Análisis Dimensional

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ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA 
El análisis dimensional es el estudio de la predicción de las condiciones de un prototipo a 
partir de las observaciones realizadas con un modelo dentro de las condiciones de ensayo 
del laboratorio 
1. Existe similitud geómetrica, es decir, existe un escalonamiento de las dimensiones 
h/lmodelo = h/lprototipo. 
2. Existe similitud cinemática, similitud de ls líneas de corriente. Las líneas de corriente 
deben ser paralelas y para cualquier par de puntos equivalentes 1mod K
V
V
prototipo
elo = 
3. La relación entre las propiedades del fluido para dos puntos equivalentes cualesquiera 
debe ser constante. 2mod K
prototipo
elo =
ρ
ρ
 
Si las condiciones anteriores se cumplen simultáneamente, entonces se dice que existe una 
similitud DINAMICA, que implica: 
constante
F
F
F
F
F
F
F
F
prototipoinerciales
eloinerciales
prototipoasvis
eloasvis
prototipopresión
elopresión
prototipovedad
elovedad ====
/
mod/
/cos
mod/cos
/
mod/
/gra
mod/gra
 
o expresado de otra forma, tenemos por ejemplo: 
 
elovedad
eloinerciales
prototipovedad
prototipoinerciales
F
F
F
F
mod/gra
mod/
/gra
/ = ⇒ Frmodelo = Frprototipo
eloinerciales
elopresión
prototipoinerciales
prototipopresión
F
F
F
F
mod/
mod/
/
/ = ⇒ Eumodelo = Euprototipo 
eloasvis
eloinerciales
prototipoasvis
prototipoinerciales
F
F
F
F
mod/cos
mod/
/cos
/ = ⇒ Remodelo = Reprototipo 
Situaciones de flujo para los cuales ciertos parámetros resultan mas relevantes que otros. 
Nombre Situaciones de importancia para este parámetro 
Euler Flujos en los que la caída de presión es significativa 
 1
Reynolds Flujos en los que influyen las fuerzas viscosas; flujos 
internos, flujos de capa limite 
Froude Flujos en los que influye la gravedad, principalmente 
los flujos de superficie libre 
Mach La compresibilidad es importante en estos flujos 
generalmente para v < 0.30 c 
Weber La tensión superficial afecta el flujo, por ejemplo un 
flujo con interfaces 
Struhal Flujos con una componente inestable que se repite 
periódicamente 
 
Ejemplo 1: 
Se va a simular el flujo de agua a 10 °C que corre por un tubo rugoso de 10 cm. de 
diámetro con aire (20 °C) que circula por el mismo tubo. Si la velocidad del agua es 1.5 
m/s, ¿Cuál tendrá que ser la velocidad del aire para alcanzar similitud dinámica?. Suponga 
que la presión absoluta en el tubo debe ser de 150 kPa. Si la diferencia de presión entre dos 
secciones del tubo durante el flujo de aire se midió como 780 kPa, ¿Qué diferencia de 
presión ocurre entre estas dos secciones cuando circula agua bajo condiciones dinámicas 
semejantes. 
Parte a) 
µ
ρLV
modelo = 
µ
ρLV
prototipo. 
mod mod mod
mod
prototipo prototipo prototipoelo elo elo
elo prototipo
V LV L ρρ
µ µ
= 
mod
mod
mod mod
prototipo prototipo elo
elo prototipo
elo elo prototipo
L
V V
L
ρ µ
ρ µ
= 
mod mod
mod
mod
prototipo elo elo
elo prototipo prototipo
elo prototipo prototipo
V V V
ρ µ ν
ρ µ ν
= = 
Parte b) 
 2
2
P
Vρ
∆
modelo = 2
P
Vρ
∆
prototipo. 
mod
2 2
mod mod
prototipoelo
elo elo prototipo prototipo
PP
V Vρ ρ
∆∆
= 
2
mod2
mod mod
prototipo prototipo
prototipo elo
elo elo
V
P P
V
ρ
ρ
∆ = ∆ 
2 2
mod mod
mod mod
mod mod mod
prototipo prototipo prototipoelo elo
prototipo elo elo
elo prototipo elo prototipo elo
P P
ρ µ µρ ρ
ρ ρ µ ρ µ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
∆ = ∆ = ∆⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
P 
 
