Operaciones polinomios 3 ESO

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REPASO OPERACIONES CON POLINOMIOS 3º ESO 
Curso 2019-2020 
 
 
Cuando hacemos uso de letras en expresiones matemáticas estamos utilizando el lenguaje algebraico. 
Por ejemplo: el área de un cuadrado es lado al cuadrado es, en lenguaje algebraico, A = L2 
Estas letras reciben el nombre de variables. 
Los números que las acompañan son los coeficientes. 
 
• MONOMIOS (LIBRO PAG. 94) 
Es una expresión algebraica formada por un número (coeficiente) y unas letras multiplicando (variables) 
elevadas a un número natural que forman la parte literal del monomio. 
Ejemplo: -6.x.y3 es un monomio de: coeficiente : -6 
 variables: x, y 
 parte literal: x.y3 
El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las variables. En el ejemplo, el grado del 
monomio es 1+3=4 
1. Ejercicio: Rellenar la siguiente tabla: 
 
monomio coeficiente variables parte literal grado 
233 yx 3 yx , 
23 yx 523 =+ 
67x− 
233 yx 
ba3
3
4
 
 
LEER EL LIBRO PÁGINAS 94-95 
OPERACIONES CON MONOMIOS 
 
• SUMA Y RESTA DE MONOMIOS 
Solamente se pueden sumar o restar monomios que tengan la misma parte literal. En este caso la suma (o resta) 
se realiza sumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parte literal. 
Si los monomios no son semejantes, la suma o la resta se dejan indicadas. 
 
Ejemplos: 
aaaaa 6)321(32 =++=++ 
xxxx 8273 =−+ 
222 495 xxx −=− 
yyyyyy 467238 222 +=+−− (no se pueden sumar, se deja indicado tal cual, ya que no tienen la misma parte 
literal). 
1. Operar los siguientes monomios: 
 
a) =+−
222 753 xxx 
b) =−+
555 74 xxx 
c) =+− yxyxyx 222 563 
d) =+−−
6666 232 aaaa 
e) =+++−+−
333 2325 xxxxxx 
f) =+−+−+
244224 8523 xxxxxx 
g) =+ xx 2
2
1
 
h) =− 22
4
3
8
7
xx 
i) =− 52 2
5
3
xx 
j) =++ xxx
2
1
2
1
3 
k) =+− 222 5
4
3
xxx 
 
• MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE MONOMIOS 
Para multiplicar monomios, por un lado, multiplicamos sus coeficientes y, por otro, sus partes literales. 
Para dividir monomios, por un lado, dividimos sus coeficientes y, por otro, sus partes literales. 
 
Ejemplos: 
( )( ) 96363 12·4·34·3 xxxxx == 
( ) ( ) ( )( ) 32525 3:4:124:12 xxxxx == 
 
2. Operar los siguientes monomios: 
 
a) =
32 4·3 xx 
b) =
333 3·4·2 xxx 
c) =
33·xx 
d) =−
34 3·2 xx 
e) ( )( )=−− 32 2·3 yy 
f) =32 6·3 xyyx 
g) ( ) ( )=24 2:6 xx 
h) ( ) =− xx 3:15 4 
i) =− 3
4
3
.4 x 
j) = 3
3
2
2
1
x 
k) =− 33 4.
2
1
xx 
l) =





−− 52
7
2
5
3
xx 
m) ( ) =− xxx 2..
2
1 34 
n) =− xx 5:30 2 
o) ( )=−− 45 2:4 xx 
p) =− 88 3:21 xx 
q) =33 24:24 xx 
 
• POLINOMIOS (LIBRO PAG. 96-97-98) 
Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de dos o más monomios no semejantes. 
Ejemplos: 6xy+3x2y-4xy2 ; 6x5-3x4-x3-9x+7 
Las expresiones P(x) y Q(x) indican polinomios de una variable x: P(x) = 3x3 + 5x -2 
 
ELEMENTOS DE UN POLINOMIO 
Los principales elementos de un polinomio son los siguientes: 
 Término: Es cada uno de los monomios (cada uno de los sumandos) 
 Grado: Es el mayor grado de todos los monomios 
 Término independiente: Es el monomio de grado cero (el número que no tiene variable) 
Ejemplo: 
Consideramos el polinomio P(x) = 3x5+2x4+x3-2x2+x-6 
Los términos de P(x) son : 3x5 (término de grado 5) 2x4 (término de grado 4) x3 (término de grado 3) 
 -2x2 (término de grado 2) x (término de grado 1) -6 (término independiente) 
El término independiente es: -6 
El grado del polinomio es: 5 
 
EJERCICIOS LIBRO PAG.106 Nº 47-48 
 
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO 
El valor numérico de un polinomio es el resultado que se obtiene al sustituir las variables por números 
determinados y operar después. 
El valor numérico de un polinomio P(x) para un valor x=a lo expresamos como P(a). 
Ejemplo: 
Dado el polinomio ( ) 74 2 −= xxP su valor numérico para 1=x es ( ) 3747141 2 −=−=−=P 
 
EJERCICIOS LIBRO PAG. 97 Nº 10 PAG 107 Nº 50-53 
 
 
 
OPERACIONES CON POLINOMIOS 
(LIBRO PAG. 98) 
 
• SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS 
Para sumar o restar polinomios sumamos o restamos sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de 
los monomios no semejantes. 
 
