05 Factorización de polinomios

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Factorización de 
polinomios 
La
s m
ate
má
tic
as 
so
n 
fác
ile
s 
√ ⃗ 
 ̅ 
 
 
Álgebra 5 
 
Christiam Huertas 
Nivel UNI 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 
 
2 Christiam Huertas 
 
 
Índice 
1. Factorización de polinomios 03 
2. Polinomio definido sobre un campo 04 
3. Factor algebraico 05 
4. Polinomio reductible 06 
5. Polinomio irreductible 07 
6. Polinomio primo 09 
7. Factor primo 10 
8. Factorización 10 
9. Conteo de factores primos 11 
10. Conteo de factores algebraicos 12 
11. Métodos para factorizar 13 
12. Método del factor común 13 
13. Método de agrupación 14 
14. Método de las identidades 16 
15. Método de aspa simple 18 
16. Método de aspa doble 20 
17. Método de aspa doble especial 21 
18. Método de los divisores binómicos 23 
19. Artificios diversos 30 
20. Problemas resueltos 32 
21. Problemas propuestos 43 
22. Claves 48 
 
Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 Christiam Huertas 3 
 
Factorización de polinomios 
Introducción. La factorización es una de las herramientas más empleadas en el 
trabajo matemático para “transformar” una expresión algebraica de manera 
conveniente, para resolver algún problema. Pero su real utilidad, v ista a través de la 
historia, es la solución de ecuaciones algebraicas; 
de hecho, en un primer momento, la factorización 
surge ante la necesidad de solucionar ecuaciones 
de segundo grado. 
 
El desarrollo moderno de la factorización se 
inicia en el Renacim iento Italiano, hacia el año 
1545, con la publicación del Ars Magna de 
Girolamo Cardano (1501 -1576) en el cual se 
muestran las soluciones para la ecuación cúbica y 
cuártica, desarrolladas por Nicolo Fontana 
Tartaglia (1500 -1557), Ludovico Ferrari (1522 -
1565) y él mismo, obtenidas a partir de un procedimiento sistemático completando 
el cuadrado, de una manera conveniente, para llegar a la solución. Probablemente 
esta fue la mayor contribución al álgebra, desde que los babilonios aprendieron a 
completar el cuadrado para solucionar ecuaciones cuadráticas. 
 
 
Preliminares 
Los conjuntos , y , verifican siempre que la suma y el producto de dos 
elementos del conjunto es otro elemento del conjunto. Además, en ellos existe 
inverso para la suma (se puede restar) e inverso para el producto (se puede dividir 
sin salirse del conjunto). 
A los conjuntos con este tipo de características se les denomina cuerpos o campos 
(a los conjuntos , y se les llama cuerpos conmutativos pues el producto es 
conmutativo: ; ). 
 
Nota De ahora en adelante, denotara cualquiera de los conjuntos: 
 , o (racionales, reales o complejos) 
 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 
 
4 Christiam Huertas 
 
Polinomio 
Se llama polinomio en variable y con coeficientes en un cuerpo conmutativo , a 
toda expresión de la forma 
 
 
 
siendo , , …, elementos de . 
 
Al conjunto de todos los polinomios en la variable con coeficientes en lo 
denotamos por : 
 
 { 
 
 } 
 
 
Así: 
 { 
 
 } 
es el conjunto de los polinomios con coeficientes racionales 
 
 { 
 
 } 
es el conjunto de los polinomios reales (con coeficientes reales) 
 
 { 
 
 } 
es el conjunto de los polinomios complejos (con coeficientes complejos) 
 
Nota Como , entonces: 
 
 
 
 
Polinomio definido sobre un conjunto (o campo) 
Si un polinomio tiene todos sus coeficientes en el conjunto (o campo) , se dice 
que el polinomio está definido sobre . 
 
Ejemplo 1. El polinomio 
 está definido sobre el conjunto 
 , pues todos sus coeficientes: ; y son enteros. 
 
 
Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 Christiam Huertas 5 
 
2. El polinomio 
 
 
 
 
 
 
 está definido sobre el 
campo , pues todos sus coeficientes: ; 
 
 
 y 
 
 
 son racionales. 
 
3. El polinomio 
 √ 
 
 
 está definido sobre el 
campo , pues todos sus coeficientes: ; √ ; 
 
 
 y son reales. 
 
4. El polinomio 
 √ 
 está definido sobre el 
campo , pues todos sus coeficientes: ; y √ 
 son números 
complejos. 
 
 
Factor algebraico 
Sean y dos polinomios no constantes. Se dice que es factor algebraico de , 
si existe un único polinomio tal que ; es decir, es divisible por . 
 
Ejemplo es factor de 
 . 
En efecto: 
 Existe 
 tal que . 
 Es decir, 
 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 
 En consecuencia, es divisible por . 
 
 
Ejemplo Respecto al polinomio 
 
 
Podemos afirmar lo siguiente: 
 es un factor algebraico de . 
 
 es un factor algebraico de . 
 es un factor algebraico de . 
 no es factor algebraico de , pues es una 
constante de grado cero. 
 
 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 
 
6 Christiam Huertas 
 
Ejemplo Si el polinomio es un factor del polinomio 
 
 ; , determine el valor de . 
 
Re
so
lu
ci
ón
 
Como es un factor de 
 , 
entonces la división es exacta. Es decir: 
 
 
 
 
Hallemos el resto aplicando el Teorema del Resto: 
i. 
ii. 
iii. ⏟ 
 
 
 
 
Cancelamos : 
 
 
Polinomio reductible 
Un polinomio de grado es reductible sobre un conjunto (o campo) , si 
se descompone en la multiplicación de dos o más factores algebraicos (sobre el 
conjunto o campo ). 
 
