LIBRO MECSUELOS II R.C.M.C

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SEP 
 
Sistema Nacional de Educación Superior 
Tecnológica 
 
 
Instituto Tecnológico de Tehuacán 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Libro: 
 
 
Mecánica de Suelos II 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rodolfo Crescenciano Medrano Castillo 
 
 
 
 
 
Reporte final del año sabático 
Dictamen No. AS-1-152/2007 
29/enero/2007 a 28/enero/2008 
 
 
 2
PRÓLOGO 
 
 
 
 
 El presente texto tiene la finalidad de brindar un apoyo a los alumnos que estudian 
la materia de Mecánica de Suelos II de la carrera de Ingeniería Civil en el Sistema 
Nacional de Educación Superior Tecnológica, en forma particular a los alumnos del 
Instituto Tecnológico de Tehuacán. 
 
 Este trabajo se encuentra estructurado de acuerdo al programa vigente de la 
materia de Mecánica de Suelos II, sin embargo no se pretende que sea el libro de texto de 
la materia, sino un libro que sirva como hilo conductor en el proceso de aprendizaje de la 
materia y que complementado con la investigación de otras fuentes, contribuya a la 
formación de nuestros futuros profesionistas. 
 
 Expreso un agradecimiento a la Dirección Nacional de Educación Superior 
Tecnológica y al Instituto Tecnológico de Tehuacán, por el apoyo que me ha brindado 
para la elaboración de este libro, a través de la autorización de un año sabático. 
 
También deseo expresar mi amplio reconocimiento por su apoyo a la Academia de 
Ingeniería Civil y al Departamento de Ciencias de la Tierra, y muy especialmente al Ing. 
Eduardo López Sánchez, docente de esta Institución y reconocido profesionista en la 
región en el área de la Mecánica de Suelos, quien fue asignado a la revisión de este 
trabajo. 
 
 Por último quiero darle las gracias a toda mi familia que fueron testigos del 
esfuerzo realizado, que se veía reflejado en las horas que a ellos les quitaba para 
invertirlas en este trabajo y que sin embargo siempre me apoyaron, con cariño a mi 
esposa Lulú y a mi pequeña Fátima. 
 
 
 
 
 
Tehuacán, Puebla a 14 de Enero de 2008 
 
 
 
 
 
Rodolfo C. Medrano Castillo 
 
 
 3
CONTENIDO 
 
CAPITULO 1. TEORÍA DE LAS REDES DE FLUJO. 
 
6 
1.1. Conceptos fundamentales matemáticos 6 
1.2. Solución matemática de Forchheimer y solución gráfica de 
Casagrande 
7 
1.3. Trazo de la red de flujo, calculo de gasto, fuerzas de filtración, 
subpresiones, estabilidad y gradiente crítico 
10 
 
CAPITULO 2. DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS. 
 
24 
2.1 Esfuerzos en la masa de suelo 24 
2.2. Ecuaciones de Boussinesq y Steinbrenner 28 
2.3 Solución gráfica de Newmark y gráficas de Fadum 32 
2.4 Incrementos de esfuerzo vertical bajo diferentes condiciones de 
carga 
36 
2.4.1 Carga lineal de longitud infinita 36 
2.4.2 Carga de franja de ancho finito (B) y longitud infinita 38 
2.5 Otras teorías: 39 
2.5.1 Método 2:1 39 
2.5.2 Westergaard 40 
2.5.3 Burmister 41 
2.5.4 Fröhlich 42 
 
CAPITULO 3. ASENTAMIENTOS. 
 
44 
3.1 Tipo elástico 44 
3.2 Asentamientos por consolidación 46 
3.2.1 Asentamientos por consolidación primaria 49 
3.2.1.1 Determinación de asentamientos 49 
3.2.1.2 Porcentaje de asentamiento y tiempo de 
consolidación 
55 
3.2.2 Asentamientos por consolidación secundaria 60 
3.3 Expansiones 62 
 
CAPITULO 4. CAPACIDAD DE CARGA. 
 
67 
4.1 Introducción 67 
4.2 Teorías de capacidad de carga 67 
4.2.1 Terzaghi 68 
4.2.2 Prandtl 75 
4.2.3 Hill 75 
4.2.4 Skempton 77 
 4
4.2.5 Meyerhof 79 
4.2.6 Zeevaert 83 
 
CAPITULO 5. CIMENTACIONES E INTERACCIÓN CON EL 
SUELO. 
 
 
85 
5.1 Superficiales 85 
5.1.1 Clasificación 85 
5.1.2 Factores que determinan el tipo de cimentación 87 
5.1.3 Aplicación de las teorías en los diferentes tipos de suelos 87 
5.1.3.1 Forma generalizada de la capacidad de carga 
última 
87 
5.1.3.2 Criterios para la aplicación de la formula de la 
capacidad de carga última, según el nivel de 
aguas freáticas 
89 
5.1.3.3 Factor de seguridad 91 
5.2 Profundas 97 
5.2.1 Clasificación 97 
5.2.1.1 Según la forma como transmiten las cargas al 
subsuelo 
97 
5.2.1.2 Según su proceso constructivo 99 
5.2.1.2.1 Con desplazamiento 99 
5.2.1.2.2 Con poco desplazamiento 100
5.2.1.2.3 Sin desplazamiento 100
5.2.2 Capacidad de carga en los diferentes tipos de 
cimentaciones profundas 
 
100
5.2.2.1 Capacidad de carga de un pilote de punta Qp 101
5.2.2.2 Capacidad de carga de un pilote por la 
resistencia al esfuerzo cortante (suelo – pilote) 
de la superficie del fuste Qs 
 
 
102
5.2.2.3 Capacidad de carga de una pila perforada 106
 
CAPITULO 6. EMPUJE DE TIERRAS. 
 
107
6.1 Clasificación de los elementos de retención 107
6.2 Estado de reposo 108
6.3 Estados plásticos de equilibrio 112
6.4 Teoría de Rankine 113
6.4.1 Estado activo 113
6.4.2 Estado pasivo 115
6.4.3 Estado activo y pasivo en rellenos de superficie inclinada 120
6.4.4 Estado activo. Sobrecarga uniformemente distribuida 121
6.4.5 Estado activo. Profundidad de la zona de tensión y altura 
crítica, en suelos cohesivos 
 
121
6.5 Teoría de Coulomb 123
6.5.1 Método de Culmann 123
 5
6.6 Método semi-empírico de Terzaghi 127
6.7 Ademes 132
6.8 Dimensionamiento de muros 134
 
CAPITULO 7. ESTABILIDAD DE TALUDES. 
 
138
7.1 Tipos y causas de fallas en taludes 138
7.2 Métodos de análisis 139
7.2.1 Método sueco – Casagrande 140
7.2.2 Método de las dovelas – Fellenius 142
7.2.3 Método del Círculo de fricción 146
7.2.4 Método Taylor 148
7.2.5 Fallas por traslación 149
7.3 Análisis de círculos críticos 150
7.3.1 Taylor 153
7.3.1.1 Suelos cohesivos 153
7.3.1.2 Suelos con cohesión y fricción 155
7.3.2 Fellenius 156
7.3.3 Jambu 159
7.4 Prevención y corrección de fallas en taludes 160
 
ANEXO 1. PROPIEDADES FÍSICAS DE LOS SUELOS. 
 
