MECÁNICA DE SUELOS TOMO III_JUAREZ BADILLO

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Texto escrito a máquina
F lu jo de A g u a en Suelos
Dr. Arturo Casagrande
continuador de la obra de Terzaghi, guía y estímulo 
del avance de la Mecánica de Suelos en el mundo
Mecánica
de
Suelos
T O M O I I I
F l u j o d e A g u a e n S u e l o s
EULALIO JUAREZ BADILLO 
ALFONSO RICO RODRIGUEZ
E D I T O R I A L L I M U S A
M E X I C O 1 9 7 4
© 1969, Revista IN G E N IE R IA 
E U L A LIO JU A R E Z B A D IL L O 
D octor en Ingeniería. Profesor de la 
División del Doctorado de la Facultad de 
Ingeniería de la Universidad Nacional 
Autónoma de México. Auxiliar del C. Director 
Gerenal de Proyectos de Vías Terrestres, SO P.
ALFO N SO R IC O R O D R IG U E Z 
M aestro en Ingeniería. Profesor de la División 
Profesional y Estudios Superiores de la 
Facultad de Ingeniería de la Universidad 
Nacional Autónoma de México. Profesor de la 
Universidad Iberoamericana. Jefe del Departamento 
de Geotecnia. D irector General de proyectos de 
Vías Terrestres, SO P.
Todos los derechos reservados
© 1974, E D IT O R IA L LIM U SA , S . A.
Arcos de Belén Ndm. 75, México 1, D. F .
Miembro de la Cám ara Nacional de la 
Industria Editorial. Registro Núm. 121
P rim era r e im p re s ió n : 1974 
Im preso en M éxico 
(1,318)
PROLOGO DE LOS AUTORES
Presentamos ahora a la atención de nuestros benévolos lectores 
el tercero y último volumen d e nuestro trabajo. D esde que en 1961 
comenzamos a laborar en el Volumen I de nuestro libro ha transcu­
rrido una larga jornada; es una maravillosa suerte poder decir que la 
vemos con la alegría d e saberla una d e las más serenas y fecundas 
de nuestra existencia. En ella hemos recibido solo estímulo y respaldo 
amistoso y muchas veces entusiasta de nuestros amigos de casa y de 
nuestros buenos vecinos de habla española; éllos quizá no tienen idea 
de lo importante que fue para nosotros su apoyo y su simpatía, 
pero se convirtió en gratos todos los momentos que dedicam os a este 
esfuerzo y. excusado es decirlo, éstos no fueron pocos. Los estu­
diantes han acogido nuestro trabajo con la actitud con que siempre 
acogen lo que se hace por éllos sin otro interés que su beneficio; con 
generosidad, algunas veces injustamente halagadora; siempre cálida 
y sincera. A éllos, algunos ya profesantes y compañeros muy esti­
mados en nuestra especialidad, d ebe ir también nuestro pensamiento 
en este momento en que superamos la cuesta, emprendida pensando 
muy especialmente en sus necesidades.
E l volumen que hoy presentamos a nuestros lectores (y a nues­
tros amigos de antiguo), está dedicado al flujo d e las aguas y a su 
influencia en los problem as d e resistencia y comportamiento general 
de los suelos. H asta ahora, habíamos hablado d e una M ecánica de 
Suelos casi seca (con agua qu ieta); hoy dam os un paso más hacia 
la inalcanzable realidad, pues el flu jo d el agua está casi siempre pre­
sente en nuestras preocupaciones prácticas y m ojar la M ecánica de 
Suelos es una necesidad imperiosa, dem andada por la experiencia 
de campo.
La ponderación de los problem as de flu jo d e agua en la M ecánica 
de Suelos es muy diversa dentro d e sus varios cam pos d e aplicación. 
Tradicionalmente, los ingenieros especialistas en presas de tierra han 
dado gran importancia al punto y es natural que asi sea, ya que la 
estructura que manejan está sistemáticamente expuesta al flu jo de 
agua. Los hombres que aplican la M ecánica de Suelos en otros cam­
pos han sido mucho más descuidados; en las vías terrestres, por 
ejemplo, si bien el control d e las aguas que discurren superficial­
mente ha preocupado desde siempre, se suele perder con mucha 
frecuencia todo rastro d e las que se infiltran, a menudo con tan 
malas consecuencias, que puede hoy afirmarse que un subdrenaje
vi PROLOGO D E LOS A U TO R ES
adecuado d eb e ser una precaución tan rutinaria com o la que más, 
en esas técnicas. Los ingenieros d e cim entaciones no suelen tam poco 
prestar gran atención a las aguas en movimiento, a no ser que vean 
anegadas sus excavaciones.
Querríamos que todos esos colegas vieran en este libro un arma 
útil para el m anejo d e sus problem as diarios; que a través d e él 
pudieran sopesar d e m ejor m odo la conveniencia o inconveniencia 
d e introducir la condición d e flu jo en sus diseños. E ste punto es, sin 
duda, muchas veces uno d e criterio fino y ha sido ciertamente muy 
debatido, pues en tanto que hay estructuras, com o la presa d e tierra, 
en que un diseño que tome en cuenta condiciones d e flu jo es indis­
pensable, hay también otras en que el criterio para proyectar aparece 
mucho más dudoso a este respecto: en la carretera, por ejem plo, 
diseñar todos los taludes considerando flu jo probablem ente conduce 
a posiciones conservadoras en exceso, pues la experiencia indica que 
cuando ello no se hace, la deficiencia solo se m anifiesta en algunos 
casos aislados, que pueden corregirse esos si, tom ando ya en cuenta 
todas las acciones perjudiciales d el agua, con un ahorro económ ico 
d e conjunto considerable; el hasta donde deba d e llevarse este cri­
terio, aún en casos en que el flu jo d e agua vaya haciéndose más y 
más palpable por signos externos o aún internos es uno d e los 
puntos más delicados para definir una política d e estabilidad d e ta­
ludes, tan necesaria a quien construya vías d e comunicación terrestre 
y que tanto influye en los costos que se alcancen. N aturalm ente que 
las reflex iones anteriores se refieren a la estabilidad d e los taludes 
y no a la necesidad d e drenaje y subdrenaje, que d eb e verse siem pre 
com o rutinaria en las vías terrestres y que d eb e resolverse siempre con 
benéfica generosidad.
N uestro prim er y fundam ental objetivo sigue siendo en este volu­
men el proporcionar un libro d e texto com prensible y eficaz a nuestros 
com pañeros estudiantes. D e nuevo presentam os en anexos por sep a­
rado, al fin d e cada capítulo, la información que juzgam os pertenece 
más bien a cursos d e nivel superior a los regulares que se imparten 
en los sem estres correspondientes al cuarto año universitario d e la 
carrera normal.
A l repetir á nuestros am igos nuestra gratitud por su respaldo, 
sólo nos resta esperar que acojan con la misma simpatía este tercer 
volumen.
M éxico, D . F ., marzo d e 1969
PROLOGO
Por su importancia en el diseño de presas y cimentaciones así 
como en el estudio de la explotación de agua subterránea, el tema de 
este libro constituye un instrumento valioso para el ingeniero. En cas­
tellano no se ha publicado un trabajo completo como el presente, por 
lo que es una contribución inestimable para la enseñanza en los niveles 
profesional y superior de las escuelas de ingeniería; además, servirá 
de consulta a los que laboran en problemas como los mencionados al 
principio.
En 1930, P. Forchheimer expuso en su conocido libro “H ydra- 
ulik ”, la teoría del flujo de agua en medios porosos, aplicando un 
método gráfico para encontrar de modo expedito la solución de la 
ecuación de Laplace, una vez definidas las condiciones de frontera. 
Este procedimiento despertó gran interés en los ingenieros dedicados 
al proyecto de presas, y en 1937, A. Casagrande publica su notable 
trabajo " S eepage through D am s’’. Hasta esa fecha, el proyecto de 
presas y diques estaba basado exclusivamente en reglas empíricas 
( Bligh, Lañe). Las fallas por tubificación eran frecuentes, y aunque 
entre los años 1925 a 1934, K. Terzaghi había explicado en varias 
publicaciones el mecanismo de ese fenómeno y la importancia de las 
fuerzas creadas por la percolación del agua, el ingeniero no disponía 
de la herramienta necesaria para el análisis de procesos como el antes 
señalado. La labor de los profesores P. Forchheimer y A. Casagran­
de, tiene como antecedentes a las publicaciones que sobre el tema 
inició J. Dupuit en 1863, seguidas por otras del presente siglo que 
produjeron Iterson, Schaffernak y Kozeny. Pero todas ellas se apo­
yan en unresultado experimental expuesto por Darcy en "Les fon- 
taines publiques de la Ville d e D ijon", 1856, a raíz de sus estudios 
sobre el flujo de agua en filtros. Es interesante anotar que en el 
corto lapso de 1934 a 1936, aparecen las contribuciones de tan des­
tacados ingenieros como G. Hamel y E. Günther, G. Gilboy, L. 
Casagrande, A. F. Samsioe, M. Muskat, R. Dachler, y J. H. Brahtz. 
Este desarrollo explosivo de la materia hizo que rápidamente se in­
corporara gran parte de su contenido a la enseñanza, como capítulo 
importante de la mecánica de suelos, y sin duda alguna, el Prof. A. 
Casagrande ha tenido en ello una influencia extraordinaria, a través 
del trabajo antes mencionado y principalmente desde su cátedra en 
la Universidad de Harvard.
En México, estas técnicas encontraron aplicación desde 1938, en 
los Laboratorios de Ingeniería Experimental de la Secretaría de Re­
cursos Hidráulicos, bajo la dirección del Ing. Rodolfo Espinoza P .: 
los Ings. F. Hiriart y R. Sandoval L. utilizan con soltura el método 
gráfico, la analogía eléctrica y el de la membrana; el Ing. M. Urquijo 
desarrolla el conformógrafo; para estudiar el flujo de agua en las 
excavaciones de la presa Alvaro Obregón, Son., se recurre en 1946 
a estudios con modelos tridimensionales de la cimentación de esa 
época, el diseño de la presa A. Rodríguez, próxima a la ciudad Her- 
mosillo, requiere determinaciones de permeabilidad en el propio lecho 
y el análisis correspondiente con redes de flujo para definir la longi­
tud del delantal impermeable, aguas arriba del corazón de arcilla. 
Los hechos mencionados señalan etapas del desarrollo que ha tenido 
en México, la aplicación, de los conocimientos expuestos en este libro.
