Son polinomios que aparecen con frecuencia a la hora de factorizar, por eso tenerlo en cuenta. Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Christiam Huertas 9 Polinomio primo La definición depende del conjunto (o campo) donde se está trabajando. Polinomio primo sobre Si trabajamos con polinomios sobre , diremos que un polinomio irreductible es primo si tiene coeficiente principal positivo y todos sus coeficientes son coprimos (primos entre sí). Polinomio primo sobre o Si trabajamos con polinomios sobre los campos o , diremos que un polinomio irreductible es primo, si este es mónico (coeficiente principal uno). Ejemplo 1. El polinomio irreductible sobre es primo. 2. El polinomio irreductible sobre no es primo, ya que sus coeficientes no son coprimos. 3. El polinomio irreductible sobre y es primo. En general, un polinomio de la forma: es primo sobre , y . 4. El polinomio irreductible sobre no es primo. En efecto, no es mónico. 5. El polinomio irreductible sobre y no es primo. En efecto, su coeficiente principal no es positivo, mucho menos es un polinomio mónico. Nótese que el polinomio es primo sobre pero no lo es sobre . FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 10 Christiam Huertas Factor primo Sean y dos polinomios sobre un conjunto . Diremos que es factor primo de si es factor algebraico de y polinomio primo a la vez. Ejemplo 1. El polinomio definido sobre , es factor primo de . 2. El polinomio definido sobre , es factor primo de . 3. El polinomio definido sobre , es factor primo de . Factorización Factorizar un polinomio sobre un conjunto (o campo) es descomponerlo en la multiplicación indicada de sus factores primos (o potencias de estos). Es decir, si es un polinomio definido sobre , su factorización debe tener la forma: ( ) ( ) ( ) Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Christiam Huertas 11 Ejemplo 1. El polinomio está factorizado sobre . Tiene factores primos (uno lineal y uno cuadrático). 2. El polinomio está factorizado sobre y sobre . Tiene factores primos (dos lineales y uno cuadrático). 3. El polinomio está factorizado sobre . Tiene factores primos (los tres son lineales). 4. El polinomio está factorizado sobre . Tiene factores primos (los tres son lineales). Conteo de factores primos La cantidad de factores primos de un polinomio factorizado se obtiene contando los factores primos que se encuentran como base de una potencia y que contenga al menos una variable del polinomio. Ejemplo 1. El polinomio está factorizado sobre y tiene factores primos: , y (dos lineales y uno cuadrático) 2. El polinomio está factorizado sobre y tiene factores primos: , ,