS 
 
Es otro polinomio que se obtiene de multiplicar cada término de uno de 
los polinomios por todos los términos del otro 
 
Por ejemplo: P(x)=x2 + x + 2 y Q(x)=x3+ 2x2 – 4x +3 
 
P(x)* Q(x) = ( x2 + x + 2 ) * ( x3 + 2x2 – 4x +3 ) = 
x2* ( x3 + 2x2 – 4x +3 ) + x * ( x3+ 2x2 – 4x+3) + 2* ( x3+ 2x2 – 4x +3) 
=x2+3+2x2+2– 4 x2+ 1+3 x2 +x1+3+ 2 x1+2 –4x1+1+3x +2 x3+2*2x2– 2*4x+2*3=
 = x5+ 2x4 – 4x3+3 x2+ x4+ 2x3 – 4x2 + 3x +2x3+ 4x2 – 6x + 6 =
 = x5+ 2x4+ x4 – 4x3+ 2x3+ 2x3 + 3 x2– 4x2+ 4x2 + 3x –6x + 6= 
 = x5+ 3x4+ 3 x2 – 3x +6 
	EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS 
	SUMA Y DIFERENCIA DE MONOMIOS
	Por ejemplo tenemos M(x)=4x2 y N(x)=3x2 calculemos su suma:
	PRODUCTO DE MONOMIOS
	Ejemplo : Usando los monomios del ejemplo de la suma 
	C. POLINOMIOS ENTEROS
	 Aquí aparecen todos los monomios posibles ( de grado cero , de grado 1 , de grado 2 , etc…, hasta que el polinomio se termina en un cierto monomio de grado n ).