Manual de Matemática Preuniversitaria-páginas-226

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Capı́tulo 5. Funciones
Como vimos en los ejemplos, para problemas con dos incógnitas x e y, la
región factible puede ser acotada, no acotada o vacı́a. Si no es vacı́a, dentro de
esas posibles soluciones debemos buscar la que optimice la función objetivo. Por
ejemplo, si nuestra función objetivo es la ganancia de una empresa, buscaremos
maximizarla, pero si se trata de los gastos de la empresa, debemos minimizarla.
Eso es lo que se conoce como “optimizar” la función objetivo. A la solución
que optimiza la función objetivo se la conoce como solución óptima para el
problema, y en caso de existir puede no ser única (se dice que hay soluciones
alternativas). El valor óptimo es el valor que toma la función objetivo en la
solución óptima. Consideraremos aquı́ solamente problemas con valor óptimo
finito y con solución óptima única.
La propiedad fundamental que posee la solución óptima para este tipo de
problemas, es que se encontrará en uno de los vértices del polı́gono que delimita
la región factible. Por lo tanto, una vez graficada esta región (que queda determi-
nada por las restricciones del problema), solamente hay que evaluar la función
objetivo en sus vértices y elegir el valor que más nos conviene.
La cantidad ax + by + c se denota por f(x, y), para indicar que son x e y
los que pueden variar (dentro de los valores posibles o factibles), produciendo
diferentes resultados para dicha cantidad*. Por este motivo recibe el nombre de
función objetivo.
L Resumiendo, los pasos para optimizar una función objetivo de la forma
f(x, y) = ax + by + c, sujeta a ciertas restricciones para las variables x e y, son
los siguientes:
1 Plantear el sistema de inecuaciones lineales dado por las restricciones.
2 Resolverlo gráficamente (región factible).
3 Determinar los vértices de la región factible. Los mismos pueden calcular-
se hallando las intersecciones entre las rectas que definen las restricciones.
4 Evaluar la función objetivo f en dichos vértices, y elegir el punto que dé
como resultado el valor más conveniente.
Ejemplo 184. Maximizando la ganancia. Una empresa produce dos tipos de ar-
tı́culos: lápices y biromes, y tiene una capacidad de producción diaria de 6000
ar-tı́culos en total. Las condiciones de funcionamiento de las máquinas obligan
a que la cantidad de lápices producidos al dı́a debe ser al menos la quinta parte
de la cantidad de biromes, y como máximo, el triple de la misma. La ganancia
de la empresa es de $2 por cada lápiz y $3 por cada birome vendida. Suponiendo
que se vende todo lo que se produce al dı́a, determinar la cantidad de lápices y
biromes que conviene producir diariamente para obtener una ganancia máxima,
y determinar el importe de la misma.
*Una regla que asigna a cada par de números reales (x, y) un y sólo un número real z se conoce
como función de dos variables.
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