Ejemplo El polinomio 
 es reductible sobre . 
 
En efecto: 
 se descompone así: 
 
 
También podemos decir que es reductible sobre , pues 
y estan definidos sobre . 
 
 
Ejemplo El polinomio 
 no es reductible sobre ni sobre . 
Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 Christiam Huertas 7 
 
 
 
En efecto: 
Pese a que se descompone así: 
 ( √ )( √ ) 
los polinomios ( √ ) y ( √ ) no están definidos sobre ni 
sobre , pero si lo están sobre . Luego, po demos decir que el 
polinomio 
 es reductible sobre . 
 
Ejemplo El polinomio 
 no es reductible sobre , ni sobre , ni 
sobre . 
 
En efecto: 
Pese a que se descompone así: 
 
los polinomios y no están definidos sobre , ni sobre 
 , ni sobre ; pero si lo están sobre . Luego, podemos decir que el 
polinomio 
 es reductible sobre . 
 
 
 
Polinomio irreductible 
Cuando un polinomio no es reductible sobre un de terminado conjunto (o campo), 
diremos que es irreductible sobre dicho conjunto (o campo). 
 
Ejemplo 1. El polinomio 
 no es reductible sobre (ni sobre ) 
entonces es irreductible sobre (y sobre ). 
 
2. El polinomio 
 es irreductible sobre , y . 
Pues no se puede descomponer sobre , y . 
 
En general: Todo polinomio de la forma: 
 
es irreductible sobre , y . 
 
3. El polinomio es irreductible sobre , y . 
Pues no se puede descomponer sobre , y . 
 
 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 
 
8 Christiam Huertas 
 
 
Teorema 
Todo polinomio de primer grado es irreductible. 
 
En efecto: 
Si admitimos que este polinomio puede descomponerse en la 
multiplicación de al menos dos factores algebraicos (de menorgrado), 
estos tendrán que ser de grado cero, pero el producto de cualesquiera 
polinomios de grado cero, es de nuevo de grado cero y no de grado uno. 
 
Ejemplo Los polinomios: 
 
 
 
 
son irreductibles por ser de primer grado. 
 
 
 
Corolario 
Si el polinomio es irreductible, entonces con , también 
lo es. 
 
Ejemplo A continuación mencionaremos algunos polinomios que son 
irreductibles sobre , sobre y sobre . 
 
 
 
 
 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
Son polinomios que aparecen con frecuencia a la hora de factorizar, 
por eso tenerlo en cuenta. 
 
 
 
 
Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 Christiam Huertas 9 
 
Polinomio primo 
La definición depende del conjunto (o campo) donde se está trabajando. 
 
Polinomio primo sobre 
Si trabajamos con polinomios sobre , diremos que un polinomio irreductible es 
primo si tiene coeficiente principal positivo y todos sus coeficientes son 
coprimos (primos entre sí). 
 
Polinomio primo sobre o 
Si trabajamos con polinomios sobre los campos o , diremos que un 
polinomio irreductible es primo, si este es mónico (coeficiente principal uno). 
 
 
Ejemplo 1. El polinomio irreductible sobre es primo. 
 
2. El polinomio irreductible sobre no es primo, ya 
que sus coeficientes no son coprimos. 
 
3. El polinomio 
 irreductible sobre y es primo. 
 
En general, un polinomio de la forma: 
 es 
primo sobre , y . 
 
4. El polinomio irreductible sobre no es primo. 
En efecto, no es mónico. 
 
5. El polinomio irreductible sobre y no es primo. 
En efecto, su coeficiente principal no es positivo, mucho menos es 
un polinomio mónico. 
 
Nótese que el polinomio es primo sobre pero no lo es 
sobre . 
 
 
 
 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 
 
10 Christiam Huertas 
 
Factor primo 
Sean y dos polinomios sobre un conjunto . Diremos que es factor primo de 
 si es factor algebraico de y polinomio primo a la vez. 
 
Ejemplo 1. El polinomio definido sobre , es factor primo de 
 
 . 
 
En efecto: 
 es primo, pues es lineal y mónico; además, es factor 
algebraico de 
 . 
 
2. El polinomio definido sobre , es factor primo de 
 
 . 
 
En efecto: 
 es primo, pues es lineal con coeficien te principal 
positivo y de coeficientes PESI; además, es factor algebraico de 
 
 , pues . 
 
3. El polinomio 
 definido sobre , es factor primo de 
 
 . 
 
En efecto: 
 
 es irreductible, mónico y factor algebraico de . 
 
 
 
Factorización 
Factorizar un polinomio sobre un conjunto (o campo) es descomponerlo en la 
multiplicación indicada de sus factores primos (o potencias de estos). 
 
Es decir, si es un polinomio definido sobre , su factorización debe tener la 
forma: 
 
 (
 
 
)
 
 ( 
 
)
 
 ( 
 
)
 
 
 
Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 Christiam Huertas 11 
 
Ejemplo 1. El polinomio ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 esta factoriz ado sobre 
 . Tiene factores primos (uno lineal y uno cuadrático). 
 
2. El polinomio ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 esta 
factorizado sobre y sobre . Tiene factores primos (dos 
lineales y uno cuadrático). 
 
3. El po linomio ⏟ 
 
( √ )⏟ 
 
( √ )⏟ 
 
 esta 
factorizado sobre . Tiene factores primos (los tres son 
lineales). 
 