Raúl ]. M ar sal
M ayo de 1969
viü PROLOGO
CA PITU LO I
PRINCIPIOS TEORICOS FUNDAMENTALES
1-1. Introducción
Hasta hace apenas unos cuarenta años el proyecto de las presas 
y estructuras de retención de agua hechas con suelos se basaba casi 
exclusivamente en reglas empíricas que los constructores se transmi­
tían por tradición oral; se adoptaban las secciones de obras que habían 
resistido satisfactoriamente el embate del tiempo y de las aguas, in­
dependientemente de la naturaleza de los materiales constituyentes 
y de las características del terreno de cimentación. Con el nacimiento 
de la Mecánica de Suelos y el conocimiento del comportamiento de 
estos materiales que con ella se adquirió, ha sido posible analizar 
bajo una nueva luz el comportamiento de las presas y estructuras 
afines construidas, extrayendo de ellas y especialmente de las que 
fallaron, enseñanzas de tendencia generalizadora.
Las bases para un análisis racional de los problemas prácticos 
que comporta la infiltración del agua a través de los suelos fueron 
establecidos por Darcy en trabajos ya mencionados' en el Volumen I 
y que datan apenas de algo más de un siglo. Posteriormente a Darcy, 
el siguiente paso fundamental en el avance del conocimiento fue 
dado alrededor de 1880 por Ph. Forchheimer1, quien demostró que la 
función carga hidráulica que gobierna un flujo en un medio poroso 
es una función armónica, es decir, que satisface la ecuación de La- 
place. El propio Forchheimer desarrolló al principio de este siglo 
las bases para el método gráfico que hoy se conoce con el nombre 
de Método de las Redes de Flujo, que sigue siendo el arma más 
sencilla y poderosa de que el ingeniero dispone para la resolución 
práctica de los problemas diarios que involucre el flujo de agua en 
suelos. El método fue popularizado a partir de 1937 para los pro­
blemas de proyecto por A. Casagrande, en su histórico artículo 
mencionado en la reí. 2. Desde entonces la solución gráfica de la 
ecuación de Laplace, que constituye el Método de las Redes de 
Flujo, se ha transformado en el procedimiento normal de trabajo 
para todos los ingenieros. En épocas más modernas, la escuela rusa 
ha añadido importantes contribuciones con soluciones teóricas a mu­
chos problemas de interés práctico.
' 1
.M ecánica de Suelos III
2 CAPITULO I
Antes de comenzar con una exposición más o menos detallada de 
las bases teóricas actuales de que se dispone para atacar los proble­
mas de ílujo de agua, conviene establecer las razones por las que la 
resolución de tales problemas es vital para el ingeniero. Al resolver 
un problema práctico de flujo de agua, tal como el análisis de las 
infiltraciones a través de la cortina y del terreno de cimentación de 
una presa de tierra, el ingeniero obtiene información fundamental 
respecto a tres cuestiones trascendentales:
1. El gasto de infiltración a través de la zona de flujo
2. La influencia del flujo de agua sobre la estabilidad general 
de la masa de suelo a través de la que ocurre
3. Las posibilidades del agua de infiltración de producir arrastres 
de material sólido, erosiones, tubificación, etc.
La primera cuestión es importante porque todo gasto que se infil­
tre a través de una cortina o bordo de tierra representa una pérdida 
que debe ser cuantificada.
La segunda cuestión suele ser la más importante de las conectadas 
con los problemas de flujo de agua en suelos, a lo menos desde un 
punto de vista práctico. Cuando el agua fluye, la presión a la que 
está sujeta es, por definición, hidrodinámica y este hecho produce 
varias repercusiones importantes. En primer lugar, dependiendo de la 
dirección del flujo, la presión hidrodinámica puede alterar el peso 
específico sumergido del suelo; por ejemplo, si el agua fluye vertical­
mente hacia abajo aquel se incrementa en el valor de tal presión; si 
el flujo ocurre verticalmente hacia arriba, se ejerce un efecto boyante 
sobre las partículas del suelo, que equivale a la disminución de su 
peso específico. En segundo lugar y de acuerdo con la ecuación de 
Coulomb:
s =(<r — u)tg<f>
el aumento en la presión del agua produce la correspondiente dismi­
nución de la presión efectiva y por lo tanto de la resistencia al es­
fuerzo cortante del suelo, de modo que una estructura que se haya 
revelado estable en condición exenta de flujo, deberá ser revisada 
desde este punto de vista suponiéndola sujeta a flujo, siempre que 
esta condición sea susceptible de presentarse.
La tercera cuestión es también de gran importancia práctica, pues 
el agua al infiltrarse a través del suelo puede producir particular­
mente en ciertas zonas, arrastres de partículas sólidas que, en el caso 
en que no reciban la debida atención del proyectista o del ingeniero 
de conservación, pueden llegar a poner en peligro la estabilidad de 
la obra de tierra, al dejarla materialmente surcada por túneles y 
galerías formadas por erosión.
M ECANICA D E SU ELO S (III) 3
El agua del suelo puede clasificarse en tres categorías, depen­
diendo de su movilidad dentro de él. En primer lugar está el agua 
adsorbida (ver Volumen I ) , ligada a las partículas del suelo por 
fuerzas de origen eléctrico, que no se mueve en el interior de la 
masa porosa y que, por lo tanto, no participa en el flujo, quedando 
al margen de este tipo de problemas. En segundo lugar, aparece el 
agua capilar (ver también el Volumen I ) , cuyo flujo presenta gran 
importancia en algunas cuestiones de Mecánica de Suelos, tales como 
el humedecimiento de un pavimento por flujo ascendente y otras 
análogas. Sin embargo, en la mayoría de los problemas de filtración 
de agua, el efecto del flujo en la zona capilar es pequeño y suele 
despreciarse en atención a las complicaciones que plantearía al ser 
tomada en cuenta teóricamente su influencia. En tercer y último 
lugar, existe en el suelo la llamada agua libre o gravitacional que, 
bajo el efecto de la gravedad terrestre, puede moverse en el interior 
de la masa sin otro obstáculo que el que le imponen su viscosidad 
y la trama estructural del suelo. En la teoría del flujo de agua 
que se expone en este volumen se trata exclusivamente con esta agua 
y cuando en lo sucesivo se mencione este flúido deberá entenderse 
únicamente que se trata precisamente del agua libreo gravitacional.
En una masa de suelo, el agua gravitacional está separada del 
agua capilar por una superficie a la que se denomina Nivel Freático. 
No siempre es fácil de definir ni de localizar el nivel freático; en un 
suelo suficientemente fino, al hacer una excavación el espejo de agua 
que se establece con el tiempo define al nivel freático, pero tal super­
ficie distintiva no existe en el suelo adyacente, ya que arriba de este 
nivel el suelo puede estar totalmente saturado por capilaridad y, por 
lo tanto, en ese suelo el nivel freático no tiene existencia física o real.
No hay tampoco un acuerdo total entre los autores respecto a 
una definición del concepto nivel freático que, como se dijo, muchas 
veces se refiere a una superficie sin clara existencia concreta. Para 
los fines de este libro, se considerará nivel freático a la superficie 
que constituye el lugar geométrico de los puntos en que el agua posee 
una presión igual a la atmosférica que, en cuestiones de flujo en que 
se trabaja normalmente con presiones manométricas, se considera 
igual a cero. Así, en el espejo de agua de la excavación de que se 
habló, todos los puntos tienen esa presión y en el suelo adyacente 
al pozo podrá hablarse de una superficie que une puntos a esa presión.
En condiciones estáticas del agua de un cierto suelo, el nivel 
freático sería una superficie horizontal; sin embargo, si se admite la 
posibilidad de que el agua fluya dentro del suelo, ya no hay razón 
para que el nivel freático siga siendo horizontal y de hecho, natu­
ralmente, no lo es.
1-2. Límites de validez de la ley de Darcy
La ley de Darcy fue estudiada ya con anterioridad en esta obra 
(ver Volumen I) y, según allí se estableció, demuestra la existencia 
de una relación lineal entre el gradiente hidráulico y la velocidad de 
descarga del flujo a través del medio poroso. También fue estable­
cido en aquella ocasión que esta ley es solamente aplicable en la 
resolución de problemas en que el flujo del agua sea laminar. Rey­
nolds concluyó alrededor de 18833 que la naturaleza del flujo depende 
de su velocidad, de manera que para velocidades abajo de un valor 
crítico el flujo siempre resulta laminar. También en el Volumen I 
se estudió más detalladamente esta cuestión; en el mismo lugar se 
trató algo la fundamental pregunta de hasta qué grado es aplicable 
a los suelos la teoría de flujo a través de medios porosos que tiene 
en la ley de Darcy su base más importante; en este lugar se desea, 
sin embargo, insistir un poco en este punto tan trascendental.
Reynolds propuso para un flujo dado una relación adimensional 
entre la fuerza de inercia y la fuerza viscosa, que se conoce precisa­
mente como el número de Reynolds. Dicha relación establece que:
v D p
R = ------- (1 -1 )
i*
donde
v — velocidad de descarga, en cm /seg 
D = diámetro promedio de las partículas del suelo, en cm 
p = densidad del fluido, en grm/cm s 
p. = coeficiente de viscosidad dél fluido, en gr seg /cm *
Varios investigadores4 han hecho ver que el valor limite del 
número de Reynolds para el que un flujo cambia de laminar a tur­
bulento oscila entre 1 y 12. Si en la ec. 1-1 se substituyen los valo­
res de p y [i para el agua y se acepta v — 0.25 cm/seg que es una 
velocidad muy conservadora por lo alta para el flujo de agua en 
suelos, se tiene que R ^ 1 con tal de que D no sobrepase el valor 
de 0.4 mm, que corresponde a una arena gruesa. Asi queda garan­
tizada la validez de la ley de Darcy y el flujo laminar en el agua 
hasta ese tipo de suelos como mínimo, hablando en términos gene­
rales y considerando al agua velocidades usuales. Procede recordar 
que en el Volumen I se llegó a la misma conclusión de validez de 
la ley de Darcy para los suelos finos, hasta el tamaño de la arena 
gruesa por lo menos, razonando de un modo ligeramente diferente. 
Cabe notar también que la naturaleza laminar del flujo de agua a 
través de suelo representa uno de los pocos casos en que realmente 
aparece este tipo de flujo en toda la hidráulica ingenieril.