162
ANEXO 2. CONSOLIDACIÓN UNIDIMENSIONAL (TERZAGHI) 
 
167
BIBLIOGRAFÍA 
 
171
 
 
 6
CAPITULO 1 
 
TEORÍA DE LAS REDES DE FLUJO. 
 
 
1.1. Conceptos fundamentales matemáticos 
 
 La presión intersticial o de poro o tensiones neutras o subpresiones, que existe en 
un suelo, puede corresponder a condiciones hidrostáticas o las creadas por el flujo de 
agua a través de los vacíos del mismo. En este capitulo analizaremos las condiciones que 
se establecen producto de la filtración del agua en un suelo dentro de un flujo establecido 
o también denominado flujo estacionario, que se vuelve independiente del tiempo, tanto el 
flujo como la presión intersticial dentro de la masa del suelo. 
 
 La filtración en el suelo se produce cuando existe una carga hidráulica, como 
producto de las diferencias de presiones de poro en diferentes puntos del suelo según la 
trayectoria del agua, estudiado por Henry Darcy (1856) y estableciendo que el gasto de 
agua que pasa por un suelo es directamente proporcional a la sección transversal A y a la 
carga hidráulica ∆h, e inversamente proporcional a la longitud del recorrido en el suelo l, 
expresándose matemáticamente: 
 
Flujo 
del 
agua
h
l
Fig. 1.1 Diferencia de carga en piezómetros 
 
l
hkAQ ∆= (1.1) 
 
 En donde k es una constante de proporcionalidad denominada coeficiente de 
permeabilidad y ∆h/l es la relación de perdida de carga a través del suelo y se le 
denomina gradiente hidráulico i: 
 
l
hi ∆= (1.2) 
 7
 
 Por la ecuación de la continuidad en hidráulica sabemos que: 
 
vAQ = (1.3) 
 
 Igualando las ecuaciones (1.1) y (1.3), podemos escribir la siguiente ecuación que 
se conoce como la Ley de Darcy: 
 
kiv = (1.4) 
 
 Por lo que podemos decir que la velocidad del flujo es proporcional al gradiente 
hidráulico. Reynolds observó que esto es una característica del flujo laminar. Por lo que 
podemos considerar que prácticamente es aplicable al flujo en suelos. 
 
1.2. Solución matemáticade Forchheimer y solución gráfica de Casagrande 
 
 Para calcular el gasto de filtración de agua a través del suelo es necesario 
determinar la intensidad y la distribución de las presiones intersticiales, conocidas también 
como presiones de poro o subpresiones. Estas presiones de poro pueden determinarse 
construyendo una red de flujo con las líneas de flujo y las líneas equipotenciales, que 
representan la filtración del agua en un suelo incompresible como lo estableció 
Forchheimer (1917) 
 
 Las líneas de flujo representan los caminos que toman las partículas de agua 
dentro del flujo establecido. 
 
 
Fig. 1.2 Líneas de flujo 
 
Las líneas equipotenciales son líneas en las cuales todos los puntos tienen igual 
carga hidráulica, o sea que si colocáramos piezómetros sobre alguna de estas líneas, el 
nivel del agua en todos seria el mismo. 
 
 8
 
Fig. 1.3 Líneas equipotenciales 
 
 Las líneas de flujo y las equipotenciales, representan una red de flujo dentro de un 
suelo. 
 
 
 
Fig. 1.4 Red de flujo 
 
 
 Para analizar matemáticamente el flujo bidimensional dentro de un suelo, 
consideremos un prisma de dimensiones dx, dy y dz 
 
 9
 
Fig. 1.5 Partícula diferencial de suelo 
 
Dentro del cual fluya el agua producto de una carga hidráulica h, y los gradientes 
hidráulicos parciales están dados por: 
 
x
hix ∂=
δ
 (1.5) 
 
z
hiz ∂=
δ
 (1.6) 
 
 El gasto de entrada esta dado por: 
 
dydz
x
hkAikq xxxxx ∂
∂== (1.7) 
 
dxdy
z
hkAikq zzzzz ∂
∂== (1.8) 
 
 El gasto de salida esta dado por: 
 
dydzdx
x
h
x
hkAdiikdqq xxxxxxx )()( 2
2
∂
∂+∂
∂=+=+ (1.9) 
 
dxdydz
z
h
z
hkAdiikdqq zzzzzzz )()( 2
2
∂
∂+∂
∂=+=+ (1.10) 
 
 Considerando un flujo establecido y la partícula indeformable, el gasto de entrada 
es igual al de salida: 
 
 10
)()( zzxxzx dqqdqqqq +++=+ (1.11) 
 
 Substituyendo: 
 
dxdydz
z
h
z
hkdydzdx
x
h
x
hkdxdy
z
hkdydz
x
hk zxzx )()( 2
2
2
2
∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂=∂
∂+∂
∂
 (1.12) 
 
 Reduciendo: 
 
02
2
2
2
=∂
∂+∂
∂
z
hk
x
hk zx (1.13) 
 
 Siendo el suelo isótropo, la permeabilidad es igual en los sentidos x y z, por lo que 
tenemos: 
 
02
2
2
2
=∂
∂+∂
∂
z
h
x
h
 (1.14) 
 
 Esta ecuación diferencial conocida como ecuación de Laplace, describe 
matemáticamente muchos fenómenos físicos en la práctica, en este caso describe el 
fenómeno del flujo de agua bidimensional en un suelo isótropo. La solución de esta 
ecuación está constituida por dos grupos de funciones que geométricamente pueden 
interpretarse como dos familias de curvas ortogonales entre si. 
 
 El dibujo de la red de flujo fue sugerido por primera vez por Forchheimer como ya 
se comento y desarrollado posteriormente por Arthur Casagrande (1937). Éste método 
ofrece una visión directa del flujo de agua 
 
Arthur Casagrande aporta las ideas para la construcción grafica de las redes de flujo. El 
método consiste en definir en cada caso las condiciones de frontera específicas del 
problema y trazar las dos familias de curvas respetando la ortogonaliadad, con lo cual se 
obtendrán soluciones aplicables a la práctica de la Ingeniería. 
 
1.3. Trazo de la red de flujo, calculo de gasto, fuerzas de filtración, 
subpresiones, estabilidad y gradiente crítico 
 
 Trazo de la Red de Flujo. 
 
 En primer lugar se establece la región de flujo, que es común que se encuentre 
delimitada por el conocimiento a priori de las fronteras constituidas por dos líneas de flujo 
y dos líneas equipotenciales, como en el caso de tablestacados y presas de mampostería 
o concreto, en los cuales las líneas de corriente en las fronteras están definidas por su 
geometría y podemos considerarlas de flujo confinado. Sin embargo en los casos de 
filtración en presas de tierra o en taludes, la frontera superior de flujo o superficie de agua 
libre, no está bien definida (flujo inconfinado). Proponiéndose para ello trazos de 
parábolas que se “ajustan” para que en la entrada se cumpla con la condición de 
perpendicularidad entre la primera línea equipotencial que corresponde al talud de aguas 
arriba de la presa y la primera línea de flujo, así como también las diferentes condiciones 
 11
de salida que pueden existir según el proyecto, en el cual la línea superior de filtraciones 
es tangencial al talud de aguas abajo o de acuerdo a las obras de drenaje que se 
proyecten para hacer “caer” esta línea hacia algún filtro, con lo que se pretenda dar mayor 
estabilidad a la estructura. 
 
