Guía

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Universidad Simón Bolívar 
Departamento de Mecánica 
MC 2312 
Similitud y Modelaje 
Prof. Nelson Loaiza 
Email: nloaiza@usb.ve 
Laboratorio de Mecánica de Fluidos 
+58.212.9064139 
Ext 25 
Sartenejas, Diciembre 2014 
mailto:nloaiza@usb.ve
Capítulo I 
Introducción 
Ecuaciones adimensionalizadas de Navier-Stokes 
Definiciones básicas previas al análisis dimensional 
Teorema pi de Buckingham 
Método de Hunsaker y Rightmire 
Similitud Geométrica, Cinemática y Dinámica 
2 
Capítulo I 
Introducción 
Como se observo anteriormente en la mecánica de fluidos no es posible 
resolver analíticamente muchos de los problemas planteados, por lo cual 
una alternativa es el uso de métodos numéricos y experimentos en 
laboratorios. 
 
 
 
3 
Figura I: Flujo alrededor de un velero usando Ansys © 2009 Figura II: Ensayos en el túnel de viento de Toyota F1 
Capítulo I 
Introducción 
En vista de ello el siguiente capitulo plantea el uso de dos conceptos, los 
cuales son: 
Análisis dimensional: Es una técnica que consiste en agrupar(reducir) la 
cantidad de variables que influyen en un fenómeno m, a través de la 
inclusión de variables adimensionales. 
 
Similitud o Semejanza: Es una metodología que permite realizar análisis 
de un caso particular de flujo a diferentes escalas, respetando las tres 
similitudes (geométrica, cinemática y dinámica). 
4 
Capítulo I 
Introducción 
Ecuaciones adimensionalizadas de Navier-Stokes 
Definiciones básicas previas al análisis dimensional 
Teorema pi de Buckingham 
Método de Hunsaker y Rightmire 
Similitud Geométrica, Cinemática y Dinámica 
5 
Capítulo I 
Ecuaciones adimensionalizadas de Navier-Stokes 
Una forma de establecer los parámetros adimensionales que caracterizan el 
comportamiento de un fluido, es la adimensionalización de las ecuaciones que 
describen ese fenómeno, a continuación se realizará plantearan de forma 
adimensional las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes: 
Ecuación de Continuidad 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 𝛻 ∙ 𝜌𝑽 = 0 
Ecuación de N-S 
𝜕 𝜌 𝑽
𝜕𝑡
+ 𝛻 ∙ 𝜌𝑽𝑽 = −𝛻𝑃 + 𝛻 ∙ 𝝉𝒊,𝒋 + 𝜌𝒈 
 
6 
Capítulo I 
Ecuaciones adimensionalizadas de Navier-Stokes 
Para ello se expresan de forma adimensional los parámetros a utilizar: 
 
 
 
 
 
 
 
Despejando los parámetros dimensionales: 
7 
𝒙∗ =
𝒙
𝐿
 Longitud 𝑽
∗ =
𝑽
𝑽∞
=
𝑽
𝑃∞
𝜌∞
 Velocidad 
𝜌∗ =
𝜌
𝜌∞
 Densidad 𝑡∗ =
𝑡
𝐿
𝑃∞
𝜌∞
 Tiempo 
𝜇∗ =
𝜇
𝜇∞
 Viscosidad 𝝉𝒊,𝒋
∗ =
𝝉𝒊,𝒋
𝜇∞𝑽∞
𝐿
 Tensor de Esf. Viscosos 
𝑃∗ =
𝑃
𝑃∞
 Presión 𝛻∗ = 𝐿 𝛻 Operador Nabla 
𝒈∗ =
𝒈
𝑔
 
𝒙 = 𝐿 𝒙∗ 
𝜌 = 𝜌∗ 𝜌∞ 
𝜇 = 𝜇∗ 𝜇∞ 
𝑃 = 𝑃∗ 𝑃∞ 
𝒈 = 𝑔 𝒈∗ 
𝑽 = 𝑽∗
𝑃∞
𝜌∞
 
𝑡 =
𝑡∗𝐿
𝑃∞
𝜌∞
 
𝝉𝒊,𝒋 = 𝝉𝒊,𝒋
∗ 𝜇∞𝑽∞
𝐿
 𝛻 ∙ =
1
𝐿
𝛻 ∙∗ 
Capítulo I 
Ecuaciones adimensionalizadas de Navier-Stokes 
Sustituyendo los parámetros adimensionales en la ecuación de continuidad 
𝜕 𝜌∗ 𝜌∞ 
𝜕
𝑡∗𝐿
𝑃∞
𝜌∞
+
1
𝐿
𝛻∗ ∙ 𝜌∗ 𝜌∞𝑽
∗
𝑃∞
𝜌∞
= 0 
Se reorganizan los términos que son constantes 
𝜌∞
𝐿
𝑃∞
𝜌∞
𝜕𝜌∗
𝜕𝑡∗
+
𝜌∞
𝐿
𝑃∞
𝜌∞
𝛻∗ ∙ 𝜌∗𝑽∗ = 0 
Agrupando por factor común 
𝜌∞
𝐿
𝑃∞
𝜌∞
 se despeja la ecuación para obtener 
Ecuación de Continuidad Adimensional 
𝜕𝜌∗
𝜕𝑡∗
+ 𝛻∗ ∙ 𝜌∗𝑽∗ = 0 
8 
Capítulo I 
Ecuaciones adimensionalizadas de Navier-Stokes 
De manera similar se sustituyen los parámetros dimensionales en la Ec. N-S 
𝜕 𝜌∗ 𝜌∞𝑽
∗ 𝑃∞
𝜌∞
𝜕
𝑡∗𝐿
𝑃∞
𝜌∞
+
1
𝐿
𝛻∗ ∙ 𝜌∗ 𝜌∞𝑽
∗
𝑃∞
𝜌∞
𝑽∗
𝑃∞
𝜌∞
= −
1
𝐿
𝛻∗ 𝑃∗ 𝑃∞ +
1
𝐿
𝛻∗ ∙ 𝝉𝒊,𝒋
∗ 𝜇∞𝑽∞
𝐿
+ 𝜌∗ 𝜌∞𝒈
∗𝑔 
Organizando las constantes 
𝑃∞
𝜌∞
𝜌∞
𝐿
𝜕 𝜌∗ 𝑽∗
𝜕𝑡∗
+
𝑃∞
𝜌∞
𝜌∞
𝐿
𝛻∗ ∙ 𝜌∗𝑽∗𝑽∗ = −
𝑃∞
𝐿
𝛻∗𝑃∗ +
1
𝐿
𝜇∞𝑽∞
𝐿
𝛻∗ ∙ 𝝉𝒊,𝒋
∗ + 𝜌∗ 𝜌∞ 𝒈
∗𝑔 
Se cancelan y agrupan términos en la lado izquierdo de la igualdad 
𝑃∞
𝐿
𝜕 𝜌∗ 𝑽∗
𝜕𝑡∗
+
𝑃∞
𝐿
𝛻∗ ∙ 𝜌∗𝑽∗𝑽∗ +
𝑃∞
𝐿
𝛻∗𝑃∗ =
1
𝐿
𝜇∞𝑽∞
𝐿
𝛻∗ ∙ 𝝉𝒊,𝒋
∗ + 𝜌∗ 𝜌∞ 𝒈
∗𝑔 
 
9 
Capítulo I 
Ecuaciones adimensionalizadas de Navier-Stokes 
Por lo tanto se despeja 
𝑃∞
𝐿
 del lado izquierdo de la igualdad obteniendo: 
𝜕 𝜌∗ 𝑽∗
𝜕𝑡∗
+ 𝛻∗ ∙ 𝜌∗𝑽∗𝑽∗ + 𝛻∗𝑃∗ =
1
𝑃∞
𝜇∞𝑽∞
𝐿
𝛻∗ ∙ 𝝉𝒊,𝒋
∗ +
𝐿
𝑃∞
𝜌∗ 𝜌∞𝒈
∗𝑔 
Como 𝑽∞ =
𝑃∞
𝜌∞
 se despeja 𝑃∞, obtenido 𝑃∞ = 𝑽∞
𝟐 𝜌∞, la cual se sustituye en la 
ecuación anterior 
𝜕 𝜌∗ 𝑽∗
𝜕𝑡∗
+ 𝛻∗ ∙ 𝜌∗𝑽∗𝑽∗ + 𝛻∗𝑃∗ =
1
𝑽∞
𝟐 𝜌∞
𝜇∞𝑽∞
𝐿
𝛻∗ ∙ 𝝉𝒊,𝒋
∗ +
𝐿
𝑽∞
𝟐 𝜌∞
𝜌∗ 𝜌∞𝒈
∗𝑔 
Simplificando 
𝜕 𝜌∗ 𝑽∗
𝜕𝑡∗
+ 𝛻∗ ∙ 𝜌∗𝑽∗𝑽∗ + 𝛻∗𝑃∗ =
𝜇∞
𝜌∞𝑽∞ 𝐿
𝛻∗ ∙ 𝝉𝒊,𝒋
∗ +
𝐿𝑔
𝑽∞
𝟐
𝜌∗ 𝒈∗ 
10 
Capítulo I 
Ecuaciones adimensionalizadas de Navier-Stokes 
Donde el termino 
𝜇∞
𝜌∞𝑽∞ 𝐿
=
1
𝑅𝑒
 y el termino 
𝐿 𝑔
𝑽∞
𝟐 =
1
𝐹𝑟
, quedando: 
Ecuación Adimensional de Navier Stokes 
𝜕 𝜌∗ 𝑽∗
𝜕𝑡∗
+ 𝛻∗ ∙ 𝜌∗𝑽∗𝑽∗ = −𝛻∗𝑃∗
1
𝑅𝑒
𝛻∗ ∙ 𝝉𝒊,𝒋
∗ +
1
𝐹𝑟
𝝆∗ 𝒈∗ 
Cuyo números adimensionales determinantes son el Reynolds y el Froude (solo 
para superficie libre. 
11 
Capítulo I 
Introducción 
Ecuaciones adimensionalizadas de Navier-Stokes 
Definiciones básicas previas al análisis dimensional 
Teorema pi de Buckingham 
Método de Hunsaker y Rightmire 
Similitud Geométrica, Cinemática y Dinámica 
12 
Capítulo I 
Definiciones básicas previas al análisis dimensional 
Antes de realizar cualquier análisis dimensional es necesario establecer cuales 
son las unidades en el flujo de un fluido: 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
Unidades Básicas Unidades Derivadas 
Masa 𝑀 
Longitud 𝐿 
Tiempo 𝑇 
Velocidad 
𝐿
𝑇
 
Fuerza 
𝑀 𝐿
𝑇2
 
Densidad 
𝑀
𝐿3
 
Peso especifico 
𝑀
𝐿2𝑇2
 
Caudal 
𝐿3
𝑇
 
Viscosidad Dinámica 
𝑀
𝐿 𝑇
 
Viscosidad Cinemática 
𝐿2
𝑇
 
Capítulo I 
Definiciones básicas previas al análisis dimensional 
Establecidas las unidades el siguiente paso es expresar alguna de las fuerzas mas 
comunes en los fluidos: 
Fuerzas Inerciales 
𝐹𝐼 = 𝑚 𝑎 = 𝑚 𝑉 
𝜕𝑉
𝜕𝑠
= 𝜌 𝐿3 𝑉
𝑉
𝐿
= 𝜌 𝐿2𝑉2 
Fuerzas de Presión 
𝐹𝑃 = ∆𝑃 𝐴 = ∆𝑃 𝐿
2 
Fuerzas de Gravedad 
𝐹𝑔 = 𝑚 𝑔 = 𝜌 𝐿
3 𝑔 
Fuerzas Viscosas 
𝐹𝜇 = 𝜏 𝐴𝑠 = 𝜇
∆𝑉
∆𝑦
 𝐿2 = 𝜇 𝑉 𝐿 
 
14 
Capítulo I 
Definiciones básicas previas al análisis dimensional 
Fuerzas de Tensión Superficial 
𝐹𝜎 = 𝜎 𝐿 
Fuerzas de Compresibilidad 
𝐹𝑐 = 𝛽 𝐴 
donde el modulo de compresibilidad 𝛽 se define: 
𝑐 =
𝛽
𝜌
 Velocidad del sonido en medio 
𝛽 = 𝑐2𝜌 
sustituyendo 
𝐹𝑐 = 𝑐
2𝜌 𝐿2 
 
Finalmente procedemos a realizar algunas de relaciones de fuerzas lo cual da 
como resultado números adimensionales muy usados en la mecánica de fluidos. 
15 
Capítulo I 
Definiciones básicas previas al análisis dimensional 
Relaciones de Fuerzas 
𝐹𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛
𝐹𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
=
𝐹𝑃
𝐹𝐼
=
∆𝑃 𝐿2
𝜌 𝐿2𝑉2
=
∆𝑃
𝜌 𝑉2
= 𝐸𝑢 = Número de Euler 
𝐹𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝐹𝐺𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑠
=
𝐹𝐼
𝐹𝑔
=
𝜌 𝐿2𝑉2
𝜌 𝐿3 𝑔
=
𝑉
𝐿 𝑔
= 𝐹𝑟 = Número de Froude 
𝐹𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝐹𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
=
𝐹𝐼
𝐹𝐶
=
𝜌 𝐿2𝑉2
𝑐2𝜌 𝐿2
=
𝑉
𝐶
= 𝑀𝑎 = Número de Mach 
𝐹𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝐹𝑉𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑
=
𝜌 𝐿2𝑉2
𝜇 𝑉 𝐿
=
𝜌 𝐿 𝑉
𝜇
= 𝑅𝑒 =Número de Reynolds 
𝐹𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝐹𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑆𝑢𝑝
=
𝐹𝐼
𝐹𝜎
=
𝜌 𝐿2𝑉2
𝜎 𝐿
=
𝜌 𝐿 𝑉2
𝜎
= 𝑊𝑒 =Número de Weber 
16 
Capítulo I 
Introducción 
Ecuaciones adimensionalizadas de Navier-Stokes 
Definiciones básicas previas al análisis dimensional 
Teorema pi de Buckingham 
Método de Hunsaker y Rightmire 
Similitud Geométrica, Cinemática y Dinámica 
17 
Capítulo I 
Teorema pi de Buckingham 
Es un método utilizado para determinar los números adimensionales que se 
establecen en una relación funcional. Suponiendo una ecuación 
dimensionalmente homogénea de la siguiente manera: 
𝑓 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … 𝐴𝑚 = 0 
Donde 
𝑚 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 
Es posible entonces reordenar la misma ecuación pero ahora en función de 
números adimensionales (Números pi). 
𝑓 𝜋1, 𝜋2, 𝜋3,… 𝜋# = 0 
# = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑖 
 