4 CA PITU LO I
MECANICA D E SUELO S (III) 5
1-3. Ecuaciones hidrodinámicas que rigen el flujo del agua através de los suelos
En lo que sigue se presenta un tratamiento matemático somero 
que permite llegar en forma sencilla a las ecuaciones básicas que se 
utilizan hoy para plantear teóricamente el problema del flujo de agua 
a través de suelos. En el Anexo I-a aparece un tratamiento algo más 
formal y alternativo del que aquí se expone.
Considérese una región de flujo (o sea una región de suelo a 
través de la que fluye el agua), de la que forma parte un elemento 
paralelepipédico de dimensiones dx, dy y dz, tal como el que se 
muestra en la fig. 1- 1.
Supóngase que la velocidad v con que el agua pasa por el ele­
mento posee tres componentes vx, vv y vz y que éstas son sólo función 
de x, y y z respectivamente, pero no del tiempo (puesto que, por 
hipótesis, se trata de un régimen establecido), ni de ninguna otra 
variable. Se supone también que estas componentes son funciones 
continuas que admiten cualquier orden de derivación necesario al 
razonamiento expuesto.
En estas condiciones, si en las caras I (ver fig. 1-1) las compo­
nentes de la velocidad del agua son vx, vy y vz, como queda dicho, 
en las caras II estas mismas componentes serán, respectivamente:
z
Y
FIG. I-I. Elemento de una región sujeta a ílujo tridimensional
vx + — dxdx
, ÜVy ,
v» + ^ - d y
Se admitirá ahora que el suelo a través del que ocurre el flujo 
tiene sus vacíos saturados por agua y que, además, tanto dicho 
elemento como las partículas sólidas que forman la estructura del 
suelo son incompresibles en sí mismos. Así, durante el flujo, la can­
tidad de agua que entra al elemento tiene que ser igual a la que sale, 
en un régimen establecido. Por lo tanto, teniendo en cuenta que el 
gasto que pasa por una sección puede expresarse como el producto 
del área de la sección por la velocidad del flujo, podrá escribirse:
vx dy dz + vy dx dz + v¡ dx dy —
= dx'j dy dz + ^vv + dy'j dx dz +
+ + — dz^ jdxdy
En la expresión anterior, el primer miembro representa el gasto 
que entra al elemento y el segundo, el que sale.
Reduciendo términos semejantes:
6 CAPITULO I
de donde
dvx dvy dvx
dx dy dz = 0 ( 1-2 )
La ecuación anterior juega un papel importante en la teoría de 
flujo de agua y se conoce con el nombre de Ecuación de Continuidad.
Es conveniente establecer aquí un breve resumen de las hipótesis 
que implica la aceptación de la ecuación dé continuidad, tal como 
ha sido deducida. Estas son:
i 9 El régimen es establecido
29 El suelo está saturado
39 El agua y las partículas sólidas son incompresibles en si 
mismas
4° El flujo no modifica la estructura del suelo en ninguna forma.
Si ahora se supone válida la ley de Darcy podrá escribirse para 
la velocidad de descarga del agua a través del elemento.
, dh
Lo cual, expresando al gradiente hidráulico a través de sus tres 
componentes, da lugar a:
, a h
v* ~ x dx
vv = - h ^ (1-3)
ve - kz dz
En las ecs. 1-3 se ha supuesto el caso más general en que el suelo 
se considera anisótropo en lo referente a su permeabilidad, con una 
permeabilidad kx en la dirección del eje X -X 'f otra de valor ky 
en la dirección del eje Y-Y' y, finalmente, otra k z en la dirección 
del eje Z -Z '.
Introduciendo las ecs. 1 -3 en la ecuación de continuidad (1 -2), 
se tiene:
k Vh k Vh k V h _ Q ( M )
* + 7 dy* * dz2 ~ ' '
La ec. 1-4 describe matemáticamente al flujo en la región con­
siderada e implica todas las hipótesis enlistadas arriba, más la de 
aplicabilidad de la ley de Darcy.
En los problemas prácticos de la Mecánica de Suelos, es muy 
frecuente que el flujo en una sección de la región considerada, trans­
versal a su eje longitudinal, sea idéntico al que se tiene en cualquier 
otra sección; este es el caso, por ejemplo, en presas de tierra de eje 
largo en comparación a su altura. Así, los efectos en los bordes de la 
región de flujo pueden ignorarsey, de esa manera el problema de 
flujo puede estudiarse bidimensionalmente como contenido todo él en 
el plano X~Y. En estas condiciones, la ec. 1-4 puede escribirse 
en una forma más simplificada como:
k 4- k d — 0 ( 1 - 5 )
0X2 + dy2 ( ’
que es la ecuación fundamental para el análisis de un flujo bidi- 
mensional en una región de flujo dada.
Si el suelo a través del que ocurre el flujo en estudio es, además, 
isótropo en lo referente a la permeabilidad, entonces:
km — km — k
MECANICA D E SUELO S (III) 7
8 CAPITULO I
y la ec. 1-5 aún puede simplificarse, obteniéndose la ec. 1-6 para 
representar matemáticamente el problema
d2h d2h _ n
+ W V h = ° {1' 6)
La ec. 1-6 es una ecuación diferencial muy conocida y estudiada, 
por describir matemáticamente muchos fenómenos físicos de gran 
importancia práctica, a parte del flujo de agua a través de los suelos. 
Se la conoce con el nombre de ecuación de Laplace. Una función 
que satisface la ecuación de Laplace, como h en la ec. 1-6, se dice 
armónica.
Dado lo estudiada que está la ecuación de Laplace y sus solucio­
nes generales y particulares, resulta muy afortunado que ella sea 
precisamente la ecuación que describa los problemas ingeníenles de 
flujo de agua; sin embargo, en rigor la ec. 1-6 representa una situa­
ción particular, en la que el suelo es isótropo en lo relativo a su per­
meabilidad (implica también la particularidad de que el flujo sea 
bidimensional, pero en realidad esta suposición se ajusta a la mayo­
ría de los casos prácticos, por lo que su carácter limitativo es usual­
mente despreciable). La anisotropía en el suelo es, desde luego, una 
condición frecuente; baste considerar que muchas de las estructuras 
de tierra a través de las que interesa estudiar el flujo se construyen 
compactando por capas, procedimiento que, lógicamente, conduce a 
permeabilidades horizontales bastante mayores que las que se obtie­
nen para el flujo en la dirección vertical. Así, se plantea una situación 
de incomodidad y tal parece que sea la ec. 1-5 y no la (1 -6 ), más 
sencilla, la que haya de usarse en las aplicaciones. Afortunadamente, 
sin embargo, existe un artificio matemático de trabajo que va a per­
mitir estudiar todos los problemas de flujo como si éste ocurriera a 
través de suelos isótropos. Este artificio, que se conoce con el nom­
bre de teoría de la Sección Transformada, se estudia más adelante 
en este mismo capítulo y permite estudiar cualquier suelo anisótro- 
po en relación a su permeabilidad, como si fuera isótropo. Con esta 
teoría, la ec. 1-6 cobra toda su importancia práctica en el sentido 
más general como la ecuación básica que satisface el flujo de agua 
a través del suelo.
La solución general de la ecuación de Laplace está constituida por 
dos grupos de funciones que son, a su vez, susceptibles de una inter­
pretación geométrica muy útil, según la cual ambos grupos de fun­
ciones pueden representarse dentro de la zona de flujo en estudio 
como dos familias de curvas ortogonales entre sí. La solución gene­
ral que satisfaga las condiciones de frontera de una región de flujo 
específica constituirá la solución particular de la ecuación de Laplace 
para esa región específica.
Conviene ahora obtener con base en la misma fig. 1-1 una expre­
sión que proporcione el gasto que pasa a través del elemento en el 
tiempo dt. Teniendo en cuenta que el gasto puede expresarse como 
el producto del área de la sección por la velocidad del flujo, se tiene:
d q = kt ^ dy dz + kv dx dz + k z d x d y (1 -7)
Si el suelo es isótropo en lo referente a la permeabilidad, la ec. 
1-7 queda:
dq = k { ^ dydz + ^ dxdz + J F dx d*) < 1'8>
En el flujo bidimensional.
d q = k ( ^ d y + ^ d x ' ) (1-9)
En la ec. 1-9 el elemento de la fig. 1-1 se considera plano y conte­
nido todo él en el plano X~Y; se le supone un espesor unitario 
normal al plano del papel, de manera que las áreas normales a las 
direcciones del flujo son dxml y dy\ .
La ec. 1-9 expresa el gasto en forma diferencial en el flujo bidi­
mensional en un suelo isótropo, que es el caso práctico más frecuente, 
según se indicó más arriba.
1-4. Solución de la ecuación de Laplace
Si ateniéndose ál caso del flujo bidimensional, se observa la ecua­
ción de Laplace ( 1-6 ) y se define una función:
<f> = — k h + c
(Nótese que esta función es la identificada como función poten­
cial de velocidades en el Anexo I-a ), puede concluirse de inmediato 
que dicha función satisface la citada ecuación de Laplace. Por lo 
tanto se cumple:
-^ -^ -+ -^ -= 0 ( 1- 10)3x2 ^ dy2 11 lü '
Así la función <f>(x,y)= cte es una solución de la ecuación de 
Laplace. Esta solución rep resen ta una infinidad de funciones,
MECANICA D E SUELO S (III) 9
10 CAPITULO I
según sea el valor de la constante c que intervenga. De inmediato 
puede darse una interpretación geométrica a esta solución, pues la 
expresión $ ( x ,y ) — cte puede representar a una familia de curvas 
que se desarrollan en la región plana en la que ocurre el flujo, obte­
niéndose una curva específica de la familia para cada valor de la 
constante que se tome.
Considérese ahora una función ip (x, y) — cte llamada función 
de flujo y definida de modo que:
- = f "— S
Puede demostrarse (véase Anexo I-b) que una función vp así 
definida satisface también la ecuación de Laplace, de modo que se 
cumple:
Además, se demuestra también (véase el mismo Anexo I-b) que 
si al conjunto de funciones (x, y) ~ cte se le da una interpretación 
geométrica, de manera que también se representen esas funciones 
por una familia de curvas (ip = cte) en la región de flujo, la familia 
ip = cte es ortogonal a la familia = cte, de manera que la intersec­
ción entre cada dos curvas de distinta familia ocurre a noventa grados.
Se demuestra en la literatura especializada que en un problema 
específico en el que haya unas condiciones de frontera fijas, la so­
lución de la ecuación de Laplace constituida por las dos familias de 
curvas <j> = cte y ip = cte, mas la exigencia de que estas familias 
satisfagan las condiciones de frontera existentes, produce en defini­
tiva una solución única del problema considerado. Este es un hecho 
esencial que se debe tener muy en cuenta en lq que sigue.