Fig. 1.6 Flujo inconfinado 
 
En el interior de la región, se dibujan las líneas de flujo imaginando el recorrido de 
la trayectoria de una gota de agua dentro del suelo, procurando que el gasto que pase en 
el canal de flujo formado entre dos de estas líneas sea el mismo en todos los canales. 
 
Posteriormente se dibujan las líneas equipotenciales procurando que sean 
ortogonales (que sus tangentes en ese punto de intersección sean perpendiculares) a las 
de flujo y la caída de carga hidráulica se mantenga constante. Situación que se cumple 
cuando el rectángulo curvilíneo que se forma con las líneas de flujo y equipotenciales 
tiene en promedio las mismas dimensiones, en donde l debe ser aproximadamente igual a 
b 
 
 
Fig. 1.7 Rectángulo curvilíneo de redes de flujo 
 12
 Arthur Casagrande proporciona los siguientes consejos para ingenieros sin 
experiencia en estos campos a los estudiantes: 
 
1. Usénse todas las oportunidades posibles para estudiar la apariencia de redes de 
flujo bien hechas, tratando después de repetirlas sin tener a la vista el modelo 
hasta obtener dibujos satisfactorios. 
2. Usualmente es suficiente trazar la red con un número de canales de flujo 
comprendidos entre cuatro y cinco. El uso de muchos canales dificulta 
grandemente el trazo y desvía la atención de los aspectos esenciales. 
3. Debe siempre observarse la apariencia de la red en conjunto sin tratar de corregir 
detalles hasta que toda ella está aproximadamente bien trazada- 
4. Frecuentemente hay partes de la red en que las líneas de flujo deben ser 
aproximadamente rectas y paralelas; en este caso los canales son más o menos 
del mismo ancho y los cuadrados deben resultar muy parecidos. Puede facilitar el 
trazo de la red el comenzarlo por esa zona. 
5. Las redes de flujo en áreas confinadas, limitadas por fronteras paralelas 
(especialmente la superior y la inferior) son frecuentemente simétricas y las líneas 
de flujo y las equipotenciales son entonces de forma parecida a la elíptica. 
6. Un error común en los principiantes es el dibujar transiciones muy bruscas entre 
las partes rectas y las curvas de las diferentes líneas. Debe tenerse presente que 
las transiciones deben ser siempre muy suaves y de forma parabólica o elíptica; el 
tamaño de los diferentes cuadros debe ir cambiando también gradualmente. 
7. En general el primer intento no conduce a una red de cuadrados en toda la 
extensión de la región de flujo. La caída de potencial entre dos equipotenciales 
sucesivas correspondiente a un cierto número de canales con el que se intentó la 
solución, no suele ser una parte entera exacta de la pérdida total de potencial, de 
manera que al terminar la red suele quedar una última hilera de rectángulos entre 
dos líneas equiponteciales en la que la caída de carga es una fracción de ∆h que 
haya prevalecido en el resto de la red. Generalmente esto no es perjudicial y esta 
última hilera puede tomarse en cuenta para el cálculo de ne, estimando que 
fracción de caída ha resultado. Si por razones de presentación, se desea que 
todas las hileras de cuadrados queden con el mismo ∆h, podrá corregirse la red, 
cambiando el número de canales de flujo, bien sea por interpolacióno empezando 
de nuevo. No debe intentarse convertir la hilera incompleta en una de cuadrados 
por correcciones locales puramente gráficas, a no ser que el faltante o sobrante de 
espacio en la hilera incompleta sea muy pequeño. 
8. Las condiciones de frontera pueden introducir singularidades en la red. 
9. Una superficie de salida en la red, en contacto con aire, si no es horizontal, nunca 
es ni línea de flujo ni equipotencial, de manera que los cuadrados limitados por 
esa superficie n pueden ser completos. Sin embargo estas superficies deben 
cumplir la condición de que se tengan iguales caídas de posición entre los puntos 
de ellas cortados por las líneas equipotenciales. 
 
 
 
Calculo del gasto 
 
 El espacio entre dos líneas de flujo es un canal de flujo, procurando que el gasto a 
través de los canales de flujo sea el mismo y el número de canales de flujo lo 
determinamos como Nf, en el siguiente ejemplo podemos contar cuatro canales de flujo. 
 13
 
Fig. 1.8 Canales de flujo 
 
 La perdida de carga entre cualquier par de líneas equipotenciales es la una caída 
de carga o caída equipotencial la que denominaremos Ne, en el siguiente ejemplo 
podemos contar siete líneas equipotenciales y seis caídas de carga 
 
Fig. 1.9 Caídas de carga 
 
 De donde se considera que la carga hidráulica que se pierde entre dos líneas 
equipotenciales y corresponde a una caída de carga, será la diferencia entre el nivel de 
agua de entrada y de salida, lo que se conoce como carga hidráulica ∆h, dividida entre el 
numero de caídas de carga. 
 
eN
hh ∆=∆ ´ (1.15) 
 
 14
 Es importante mencionar que en algunas redes de flujo, existen casos particulares 
en que la distancia promedio entre líneas equipotenciales y la distancia promedio entre 
líneas de flujo, es menor, por lo que en ese caso se debe considerar como una fracción 
proporcional de una caída de carga. 
 
 El gasto para un canal de flujo, por unidad de ancho de estructura (este caso 
corresponde a un tablestacado), se puede determinar de la siguiente forma: 
 
 jjj Akiq = (1.16) 
 
 Donde k es el coeficiente de permeabilidad y es constante para un suelo isótropo. 
 
 El gradiente hidráulico es la pérdida de carga dividida entre la longitud del 
recorrido del agua entre las dos líneas equipotenciales: 
 
l
N
h
i ej
∆
= (1.17) 
 
 El área corresponde a la dimensión b, multiplicada por una unidad de longitud por 
ser un gasto unitario: 
 
bbAj == )1)(( (1.18) 
 
 Substituyendo: 
 





 ∆=







 ∆
=
l
b
N
hkb
l
N
h
kq
e
e
j )( (1.19) 
 
 Como en una red de flujo l debe ser igual a b, entonces el último término se 
convierte en 1, quedando la formula: 
 
e
j N
hkq ∆= (1.20) 
 
 Considerando que en todos los canales de flujo se filtra la misma cantidad de agua 
el gasto unitario total, será: 
 
f
e
N
j
j NN
hkqQ
f ∆== ∑
=1
 (1.21) 
 
 Por lo que el gasto por unidad de ancho, lo podemos determinar por la siguiente 
formula: 
 
 15
e
f
N
N
hkQ ∆= (1.22) 
 
 En donde: k es la permeabilidad del suelo, ∆h es la carga hidráulica determinada 
por la diferencia del nivel del agua a la entrada y a la salida, y Nf/Ne se conoce como el 
factor de forma. 
 
 
 Fuerzas de filtración, subpresiones, estabilidad, gradiente, gradiente crítico. 
 
 El flujo de agua a través de un suelo provoca presión en el agua intersticial que 
produce levantamiento del suelo o las estructuras sobre él, pérdida de resistencia del 
suelo o falla del mismo. 
 