4. El polinomio √ ( √ )⏟ 
 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 esta factorizado 
sobre . Tiene factores primos (los tres son lineales). 
 
 
 
 
Conteo de factores primos 
La cantidad de factores primos de un polinomio factorizado se obtiene 
contando los factores primos que se encuentran como base de una 
potencia y que contenga al menos una variable del polinomio. 
 
Ejemplo 1. El polinomio 
 
 
esta factorizado sobre y tiene factores primos: 
 , y 
(dos lineales y uno cuadrático) 
 
2. El polinomio 
 
 ( 
 
 
) 
esta factorizado sobre y tiene factores primos: 
 , 
 
 
, y 
(tres lineales y uno cuadrático) 
 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 
 
12 Christiam Huertas 
 
 
3. El polinomio 
 
 ( √ )
 
 
esta factorizado sobre y tiene factores primos: 
 , , √ y 
(dos lineales y dos cuadráticos) 
 
4. El polinomio 
 ( √ )
 
 
esta factorizado sobre y tiene factores primos: 
 √ , , , y 
(cuatro lineales y uno cuadrático) 
 
 
 
Conteo de factores algebraicos 
La cantidad de factores algebraicos de un polinomio se obtiene de la 
siguiente manera. 
 
Dado el polinomio factorizado: 
 ( )
 
( )
 
( )
 
 ( )
 
 
 
es decir: , , , …, son polinomios primos 
diferentes. Entonces: 
 
 
 
de los cuales son factores primos. 
 
Ejemplo En el polinomio factorizado: 
 
 
 
 
 
 
 
de los cuales son factores primos. 
 
 
Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 Christiam Huertas 13 
 
Ejemplo En el polinomio factorizado: 
 ( √ )
 
 
 
 
 
 
 
de los cuales son factores primos. 
 
 
 
Métodos para factorizar polinomios 
Existen diversos métodos para factorizar polinomios. A continuación veremos los 
métodos más utilizados. 
 
1 
Método del factor común 
Se aplica en polinomios donde todos sus términos tienen una o más 
variables y/o co nstantes comunes, que en cada té rmino están como 
factores. 
 
Ejemplo En el polinomio 
 , se observa que sus 
tres términos t ienen en común a las variables e (las cuales se 
deben extraer con su menor exponente) y la constante . Es decir, 
 
 
 ⏟ 
 
 primo primo primo 
con lo c ual el polinomio esta factorizado sobre , (tiene factores 
primos lineales). Note que es una constante. 
 
 
Ejemplo Factorice el polinomio 
 . 
 
 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 
 
14 Christiam Huertas 
 
R
es
ol
uc
ió
n 
Se tiene el polinomio 
 
Extraemos (que es el factor común de ambos términos): 
 ⏟ 
 primo primo 
 lineal cuadrático 
Luego, el polinomio tiene factores primos (uno lineal y uno 
cuadrático) 
 
Ejemplo Factorice el siguiente polinomio. 
 
 
 
 
R
es
ol
uc
ió
n 
Acomodamos convenientemente el 2do término: 
 
Extraemos el factor común : 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 
Luego, el polinomio tiene factoresprimos (ambos lineales). 
 
 
2 
Método de agrupación 
Se aplica cu ando todos los términos de un polinomio no tienen factor 
común, entonces agrupamos convenientemente aquellos que si lo tienen 
para extraer el factor común. 
 
Ejemplo En el polinomio 
 , agrupamos 
convenientemente de dos en dos: 
 
 ⏟ ⏟ 
 
Extraemos el factor común : 
 
con lo cual el polinomio esta factorizado en , (tiene dos factores 
primos lineales). 
 
 
Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 Christiam Huertas 15 
 
Ejemplo Factorice el polinomio 
 . 
 
 
R
es
ol
uc
ió
n 
Agrupamos convenientemente de dos en dos: 
 
 ⏟ ⏟ 
 
Extraemos el factor común : 
 ⏟ 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 
Luego, el polinomio tiene factores primos lineales. 
 
Ejemplo ¿Cuántos factores primos lineales tiene el siguiente polinomio? 
 
 
 
 
 
R
es
ol
uc
ió
n 
Extraemos el factor común : 
 
 ( ⏟ ⏟ ) 
 
 ( ) 
Extraemos el factor común : 
 
 
Luego, el polinomio tiene factores primos lineales. 
 
Ejemplo Factorice el polinomio 
 
 
 
R
es
ol
uc
ió
n 
Agrupamos convenientemente de dos en dos: 
 
 
 
 
Extraemos el factor común : 
 
 
 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 
Luego, el polinomio tiene factores primos ( lineal y cuadráticos). 
Diferencia 
de cuadrados 
 
Suma de 
cubos 
 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 
 
16 Christiam Huertas 
 
 
3 
Método de las identidades 
Usaremos las identidades de los productos notables para factorizar 
polinomios. 
 
Recuerde que: 
 
 
 
Ejemplo En el polinomio 
 se observa una diferencia de 
cuadrados; es decir, 
 
 
Damos forma: 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 
con lo cual queda factorizado sobre , (tiene dos factores primos 
lineales). 
 
 
Ejemplo En el polinomio 
 se observa una diferencia de cubos; es 
decir, 
 
 
Damos forma: 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 
con lo cual queda factorizado sobre y sobre . 
(Tiene dos factores primos: uno lineal y uno cuadrático). 
 