Ejemplo 2: 
Como debe ser la relación de las viscosidades cinemáticas del modelo y el prototipo para 
un flujo que presenta una similitud del número de Reynolds y del número de Froude. 
Sabemos que Fr = 
gL
V y Re = 
µ
ρLV =
ν
VL 
Por el enunciado tenemos que: Frmodelo = Frprototipo y Remodelo = Reprototipo. por lo tanto ⇒ 
gL
V
modelo = 
gL
V
prototipo 
µ
ρLV
modelo = 
µ
ρLV
prototipo. 
prototipo
elo
prototipo
elo
L
L
V
V modmod = 1
mod
modmodmod =
elo
prototipo
prototipo
elo
prototipo
elo
prototipo
elo
L
L
V
V
µ
µ
ρ
ρ
 
rr LV = 1=
r
rrr LV
µ
ρ
 
Acoplando estos resultados parciales 
1º
2/3
===
r
rr
r
rrr
r
rrr LLLLV
ν
ρ
µ
ρ
µ
ρ ⇒ rr L
2/3=ν
1
2/3
===
r
rr
r
rrr
r
rrr LLLLV
µ
ρ
µ
ρ
µ
ρ
 ⇒ r
r
r L 2/3=
ρ
µ
 ⇒ rr L
2/3=ν
 
 3
 “TEOREMA DE Π BUCKINGHAM” 
 
“Dados n parámetros relevantes dimensionales que describen las condiciones, propiedades 
del fluido, etc. de un flujo y m dimensiones básicas que pueden ser masa, longitud, etc. 
Existen n-m parámetros Π adimensionales que gobiernan el fenómeno de flujo, tal que: 
f(Π1,Π2.Π3......,Πn-m) = 0 ” 
 
Procedimiento para emplear el TEOREMA DE Π BUCKINGHAM 
 
1. Determinar la forma funcional de la variable dependiente en función de las variables 
independientes. Siendo n el número total de variables. 
2. Identificar las dimensiones básicas presentes en las variables (m). Para saber cuantos 
parámetros adimensionales se calcula el número de variables (n) menos el número de 
unidades básicas (m), "n-m" 
3. Identificar (m) variables repetitivas, las cuales deben incluir todas las unidades básicas, 
pero no deben formar un grupo adimensional por sí solos. 
4. Formar los parámetros Π combinando las variables repetitivas con cada una de las 
variables restantes. Plantear (n-m) sistemas de ecuaciones igualados a cero, para 
determinar los exponentes de cada una de las variables repetitivas. 
5. Escribir los (n-m) parámetros Π en función de los otros. 
 
Ejemplo 1: 
El flujo de una mezcla de partículas de gas en un tubo erosiona la pared del tubo. Esto es, 
las colisiones de las partículas con la pared desprenden material de la pared las propiedades 
mecánicas que pueden ser significativas en este problema son el modulo de elasticidad E 
[ ]2mskg , resistencia máxima, σ [ ]2mskg , y número de dureza Brinel, Br. Las 
propiedades de las partículas y flujo que pueden ser importantes son la velocidad V, el 
diámetro de la partícula d, el flujo másico de partículas y el diámetro D del tubo. El 
número de dureza Brinel es adimensional. Realice el análisis adimensional para hallar la 
rapidez de erosión e , que tiene unidades de 
pM
[ ]smkg 2 . Exprese su respuesta en la forma 
 1
funcional ( )4321 ,,, ππππfE
eV
= , donde 23 Ed
VM p=π . Como expresaría la relación entre la 
resistencia máxima y la rapidez de erosión entre un modelo y un prototipo dados?. 
 
