Manual de Matemática Preuniversitaria-páginas-268

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Capı́tulo 5. Funciones
Supongamos que un paciente ingiere una dosis inicial de yodo que emite 80
milicurios (mCi), que se concentra en su glándula tiroides. Entonces, la emisión
de yodo que produce el paciente al cabo de t dı́as está dada por:
N(t) = 80e−0.087t.
¿Cuántos dı́as habrá que esperar para que las emisiones se reduzcan a la quinta
parte de la inicial?
Solución: Buscamos t que satisfaga que N(t) = 80/5 = 16, es decir, debemos
resolver
16 = 80e−0.087t ⇔
1
5
= e−0.087t ⇔ ln(
1
5
) = −0.087t,
de lo que se obtiene t ≈ 18.5. Esto significa que se necesitan 18 dı́as y medio,
aproximadamente, para que las emisiones se reduzcan a la cantidad deseada. E
Ejemplo 214. La edad de restos fósiles. La datación por Carbono 14 (cuyo
sı́mbolo es 14C) es un método para determinar la edad de muestras orgánicas
de menos de 50000 años, y es una de las herramientas más usadas para datar
restos fósiles y otras materias orgánicas. Se sabe que la vida media del 14C es
de 5730 años. Luego, como se establece en el ejemplo anterior, la constante de
desintegración del 14C se calcula como
λ = ln 2/5730 ≈ 0.00012096809.
Entonces la cantidad de átomos de 14C luego de un tiempo t, medido en años,
está dada por
N(t) = N0e
−λt,
siendo N0 el número de átomos cuando t = 0. ¿Cómo se determina la edad del
fósil? Después de que un organismo muere, la cantidad de 14C en su interior em-
pieza a desintegrarse exponencialmente. Podemos entonces determinar el tiempo
transcurrido desde su muerte si determinamos la cantidad de 14C restante.
Por ejemplo, supongamos que se encuentra un fósil que contiene un 15 % de
14C de lo que contiene un ejemplar vivo de la misma especie. ¿Cuánto tiempo
hace que murió?
Solución: Llamemos N0 a la cantidad de 14C que contiene la muestra viva. En-
tonces el fósil contiene 0.15N0. Reemplazando en la ecuación tenemos
0.15N0 = N0e
−λt,
siendo t la cantidad de años que transcurrieron desde su muerte, y que debemos
determinar resolviendo la ecuación:
0.15N0 = N0e
−λt
⇔ 0.15 = e−λt ⇔ ln(0.15) = −λt ⇔ t =
ln(0.15)
−λ
.
Por lo tanto, la edad de dicho fósil será, aproximadamente, de 15683 años. E
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