Hasta este momento, se ha encontrado la solución general de la 
ecuación de Laplace y se ha dado una interpretación geométrica que 
más adelante se revelará muy útil a dicha solución. Sin embargo, 
siendo a fin de cuentas el problema de flujo de naturaleza física, es 
importante encontrar una interpretación física también para las dos 
familias de curvas que se están manejando. Esta interpretación existe 
y es de importancia fundamental para la comprensión de las solucio­
nes ingenieriles a los problemas de flujo de agua a través de los 
suelos. En los párrafos siguientes se describe esa interpretación física 
tan importante.
Siendo la función <p definida por la expresión:
MECANICA D E SUELO S (III) 11
Se sigue que si una curva une puntos en que <f> es constante, en 
esos puntos también h será constante. En otras palabras, en la curva 
<f> — cte. todos los puntos tendrán la misma carga hidráulica, h. Así, 
el sentido físico de las curvas de la familia <£ = cte es claro. Estas 
curvas unen a través de la 
región plana de flujo puntos 
de misma carga hidráulica.
Por esta razón, estas curvas 
reciben el nombre de líneas 
equipotenciales.
Se an a liz a rá ahora el 
sentido físico de las curvas 
ijy = cte. Obsérvese la fig. 1-2.
C o n sid érese la trayecto­
ria del agua que pasa por 
P ( x ,y ) ; en dicho punto el
agua posee una velocidad, V, FIG. |_2. Interpretación física de la curra 
que será, naturalmente, tan- SP = cto
gente a su trayectoria. Se tra­
ta ahora de encontrar la ecuación matemática de esa trayectoria. A 
lo largo de la curva se tiene:
.g e = i = - ^vx dx
de aquí:
vy dx — vt dy — 0
pero, según las ecs. 1- 11 , esto puede escribirse como:
^ L d x + * l dy = 0
La anterior expresión es precisamente la diferencialtotal de la 
función i}/, de manera que se cumple a lo largo de la trayectoria del
agua que:
y, por lo tanto:
dty = 0 
= cte.
Así. la trayectoria del agua tiene como ecuación precisamente 
ij; = cte: o lo que es lo mismo, la familia de curvas íp = cte está 
constituida precisamente por las trayectorias físicas y reales del agua 
a través de la región de flujo. Por esta razón las curvas t{/ = cte se 
denominan líneas de flujo o de corriente.
12 CAPITULO I
Una primera propiedad muy importante de las líneas de flujo es 
que el gasto que pasa entre dos de ellas es constante en cualquier 
sección que se tome entre las líneas. Este espacio entre dos líneas de 
flujo se llama usualmente un canal de flujo. En efecto:
r ̂ 'i r V'i
q = vr du — \ d¿) = 4>i — 4>2 = cte
J «i* J <h
Donde q representa el gasto en el canal por unidad de longitud 
medida en la dirección normal al papel (fig. 1-3).
Una segunda propiedad 
Y importante de las líneas de
flujo es que éstas no pue­
den cortarse dentro de la 
región de flujo. En efecto, 
si las dos líneas de flujo 
convergen en el punto de 
contacto no hay área para 
el paso del agua y ahí no 
se respeta la continuidad 
del gasto, lo cual es imposi­
ble bajo las hipótesis de la 
teoría en estudio.
Una tercera propiedad 
importante de estas líneas se refiere a las equipotenciales. En efecto, 
estas tampoco pueden cortarse jamás, pues en ese punto el agua ten­
dría a la vez dos cargas hidráulicas diferentes.
FIG. i-3. Una imporfanie propiedad de las 
lineas de flujo
1-5. Soluciones matemáticas a los problemas de flujo
Las soluciones exactas de los problemas de flujo, obtenidas con 
métodos rigurosamente matemáticos, suelen echar mano de las téc­
nicas de mapeo, que tienen su base en la Teoría de Variable Com­
pleja. La razón es que los casos reales en que interesa estudiar el 
flujo de agua son demasiado complejos en su geometría para poder 
aplicar directamente la Teoría y que el mapeo al que se ha hecho 
referencia permite transformar esa geometría en otra mucho más 
simple, pero en la que puede trabajarse sin perder generalidad y de 
un modo totalmente equivalente. En el Anexo I-c, por ejemplo, se 
presenta algún caso en que un problema real más o menos compli­
cado se reduce a otro en que las líneas de flujo (ty — cte) y las 
equipotenciales (<f> — cte) son sencillamente una retícula de lineas 
rectas a espaciamiento uniforme.
Sin embargo, los problemas prácticos de flujo suelen ser bastante 
complicados en sus soluciones matemáticas rigurosas y frecuentemen­
te exigen el manejo de herramientas matemáticas que ya han dejado 
de ser familiares a muchos ingenieros de experiencia. Por esta razón 
se han desarrollado métodos aproximados para obtener las soluciones 
a los problemas de flujo. También es frecuente y ello vale la pena 
de que se destaque, que aún los ingenieros muy expertos en la apli­
cación de los métodos matemáticos se enfrentan a serias dificultades 
en este tipo de problemas, muchos de los cuales carecen de solución 
rigurosa posible, por lo menos por el momento.
Los capítulos siguientes están dedicados a la presentación de esos 
métodos aproximados mencionados más arriba.
M ECANICA D E SU ELO S (III) 13
1-6. La Teoría de la Sección Transformada
La Teoría de la Sección Transformada, a la que ya se ha hecho 
mención en este mismo capítulo, permite reducir al caso de un suelo
homogéneo e isótropo un suelo en el que la permeabilidad para el
flujo en la dirección horizontal (k x) y la que se tenga para el flujo 
en la dirección vertical (k v) sean diferentes. Con esa reducción se 
logra que la ecuación de Laplace y sus soluciones sean aplicables 
para describir el flujo a través del medio anisótropo, En esencia la 
Teoría de la Sección Transformada es un simple artificio de cálculo 
que se logra por una sencilla transformación de coordenadas y que 
modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio, 
de manera que la nueva sección obtenida, supuesta isótropa con 
kx — ky, tiene todas las condiciones de flujo que interesan iguales a 
las prevalecientes en la sección propuesta, en la que kx ky.
Sea la región de flujo de la fig. 1-4.
FI&. 1-4. La teoría de la Sección Transformada
14 CA PITU LO I
En ella se tienen permeabilidades kx kv. Se someterá a la región
de flujo a una transformación de coordenadas en la que la coorde­
nada y se transforme a otra y', tal que:
s = ^ y o - » )
La ec. 1-5 describe el flujo bidimensional en un medio anisótropo 
general; dicha ecuación puede escribirse como:
A ._ ^ L + Í Ü = o (1-5)
k y dx" dy2
Teniendo en cuenta la transformación 1-13 puede, por otra parte,
escribirse:
y también:
dli _ oh dy ’ _ I kx dh dy ' __ / kx (1 -14)
3y ~ dy' dy ~ \ ky dy' dy ~ \ ky
32h _ kx 92h (1 -15)
dy" ~ k v dy'2
Si estas relaciones se llevan a la ec. 1-5 escrita arriba, se tiene:
kx d2h kx d2h _ „
lo que se reduce a
ky dx2 ky dy'’
d°h + p L = o = v 2ft (1-16)
dx2 n dy'2
Así pues, tal como se anunció, la transformación de coordenadas 
(1-13) ha permitido reducir la ec. 1-5 a la forma que se presenta 
en la (1 -1 6 ), que es la ecuación de Laplace correspondiente al caso 
isótropo. Naturalmente que la transformación de coordenadas no ha 
de hacerse sólo en las ecuaciones, sino también física y realmente 
en la sección bajo estudio. Así, la zona de flujo original de la fig. 1-4.a 
se transforma para todos los cálculos subsecuentes en la región trans­
formada de la fig. I-4.b (en la fig. 1-4 se ha supuesto que 
k j k v =■ 10 _1); las dimensiones verticales se modifican todas según 
la ley 1-13, en tanto que las dimensiones en la dirección horizon­
tal no se modifican.
Es evidente y se deja como un sencillo ejercicio al lector, que con 
la transformación
M ECANICA D E SU E L O S (III) 15
P b*' = y ¡ t x
hubiera podido llegarse a otra sección isótropa en la que se modifi- 
carian las dimensiones horizontales, pero no las verticales. 
Considérese ahora el gasto dado por la ec. 1-7.
dq — kx dy dz + ky dx dz + k~ dx dy (1 -7)
L dx y dy dz '
Al considerar el caso bidimensional la ecuación anterior se redu­
ce, según puede visualizarse fácilmente a:
dq = kxf r dy + ky dx O '17)
Si se aplica aquí la transformación 1-13 se obtiene, teniendo en
cuenta la relación 1-14
, . dh dy' . dh I k , ,
, = ¡ J 7 + ' W X K x
\ ky
pues
* * = yj% J »
Por consiguiente, arreglando términos, se llega a:
d q = ^ k x kv( J ^ d y ’ + j - r d x ' j (1-18)
Esta ecuación debe compararse ahora con la (1-9) que propor­
cionaba el gasto en el medio isótropo.
La ec. 1-18 y la ec. 1-9 se refieren evidentemente al mismo gasto; 
al que realmente esté pasando por la sección en que ocurre el flujo. 
Al comparar ambas ecuaciones se ve que la permeabilidad equivalente 
en la sección transformada a la combinación de permeabilidades de 
la sección real es:
k — yjkx kv (1-19)
O sea que en la sección transformada deberá usarse, al conside­
rarla isótropa, un valor de la permeabilidad igual a la media geomé­
16 CAPITULO I
trica de las permeabilidades reales^ así podrá hacerse en la sección 
transformada cualquier cálculo referente a gasto, obteniendo el mismo 
resultado que si se manejase la sección anisótropa y con mucha mayor 
simplicidad.
La Teoría de la Sección Transformada permite no volver a sentir 
preocupación por los suelos anisótropos, cuya teoría de flujo es, como 
ya se dijo, molesta y complicada en sus desarrollos. Cuando un suelo 
anisótropo se presente en un caso práctico se transformará previa­
mente y se le aplicará la teoría de suelos isótropos, que será la que 
se desarrolle básicamente en los capítulos que siguen.
ANEXO I-a 
Ecuaciones hidrodinámicas que gobiernan el flujo. Potencial de velocidad5
Sean vt vv y ~vz las componentes de la velocidad de filtración del 
agua (Cuestión IX -3 del Volumen I) en un punto A, en el instan­
te t (fig. I -a .l ).