Respuesta: ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
d
D
Ed
VM
Br
E
f
E
eV p ,,, 2
σ 
 
Del enunciado se desprende que existen 8 variables relevantes en el proceso. 
1. Modulo de elasticidad E [ ]2mskg , 
2. Resistencia máxima, σ [ ]2mskg , 
3. Número de dureza Brinel, Br 
4. Velocidad V, 
5. Diámetro de la partícula d, 
6. Flujo másico de partículas pM
7. Diámetro D del tubo, 
8. Rapidez de erosión e , 
y que se encuentra involucradas la masa, la longitud y el tiempo como unidades básicas. 
 
Las definiciones de 3π y 5π nos indican que las variables repetitivas corresponden al 
Modulo de elasticidad, E, Velocidad, V, y Diámetro de la partícula, d. 
 
Entonces los números Pi restantes se especifican como: 
1 2 3
1
a a aE V dπ σ= 
2 Brπ = 
1 2 3
4 E V d D
β β βπ = 
 
1 2 3
1
a a aE V dπ σ= = (ML-1T-2) α1(ML-1)α2(L)α3ML-1T-2 = M0L0T0 
M: α1+α2+1 = 0 α2 = 0 
 2
L: -α1-α2+α3-1 = 0 ⇒ α3 = 0 ⇒ Π1 =
E
σ ; 
T: -2α1-2 = 0 α1 = -1 
 
1 2 3
4 E V d D
β β βπ = = (ML-1T-2) β1(ML-1) β2(L) β3L = M0L0T0 
M: β1+β2 = 0 β2 = 0 
L: -β1-β2+β3+1 = 0 ⇒ β3 = -1 ⇒ Π2 = 
D
d
 
T: -2β1 = 0 β1 = 0 
 
Ejemplo 2: 
Aplicando análisis dimensional para halle la potencia de la bomba centrifuga en función de 
las variables que intervienen en el fenómeno. 
 
Paso 1. 1 Variable dependiente = Pot 
⇒ 6 variables relevantes ⇒ n=6 
5 Variables independientes = Q 
 
Paso 2. Variable Q ∆p Pot W D ρ 
 Unidad L3/T M/LT2 ML2/T3 1/T L M/L3
Se observa que las unidades básicas son masa, longitud y tiempo ⇒ m=3. Son 3 Parámetros 
adimensionales, n – m = 6 - 3 = 3 
 
Paso3. Si escogemos como variables repetitivas caudal, potencia y velocidad de rotación 
hay que verificar que sean linealmente independientes, para lo cual se debe calcular el 
determinante de la matriz dimensional: 
 
 M L T 
Q 0 3 -1 = 3 ≠ 0 
Pot 1 2 -3 
w 0 0 -1 
 3
 
Paso 4. Π1 = Qα1Potα2wα3∆p = (L3T-1) α1(ML2T-3)α2(T-1)α3ML-1T-2 = M0L0T0 
 
M: α2+1 = 0 α1 = 1 
L: 3α1+2α2-1 = 0 ⇒ α2 = -1 ⇒ Π1 = 
Pot
pQ∆ ; 
T: -α1-3α2-α3-2 = 0 α3 = 0 
 
conocida como la eficiencia de una bomba la relación entre la potencia hidráulica y la 
potencia mecánica de una bomba 
 
Π2 = Qβ1Potβ2wβ3D = (L3T-1)β1(ML2T-3) β2(T-1) β3 L = M0L0T0 
 
M: β2 = 0 β1 = -1/3 
L: 3β1+2β2+1 = 0 ⇒ β2 = 0 ⇒ Π2 = 31
31
Q
Dw 
T: -β1-3β2-β3 = 0 β3 = 1/3 
 
conocida como el coeficiente de flujo de descarga Cd 
 
 
Π3 = Qγ1Potγ2.wγ3. ρ = (L3T-1) γ1(ML2T-3) γ2( T-1) γ3ML-3 = M0L0T0 
 
M: γ2+1 = 0 γ1 = 5/3 
L: 3γ1+2γ2-3 = 0 ⇒ γ2 = -1 ⇒ Π3 = 
Pot
wQ ρ3435 
T: -γ1-3γ2-γ3 = 0 γ3 = 4/3 
 