 
Ejemplo Factorice el polinomio 
 
 
 
R
es
ol
uc
ió
n 
Aplicamos la identidad de Argand: 
 
 
 
 ⏟ 
 
 
 ⏟ 
 
 
 
Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 Christiam Huertas 17 
 
 Luego, el polinomio tiene factores primos (ambos cuadráticos). 
 
Ejemplo Factorice el polinomio 
 
 
 
R
es
ol
uc
ió
n 
Agrupamos términos convenientemente: 
 
 ⏟ 
 
 
 
Diferencia de cuadrados: 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 
con lo cual queda factorizado sobre , ( tiene dos factores 
primos lineales). 
 
Ejemplo ¿Cuántos factores primos lineales tiene el siguiente polinomio? 
 
 
 
 
 
R
es
ol
uc
ió
n 
Acomodamos convenientemente el 2do término: 
 
 
Por diferencia de cuadrados: 
 
 
Agrupamos convenientemente en cada paréntesis: 
 ( 
 ⏟ ) ( ⏟ ) 
 trinomio cuadrado trinomio cuadrado 
 perfecto perfecto 
 
 
Nuevamente diferencia de cuadrados en cada paréntesis: 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 
Luego, el polinomio tiene factores primos lineales. 
 
 
 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 
 
18 Christiam Huertas 
 
4 
Método de aspas 
Son métodos particulares; es decir, se utilizan solo para polinomios con 
ciertas características. Veremos: 
 Método de aspa simple. 
 Método de aspa doble. 
 Método de aspa doble especial. 
 
 
a 
Método de aspa simple 
Se aplica para factorizar polinomios de la forma: 
 
 
 ó 
 
 
con . 
 
a Procedimiento: 
1. Se descompone adecuadamente los términos extremos del trinomio en 
una multiplicación indicada de factores. 
 
2. Esta descomposición debe ser hecha de tal manera que la suma de los 
productos en aspa sea igual al término central del trinomio. 
 
3. Una vez hecha la prueba del aspa anterior, el trinomio es expresado 
como la multiplicación indicada de factores que se toman en forma 
horizontal. 
 
Ejemplo En el polinomio 
 
 
 
 
Luego, . Tiene factores primos lineales. 
 
 
Ejemplo En el polinomio 
 
 
 
 
 
Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 Christiam Huertas 19 
 
Luego, . (Tiene dos factores primos) 
 
Ejemplo Factorice el polinomio 
 
 
 
R
es
ol
uc
ió
n 
Acomodamos convenientemente los términos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es decir, 
 
 
 ⏟ 
 
 
Luego, tiene factores primos ( lineales y cuadrático). 
 
Ejemplo Factorice el polinomio 
 
 
 
R
es
ol
uc
ió
n 
El polinomio no tiene la forma para aplicar el aspa simple pero, 
acomodando convenientemente acepta ser factorizado: 
 
 
 
 
 
 
 
Luego, 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 
Es decir, el polinomio tiene factores primos ( uno cú bico y uno 
cuadrático). 
 
Nota. Más adelante (página ) se muestra cual es la condición para 
que un polinomio de grado sea primo. 
 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 
 
20 Christiam Huertas 
 
b 
Método de aspa doble 
Se aplica p ara factorizar polinomios en dos variablesy de seis términos, 
que presentan la forma: 
 
 
 
 
Procedimiento: 
1. Adecuamos el polinomio a la forma general; en caso faltase algún 
término se colocan ceros por cada término que falte. 
 
2. Se aplica aspa simple a los tres primeros términos, también a los 
términos , y . 
 
3. Se aplica otro aspa simple (de verificación) a los términos , y . 
 
4. Una vez hecho estos procedimientos, el polinomio es expresado como 
la mul tiplicación indicada de factores que se toman en forma 
horizontal. 
 
Ejemplo En el polinomio 
 
 
 
 
 
 
 
Luego, ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 
 
 
Ejemplo Factorice el polinomio 
 . 
 
 
R
es
ol
uc
ió
n 
Aplicamos el método de aspa doble: 
 
 
 
 
 
 
Luego, ⏟ 
 
 ⏟ 
 
. 
 
Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 Christiam Huertas 21 
 
Ejemplo Dado el esquema de aspa doble: 
 
 
 
 
Determine el valor de . 
 
 
 
R
es
ol
uc
ió
n 
1er aspa simple: 
 y y 
 , entonces 
 
2do aspa simple: 
 y 
 
 , entonces 
 
3er aspa simple: 
 
 
 
Por lo tanto, . 
 
 
c 
Método de aspa doble especial 
Se utiliza para factorizar polinomios de cinco términos y generalmente de 
una variable, que presentan la forma: 
 
 
 
 
Procedimiento: 
1. Adecuamos el polinomio a la forma general, en caso faltase algún 
término se colocan ceros por cada término que falte. 
 
2. Se descomponen convenientemente los términos extremos, se 
multiplica en aspa y se suman los productos obtenidos. 
 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 
 
22 Christiam Huertas 
 
3. Se compara el re sultado anterior con el término central del polinomio 
y lo que falta para que sea igual a este, es la expresión a descomponer 
en las partes centrales de los nuevos factores. 
 
4. Se deben verificar un aspa simple en cada lado. Los factores se toma 
en forma hor izontal; y si estos no son primos, se factorizan por aspa 
simple. 
 
Ejemplo En el polinomio 
 
 
 
 
 
 
Se debe tener (SDT): 
Se tiene (ST): 
Falta (F): 
 
Luego, 
 
 
 
 
Es decir, ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
. 
 
 
Ejemplo Factorice el polinomio 
 . 
 