18 
Capítulo I 
Teorema pi de Buckingham 
Para demostrar esto se debe seguir el siguiente algoritmo: 
1. Determinar la cantidad de variables «m» de la relación funcional. 
2. Determinar la cantidad de dimensiones básicas (n). 
3. Determinar la cantidad de números pi mediante el Teorema pi de 
Buckingham: 
# = 𝑚 − 𝑛 
4. Dentro de las variables del problema elegir «n» variables repetitivas 
(geométrica, cinemática y dinámica) , las variables restantes se 
denominan variables dependientes. 
5. Definir un numero pi multiplicando una de las variables dependientes 
por cada una de las variables repetitivas, para exponentes cuyo resultado 
sea un valor adimensional. 19 
Capítulo I 
Teorema pi de Buckingham 
Continuando… 
 6. Repetir el paso anterior con cada una de las variables dependientes 
 restantes. 
 7. Expresar la nueva función en términos de números pi. 
20 
Capítulo I 
Introducción 
Ecuaciones adimensionalizadas de Navier-Stokes 
Teorema pi de Buckingham 
Método de Hunsaker y Rightmire 
Similitud Geométrica, Cinemática y Dinámica 
21 
Capítulo I 
Método de Hunsaker y Rightmire 
Es un método mas rápido que el Teorema pi de Buckingham, consiste en definir 
las unidades básicas en términos de las variables repetitivas, lo cual hace sencillo 
la definición de los números adimensionales. A continuación se presenta el 
algoritmo: 
1. Determinar la cantidad de variables «m» de la relación funcional. 
2. Determinar la cantidad de dimensiones básicas (n). 
3. Determinar la cantidad de números pi: # = 𝑚 − 𝑛 
4. Definir las variables repetitivas (geométrica, cinemática y dinámica) y 
dependientes. 
5. Expresar las dimensiones básicas en términos de unidades repetitivas. 
22 
Capítulo I 
Método de Hunsaker y Rightmire 
Continuación… 
6. Definir los números adimensionales combinando cada variable 
dependiente con las unidades básicas definidas en el paso 5. 
7. Repetir el paso anterior hasta encontrar todos los números 
adimensionales restantes. 
8. Expresar la nueva función en términos de los números adimensionales 
encontrados. 
23 
Capítulo I 
Método de Hunsaker y Rightmire 
Ejemplo: 
En la propagación de oleaje 𝑐 
𝐿
𝑇
 intervienen algunos parámetros como la 
densidad 𝜌 , el peso especifico 𝛾 , la longitud de onda λ , la profundidad ℎ 
y la tensión superficial 𝜎 . Encontrar los números adimensionales que definen el 
modelo. 
c = 𝑓 𝜌, 𝛾, λ , ℎ , 𝜎 
Relación funcional 
0 = 𝑓 𝜌, 𝛾, λ , ℎ , 𝜎, 𝑐 
Paso #1: Definir cantidad de variables asociadas 
𝑚 = 6 
Paso #2: Definir las dimensiones básicas 
𝑛 = 3, 𝑀, 𝐿 , 𝑇 
24 
Capítulo I 
Método de Hunsaker y Rightmire 
Paso #3: Determinar la cantidad de números adimensionales 
# = 𝑚 − 𝑛 = 3 
Paso #4: Definir las variables repetitivas 
 
 
 
Paso #5: Expresar las dimensiones básicas en términos de unidades repetitivas 
𝑀 → 𝜌 λ3 
𝐿 → λ 
𝑇 →
λ
𝑐
 
25 
Variables Repetitivas Variables Dependientes 
Geométrica λ 
Cinemática 𝑐 
Dinámica 𝜌 
𝛾, ℎ , 𝜎 
Capítulo I 
Método de Hunsaker y Rightmire 
Pasos #6 y 7: Combinar las variables repetitivas con las dimensiones básicas del 
paso anterior para hallar los números adimensionales. 
𝜋1 → 𝛾 
𝑀
𝐿2𝑇2
 
𝜋1 = 𝛾 ∗
λ2
λ
𝑐
2
𝜌 λ3
=
𝛾λ
𝜌 𝑐2
=
𝑔 λ
𝑐2
 
𝜋2 → ℎ 𝐿 
𝜋2 =
ℎ
λ
 
𝜋3 → 𝜎 
𝑀
𝑇2
 
𝜋3 = 𝜎 ∗
λ
𝑐
2
𝜌λ3
=
𝜎
𝜌λ𝑐2
=
1
𝑊𝑒
 
26 
Capítulo I 
Método de Hunsaker y Rightmire 
Pasos #8: Expresar la nueva función homogena en terminos de numeros 
adimensionales. 
0 = 𝑓
𝑔 λ
𝑐2
,
ℎ
λ
,
1
𝑊𝑒
 
27 
Capítulo I 
Introducción 
Ecuaciones adimensionalizadas de Navier-Stokes 
Teorema pi de Buckingham 
Método de Hunsaker y Rightmire 
Similitud Geométrica, Cinemática y Dinámica 
28 
Capítulo I 
Similitud Geométrica, Cinemática y Dinámica 
Una vez establecidos los números adimensionales que caracterizan determinado 
fenómeno, es posible reproducir dicho fenómeno a diferentes escalas, 
cumpliendo las siguientes similitudes: 
Similitud Geométrica 
Consiste en mantener las mismas proporciones de tamaño entre el modelo y 
prototipo. Para que esto se cumpla la escala de dimensiones espaciales en las 
tres coordenadas deben ser las mismas. 
λ𝑥 = λ𝑦 = λ𝑧 
¿Rugosidad? 
 
29 
Figura III: Escalamiento 
uniforme entre Prototipo y 
Modelo 
Capítulo I 
Similitud Geométrica, Cinemática y Dinámica 
Similitud Cinemática 
Ocurre cuando las escalas de velocidad son uniformes en las tres coordenadas. Se 
dice que existe similitud cinemática cuando una partícula de fluido alcanza una 
distancia homogénea en un instante de tiempo homogéneo. Es decir existe 
escalas equivalentes de geometría y de tiempo en las 3 dimensiones 
respectivamente. 
 
30 
Figura IV: Escalamiento 
uniforme de Velocidad entre 
Prototipo y Modelo 
Capítulo I 
Similitud Geométrica, Cinemática y Dinámica 
Similitud Dinámica 
Esta semejanza existe cuando las relaciones de fuerzas en el modelo son las 
mismas en cualquier dirección. Esta similitud es función de las similitudes 
anteriores, si ninguna existe entonces no se puede establecer que el modelo es 
dinámicamente semejante. 
31 
Figura V: Escalamiento 
uniforme de fuerzas entre 
Prototipo y Modelo 
Capítulo I 
Similitud Geométrica, Cinemática y Dinámica 
Similitud Dinámica 
Finalmente esta similitud sigue la ley de Newton, la cual establece que para una 
partícula de fluido en movimiento, la sumatoria de todas las fuerzas debe ser 
igual a la fuerza de aceleración o fuerza inercial. 
𝐹𝐼 = 𝐹𝑝 + 𝐹𝑔 + 𝐹𝑓 
Por lo que dependiendo del tipo de flujo se deben cumplir que los números 
adimensionales entre el modelo y el prototipo deben ser iguales. 
• Flujo en conductos cerrados: 𝑅𝑒𝑃 = 𝑅𝑒𝑀 
• Flujo con superficie libre: 𝑅𝑒𝑃 = 𝑅𝑒𝑀, 𝐹𝑟𝑃 = 𝐹𝑟𝑀 
32 
Capítulo I 
Introducción 
Ecuaciones adimensionalizadas de Navier-Stokes 
Teorema pi de Buckingham 
Método de Hunsaker y Rightmire 
Similitud Geométrica, Cinemática y Dinámica 
33 
Universidad Simón Bolívar 
Departamento de Mecánica 
MC 2313 
Flujo Viscoso en 
Conductos Cerrados 
Prof. Nelson Loaiza 
Email: nloaiza@usb.ve 
Laboratorio de Mecánica de Fluidos 
+58.212.9064139 
Ext 25 
Sartenejas, Enero 2015 
mailto:nloaiza@usb.ve
Capítulo II 
Introducción 
Características del flujo: flujo laminar y turbulento 
Ecuación de Darcy-Weisbach y Diagrama de Moody 
Pérdidas en tuberías 
Tuberías en serie y tuberías en paralelo 
Sistemas de bombeo: bombas en serie y en paralelo 
Sistemas de tuberías ramificadas 
2 
Capítulo II 
Introducción 
El transporte de fluidos representa una parte fundamental del avance de la 
humanidad. Muchas civilizaciones prosperaron debido al buen manejo de tan 
importante recurso como el agua, ejemplo de ello es la civilización egipcia, la cual 
a través de sus conocimientos en astronomía estableció fechas aproximadas de 
las inundaciones del rio Nilo, manteniendo así el riego de sus cosechas. 
 
 
 
 
 
3 
Figura I: Vista Satelital del Nilo 
Sin embargo en la antigüedad el movimiento 
a gran escala de agua es un logro que debe 
atribuirse al imperio Romano, el cual a través 
de acueductos suministro agua a gran parte 
de sus ciudades. 
Capítulo II 
Introducción 
 
 
 
 
 
 
Sin embargo en la actualidad el transporte de fluidos a grandes distancias se 
realiza por medio de tuberías, o conductos cerrados, cuya diferencia con los 
canales abiertos es que la fuerza de movimiento principal es un diferencial de 
presión en lugar de la gravedad. 4 
Figura II: L'acquedotto Claudio 
(Aqua Claudia) 
Figura III: Fontana de Trevi (Roma) 
Capítulo II 
Introducción 
Características del flujo: flujo laminar y turbulento 
Flujo en tuberías: Ecuación de Darcy-Weisbach y Diagrama de Moody 
Pérdidas en tuberías 
Tuberías en serie y tuberías en paraleloSistemas de bombeo: bombas en serie y en paralelo 
Sistemas de tuberías ramificadas 
5 
Capítulo II 
Características del flujo: flujo laminar y turbulento 
Una consideración importante en el estudio de tuberías a presión consiste en 
conocer el régimen de flujo de fluido. Para ello se usa el número adimensional de 
Reynolds, el cual establece la relación entre las fuerzas inerciales y viscosas. De 
acuerdo a los valores de este numero tenemos: 
 
 
 
 
 
6 
Figura IV: Experimento de Reynolds 
(Munson, 2011) 
𝑅𝑒 < 2300 
2300 < 𝑅𝑒 < 4000 
𝑅𝑒 > 4000 Turbulento 
Transición 
Laminar 
Capítulo II 
Características del flujo: flujo laminar y turbulento 
Generalmente se dice que flujo turbulento disipa mayor cantidad de energía, esto 
debido a la forma aleatoria de movimiento de sus partículas, mientras que flujo 
laminar solo disipa energía debido principalmente a la fricción de las paredes de 
la tubería. 
 
 
 
 
 
7 
Figura V: Dependencia temporal 
de acuerdo al régimen de Flujo 
(Munson, 2011) 
De acuerdo a la evolución del perfil de 
velocidades a lo largo de la tubería, se 
establece una condición fundamental 
del flujo, Flujo Totalmente Desarrollado 
Capítulo II 
Características del flujo: flujo laminar y turbulento 
Se considera que un flujo esta completamente desarrollado cuando la variación 
del perfil de velocidad es mismo aguas abajo de la tubería. 
 
 
 
 
 
8 
Figura VI: Flujo Laminar Desarrollado 
(White, 2011) 
Donde la longitud de entrada 𝑙𝑒 es la 
distancia desde la entrada de la tubería 
hasta el punto en el cual el perfil se 
encuentra completamente desarrollado. 
Flujo Laminar 
𝑙𝑒
𝐷
= 0.06𝑅𝑒 
Flujo Turbulento 
𝑙𝑒
𝐷
= 4.4 𝑅𝑒
1
6 
Capítulo II 
Características del flujo: flujo laminar y turbulento 
Sin embargo la mayoría de flujos en tuberías suele ser turbulento, esto debido a 
fluctuaciones de caudal, accesorios, etc. 
 
 
 
 
 
 
9 
Figura VII: Transición de Flujo 
(Munson, 2011) 
Figura VIII: Fluctuaciones de la Velocidad 
en una tubería (Munson, 2011) 
Capítulo II 
Introducción 
Características del flujo: flujo laminar y turbulento 
Ecuación de Darcy-Weisbach y Diagrama de Moody 
Pérdidas en tuberías 
Tuberías en serie y tuberías en paralelo 
Sistemas de bombeo: bombas en serie y en paralelo 
Sistemas de tuberías ramificadas 
10 
Capítulo II 
Ecuación de Darcy-Weisbach 
Es una relación empírica que se sirve para el calcular las perdidas por fricción en 
una tubería, se expresa de la siguiente manera: 
𝑕𝑓 = 𝑓
𝐿
𝐷
𝑉2
2𝑔
 
donde 
𝑕𝑓 = Perdidas por fricción expresada en terminos de altura 
𝑓 = Factor de fricción de Darcy Weisbach 
𝐿, 𝐷 = Longitud y diametro de la tubería 
𝑉 = Velocidad promedio 
𝑔 = gravedad 
 
11 
Capítulo II 
Ecuación de Darcy-Weisbach 
Debido a lo sencillo de su calculo, esta perdida puede ser añadida como termino 
adicional a la ecuación de Bernoulli (en su forma de Balance de Energía), pues si 
considera los efectos viscosos del fluido (ver Factor de Fricción). 
 