 El esfuerzo del agua en el suelo llamado también esfuerzo neutro, en condiciones 
de aguas freáticas sin movimiento lo podemos determinar con las leyes de la hidrostática: 
 
µ=γwz (1.23) 
 
 Pero cuando el agua esta en movimiento la formula anterior no aplica y la presión 
del agua debe determinarse con la red de flujo. La carga hidráulica h esta dada por la 
línea equipotencial respectiva descontando la elevación z del punto, de acuerdo al plano 
de referencia (cota cero). Por lo tanto la presión intersticial o de poro, la determinamos 
multiplicando el peso específico del agua por su carga hidráulica: 
 
 µ=γw(h - z) (1.24) 
 
 Si se desea determinar la presión de poro en un punto que se encuentre sobre la 
“n” línea equipotencial. 
 


 −


 ∆−= z
n
hnh
e
w 1γµ (1.25) 
 
 En donde h1 es el nivel del agua de entrada. 
 
 En este caso aunque la presión es igual en todas direcciones (Ley de Pascal), 
puede ser distinta en diferentes puntos que tengan la misma altura, por la perdida de 
carga por el flujo. 
 
 Las estructuras que se encuentran en contacto en suelos con un flujo establecido 
de agua, sufre un empuje producto de las presiones intersticiales que se conoce como 
subpresiones, debido a que una parte de la estructura está en contacto con partículas de 
suelo y otra con los vacíos que en este caso están ocupados por el agua. 
 
 Para fines prácticos se considera que la fuerza ascendente de supresión U sobre 
una estructura, es la presión de poro multiplicada por el área de contacto A. 
 
 U=µA (1.26) 
 
 16
 Es importante mencionar que el valor de µ varia a lo largo de la base de la 
estructura. Algunos textos de obras hidráulicas consideran una variación lineal de las 
presiones de poro, determinando U como la resultante del diagrama de esfuerzos y su 
punto de aplicación con los criterios de los centros de gravedad. 
 
 Si la fuerza de supresión U es igual o mayor que la carga P de la estructura, se 
crea una zona de inestabilidad, por lo que en estructuras que trabajan por gravedad (peso 
propio) es importantísimo determinar correctamente la supresión, para aplicarse en los 
análisis de estabilidad. 
 
 Otro problema que se presenta en las obras hidráulicas como son las presas o 
tablestacados, es el fenómeno de “tubificación” o sifonamiento que se da en la zona de 
salida del agua próxima a la estructura, debido a si el suelo es arrastrado por el agua en 
su salida se forma un socavón y aumenta el gradiente hidráulico debido a que se acorta el 
camino del flujo en esa zona, por lo que se va abriendo conducto en dirección hacia 
aguas arriba. 
 
 Para determinar el gradiente hidráulico en un punto de la red, bastará dividir la 
caída de carga de las dos líneas equipotenciales entre la longitud del segmento de línea 
de flujo contenido en el cuadrado de referencia. 
 
 En las zonas donde predomina el flujo ascendente, estas fuerzas de filtración 
disminuyen el esfuerzo efectivo entre las partículas del suelo, con lo que se reduce la 
resistencia al esfuerzo cortante del mismo, provocando en la superficie que las partículas 
especialmente de arenas se separen unas de otras y se presenten como una suspensión 
en el agua intersticial quedando en condiciones de para que se presente el fenómeno de 
licuación, con lo que el suelo queda inestable; así como también en la superficie el suelo 
es arrastrado por el flujo del agua provocando el problema de turificación- 
 
 Para entender el fenómeno anterior se puede comprender mejor con el siguiente 
modelo. 
 
Considérese un sistema que mantiene una diferencia de carga hidráulica ∆h, que 
provoca un flujo ascendente sobre una arena. 
 
 
Fig. 1.10 Efecto de fuerzas de filtración 
 
 17
 La presión intersticial µ en la base de la arena, la podemos escribir como 
 
 µ=γw(∆h+l) (1.27) 
 
 El esfuerzo vertical σv en la base de la arena es 
 
 σv=γsl (1.28) 
 
 El estado crítico se da cuando la presión intersticial es igual al esfuerzo vertical. 
 
 µ=σv (1.29) 
 
 Substituyendo 
 
 γw(∆h+l)=γsl (1.30) 
 
 Realizando operaciones 
 
 γw∆h+γwl=γsl (1.31) 
 
 γw∆h=γsl-γwl(1.32) 
 
 Factorizando l 
 
 γw∆h=(γs-γw)l (1.33) 
 
 Donde 
 ( )
w
ws
l
l
γ
γγ −=∆ (1.34) 
 
 Como el gradiente hidráulico es la carga hidráulica entre la longitud de recorrido, 
podemos considerar como el gradiente hidráulico crítico ic: 
 ( )
w
ws
ci γ
γγ −= (1.35) 
 
El gradiente hidráulico que produce movimiento cerca de la superficie de suelo que 
no esté impedida de moverse, se llama gradiente crítico ic, dándose este cuando se 
aproxima a 1, debido a que el peso especifico saturado γs de arena, es aproximadamente 
el doble del peso especifico del agua γw. Cuando la superficie se encuentra inclinada el 
valor del gradiente crítico es menor, hasta hacerse 0 cuando el la inclinación del terreno 
es igual al ángulo de fricción interna del suelo. 
 
 
 
 
 
 18
 
 Ejemplo 
 
 Determinar el gasto que se filtra, la presión de poro en los puntos donde las líneas 
equipotenciales se interceptan con el tablestacado y el gradiente de salida mayor. Se 
considera un suelo isótropo con una permeabilidad k=5x10-5 m/s 
 
 Las cotas están en metros, 
 
 
 
 Se traza la red de flujo. 
 
 
 
 
 19
 Determinación del gasto unitario que fluye debajo del tablestacado 
 
 Gasto por metro de ancho de tablestacado: 
 
 
e
f
N
N
hk
L
Q ∆= 
 
 Donde: 
 
 k=5x10-5 m/s 
 
 ∆h= 8.5-2 =6.5m 
 
 Nf= 4 
 
 Ne= 8 
 
 ( )( )( ) = − 845.6105 5LQ 
 
 En donde el gasto en un metro de ancho de tablestacado 
 
( ) smLQ 351025.16 −= 
 
 Determinación de las presiones de poro, para determinar las presiones de poro, 
establezcamos una tabla de cálculo. 
 
 


 −


 ∆−= z
n
hnh
e
w 1γµ 
 20
 Donde 
 
 ∆h=19-12.5=6.5m. 
 
 ne=8 
 
 ∆h/ne=0.8125 
 
Punto Número 
de 
caídas 
n 
Altura de 
agua en el 
piezómetro 
(h1-n(∆h/ne)) 
Altura del punto 
(cota) Z 
 
Carga 
piezométrica [(h1-
n(∆h/ne))-z] en 
m. 
Presión de 
poro 
 en T/m2 
A 0 19.00 10.50 8.50 8.50 
B 1 18.19 8.50 9.69 9.69 
C 2 17.38 7.00 10.38 10.38 
D 3 16.56 5.98 10.58 10.58 
E 4 15.75 5.50 10.25 10.25 
F 5 14.94 5.98 8.96 8.96 
G 6 14.13 7.00 7.13 7.13 
H 7 13.31 8.50 4.81 4.81 
I 8 12.50 10.50 2.00 2.00 
 
 Determinación del gradiente hidráulico de salida. 
 
l
N
h
i e
∆
= 
 
 ∆h/ne=0.8125 
 
 l=2.06 
 
 21
 i=0.8123/2.06 
 
 i=0.39 
 
 Ejemplo 
 
 
 Determinar el gasto que se filtra, la presión de poro en los puntos A, B, C y el 
gradiente de salida mayor. Se considera un suelo isótropo con una permeabilidad 
k=1x10-6 m/s 
 
 
 Las cotas están en metros, 
 
 Se traza la red de flujo. 
 
