Manual de Matemática Preuniversitaria-páginas-174

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Capı́tulo 5. Funciones
dos puntos (representados en color verde), y que si trazamos una recta por de-
bajo de −4, esta no corta a la gráfica. De todo esto, y suponiendo que la gráfica
continúa de igual modo hacia arriba, podemos concluir que
Img(f) = [−4,∞). E
En el ejemplo anterior, los puntos representados en color rojo reciben un
nombre especial. Se dice que un valor x∗ perteneciente al dominio de una fun-
ción f es raı́z de f si
f(x∗) = 0.
Es decir, se llama raı́z de una función f a todo valor del dominio tal que, si le
aplicamos f , obtenemos el valor cero como resultado. Gráficamente, esto signi-
fica que el punto (x∗,0) pertenece al gráfico de f , o equivalentemente, la gráfica
de f “corta” al eje horizontal en dicho valor. Las raı́ces de una función también
se conocen como ceros de dicha función, pues son las soluciones de la ecuación
f(x) = 0.
� Entonces, en el último ejemplo los ceros o las raı́ces de f son x = 2 y x = −2.
Ejemplo 149. Determinando raı́ces analı́ticamente. Hallar las raı́ces de la
función f(x) = x3 + 4x2 + x − 6.
Solución: Observar primero que al ser una función polinómica, el dominio de f
es R. Para hallar las raı́ces debemos resolver la ecuación
x3 + 4x2 + x − 6 = 0.
Como vimos en el capı́tulo anterior, la forma de resolver este tipo de ecuaciones
es factorizando el polinomio del miembro izquierdo, para aplicar luego la pro-
piedad de producto cero. Para factorizar, notar que f(1) = 0, por lo que x − 1 es
divisor del polinomio (por el teorema del resto). Aplicamos entonces la regla de
Ruffini para dividir
1 4 1 − 6
1 1 5 6
1 5 6 0
Entonces
x3 + 4x2 + x − 6 = (x − 1)(x2 + 5x + 6).
Aplicando la resolvente para x2 + 5x + 6, obtenemos x1 = −2 y x2 = −3. Ası́,
x3 + 4x2 + x − 6 = (x − 1)(x + 2)(x + 3),
por lo que el conjunto de raı́ces de f es {1, −2, −3}. E
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