 
1
2g
𝑣2 + 
1
γ
𝑝 + y = hf (Perdidas por Fricción) 
 
En el siguiente grafico se muestra un diagrama de cabezal hidráulico entre los 
puntos de una tubería, incluyendo para cada caso los términos de altura de 
velocidad 
𝑣2
2g
, altura de presión 
𝑝
𝛾
 y altura de elevación 𝑦 . 
12 
Capítulo II 
Ecuación de Darcy-Weisbach 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
Longitud de la Tubería 
L 
𝑦1 𝑦2 
𝑃1
𝛾
 
𝑃2
𝛾
 
𝑣1
2
2𝑔
 
𝑣2
2
2𝑔
 
Altura Hidráulica 
hf 
Figura IX: Altura hidráulica en los 
extremos de una tubería 
𝐻1 𝐻2 
Capítulo II 
Ecuación de Darcy-Weisbach 
Realizando un balance de altura hidráulica o energía entre los extremos de la 
tubería, se tiene: 
𝐻1 = 𝐻2 + 𝑕𝑓 
Expandiendo ambos términos de altura hidráulica 
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑃1
𝛾
+ 𝑦1 =
𝑣2
2
2𝑔
+
𝑃2
𝛾
+ 𝑦2 + 𝑕𝑓 
Asumiendo que la tubería esta ubicada horizontalmente y que el flujo esta 
totalmente desarrollado, tenemos: 
∆𝑝 = 𝛾 𝑕𝑓 
Sustituyendo 𝑕𝑓, se obtiene la diferencia de presión en la tubería: 
∆𝑝 = 𝛾 𝑓
𝐿
𝐷
𝑉2
2𝑔
= 𝜌𝑓
𝐿
𝐷
𝑉2
2
 
14 
Capítulo II 
Ecuación de Darcy-Weisbach 
Donde el factor de fricción se define de acuerdo al régimen de flujo, en el caso de 
un flujo laminar su valor es: 
𝑓 =
64
𝑅𝑒
 
Mientras que para flujo turbulento existen diferentes aproximaciones, a 
continuación se presentan las mas usadas: 
Formula Explicita de Swamee Jain 
𝑓 =
0.25
log
ε
3.7𝐷 +
5.74
𝑅𝑒0.9
2 
Formula Implícita de Colebrook-White 
1
𝑓
= −2 log
2.51
𝑅𝑒 𝑓
+
ε
3.71𝐷
 
15 
Capítulo II 
Diagrama de Moody 
Es una representación grafica de los valores del factor de fricción en función del 
numero de Reynolds para diferentes casos de rugosidad relativa. 
16 
Capítulo II 
Introducción 
Características del flujo: flujo laminar y turbulento 
Ecuación de Darcy-Weisbach y Diagrama de Moody 
Pérdidas en tuberías 
Tuberías en serie y tuberías en paralelo 
Sistemas de bombeo: bombas en serie y en paralelo 
Sistemas de tuberías ramificadas 
17 
Capítulo II 
Pérdidas en tuberías 
Existen dos tipos de perdidas a ser consideradas en los sistemas de tuberías, la 
primera de ella y la mas común es la perdida por fricción expresada en la relación 
de Darcy-Weisbach: 
𝑕𝑓 = 𝑓
𝐿
𝐷
𝑉2
2𝑔
 
Sin embargo existe una perdida que no suele tomarse mucho en cuenta para el 
calculó, estas son las perdidas menores o locales, esto es debido a que su aporte 
de perdidas de carga por lo general son menores a las de fricción. Su calculo se 
basa principalmente en el uso de una ecuación similar a la anterior: 
𝑕𝑙 = 𝐾𝐿
𝑉2
2𝑔
 
Donde 
𝐾𝐿 = Coeficiente de Perdida por accesorio 18 
Capítulo II 
Pérdidas en tuberías 
Algunas veces resulta conveniente plantear analogías ente perdidas menores y 
perdidas por fricción, a continuación se presenta un ejemplo: 
𝑕𝑙 = 𝐾𝐿
𝑉2
2𝑔
= 𝑓
𝐿𝑒
𝐷
𝑉2
2𝑔
 
Como se puede observar el termino de coeficiente de perdida por accesorio es 
expresado en función del factor de fricción 𝑓 y de la relación entre una longitud 
equivalente 𝐿𝑒 y el diámetro de la tubería 𝐷. Siendo 𝐿𝑒 la longitud de tubería 
necesaria para ocasionar la misma perdida por fricción en lugar de un accesorio. 
𝐿𝑒 =
𝐾𝐿 𝐷
𝑓
 
 
19 
Capítulo II 
Pérdidas en tuberías 
En el caso de perdidas locales ocurre que dependiendo de la geometría del 
accesorio, la energía cinética se pierde a través de la disipación viscosa, 
observemos el fenómeno de vena contracta: 
 
 
20 
Figura XI: Patrón de flujo y distribución de 
presiones de una vena contracta. (Munson, 2011) 
No existen condiciones ideales de 
caída presión, pues parte de la 
energía se disipa dentro de la zona 
de separación flujo, esto debido a 
los altos esfuerzos de corte. 
Capítulo II 
Pérdidas en tuberías 
Siendo la separación de flujo el fenómeno de disipación fundamental en el caso 
de perdidas locales, este puede encontrarse tanto en casos de reducción o 
expansión de diámetro de una tubería. 
 
 
21 
Figura XII: Coeficiente de perdida para una 
reducción o expansión repentina. (Munson, 2011) 
Capítulo II 
Pérdidas en tuberías 
Otro tipo de expansión/reducción es la difusor/tobera, cuyo valor de coeficiente 
de perdida es altamente dependiente del sentido de flujo. 
 
 
 
22 
Figura XIII: Coeficiente de perdida para un difusor 
cónico. (Munson, 2011) 
Capítulo II 
Pérdidas en tuberías 
 
23 
Figura XIII: Coeficiente de perdida para un tobera 
(Mott, 2011) 
Capítulo II 
Pérdidas en tuberías 
Para cambios de dirección de flujo el accesorio utilizado es el codo, a 
continuación se presenta su coeficiente de perdida en función del radio de 
curvatura: 
 
 
24 
Figura XIV: Coeficiente de perdida para un difusor 
cónico. (Munson, 2011) 
Capítulo II 
Pérdidas en tuberías 
Finalmente dependiendodel tipo 
de accesorio se tiene una tabla 
global con los valores de 
coeficiente de perdidas asociadas: 
 
 
 
25 
Capítulo II 
Introducción 
Características del flujo: flujo laminar y turbulento 
Ecuación de Darcy-Weisbach y Diagrama de Moody 
Pérdidas en tuberías 
Tuberías en serie y tuberías en paralelo 
Sistemas de bombeo: bombas en serie y en paralelo 
Sistemas de tuberías ramificadas 
26 
Capítulo II 
Sistema de Tuberías en Serie 
Es el sistema de tuberías en el cual el fluido sigue una sola trayectoria, en este 
sistema como en los demás pueden encontrarse perdidas por fricción o 
accesorio, estos se pueden clasificar en tres tipos de sistemas: 
Sistema en Serie Tipo I 
Es aquel sistema en el cual los datos de caudal, dimensiones de la tubería y 
cargas de elevación son conocidos, mientras que los valores de cualquier tipo de 
perdida se desconocen. 
 
 
27 
? 
Capítulo II 
Sistema de Tuberías en Serie 
Sistema en Serie Tipo II 
Es el sistema en el cual se desconoce el caudal y su valor puede calcular 
utilizando los datos de elevación, dimensiones y tipo de tuberías, y de presión en 
el sistema. 
 
 
 
Sistema en Serie Tipo III 
Es el sistema en el cual se desconoce alguna dimensión de la tubería, y su valor 
puede calcular utilizando los datos de elevación, dimensiones restante y tipo de 
tuberías, además de la presión y el caudal del sistema. 
28 
? 
Capítulo II 
Sistema de Tuberías en Paralelo 
Son aquellos sistemas de tuberías en el cual la trayectoria de un fluido se divide 
en dos o mas ramas, para llegar desde un punto de origen a otro mismo punto de 
destino. 
 
 
 
 
 
 
 
Para este ejemplo la distribución de caudales es 
𝑸 = 𝑸𝟏 + 𝑸𝟐 + 𝑸𝟑 29 
𝑸 𝑸 
𝑸𝟏 
𝑸𝟐 
𝑸𝟑 
Figura XV: Sistema de Tuberías en Paralelo, 
tres ramas 
𝟏 𝟐 
Capítulo II 
Sistema de Tuberías en Paralelo 
El objetivo principal de estos sistemas es determinar la distribución de caudales 
que circula por cada tubería. Si planteamos el balance de energía entre los 
puntos 1 y 2 del sistema para cada tubería, tenemos: 
Tubería 1 
𝐻1 = 𝐻2 + 𝑕𝑓,𝑙 𝑇1 
Tubería 2 
𝐻1 = 𝐻2 + 𝑕𝑓,𝑙 𝑇2 
Tubería 3 
𝐻1 = 𝐻2 + 𝑕𝑓,𝑙 𝑇3 
Por lo tanto la perdida de altura hidráulica entre los puntos 1 y 2 𝐻1 − 𝐻2 es 
𝐻1 − 𝐻2 = 𝑕𝑓,𝑙 𝑇1 = 𝑕𝑓,𝑙 𝑇2 = 𝑕𝑓,𝑙 𝑇3 30 
Capítulo II 
Sistema de Tuberías en Paralelo (Dos Ramas) 
El sistema de tuberías en paralelo mas simple que existe es el sistema de dos 
ramas, una aplicación de este sistema es cuando se requiere dividir el caudal por 
razones de eficiencia, o debido a un arreglo para mantenimiento de la línea: 
 
 
 
 
 
 
 
A continuación se muestra el siguiente algoritmo para resolver este tipo de 
sistemas: 31 
Figura XVI: Sistema de Tuberías en Paralelo 
Dos Ramas, Mott 2009 
Capítulo II 
Sistema de Tuberías en Paralelo (Dos Ramas) 
Algoritmo de resolución para sistemas de dos ramas: 
1. Se plantean la ecuación de continuidad del sistema: 
𝑄𝑇 = 𝑄𝐴 + 𝑄𝐵 = 𝐴𝐴 𝑉𝐴 + 𝐴𝐵 𝑉𝐵 
y las ecuaciones de perdidas de cada una de las tuberías (ambas ecuaciones 
deben estar expresadas en términos de caudal o velocidad): 
 𝑕𝑓,𝑙 𝑇1 = 𝑓 𝑄𝐴, 𝑅𝑒𝐴, 𝑓𝐴 
 𝑕𝑓,𝑙 𝑇2 = 𝑓 𝑄𝐵 , 𝑅𝑒𝐵 , 𝑓𝐵 
2. Se suponen los valores de 𝑄𝐴 y 𝑄𝐵 
3. Se Calculan los valores de 𝑅𝑒𝐴, 𝑓𝐴 y 𝑅𝑒𝐵 , 𝑓𝐵 
4. Se comparan los valores de 𝑕𝑓,𝑙 𝑇1 y 𝑕𝑓,𝑙 𝑇2 
5. Si 𝑕𝑓,𝑙 𝑇1 ≠ 𝑕𝑓,𝑙 𝑇2 se seleccionan otros caudales hasta que se cumpla la 
igualdad según el criterio de convergencia. 
32 
Capítulo II 
Sistema de Tuberías en Paralelo (Mayor a Dos Ramas) 
El calculo de sistemas de tuberías en paralelo para mas de dos ramas representa 
una red de tuberías del tipo indeterminado, debido a que el numero de 
ecuaciones es menor al numero de variables, por ejemplo las ecuaciones de una 
red de tres tuberías serian: 
𝑄 = 𝑄𝐴 + 𝑄𝐵 + 𝑄𝐶 
𝐻1 −𝐻2 = 𝑕𝑓,𝑙 𝑇𝐴 = 𝑕𝑓,𝑙 𝑇𝐵 = 𝑕𝑓,𝑙 𝑇𝐶 
Una alternativa muy usada para resolver estos tipos de sistemas es el Método de 
Hardy-Cross, el cual tiene un tiempo de convergencia menor a otras 
metodologías. Para tal efecto este método se basa en plantea 𝑛 − 1 cantidad de 
circuitos siendo 𝑛 la cantidad de tuberías, a continuación se muestra una red en 
paralelo de 3 tuberías y dos circuitos: 
33 
Capítulo II 
Sistema de Tuberías en Paralelo (Mayor a Dos Ramas) 
 
 
 
 
 
 
 
Donde el Circuito I comprende las tuberías A y B, mientras que el Circuito II las 
tuberías B y C. Basado en este esquema planteado por Hardy-Cross se emplea el 
siguiente algoritmo para resolver sistemas de tuberías en paralelo, 
34 
𝑄 𝑄 
𝑄𝐴 
𝑄𝐵 
𝑄𝐶 
Circuito I 
Circuito II 
Figura XVII: Circuitos de una red de tres 
tuberías 
Capítulo II 
Sistema de Tuberías en Paralelo (Mayor a Dos Ramas) 
Algoritmo de Hardy-Cross 
1. Expresar las perdidas de cada tubería de la forma: 
 𝑕𝑓,𝑙 𝑇 = 𝑅 𝑄
2 
donde 𝑅 sea el coeficiente de perdidas global (de perdidas de Fricción y Local). 
2. Suponer una distribución inicial de caudal que satisfaga la ecuación de 
continuidad. 
3. Dividir la red en circuitos cerrados y un sentido de giro que sea el mismo en 
cada circuito. 
4. Calcular las perdidas de cada tubería. 
5. Sumar algebraicamente en cada circuito los valores de perdidas según el 
sentido de giro, por ejemplo: 
35 
Capítulo II 
Sistema de Tuberías en Paralelo (Mayor a Dos Ramas) 
Algoritmo de Hardy-Cross 
 𝑕1 = 𝑕𝑓,𝐿 𝑇𝐴 − 𝑕𝑓,𝐿 𝑇𝐵 
6. Calcular para cada tubería el valor de 2𝑅 𝑄. 
7. Sumar todos los valore de 2 𝑅 𝑄 por circuito, sin importar el sentido de giro, por 
ejemplo: 
 2𝑅 𝑄
𝐼
= 2𝑅𝐴𝑄𝐴 + 2𝑅𝐵𝑄𝐵 
8. Calcular por circuito la variación de caudal ∆𝑄, mediante la siguiente expresión: 
∆𝑄 =
 𝑕𝑓,𝐿 𝑇
 2𝑅 𝑄
 