Ejemplo: 
yyyyyy 467238 222 +=+−− 
3. Quita paréntesis y opera: 
 
a) ( ) =+− 2xx 
b) ( ) =++ 323 xx 
c) ( ) ( ) =+−− 1215 xx 
d) ( ) ( ) =++− 4343 xx 
e) ( ) ( ) =−−− xx 5131 
f) ( ) ( ) =−−− xx 211 
g) ( ) ( ) =−−−− 1232 xxx 
h) ( ) ( ) =−−− xx 7352 
i) ( ) ( ) =+−−+ xxx 11 
j) ( ) ( )=+−−+− 3536 22 xxxx 
k) ( ) ( ) ( )=−−++− xxxx 22 54 
l) ( ) ( )=−−−−− 737259 22 xxxx 
m) ( ) ( ) ( )=−++−− xxxx 32513 22 
n) ( ) ( ) ( )=−−++− xxxx 22 54 
 
 
4. Considera los polinomios: ( ) 453 +−= xxxA , ( ) 623 2 ++= xxxB y 84)( 3 −−= xxxC 
 Calcula: A(x)+B(x) , A(x)-B(x), A(x)-C(x), A(x)+B(x)+C(x), A(x)-B(x)-C(x) 
 
• PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO 
 
Para multiplicar un monomio por un polinomio, multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del 
polinomio. 
 
5. Calcula: 
 
a) ( ) =+ 523 x 
b) ( ) =+ 25 xx 
c) ( ) ( ) =+− 352 x 
d) ( ) ( ) =−− 15 x 
e) ( )=− 23 2xx 
 
 
 
f) ( ) =− 252 xx 
g) ( )=−+ 25 2 xxx 
h) ( ) ( )=−−− 1524 2 xx 
i) ( ) ( )=++−− 2322 23 xxxx 
 
 
 
 
6. Efectúa: 
 
a) ( ) ( ) =++− 23132 xx 
b) ( ) ( ) =+−−− 52123 2 xxx 
c) ( ) ( )=++−+− 133524 22 xxxx 
d) ( ) ( )=−−− xxxx 2245 
e) ( ) ( ) =−−+ 112 22 xxxx 
f) ( ) =+−− xx 35.23 
g) ( ) =−−+ xxx 242.34 
h) ( ) =+−− xxxx 3.242.2 
i) ( ) ( ) =−−+ 1.223.4 xxx 
j) ( ) =−− 263.32 xxx 
 
• PRODUCTO DE DOS POLINOMIOS 
 
El producto de dos polinomios se halla multiplicando cada uno de los términos de uno de los polinomios por el 
otro polinomio, y sumando los resultados. 
 
Ejemplo: 
( )( ) ( ) ( ) 31521015·315215·32 2322 −+−=−+−=−+ xxxxxxxx 
 
7. Calcula: 
 
a) ( ) ( ) =−− 321 xx 
b) ( ) ( ) =−+ 4332 xx 
c) ( ) ( )=+++ 11 2 xxx 
d) ( ) ( )=+−− 23212 2 xxx 
e) ( ) ( )=+−+ 1223 23 xxx 
f) ( ) ( )=−+− 322 22 xxx 
g) ( ) ( )=++ 41 22 xx 
h) ( ) ( )=+− 312 22 xx 
i) ( ) ( )=+−− 22332 3 xxx 
j) ( ) ( )=+−+ 132 32 xxx
 
8. Realiza las siguientes operaciones combinadas: 
 
a) ( )( ) =−−− 53245 xx 
b) ( ) ( )=+−+ 4053 22 xx 
c) ( ) ( )=−−− xxxx 2245 
d) ( ) ( ) =−−+ 22 112 xxxx 
e) ( )( ) ( )=−++− 2432.32 2xxx 
f) ( ) ( ) =++−+− 193523 2 xxx 
g) ( )=−+− 134 22 xxx 
h) ( )( ) ( ) =−+−+ 32122 xxx 
i) ( )( ) =+−+ xxx 3272 
j) ( ) ( ) =−−+ 3325 22 xxxx 
k) ( )( ) ( ) =+++− 232.52 xxxx 
l) ( ) ( ) ( )=−−−+− 4132 2 xxxx 
m) ( ) =+−− 22 654.43 xxxxx 
n) =−+− 63.23.25 244 xxxxx 
o) ( ) ( )=−+−−+− 5322534 2322 xxxxxxx 
p) ( ) ( ) ( )=+−+− 32221 2xxx
 
