unidad 5 POLINOMIOS

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Polinomios
Dra. Myriam Nuñez
Expresión algebraica
Racional Irracional
Entera Fraccionaria
monomio
polinomio
2
P(x) = 3x4 +2x3 – x2 + 8x +10
Q(x;y) = 5xy3 +10x
R(x;y;z) = 2zy4 + 2x3 – xy2 + 8xz + z
Polinomio
Suma o diferencia de monomios
Ejemplos
3
Casos de Polinomios
1) 2x + 3y4
2) -4a2b – b2c
3) 6x2 - 3x + 8
4) -x2yz + 3y - 5
BINOMIOS
TRINOMIOS
4
Grados de un polinomio
5
Grado relativo con respecto a 
una variable
(mayor exponente de la variable)
84653 2081);;( yzxzyxzyxP +=
GR(x)= GR(y)= GR(z)=4 5 8
6
GA = 10 GA = 8 GA = 3
8x7y3 – 3x4y4 + 6xy2
GA = 10
Grado absoluto de un polinomio
(mayor grado absoluto de los 
términos)
7
Ejercicio 1
4224 35);( yxyxyxQ m++−=
Si se sabe que el grado relativo a x es 5 hallar:
a) El valor de m
b) El grado absoluto del polinomio
Respuestas:
a) m = 3
b) GA = 9
8
Ejercicio 2
2124324 435);( yxyxyxyxQ n+−+−=
Si se sabe que el grado absoluto del polinomio 
es 9 hallar: 2n + 1
9
Ejercicio 3
25215 53);( +−+ ++= aaaaa yxyxyxyxP
Si se sabe que el grado absoluto del polinomio 
es 31 hallar: GR(x) + GR(y)
10
Polinomios especiales
11
Polinomios especiales
polinomio
ordenado
homogéneo
idéntico
completo
opuesto
nulo
12
Polinomio ordenado
x4y3 + 2x2y5 – 3xy8
Polinomio ordenado respecto a “x” en forma descendente
Polinomio ordenado respecto a “y” en forma ascendente
13
Polinomio completo
Polinomio completo con respecto a x
x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5x0
14
Polinomio homogéneo
Polinomio homogéneo de grado 8
6x5y3 – 3x4y4 + 6x6y2
GA = 8 GA = 8 GA = 8
15
Polinomios idénticos
Si P y Q son idénticos,
entonces a = 5; b = 2; c = -8
P(x) = ax3 + bx2 + c
Q(x) = 2x2 +5x3 – 8
P  Q
16
Polinomio opuesto
Si
P(x;y) = x4y3 + 2x2y5 – 3xy8
el polinomio opuesto de P es:
-P(x;y) = – x4y3 – 2x2y5 + 3xy8
17
Polinomio idénticamente nulo
P(x) = ax3 + bx2 - c
a = b = c = 0
P(x) = ax3 + bx2 - c
P(x)  0
18
Ejercicio 1
xcbxaxxxxdxP 12392642)( 2323 −+−++−+=
Si se sabe que el polinomio es idénticamente
nulo, calcular el valor de -7(a+b+c+d)
19
Ejercicio 2
yxyxxyxR abb 22712 262);( ++ +−=
Si se sabe que el polinomio es homogéneo,
calcular el valor de a – b.
20
a) P = x2 - 2 Q = - 3 x2 + 6
b) P = x + 2 Q = x2 + 4 x +4
1) Efectuar P  Q ; 3 P + Q ; P2 – Q e indicar su grado 
cuando esto sea posible
2) Si el grado de P es 4 y el grado de Q es 3 ; ¿qué puede decirse del grado de los 
siguientes polinomios? a) P Q b) P3 c) P + Q d) P3 + Q3
3) Determinar a  R para : a) P = a  x3 - a  x + 2 es tal que P(2) = - 1
b) P = x2 + 2  x + a es tal que 0 es una de sus raíces
c) P = a  x2 - a  x + 6 satisface que P(-1) = 6 y gr(P) = 2
Trabajo Práctico Nº3 
Polinomios
21
4) Hallar el cociente y el resto de la división de P por Q en cada uno 
de los siguientes casos : 
1
4
1 4 += xP
axxP −+= 23 72 22
2 += xQ
2−= xQ
5) Determinar el valor de k tal que P = 2 x3 + k x2 + 5 x + 3 sea divisible por Q = x2 - x + 3
6) ¿ Para qué valores de a y b el polinomio es divisible por
(x + 4) ; y tiene resto -18 al dividirlo por (x - 2) ?
bxaxxP +−+= 234
4
1
a)
b)
7) Determinar a, b, c  R para que :
a) P = a x2 + b x + c tenga a 1 y a 0 como raíces
b) P = x2 - b x + a y Q = a x3 – b tengan a 2 como raíz común
22
8) Hallar todas las raíces de los siguientes 
polinomios :
122 23 −+−= xxxP 4
7
3 24 −+= xxP
3
2
11
3
2
1 23 −+−= xxxP 6575
234 +−+−= xxxxP
xxxxP 44 234 −−+=
si i es raíz de P
9) Factorear el polinomio x4 - 4 x3 + 6 x2 - 8 x + 8 sabiendo que x = 2 
es una raíz doble.
a)
b)
c)
d)
e)
a) P = (x - 1)2  (x2 - 1)  (x3 - 1)  = 1
b) P = x8 - x6 + 6 x3  = 0
10) Determinar en cada caso la multiplicidad de  como raíz de P :
23
11) a) Sea P = 2 x3 - 11 x2 + 17 x - 6 ; hallar todas sus raíces sabiendo 
que el producto de dos de ellas es 1. 
b) Dado P(x) = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m  0, determinar m en 
los siguientes casos