Conocido como coeficiente de potencia 
 
 4
Paso 5. f (Π1 , Π2 , Π3 ) = f (
Pot
pQ∆ , 31
31
Q
Dw ,
Pot
wQ ρ3435 ) = 0 
 
Ejemplo 3: 
Se quiere estudiar el flujo un fenómeno de arrastre de un globo sobre una pancarta que va 
pendiendo de su parte trasera. La compañía de publicidad, lo contrata para que usted 
determine a que velocidad y a que altura debe ir el globo para que la pancarta se lea 
completamente, a lo largo de un evento. 
Se ha probado en laboratorio, que las variables de importancia dentro del estudio de este 
fenómeno son peso por unidad de longitud [Kg/m], longitud [m], velocidad relativa del 
globo al viento [m/s], altura [m], ángulo de incidencia del viento contra la pancarta [rad], la 
densidad del aire [Kg/m3] y la viscosidad del aire [Pa*s]. 
Determine los parámetros adimensionales que permiten estudiar el fenómeno 
(Nota: tome como base los parámetros Vo, ρ y µ ) 
Mediante ensayos de laboratorio se ha logrado establecer que la relación entre los números 
adimensionales Π1 ( peso) y Π2(long) esta dada por: 
Π1(P) Π2(L) 
1.2 3.6 
2 6 
3 9 
4.5 13.5 
Utilizando la información dada, calcule cuanto debe valer la velocidad relativa del globo 
“Vo” [Km/h], para el prototipo que trabaja con un fluido cuya densidad es 0.8*ρmodelo, H 
es 2000 m, µ es1.E-3, masa 0,5 Kg/m y una longitud de 10 m. Si el modelo cuenta con las 
siguientes características: Vo=3 m/s, H= 10 cm, ρ=1000 kg/m3, µ=0,85.10E-4 (N*s/m2 ), 
masa 3 grs/m y una longitud de 7 cm. 
1 Variables dependiente = Vo 
⇒ 7 variables relevantes ⇒ n=7 
6 Variables independientes 
Variable P L V0 α ρ H µ 
 5
Unidad M/L L L/T rad M/L3 L M/L-1T-1
Unidades básicas: M,L,T ⇒ m=3. 
n-m= 4 
Del enunciado variables repetitivas velocidad relativa, densidad y viscosidad: 
 M L T 
V0 0 1 -1 = -2 ≠ 0 
ρ 1 -3 0 
µ 1 -1 -1 
 
Π1 = V0α1ρα2. µα3. P = (L1T-1) α1(ML-3)α2.( ML-1T-1)α3. ML-1= M0L0T0 
M: α2+α3+1 = 0 α1 = 2 
L: α1-3α2-α3-1 = 0 ⇒ α2 = 1 ⇒ Π1 = 2
2
0
µ
ρPV
; 
T: -α1-α3 = 0 α3 = -2 
 
Π2 = V0β1ρβ2µβ3. L = (L1T-1)β1(ML-3) β2( ML-1T-1) β3. L = M0L0T0 
M: β2+β3 = 0 β1 = 1 
L: β1-3β2-β3+1 = 0 ⇒ β2 = 1 ⇒ Π2 = 
µ
ρLV0 
T: -β1-β3 = 0 β3 = -1 
 
Π3 = V0γ1ργ2. µγ3. H = = (L1T-1) γ1(ML-3)γ2( ML-1T-1) γ3. L = M0L0T0 
Igual al anterior, por lo tanto Π3 = 
µ
ρHV0 
 