 
 Determinación del gasto unitario que fluye debajo del tablestacado 
 22
 
 Gasto por metro de ancho de tablestacado: 
 
 
e
f
N
N
hk
L
Q ∆= 
 
 Donde: 
 
 k=1x10-6 m/s 
 
 ∆h= 30-20 =10 m 
 
 Nf= 5 
 
 Ne= 12 
 
 ( )( )( ) = − 12510101 6LQ 
 
 En donde el gasto en un metro de ancho de tablestacado 
 
( ) smLQ 361017.4 −= 
 
 Determinación de las presiones de poro, para determinar las presiones de poro, 
establezcamos una tabla de cálculo. 
 
 


 −


 ∆−= z
n
hnh
e
w 1γµ 
 
 23
 Donde 
 
 ∆h=30-20=10m. 
 
 ne=12 
 
 ∆h/ne=10/12=0.83 
 
 
Punto Número 
de 
caídas 
n 
Altura de 
agua en el 
piezómetro 
(h1-n(∆h/ne)) 
Altura del punto 
(cota) Z 
 
Carga 
piezométrica [(h1-
n(∆h/ne))-z] en 
m. 
Presión de 
poro 
(subpresión) 
 en T/m2 
A 4 26.67 18.00 8.67 8.67 
B 6 25.00 18.00 7.00 7.00 
C 8 23.33 18.00 5.33 5.33 
 
 Determinación del gradiente hidráulico de salida. 
 
l
N
h
i e
∆
= 
 
 
 ∆h/ne=10/12=0.833 
 
 l=2.22 
 
 i=0.833/2.22 
 
 i=0.375 
 
 24
CAPITULO 2 
 
DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS. 
 
 
2.1 Esfuerzos en la masa de suelo 
 
 Los esfuerzos dentro de un suelo se producen por el peso propio del mismo o por 
cargas que se encuentren sobre éste. Con la finalidad de establecer un orden en este 
capitulo, empezaremos por analizar los esfuerzos verticales que se generan en la masa 
de suelo por el peso propio de los materiales. 
 
 En un suelo seco (sin N. A. F.), el esfuerzo vertical a una profundidad z puede 
calcularse considerando el peso del suelo que se encuentra encima de la partícula que se 
esté analizando. Así, considerando un suelo homogéneo con un peso específico γ 
constante, tendrá un esfuerzo vertical: 
 
 σz=zγ (2.1) 
 
 Si el suelo es estratificado y el peso específico de cada estrato es diferente, los 
esfuerzos verticales, serán la suma del peso de los diferentes estratos: 
 
 ∑
=
∆=
n
i
iiz z
1
γσ (2.2) 
 
 
 
 
 Ejemplo 
 
 
 Determinar el esfuerzo vertical en una partícula de suelo ubicada a 8 metros de 
profundidad en suelos estratificados, los cuales tienen los siguientes pesos específicos y 
espesores: 
 
 
 
Suelo 1 γ1=1.6 t/m3 ∆z1=2 m 
Suelo 2 γ2=1.8 t/m3 ∆z2=3 m 
Suelo 3 γ3=2.0 t/m3 ∆z3=3 m 
 
 
 
 
 
 
 
 25
 Las cotas están en metros. 
 
 
²
²
²
 
Profundidad zγ Esfuerzo vertical 
Z=2 m (1.6*2.00)=3.20 σz=3.20 t/m2 
Z=5 m (1.8*3.00)=5.40 σz=8.60 t/m2 
Z=8 m (2.0*3.00)=6.00 σz=14.60 t/m2 
 
 
 En una masa de suelo existen esfuerzos que se generan por contacto de sus 
partículas y cuando el nivel de aguas freáticas es alto, existen esfuerzos dentro del agua 
que se encuentra en sus intersticios. Por lo que es importante analizar estos esfuerzos. 
 
 Si se tiene un suelo con el nivel de aguas freáticas en la superficie y a una 
profundidad z una partícula de suelo (para fines didácticos imaginemos un cubo de 
 26
dimensiones diferenciales), la cara superior paralela a la superficie del suelo estará 
sometida a un peso W producto de la columna que se encuentra encima de ésta, 
 
 
Fig. 2.2 Partícula de suelo a una profundidad z 
 
 W=Ws+Ww (2.3) 
 
 El suelo debajo del nivel freático se encuentra sometido a un empuje U (Principio 
de Arquímedes), de tal forma que el peso que aplica sobre la partícula solo el suelo, es el 
Peso Efectivo: 
 
 W´s=Ws-U (2.4) 
 
 Dividiendo los pesos entre el área de la superficie de la partícula (A), obtenemos 
los esfuerzos verticales 
 
 σ´z= σz -µ (2.5) 
 
 En donde nos queda que el Esfuerzo Total (σz) es igual al Esfuerzo Efectivo (σ´z) 
más el Esfuerzo Neutro o Presión Intersticial (µ). 
 
 σz=σ´z+µ (2.6) 
 
 
Esta ecuación es valida no solo para esfuerzos verticales sino en cualquier 
dirección, como lo enunció el Dr. Kart Terzaghi en El Principio del Esfuerzo Efectivo, que 
propone que en cualquier punto de una masa de suelo saturado, el esfuerzo total en 
cualquier dirección es igual a la suma algebraica del esfuerzo efectivo en esa dirección y 
la presión intersticial que es la misma en cualquier dirección. 
 
 
 
 
 
 27
 Ejemplo 
 
 Determinar los esfuerzos verticales en suelos estratificados, a las siguientes 
profundidades 0, 4 y 10 metros, los cuales tienen los siguientes pesos específicos y 
espesores: 
 
Suelo 1: ARENA SECA γ1=1.7 t/m3 ∆z1=4 m 
Suelo 2: ARCILLA γ2=1.9 t/m3 ∆z2=6 m 
 
 El Nivel del Aguas Freáticas NAF se encuentra a 4 metros y γ2 es el peso 
específico saturado de la arcilla. 
 
Las cotas están en metros- 
 
Esfuerzos verticales: 
´
² ²
² ² ²
 
 
 28
 
Profundidad Esfuerzo efectivo 
σ´z 
Esfuerzo neutro 
µ 
Esfuerzo total 
σz 
Z=0 m. 0 0 0 t/m2 
Z=4 m. (1.7*4.00)=6.80 t/m2 0 6.80 t/m2 
Z=10 m 6.80+(1.9-1.0)(6.00) 
=12.20 t/m2 
(1.0*6.00)=6.00 t/m2 18.20 t/m2 
 
 
 
2.2. Ecuaciones de Boussinesqy Steinbrenner 
 
 Boussinesq en 1883 propuso una solución al problema de determinar los 
esfuerzos en una partícula de suelo producto de cargas en la superficie, proponiendo un 
modelo que considera un medio homogéneo, elástico, isótropo y semi-infinito. 
 