i) las raíces son opuestas iii) las raíces son reales e iguales. 
ii) las raíces son recíprocas
c) Hallar las raíces de los siguientes polinomios reales
i) P(x) = 2 x3 - x2 - 18 x + 9 si 1 + 2 = 0
ii) P(x) = x3 + 2 x2 + 3 x + 2 si 1 = 2 + 3
24
Un polinomio es una expresión de la forma
01
2
2
2
2
1
1 axaxaxaxaxaP
n
n
n
n
n
n ++++++=
−
−
−
− ...............
una sucesión de sumas de términos conformados por un coeficiente ai
multiplicado por un factor xi
Podemos escribir 
=
=
n
i
i
i xaP
0
donde el coeficiente an se llama coeficiente principal
el mayor exponente de x (n), le da el grado al polinomio
Decimos entonces que el polinomio
0
2
2
2
2 axa...............xaxaP
n
n
n
n ++++=
−
−
es de grado n
Si an  0 y aunque alguno(s) –o todos- los 
coeficientes ai  an sean nulos
el polinomio es de grado n, pero incompleto
P = x3 – 3 x2 + 6 x -1
P = x4 – 3 x2 + 6 x -1
polinomio completo de grado 3
polinomio incompleto de grado 4
1 2 3
Faltan los términos 
de grado 1 y n-1 
25
La suma de polinomios, se efectúa operando solamente entre términos 
de igual grado
P = x4 – 3 x2 + 6 x –1 Q = x3 – 5 x2 - 2 x + 3
P + Q =
agrupamos los términos de igual grado de cada polinomio; 
x4 +
Y luego operamos los términos obtenidos
x3 + + +( - 3 x2 – 2 x2 ) ( 6 x – 2 x ) ( -1 + 3 )
P = x4 + x3 – 5 x2 + 4 x + 2
Para multiplicar dos polinomios, se usa la propiedad 
distributiva (aplicando la regla de los signos) y luego se 
resuelven cada uno de los términos que resulten
R · S = ( x4 – 3 x2 + 6 x ) · ( x3 - 2 x + 3 ) =
= x4 · x3 + x4 · (-2 x) + x4 · 3 + (-3x2) · x3 + (-3x2) · (-2x) 
+ ( -3 x2) · 3 + 6x · x3 + 6x · (-2x) + 6x · 3 =
R · S = x7 - 2x5 + 3x4 - 3x5 + 6x3 - 9x2 + 6x4 - 12x2 + 18x =
Luego sumamos los 
términos de igual grado
R · S = x7 - 5x5 + 9x4 + 6x3 - 21x2 + 18x
P + Q = ( x4 – 3 x2 + 6 x –1 ) + ( x3 – 5 x2 - 2 x + 3 ) 1 2 3
1 ) Si a) P = x2 – 2 y Q = - 3 x2 + 6
P  Q = ( x2 – 2 )  ( - 3 x2 + 6 ) = x2  (- 3 x2) + x2  6 + (– 2 )  (-3x2) + (-2)  6 = 
P  Q = -3 x4 + 6 x2 + 6 x2 - 12 = -3 x4 + 12 x2 - 12
3P + Q = 3  ( x2 – 2 ) + ( - 3 x2 + 6 ) = 3 x2 – 6 - 3 x2 + 6 = 0
P2 - Q = ( x2 – 2 )2 - ( - 3 x2 + 6 ) = 
grado 4
( x4 - 4x2 + 4 ) - ( - 3 x2 + 6 ) = 
= x4 - x2 - 2 grado 4
P  Q = ( x + 2 )  ( x2 + 4 x + 4 ) = x3 + 4 x2 + 4 x + 2 x2 + 8 x + 8 = x3 + 6 x2 + 12 x + 8
3P + Q = 3( x + 2 ) + ( x2 + 4 x + 4 ) = (3 x + 6) + (x2 + 4 x + 4) = x2 + 7 x + 10
P2 - Q = ( x + 2 )2 - ( x2 + 4 x + 4 ) =( x2 + 4 x + 4 ) - ( x2 + 4 x + 4 ) = 
= x2 + 4 x + 4 - x2 - 4 x - 4 = 0 grado 0
grado 3
grado 2
b) P = x + 2 Q = x2 + 4 x +4
27
2) Si el grado de P es 4 y el grado de Q es 3 ; ¿qué puede 
decirse del grado de los siguientes polinomios ?
d) P3 + Q4
a) P · Q
El grado de un producto de polinomios siempre va a 
estar dado por la suma de los grados de los polinomios
Si P es gr(4) y Q es gr(3) P · Q es gr (7)
b) P3 La potencia de un polinomio será otro polinomio cuyo grado es el 
grado del polinomio base multiplicado por el exponente
Si P es gr(4) P3 es gr (4 · 3) = 12
c) P + Q El grado de la suma de dos polinomios será igual al grado del polinomio de 
mayor grado ó eventualmente menos (si los términos de mayor grado se 
anulan entre sí)
Si P es gr(4) y Q es gr(3) P + Q es gr (4) ó menor
Si P es gr(4) P3 es gr(12) y si Q es gr(3) Q4 es gr(12)
P3 + Q4 es gr (12) ó menor
28
3 a) si P = a  x3 - a  x + 2 para hallar a tal que P(2) = - 1
debemos especializar el polinomio por x = 2
Esto es colocar el valor 2 en cada uno de los 
lugares que ocupa x en el polinomio
P = a  x3 - a  x + 2 = a  23 - a  2 + 2 
a  8 - a  2 + 2 = 8 a – 2 a + 2 = 6 a + 2 
e igualamos a - 1
= - 1 resolvemos despejando a
= - 1
6 a = - 1 - 2 6 a = - 3 a = - 1/2
b) P = x2 + 2  x + a es tal que 0 es una de sus raíces
Las raíces de un polinomio 
son los valores de x que 
hacen el polinomio igual a 0
P = x2 + 2  x + a = 02 +2  0 + a = 0 Entonces cuando x = 0 ; P = 0
a = 0
3 c
29
c) Si P = a  x2 - a  x + 6 satisface que P(-1) = 6 y gr(P) = 2