 
R
es
ol
uc
ió
n 
Aplicamos aspa doble especial: 
 
 
 
 
 
Se debe tener (SDT): 
Se tiene (ST): 
Falta (F): 
 
Luego, 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
. 
 
Se descompone 
Se descompone 
Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 Christiam Huertas 23 
 
Ejemplo Que relación debe existir entre y para que el polinomio 
 
 
presente un solo factor primo lineal. 
 
 
 
R
es
ol
uc
ió
n 
Lo factorizamos por aspa doble especial: 
 
 
 
 
 
SDT: 
ST: 
Falta: 
 
Luego, 
 ⏟ 
 
 
 
Como el polinomio debe tener un solo factor primo lineal, 
entonces el factor debe ser un trinomio cuadrado 
perfecto. Es decir su discriminante debe ser cero: 
 
 
 
Por lo tanto, la relación entre y es: . 
 
 
5 
Método de los divisores binómicos 
Este método se utiliza para factorizar polinomios de grado , 
generalmente de una variable y que admitan factores lineales. 
Antes de aplicar este método, veamos algunos conceptos previos. 
 
Raíz de un polinomio 
Sea un polinomio de grado . El número es raíz de (o un cero del 
polinomio ) si y solo si . 
 
Se descompone 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 
 
24 Christiam Huertas 
 
Ejemplo Para el polinomio , se observa que , entonces 
es raíz del polinomio . 
 
Ejemplo Para el polinomio 
 , se observa que: 
 y 
entonces y son raíces (o ceros) del polinomio . 
 
 
 
Teorema 
Sea 
 
 ; un poli nomio 
sobre . Si 
 
 
 es un número racional (con y PESI) que es una raíz de 
 , entonces es un divisor entero de y es un divisor entero de . 
 
En la práctica, lo que más se utiliza es el siguiente corolario. 
 
 
Corolario (Posibles raíces racionales: PRR) 
Las posibles raíces racionales (PRR) del polinomio 
 
 
 con 
con coeficientes enteros están dadas por: 
 
 {
 | |
 | |
} 
 
 
Ejemplo Para el polinomio 
 se tiene: 
 
 {
 
 
} {
 
 
} { 
 
 
 } 
Es decir, 
 { 
 
 
 
 
 
 } 
Luego, si el polinomio tiene alguna raíz racional, entonces debe 
ser uno de los elementos que pertenecen al conjunto . 
 
 
 
Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 Christiam Huertas 25 
 
 
Teorema del factor 
Sea un polinomio de grado . El número es una raíz de si 
y solo si es un factor de . 
 
 
Corolario 
Si es factor de , entonces existe tal que: 
 
 
 
 
Ejemplo En el polinomio 
 notamos que , entonces 
 es raíz del polinomio . Por el teorema del f actor, es un 
factor de . Luego, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
de donde, 
 . Lo reemplazamos en : 
 
 
 
 
 
 
Esta factorizado sobre (tiene factores primos lineales). 
 
 
El procedimiento que hemos seguido para factorizar el polinomio 
 
 sobre , se llama el método de los divisores binómicos. 
 
 Procedimiento: 
1. Se halla una raíz racional (es decir una raízentera o fraccionaria). 
 
Nota. Se recomienda probar para ; , y . Si ninguno de estos 
Raíz de 𝑃 𝑥 
Recuerde que al dividir 
un polinomio entre uno 
de sus factores, el 
resto siempre es cero 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 
 
26 Christiam Huertas 
 
cuatro números es raíz, entonces aplicar el corolario de las posibles 
raíces racionales (página 24). 
 
2. Se aplica el teorema del factor. Es decir si es una raíz del polinomio 
 , entonces es un factor de . 
 
3. Se descompone el polinomio a factorizar de la siguiente manera: 
 
 
4. Se halla aplicando la regla de Ruffini: 
 
 
 
 
 
5. Se reemplaza en : 
 ⏟ 
 
 
Si es primo termina el proceso. En caso contrario se factoriza 
 utilizando un método adecuado. 
 
Ejemplo Factorice el polinomio 
 . 
 
 
R
es
ol
uc
ió
n 
Aplicamos el método de los divisores binómicos de forma directa: 
Una raíz del polinomio es , pues: 
 
 
Efectuamos la división para halla el cociente: 
 
 
 
 
 
 
El cociente es: 
 . Luego: 
 ( )⏟ 
 
 ⏟ 
 
 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 
Por lo tanto, tiene factores primos (uno lineal y uno cuadrático) 
 
Raíz de 𝑁 𝑥 
Recuerde que al dividir 
un polinomio entre uno 
de sus factores, el 
resto siempre es cero 
Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 Christiam Huertas 27 
 
Ejemplo Si el polinomi o 
 se descompone como 
 
 , determine el valor de . 
Considere: { } y . 
 
 
 
R
es
ol
uc
ió
n 
Aplicamos el método de los divisores binómicos. 
Vemos que: 
 ; ; ; 
Es decir, ; ; y no son raíces del polinomio . Entonces 
aplicamos el corolario de las posibles raíces racionales: 
 {
 
 
} 
 {
 
 
} 
 { 
 
 
 } 
Si el polinomio tiene raíz racional, necesariamente debe ser uno 
de estos valores. Tomemos 
 
 
: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como el resto es cero, entonces 
 
 
 si es raíz del polinomio . Luego: 
 ( 
 
 
) 
 ( 
 
 
) 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 
Por dato: 
 
 
Por simple comparación: 
 ; ; y 
Por lo tanto, 
 
Raíz de 𝑃 𝑥 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 
 
28 Christiam Huertas 
 
 
Teorema 
Todo polinomio cúbico: 
 ; , sobre que 
no admite raíz racional, es irreductible sobre . 
 