Π4 = V0£1ρ£2µ£3α = = (L1T-1) £1(ML-3)£2( ML-1T-1) £3. rad = M0L0T0 
M: £2 = 0 £1 = 0 
L: 3£1+2£2 = 0 ⇒ £2 = 0 ⇒ Π3 = α 
 6
T: -£1-3£2-£3 = 0 £3 = 0 
 
f ( 2
2
0
µ
ρPV
,
µ
ρLV0 ,
µ
ρHV0 ,α) = 0 
Para el modelo 
Π2 =3Π1 ⇒ 
µ
ρLV0 = 3 2
2
0
µ
ρPV
 ⇒ 1
3 0 =
L
PV
µ
 
Planteando la similitud del modelo y del prototipo, tenemos: 
prototipoelo L
PV
L
PV
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
µµ
0
mod
0 33 ⇒ eloo
rr
r
prototipoo VL
P
V modµ
= 
0252,33,0
07,0
10
10.85,0
10.1
5,0
10.3
4
33
==
−
−−
prototipooV m/s 
89,10=prototipooV Km./h 
 
 7
METODO DESARROLLADO POR HUNSAKER Y RIGHTMIRE 
 
Es un método alternativo al método Π para el calculo de parámetros adimensionales, se 
basa en definir las dimensiones básicas en función de las variables repetitivas. 
 
Procedimiento para emplear el método desarrollado por Hunsaker y Rightmire 
 
1. Escribir la forma funcional de la variable dependiente en función de las variables 
independientes. Número total de variables igual a n. 
2. Identificar las dimensiones básicas presentes en la variables (m). Para saber cuantos 
parámetros adimensionales se calcula el número de variables (n) menos el número de 
unidades básicas (m), "n-m" 
3. Identificar (m) variables repetitivas, las cuales deben incluir todas las unidades básicas, 
pero no deben formar un grupo adimensional por sí solos 
4. Expresar las unidades básicas en función de las variables repetitivas, luego el cálculo de 
los números adimensionales se hará dividiendo cada una de las variables restantes por 
su representación dimensional y luego esas unidades se sustituyen por sus expresiones 
en función de las variables repetitivas. 
5. Escribir los (n-m) parámetros Π en función de los otros. 
 
 
Ejemplo: 
 
En la propagación del oleaje, (velocidad de la ola) intervienen la densidad del líquido (ρ), 
representativa de la inercia; el peso especifico (ρg), para tomar en cuenta las fuerzas debido 
a la gravedad; la longitud de la onda (λ); la profundidad (h) del agua, con el fin de tomar 
en consideración la masa afectada por el movimiento y la tensión superficial (σ). 
 
Paso 1. c = f (λ,ρ,γ,h,σ) o equivalentemente f1( c,λ,ρ,γ,h,σ) = 0 
6 variables relevantes ⇒ n=6 
 
 
Paso 2. Variable c λ ρ γ h σ 
 Unidad LT-1 L ML-3 ML-2T-2 L MT-2
Se observa que las unidades básicas son masa, longitud y tiempo⇒ m=3. Son 3 Parámetros 
adimensionales, n – m = 6 - 3 = 3 
 
Paso 3. Si escogemos como variables repetitivas la velocidad, la longitud de onda y la 
densidad hay que verificar que sean linealmente independientes, para lo cual se debe 
calcular el determinante de la matriz dimensional: 
 
 M L T 
c 0 1 -1 = 1 ≠ 0 
λ 0 1 0 
ρ 1 -3 0 
 
 1
Paso 4. 
T
Lc = 3ρλ=M
L=λ ⇒ λ=L 
3L
M
=ρ 
c
T λ= 
 
Paso 5. ( ) 23
2222
22
/1
c
c
M
TL
TML ρ
γλ
ρλ
λγλγγ
====Ψ −− ⇒ 221 c
g
c
g λ
ρ
λρ
==Ψ 
conocido como el número de Froude. 
λ
h
L
h
==Ψ2 
 
( )
2
22
2
2
/3
c
c
M
T
MT ρλ
σ
ρλ
λσσσ
====Ψ − 
conocido como el número de Weber. 
 