Para x = - 1 
P = a  x2 - a  x + 6 = a  (-1)2 - a  (-1) + 6 = a  12 + a  1 + 6 =
2 a + 6 = 6 pero . . . 2 a = 6 - 6 a = 0entonces
Si a = 0 P = 0  x2 - 0  x + 6 = 6 y resulta que P no es de grado 2; en consecuencia 
no existe el valor de a buscado
30
Algoritmo del cociente de polinomios
5432 2341 −+−+= xxxxPPara dividir un polinomio 
por un polinomio 1222 +−= xxP
planteamos el esquema de la división 
entre números enteros
5432 234 −+−+ xxxx 12
2 +− xx
buscamos un valor que 
multiplicado por el 
coeficiente principal de P2
2
resulte igual en valor absoluto al an
de P1 y ése es el coeficiente 
principal del polinomio cociente
2  1 = 2
y le agregamos como factor x 
elevado a un valor tal, que 
multiplicado por el grado de P2
resulte del mismo grado que P1
x2
Multiplicamos el monomio así formado por cada 
término de P2 y los resultados encolumnamos 
debajo de P1 con los términos de igual grado
234 242 xxx
Luego viene la colocación del signo, operamos en cada 
caso respetando la regla de los signos, y luego para 
restar cambiamos el signo que resulta buscando que al 
operar el primer término se anule
- -+ +
+
+  + = + para restar coloco -
+
-
+  - = - para restar coloco +
+
+
+  + = + para restar coloco -
4 5
31
Ahora sumamos
5432 234 −+−+ xxxx 12
2 +− xx
2 x2
234 242 xxx- + -
23 37 xx −
Bajamos el término de mayor 
grado de P1 que todavía no se 
operó, con su signo
x4+
Y empezamos de nuevo el 
procedimiento 7 x
xxx 7147 23 +
+
- -
xx 311 2 − 5−
11+
112211 2 xx- -+
1619 −x
Resultado :
1172 2 ++= xxC
resto 1619 −= xR
De manera que: C  P2 + R = P1
32
4) Para dividir axxP −+= 23 72 22 2 += xQpor
Hacemos el esquema del cociente entre polinomios
Examinamos P y Q, y hallamos que ambos son polinomios incompletos 
entonces los completamos con términos de coeficientes nulos
axxxP −++= 072 23 202 2 ++= xxQ
202 2 ++ xxaxxx −++ 072 23
y operamos 
x
xxx 202 23
colocamos los signos de 
manera que al cambiar para 
restar, el primer término del 
resultado se anule
- - -
sumamos . . .
xx 27 2 −
bajamos a con su signo
a−
Y empezamos a operar 
nuevamente
2
7
707 2 xx
+
- - -
72 −−− ax
2
7
+= xC
72 −−−= axR
+
33
4) Para dividir 1
4
1 4 += xP 2−= xQpor
Hacemos el esquema del cociente entre polinomios
Examinamos P y Q, y hallamos que P es un polinomio incompleto 
entonces lo completamos con términos de coeficientes nulos
1000
4
1 234 ++++= xxxxP 2−= xQ
2−x1000
4
1 234 ++++ xxxx
y operamos 
3
4
1
x34
2
1
4
1
xx
colocamos los 
signos de manera 
que al cambiar para 
restar, el primer 
término del 
resultado se anule
- +
sumamos . . .
3
2
1
x+
bajamos 0x2 con su signo
20x+
Y empezamos a 
operar nuevamente
2
2
1
x
23
2
1
xx
+
- -
2x−
2
2
1
4
1 23 −−+= xxxC
3−=R
+
x0+
x
xx 22
-
+ -
1+x2−
otra vez . . .
2-
42x+ -
- 3
34
352 23 +++= xkxxP
32 +−= xxQsea divisible por por
Hacemos el esquema del cociente entre polinomios
buscaremos el cociente P / Q, y al resto lo igualamoa a cero. 
Entonces podremos decir que P es divisible por Q
32 +− xx352 23 +++ xkxx
y operamos 
x2xxx 622
23
- + -
xx)k( −+ 22
bajamos 3
3+ Y empezamos a operar 
nuevamente
)k( 2+
)k(x)k(x)k( 2322 2 +++
+
- + -
)k(x)k( 331 +−+
+
5) para determinar k tal que
Para que P sea divisible por Q, el resto debe ser 0
0331 =+−+ )k(x)k( 0131 =+−+ )k(x)k(
Ambos términos deben ser 0; y esto se logra con
01 =+ )k( 1−=k
35
es divisible por (x + 4) ; entoncesbxaxxP +−+= 234
4
1
6)
Si P es divisible por (x+4); -4 es raíz del polinomio; luego si 
especializo el polinomio por –4, tendrá resultado 0
04
4
1
44 234 =+−−−+−= b)()(a)(P 0464256 =+−− baentonces
Si al dividir por (x-2) se obtiene resto -18 182
4
1
22 234 −=+−+= baP
181816 −=+−+= baP entonces 181816 −=+−+ ba
Con los resultados obtenidos componemos un sistema de dos ecuaciones 
con dos incógnitas
0464256 =+−− ba Se puede escribir 25264 −=+− ba
181816 −=+−+ ba Se puede escribir 181816 −=+−+ ba
El sistema será:




−=+
−=+−
338
25264
ba
ba
36
En el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, 
Verificamos que las ecuaciones estén 
ordenadas, de manera que las incógnitas 
queden encolumnadas y los términos 
independientes en el 2º miembro
Y resolvemos por cualquiera de los métodos conocidos (determinantes, sustitución, etc.)
7218164
18
164
−=−−=
−
=
2191331252
133
1252
−=−−−=
−
−
= )(a
412825283364
338
25264
=−−−−=
−
−−
= )()()(
b

==

aa
==


bb




−=+
−=+−
338
25264
ba
ba
24
73
=a
3
172
−=b
24
73
72
219
=
−
−
3
172
18
1032
72
4128
−=
−
=
−
El polinomio es:
bxxxP +−+= 234
3
172
24
73
37
7) P = a x2 + b x + c tiene a 1 y a 0 como raíces
Si 1 y 0 son raíces del polinomio; si especializo el polinomio por 
1 y 0 respectivamente, tendrán resultado 0
0002 =++= cbaP entonces 000 =++ c 0=c
0112 =++= cbaP entonces 00 =++=++ bacba ba −=
Se verifica la condición siempre que c= 0 y a=b pero tienen signos diferentes
b) Si P = x2 - b x + a y Q = a x3 – b para hallar valores de a y b 
que tengan a 2 como raíz común
0222 =+−= abP 023 =−= baQ
Conformamos el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas




=−
−=−
08
42
ba
ba
38
Y resolvemos el sistema aplicando sustitución




=−
−=−
08
42
ba
ba
si 08 =−ba ba =8
Sustituimos este resultado en la primera ecuación y tenemos
482 −=− )a(a 416 −=− aa 415 −=− a entonces
15
4
=a
Ahora que conocemos el valor de a, podemos buscar el valor de b, haciendo:
ba =8 b)( =
15
4
8
15
32
=b
Los polinomios buscados resultan ser:
15
4
15
322 +−= xxP
15
32
15
4 3 −= xQ
39
Regla de Ruffini
Al dividir un polinomio
01
2
2
2
2
1
1 axaxaxaxaxaP
n
n
n
n
n
n ++++++=
−
−
−
− ...............
por un polinomio Q de grado 1 de la forma x -  −= xQ
El resultado será un 
polinomio C de grado n – 1
01
2
2
2
2
1
1 cxcxcxcxcC
n
n
n
n +++++=
−
−
−
− ...............
Aplicamos la siguiente regla : Se trazan dos rectas
se escriben los coeficientes del polinomio P en orden de grado decreciente
an an-1 an-2 a2 a1 a0. . . . . . . 
Se ubica convenientemente el valor 

y se procede con el siguiente algoritmo
Bajamos el coeficiente principal an como cn-1
cn-1
multiplicamos cn-1 x  y colocamos debajo de an-1
cn-1
Sumamos an-1+ cn-1
cn-2
y multiplicamos ese resultado cn-2 x  y colocamos debajo de an-2
cn-2
cn-3
c2 c1 c0
c1 c0 r
Y repetimos sucesivamente el procedimiento hasta terminar de operar los coeficientes
8a
9
8b
8c
10
8e
40
En el esquema
a2 a1 a0. . . . . . . 