Ejemplo El polinomio 
 es primo sobre . 
 
En efecto: 
Las únicas posibles raíces racionales de son y . Luego, 
 y 
Entonces y no son raíces de . Como el polinomio no 
tiene raíz racional, entonces el polinomio es irreductible sobre . 
Además es mónico, por lo tanto, es primo sobre . 
 
 
Ejemplo Factorice el polinomio 
 sobre . 
 
 
R
es
ol
uc
ió
n 
Si aplicamos el aspa doble especial, observamos que no se puede 
factorizar por dicho método, entonces vamos a aplicar el método de 
los divisores binómicos. 
 
Como 
 , 
entonces es una raíz de y por lo tanto, es un factor de 
 . Luego, 
 
 
Hallemos el polinomio por la regla de Ruffini: 
 
 
 
 
 
 
Entonces, 
 . Lo reemplazando en : 
 
 ⏟ 
 No admite raíces racionales, 
 entonces es primo sobre . 
Por lo tanto, tiene 2 factores primos (uno lineal y uno cúbico) 
 
Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 Christiam Huertas 29 
 
 
Teorema 
Dado el polinomio cuártico: 
 
 ; 
definido sobre . Si no se factoriza por aspa doble especial, y 
tampoco por divisores binómicos, entonces es irreductible sobre . 
 
Ejemplo El polinomio 
 no admite el aspa doble ni divisores 
binómicos (verifíquelo). Entonces 
 es irreductible 
sobre y . 
 
 
 
Teorema 
Todo polinomio cuadrático 
 definido sobre , es 
irreductible si y solo si su discriminante es negativo. 
 
Ejemplo El polinomio 
 es irreductible sobre . 
 
En efecto: 
 (discriminante negativo) 
Por el teorema anterior , es irreductible sobre . 
 
 
Ejemplo El polinomio 
 ( √ ) √ no es reductible sobre . 
 
En efecto: 
 ( √ )
 
 ( √ ) ( √ )
 
 
Se obtiene discriminante no negativo, entonces no cumple el teorema 
anterior. 
El polinomio es reductible (es decir, se puede factorizar) de la 
siguiente manera: 
 ( √ ) 
 
 
 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 
 
30 Christiam Huertas 
 
6 
Artificios diversos 
Veremos a continuación algunos artificios para factorizar polinomios que 
no han podido ser factorizamos por los métodos anteriores. 
 
Ejemplo Factorice el polinomio 
 
 
 
R
es
ol
uc
ió
n 
En este caso, agregamos y quitamos . Es decir: 
 
 
Agrupamos convenientemente: 
 
 
 
 ⏟ 
 
 
 
 
 
Extraemos el factor común : 
 
 
 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 
Luego, tiene dos factores primos. 
 
Ejemplo Factorice el polinomio 
 . 
 
 
R
es
ol
uc
ió
n 
En este caso, agregamos y quitamos . Es decir: 
 
 
Agrupamos convenientemente: 
 
 ⏞ 
 
 
Por diferencia de cuadrados: 
 
 
Ordenamos los términos en cada paréntesis: 
 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 
 
Trinomio cuadrado 
perfecto 
Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 Christiam Huertas 31 
 
Ejemplo Factorice el polinomio 
 . 
 
 
R
es
ol
uc
ió
n 
En este caso, agregamos y quitamos . Es decir: 
 
 
Agrupamos convenientemente: 
 
 ⏟ 
 
 
 
 
 
Vemos que el polinomio acepta ser factorizado por aspa simple. 
Es decir: 
 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 
 (Verifíquelo) 
Luego, tiene dos factores primos. 
 
Ejemplo Factorice el polinomio 
 . 
 
 
R
es
ol
uc
ió
n 
En este caso, agregamos y quitamos . Es decir: 
 
 ⏟ 
 
Agrupamos convenientemente: 
 
 ⏟ 
 
 
 ⏟ 
 
 
 
 
 
Por diferencia de cuadrados: 
 ( 
 )( ) 
Ordenamos los términos en cada paréntesis: 
 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 
 (Verifíquelo) 
 
Diferencia de cubos 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 
 
32 Christiam Huertas 
 
Problemas resueltos 
 
1. 
Se descompone el polinomioen factores lineales. Halle la suma de dichos factores. 
 
A) B) C) 
D) E) 
 
Re
so
lu
ci
ón
 
Se tiene el polinomio 
 
 ⏟ ⏟ ⏟ 
Agrupamos: 
 
 ⏟ ⏟ ⏟ 
 primo primo primo 
Por lo tanto, la suma de los factores primos lineales es: 
 
 Rpta: C 
 
2. 
Al factorizar el polinomio , 
uno de los factores lineales es 
 
A) B) C) D) E) 
 
Re
so
lu
ci
ón
 
Se tiene el polinomio 
 ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿ 
Multiplicamos convenientemente: 
 
Hacemos el cambio de variable: 
Lo reemplazamos en el polinomio: 
 
 
 
Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 Christiam Huertas 33 
 
Re
so
lu
ci
ón
 
 
 
 
 
 
Reemplazamos la variable original: 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto, uno de los factores lineales es . 
 Rpta: B 
 
3. 
Al factorizar el polinomio: , la suma de sus factores 
primos es 
 
A) 2 B) C) D) E) 
 
Re
so
lu
ci
ón
 
Se tiene el polinomio 
 
Agrupamos convenientemente: 
 