 
• IGUALDADES NOTABLES (LIBRO PAG 102) 
 
Cuadrado de una suma: ( ) 222 2 bababa ++=+ 
Completar : Una suma al cuadrado es igual al………………………………………………… del primero más el 
……………………………………………………………………………………………………………………………… más el ………………………………………………………………………… 
Ejemplos: 
( ) 9633··23 2222 ++=++=+ xxxxx ( ) ( ) 2222 412922·3·2323 bbbbb ++=++=+ 
Cuadrado de una diferencia (resta): ( ) 222 2 bababa +−=− 
Completar : Una diferencia al cuadrado es igual al………………………………………………… del primero…………… el 
……………………………………………………………………………………………………………………………… más el ………………………………………………………………………… 
Ejemplos: 
( ) 9633··23 2222 +−=+−=− xxxxx ( ) ( ) 2222 412922·3·2323 bbbbb +−=+−=− 
Suma de dos números por su diferencia: ( )( ) 22· bababa −=−+ 
Completar : El producto de la suma de dos números por su diferencia es igual 
al………………………………………………… del primero …………………………………………el cuadrado …………………………………………………………. 
Ejemplos: 
( )( ) 933·3 222 −=−=−+ xxxx ( )( ) ( ) 2545252·52 222−=−=−+ aaaa 
 
9. Calcula sin hacer la multiplicación utilizando las identidades notables: 
 
a) ( ) =+ 26x 
b) ( ) =− 23 x 
c) ( ) =+ 212x 
d) ( ) =− 233x 
e) ( ) ( ) =−+ 44 xx 
f) ( ) ( ) =−+ 3232 xx 
g) =





−
2
3
2
x 
h) ( ) =+ 22 6xx 
i) =





+





−
2
1
2
2
1
2 xx 
j) ( ) =+ 222 yx 
k) ( ) =− 235 ba 
l) ( ) =+ 22 53 xx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Dados los polinomios 3425)( 23 −−−= xxxxP ; 27)( 2 −+−= xxxQ y 5)( 3 +−= xxR . Calcula: 
a) )2()·0()1( −−− RQP 
b) )()·( xRxQ 
c) )()·1()(3
2 xRxxxP −− 
d) 3)(·4)()·( 2 +− xQxxRxP 
2. Realiza las siguientes operaciones: 
a) ( ) =−+ xxx 232 2 
b) ( ) ( ) =−−+ xx 4532 
c) ( ) ( ) ( ) =++−−− 86254723 xxx 
d) ( )( )=−− xxx 73.48 2 
e) ( )( )=+−+ 1.1 42 xxx 
f) ( )( ) ( ) =−+−+ 32122 xxx 
g) =−+− 63.23.25 244 xxxxx 
h) ( ) =+−−
22 654.43 xxxxx 
i) ( ) ( ) =−+−− xxxxx 3:61296
234
 
j) =











−+ xxxx
3
4
:2
4
3
3
2 234
 
k) ( ) ( ) ( )( ) =−+−+− 2·513
22 xxxx 
l) ( ) ( ) ( ) =++−+−+− 2243523 2232 xxxxxx
 
3. Extrae factor común en las siguientes expresiones: 
a) 423 628 xxx ++ 
b) axaxxa 754 22 +− 
c) 24 5xx − 
d) yxyx 22 2510 − 
e) 2432 205 baba − 
f) zyxyxzyx
3322533 24816 +−
g) =−+− 2001005025 23 xxx 
 
4. Realiza las siguientes operaciones haciendo uso de las igualdades notables: 
a) ( ) =+ 252x 
b) ( ) =− 22 6x 
c) ( ) =− 2235 x 
d) ( )( ) =−+ 5252 xx 
e) ( )( ) =+− 8383 xx 
f) ( ) =+ 22534 23 yxyx 
g) =





−
2
22 5
5
3
yzyx 
h) =





−
2
75
2
3
3
2
xx 
 
5. Opera utilizando las identidades notables si es necesario: 
 
a) ( ) =−+ 228 xx 
b) ( ) =+− 2243 xx 
c) ( ) =−− xx 931 2 
d) ( ) =−− 205 2x 
e) ( )( ) =+−+ 4977 xx 
f) ( )( ) ( ) ( ) =−−++−+ 22 12111 xxxx 
g) ( ) ( ) =+−+ 2222 3443 xx 
h) ( ) ( ) =−+−− 93264 2xxx