 El incremento de esfuerzo vertical producto de una carga puntual esta dado por la 
ecuación: 
 
 ( ) 2522
3
5
3
2
3
2
3
zr
zP
R
zP
z +
==∆ ππσ (2.7) 
 
 
Fig. 2.3 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga 
puntual 
 
 
 
 Ejemplo 
 
 Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga puntual 
P=25 t. con x=1.0m y y=1.4m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro. 
 
 
 29
 
 
 mr 72.14.10.1 22 =+= 
 ( )
( ) 2522
3
72.12
253
z
z
z +
=∆ πσ 
 
 Diagrama de esfuerzos (Bulbo de presiones) 
²
 
 
 
 
 
 
 Boussinesq. Incremento de esfuerzo vertical producto de una carga lineal de 
longitud finita esta dado por la ecuación: 
 
Profundidad Incremento de 
esfuerzo vertical 
z=0m ∆σz=0.00 t/m2 
z=1m ∆σz=0.38 t/m2 
z=2m ∆σz=0.75 t/m2 
z=3m ∆σz=0.65 t/m2 
z=4m ∆σz=0.49 t/m2 
z=5m ∆σz=0.36 t/m2 
z=6m ∆σz=0.27 t/m2 
z=7m ∆σz=0.21 t/m2 
z=8m ∆σz=0.17 t/m2 
z=9m ∆σz=0.13 t/m2 
z=10m ∆σz=0.11 t/m2 
 30
 



+++++++=∆ 2222222222
3 211
)(2 zxzyxzyxzx
yzp
z πσ (2.8) 
 
 
Fig. 2.4 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga 
lineal 
 
 Ejemplo 
 
 Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga lineal de 
p=20 t/m. con x=1.0m y y=4.0m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro. 
 
 


+++++++=∆ 2222222222
3
1
2
41
1
41
1
)1(
4
2
20
zzzz
z
z πσ 
 
 
 
 
Profundidad Incremento de 
esfuerzo vertical 
z=0m ∆σz=0.00 t/m2 
z=1m ∆σz= 1.58 t/m2 
z=2m ∆σz=1.99 t/m2 
z=3m ∆σz=1.61 t/m2 
z=4m ∆σz=1.23 t/m2 
z=5m ∆σz=0.95 t/m2 
z=6m ∆σz=0.75 t/m2 
z=7m ∆σz=0.59 t/m2 
z=8m ∆σz=0.48 t/m2 
z=9m ∆σz=0.40 t/m2 
z=10m ∆σz=0.33 t/m2 
 31
 Boussinesq. Incremento de esfuerzo vertical producto de una carga bajo la 
esquina de un área flexible rectangular cargada, esta dado por la ecuación: 
 
( ) ( ) 



−++
+++



++
++
+++
++=∆ − 222222
222
1
222
222
222222
222 2
tan2
2
4 yxzyxz
zyxxyz
zyx
zyx
yxzyxz
zyxxyzw
z πσ (2.9) 
 
 
Fig. 2.5 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga 
rectangular uniformemente distribuida 
 
 Steinbrenner. En este mismo caso existe el método de Steinbrenner, que 
presenta un mejor modelo del incremento de esfuerzos en el suelo a cualquier 
profundidad, con la siguiente ecuación (homologando la nomenclatura con el método 
anterior): 
 ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) 

 +
+
++


−−−+
−−+=∆ −
Rzx
zRx
zy
yz
zRzzRyx
zRxzyxx
z
yQ
z 22
22
22222
22
1 2tan
2πσ (2.10) 
 
 Donde: 
 
 222 zyxR ++= (2.11) 
 
 
 Ejemplo 
 
 Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga rectangular 
de w=20 t/m2, con x=2.0m y y=4.0m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro. 
 
 222 42 zR ++= 
 
 32
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) 

 +
+
++


−−−+
−−+=∆ −
Rz
zR
z
z
zRzzR
zRz
zz 22
22
22222
22
1
2
2
4
4
42
)2(24224tan
2
20
πσ 
 
 
 
 
 
 
 
2.3 Solución gráfica de Newmark y gráficas de Fadum 
 
 
 Newmark, Desarrolla en 1942 un método gráfico que permite obtener los 
incrementos de esfuerzos en el suelo, considerando los criterios de Boussineq, en medio 
semiinfinito, homogéneo, isótropo y elástico, a través de la ecuación: 
 
 
 
2
3
2
1
11












+
−=∆
z
rw
zσ (2.12) 
 
Profundidad Incremento de 
esfuerzo vertical 
z=0.01m ∆σz= 5.00 t/m2 
z=1m ∆σz= 4.78 t/m2 
z=2m ∆σz= 4.00 t/m2 
z=3m ∆σz= 3.12 t/m2 
z=4m ∆σz= 2.40 t/m2 
z=5m ∆σz= 1.86 t/m2 
z=6m ∆σz= 1.46 t/m2 
z=7m ∆σz= 1.17 t/m2 
z=8m ∆σz= 0.95 t/m2 
z=9m ∆σz= 0.78 t/m2 
z=10m ∆σz= 0.65 t/m2 
 33
 
Fig. 2.6 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga 
circular uniformemente distribuida 
 
 Considerando una profundidad unitaria z, y determinando los radios de los círculos 
para incrementos de esfuerzos a cada 10%. 
 
w
zσ∆ r 
0.1 0.269752 
0.2 0.400496 
0.3 0.518106 
0.4 0.636962 
0.5 0.766421 
0.6 0.917614 
0.7 1.1097 
0.8 1.38709 
0.9 1.90829 
1 ∞ 
 
Tabla 2.1 Radios de la carta de Newmark, en función del porcentaje de esfuerzo 
 
 
 Con lo que se puede elaborar una carta de acuerdo a Newmark, dibujando 
circunferencias concéntricas y dividiéndolas en sectores más pequeños (en este caso a 
través de familias de rectas que pasan por el centro de las circunferencias), llamándole al 
porcentaje que representan cada uno de los sectores: valor de influencia. 
 
