Manual de Matemática Preuniversitaria-páginas-196

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Capı́tulo 5. Funciones
? Ya que dos puntos dados determinan una única recta que pasa por ellos, nos
preguntamos ahora si es posible determinar la ecuación de dicha recta a partir de
las coordenadas de los puntos. La respuesta es sı́, y lo haremos primero mediante
un ejemplo, para luego enunciar la fórmula general.
Ejemplo 164. Recta por dos puntos dados. Determinar la ecuación de la recta
que pasa por los puntos P = (2,3) y Q = (−1,−3).
Solución: Sabemos que la ecuación de la recta tiene la forma y = ax+b. Debemos
determinar a y b de manera que tanto P como Q satisfagan la ecuación de la
recta. Es decir,
{
a ⋅ 2 + b = 3,
a ⋅ (−1) + b = −3.
Este es un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas a y b, el cual se resuelve
por sustitución o por igualación como se estudió en la Sección 4.4. Por ejemplo,
despejando b en ambas ecuaciones tenemos
b = 3 − 2a y b = −3 + a.
Igualando estas dos cantidades se obtiene
3 − 2a = −3 + a,
de lo que se concluye fácilmente 3a = 6, o equivalentemente a = 2. Entonces
b = 3 − 2a = 3 − 4 = −1. Por lo tanto la ecuación de la recta buscada es
y = 2x − 1,
cuya gráfica se encuentra a continuación:
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
4
P
Q
x
y
E
186
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