9. Calcular las nuevas estimaciones de caudal según las variaciones del circuito, 
para el caudal de el extremo superior se usa la siguiente ecuación: 
𝑄𝐴 2 = 𝑄𝐴 1 − ∆𝑄𝐼 
36 
Capítulo II 
Sistema de Tuberías en Paralelo (Mayor a Dos Ramas) 
Algoritmo de Hardy-Cross 
 Si el caudal a calcular corresponde a una tubería intermedia (entre dos circuitos), 
 se debe tener en cuenta lo siguiente: 
 Si el valor de ∆𝑄𝐼 (primer circuito) es positivo se le resta al caudal 
 anterior. 
 Si el valor de ∆𝑄𝐼𝐼 (ultimo circuito) es positivo se le suma al caudal 
 anterior. 
 Ambas variaciones aportan un cambio al caudal. 
 Mientras que para el caudal del extremo inferior: 
𝑄𝐶 2 = 𝑄𝐶 1 + ∆𝑄𝐼𝐼 
10. Repetir los pasos 4 al 8 hasta que los valores de ∆𝑄 en todos los circuitos sean 
despreciables. 37 
Capítulo II 
Método Grafico: Caso I (Perdidas entre dos Tanques) 
38 0 0.0025 0.005 0.0075 0.01
5
15
25
35
45
Caudal (m3/s) 
C
a
b
e
z
a
l 
H
id
rá
u
lic
o
 (
m
)
 
 
Bal. de Energía
𝐴 
𝐵 
𝑦𝐴 
𝑦𝐵 
𝐿, 𝐷 
𝐻𝐴 = 𝐻𝐵 + 𝑕𝐿,𝐹 
𝐻𝐴 = 𝐻𝐵 + 0,08263
𝐾
𝐷4
𝑄2 + 0,08263𝑓
𝐿
𝐷5
𝑄2 
Curva Característica del Sistema 
Ejemplo 
Figura XVIII: Esquema del 
Sistema de Tuberías Caso I 
Capítulo II 
Método Grafico: Caso I (Perdidas entre dos Tanques) 
 
39 
𝐴 
𝐵 
𝑦𝐴 
𝑦𝐵 
𝐿, 𝐷 
Por lo tanto para un caudal conocido, es 
posible determinar el cabezal Hidráulico, y 
viceversa. 
0 0.0025 0.005 0.0075 0.01
5
15
25
35
45
Caudal (m3/s) 
C
a
b
e
z
a
l 
H
id
rá
u
lic
o
 (
m
)
 
 
Bal. de Energía
Cab. Hid. Punto A
Q
op
Figura XVIII: Esquema del 
Sistema de Tuberías Caso I 
Capítulo II 
Método Grafico: Caso II (Perdidas Locales) 
 
40 
𝐴 
𝐵 
𝑦𝐴 
𝑦𝐵 
𝐿, 𝐷 
𝐻𝐴 = 𝐻𝐵 + 𝑕𝐿,𝐹 
𝐻𝐴 = 𝐻𝐵 + 0,08263
𝐾𝑖
𝐷4
𝑄2 + 0,08263𝑓
𝐿
𝐷5
𝑄2 
Curva Característica del Sistema 
Ejemplo 
0 2.5 5
x 10
-3
5
15
25
Caudal (m3/s) 
C
a
b
e
z
a
l 
H
id
rá
u
lic
o
 (
m
)
 
 
Bal. de Energía, V. Abierta
Bal. de Energía, V. 3/4 Abierta
Figura XIX: Esquema del Sistema 
de Tuberías Caso II 
Capítulo II 
Método Grafico: CasoII (Perdidas Locales) 
 
41 
Similar al caso anterior es posible determinar 
para cada apertura el caudal, si se tiene el 
cabezal hidráulico. 
0 2.5 5
x 10
-3
5
15
25
Caudal (m3/s) 
C
a
b
e
z
a
l 
H
id
rá
u
lic
o
 (
m
)
 
 
Bal. de Energía, V. Abierta
Bal. de Energía, V. 3/4 Abierta
Cab. Hid. Punto A
Q
op
𝐴 
𝐵 
𝑦𝐴 
𝑦𝐵 
𝐿, 𝐷 
Figura XIX: Esquema del Sistema 
de Tuberías Caso II 
Capítulo II 
Método Grafico: Caso III (Sistema en Paralelo) 
 
42 
Curvas Característica del Sistema 
Ejemplo 
𝐴 𝐵 
1 
2 
𝑄 𝑄 
𝐻𝐴 = 𝐻𝐵 + 0,08263
𝐾1
𝐷1
4 𝑄1
2 + 0,08263𝑓1
𝐿1
𝐷1
5 𝑄1
2 
𝐻𝐴 = 𝐻𝐵 + 0,08263
𝐾2
𝐷2
4 𝑄2
2 + 0,08263𝑓2
𝐿2
𝐷2
5 𝑄2
2 
4 5 6 7 8 9 10 11 12
x 10
-3
5
15
25
35
45
Caudal (m3/s) 
C
a
b
e
z
a
l 
H
id
rá
u
lic
o
 (
m
)
 
 
Bal. de Energía, L1
Bal. de Energía, L2
Figura XX: Esquema del Sistema 
de Tuberías Caso III 
Capítulo II 
Método Grafico: Caso III (Sistema en Paralelo) 
 
43 
𝐴 𝐵 
1 
2 
𝑄 𝑄 
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
5
15
25
35
45
Caudal (m3/s) 
C
a
b
e
z
a
l 
H
id
rá
u
lic
o
 (
m
)
 
 
Bal. de Energía, L1
Bal. de Energía, L2
Bal. de Energía, L
H
f l
 A-B
Q
Op
Para perdidas similares en líneas, se puede 
determinar la Curva característica del sistema, 
sumando los valores de Caudal, para alturas 
fijas. 
Figura XX: Esquema del Sistema 
de Tuberías Caso III 
Capítulo II 
Introducción 
Características del flujo: flujo laminar y turbulento 
Ecuación de Darcy-Weisbach y Diagrama de Moody 
Pérdidas en tuberías 
Tuberías en serie y tuberías en paralelo 
Sistemas de bombeo: bombas en serie y en paralelo 
Sistemas de tuberías ramificadas 
44 
Capítulo II 
Sistemas de Bombeo 
Bomba: 
Se define una bomba como máquina usada para elevar un líquido y darle impulso 
en una dirección determinada. 
Dentro del balance de energía del sistema un 
incremento de la energía en la dirección positiva 
de flujo: 
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑃1
𝛾
+ 𝑦1 + 𝑕𝑎 =
𝑣2
2
2𝑔
+
𝑃2
𝛾
+ 𝑦2 + 𝑕𝑓,𝐿 
Este incremento de energía puede observarse de diferentes maneras: 
• Aumento de presión desde el punto 1 al punto 2. 
• Incrementar la carga de velocidad desde el punto 1 al 2. 
• Aumentar el nivel del fluido desde el punto 1 al 2. 
45 
Figura XXI: Bomba 
Horizontal 
Capítulo II 
Sistemas de Bombeo 
Curva Característica de una Bomba: 
La selección de una bomba depende de múltiples factores, como condiciones de 
entrada y salida, fluido a transportar, condiciones de temperatura, tipo del sistema, 
caudal requerido, tamaño de la bomba, costos, entre otros factores. 
 
En la gran mayoría de los casos el material de apoyo que se suele usar durante la 
etapa de selección es la curva característica de la bomba, que al igual que la curva 
de un sistema de tuberías representa de entre otros aspectos la altura o cabezal 
hidráulico (longitud de columna de fluido) en función del caudal del fluido, a 
continuación se muestra un ejemplo de ello: 
46 
Capítulo II 
Sistemas de Bombeo 
Curva Característica de una Bomba: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
Por lo general las curva característica 
de una bomba puede ajustarse de una 
forma sencilla, usando la siguiente 
ecuación: 
𝑯𝑩 = 𝑯𝒎𝒂𝒙 −𝑲𝑸
𝟐 
donde 
𝑯𝒎𝒂𝒙= Altura máxima de bombeo 
𝑲= Constante de perdida de la bomba 
𝑸= Caudal de Operación de la bomba 
Otro concepto importante en la 
selección de la bomba es la cantidad de 
energía suministrada al fluido por 
unidad de tiempo, conocido el régimen 
de flujo y el tipo de fluido, es posible 
establecer la potencia: 
𝑷𝑩 = 𝑯𝑩 𝜸 𝑸 
0 500 1000 1500 2000 2500
0
50
100
150
A
lt
u
ra
 H
id
rá
u
lic
a
 (
ft
)
0 500 1000 1500 2000 2500
0
10
20
30
 P
o
te
n
c
ia
 (
H
P
)
Caudal (GPM)
Figura XXII: Curva 
Característica de una 
Bomba, Tipo I 
Capítulo II 
Sistemas de Bombeo 
Curva Característica de una Bomba: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
0 500 1000 1500 2000 2500
0
100
200
A
lt
u
ra
 H
id
rá
u
lic
a
 (
ft
)
0 500 1000 1500 2000 2500
0
0.5
1
 P
o
te
n
c
ia
 d
e
 E
n
tr
a
d
a
 a
 l
a
 B
o
m
b
a
(H
P
)
Caudal (GPM)
Una manera de determinar el punto 
optimo de funcionamiento de una 
bomba es establecer la eficiencia de la 
misma, para ello debe conocerse la 
potencia de accionamiento de la 
bomba 𝑷𝑰 y la potencia que suministra 
la bomba al fluido (varia con respecto a 
caudal) 𝑷𝑩, 
𝜼 =
𝑷𝑩
𝑷𝑰
 
Por lo tanto conocida la eficiencia 
máxima de la bomba se puede 
establecer el punto optimo de diseño 
para una altura y caudal específicos. 
Figura XXIII: Curva 
Característica de una 
Bomba, Tipo II 
Capítulo II 
Sistemas de Bombeo 
Curva Característica de una Bomba: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
Otro factor importante en la selección de 
una bomba es la carga de succión neta 
positiva, o NPSH por sus siglas en ingles, 
el cual es el cabezal hidráulico que se 
debe mantener o exceder para evitar la 
cavitación en la bomba, 
𝑁𝑃𝑆𝐻 =
𝑝𝑠
𝛾
+
𝑣𝑆
2
2𝑔
−
𝑝𝑣
𝛾
 
Sin embargo establecer los valores de 
presión de succión o velocidad de succión 
requiere un conocimiento particular de la 
bomba, el cual el fabricante lo obtiene 
experimentalmente. 
0 500 1000 1500 2000 2500
0
50
100
150
Caudal (GPM)
A
lt
u
ra
 H
id
rá
u
lic
a
 (
ft
)
 
 
Curva de la Bomba
NSPH
Figura XXIII: Curva 
Característica de una 
Bomba, Tipo III 
Capítulo II 
Sistemas de Bombeo 
Curva Característica de una Bomba: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
Una alternativa es establecer el 𝑁𝑃𝑆𝐻 
disponible, el cual se puede obtener si se 
conocen los parámetros del sistema de 
tuberías. En el siguiente ejemplo tomado 
del libro (Munson, 2007), se ilustra la 
obtención de NPSH de un sistema 
particular: 
Balance de Energía 
𝑝𝑎𝑡𝑚
𝛾
− 𝑧1 =
𝑝2
𝛾
+
𝑣2
2
2𝑔
+ 𝑕𝑓,𝐿 
Donde despejando los términos del punto 
2, el cual es el punto de succión, se tiene: 
𝑝𝑠
𝛾
+
𝑣𝑠
2
2𝑔
=
𝑝𝑎𝑡𝑚
𝛾
− 𝑧1 − 𝑕𝑓,𝐿 
Figura XXIV: Sistema 
de Bombeo Simple 
Capítulo II 
Sistemas de Bombeo 
Curva Característica de una Bomba: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
Restando la altura de presión de vapor del 
fluido, se obtiene: 
𝑝𝑠
𝛾
+
𝑣𝑠
2
2𝑔
−
𝑝𝑣
𝛾
=
𝑝𝑎𝑡𝑚
𝛾
− 𝑧1 − 𝑕𝑓,𝐿 −
𝑝𝑣
𝛾
 
𝑁𝑆𝑃𝐻𝐷 =
𝑝𝑎𝑡𝑚
𝛾
− 𝑧1 − 𝑕𝑓,𝐿 −
𝑝𝑣
𝛾
 
Por lo tanto para este caso en particular 
los términos de perdida 𝑕𝑓,𝐿 o altura 𝑧1, 
deberán se menores tal que el 𝑁𝑆𝑃𝐻𝐷 sea 
positivo. 
Figura XXIV: Sistema 
de Bombeo Simple 
Capítulo II 
Sistemas de Bombeo: Bombas en Serie 
Es un arreglo de bombas que permite incrementar la altura de bombeo en un 
sistema de tuberías, para un caudal fijo en cada bomba, su representación grafica 
se muestra a continuación: 
 
 
 
 
 
 
 
Por ejemplo para un sistema donde las curvas de las bombas son conocidas: 
52 
Figura XXV: Sistema 
de Bombeo en Serie 
𝑄 𝑄 
𝐻 (𝑚) 
𝐿 (𝑚) 
Capítulo II 
Sistemas de Bombeo: Bombas en Serie 
Bomba #1 
𝐻𝐵1 = 150𝑓𝑡 − 5.5𝑄
2 
Bomba #2 
𝐻𝐵2 = 90𝑓𝑡 − 3.5𝑄
2 
Ecuación del Sistema de Bombeo en Serie 
𝐻𝐵𝑇 = 𝐻𝐵1 + 𝐻𝐵2 
𝐻𝐵𝑇 = 240𝑓𝑡 − 9𝑄
2 
 
