Sistemas de Tuberías Serie y Paralelo

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Mecánica de Fluidos Sistema de tubeŕıas: Serie y Paralelo 1
1. Un caudal q = 800 L/s pasa a través del sistema de tubeŕıas que se ilustra. ¿Cuál es la cáıda
de presión entre A y B si la elevación de A es 100 m y la de B es 200 m? No tenga en cuenta
las pérdidas menores. El agua encuentra a 5 ◦C. Todos los tramos de tubeŕıa tiene diámetro
D = 300 mm. La rugosidad de las tubeŕıas es � = 0.046 mm y la viscosidad cinemática tiene
un valor de ν = 1.519x10−6 m2/s.
Solución: Como podemos ver en la figura, se trata de un problema de tubeŕıas en paralelo.
Suponiendo que se trata de flujo turbulento (Re ≥ 4000), usaremos la ecuación de Swamee
(expĺıcita) para hallar los factores de fricción en cada tramo. Aśı, primero calculamos los
números de Reynolds para cada tramo:
Re =
ρυD
µ
=
υD
ν
=
QD
Aν
=
QD
ν
πD2
4
=
4Q
πνD
=⇒ Re = 4Q
πνD
Re1 =
4Q1
πνD
=
4
(π)(1.519x10−6 m2/s)(300 m)
Q1 = 2794030.16Q1 [s/m
3]
Re1 = 2794030.16Q1 [s/m
3] Re2 = 2794030.16Q2 [s/m
3] Re3 = 2794030.16Q3 [s/m
3]
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Luego, hallamos las pérdidas por tramo de tubeŕıa:
h = f
L
D
υ2
2g
= f
L
D
(
Q
A
)2
2g
= f
L
D
Q2
2gA2
= f
L
D
Q2
2g
(
πD2
4
)2 = f LD Q2
2g
π2D4
16
=
8fLQ2
π2D5g
h1 =
8f1L1Q
2
1
π2D51g
=
(8)(1100 m)
π2(300x10−3 m)5(9.8 m/s2)
f1Q
2
1 = 37441.27 f1Q
2
1 [s
2/m6]
h2 =
8f2L2Q
2
2
π2D52g
=
(8)(500 m)
π2(300x10−3 m)5(9.8 m/s2)
f2Q
2
2 = 17018.76 f2Q
2
2 [s
2/m6]
h3 =
8f3L3Q
2
3
π2D53g
=
(8)(1300 m)
π2(300x10−3 m)5(9.8 m/s2)
f3Q
2
3 = 44248.77 f3Q
2
3 [s
2/m6]
h1 = 37441, 27 f1Q
2
1 [s
2/m6] h2 = 17018.76 f2Q
2
2 [s
2/m6] h3 = 44248.77 f3Q
2
3 [s
2/m6]
También tenemos la ecuación de continuidad:
q = Q1 +Q2 +Q3 =⇒ Q1 +Q2 +Q3 = 0.8 m3/s
Haciendo el respectivo balance de enerǵıa (usando la ecuación de Bernoulli) por los tramos
#1,#2,#3 desde A hasta B, tenemos lo siguiente: (Nota: Para usar la ecuación de Bernoulli
afirmamos que realizamos el balance de enerǵıa en dos puntos sobre una misma ĺınea de cor-
riente, además que se trata de un flujo permanente e incomprensible y las únicas fuerzas de
cuerpo son las de gravedad)
υ2A
2g
+
PA
γ
+ zA =
υ2B
2g
+
PB
γ
+ zB + h pero, υA = υB zA = 100 m , zB = 200 m
PA − PB
γ
=
∆P
γ
= 100 m + h
Luego, para cada tramo, tenemos:
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Tramo #1:
∆P
γ
= 100 m + h1
Tramo #2:
∆P
γ
= 100 m + h2
Tramo #3:
∆P
γ
= 100 m + h3
Luego, tenemos que para los factores de fricción, usando la ecuación de Swamee:
f =
0.25[
log
(
�
3.7D
+
5.74
Re0.9
)]2 = 0.25[
log
(
0.046 mm
(3.7)(300 mm)
+
5.74
Re0.9
)]2 = 0.25[
log
(
4.14x10−5 +
5.74
Re0.9
)]2
Entonces, para cada tramo tenemos:
f1 =
0.25[
log
(
4.14x10−5 +
5.74