 34
 
 
Fig. 2.7 Carta de Newmark 
 
 
 Ejemplo 
 
 Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado en la esquina de una carga 
rectangular de w=20 t/m2., con x=2.0m y y=4.0m, a una profundidad de 2m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 35
Nivel Sectores Valor de 
influencia 
Influencia por nivel 
1º 5 0.005 0.025 
2º 5 0.005 0.025 
3º 5 0.005 0.025 
4º 5 0.005 0.025 
5º 5 0.005 0.025 
6º 5 0.005 0.025 
7º 4.5 0.005 0.0225 
8º 2.9 0.005 0.0145 
9 2.2 0.005 0.011 
10º 0.2 0.005 0.001 
 Σ= 0.199 
 
 
 El incremento de esfuerzo vertical es: 
 
)199.0)(20(=∆ zσ 
 
 2/98.3 mtz =∆σ 
 
 
 Fadum, Desarrolla en 1941 un método gráfico (semi logarítmico) que permite 
obtener los incrementos de esfuerzos en el suelo, considerando los criterios de 
Boussineq, en medio semiinfinito, homogéneo, isótropo y elástico, a través de las 
ecuaciones presentadas en forma adimensional introduciendo los parámetros 
 
z
xm = 
z
yn = (2.13) 
 
 Expresándose la formula para una carga lineal: 
 



+++++++=


∆
1
2
1
1
1)1(2
1
222222 mnmnmm
n
p
z
z πσ (2.14) 
 
 Abreviando 
 
oz pp
z =


∆σ oz pz
p=∆σ (2.15) 
 
 Expresándose la formula para una carga rectangular: 
 
 ( ) ( ) 



−++
+++



++
++
+++
++=∆ − 2222
22
1
22
22
2222
22
1
12tan
1
2
1
12
4
1
nmnm
nmmn
nm
nm
nmnm
nmmn
w
z
π
σ
 (2.16) 
 
 
 36
 Abreviando 
 
o
z w
w
=∆σ wwoz ⋅=∆σ (2.17) 
 
 Ejemplo 
 
 Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado en la esquina de una carga 
rectangular de w=20 t/m2. con x=2.0m y y=4.0m, a una profundidad de 2m. 
 
 1
2
2 ==m 2
2
4 ==n 
 
 Según gráficas 
 
0.01 0.1 1 10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Gáfica tipo Fadum para m=1
wo m n,( )
n
 
 
 Wo=0.20 
 
 Como se puede observar el incremento de esfuerzo vertical, es el siguiente: 
 
 0.4)20()20.0( =⋅=∆ zσ 
 
2/00.4 mtz =∆σ 
 
2.4 Incrementos de esfuerzo vertical bajo diferentes condiciones de carga 
 
 2.4.1 Carga lineal de longitud infinita, esta dado por la ecuación: 
 
 222
3
)(
2
zx
pz
z +=∆ πσ (2.18) 
 37
 
 
Fig. 2.8 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga 
lineal de longitud infinita 
 
 
 Ejemplo 
 
 Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga lineal de 
p=20 t/m. con x=1.0m y a la profundidades de 0 a 10m a cada metro. 
 
 222
3
)1(
)20(2
z
z
z +=∆ πσ 
 
 
 
 
 
 
 
Profundidad Incremento deesfuerzo vertical 
z=0m ∆σz=0.00 t/m2 
z=1m ∆σz= 3.18 t/m2 
z=2m ∆σz=4.07 t/m2 
z=3m ∆σz=3.43 t/m2 
z=4m ∆σz=2.82 t/m2 
z=5m ∆σz=2.35 t/m2 
z=6m ∆σz=2.00 t/m2 
z=7m ∆σz=1.75 t/m2 
z=8m ∆σz=1.54 t/m2 
z=9m ∆σz=1.38 t/m2 
z=10m ∆σz=1.24 t/m2 
 38
 2.4.2 Carga de franja de ancho finito (B) y longitud infinita 
 
( )( )δβββπσ 2cos ++=∆ sen
q
z (2.19) 
 
 
Fig. 2.9 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga 
de franja de ancho finito y longitud infinita 
 
 Donde 
 
 
z
Bx
2tan 1
−
=∂ − y ∂−
+
= −
z
Bx
2tan 1β (2.20) 
 
 
 
 
 Ejemplo 
 
 Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga de franja de 
carga q=10 t/m2, con un ancho B=2.0 m, a una distancia x=3.0m y a la profundidades de 1 
a 10m a cada metro. 
 
 
 ( )( )δβββπσ 2cos
10 ++=∆ senz 
 
 
z
2
23
tan 1
−
=∂ − y ∂−
+
= −
z
2
23
tan 1β 
 
 39
 
 
 
2.5 Otras teorías: 
 
2.5.1 Método 2:1 
 
 Es un método aproximado para calcular el incremento promedio del esfuerzo 
vertical a una profundidad z debajo de una cimentación de dimensiones B por L. Este 
método propone que los esfuerzos disminuyen en la masa del suelo de acuerdo a que con 
la profundidad la carga se reparte en una mayor área, formándose una pirámide truncada 
de pendiente 2:1, por lo que la formula quedaría de la siguiente forma: 
 
 
Fig. 2.10 Incremento de esfuerzo vertical en el suelo de acuerdo al criterio del 
método 2:1 
 
 
))((
)(
zLzB
BLw
z ++=∆σ (2.21) 
 
Profundidad Incremento de 
esfuerzo vertical 
z=1m ∆σz= 0.17 t/m2 
z=2m ∆σz=0.70 t/m2 
z=3m ∆σz=1.14 t/m2 
z=4m ∆σz=1.34 t/m2 
z=5m ∆σz=1.39 t/m2 
z=6m ∆σz=1.36 t/m2 
z=7m ∆σz=1.30 t/m2 
z=8m ∆σz=1.22 t/m2 
z=9m ∆σz=1.14 t/m2 
z=10m ∆σz=1.07 t/m2 
 40
 Este método proporciona valores preliminares, tomando en cuenta que considera 
el mismo incremento de esfuerzo a la misma profundidad de cualquier punto, siempre y 
cuando se encuentre dentro de la pirámide, y fuera de esta no indica incrementos. 
 
 Ejemplo 
 
 Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga rectangular 
de w=20 t/m2. con B=2.0m y L=4.0m, a una profundidad de 2m. 
 
)24)(22(
)4)(2(20
++=∆ zσ 
 
 2/67.6 mtz =∆σ 
 
2.5.2 Westergaard 
 
 Westergaar publicó en 1938 una fórmula que se considera se ajusta mas a las 
condiciones elásticas de suelos estratificados. Supone que el suelo es una masa 
homogénea, elástica y reforzada por laminas horizontales, proponiendo la siguiente 
formula para determinar el incremento de esfuerzo vertical producido por una carga 
concentrada, aplicada en la superficie del suelo 
 
 
2
3
2
2 1 


 

+
=∆
z
rz
P
z
π
σ (2.22) 
 
 Considerando el mismo criterio de aplicación de la carga y el incremento de 
esfuerzo que se toma con Boussinesq. 
 
 
 
Fig. 2.11 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una 
carga puntual 
 41
 
 Ejemplo 
 
 Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga puntual 
P=25 t. con x=1.0m y y=1.4m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro. 
 
 mr 72.14.10.1 22 =+= 
 
 
2
3
2
2 72.11
25



 

+
=∆
z
z
z
π
σ 
 
 
 
 
 
 
 
2.5.3 Burmister 
 
 Burmister estudió la distribución de esfuerzos en un sistema formado por dos 
capas, homogéneas, isótropas y elásticas, la primera capa horizontal y de espesor h, la 
segunda subyacente y semiinfinita. Se considera una frontera plana entre las dos capas, 
de contacto continuo y rugoso. Los estudios están enfocados al diseño de pavimentos en 
los cuales el módulo de elasticidad de la capa superior (E1) es mayor que el de la capa 
subyacente (E2), considerándose que si E1=E2, E1/E2=1, el incremento de esfuerzo vertical 
corresponde al calculado con las formulas de Boussinesq. 
 
 Considerando una carga p aplicada en la superficie, circular y uniformemente 
distribuida. El incremento de esfuerzo vertical en el centro a la profundidad z, la cual es 
igual al r (el radio) e igual a h (espesor de la primera capa) y µ=0.5 (relación de Poisson), 
según Burmister, tenemos. 
 