Por lo tanto existen dos maneras de proyectar la curva del sistema de bombeo en 
serie, la primera es sumando las curvas como se hizo anteriormente, o si las curvas 
son desconocidas, para un mismo caudal se suman las alturas de cada bomba. 
53 
0 500 1000 1500 2000 2500
0
50
100
150
200
250
A
lt
u
ra
 H
id
rá
u
lic
a
 (
ft
)
GPM
 
 
Bomba 1
Bomba 2
Bomba 1-2 Serie
Capítulo II 
Sistemas de Bombeo: Bombas en Paralelo 
Es un arreglo de bombas que permite incrementar el caudal en un sistema de 
tuberías, para una altura fija en cada bomba, su representación grafica se muestra 
a continuación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por ejemplo para un sistema donde las curvas de las bombas son conocidas: 54 
𝐻 (𝑚) 
𝐿 (𝑚) 
𝑄 𝑄 
Figura XXVI: Sistema 
de Bombeo en Paralelo 
Capítulo II 
Sistemas de Bombeo: Bombasen Paralelo 
Bomba #1 
𝐻 = 150𝑓𝑡 − 5.5𝑄𝐵1
2 
𝑄𝐵1 =
150 𝑓𝑡 − 𝐻
5.5
 
Bomba #2 
𝐻 = 90𝑓𝑡 − 3.5𝑄𝐵2
2 
𝑄𝐵2 =
90 𝑓𝑡 − 𝐻
3.5
 
Ecuación del Sistema de Bombeo en Paralelo (Caudal) 
𝑄𝑇 = 𝑄𝐵1 + 𝑄𝐵2 =
150 𝑓𝑡 − 𝐻
5.5
+
90 𝑓𝑡 − 𝐻
3.5
 
Donde los valores de 𝐻 de cada termino son iguales (misma altura hidráulica). 55 
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
0
50
100
150
A
lt
u
ra
 H
id
rá
u
lic
a
 (
ft
)
GPM
 
 
Bomba 1
Bomba 2
Bomba 1-2 Paralelo
Capítulo II 
Introducción 
Características del flujo: flujo laminar y turbulento 
Ecuación de Darcy-Weisbach y Diagrama de Moody 
Pérdidas en tuberías 
Tuberías en serie y tuberías en paralelo 
Sistemas de bombeo: bombas en serie y en paralelo 
Sistemas de tuberías ramificadas 
56 
Capítulo II 
Sistemas de Tuberías Ramificadas (Simple) 
Son aquellos sistemas en los cuales una tubería se divide en diferentes ramas, o al 
contrario diferentes ramas se reducen a una tubería. Un sistema de tubería 
ramificada es aquel donde solo existe un nodo que une a mas de dos tuberías. Un 
ejemplo de ello es el sistema de tubería que se muestra a continuación: 
 
 
 
 
 
 
 
57 
1 
3 
2 
𝑦1 
𝑦2 
𝑦3 
𝑄1 
𝑄3 
𝑄2 
Figura XXVII: Sistema de Tuberías Ramificadas 
Capítulo II 
Sistemas de Tuberías Ramificadas (Simple) 
Por lo tanto al ser la solución de tipo nodal se debe plantear el sistema de 
ecuaciones, dependiendo de la distribución de flujo establecida: 
𝐻𝐽 = 𝐻𝑖 ± 𝐻𝐵 ± 𝑕𝑓,𝐿
𝑖
 
donde 
𝐻𝐽 Altura hidráulica en el nodo de convergencia o separación 
𝐻𝑖 Altura hidráulica en el extremo libre de la tubería 
𝐻𝐵 Altura hidráulica de la Bomba 
 𝑕𝑓,𝐿 𝑖
Perdidas Globales en la tubería 
Finalmente una vez planteado el sistema de ecuaciones para cada tubería, y la 
ecuación de continuidad, se debe resolver el sistema de forma que los el termino 
𝐻𝐽 de cada ecuación tenga el mismo valor. 58 
Capítulo II 
Sistemas de Tuberías Ramificadas (Simple) 
Algoritmo de resolución para sistemas de tuberías ramificadas (simple): 
1. Calcular la altura hidráulica en los extremos de la tuberías (𝐻1, 𝐻2, …, 𝐻𝑛) 
2. Suponer una dirección de flujo para cada rama 
3. Plantear las ecuaciones de energía para cada tubería 
𝐻𝐽 = 𝐻𝑖 ± 𝐻𝐵 ± 𝑕𝑓,𝐿
𝑖
 
4. Suponer un caudal para rama respetando la ley de conservación de masa 
5. Evaluar los valores en evaluar los valores de energía 𝐻𝐽 en cada nodo: 
 Si 𝐻𝐽(𝐴) = 𝐻𝐽(𝐵) = 𝐻𝐽(𝐶) ✓ 
Parar 
 Si 𝐻𝐽(𝐴) ≠ 𝐻𝐽(𝐵) ≠ 𝐻𝐽(𝐶) X 
 Volver a paso 2 
59 
Capítulo II 
Método Grafico: Caso IV (Tuberías Ramificadas) 
60 
Curvas Característica del Sistema 
 
 
 
 
 
 
Ecuación de Continuidad 
𝐻𝐴 = 𝐻𝐽 + 0,08263
𝐾1
𝐷1
4 𝑄1
2 + 0,08263𝑓1
𝐿1
𝐷1
5 𝑄1
2 
𝐻𝐵 = 𝐻𝐽 + 0,08263
𝐾2
𝐷2
4 𝑄2
2 + 0,08263𝑓2
𝐿2
𝐷2
5 𝑄2
2 
Esquema del Sistema de Tuberías 
Caso IV 
𝐴 
𝑍𝐴 
𝐵 
𝑍𝐵 
ε1, 𝐿1, 𝐷1 
𝐶 
𝑍𝐶 
ε2, 𝐿2, 𝐷2 
ε3, 𝐿3, 𝐷3 
𝐽 
𝐻𝐽 = 𝐻𝐶 + 0,08263
𝐾3
𝐷3
4 𝑄3
2 + 0,08263𝑓3
𝐿3
𝐷3
5 𝑄3
2 
𝑄1 + 𝑄2 − 𝑄3 = 0 
0 0.0025 0.005 0.0075 0.01
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Caudal (m3/s) 
C
a
b
e
z
a
l 
H
id
rá
u
lic
o
 (
m
)
 
 
Bal. de Energía, L1
Bal. de Energía, L2
Bal. de Energía, L3
Capítulo II 
Método Grafico: Caso IV (Tuberías Ramificadas) 
61 
Esquema del Sistema de Tuberías 
Caso IV 
𝐴 
𝑍𝐴 
𝐵 
𝑍𝐵 
ε1, 𝐿1, 𝐷1 
𝐶 
𝑍𝐶 
ε2, 𝐿2, 𝐷2 
ε3, 𝐿3, 𝐷3 
𝐽 
0 0.0025 0.005 0.0075 0.01
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Caudal (m3/s) 
C
a
b
e
z
a
l 
H
id
rá
u
lic
o
 (
m
)
 
 
Bal. de Energía, L1
Bal. de Energía, L2
Bal. de Energía, L3
HJ
Q
Op
La primera alternativa para determinar la 
distribución del sistema es conocer la altura 
en el nodo «J» y verificar luego el caudal en 
cada una de las ramas. 
Capítulo II 
Método Grafico: Caso IV (Tuberías Ramificadas) 
62 
Esquema del Sistema de Tuberías 
Caso IV 
𝐴 
𝑍𝐴 
𝐵 
𝑍𝐵 
ε1, 𝐿1, 𝐷1 
𝐶 
𝑍𝐶 
ε2, 𝐿2, 𝐷2 
ε3, 𝐿3, 𝐷3 
𝐽 
Mientras que la segunda opción consiste en 
agrupar al igual que tuberías en paralelo las 
ramas de entrada de caudal del nodo en una 
misma serie, igual para las de salida. y luego 
observar su punto de intercepción. El caudal 
es el mismo. 
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Caudal (m3/s) 
C
a
b
e
z
a
l 
H
id
rá
u
lic
o
 (
m
)
 
 
Bal. de Energía, L1-L2 Paralelo
Bal. de Energía, L3
HJ
Q
Op
Capítulo II 
Introducción 
Características del flujo: flujo laminar y turbulento 
Ecuación de Darcy-Weisbach y Diagrama de Moody 
Pérdidas en tuberías 
Tuberías en serie y tuberías en paralelo 
Sistemas de bombeo: bombas en serie y en paralelo 
Sistemas de tuberías ramificadas 
63 
Universidad Simón Bolívar 
Departamento de Mecánica 
MC 2313 
Instrumentos de Medición de Flujo 
Prof. Nelson Loaiza 
Email: nloaiza@usb.ve 
Laboratorio de Mecánica de Fluidos 
Sartenejas, Febrero 2015 
mailto:nloaiza@usb.ve
Capítulo III 
Introducción a la medición del flujo en fluidos 
Coeficientes de velocidad y descarga 
Placa orificio 
Tobera 
Venturi 
Tubo Pitot 
2 
Capítulo III 
Introducción a la medición del flujo en fluidos 
Todo proceso relacionado con el transporte de fluidos requiere en la gran mayoría de 
los casos una medición de caudal o volumen, lo cual permite determinar en 
oportunidades las condiciones de flujo a través del gasto, o perdidas en una tubería. 
Algunos ejemplos muy comunes de la medición de flujo son: 
 
 
3 
Figura I: Ejemplos de Medición de Flujo Comunes 
Capítulo III 
Introducción a la medición del flujo en fluidos 
Dependiendo de la variable que se quiera medir, se tienen medidores de velocidad, 
caudal volumétrico 𝑚3/𝑠 o másico 𝑘𝑔/𝑠 , del tipo y geometría de la tubería, de 
la naturaleza del fluido a medir (gas, líquido, o mezcla de los dos, limpio o sucio, sin o 
con partículas disueltas, conductividad, etc ) , de la precisión que se desee alcanzar, y 
sobre todo, de la economía. 
Es importante destacar que dependiendo del instrumento la medición será localizada 
es decir, particular del punto donde se midió. 
Por regla general, los aparatos de medida son bastante caros si se desea cierta 
precisión (White, 2008), a continuación se muestran algunos de los mas usados: 
4 
Capítulo III 
Introducción a la medición del flujo en fluidos 
 
 
 
5 
Figura II: Medidores de 
Partículas Flotante 
Medidores de Partículas Flotante: 
Son medidores basados en la introducción 
de partículas en fluido en donde es posible 
estimar la velocidad del fluido a través de su 
trayectoria usando un Velocímetro de 
trayectoria de partículas. Un ejemplo a 
escala mayor son las boyas las cuales son 
dispositivos basados en la ley de flotabilidad 
de Arquímedes, y partir de las cuales es 
posible establecer el movimiento de las 
corrientes marinas. 
 
Capítulo III 
Introducción a la medición del flujo en fluidos 
Medidores de Sensores Giratorios: 
Son usados por lo general para medir la velocidad del fluido a partir de la velocidad 
de rotación de un dispositivo giratorio conectado a un contador de revoluciones. 
 
 
 
 
 
 
 
La ventaja de estos dispositivos es la detección de flujo inverso, pues el sentido de 
giro será al contrario al esperado. 
 
 
6 
Figura III: Medidores de Dispositivos 
Giratorios 
Capítulo III 
Introducción a la medición del flujo en fluidos 
Medidores de Sensores Giratorios (Medidor de Turbina) 
Es un medidor que funciona utilizando una hélice dentro de la 
tubería que gira por el paso del fluido, en el cual la velocidad 
angular es proporcional a la velocidad del fluido. 
 
 
 
La medición de la velocidad se realiza por medio de pulsos 
magnéticos que son capturados por un sensor colocado en el 
extremo de los alabes de la turbina, este tipo de medición 
requiere de una calibración para su uso.Se puede emplear 
tanto para líquidos como gases, y para flujo no confinado. 7 
Figura IV: Medidor de 
Turbina 
Capítulo III 
Introducción a la medición del flujo en fluidos 
Medidores Electromagnético: 
Son medidores basados en la Ley de Inducción Electromagnética de Faraday, donde el 
fuerza electromotriz o voltaje 𝜀 es proporcional al cambio de flujo magnético ∆ϕ 
en un determinado intervalo de tiempo ∆𝑡 : 
𝜀 =
∆ϕ
∆𝑡
= 𝐴
∆𝐵
∆𝑡
 
Para un área 𝐴 constante el ∆ϕ = 𝐴 ∆𝐵, donde ∆𝐵 es el campo magnético, 
reescribiendo la ecuación se tiene: 
𝜀 = ∆𝐵
𝐴
∆𝑡
 
Para un 
𝐴
∆𝑡
 igual a caudal unitario 
𝑄
𝐷
 
𝜀 = ∆𝐵
𝑄
𝐷
 
Donde sustituyendo el caudal de una tubería de sección circular se tiene: 8 
Capítulo III 
Introducción a la medición del flujo en fluidos 
Medidores Electromagnético: 
𝜀 = ∆𝐵
𝑄
𝐷
= ∆𝐵 
0.25 𝜋 𝐷2 𝑉
𝐷
= 𝑘 ∆𝐵 𝑉𝐷 
Para 𝑘 igual a una constante que depende del ajuste del instrumento y la geometría. 
 
 
 
9 Figura V: Vista Esquemática de un Medidor 
Electromagnético 
Capítulo III 
Introducción a la medición del flujo en fluidos 
Anemómetro de Hilo Caliente: 
Es un tipo de medición cuya técnica esta basada en la perdida de calor por 
convección alrededor de un cilindro muy fino que funciona como sensor (hilo 
caliente). Es muy usada debido a que permite realizar mediciones muy localizadas en 
el dominio de medición. 
Se usa para cualquier régimen de flujo, sin embargo su aplicación mas común es para 
flujo en estado no permanente, donde es posible capturar en muy buena medida las 
fluctuaciones de la velocidad. 
 
 
 
10 
Figura VI: Vector de Fluctuación de Velocidad 
Capítulo III 
Introducción a la medición del flujo en fluidos 
Anemómetro de Hilo Caliente: 
La selección del material del hilo, depende de dos factores fundamentales: inercia 
térmica y geometría. Principalmente los materiales seleccionados deben tener una 
inercia térmica muy baja, esto para poder modelar los cambios rápido de calor que 
luego se traducen en cambio de velocidad; proporcional a este tiempo de respuesta 
lo es el diámetro del hilo. 
 