Estas funciones dependen de las variables x, y, z y t. Para un 
valor particular de t, describenel movimiento en todos los puntos 
del fluido, dentro de la región a la que pertenece el elemento mos­
trado y para un punto dado son funciones sólo de t, proporcionando 
la historia de cómo la velocidad_varía en ese punto.
Se supondrá que tanto vx, vv, vj, como sus derivadas sucesivas 
son funciones continuas y acotadas. Una partícula de fluido con 
posición inicial en A (x , y, z) en el tiempo t, se moverá a la posición 
(x 4- vx Sí, y + vy 8í, z -f vz Sí) cuando haya transcurrido el tiempo 
8t. La variación respecto al tiempo de la velocidad vale:
Si?» _ dvi dVi 8x . dt>i Sy , dVi 8z_
" S T - di dx Sí dy Sí dz St
Donde i tomará los valores x, y y z para llegar a expresiones 
para vt, vy y v„.
Si Sí tiende a cero, la aceleración total en cada dirección de los 
ejes coordenados será:
dvi _ 0y¡ dvi dx dvi dy . dv¡ dz
dt ~ dt dx dt + dy dt dz dt
Lo cual, teniendo en cuenta que:
- dx - dy - dz
V, l>ir — y* - dí
puede aún escribirse como:
§ = f + + + ' “ ‘ i
Donde, de nuevo, basta poner x, y y z en lugar de i para tener 
las ecuaciones correspondientes a dvx/d t, dvv/d t y dvz/d t.
Supóngase ahora que en el punto A (fig. I -a .l ) exista la presión 
p, que la densidad del fluido que circula sea p y que sean X, Y, y Z 
las componentes de las fuerzas de cuerpo por unidad de masa
en la dirección de los ejes respectivos y en el instante í. En proble­
mas de flujo la fuerza de cuerpo típica suele ser la debida al campo 
gravitacional terrestre, por lo cual ésta se. destacará en lo que sigue. 
Habiendo una presión p en el punto A (x, y, z ) , la fuerza en la cara 
Y Z del elemento más próxima al origen será
y en la más alejada será:
Teniendo en cuenta la Segunda Ley de Newton, el producto de 
la masa por la aceleración debe dar la fuerza en la misma dirección; 
asi:
pd x d y d z ^ - = ( p - - f - d x ^ j dy d z - ( p + 1 | \ d x ) dy dz + 
+ pX dx dy dz ( l-a .2)
MECANICA D E SUELOS (III) 17
Mecánica de Suelos III
Pudiéndose escribir expresiones análogas para las proyecciones de 
fuerzas y aceleraciones sobre los ejes Y y Z.
Si se suhstituye en las expresiones l-a.2 el valor de la acele­
ración dado por las ecs. 1-a.l, se obtiene simplificando:
d v g . - 3 v x - d v t . - d v t v
- s - + < v 5 r + * i j r + ' ' . i r = x
? g - + ¿ . ^ + S , p - + ¿ , p - = Y-i - J E - (l-a .3 )
3f dx dy 3z p ay
18 CAPITULO I
dvz - duz , - dvz . - 3i>*
Sí 3x dy dz
1 dp_
p dx
1 dp_
p dy
1 dp
p dz
Nótese que en la tercera ecuación, la fuerza gravitacional (-o) 
aparece con signo negativo, debido a que su sentido es el de la di­
rección negativa del eje Z.
Las ecs. l-a.3 reciben el nombre de ecuaciones de Euler y descri­
ben el movimiento de un fluido no viscoso. En flujo laminar, las 
componentes de la velocidad y sus derivadas son chicas, por lo que 
los productos del tipo u*(3u,/3*) puede despreciarse: entonces las ecs.
l-a.3 pueden escribirse
1 dv* _ ^ _ 1 3p
n dt ~ p dx
1 8ty _ y 1 3p
n dt ~ p dy
- r w = z - - i r i ¡ r ~ ‘> ( '-a A >
En las ecuaciones anteriores vt, vy y vz representan las compo­
nentes de la velocidad de descarga, relacionadas con las respectivas 
de la velocidad de filtración por expresiones del tipo:
1
Vi — ViTI
donde n es la porosidad del suelo
Cuando el flujo es establecido, es decir, cuando la velocidad no 
depende del tiempo, el primer miembro de las expresiones l-a.4 vale 
cero y aquellas pueden escribirse:
x = ± 3 L 
p dx
Y - J _ Í £
9 * 9
Z = — — + g (l-a .5)
p oz
Si h es la carga hidráulica en un punto, podrá escribirse:
h = z + - £ - ( l-a .6)
r«
en donde se ha considerado despreciable la carga de velocidad,
por estar en estudio flujo laminar con bajas velocidades. Lo anterior
puede escribirse:
P = y , c ( h — z ) = p g ( h - z ) 
y las ecs. l-a.5 quedan
v oh
* = 0 3 j = - 9 ' . 
v ^h
Y = s ^ = - < 1 '’
Z = g ^ = - g i , (l-a .7 )
Nótese que se ha definido i = — dh/ds.
Donde se ve que en flujo establecido y régimen laminar, las
fuerzas de cuerpo son funciones lineales de la velocidad, ya que al
aplicar la ley de Darcy (v = ki) a las ecs. l-a.7, se tiene:
r = - » í
Z = d -a -8>
MECANICA DE SUELOS (III) 19
20 CAPITULO I
Así, en definitiva, las ecs. l-a.4 pueden escribirse para las condi­
ciones supuestas:
1 dvx 9 Vr
n dt p ex k
1 dvv ____1 dp gv„
n dt p dy k
± * Z l = _ J . Í E
n dt p dz k 9 \ ■ )
Para el caso de flujo establecido, los primeros miembros de las 
ecs. l-a .9 valdrán cero y por ello:
_ L JE - _
p dx 9 k
1 dp Vy
J d í = ~ 9 T -
1 dp _ vx
p dz ~ 9 k 9
Teniendo en cuenta que p = p g (h — z) , se tendrá:
de donde
1 dh vx
7 p* á ? = - * x
1 dh vv
1 ( d h A V
~ p " \ d z ~ ) = ~ 9 1T ~ 9
. dh vx - — k —dx
. enVy = — k —
v-
dh
dy
ch
= - k ~ ( l -a .10)cz
Si se consideran las ecs. l-a.10 como expresiones de las compo­
nentes del vector velocidad total v y se multiplican ordenadamente
M ECANICA D E SU ELO S (III) 21
por i, j y k (vectores unitarios en las direcciones de los ejes X , Y 
y Z . respectivamente), se tiene, sumando vectorialmente miembro a 
miembro.
-♦
v — — A: grad h (1 -a .l l )
La hipótesis de flujo establecido se hace usualmente, al igual que 
aquí se hizo, para poder calcular las fuerzas de cuerpo X , Y, Z 
poniéndolas en términos manejables.
Por otra parte, puede demostrarse3 que los términos de inercia 
en los primeros miembros de las ecs. l-a .9 son de orden desprecia­
ble en muchos casos de la práctica, aun cuando la velocidad del flujo 
varíe con el tiempo. La razón de ésto es que la velocidad del flujo real 
a través del suelo es tan baja que los cambios en cantidad de movi­
miento son despreciables en comparación a las resistencias viscosas 
al flujo, por lo que los cambios en velocidad no ejercen efecto apre- 
ciable.
La ec. 1 -a .ll contiene en realidad cuatro incógnitas, a saber vlw 
vv, v, y h; de aquí que se necesita una ecuación más para hacer 
posible la solución del problema. Volviendo de nuevo a la fig. I-a .l, 
la cantidad de agua que cruza la cara Y Z del elemento más próxi­
ma al origen es n v¡.dy dz; en la cara opuesta, el agua que cruza es
f + 1 7 n̂ dy dz.
Así la cantidad neta de agua que sale del elemento por flujo en 
la dirección del eje X y por unidad de tiempo es:
~ (n vx)dx dy dz
Análogamente, las transferencias netas de agua que se tienen 
en el elemento por flujo en las direcciones Y y Z , son, respectiva­
mente:
0 0 ~ ( n v v) d x d y d z y — (n~v¡¡)dxdydz
Ahora bien, si se cumplen las hipótesis mencionadas en el cuerpo 
de este capítulo y si el fluido y las partículas de suelo son ambos 
incompresibles, el almacenamiento o pérdida total de agua en el ele­
mento debe ser nulo, de manera que:
¿ ( « í . ) + ^ ( n i i , ) + ¿ ( « 5 , ) = 0 
o, lo que es lo mismo:
3u» , dv„ , Su* _ A , , , „ v
i 7 + -0 ¡r + ^ r = o í 1' 3-12)
que es la ecuación de continuidad ya vista en el cuerpo de este
capítulo. Esta ecuación, juntamente con la ( 1- a . l l ) proporciona los
medios para encontrar los valores de las incógnitas vx, vy, vz y h.
Conviene en la resolución de los problemas de flujo introducir 
la función <f> (x, y, z ) , definida como:
<t>(x,y,z)= - k ( ^ - + z j + c = — k h + c (l-a .13) 
donde c es una constante.
Debe observarse de inmediato que el gradiente de esta función 
así definida es la velocidad en el punto de la región de flujo consi­
derada; en efecto:
v * = Ü 7 + ^ 7 + i ¿ í -
9 dx 9 dg ' 9 d i
k J j l + t d F k ) =
-» -> -» -4
= vt i + vvj + v„k = v
De acuerdo con la definición tradicional de función potencial de 
un campo vectorial de variable escalar, la función <f> arriba definida 
resulta ser simplemente el potencial de velocidad en la región de flujo.
Así, en resumen, se cumple:
3 <f> dd> Z<¡>
t e = v’ •' : <>■••'«>
Si se substituyen las ecs. 1-a. 14 en la (1-a. 12), se obtiene final­
22 CAPITULO I
mente
3V , 3 ^ _ n , , . . .a*2 + a«2 + — 0( l - a . 15)dx2 r dy2 dz2 
que es la ecuación de Laplace, ya mencionada.
M EC A N ICA D E SU E L O S (III) 23
ANEXO I-b
La función flujo (i]/ = cte)
Sea la función de flujo vj; (x, y ) — cte, definida en cada punto de 
la región de flujo por las expresiones:
Teniendo en cuenta que:
<p = — k h + c
y
, dh
" ■ = “ * 8Í, dh
se sigue que:
dd>
V° = -%c
= ^ (l-b.2)
dy
(ecs. l-a.14 del Anexo I-a).