 
 ⏟ ⏟ 
 
 
Por lo tanto, la suma de factores primos es: 
 Rpta: B 
 
4. 
Halle la suma de los términos independientes de los factores primos de l 
polinomio 
 
 
A) B) C) D) E) 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 
 
34 Christiam Huertas 
 
 
Re
so
lu
ci
ón
 
Se tiene el polinomio: 
 
 
Vemos que , entonces es raíz de . Luego es factor 
de . Es decir, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De donde, 
 . Lo reemplazamos en : 
 
 
 
 
 
 ⏟ ⏟ ⏟ 
Término independiente: 
 La suma de los términos independientes de los factores primos es . 
 Rpta: A 
 
5. 
Factorice el siguiente polinomio. 
 
 
A) B) 
C) 
D) E) 
 
Re
so
lu
ci
ón
 
Se tiene el polinomio 
 ⏟ 
 ⏟ 
 
Factorizamos : 
 
Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 Christiam Huertas 35 
 
Re
so
lu
ci
ón
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Rpta: C 
 
6. 
Halle el MCD de los siguientes polinomios. 
 ; y 
 
A) B) C) D) E) 
 
Re
so
lu
ci
ón
 
Factorizamos cada uno de los polinomios: 
 
 
 
 
 
 ⏟ 
 diferencia de cuadrados 
 
 ⏟ 
 diferencia de cubos 
 
Recuerde que el MCD es el polinomio de mayor grado que divide 
exactamente a los tres. 
Por lo tanto, el MCD es el polinomio: . 
 Rpta: A 
 
7. 
Halle el MCD de los siguientes polinomios. 
 
 
 
 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 
 
36 Christiam Huertas 
 
 
A) B) C) D) E) 
 
Re
so
lu
ci
ón
 
Factorizamos los polinomios por el método de los divisores binómicos: 
 
 
 
 
 {
 
 
} {
 
 
} { 
 
 
} 
 
Tomamos 
 
 
 y aplicamos la regla de Ruffini: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces ( 
 
 
) ⏟ 
 primo cuadrático 
 
 
 
 
 {
 
 
} {
 
 
} { 
 
 
} 
 
Tomamos 
 
 
 y aplicamos la regla de Ruffini: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces ( 
 
 
) ⏟ 
 
 
Por lo tanto, . 
 Rpta: B 
 
8. 
Halle el factor cuadrático primo del siguiente polinomio. 
 
 
 
A) B) C) 
Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 Christiam Huertas 37 
 
D) E) 
 
Re
so
lu
ci
ón
 
Se tiene el polinomio 
 
 
 
 ⏟ … 
 Lo factorizamos por divisores binómicos 
Vemos que se anula para , entonces aplicamos Ruffini: 
 
 
 
 
 
 
Luego, . 
Lo reemplazamos en : 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto, el factor primo cuadrático es . 
 Rpta: D 
 
Universidad Nacional del Callao (UNAC) 
 
9. 
Un factor del polinomio es 
 
A) B) C) D) E) 
UNAC 2001 – I 
 
Re
so
lu
ci
ón
 
Se tiene el polinomio: ⏟ ⏟ 
Agrupamos: 
 
 
Por lo tanto, un factor del polinomio es . 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 
 
38 Christiam Huertas 
 
 Rpta: B 
 
10. 
Luego de factorizar la expr esión 
 , uno de los 
factores es 
 
A) B) C) 
D) E) 
UNAC 2009 – I 
 
Re
so
lu
ci
ón
 
Se tieneel polinomio 
 
 
Agregamos y quitamos : ⏟ 
 
Sea : 
 ((
 
 
)
 
 
 
 
 ) 
Sea 
 
 
 : 
Agregamos y quitamos : ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 ((
 
 
)
 
 
 
 
 )((
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 ) 
 ((
 
 
)
 
 
 
 
 ) ((
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 ) 
 
 ⏟ ⏟ 
 primo cuadrático primo cúbico 
 
Por lo tanto, un factor del polinomio es: . 
 Rpta: C 
 
Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 Christiam Huertas 39 
 
11. 
Al factorizar el polinomio 
 en , la suma de 
los coeficientes de uno de sus factores primos es 
 
A) B) C) D) E) 
UNAC 2009 – II 
 
Re
so
lu
ci
ón
 
Se tiene el polinomio: 
 
 
 
Completemos el cuadrado: 
 ⏟ 
 
 
Diferencia de cuadrados: 
 
 ⏟ ⏟ 
 primo sobre primo sobre 
Suma de coeficientes: ó 
 la suma de coeficientes de uno de los factores primos es . 
 Rpta: E 
 
12. 
Factorizando en el polinomio 
 
 
el número de factores primos es 
 
A) B) C) D) E) 
UNAC 2010 – I 
 
Re
so
lu
ci
ón
 Se tiene el polinomio 
 
 
 ⏟ 
 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 
 
40 Christiam Huertas 
 
 
Re
so
lu
ci
ón
 
 
Aspa simple: 
 
 
 
 
 
 
 
 ⏟ 
 , entonces 
 tiene raíces reales: y 
 
Por lo tanto, tiene factores primos sobre 
 Rpta: E 
 
13. 
Al factorizar 
 en , la suma de coeficientes 
de los factores primos es 
 
A) 4 B) 6 C) 7 D) 5 E) 8 
UNAC 2010 – II 
 
Re
so
lu
ci
ón
 
Se tiene el polinomio 
 
 
 
 
Agregamos y quitamos 
 ( ) 
 ( ⏟ ) 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 Christiam Huertas 41 
 
Re
so
lu
ci
ón
 
 
 ( ) 
 
 ⏟ ⏟ ⏟ 
 primo sobre primo sobre 
 ⏟ 
 
 donde 
Por lo tanto, la suma de los coeficientes: 
 
 Rpta: C 
 
14. 
Uno de los factores en del polinomio 
 es 
 
A) B) C) 
D) E) 
UNAC 2012 – II 
 
Re
so
lu
ci
ón
 
Se tiene el polinomio 
 
 
Agregamos y quitamos convenientemente: 
 ⏟ ⏟ 
 ⏟ 
 
 ⏟ ⏟ 
 primo cuadrático primo cúbico 
Por lo tanto, uno de los factores de es 
 . 
 Rpta: A 
 
15. 
¿Cuántos factores primos tiene el siguiente polinomio? 
 