 
 
 
 
11 
Figura VII: Escala de un Medidor de Hilo Caliente 
Capítulo III 
Introducción a la medición del flujo en fluidos 
Anemómetro de Hilo Caliente: 
El funcionamiento de este dispositivo se obtiene a partir de la función adimensional 
de un flujo de fluido con transferencia de calor por convección: 
𝑁𝑢 = 𝑓 𝑅𝑒, 𝑃𝑟, 𝐾𝑛,… , 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜𝑠 
𝑞 𝐿
𝐴𝑠 𝑇𝑤 − 𝑇∞
= 𝑓
𝜌 𝑉 𝐷
𝜇
,
𝐶𝑝𝜇
𝑘
,
λ
𝐿
, … , 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜𝑠 
En 1914 King obtuvo una solución donde el número de Nusselt 𝑁𝑢 para un cilindro 
de longitud infinita es proporcionar al número de Reynolds 𝑅𝑒 , la cual se conoce 
como Ley de King, y es la ley sobre la cual se plantea la medición de velocidad de un 
anemómetro de hilo caliente: 
𝑁𝑢 = 𝐴 + 𝐵 𝑅𝑒𝑛 
𝐴, 𝐵 𝑦 𝑛 son constantes 12 
Capítulo III 
Introducción a la medición del flujo en fluidos 
Anemómetro de Hilo Caliente: 
Sustituyendo 𝑁𝑢 y Re 
𝑞 𝐿
𝐴𝑠 𝑇𝑤 − 𝑇∞
= 𝐴 + 𝐵
𝜌 𝑉 𝐷
𝜇
𝑛
 
Se puede expresar que la perdida de calor por convección es igual a la potencia 
eléctrica suministrada al sensor es decir 𝑞 = 𝐼2𝑅 
𝐼2𝑅 𝐿
𝐴𝑠 𝑇𝑤 − 𝑇∞
= 𝐴 + 𝐵
𝜌 𝑉 𝐷
𝜇
𝑛
 
Por Ley de Ohm 𝐼 =
𝜀
R
 
𝜀2
R 𝐿
𝐴𝑠 𝑇𝑤 − 𝑇∞
= 𝐴 + 𝐵
𝜌 𝑉 𝐷
𝜇
𝑛
 
Despejando 𝜀(caída de voltaje) para resistencia constante, y reescribiendo la ecuación 
𝜀2 = 𝐴′ + 𝐵′ 𝑉 𝑛 
donde 𝐴′ y 𝐵′ agrupan los términos de temperatura, resistencia y propiedades del 
fluido. 13 
Capítulo III 
Introducción a la medición del flujo en fluidos 
Anemómetro de Hilo Caliente: 
Concluyendo que la velocidad es producto de la caída de voltaje 
en el sensor, de acuerdo a las características del sensor (material 
y dimensiones del hilo), los valores de 𝐴′ y 𝐵′ deben ser 
obtenidos mediante una calibración, y los valores de 𝑛 depende 
del numero de Reynolds, para Reynolds muy bajo 𝑛 ≈
1
3
 , 
mientras que para Reynolds altos su valor es de 𝑛 ≈
1
2
. 
Caso contrario si la intensidad es constante, la velocidad es 
función de la resistencia del sensor. 
14 
Figura VIII: Medidor de Hilo 
Caliente 
Capítulo III 
Introducción a la medición del flujo en fluidos 
Anemómetro de Laser-Doppler: 
Es un dispositivo en el cual funcionamiento esta basado en el efecto Doppler de 
cambio de frecuencia de una fuente móvil con respecto a un observador. Para ello se 
hacen proyectan dos rayos laser con un ángulo 𝜃 de cruce en la región a medir, por 
lo tanto para un fluido en movimiento las partículas de este generaran un cambio de 
frecuencia con respecto a la frecuencia original ∆𝑓 , siendo la velocidad 
proporcional a esa variación: 
𝑉 =
λ∆𝑓
2 𝑠𝑖𝑛
𝜃
2
 
λ Longitud de onda del Laser 
15 
Figura IX: Anemometría 
Laser Debajo de un Vehículo 
Capítulo III 
Introducción a la medición del flujo en fluidos 
Medidor de Flujo Ultrasónico: 
Al igual que el anemómetro laser este medidor se basa en el efecto Doppler para 
medir la velocidad de flujo, se hace viajar ondas sonoras o pulsaciones sónicas 
alrededor de la región de medición, estableciendo a través de la diferencia de 
frecuencia de la onda excitada el valor proporcional del caudal. 
 
16 Figura X: Esquema de Medición por Ultrasonido 
Capítulo III 
Introducción a la medición del flujo en fluidos 
Medidor de Flujo de Vórtice: 
Es un medidor basado en el desprendimiento de vórtices de 
Von Karman alrededor de un obstáculo, el calculo de la 
velocidad 𝑉 del fluido se determina a partir del número de 
Strouhal el cual relaciona esta velocidad con la frecuencia 
angular de desprendimiento 𝑓 : 
𝑆𝑡 =
𝑓 𝐿
𝑉
 
Donde para un obstáculo determinado el número de Strouhal 
𝑆𝑡 y la longitud característica 𝐿 son constantes conocidas, 
por la tanto la frecuencia de desprendimiento es proporcional 
a la velocidad del fluido: 
𝑓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ∗ 𝑉 
 
 
 
consiste en colocar un obstáculo en la zona de medición, y 
determinar a partir de la frecuencia del d 
𝑉 =
λ∆𝑓
2 𝑠𝑖𝑛
𝜃
2
 
λ Longitud de onda del Laser 
17 
Figura XI: Medidor de Flujo 
de Vórtice 
Capítulo III 
Introducción a la medición del flujo en fluidos 
Medidor de Flujo Coriolis: 
Es una medición directa de caudal que se consigue al someter una tubería a una 
vibración de frecuencia Ω controlada, para alcanzar en el tubo curvo la aceleración 
de Coriolis: 
𝑎𝐶 = 2Ω 𝑉 
Donde el flujo másico 𝑚 se consigue a partir de las relaciones de la velocidad y el 
momento generado en los extremos de la tubería por la fuerza de Coriolis, 
quedando: 
𝑚 =
𝐾 ∆𝑡
8 𝑟2
 
Siendo el flujo másico una función de la rigidez del tubo 𝐿 , longitud 𝑟 y paso de 
tiempo ∆𝑡 de la tubería al pasar por el punto de origen. 
18 
Capítulo III 
Introducción a la medición del flujo en fluidos 
Medidor de Flujo Coriolis: 
19 
Figura XII: Medidor de Flujo Coriolis 
Capítulo III 
Introducción a la medición del flujo en fluidos 
Coeficientes de velocidad y descarga 
Placa orificio 
Tobera 
Venturi 
Tubo Pitot 
20 
Capítulo III 
Coeficientes de velocidad y descarga 
Coeficiente de Velocidad: 
En medidores de flujo por contracción es un valor adimensional que resulta de la 
relación entre los valores de velocidad de vena contracta 𝑉𝑣𝑐 y velocidad ideal 𝑉𝑖 
𝐶𝑉 =
𝑉𝑣𝑐
𝑉𝑖
 
Coeficiente de Descarga: 
Es la relación existente entre caudal real 𝑄𝑟 y caudal ideal 𝑄𝑖 , es un valor que 
depende altamente de la forma y tipo del medidor y además del regimen de flujo 
 𝐶𝑑 =
𝑄𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑄𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙
 
𝐶𝑑 = 𝑓 𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎, 𝑅𝑒 
21 
Capítulo III 
Introducción a la medición del flujo en fluidos 
Coeficientes de velocidad y descarga 
Placa orificio 
Tobera 
Venturi 
Tubo Pitot 
22 
Capítulo III 
Placa Orificio 
Es un medidor de flujo de vena contracta,donde el fluido es estrangulado por una 
reducción de área ocasionada por una placa con un orificio, generando una caída de 
presión proporcional al caudal del fluido, 
 
 
 
23 
Figura XIII: Esquema de una Placa Orificio 
Capítulo III 
Placa Orificio 
Para conocer este caudal se plantean dos ecuaciones entre el punto 1 y 2 
Ecuación de Continuidad (I) 
𝑄 = 𝑣1𝐴1 = 𝑣2𝐴2 
Ecuación de Bernoulli en una misma líneas, sin perdidas (2) 
𝑃1 +
𝜌
2
𝑣1
2 = 𝑃2 +
𝜌
2
𝑣2
2 
Reescribiendo la Ec. (2) en términos de caudal 
𝑃1 +
𝜌
2
𝑄2
𝐴1
2 = 𝑃2 +
𝜌
2
𝑄2
𝐴2
2 
Despejando el caudal 
𝑄 = 𝐴2
𝑃1 − 𝑃2
𝜌 1 − 𝛽4
 
Donde el área 𝐴2 es aproximada con el diámetro de la placa orificio 24 
Capítulo III 
Placa Orificio 
Donde el área 𝐴2 es aproximada con el 
diámetro de la placa orificio 
𝐴2 =
𝜋𝑑2
4
 
Por lo tanto 𝛽 =
𝑑
𝐷
. Sin embargo para una 
medida real de caudal, donde existen 
perdidas por fricción y locales, la ecuación 
anterior debe ser multiplicada por un 
coeficiente de descarga Cd 
𝑄 = 𝐶𝑑𝐴2
𝑃1 − 𝑃2
𝜌 1 − 𝛽4
 
que se encarga de ajustar el valor, 
obteniendo: 
𝐶𝑑 = 𝑓(𝛽, 𝑅𝑒) 
25 
Figura XIV: Coeficiente de Descarga 
de una Placa Orificio 
Capítulo III 
Introducción a la medición del flujo en fluidos 
Coeficientes de velocidad y descarga 
Placa orificio 
Tobera 
Venturi 
Tubo Pitot 
26 
Capítulo III 
Tobera 
Similar a la placa orificio la tobera es un 
medidor de caudal donde la medición se 
obtiene a partir de una caída de presión 
producto de una reducción de área, su 
caudal se calcula de manera similar: 
𝑄 = 𝐶𝑑𝐴2
𝑃1 − 𝑃2
𝜌 1 − 𝛽4
 
Donde el 𝐶𝑑 es función también de la 
geometría y de régimen de flujo. Para 
casos donde el flujo de trabajo sea 
considerado como flujo compresible, el 
flujo másico debe ser calculado como: 
27 
Figura XV: Coeficiente de Descarga de una Tobera 
Capítulo III 
Tobera 
𝑚 = 𝐶𝑑𝑌 𝐴2
𝜌1 𝑃1 − 𝑃2
1 − 𝛽4
 
Donde 𝑌 es el factor de expansión que depende de la geometría 𝛽 y de la tasa de 
cambio de presión 
𝑃2
𝑃1
 
28 
Figura XVI: Factor de Expansión para Flujo Compresible 
Capítulo III 
Introducción a la medición del flujo en fluidos 
Coeficientes de velocidad y descarga 
Placa orificio 
Tobera 
Venturi 
Tubo Pitot 
29 
Capítulo III 
Venturi 
Funciona bajo el mismo principio del 
medidor de Placa Orificio y Tobera, 
siguiendo la misma ecuación de caudal 
𝑄 = 𝐶𝑑𝐴2
𝑃1 − 𝑃2
𝜌 1 − 𝛽4
 
Comparado con la tobera, el tubo Venturi 
para casos particulares tiene Coeficiente de 
descargas menores, lo cual lo hace un poco 
menos preciso. Sin embargo en cuanto a 
perdidas de presión generadas sobre la 
línea, es el medidor de vena contracta que 
opone menor resistencia al flujo. 
30 
Figura XVII: Coeficiente de Descarga de 
un Venturi 
Capítulo III 
Venturi 
A continuación se muestra una grafica 
de perdidas locales relacionadas a cada 
medidor de flujo. Es importante 
destacar que los tubos Venturi son por 
lo general mas costosos que los otros 
dos medidores, esto debido a su 
mecanizado el cual debe ser muy 
preciso. 
31 
Figura XVIII: Perdidas Locales de 
Medidores de Vena Contracta 
Capítulo III 
Introducción a la medición del flujo en fluidos 
Coeficientes de velocidad y descarga 
Placa orificio 
Tobera 
Venturi 
Tubo Pitot 
32 
Capítulo III 
Tubo Pitot 
Es un medidor de flujo que consiste en un tubo alineado a la dirección del fluido y 
cuyo extremo esta en sentido inverso a la dirección de flujo, su funcionamiento se 
basa en la medición indirecta de la velocidad a través de las presión total y sus 
componentes, presión estática y la presión dinámica. A continuación se presentan dos 
versiones del tubo Pitot: 
33 
Tubo Pitot Simple: Es la versión en la cual 
el tubo solo tiene una toma de medición 
y es la presión Total. Recordar que la 
presión Total es: 
𝑃𝑇 = 𝑃 +
𝜌
2
𝑣2 
Aplicando Bernoulli entre los puntos 0 -1, 
y 1-2, sin considerar perdidas se tiene: 
Figura XIX: Tubo Pitot Simple 
Capítulo III 
Tubo Pitot 
Puntos 0-1 
𝑃0 +
𝜌
2
𝑣0
2 + 𝑦0 = 𝑃1 +
𝜌
2
𝑣1
2 + 𝑦1 
Para el origen ubicado en 𝑦0 y presión de estancamiento en el punto 1 v1 = 0, 
 𝑃0 +
𝜌
2
𝑣0
2 = 𝑃1 
Obteniendo que 𝑃1 es igual a la presión total 
Puntos 1-2 
𝑃1 +
𝜌
2
𝑣1
2 + 𝑦1 = 𝑃2 +
𝜌
2
𝑣2
2 + 𝑦2 
Para el origen ubicado en 𝑦1 y el punto 2 abierto a la atmosfera y en reposo, 𝑃2 = 0, 
𝑣2 = 0 
𝑃1 = 𝑦2 
Sustituyendo 𝑃1 en el balance anterior: 
 𝑃0 +
𝜌
2
𝑣0
2 = 𝑦2 
Se despeja la velocidad del fluido 
𝑣0 =
2 𝑦2 − 𝑃0
𝜌
 
Velocidad que se puede obtener midiendo la presión estática en el punto 0. 
34 
Capítulo III 
Tubo Pitot 
Tubo de Prandtl 
Es una modificación al tubo Pitot, y fue realizada por Prandtl, consiste en obtener la 
velocidad a partir de la diferencia de presión total, medida en el punto de 
estancamiento, y la presión estática del fluido en un orificio ubicado paralelamente 
al tubo. 
 