cn-1
cn-1
cn-2
cn-2
cn-3
c2 c1 c0
c1 c0 r
an an-1 an-2
Los ci son los coeficientes del polinomio cociente
01
2
2
2
2
1
1 cxcxcxcxcC
n
n
n
n +++++=
−
−
−
− ...............
Y r es el resto que resulta de dividir P / Q
P
r
Q
C
Observe que si P es divisible por Q, r = 0
y también que si r = 0 ;  es raíz del polinomio
. . . . . . . 
. . . . . . . 8a
9
8b 8c
108e
41
Teorema de Gauss
01
2
2
2
2
1
1 axaxaxaxaxaP
n
n
n
n
n
n ++++++=
−
−
−
− ...............
Sea
Si P admite raíces racionales, éstas raíces serán de la forma 
q
p
donde p es divisor de a0
Si P = x3 - 2x2 – x + 2 a0 = 2 y an = 1 p: divisores de 2 son  2 ;  1
q: divisores de 1 son  1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
1
2
−=
−
=−=
−
==
q
p
posibles raíces son:  2 ;  1
Es claro que los valores p/q hallados no son 
necesariamente las raíces, sino que pueden ser raíces, 
porque, si el polinomio admite raíces racionales, 
entonces esas raíces son de la forma p/q pero . . .
No todos los p/q tienen que 
ser necesariamente raíces 
del polinomio P
Si las raíces no son racionales; son irracionales 
o complejas, en ese caso no estarán entre los 
valores hallados de la forma p/q
y q es divisor de an
98a
8b
8c
42
Para comprobar cuales son raíces y cuales no, una alternativa es 
especializar en el Polinomio cada uno de los valores de p /q que 
son posibles raíces. 
y las posibles raíces son:  2 ;  1Si P = x3 - 2x2 – x + 2
Para x = 2 P = 23 – 2  22 – 2 + 2 = 8 – 8 – 2 + 2 = 0 x = 2 es raíz
Para x = -2 P = (-2)3 – 2  (-2)2 – (-2) + 2 = - 8 – 8 + 2 + 2 = -12 x = - 2 no es raíz
Para x = -1 P = (-1)3 – 2  (-1)2 – (-1) + 2 = - 1 – 2 + 1 + 2 = 0 x = -1 es raíz
Para x = 1 P = 13 – 2  12 – 1 + 2 = 1 – 2 – 1 + 2 = 0 x = 1 es raíz
P es polinomio es de grado 3 y tiene entonces tres raíces; por ser las tres 
raíces racionales, pudieron ser encontradas mediante el Teorema de Gauss
Observe también que la aplicación del Teorema de Gauss nos proporcionó una 
“posible raíz” de la forma p/q; x = -2 que resultó no ser raíz de P
Porque el teorema de Gauss proporciona todas las raíces 
racionales, pero no todas las expresiones p/q tienen 
necesariamente que ser raíces del polinomio
9
8a
8b
8c
43
Descomposición de un polinomio en un 
producto de factores binomiales
01
2
2
2
2
1
1 axaxaxaxaxaP
n
n
n
n
n
n ++++++=
−
−
−
− ...............
Sea
Cuyas raíces son 1; 2; 3; . . . . . n-1; n El polinomio P puede escribirse
)x()x(...)x()x()x(aP nnn  −−−−−= −1321
Observe que si x toma el valor de cualquiera de las raíces i
Habrá al menos un factor que será (x - i) = (i - i ) = 0 Haciendo P = 0
Puede suceder que un valor i sea r veces raíz de un polinomio
entonces tenemos una raíz múltiple; y suponiendo que 1 es dos veces 
raíz del polinomio y 2 es tres veces raíz del polinomio y las restantes 
raíces son simples, el polinomio factoreado será . . . 
)x()x(...)x()x()x(aP jjn  −−−−−= −13
3
2
2
1
9
8a
8b
8c 8d
8e
44
8 a) Para hallar las raíces de 
122 23 −+−= xxxP
Aplicamos el Teorema de Gauss e identificamos an = 2 y a0 = -1
Los divisores de a0 son p =  1 Los divisores de an son p =  1;  2
Las posibles raíces son de la forma 
2
1
2
1
11 −+−+= ;;;
q
p
Podríamos especializar el polinomio con cada uno de estos valores, pero estaríamos
solamente comprobando si esos valores son o no raíces del polinomio; en cambio si
aplicamos la Regla de Ruffini, al verificar una raíz, hallamos también un polinomio
de grado inferior que es submúltiplo de P y en consecuencia sus raíces son raíces
de P; de manera que si las raíces no fueran todas racionales, vamos situándonos en
mejores condiciones para resolver el polinomio, aplicamos entonces Ruffini.
El “sentido” de aplicar Ruffini es que si  es raíz del polinomio P, entonces P es
divisible por (x - ). Detectamos si  es raíz del polinomio P y al mismo tiempo
obtenemos los coeficientes de un polinomio de grado inferior, cuyas raíces son los
mismos valores de raíces que nos restan encontrar aún
Ruffini Gauss
8 e8 d8 c8 b 45
122 23 −+−= xxxP
-1
1
2
2
1 3
31
2
2 -1 2
2
1
2
1
11 −+−+= ;;;
q
p
 0
1 No es raíz del polinomio
-1
-1
2
-2
-3 5
-53
-6
2 -1 2
 0 -1 No es raíz del polinomio
-1
2
1
0 2
10
0
2 -1 2
→ 1/2 ES raíz del polinomio
2
1
Ruffini Gauss
8 e8 d8 c8 b 46
2
-1
-1
2 0 2
2
1
−
 0
No es raíz del polinomio
2
1
−
Hemos encontrado que 1/2 es raíz del polinomio, entonces 
es posible escribir 
122 23 −+−= xxxP como )x)(x(P 222
1 2
+−=
Buscamos ahora raíces para 
el polinomio múltiplo de 
menor grado
2
1
2
5
De (2x2 + 2) = 0 despejamos x →=− 022 2x 22 2 −=x ix =−= 1
Entonces: 122 23 −+−= xxxP )ix)(ix)(x( +−−=
2
1
2
Las raíces son 1 = 1/2 ; 2 = i ; 3 = -i
Observe que se cumple que: si P tiene 
raíces racionales, éstas son de la 
forma p/q; en este caso existe una 
raíz racional y dos raíces complejas 
asimismo se verifica que: si un número complejo 
es raíz de un polinomio, su conjugado también es 
raíz del mismo polinomio.
Ruffini Gauss
Factoreo
Como ejercicio te propongo que 
verifiques los resultados obtenidos
8 e8 d8 c8 b
47
8 b) Para encontrar las raíces de 3
2
11
3
2
1 23 −+−= xxxP
Multiplicamos previamente todo el polinomio por 2, para eliminar los 
coeficientes con forma de fracción y hallamos un polinomio equivalente
6116 23 −+−= xxxP Que este polinomio es equivalente al polinomio dado, 
significa que sus raíces son las mismas
an = 1 y a0 = -6
p =  1;  2;  3;  6 y q =  1 6321 = ;;;q
p
-6
1
1
-5 6
6-5
0
1 -6 11
1
entonces
6116 23 −+−= xxxP )xx)(x( 651 22 +−−=
Buscamos ahora las raíces de )xx( 65 22 +−
Para aplicar el Teorema de Gauss
Aplicando la Regla de Ruffini
Ruffini Gauss
Factoreo
8 e8 d8 c 48
Aplicando la fórmula de la ecuación de segundo 
grado encontramos las raíces de 
065 22 =+− xx
=