Comparando las expresiones 1-b.l y l-b.2, se obtiene finalmente:
d<f> _ d<\i 
dx ~ dy
-M- - _ ( l-b .3)
dy dx 1 '
Así, las funciones <l> y cumplen las condiciones l-b.3, denomi­
nadas de Cauchy-Riemann en la teoría de funciones de Variable
Compleja. Derivando respecto a y la primera ec. l-b.3 y respecto a
x la segunda, se tiene:
32<f> _ 32 ip 
dy 8x — dy2
d2<t> _ 8a v|;
dy dx ~ dx2
24 CAPITULO I
Sumando miembro a miembro se llega a:
0 + 0 = V + = O ( t -M)
O sea que la íunción ip también cumple la ecuación de Laplace 
y por lo tanto es solución de la misma.
Se demostrará ahora que las curvas <j> — cte y las (p — cte se 
cortan a 90° dentro de la región plana de flujo. Para ello considéren­
se las derivadas totales a lo largo de cada una de dichas curvas.
d * = í x dx + ^ dy = °
d ^ = ^ dx + ^ dy = 0 ( l-b.5)
Con base en las ecuaciones anteriores pueden obtenerse las pen­
dientes d y /d x de ambas familias:
9<f>
( dy\ _ _ 0x 
dx )$ d<j>
dy
dx
8ip
39
Aplicando ahora las condiciones de Cauchy-Riemann que satis­
facen las funciones <f> y según se vio, a la segunda de las expre­
siones anteriores se obtiene, dejando la primera sin cambio.
0<¿>
í d y \ ~dx~
V dx — d<f>
3 y
d<p
r dy \ _ __3¡ l
< dx Jy d<j>
dx
(l-b .6 )
De manera que las pendientes de las dos familias resultan ser 
recíprocas y de signo contrario, lo cual constituye la condición de 
ortogonalidad de las curvas <j> = cte y ip = cte.
ANEXO I-c 
Soluciones rigorosas a los problemas de flujo*
La utilidad del mapeo conforme para la resolución de los pro­
blemas de flujo bidimensional tiene como base el hecho de que las 
soluciones de la ecuación de Laplace lo siguen siendo cuando se 
las sujeta a una transformación o una serie de transformaciones con­
formes.
La solución directa de los problemas de flujo desde un punto de 
vista analítico es, como se dijo en el cuerpo de este capítulo, muy 
difícil, a menos que la región de flujo sea de una forma muy simple. 
Sin embargo, haciendo uso de las técnicas del mapeo conforme es 
posible frecuentemente transformar una región de flujo dada en otra 
mucho más sencilla, susceptible de ser estudiada resolviendo la ecua­
ción de Laplace para las nuevas condiciones de frontera. Así, una vez 
obtenida la solución en la región sencilla a la que se llegó por la 
transformación, puede usarse la transformación inversa para volver 
a poner las cosas en su forma original. La clave de este método de 
solución consiste en encontrar una o varias transformaciones que con­
viertan a la zona de flujo en otra sencilla, generalmente un rec­
tángulo o un círculo.
A modo de ilustración se presenta en lo que sigue la solución 
matemática rigurosa de un caso práctico de relativa sencillez. Se trata 
del flujo a través del terreno de cimentación, considerado semi-in-
MECANICA DE SUELOS (III) 25
Y
Para la correcta comprensión de los temas que se tratan tan someramente 
en este anexo, el lector debe acudir, a no ser que su preparación previa lo dispense 
de ello, a textos apropiados de matemáticas, entre los que pueden citarse las refs 
6, 7, 8 y 9.
26 CAPITULO I
finito, y supuesto permeable, homogéneo e isótropo, de una cortina 
vertedora de concreto o de manipostería (fig. I - c .l ). Se supone que 
la cortina descansa directamente sobre la superficie del terreno.
Examinando los requisitos que deben de cumplir las componentes 
de velocidad del agua a lo largo de las fronteras de la región de flujo 
(fig. I-c .l.a ) puede notarse que a lo largo de las líneas semi-infinitas 
A B y CD las componentes horizontales de la velocidad del agua 
son nulas. En efecto, es fácil ver que ambas líneas son equipoten­
ciales, puesto que la carga hidráulica en todos los puntos de cada 
línea es evidentemente la misma. De la misma manera se ve también 
que a lo larqo de la frontera B O C la componente vertical de la 
velocidad del agua es nula, por lo que dicha línea es una línea de 
flujo al coincidir la dirección de la velocidad con la propia línea.
Considérense la velocidad del agua en un punto expresada en 
forma compleja; para ello considérese en primer lugar una función 
w — f ( z ) , definida como:
w = <f> + iip
y siendo z — x + / y
donde las funciones <f> y son respectivamente la función potencial 
y la función flujo, ya tratadas en este capítulo. Se supondrá también 
que la función w es una función analítica o lo que es lo mismo que 
ella y su derivada son finitas y de valor único dentro de la región 
que interesa estudiar. La derivada de w con respecto a z estará dada 
por
É * . = ¿ t - + i É$L ( i . c. i )
dz dx dx
lo cual, teniendo en cuenta los valores de vt y vy, definidos en este
capítulo en función de c¡> y respectivamente, puede en definitiva
escribirse como:
W = - ~ - = v 9 - i v y ( l-c.2)
donde W se denomina la velocidad compleja:
W será real a lo largo de B C (fig. í-c .l.a ) siempre que
— b < x < b (l-c .3 )
Análogamente podrá decirse con base en lo arriba establecido, 
que W será imaginario a lo largo de las fronteras A B y CD, en 
las que
W > b (l-c .4 )
Cabe observar ahora que la función (b — z)'A cumple la condición 
de ser real para z — x < b e imaginaria para cualquier z — x > b. 
Análogamente, puede notarse que la función (6 + z ) % es real para 
z = x > — b e imaginaria para z — x < . — b. Por otra parte se ob­
serva que el producto de las dos funciones, es decir, la función 
( ¿r2 — z2)1/2 da valores reales para — b < x < b e imaginarios para 
| x | > b, cumpliendo así las condiciones de frontera que han sido 
impuestas a W más arriba. Hay que explicar que en los párrafos 
anteriores se ha venido estableciendo que z = x. lo cual aparente­
mente es falso si se toma en cuenta que en realidad z — x + i y ; sin 
embargo, todas las fronteras de las que se habla están situadas en el 
eje x, con lo que y = 0 y z = x.
Supóngase ahora que se acepta que la velocidad con la que el agua 
entra al suelo tiende a cero al considerar puntos cada vez más ale­
jados de la cortina (hacia A „ y D „ de la fig. I-c .l .a ) . Esta condi­
ción se siente razonable cuando se considera el problema en estudio 
de un modo intuitivamente físico. Tomando en cuenta la condición 
mencionada puede observarse que la función
W = = K - - _ ( l-c .5)dz y /t f — 2?
satisface tanto las condiciones de frontera expresadas más arriba como 
esta última condición física. En esta expresión K¡ es una constante 
real cuyo valor ha de ser determinado.
Si se integra la ( l-c .5 ) se obtiene:
w = <p + i<\> =: K-l ang sen -g- + K 2 (1 -c.6 )
en donde K t es una constante de integración.
Considérese ahora la relación entre los planos z y w de la fig. 
I-c .l. Puede verse que entre ambas geometrías existe la siguiente 
correspondencia:
En el punto C : w — 0 ; z — b
En el punto B : w = — kh ; z = — b
Si se llevan estos valores a la ec. l- c .6 se tiene: 
v — kh *, khAi — ; As —7C 2
Con lo que la ec. l-c .6, resulta:
kh z kh -v
MECANICA D E SU ELO S (III) 27
Lo cual puede escribirse también, teniendo en cuenta que
z , z «ang sen —-g- + ang eos —
como
w — — ang eos 1 "c-8)
Ti b
I
de donde finalmente se obtiene
z — b eos -¥ r- (1 -c .9)kh
Ecuación que establece en definitiva la relación de transformación 
de tipo conforme entre los planos z y w de la fig. I-c .l.
Para conocer las trayectorias del agua que fluye bajo el vertedor 
del problema considerado, conviene separar la ec. l-c.9 en sus partes 
real e imaginaria; esta separación no se detallará en este lugar y su 
justificación podráencontrarse en las referencias especializadas que 
se mencionaron al comenzar este anexo. Se obtiene asi:
x = b eos <j>' cosh <J/
y — — b sen <£' senhvj/ (l-c .1 0 )
donde se han definido
v 1!/ - ^
* ” kh Y V ~ kh
Despejando en las (l-c .1 0 ) los términos sen <f>, y eos </>', elevando 
al cuadrado y sumando se obtiene:
b2 cosh2 4»' b2 senh2 4/ ̂ ^
Así, las líneas de flujo en el problema propuesto resultan ser 
elipses con focos en los puntos ± b.
Análogamente, si en la (l-c .1 0 ) se despeja senh 4/ y cos/i 4A se 
eleva al cuadrado y se restan las expresiones convenientemente, se ob­
tiene como ecuación de la familia de curvas equipotenciales la 
expresión:
 * 2 £ = 1 ( l - c .12 )
28 CA PITU LO I
b 2 eos2 4>r b2 sen2 </>'
Lo que indica que las curvas equipotenciales son hipérbolas cofo- 
cales con las elipses que resultaron líneas de flujo.
MECANICA D E SUELO S (III) 29
Así. la red de flujo (conjunto de líneas de flujo y equipotencia­
les) resulta en definitiva como se muestra en la fig. I-c.l.a. Y a con 
este trazo realizado, el problema de flujo puede considerarse resuel­
to, tomando en cuenta las ideas que se exponen en el Capitulo II.
Quizá con el ejemplo analizado, el lector haya adquirido claramen­
te la idea de lo difícil y engorroso que podría llegar a ser para la 
mayor parte de los ingenieros la solución analítica rigurosa de los 
problemas de flujo; para confirmar lo anterior debe tenerse en cuenta 
que el caso presentado es de los más sendllos. Sin embargo, el lector 
podría tomar la idea también de que la aplicación de los métodos 
matemáticos es fundamentalmente cuestión de ingenio y dependiente 
de la feliz idea del proyectista. En efecto, en la resolución del proble­
ma anterior hubo mucho de aparente artificio. Es conveniente aclarar, 
sin embargo, que esa sensación de relativo desamparo ante este tipo 
de problemas no sería, en general, del todo justa. Existen métodos 
generales, de carácter mucho más determinista, para resolver muchos 
problemas de flujo; por ejemplo, el lector podrá consultar la ref. 10 
para encontrar un modo de resolver el problema anterior en forma 
mucho menos dependiente de una ocurrencia feliz, a base de una 
aplicación sencilla de la transformación de Schwarz-Christoffel. 
una de las más utilizadas para encontrar soluciones analíticas rigu­
rosas a problemas de flujo.
