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5.4. Sistemas de inecuaciones lineales Solución: Denotemos con x a la cantidad de lápices fabricados por dı́a, y con y a la cantidad de biromes. Entonces la función que debemos maximizar (ganancia), está dada en pesos por Función objetivo: f(x, y) = 2x + 3y. Las restricciones sobre la producción son las siguientes: la producción total (es decir, la cantidad de lápices más la de biromes) no puede exceder los 6000 artı́cu- los (x + y ≤ 6000); la cantidad de lápices debe ser al menos la quinta parte de la cantidad de biromes (x ≥ 1 5 y), y puede ser a lo sumo el triple de la misma (x ≤ 3y). Esto produce el siguiente sistema: Restricciones ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ x + y ≤ 6000 x ≥ 1 5 y x ≤ 3y x ≥ 0 y ≥ 0, donde las dos últimas desigualdades se agregan ya que la cantidad a fabricar no puede ser negativa. La región factible para el problema es la solución de este sistema, la cual se da en el siguiente gráfico: 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 2000 4000 6000 y = −x + 6000 y = 5x y = 1 3 x Q P Lápices B ir om es Entonces cualquier punto en la región sombreada satisface las restricciones (por supuesto que, por el contexto del problema, buscamos puntos con coordenadas enteras). Sabemos que la solución óptima se dará en alguno de los vértices de la región factible: el origen (el cual descartamos porque no produce ganancia alguna), P = (1000,5000), o Q = (4500,1500). Los puntos P y Q pueden obtenerse analı́ticamente igualando las ecuaciones de las rectas correspondientes 217 Botón1:
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