=

−−
2
15
12
61455 2)(
x2 = 3
x3 = 2
Las raíces de 
Son x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3
6116 23 −+−= xxxP
)x)(x)(x(P 321 −−−= Pero recordemos que este es un polinomio equivalente 
del que realmente nos interesa, y que hemos 
comenzado multiplicando por 2 para trabajar “con 
mas comodidad”; de manera que lo recomponemos 
dividiendo todo el polinomio factoreado por 2
)x)(x)(x(P 321
2
1
−−−=
Comprobamos que las raíces obtenidas son racionales (enteros) y están incluidas 
entre las posibles raíces de la forma p/q 
FactoreoGauss
8 e8 d8 c 49
8 c) Al polinomio xxxxP 44 234 −−+= Le falta el término 
independiente
Podemos comenzar sacando factor común x )xxx(xP 4423 −−+=
Encontramos que la primera raíz x1 = 0 (si x = 0 al ser x un factor, 
se anula toda la expresión)
Buscamos entonces las restantes raíces en 4423 −−+ xxx
an = 1 y a0 = -4
p =  1;  2;  4 y q =  1
421 = ;;
q
p
donde
-4
1
1
2 -2
-22
1 1 -4
1
-6 0
1 No es raíz
-4
1
-1
0 -4
40
1 1 -4
-1
0
-1 ES es raíz; x2 = -1
p son divisores de a0
q son divisores de an
Ruffini Gauss
Factoreo
8 e8 d 50
despejamos 042 =−x 4=x
el polinomio P se puede factorear (transformarlo en un 
producto de factores binomiales)
)xxx(xP 4423 −−+=
)x)(x(xP 41 2 −+=
)x)(x)(x(x 221 +−+=
42 =x
Factoreo
Buscamos ahora las raíces de 42 −x
entonces )x)(x(x 41 2 −+=)xxx(xP 4423 −−+=
x3 = 2 y x4 = -2
Con x1 = 0 y x2 = -1 hallados
8 e8 d 51
12
4
71433 2

−−−
=ix
2
1
1 =x
ix
2
7
2
7
3 =−=
2
793 +−
=
2
43 −
=
2
1
2 −=x
ix
2
7
2
7
4 −=−−=
4
7
3 24 −+= xxP
Puede factorearse como






+





−





+





−= ixixxxP
2
7
2
7
2
1
2
1
a = 1; b = 3; c= -7/4
Factoreo
Es posible aplicar la fórmula para la ecuación 
bicuadrática, que no es otra cosa que: a la 
fórmula de la ecuación de segundo grado
a
acbb
x
2
42
21
−−
=−
Aplicarle nuevamente raíz 
cuadrada, y así
a
acbb
x
2
42
4321
−−
=
−−−
4
7
3 24 −+= xxP8 d) Si Polinomio de grado cuatro con los 
términos de grado 3 y 1 nulos
8 e 52
-5
i
1
i
-5 + i 6 - 5i
5 + 6i-1 - 5i
6i
1 -5 7 6
-6
0
-i
-5 6 01
-i 5i -6i )xx)(ix)(ix(P 652 +−+−=
12
61455 2
32