 
35 Figura XX: Tubo de Prandtl 
Capítulo III 
Tubo Pitot 
Tubo de Prandtl 
Medidas esas variables es posible despejar del termino de presión dinámica la 
velocidad del fluido: 
𝜌
2
𝑣2 = 𝑃𝑇 − 𝑃 
𝑣2 =
2 𝑃𝑇 − 𝑃
𝜌
 
Se recomienda que el uso de cualquier tubo Pitot debe estar alineado con la 
dirección de flujo, como se observa en la Figura XX los errores aumentan a medida 
que aumenta el angulo de inclinación del tubo con respecto al flujo. No se 
recomienda su uso para flujos transitorios debido a su lentitud de respuesta. 
36 
Capítulo III 
Introducción a la medición del flujo en fluidos 
Coeficientes de velocidad y descarga 
Placa orificio 
Tobera 
Venturi 
Tubo Pitot 
37 
Universidad Simón Bolívar 
Departamento de Mecánica 
MC 2312 
Análisis Diferencial e Integral 
del Flujo de un Fluido 
Prof. Nelson Loaiza 
Email: cosmeloaiza@gmail.com 
Laboratorio de Mecánica de Fluidos 
+58.426.8212214 
Sartenejas, Mayo 2014 
mailto:cosmeloaiza@gmail.com
Capítulo IV 
Conservación de la masa: ecuación de continuidad 
Conservación de la cantidad de movimiento: descripción de las 
fuerzas que actúan en un elemento diferencial, matriz de 
esfuerzo 
Ecuación de Euler 
Ecuación de Bernoulli 
Volumen de Control: teorema del transporte de Reynolds 
2 
Capítulo IV 
Conservación de la masa: ecuación de continuidad 
Establece que la masa de un fluido no puede cambiar. Para comprender mejor este 
concepto consideremos el flujo másico en las caras de una pequeña región de fluido: 
3 
x 
z 
y 
ρ 𝑢 𝑥 −
∆𝑥
2
, 𝑦, 𝑧 Δ𝑦Δ𝑧 ρ 𝑢 𝑥 +
∆𝑥
2
, 𝑦, 𝑧 Δ𝑦Δ𝑧 
ρ 𝑤 𝑥, 𝑦, 𝑧 +
∆𝑧
2
Δ𝑥Δ𝑦 
ρ 𝑤 𝑥, 𝑦, 𝑧 −
∆𝑧
2
Δ𝑥Δ𝑦 
ρ 𝑣 𝑥, 𝑦 −
∆𝑦
2
, 𝑧 Δ𝑥Δ𝑧 
ρ 𝑣 𝑥, 𝑦 +
∆𝑦
2
, 𝑧 Δ𝑥Δ𝑧 
𝑚 = 𝜌 𝑄 = 𝜌 (𝑽 𝐴) 
donde 
𝑚 = Flujo Másico 
Q = Caudal 
𝐕= Velocidad 
A= Área 
Capítulo IV 
Conservación de la masa: ecuación de continuidad 
Ahora realizamos un balance de masa que queda dentro del volumen de control: 
∆𝑚 = 𝑚 𝑒𝑛𝑡 −𝑚 𝑠𝑎𝑙 
 ∆𝑚 = ρ 𝑢 𝑥 +
∆𝑥
2
, 𝑦, 𝑧 − 𝑢 𝑥 −
∆𝑥
2
, 𝑦, 𝑧 Δ𝑦Δ𝑧
+ ρ 𝑣 𝑥, 𝑦 +
∆𝑦
2
, 𝑧 − 𝑣 𝑥, 𝑦 −
∆𝑦
2
, 𝑧 Δ𝑥Δ𝑧
+ ρ 𝑤 𝑥, 𝑦, 𝑧 +
∆𝑧
2
− 𝑤 𝑥, 𝑦, 𝑧 −
∆𝑧
2
Δ𝑥Δ𝑦 
 
Donde el diferencial de flujo másico para un volumen constante del elemento es: 
∆𝑚 = 𝑉𝑜𝑙
Δ𝜌 
Δ𝑡
 
4 
Plano YZ 
Plano XZ 
Plano XY 
Capítulo IV 
Conservación de la masa: ecuación de continuidad 
Dividimos entre el volumen del elemento Vol= Δx Δy Δz: 
 
Δ𝜌 
Δ𝑡
=
ρ 𝑢 𝑥 +
∆𝑥
2 , 𝑦, 𝑧 − 𝑢 𝑥 −
∆𝑥
2 , 𝑦, 𝑧
Δ𝑥
+
ρ 𝑣 𝑥, 𝑦 +
∆𝑦
2 , 𝑧 − 𝑣 𝑥, 𝑦 −
∆𝑦
2 , 𝑧
Δ𝑦
+
ρ 𝑤 𝑥, 𝑦, 𝑧 +
∆𝑧
2
− 𝑤 𝑥, 𝑦, 𝑧 −
∆𝑧
2
Δ𝑧
 
 
Reorganizando de forma diferencial cuando el limite de Δ𝑥, Δ𝑦, Δ𝑧 y Δ𝑡 tienden a 
cero: 
5 
Capítulo IV 
Conservación de la masa: ecuación de continuidad 
Se obtiene 
 
 
De forma compacta 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
− 𝛻. 𝜌𝑽 = 0 
Para un fluido en régimen permanente la ecuación se simplifica: 
 
 
Finalmentesi el flujo es permanente e incompresible la ecuación de conservación es 
igual a la divergencia del vector velocidad: 
 
 6 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
=
𝜕 𝜌 𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕 𝜌 𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕 𝜌 𝑤
𝜕𝑧
 
Ecuación General de 
Conservación de la 
Masa 
𝛻. 𝜌𝑽 =
𝜕 𝜌 𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕 𝜌 𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕 𝜌 𝑤
𝜕𝑧
= 0 
𝛻. 𝑽 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 0 
Capítulo IV 
Conservación de la masa: ecuación de continuidad 
Conservación de la cantidad de movimiento: descripción de 
las fuerzas que actúan en un elemento diferencial, matriz de 
esfuerzo 
Ecuación de Euler 
Ecuación de Bernoulli 
Volumen de Control: teorema del transporte de Reynolds 
7 
Capítulo IV 
Conservación de la cantidad de movimiento 
De acuerdo a la segunda ley de movimiento de Newton se establece: 
𝑭 =
𝐷
𝐷𝑡
𝑚𝑽 
 
Donde la cantidad de movimiento se define como la masa por la velocidad (mV), al 
expresarlo en forma diferencial se tiene: 
Δ𝑭 =
𝐷
𝐷𝑡
Δ𝑚𝑽 
 
Para un elemento de masa (Δ𝑚) constante en el tiempo 
𝛥𝑭 = 𝛥𝑚
𝐷
𝐷𝑡
𝑽 = 𝜌
𝐷
𝐷𝑡
𝑽 𝛥𝑥𝛥𝑦𝛥𝑧 
8 
Capítulo IV 
Conservación de la cantidad de movimiento 
Aplicando la derivada material del vector V : 
𝛥𝑭 = 𝜌𝛥𝑥𝛥𝑦𝛥𝑧
𝜕𝑽
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑽
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑽
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑽
𝜕𝑧
 
 
Se desarrolla en cada dirección: 
Dirección «x» 
 
 
Dirección «y» 
 
 
Dirección «z» 
 
 
9 
𝛥𝑭𝒙 = 𝜌𝛥𝑥𝛥𝑦𝛥𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
 Ec. 1 
𝛥𝑭𝒚 = 𝜌𝛥𝑥𝛥𝑦𝛥𝑧
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
 Ec. 2 
𝛥𝑭𝒛 = 𝜌𝛥𝑥𝛥𝑦𝛥𝑧
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
 Ec. 3 
Capítulo IV 
 
Descripción de las fuerzas que actúan en un elemento diferencial 
Sobre un diferencial de fluido las únicas fuerzas presentes son la fuerza de superficie 
y la fuerza del cuerpo o volumétrica. 
𝛥𝑭 = 𝐹𝑉 + 𝐹𝑆 = 𝐹𝑉 + 𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠 + 𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐 
En el caso de las fuerzas volumétricas estas son por lo general producto del campo 
gravitatorio, o campo electromagnéticos: 
𝐹𝑉 = 𝐹𝑔 
𝐹𝑔 = ρ𝒈𝛥𝑥𝛥𝑦𝛥𝑧 
Se tiene que para la influencia del campo gravitatorio terrestre, las componentes 
del vector g, son las siguientes: 
𝑔𝑥 = 𝑔𝑧 = 0
𝑚
𝑠2
 
𝑔𝑦 = 9,81
𝑚
𝑠2
 
10 
Capítulo IV 
Descripción de las fuerzas que actúan en un elemento diferencial 
Fuerza superficiales 
Corresponden a las fuerzas producto de los esfuerzos deformación presente sobre un 
volumen de fluido, estos esfuerzos pueden agruparse a través de la matriz de 
esfuerzo: 
𝜎𝑖,𝑗 =
−𝑝 + 𝜏𝑥𝑥 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥
𝜏𝑥𝑦 −𝑝 + 𝜏𝑦𝑦 𝜏𝑧𝑦
𝜏𝑥 𝜏𝑧𝑦 −𝑝 + 𝜏𝑧𝑧
 
Como se puede apreciar a diferencia de la presión que es un vector, tanto los 
esfuerzos de deformación (𝜎𝑖,𝑗) como los esfuerzos tangenciales (𝜏) son tensores que 
comprenden 9 componentes y por lo tanto requieren de una notación de doble 
índice para definir su ubicación. 
11 
Capítulo IV 
Descripción de las fuerzas que actúan en un elemento diferencial 
Para conseguir la Fuerza Superficial realizamos un balance de fuerza sobre el 
diferencial de fluido: 
Balance de Fuerza en la dirección «x» 
 
 
 
 
 
 
 
𝐹𝑠𝑥 =
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜎𝑥𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜎𝑥𝑧
𝜕𝑧
∆𝑥∆𝑦∆𝑧 
12 
𝜎𝑥𝑥Δ𝑦Δ𝑧 𝜎𝑥𝑥 +
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥
∆𝑥 Δ𝑦Δ𝑧 
𝜎𝑥𝑦 +
𝜕𝜎𝑥𝑦
𝜕𝑦
∆𝑦 Δ𝑥Δ𝑧 
𝜎𝑥𝑦Δ𝑥Δ𝑧 
𝜎𝑥𝑧Δ𝑥Δ𝑦 
x 
z 
y 
𝜎𝑥𝑧 +
𝜕𝜎𝑥𝑧
𝜕𝑧
∆𝑧 Δ𝑥Δy 
Capítulo IV 
Descripción de las fuerzas que actúan en un elemento diferencial 
De forma análoga para las direcciones y y z 
Balance en la dirección «y» 
𝐹𝑠𝑦 =
𝜕𝜎𝑦𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜎𝑦𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜎𝑦𝑧
𝜕𝑧
∆𝑥∆𝑦∆𝑧 
Balance en la dirección «z» 
𝐹𝑠𝑧 =
𝜕𝜎𝑧𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜎𝑧𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜎𝑧𝑧
𝜕𝑧
∆𝑥∆𝑦∆𝑧 
Reescribiendo las ecuaciones en términos de esfuerzos viscosos y de presión 
tenemos: 
𝜎𝑥𝑥 = −𝑝 + 𝜏𝑥𝑥 
𝜎𝑦𝑦 = −𝑝 + 𝜏𝑦𝑦 
𝜎𝑧𝑧 = −𝑝 + 𝜏𝑧𝑧 13 
Capítulo IV 
Descripción de las fuerzas que actúan en un elemento diferencial 
…y 
𝜎𝑥𝑦 = 𝜏𝑥𝑦 ; 𝜎𝑥𝑧 = 𝜏𝑥𝑧 ; 𝜎𝑦𝑥 = 𝜏𝑦𝑥 ; 𝜎𝑦𝑧 = 𝜏𝑦𝑧 ; 𝜎𝑧𝑥 = 𝜏𝑧𝑥 ; 𝜎𝑧𝑦 = 𝜏𝑧𝑦 
 
Por Lo tanto el nuevo balance de Fuerzas superficiales sobre el diferencial es… 
Dirección «x» 
𝐹𝑠𝑥 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑧
∆𝑥∆𝑦∆𝑧 
Dirección «y» 
𝐹𝑠𝑦 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑧
∆𝑥∆𝑦∆𝑧 
Dirección «z» 
𝐹𝑠𝑧 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧
∆𝑥∆𝑦∆𝑧 
 
14 
Capítulo IV 
Descripción de las fuerzas que actúan en un elemento diferencial 
…mientras que el balance final de fuerzas es: 
Dirección «x» 
 
 
Dirección «y» 
 
 
Dirección «z» 
 
 
Sustituyendo las ecuaciones 1, 2 y 3 en las ecuaciones 4, 5 y 6 respectivamente 
15 
∆𝑭𝒙 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑧
+ ρ𝑔𝑥 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 Ec. 4 
∆𝑭𝒚 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑧
+ ρ𝑔𝑦 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 Ec. 5 
∆𝑭𝒛 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧
+ ρ𝑔𝑧 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 Ec. 6 
Capítulo IV 
Descripción de las fuerzas que actúan en un elemento diferencial 
Y el balance final de fuerzas en cada dirección es: 
Dirección «x» 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
=
1
𝜌
−
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑧
+ 𝑔𝑥 
 
Dirección «y» 
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
=
1
𝜌
−
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑧
 + 𝑔𝑦 
 
Dirección «z» 
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
=
1
𝜌
−
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧
+ 𝑔𝑦 
Reescribiendo de forma compacta: 
𝜕𝑽
𝜕𝑡
+ (𝑽 · 𝛻)𝑽 =
1
𝜌
−𝛻𝑃 + 𝛻 · 𝝉𝑖,𝑗 + 𝒈 
16 
Capítulo IV 
Conservación de la masa: ecuación de continuidad 
Conservación de la cantidad de movimiento: descripción de las 
fuerzas que actúan en un elemento diferencial, matriz de 
esfuerzo 
Ecuación de Euler 
Ecuación de Bernoulli 
Volumen de Control: teorema del transporte de Reynolds 
17 
Capítulo IV 
Ecuación de Euler 
Existen algunos problemas donde se puede modelar el flujo de fluido si el fluido es 
considerado no viscoso, esto ocurre cuando la fuerzas cortantes resultan ser mucho 
menores que los fuerzas producto de la presión o de gravedad, y por lo tanto se 
desprecian. 
 