REFERENCIAS
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schlitzen — Zeitschrift Architekten — und Ingenieur — Verein — Hannover — 
1886.
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174 — Londres —- 1883.
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McGraw Hill Book Co. — 1962.
30 C A P IT U L O I
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T hcoretical Soil M echanics — K. Terzaghi -—John W iley and Sons. Inc. 1956.
CA PITU LO II
TEORIA DE LAS REDES DE FLUJO
II-l. La red de flujo
En el párrafo 1-4 se demostró que la ecuación de Laplace queda 
resuelta por dos familias de curvas ortogonales entre sí, que son las 
líneas de flujo y las líneas equipotenciales que allí se estudiaron; se 
mencionó también que dos familias de líneas que cumplan la condi­
ción de ortogonalidad y las condiciones de frontera de la región de 
flujo constituyen una solución única de la ecuación de Laplace y, por 
ende, del problema de flujo descrito por aquella ecuación.
El método de las redes de flujo utiliza esas afirmaciones para re­
solver el problema de un modo sencillo y puramente gráfico. Se trata 
de definir en cada caso particular las condiciones de frontera especí­
ficas del problema y de trazar, cumpliendo aquellas, las dos familias 
de curvas ortogonales, obteniendo así una verdadera imagen gráfi­
ca del problema.
Al acomodar en un dibujo hecho a mano las dos familias, respe­
tando las condiciones de frontera y la de ortogonalidad, se tendrá 
una aproximación a la solución única del problema; esta aproximación, 
si el dibujo se ha realizado con cuidado, es lo suficientemente buena 
para los fines ingenieríles y da soluciones del problema ventajosas 
respecto a las que se obtienen por los métodos matemáticos rigurosos, 
algo más precisos quizá, pero mucho más complicados.
E l trazo de una red de flujo comprende en la práctica los si­
guientes pasos:
1. Delimitación de la zona de flujo que se desea estudiar, anali­
zando sus condiciones específicas de frontera
2, Trazo de dos familias de curvas ortogonales entre sí que sa­
tisfagan las condiciones de frontera y que constituyen la solu­
ción única de la ecuación de Laplace.
No se pueden dar muchas reglas generales para definir qué 
fronteras pueda tener en un caso dado una zona de flujo en estudio, 
pero a continuación se mencionan algunos casos muy frecuentes 
respecto a los que si es posible decir algo como guia de criterio o de 
aprendizaje.
31
32 CAPITULO II
Considérese en primer lugar el caso ilustrado por la línea 1-2 
de la fig. II-1, que es evidentemente una frontera de la •zona por la 
que se infiltra el agua a través de la presa.
ZONA IM P E R M E A B L E
FIG. II-1. Análisis de algunos condiciones d e frontera en redes
d e flujo
Puede notarse al analizar lo que sucede en los puntos A y A' que 
a lo largo de esa línea, las cargas de presión (representadas por las 
alturas de agua medidas del punto a la superficie) son diferentes; 
las cargas de posición, si se toma el plano 1-3 como plano de com­
paración por ejemplo, también lo son, pero la suma de ambas, o sea 
la carga hidráulica total,* es la misma en todos los puntos y está 
representada por la distancia comprendida entre la horizontal 1-3 y 
el nivel de agua. Así, la línea 1-2 es una línea equipotencial. En ge­
neral la situación ilustrada por el ejemplo anterior prevalece y el 
contacto entre el agua libre y un medio permeable a través del cual 
se infiltra el agua es siempre una línea equipotencial.
Considérese ahora el caso de la frontera 1-3. El agua que llegue 
a hacer contacto con esa línea deberá de seguirla en su recorrido, 
pues la roca impermeable no le permite atravesarla. Así, la línea 1-3 
es una línea de flujo. También puede establecerse como regla general 
que el contacto entre un medio impermeable y otro permeable a través 
del que se infiltra el agua, es una línea de flujo.
Siguiendo lincamientos similares a los expresados arriba puede 
entonces definirse a qué tipo de línea corresponde cada una de las 
fronteras de la región de flujo; por el momento se supone que todas 
esas fronteras son conocidas a priori, es decir, que la región de flu­
jo está claramente delimitada; más adelante se estudiarán algunos 
casos importantes en los que las fronteras de la región de flujo no 
son conocidas de antemano y, por lo tanto, han de ser estudiadas 
como primer paso para el trazo de la red de flujo.
* En realidad lacarga hidráulica total es la suma de las cargas de posición 
de presión y de velocidad, que no se ha considerado en el razonamiento anterior. 
La razón es que, dadas las bajas velocidades con que el agua circula a través 
del suelo, esta carga de velocidad es despreciable y no se toma en cuenta 
en los problemas de flujo de agua en suelos.
MECANICA D E SUELOS (III) 33
Una vez conocidas las fronteras, el trazo de la red de flujo con­
siste, como ya se dijo, en dibujar las dos familias de curvas orto­
gonales entre si y que cumplan dichas condiciones de frontera. El 
hacer cumplir las condiciones de frontera consiste simplemente en 
satisfacer en éstas los requerimientos teóricos de la red; así por ejem­
plo si la frontera es una línea de flujo, la familia de líneas equipo­
tenciales la deberá cortar ortogonalmente, etc.
II-2. Trazo de la red de flujo. Cálculo del gasto
Al intentar el trazo de las familias de líneas equipotenciales y 
de flujo surge el problema de que por cada punto de la región de 
flujo deberá de pasar en principio precisamente una línea de flujo y 
una equipotencial, pues en cada punto de la región de flujo el agua 
tiene una velocidad y una carga hidráulica. Esto llevaría, de trazar 
todas las líneas posibles, a una solución que formaría una mancha 
uniforme en todas las regiones de flujo; a este modo de proceder 
le faltaría todo valor práctico, pues las soluciones obtenidas en los 
diferentes problemas serán uniformemente inútiles. Para aspirar a 
una solución discriminativa, que sepa diferenciar un problema de flu­
jo de otro, será preciso no trazar todas las líneas de flujo y equipo­
tenciales posibles; en cambio se trazarán sólo unas cuantas selec­
cionadas con un cierto ritmo útil y conveniente. El problema no es 
nuevo y los lectores familiarizados con la representación gráfica de 
otros campos vectoriales de variable escalar, como el campo eléctrico 
por ejemplo, o la representación de una topografía con curvas de 
nivel, lo reconocerán de inmediato. La solución que conviene dar 
en el caso de problemas de flujo es análoga a la dada en esos otros 
casos; fijar, como se ha dicho, un ritmo para dibujar solamente al­
gunas de las infinitas lineas 
posibles. La convención más 
conveniente es la siguiente:
a) Dibujar las líneas de 
flujo de manera que el gasto 
que pase por el canal formado 
entre cada dos de ellas sea el 
mismo (Aq ) .
b ) Dibujar las líneas equi­
potenciales de manera que la 
caída de carga hidráulica en­
tre cada dos de ellas sea la 
misma (Ah).
Supóngase que se ha tra­
zado la red de flujo cumplien-
FIS. 11-2. Una porcün de una red de flujo.
Obtención de la fórmula para el 
cálculo del gasto
Mecánica de Suelos III
34 CAPITULO II
do los dos requisitos anteriores, de manera que un fragmento de ella, 
el limitado por las líneas de flujo y i];;- y por los equipotenciales 
<f>i y (¡>j es tal como el que se muestra en la fig. II-2.
El gasto Aq que pasa por el canal vale, según la ley de Darcy:
A q - k a ^ - ( 2- 1 )
pues el área media del rectángulo curvilíneo normal al flujo es a (se 
considera un espesor unitario normal al plano del papel), Ah es la 
caída constante de potencial hidráulico entre <¿>¡ y y b es la dis­
tancia media recorrida por el agua.
Si n¡ es el número total de canales de flujo que tiene la red y ne el 
número de caídas de potencial que hay en toda la zona de flujo, podrá 
escribirse, teniendo en cuenta las dos convenciones que se han segui­
do para construir la red de flujo:
A h = — (2-2)
fie
Donde q y h son el gasto total y la carga perdida en total, en 
toda la zona de flujo.
Asi, la ec. 2-1 podrá escribirse:
* = (2-3)
En la expresión 2-3 puede notarse que puesto que q, k, h, n¡ y 
ne son constantes para una red .de flujo dada, la relación a / b debe 
serlo también. Así, si han de satisfacerse las dos condiciones que se 
ha decidido cumplir, la relación entre el ancho y el largo de todos 
los rectángulos curvilíneos de una red de flujo debe de ser la misma; 
es decir todos los rectángulos curvilíneos deben ser semejantes y, 
recíprocamente, el hecho de que se cumpla esta condición de seme­
janza implica que se están satisfaciendo automáticamente las dos 
condiciones impuestas a la red al comienzo de esta sección. Nótese 
también que el único requisito que ha de cumplirse respecto a la re­
lación a / b , para satisfacer las dos condiciones que fijan el ritmo de 
las líneas de flujo y equipotenciales es que sea constante; por lo de­
más, la relación a / b podrá ser cualquier constante. Se antoja así, 
en aras de la sencillez y la elegancia, fijar el valor de a / b precisa­
mente como la unidad, que es incuestionablemente la constante más
sencilla. Si esto se hace, los rectángulos curvilíneos se transforman 
en cuadrados curvilíneos, de manera que la red dibujada cumplirá la
M ECANICA D E SU ELO S (III) 35
condición de que por cada canal pase el mismo gasto y de que entre 
cada dos líneas equipotenciales haya la misma caída de potencial, 
simplemente si las figuras definidas por esas líneas son cuadrados. 
Evidentemente el cuadrado es la figura más sencilla y conveniente, 
con la ventaja adicional de que permite verificar lo bien dibujada que 
una red esté al golpe de vista, lo que no sucedería con los rectángulos, 
pues al variar el tamaño de ellos no se puede decir sin tomar medidas 
si se conservan sus proporciones o se han dibujado diferentes, con 
el correspondiente error.