−−
=−
)(
x 2
15
2
24255
32

=
−
=−x
33 =x
24 =x
Finalmente
)x)(x)(ix)(ix(P 23 −−+−=
]ix)i(x)i(x)[ix(P 6565 23 +−++−+−=
Ruffini Factoreo
6575 234 +−+−= xxxxP8 e) Si
Sabiendo por la consigna que 
i es raíz del polinomio
Entonces –i también es raíz del polinomio; aplicaremos Ruffini 
para esas dos raíces conocidas y el polinomio de grado 4 
quedará reducido a un polinomio de grado 2
53
Factorear un polinomio es transformar la expresión
01
2
2
2
2
1
1 axaxaxaxaxaP
n
n
n
n
n
n ++++++=
−
−
−
− ...............
En otra de tipo
)x)(x.....().........x)(x(aP nnn  −−−−= −121
Donde los i son las raíces del polinomio con 1  i  n
Puede suceder que 1 = 2 = 3 entonces diremos que ese valor de 1 es tres
veces raíz del polinomio ó lo que es lo mismo 1 es raíz triple de P
En un polinomio de grado 8 (que tiene n raíces) pueden haber, por ejemplo
2 raíces dobles, una triple y una simple, en ese caso será
)x()x()x()x(aP n 4
3
3
2
2
2
1  −−−−=1 es raíz doble 3 es raíz triple
2 es raíz doble 4 es raíz simple
Raíces múltiples
9 10
54
9) Para factorear el polinomio x4 - 4 x3 + 6 x2 - 8 x + 8 sabiendo que 
x = 2 es una raíz doble.
Buscamos las restantes raíces aplicando Ruffini
-8
2
1
2
-2 2
4-4 
-4
1 -4 6 8
-8
0
2
0 2 01
2 0 4
Por ser x = 2 raíz doble, volvemos a 
aplicar Ruffini para x = 2
Ahora despejamos x de la 
expresión resultante
022 =+x 2−=x
ix 23 =
ix 24 −=Conocidas todas las raíces, factoreamos el polinomio
)ix)(ix)(x)(x(P 2222 +−−−= Que también se puede 
escribir
)x()x(P 22 22 +−=
)xxx)(x(P 4222 23 −+−−=
)x)(x)(x(P 222 2 +−−=
Ruffini Factoreo
55
10 a) determinar la multiplicidad de  = 1 en P = (x - 1)2  (x2 - 1)  (x3 - 1)
P es un polinomio de grado 7 porque (x - 1)2 y (x2 - 1) son de grado 2 ; 
y (x3 - 1) es de grado 3; entonces P es de grado 7
Significa que P tiene 7 raíces, que pueden repetirse varias veces; o ser todas 
iguales ó ser todas diferentes, etc.
Analizamos por separado cada factor (x - 1)2 = (x - 1) (x - 1)
Acá x = 1 es dos veces 
raíz del polinomio
(x2 - 1) = (x – 1 ) (x + 1)
acá x = 1 es una vez más raíz del polinomio
En x3 – 1 -1
1
1
1 1
11
0
1 0 0
1
Resolviendo x2 + x + 1 = 0 se 
obtienen las restantes raíces
1 es nuevamente una vez 
mas raíz del polinomio
también x = -1 es raíz del polinomio
Ruffini Factoreo
10 b 56












−−−











+−−−+−−= ixix)x()x()x()x(P
2
3
2
1
2
3
2
1
1111 2
 = 1 es cuatro veces raíz de P; el 
orden de multiplicidad de =1 es 4
Resolviendo P = x2 + x + 1 = 0 con la fórmula de la 
ecuación de segundo grado
Para a x2 + b x + c = 0
a
cabb
x

−−
=
− 2
42
21
Resolvemos con a = 1; b= 1; c=1
=

−−
=
12
11411 2
=
−−
2
31
2
31 i−
=
ix
2
3
2
1
1 +−=
ix
2
3
2
1
2 −−=
P = (x - 1)2  (x2 - 1)  (x3 - 1) es












−−−











+−−−+−−−= ixix)x()x()x()x()x(P
2
3
2
1
2
3
2
1
11111
Diferencia de cuadrados
Factoreo
10 b 57
Factoreamos P y obtenemos
Con seguridad el factor 
Podemos afirmar entonces que el orden 
de multiplicidad de la raíz  = 0 en
10 b) Para determinar la multiplicidad de  = 0 en
Es k = 3
368 6xxxP +−=
)xx(xP 6353 +−=
635 +− xx No tiene raíz 0=
)xx(xP 6353 +−=
Factoreo
58
Relaciones entre Raíces y Coeficientes
Dado un polinomio
01
2
2
2
2
1
1 axaxaxaxaxaP
n
n
n
n
n
n ++++++=
−
−
−
− ...............
Con raíces 1; 2; 3; . . . . n-1; n
Es posible establecer 
relaciones entre las raíces 
i y los coeficientes ai de P1 + 2 + 3 + n-1 + n = 
1  2 + 1  3 + . . . . + n-1  n =
n
n
a
a 1−−
n
n
a
a 2−
1  2  3 + . . . . + n-2  n-1  n =
n
n
a
a 3−−
1  2  3      n-2  n-1  n =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n
n
a
a
)( 01−
La suma de las raíces es igual al 
segundo coeficiente cambiado de signo, 
dividido por el coeficiente principal
La suma de los productos binarios de las 
raíces es igual al tercer coeficiente, 
dividido por el coeficiente principal
Análogas reglas valen para las sumas de los productos ternarios,
cuaternarios, etc, con signos – ó + alternativamente
El producto de las n raíces es igual al término independiente dividido por
el coeficiente principal, con signo + ó -, según que n sea par o impar,
respectivamente
11a 11b 11c
59
11) a) Sea P = 2 x3 - 11 x2 + 17 x - 6 ; hallar todas sus raíces 
sabiendo que el producto de dos de ellas es 1.
Por ser P de grado 3, sabemos que P tiene 3 raíces
Por relaciones entre raíces y 
coeficientes 
1  2  3 = 