Re0.91
)]2 f2 = 0.25[
log
(
4.14x10−5 +
5.74
Re0.92
)]2
f3 =
0.25[
log
(
4.14x10−5 +
5.74
Re0.93
)]2
Finalmente, nos damos cuenta que tenemos un sistema de ecuaciones no-lineal de tamaño
13x13. Usamos un método numérico para hallar dicha solución. En nuestro caso, utilizamos el
método de Newton para sistemas de ecuaciones no-lineales. Esto arroja la siguiente solución:
f1 = 0.014688 f2 = 0.01424 f3 = 0.014800 Q1 = 0.2337 m
3/s Q2 = 0.3521 m
3/s
Q3 = 0.2142 m
3/s Re1 = 653033.85 Re2 = 983760.19 Re3 = 598430.09
h1 = h2 = h3 = 30.04 m
∆P
γ
= 130.04 m
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Finalmente, la cáıda de presión entre A y B es:
∆P
γ
= 130.04 m =⇒ ∆P = (9.8 m/s2)(1000 kg/m3)(130.04 m) = 1274.39 kPa
∆P = 1274.39 kPa
2. El sistema de tubeŕıas de dos ramas que se muestra debe entregar 400 L/s de agua a 5 ◦C. La
presión manométrica en B es 20 KPa. ¿Cuál es la presión en A? Note los diferentes diámetros
de las tubeŕıas. En este problema ignore las pérdidas menores.
Nota: Tiene los siguientes datos:
� = 0.046 mm ν = 1.519x10−6 m2/s QA = 0.4 m
3/s ρ = 1000 kg/m3
Solución: Veamos que el problema trata de un sistema de tubeŕıas en paralelo, la cual una
rama tiene dos pequeñas tubeŕıas de diferentes diámetro conectadas en serie. Supondremos que
se trata de un flujo turbulento y, por ello, usaremos la ecuación de Swamee para los factores
de fricción.
Note que en la rama I se presenta un cambio de diámetro de tubeŕıa. Esto hace que existan dos
pérdidas por tramo de tubeŕıa, dos números de Reynolds que a su vez dan pie a dos factores
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de fricción. Sin embargo, el caudal por ambas tubeŕıas conectadas en serie es el mismo ya
que podemos usar la ecuación de continuidad en el punto de cambio de sección transversal
(asumiento que se trata de flujo permanente) y concluiremos que el caudal no cambia en toda
la rama I.
Aśı, procedemos a escribir las ecuaciones de los números de Reynolds, los factores de fricción,
pérdidas por tramo de tubeŕıa y la condición de tubeŕıas series-paralelo:
Pérdidas por tramo de tubeŕıa
h11 =
8f11L11Q
2
1
π2D511g
=
(8)(220 m)
π2(250x10−3 m)5(9.81 m/s2)
f11Q
2
1 = 18614.18 f11Q
2
1 [s
2/m6] (1)
h12 =
8f12L12Q
2
1
π2D512g
=
(8)(150 m)
π2(200x10−3 m)5(9.81 m/s2)
f12Q
2
1 = 38731.34 f12Q
2
1 [s
2/m6] (2)
h2 =
8f2L2Q
2
2
π2D52g
=
(8)(230 m)
π2(200x10−3 m)5(9.81 m/s2)
f2Q
2
2 = 59388.05 f2Q
2
2 [s
2/m6] (3)
Factores de Fricción (Ecuación de Swamee)
f11 =
0.25[
log
(
0.046
(3.7)(250)
+
5.74
Re0.911
)]2 = 0.25[
log
(
4.97x10−5 +
5.74
Re0.911
)]2 (4)
f12 =
0.25[
log
(
0.046
(3.7)(200)
+
5.74
Re0.912
)]2 = 0.25[
log
(
6.22x10−5 +
5.74
Re0.912
)]2 (5)
f2 =
0.25[
log
(
0.046
(3.7)(200)
+
5.74
Re0.92
)]2 = 0.25[