Si se acepta para siempre en adelante que todas las redes de flujo 
serán de cuadrados, en tanto no se especifique otra cosa, la ec. 2-3 
podrá escribirse:
q = k h ^ ~ (2 -4 )
He
El término n¡/ne depende solamente de la forma de la región de 
flujo. Se le llama Factor de Forma y se representa:
F f = J± (2 -5 )
•le
Así, en definitiva, la expresión 2-3 puede ponerse como:
q — k h F f (2 -6 )
que es la fórmula sencilla que permite calcular el gasto por uni­
dad de longitud normal a la sección estudiada, que ocurre a través 
de una región de flujo en la que se ha dibujado la red correspondiente.
Antes de detallar otros conceptos importantes que pueden calcu­
larse por medio de la red de flujo, conviene insistir un poco más 
en las normas para el trazo de éstas. Casagrande en la ref. 1 de este 
capítulo proporciona los siguientes consejos a los ingenieros no ex­
pertos en este campo y a los jóvenes estudiantes:
1. Usense todas las oportunidades posibles para estudiar la apa­
riencia de redes de flujo bien hechas, tratando después de 
repetirlas sin tener a la vista el modelo hasta obtener dibujos 
satisfactorios.
2. Usualmente es suficiente trazar la red con un número de cana­
les de flujo comprendidos entre cuatro y cinco. El uso de 
muchos canales dificulta grandemente el trazo y desvía la aten­
ción de los aspectos esenciales.
3. Debe siempre observarse la apariencia de la red en conjunto, 
sin tratar de corregir detalles hasta que toda ella está aproxi­
madamente bien trazada.
36 CAPITULO II
4. Frecuentemente hay partes de la red en que las líneas de flujo 
deben ser aproximadamente rectas y paralelas: en ese caso 
los can'ales son más o menos del mismo ancho y los cuadrados 
deben resultar muy parecidos. Puede facilitar el trazo de la 
red el comenzarlo por esa zona.
5. Las redes de flujo en áreas confinadas, limitadas por fronte­
ras paralelas (especialmente la superior y la inferior) son 
frecuentemente simétricas y las líneas de flujo y las equipo­
tenciales son entonces de forma parecida a la elíptica.
6. Un error común en los principiantes es el de dibujar transicio­
nes muy bruscas entre las partes rectas y las curvas de las 
diferentes líneas. Debe tenerse presente que las transiciones 
deben ser siempre muy suaves y de forma parabólica o elíptica: 
el tamaño de los diferentes cuadrados debe ir cambiando tam­
bién gradualmente.
7. En general el primer intento no conduce a una red de cua­
drados en toda la extensión de la región de flujo. La caída 
de potencial entre dos equipotenciales sucesivascorrespondien­
te a un cierto número de canales con el que se intentó la solu­
ción, no suele ser una parte entera exacta de la pérdida total 
de potencial, de manera que al terminar la red suele quedar 
una última hilera de rectángulos entre dos lineas equipoten­
ciales en la que la caída de carga es una fracción de la Ah 
que haya prevalecido en el resto de la red. Generalmente esto 
no es perjudicial y esta última hilera puede tomarse en cuenta 
para el cálculo de ne. estimando que fracción de caída ha re­
sultado. Sí, por razones de presentación, se desea que todas 
las hileras de cuadrados queden con el mismo Ah, podrá corre­
girse la red, cambiando el número de canales de flujo, bien 
sea por interpolación o empezando de nuevo. No debe inten­
tarse convertir la hilera incompleta en una de cuadrados por 
correcciones locales puramente gráficas, a no ser que el faltante 
o sobrante de espacio en la hilera incompleta sea muy pequeño.
8. Las condiciones de frontera pueden introducir singularidades 
en la red que se discutirán con más detalle en los párrafos 
siguientes.
9. Una superficie de salida en la red, en contacto con aire, si no 
es horizontal, nunca es ni línea de flujo ni equipotencial, de 
manera que los cuadrados limitados por esa superficie no 
pueden ser completos. Sin embargo, como más adelante se 
demostrará,, estas superficies deben cumplir la condición de que 
se tengan iguales caídas de posición entre los puntos de ellas 
cortados por las líneas equipotenciales.
Además de las normas anteriores, es conveniente que las líneas 
de flujo y equipotenciales se dibujen siempre completas. Los princi-
I
MECANICA DE SUELOS (III) 37
piantes cometen numerosos errores de concepto en la red por dejar 
trazos incompletos que, de ser terminados, les hubieren revelado di­
chos errores en forma muy clara.
En las figs. II-3 aparecen algunas redes de flujo dibujadas a 
modo de ilustración.
n-3. Superficies libres a la presión atmosférica
Una frontera muy común en las redes de flujo la constituye una 
superficie abierta al aire o, en general, una superficie en la cual todos 
los puntos estén a la presión atmosférica. Respecto a tales superficies 
existe una condición teórica que ha de cumplirse, que se traduce en 
una condición gráfica que debe satisfacerse y que es sencilla de 
verificar.
FIG. 11-4. Superficie abierta al aire
Sea la superficie A B una superficie abierta al aire, en la cual todos 
los puntos tienen la misma carga de presión, que corresponde a la 
presión atmosférica (fig. II-4 ). Entonces dos puntos de esa super­
ficie cortados por dos equipotenciales sucesivas estarán separados ver­
ticalmente por una distancia Ah que tiene que ser igual a la caída 
de carga hidráulica entre esas dos equipotenciales, puesto que por ser 
igual la carga de presión, la diferencia de carga tiene que traducirse 
sólo en pérdida de posición. Como quiera que entre todas las equipo­
tenciales que cortan a la superficie libre hay la misma pérdida de 
carga, se sigue que entre todos los puntos en que dichas equipoten­
ciales cortan a la superficie libre debe de haber la misma diferencia 
de posiciones o caída de alturas, precisamente igual a Ah. Ese hecho 
está gráficamente expresado en la fig. II-4.
II-4. Cuadrados singulares
Hay ocasiones en que dentro de las redes de flujo las circuns­
tancias geométricas de la región de flujo fuerzan las cosas de manera
38 CAPITULO II
que se produce una singularidad, dando así lugar a cuadrados en 
la red que quedan aparentemente fuera de la regla común.
La parte'a^l de la fig. II-5 presenta un caso muy común que, por 
otra parte, ya se presentó en las redes de la fig. ÍI-3,
IMPERMEABLE
c
FIG. 11-5. Cuadrados singulares
La frontera superior del fragmento que se reproduce de la región 
de flujo es una línea equipotencial, en tanto que la inferior lo es de 
flujo. Ambas líneas son paralelas, por lo que el cuadrado extremo, 
de a¡ bj a la izquierda, es un cuadrado abierto de forma singular. 
Es de notar que de la línea de flujo que parte de a¡ a la izquierda 
pasa el gasto Aq, mismo que pasa por los restantes canales de flujo 
de la red; si se subdivide en mitades el cuadrado singular (líneas por 
los puntos a* y b¡, de la figura), por cada subdivisión pasará el gasto 
A q/2. Si se siguen las subdivisiones hacia la izquierda podrán obte­
nerse los canales por los que pasa la cuarte parte, la octava parte, 
etc., del gasto; puede verse que esos canales tienden a ser similares 
hacia la izquierda, en tanto que el gasto que pasa por ellos disminuye
MECANICA DE SUELOS (III) 39
rápidamente. De lo anterior se deduce que la velocidad de filtración 
del agua en la zona permeable disminuye hacia la izquierda monó­
tonamente, de manera que se acerca asimptóticamente a cero. Lo an­
terior puede elevarse al grado de regla general, de modo que puede 
decirse que cuando una línea de flujo y una equipotencial son para­
lelas por una singularidad de una red, en su intersección (punto oo ) 
la velocidad con la que el agua se infiltra se reduce a cero.
En la parte b) de la fig. II-5 se presenta otra singularidad bas­
tante común en muchas redes. En el punto A concurren una línea de 
flujo y una equipotencial, que son colineales; es decir, forman entre 
sí un ángulo de 180°, en lugar del usual de 90°. También ahora si 
se subdivide el canal original, en el que pasa el gasto Aq, se obtienen 
dos canales por cada uno de los que pasa A q/2. La subdivisión pos­
terior permite obtener canales por los que irá pasando la cuarta 
parte, la octava parte, etc., del gasto. Pero ahora la situación es dife­
rente a la que se tuvo en el caso a ) . Si ahora se observa la fig. II-5.b 
se verá que la sección de cada canal va siendo bastante menor que la 
mitad de la anterior, en tanto que el gasto que pasa por ella es pre­
cisamente la mitad del que pasaba por el canal antes de la subdi­
visión; en consecuencia, al acercarse al punto A , la velocidad de 
infiltración del agua en el suelo debe ir aumentando. De hecho, 
esa velocidad aumenta monótonamente hacia A, de manera que en ese 
punto es, teóricamente, infinita. Lo anterior también es regla general 
y puede decirse ahora que si una línea de flujo y una equipotencial 
se unen a un ángulo mayor que 90° (y 180° no es más que un caso 
particular), en el punto de unión el agua tiene una velocidad de 
infiltración infinita.
Al considerar el hecho teórico de que la velocidad en el punto A 
es infinita, deben de tenerse en cuenta los siguientes puntos de vista: 
La teoría con la que se ha llegado a la conclusión que se estudia, 
que se ha venido exponiendo en éste y en el precedente capítulo, ha 
sido elaborada bajo la hipótesis de régimen laminar en el agua y de 
validez de la ley de Darcy. Estas hipótesis exigen a su vez, según 
se ha venido insistiendo, bajas velocidades en el agua que fluye; así, 
esa teoría no es aplicable a un punto en el que las velocidades crecen 
en forma importante, por lo que la conclusión de que la velocidad se 
hace infinita no ha de ser aceptada literalmente. La conclusión que 
si puede extraerse es que en las vecindades de A las velocidades del 
agua aumentan mucho y el flujo se concentra, razón por la que zonas 
de este tipo serán zonas críticas desde el punto de vista de erosiones, 
arrastres, etc., cuando estén a la salida de la red y el material no 
tenga confinamiento.
En la fig. II-5.C se presenta otra singularidad frecuente en las 
redes de flujo. Ahora una línea equipotencial y una de flujo se cortan 
a un ángulo a que es menor de 90°. Puede verse que al hacer las
40 CAPITULO II
subdivisiones en este caso se tiene cada vez un gasto mitad del an­
terior pasando a través de una sección que es mayor que la mitad 
de la anterior; así la velocidad de filtración va disminuyendo monó­
tonamente cuanto más cerca se esté de A , de manera que en dicho 
punto se llega a la velocidad cero. Lo anterior también es regla ge­
neral; es decir, cuando una equipotencial y una línea de flujo se