 
 
 
 
 
Basado en ello el matemático suizo Leonard Euler desarrollo las ecuaciones que relacionan 
la presión y flujo de un fluido: 
18 
Líneas de Corriente alrededor de un Cilindro 
(Flujo No Viscoso) 
Capítulo IV 
Ecuación de Euler 
Dirección «x» 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= −
1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝑔𝑥 
 
Dirección «y» 
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
= −
1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝑔𝑦 
 
Dirección «z» 
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= −
1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝑔𝑦 
Reescribiendo de forma compacta: 
𝜕𝑽
𝜕𝑡
+ 𝑽 · 𝛻 𝑽 = −
1
𝜌
𝛻𝑃 + 𝒈 
19 
Capítulo IV 
Conservación de la masa: ecuación de continuidad 
Conservación de la cantidad de movimiento: descripción de las 
fuerzas que actúan en un elemento diferencial, matriz de 
esfuerzo 
Ecuación de Euler 
Ecuación de Bernoulli 
Volumen de Control: teorema del transporte de Reynolds 
20 
Capítulo IV 
Ecuación de Bernoulli 
Basado en la ecuación de Euler para un flujo estable es posible demostrar la ecuación de 
Bernoulli: 
𝑽 · 𝛻 𝑽 = −
1
𝜌
𝛻𝑃 + 𝒈 
Integrando esta ecuación consideramos un elemento que se mueve a lo largo de una línea 
de corriente: 
 
 
 
 
Sobre el cual actúan las siguientes fuerzas gravitatorias y de flujo, que se muestran a 
continuación: 
21 
Capítulo IV 
Ecuación de Bernoulli 
Balance de Fuerzas producto de la Presión 
 
 
 
En el caso de las fuerzas en la dirección «s» el balance es el siguiente: 
Δ𝐹𝑃𝑠 = 𝑃 +
𝜕𝑃
𝜕𝑠
∆𝑛∆w − 𝑃∆𝑛∆𝑤 
𝐹𝑃𝑠 =
𝜕𝑃
𝜕𝑠∆𝑛∆𝑤 
Despejando el diferencial de presión en el eje «s»: 
Δ𝑃𝑠 =
𝜕𝑃
𝜕𝑠
 
22 
Capítulo IV 
Ecuación de Bernoulli 
Debido a que solo integraremos con respecto al eje «s», se puede decir que el diferencial 
de presión es el gradiente de presión: 
𝛻𝑃 =
𝜕𝑃
𝜕𝑠
 
 
Balance de Fuerzas producto de la Gravedad 
 
 
 
 
 
 
En este caso la única fuerza producto de la gravedad es el peso, la ecuación para conocer 
su componente sobre el eje de integración es: 
𝑤𝑠 = −𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑤 
23 
𝑤 
θ 
Capítulo IV 
Ecuación de Bernoulli 
Donde el seno del ángulo θ es: 
 
 
 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
Δ𝑦 
Δ𝑠
=
𝑑𝑦 
𝑑𝑠
 
 
 
 
Sustituyendo 
𝑤𝑠 = −
𝑑𝑦 
𝑑𝑠
𝑤 
Dividiendo en entre el volumen (ΔsΔnΔz) 
𝑔𝑠 = −
𝑑𝑦 
𝑑𝑠
g 
 
De igual, al estar integrando sobre una línea 𝒈 = 𝑔2 
𝒈 = −
𝑑𝑦 
𝑑𝑠
g 
 24 
Δy 𝜃 
Capítulo IV 
Ecuación de Bernoulli 
Finalmente reemplazando en la ecuación inicial: 
𝑽
𝜕𝑽
𝜕𝑠
= −
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑠
− 𝑔
𝑑𝑦 
𝑑𝑠
 
donde por regla de la cadena (para integrar en un sola dirección) sabemos que 
𝑑𝑃
𝑑𝑠
=
𝜕𝑃
𝜕𝑠
 
𝑽
𝜕𝑽
𝜕𝑠
= −
1
𝜌
𝑑𝑃
𝑑𝑠
− 𝑔
𝑑𝑦 
𝑑𝑠
 
Sabemos que el vector identidad para un flujo irrotacional es tal que 𝑽
𝜕𝑽
𝜕𝑠
=
1
2
𝑑 𝑉2
𝑑𝑠
, 
entonces: 
1
2
𝑑 𝑉2
𝑑𝑠
+
1
𝜌
𝑑𝑃
𝑑𝑠
+ 𝑔
𝑑𝑦 
𝑑𝑠
= 0 
Simplificando: 
1
2
𝑑 𝑉2 +
1
𝜌
𝑑𝑃 + 𝑔𝑑𝑦 = 0 
25 
Capítulo IV 
Ecuación de Bernoulli 
Integrando entre dos puntos de la línea de corriente: 
 
1
2
𝑉2 +
1
𝜌
𝑑𝑃 + 𝑔𝑦
2
1
= 0 
Se tiene: 
1
2
𝑉2
2 − 𝑉1
2 + 
1
𝜌
𝑑𝑃
2
1
+ 𝑔(y2 − y1) = 0 
Para un flujo incompresible: 
1
2
𝑉2
2 − 𝑉1
2 +
1
𝜌
𝑃2 − 𝑃1 + 𝑔 y2 − y1 = 0 
Reorganizando finalmente se obtiene, se tiene la Ecuación de Bernoulli entre dos puntos: 
1
2
𝑉2
2 +
1
𝜌
𝑃2 + 𝑔y2 =
1
2
𝑉1
2 +
1
𝜌
𝑃1 + 𝑔y1 
26 
Capítulo IV 
Ecuación de Bernoulli 
Mientras que integrando de forma indefinida se tiene: 
1
2
𝑉2 +
1
𝜌
𝑃 + 𝑔y = constante 
La ecuación de Bernoulli además de presentarse como sumatoria de energía, 
 
1
2
𝑉2 + 
1
𝜌
𝑃 + 𝑔y = constante 
 
También puede presentarse como sumatoria de cabezales si se divide entre la gravedad, 
 
1
2g
𝑉2 + 
1
γ
𝑃 + y = constante 
 
27 
Energía Cinética Energía de Flujo Energía Potencial 
Cabezal de Velocidad Cabezal de Presión Cabezal de Elevación 
Capítulo IV 
Ecuación de Bernoulli 
 O de forma de presión si se multiplica por el peso especifico (γ): 
𝜌𝑉2
2
 + 𝑃 + γ y = constante 
28 
Presión Dinámica Presión Estática 
Capítulo IV 
Conservación de la masa: ecuación de continuidad 
Conservación de la cantidad de movimiento: descripción de las 
fuerzas que actúan en un elemento diferencial, matriz de 
esfuerzo 
Ecuación de Euler 
Ecuación de Bernoulli 
Volumen de Control: teorema del transporte de Reynolds 
29 
Capítulo IV 
Volumen de Control: Teorema del Transporte de Reynolds 
Es un método usado para establecer las relaciones de cambio de una propiedad entre 
un sistema que se mueve y un volumen de control fijo. 
 
 
 
 
 
 
Durante un instante de tiempo (t) el sistema y el volumen de control (V.C.) se 
encuentran la misma posición, considerando que para un siguiente instante de tiempo 
(t+Δt) el sistema se ha desplazado, el cambio de la propiedad del sistema se describe: 
30 
𝐵𝑠𝑖𝑠 = 𝐵𝑉.𝐶. + 𝐵𝑜𝑢𝑡 − 𝐵𝑖𝑛 (I) 
T=t T=t+Δt 
𝑩𝑽.𝑪. = 𝑩𝑺 𝑩𝒊𝒏 𝑩𝒐𝒖𝒕 
Capítulo IV 
Volumen de Control: Teorema del Transporte de Reynolds 
Derivando con respecto al tiempo se tiene: 
𝑑𝐵
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠
=
𝜕𝐵
𝜕𝑡
𝑉.𝐶.
+ 𝐵 𝑜𝑢𝑡 − 𝐵 𝑖𝑛 
donde 
𝐵 = 𝑚 𝑏 
𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 
𝑏 = 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑣𝑎 
Se tiene entonces que la derivada temporal de la propiedad extensiva en el V.C. es: 
𝜕𝐵
𝜕𝑡
𝑉.𝐶.
=
𝜕
𝜕𝑡
 (𝑚 𝑏)
𝑉.𝐶.
=
𝜕
𝜕𝑡
 𝑏 𝜌 𝑑∀
𝑉.𝐶.
 
Mientras que el flujo de la propiedad extensiva a la salida y entrada de las superficies 
de control puede escribirse como: 
 
31 
𝐵 𝑜𝑢𝑡 = 𝑏 𝜌 𝑉 cos 𝜃 𝑑𝐴
𝑆.𝐶.𝑜𝑢𝑡
 𝐵 𝒊𝒏 = 𝑏 𝜌 𝑉 cos 𝜃 𝑑𝐴
𝑆.𝐶.𝒊𝒏
 
Capítulo IV 
Volumen de Control: Teorema del Transporte de Reynolds 
Sustituyendo en la ecuación general: 
𝑑𝐵
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠
=
𝜕𝐵
𝜕𝑡
𝑉.𝐶.
+ 𝑏 𝜌 𝑉 cos 𝜃 𝑑𝐴
𝑆.𝐶.𝑜𝑢𝑡
− 𝑏 𝜌 𝑉 cos 𝜃 𝑑𝐴
𝑆.𝐶.𝑖𝑛
 
 
Para un régimen permanente de flujo, la ecuación se simplifica: 
 𝑏 𝜌 𝑉 cos 𝜃 𝑑𝐴
𝑆.𝐶.𝑜𝑢𝑡
− 𝑏 𝜌 𝑉cos 𝜃 𝑑𝐴
𝑆.𝐶.𝑖𝑛
= 0 
 
Además para un fluido incompresible, 
 𝑏 𝑉 cos 𝜃 𝑑𝐴
𝑆.𝐶.𝑜𝑢𝑡
− 𝑏 𝑉cos 𝜃 𝑑𝐴
𝑆.𝐶.𝑖𝑛
= 0 
 
Algunos ejemplos de propiedad extensiva son: 
Momentum p=mV 
Masa b=1, B=m 
Energía Cinética Ec=(1/2) 𝑚𝑣2 
32 
Capítulo IV 
Conservación de la masa: ecuación de continuidad 
Conservación de la cantidad de movimiento: descripción de las 
fuerzas que actúan en un elemento diferencial, matriz de 
esfuerzo 
Ecuación de Euler 
Ecuación de Bernoulli 
Volumen de Control: teorema del transporte de Reynolds 
Ecuación de movimiento 
33 
Universidad Simón Bolívar 
Departamento de Mecánica 
MC 2313 
Flujo No Permanente en 
Conductos Cerrados 
Prof. Nelson Loaiza 
Email: nloaiza@usb.ve 
Laboratorio de Mecánica de Fluidos 
Sartenejas, Febrero 2015 
mailto:nloaiza@usb.ve
Capítulo IV 
Conceptos fundamentales del flujo no permanente 
Ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento y 
velocidad de propagación de ondas 
Ecuación de la conservación de la masa (continuidad) 
Golpe de ariete en tuberías rígidas 
Oscilaciones en tuberías 
2 
Capítulo IV 
Conceptos fundamentales del flujo no permanente 
La condición de flujo en sistema de tuberías no siempre obedece a un régimen 
estacionario, en ciertas ocasiones dependiendo de la operación del sistema pueden 
existir perturbaciones o excitaciones, que induzcan a la aparición de un régimen no 
permanente, algunas de estas excitaciones son el cierre o apertura abrupta de una 
válvula, cavitación, rompimiento de una tubería, o el funcionamiento de una bomba 
o turbina. 
 
 
3 Figura I: Etapa inicial de Funcionamiento de un Turbina 
Capítulo IV 
Conceptos fundamentales del flujo no permanente 
Un fenómeno relacionado con el flujo transitorio en tuberías son las sobrepresiones, 
las cuales pueden ocasionar fallas localizadas en tramos del sistema. Es por ello que 
el diseño de tuberías requiere un conocimiento acerca de las variaciones de 
velocidades y presión posibles en el sistema, esto con el propósito de prever daños a 
los equipos y accesorios que lo componen. 
 
 
4 Figura II: Sistemas de Prevención de Flujo Inverso 
Capítulo IV 
Conceptos fundamentales del flujo no permanente 
Producto de la sobrepresiones o decrecimiento de presiones existe una interacción 
entre de lo que ocurre con el fluido y los soportes, accesorios y tuberías, esto se 
conoce como Interacción Fluido-Estructura o FSI por sus siglas en ingles, y es el 
estudio de la deformación de estructuras que se encuentran sometidas a esfuerzo 
debido a un fluido externo o interno que pasan por ellas. 
 
 
 
5 Figura III: Simulación de Sobrepresiones en Tuberías y Accesorios 
6 
Capítulo IV 
Conceptos fundamentales del flujo no permanente 
Ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento 
y velocidad de propagación de ondas 
Ecuación de la conservación de la masa (continuidad) 
Golpe de ariete en tuberías rígidas 
Oscilaciones en tuberías 
Capítulo IV 
Ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento y 
velocidad de propagación de ondas 
Para determinar la sobrepresión en un sistema de tubería primero es necesario 
observar las fuerzas que actúan sobre la tubería que se deforma producto de una 
onda expansiva, para ello seleccionamos un volumen de control: 
 
 
 
 
 
7 Figura IV: Volumen de Control