Paso 6. f (ψ1 , ψ2 ,ψ3 ) = f ( 2c
gλ ,
λ
h , 2cρλ
σ ) = 0 
 
 2
Ejercicio comparativo de ambos métodos de cálculo para números adimensionales: 
 
En la propagación del oleaje, (velocidad de la ola) intervienen la densidad del líquido (ρ), 
representativa de la inercia; el peso especifico (ρg), para tomar en cuenta las fuerzas debido 
a la gravedad; la longitud de la onda (λ); la profundidad (h) del agua, con el fin de tomar 
en consideración la masa afectada por el movimiento y la tensión superficial (σ). 
 
Teorema Pi. 
 
Paso 1. c = f (λ,ρ,γ,h,σ) o equivalentemente f1( c,λ,ρ,γ,h,σ) = 0 
6 variables relevantes ⇒ n=6 
 
 
Paso 2. Variable c λ ρ γ h σ 
 Unidad LT-1 L ML-3 ML-2T-2 L MT-2
Se observa que las unidades básicas son masa, longitud y tiempo⇒ m=3. Son 3 Parámetros 
adimensionales, n – m = 6 - 3 = 3 
 
Paso 3. Si escogemos como variables repetitivas la velocidad, la longitud de onda y la 
densidad hay que verificar que sean linealmente independientes, para lo cual se debe 
calcular el determinante de la matriz dimensional: 
 
 M L T 
c 0 1 -1 = 1 ≠ 0 
λ 0 1 0 
ρ 1 -3 0 
 
Paso 4. Π1 = cα1λα2ρα3γ = (LT-1) α1(L)α2(ML-3)α3ML-2T-2 = M0L0T0 
 
M: α3+1 = 0 α3 = -1 
L: α1+α2-3α3-2 = 0 ⇒ α2 = -1 ⇒ Π1 = c-2λ1ρ-1γ= 2C
λγ
ρ
; 
T: -α1-2 = 0 α1 = -2 
 
 
Π2 = cβ1λβ2ρβ3h = (LT-1) β1(L) β2(ML-3)β3L = M0L0T0 
 
M: β3 = 0 β3 = 0 
L: β1+β2-3β3+1 = 0 ⇒ β2 = -1 ⇒ Π2 = c0λ-1ρ0h=
h
λ
 
T: -β1 = 0 β1 = 0 
 
 
Π3 = cγ1λγ2ργ3. σ = (LT-1) γ1(L) γ2(ML-3) γ3 MT-2 = M0L0T0 
 
 1
M: γ3+1 = 0 γ3 = -1 
L: γ1+γ2-3γ3 = 0 ⇒ γ2 = -1 ⇒ Π3 = c-2λ-1ρ-1.σ = c
σ
ρ λ
 
T: -γ1-2 = 0 γ1 = -2 
 
Conocido como el número de Weber 
 
Paso 5. f (Π1 , Π2 , Π3 ) = f ( 2C
λγ
ρ
, h
λ
,
c
σ
ρ λ
) = 0 
 
Método de HUNSAKER Y RIGHTMIRE : 
Pasos 1, 2 y 3 iguales a los descritos anteriormente. 
Paso 4: 
 
T
Lc = 3ρλ=M
L=λ ⇒ λ=L 
3L
M
=ρ 
c
T λ= 
 
Paso 5. ( ) 23
2222
22
/1
c
c
M
TL
TML ρ
γλ
ρλ
λγλγγ
====Ψ −− ⇒ 21 c
γλ
ρ
Ψ = 
(usando la definición gγ ρ= se puede identificar que este numero es el cuadrado de 
número de Froude) 
 
λ
h
L
h
==Ψ2 ( es una relación de aspectos) 
 
( )
2
22
2
2
/3
c
c
M
T
MT ρλ
σ
ρλ
λσσσ
====Ψ − 
(conocido como el número de Weber, utilizando la longitud de la onda como longitud 
característica). 
 
Paso 6. f (ψ1 , ψ2 ,ψ3 ) = f ( 2c
gλ ,
λ
h , 2cρλ
σ ) = 0 
 
 
 2