−−
2
6
1 3)(
1  2  3      n-2  n-1  n =
n
n
a
a
)( 01−
331 =−−= ))((
3
1  2  3 = 3
1  2 = 1 1  3 = 3 3 = 3
-6
2
6
-5 2
6-15
0
2 -11 17
3
pero entonces
ahora resolvemos 
la ecuación
0252 2 =+− xx
22
22455 2
21

−
=−x 4
35
4
95 
=

=
x1 = 2
x2 = 1/2Factoreando )x)(x)(x(P 2
1232 −−−=
Aplicamos Ruffini con la raíz conocida
Te propongo la verificación de los resultados, 
que consiste en efectuar el producto de los 
factores binomiales y obtener el polinomio P 11 c11 b 60
11 b i) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m  0, determinar m 
para que las raíces de P sean opuestas
Si las raíces de P deben ser opuestas 1 = - 2
Aplicando relaciones entre raíces y coeficientes 1 + 2 =
n
n
a
a 1−−
en nuestro 
caso
1 + 2 =
m
)m(
8
17 −
− pero por otro lado, 
sabemos que 1 + 2 = - 2 + 2 = 0
Entonces podemos 
escribir 1 + 2 = 08
17
=
−
−
m
)m(
entonces m  0 
y 017 =−− )m( 077 =+− m 77 =m 1=m
Verificamos para m = 1 11178 2 +−+= x)(xP 18 2 += xP
Igualando el polinomio a 0 y despejando x tengo las raíces
018 2 =+x
8
1
−=x
ix
8
1
1 =
ix
8
1
2 −= 11 c 61
11 b ii) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m  0, determinar m 
para que las raíces de P sean recíprocas
Si las raíces de P deben recíprocas
Aplicando relaciones entre raíces y coeficientes 1  2 =
na
a0
en nuestro 
caso
1  2 = m8
1 pero por otro lado, 
sabemos que 1  2 =
Entonces podemos 
escribir
1  2 = con m  0 
y 18 =m
2
1
1

 =
m8
11
2
2
= 

=
2
2


1
m8
1
=
8
1
=m Verificamos para
11
8
1
7
8
1
8 2 +−+= x)(xP 1
8
492
+−= xxP Igualando el 
polinomio P a 0 y 
aplicando la fórmula 
que resuelve la 
ecuación de 2º grado
8
1
=m
12
114
8
49
8
49
2
21

−





−
=
−
x
9651 ,x 
1702 ,x 
11 c
62
P tiene dos raíces (grado 2) y si las raíces son iguales 1 = 2
En la fórmula que resuelve la ecuación de 2º grado
a
cabb
2
42 −−
042 =− cab Para que al quedar como soluciones solamente 
a
b
2
−
sean 1 = 2
ma 8= )m(b 17 −= 1=c
042 =− cab 018417 2 =−− )m()]m([ 032149 2 =−− m)m(
0321249 2 =−+− m)mm( 032499849 2 =−+− mmm 04913049 2 =+− mm
Resuelvo ahora la ecuación de 2º grado
=

−−
492
49494130130 2)(
11 b iii) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m  0, determinar m 
para que las raíces de P sean reales e iguales
hacemos
=

98
7296130
98
216130
1
+
=m
98
216130
2
−
=m
11 c 63
11 c i) Para hallar las raíces de P = 2 x3 - x2 - 18 x + 9 
sabiendo que 1 + 2 = 0
Planteamos 
2
1
2
1
321 =
−
−=++  Pero si 1 + 2 = 0
2
1
0 3 =+  entonces 2
1
3 =
9
2
1
0 -18
-90
0
2 -1 -18
2
1
Buscamos las restantes raíces
0182 2 =−x 9
2
182 ==x
Entonces 1 = 3 y 2 = - 3Factoreando






−+−=+−−=
2
1
3329182 23 x)x)(x(xxxP
Aplicamos Ruffini 
Podemos escribir
)x)(x(xxxP 182
2
1
9182 223 −−=+−−=
Recuerde que se trata de un polinomio no mónico (an  0 ) 
El polinomio factoreado tiene como factor el coeficiente 
principal 64
11 c) ii) Para hallar las raíces de P = x3 + 2 x2 + 3 x + 2 
sabiendo que 1 = 2 + 3
Planteamos 2
1
2
321 −=−=++  Pero si 1 = 2 + 3
211 −=+  entonces 22 1 −=
2
1
-1
1 2
-2-1
0
1 2 3
Buscamos las restantes raíces
022 =++ xx
Factoreando












−−+











+−−+= ixix)x(P
2
7
2
1
2
7
2
1
1
luego 11 −=
-1
=

−−
12
21411 2
=
−−
2
811
La raíz cuadrada de un número negativo es un número imaginario, que lo resolvemos 
calculando la raíz cuadrada del valor absoluto y agregamos el imaginario i
i
2
7
2
1
2 +−=
i
2
7
2
1
3 −−=
Aplicamos 
Ruffini
65