 
 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 
 
42 Christiam Huertas 
 
A) B) C) D) E) 
 
Re
so
lu
ci
ón
 
Se tiene el polinomio: 
 
 
Utilizando cocientes notables se expresa como: 
 
 
 
 
Acomodamos convenientemente en el numerador para formar diferencia 
de cubos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cancelamos : 
 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 
(Verifíquelo) 
Por lo tanto tiene factores primos. 
 Rpta: D 
 
 
 
Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 Christiam Huertas 43 
 
Problemas propuestos 
 
1. 
Halle el valor de si se sabe que el polino mio 
 es un 
factor del polinomio 
 . 
 
A) 5 B) 8 C) D) E) 1 
 
2. 
Determine verdadero (V) o falso (F) según corresponda, con res pecto al 
polinomio 
 . 
 
I) es un factor primo. 
II) Tiene cuatro factores primos. 
III) Tiene factores primos de segundo grado. 
 
 
 
3. 
Si 
 es factor algebraico del polinomio 
 
 , entonces determine el valor numérico de . 
 
 
 
4. 
Halle el número de factores primos del polinomio . 
 
 . 
 
A) 5 B) 4 C) 2 D) 3 E) 1 
 
5. 
Indique el número de factores lineales que presenta el polinomio 
 
 
 
 
 
6. 
Determine la suma ( ) de los factores primos que presenta el 
polinomio 
 . 
 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 
 
44 Christiam Huertas 
 
 
 
 
 
7. 
Factorice el polinomioe indique la suma de los factores primos. 
 
 
 
 
8. 
Dado el esquema del aspa simple 
 
 
 
determine el valor de . 
 
 
 
9. 
Determine uno de los factores primos del siguiente polinomio. 
 
 
 
A) B) C) 
D) E) 
 
10. 
Indique el número de factores primos del polinomio 
 
 
 
 
 
11. 
Halle la mayor suma de coeficientes de uno de los factores primos del 
polinomio . 
 
A) B) C) D) E) 7 
 
Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 Christiam Huertas 45 
 
12. 
Determine la suma de los factores primos del polinomio 
 
 
 
 
 
13. 
Determine el factor primo de mayor grado que presenta el polinomio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. 
Determine el número de factores primos que presenta el polinomio 
 
 
 
 
 
15. 
Halle la suma de los factores primos del polinomio 
 
 
 
 
 
 
16. 
Luego de factorizar el polinomio 
 
 sobre indique la suma 
de coeficientes de un factor primo. 
 
 
 
17. 
Luego de factorizar el polinomio 
 
 
indique la suma de los cuadrados de los coeficientes de un factor primo. 
 
 
 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 
 
46 Christiam Huertas 
 
18. 
Indique la cantidad de factores primos que tiene el polinomio . 
 
 
 
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 
 
19. 
Halle uno de los factores primos del siguiente polinomio. 
 
 
 
A) B) C) D) E) 
 
20. 
Cuántos de los siguientes polinomios son primos sobre 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21. 
Si es raíz del polinomio 
 , entonces determine su 
factor primo de mayor término independiente. 
 
 
 
 
 
 
 
22. 
Luego de factorizar el polinomio 
 
indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. 
 
I) tiene cuatro factores primos. 
II) tiene un factor cuadrático. 
III) solo tiene dos factores primos. 
 
 
 
23. 
Si representa el número de factores primos que posee el polinomio 
 
 
Entonces determine el valor de 
Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 Christiam Huertas 47 
 
 
 
 
24. 
De los siguientes polinomios, ¿cuántos son primos? 
 
I) 
 
II) 
 
III) 
 
IV) 
 
 
 
 
25. 
Halle si es un factor primo de 
 
tal que 
 , para cualquier valor real de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26. 
Factorice el polinomio 
 
Luego determine la suma de coeficientes del factor primo de mayor 
término independiente. 
 
 
 
27. 
Indique un factor primo del polinomio sobre . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28. 
Factorice el polinomio 
 . 
 
A) 
 B) 
 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra 
 
48 Christiam Huertas 
 
C) 
 
D) 
 E) 
 
 
29. 
¿Cuántos factores primos tiene el siguiente polinomio? 
 
 
 
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 
 
30. 
Calcule el valor de si se sabe que uno de los factores del polinomio 
 
 es de la forma 
 
 . 
 
A) B) 1 C) 2 D) E) 3 
 
 
Claves 
 
01 A 02 E 03 A 04 C 05 B 06 C 07 C 08 B 09 B 10 C 
11 D 12 A 13 D 14 C 15 A 16 E 17 C 18 D 19 B 20 B 
21 E 22 E 23 A 24 B 25 E 26 D 27 E 28 B 29 D 30 A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 www.facebook.com/algebrapre 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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