log
(
6.22x10−5 +
5.74
Re0.92
)]2 (6)
Número de Reynolds
Re11 =
4Q1
πνD11
=
4
(π)(1.519x10−6 m2/s)(250 m)
Q1 = 3332836.19Q1 [s/m
3] (7)
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Re12 =
4Q1
πνD12
=
4
(π)(1.519x10−6 m2/s)(200 m)
Q1 = 4191045.24Q1 [s/m
3] (8)
Re2 =
4Q2
πνD2
=
4
(π)(1.519x10−6 m2/s)(200 m)
Q2 = 4191045.24Q2 [s/m
3] (9)
Continuidad
QA = Q1 +Q2 (10)
Balance de Bernoulli
Haciendo el respectivo balance de enerǵıa (usando la ecuación de Bernoulli) por los tramos I y
II desde A hasta B, tenemos lo siguiente: (Nota: Para usar la ecuación de Bernoulli afirmamos
que realizamos el balance de enerǵıa en dos puntos sobre una misma ĺınea de corriente, además
que se trata de un flujo permanente e incomprensible y las únicas fuerzas de cuerpo son las de
gravedad)
υ2A
2g
+
PA
γ
+ zA =
υ2B
2g
+
PB
γ
+ zB + h pero, υA = υB zA = zB
PA − PB
γ
=
∆P
γ
= h
Luego, para cada tramo, tenemos:
Tramo I:
∆P
γ
= h11 + h12
Tramo II:
∆P
γ
= h2
Luego, concluimos que:
h11 + h12 = h2 (11)
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Finalmente, tenemos un sistema no-lineal de 11 ecuaciones con 11 incógnitas. Procederemos a
realizar un proceso iterativo para hallar la solución al sistema:
(a) Supondremos un caudal Q1 o Q2.
(b) Con la ecuación de continuidad (ecuación #10), hallaremos el caudal restante.
(c) Calculamos los números de Reynolds Re11 , Re12 , Re2 con los caudales calculados.
(d) Calculamos los factores de fricción f11 , f12 , f2 con los números de Reynolds calculados.
(e) Calculamos las pérdidas por tramos de tubeŕıa h11 , h12 , h2 con los factores de fricción y
los caudales calculados y/o supuestos.
(f) Verificamos que se cumpla la ecuación #11 h11 + h12 − h2 = 0
Se anexa la siguiente tabla con los siguientes resultados:
Q1 Re11 f11 h11 Re12f12 h12 Q2 Re2 f2 h2 Er
0.1 333283 0.0160 2.9763 419104 0.0160 6.2057 0.3 1257313 0.0149 79.7775 -70.5955
0.2 666567 0.0150 11.1661 838209 0.0152 23.6051 0.2 838209 0.0152 36.1945 -1.4233
0.201 669900 0.0150 11.2738 842400 0.0152 23.8349 0.199 834018 0.0152 35.8439 -0.7353
0.202 673232 0.0150 11.3819 846591 0.0152 24.0657 0.198 829826 0.0152 35.4950 -0.0474
0.2021 673462 0.0150 11.3894 846880 0.0152 24.0817 0.1979 829537 0.0152 35.4710 9.8x10−5
Podemos concluir que:
f11 = 0.0150 f12 = 0.0152 f2 = 0.0152 Q1 = 0.2021 m
3/s Q2 = 0.1979 m
3/s
Re11 = 673462 Re12 = 846880 Re2 = 829537
h11 = 11.3894 m h12 = 24.0817 m h2 = 35.4710 m
Luego, la presión en A es:
∆P
γ
= h2 =⇒ ∆P = (35.4710 m)(9810 N/m3) = 347970.51 Pa =⇒ PA = PB + 347970.51 Pa
PA = 20000 Pa + 347970.51 Pa = 367970.51 Pa
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Por lo tanto, la presión en A es:
PA = 367.97 kPa
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