 
Profundidad Incremento de 
esfuerzo vertical 
z=1m ∆σz=1.01 t/m2 
z=2m ∆σz=0.87 t/m2 
z=3m ∆σz=0.58 t/m2 
z=4m ∆σz=0.39 t/m2 
z=5m ∆σz=0.26 t/m2 
z=6m ∆σz=0.20 t/m2 
z=7m ∆σz=0.15 t/m2 
z=8m ∆σz=0.12 t/m2 
z=9m ∆σz=0.09 t/m2 
z=10m ∆σz=0.08 t/m2 
 42
 
Fig. 2.12 Incremento de esfuerzo vertical en un suelo estratificado de acuerdo 
al criterio de Burmister 
 
 
 
E1/E2 ∆σz 
1 70% 
2 55% 
5 40% 
10 30% 
20 22% 
100 10% 
 
Tabla 2.2 Porcentaje de incremento de esfuerzo vertical, en función de la relación de 
módulos de elasticidad 
 
 
 
2.5.4 Fröhlich 
 
 Fröhlich en 1942 investiga la distribución de esfuerzos en la masa de suelo semi 
infinita elástica pero no isotrópica, proponiendo para calcular el incremento de una carga 
concentrada en la superficie la expresión: 
 
 43
Fig. 2.13 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto 
de una carga puntual de acuerdo al criterio de Fröhlich 
 
 
 Ψ=∆ +22 cos2
χ
π
χσ
z
P
z (2.23) 
 
 
 En donde χ es el factor de distribución de esfuerzos de Fröhlich, 
 
χ Características 
1.5 Incremento de esfuerzo vertical aproximadamente igual a la 
solución de Westergaard para una masa de suelo semi infinita y 
estratificada. 
2 Incremento de esfuerzo vertical en un estrato semi infinito 
intermedio entre un suelo isotrópico y un suelo “altamente” 
estratificado. 
3 Incremento de esfuerzo vertical igual a la solución de Boussinesq 
para una masa de suelo semi infinita e isotrópica. 
4 Incremento de esfuerzo vertical equivalente a la solución de 
Frölich para una masa de suelo semi infinita y un con módulos 
de esfuerzo que decrecen con la profundidad. 
 
Tabla 2.3 Valores del factor de distribución de esfuerzos 
 
 44
CAPITULO 3 
 
ASENTAMIENTOS. 
 
 
3.1 Tipo elástico 
 
 Se pueden establecer tres tipos básicos de comportamiento mecánico en su 
relación esfuerzo-deformación, el elástico, el plástico y el viscoso. 
 
 El comportamiento elástico (Ley de Hoock) establece que al aplicarle un sistema 
de cargas a un material, existe una deformación, pero al retirarle las cargas el material 
regresa a su estado geométrico inicial. El comportamiento plástico se caracteriza porque 
el material permanece deformado aún cuado se le retiren todas las cargas. En el 
comportamiento viscoso la deformación depende de la magnitud y del tiempo transcurrido 
 
 En los suelos finos saturados se pueden encontrar los tres tipos de 
comportamiento, elástico, plástico y viscoplástico 
 
 En la teoría elástica se establecen las relaciones lineales de los esfuerzos 
aplicados y sus correspondientes deformaciones. 
 
 Considerando una partícula de suelo que se deforma. 
 
L
T
 
 
Fig. 3.1 Criterio de deformación de una partícula de suelo, producto de un esfuerzo 
normal 
 
 Donde: 
 ∆σ Esfuerzo normal 
 ∆εL Deformación lineal longitudinal 
 ∆εT Deformación lineal Transversal 
 
 45
 Módulo de elasticidad E 
 
 
L
E ε
σ
∆
∆= (3.1) 
 
 Relación de Poisson ν 
 
 
L
T
ε
εν ∆
∆= (3.2) 
 
 Debido a que los suelos no tienen un comportamiento elástico, ni lineal, este 
modelo no se aplica comúnmente a suelos, sin embargo bajo ciertas consideraciones es 
posible aplicarlo para determinar deformaciones que resulten de un suelo cuando se 
aplica una carga. 
 
 El asentamiento (deformación vertical) que se produce en un suelo cuando se 
aplicauna carga, como indicamos la teoría de la elasticidad utiliza básicamente el módulo 
de elasticidad E y la relación de Poisson ν, existiendo una gran dificultad para determinar 
estos parámetros, por lo que se limita la aplicación práctica de esta teoría. 
 
 En arenas el módulo de elasticidad E varía con la profundidad y con el ancho del 
área cargada, y la relación de Poisson varía con la deformación. Por lo tanto en este tipo 
de suelos prácticamente no se usa la teoría elástica para predecir asentamientos. 
 
 En arcillas saturadas, durante la construcción de obras, los asentamientos que se 
producen sin drenaje del agua intersticial del suelo, se pueden considerar de tipo elástico 
en el cual el modulo de elasticidad no drenado es constante y la relación de Poisson se 
considera ν=0.5; con lo que se pueden predecir asentamientos inmediatos 
(asentamientos elásticos) en estas condiciones. 
 
 El asentamiento elástico en la superficie de una masa de suelo semiinfinita que 
acontece en una esquina de un área rectangular flexible, con una carga uniforme w, con 
un ancho B y una longitud L; se puede determinar por la siguiente formula 
 
 sIE
wBh )1(
2ν−=∆ (3.3) 
 
 Donde Is es un factor de influencia del asentamiento que depende de la relación 
Largo/Ancho, que Terzaghi estableció en 1943. 
 
 Por lo que se propone una función cuadrática para obtener los valores del factor 
de influencia del asentamiento con gran aproximación a los valores de las gráficas de 
Terzaghi, con un dominio 5)/(1 ≤≤ BL . 
 
 Is=-0.03(L/B)2+0.29(L/B)+0.30 (3.4) 
 
 
 
 46
 
 
 Ejemplo 
 
 Determinar el asentamiento diferencial inmediato entre el centro y una esquina de 
un área rectangular flexible de L= 8m de longitud y B= 4m de ancho, a la cual se le aplica 
una carga w= 4t/m2 en una arcilla saturada con un módulo de elasticidad E=350t/m2 
 
 Esquina: 
sIE
wBh )1(
2ν−=∆ 
 
 L/B=2 Is=0.76 
 
 ( )76.0
350
)5.01)(4)(4( 2−=∆h 
 
 
 cmh 6.2=∆ 
 
 
 Centro: 
 
 4 veces el área, L=4m, B=2m 
 
sIE
wBh )1(
2ν−=∆ 
 
 L/B=2 Is=0.76 
 
 ( ) ( )76.0
350
)5.01)(2)(4(4
2−=∆h 
 
 
 cmh 2.5=∆ 
 
 
 Con lo que se tiene un asentamiento diferencial de 5.2-2.6=2.6cm 
 
 
3.2 Asentamientos por consolidación 
 
 En los asentamientos por consolidación es común que se tenga que predecir: 
 
• El asentamiento total de la estructura 
• El tiempo en el cual se produce el asentamiento 
 
 47
En suelos granulares como la arena, la permeabilidad es relativamente alta y por 
ello el exceso de presión intersticial suele disiparse prácticamente al instante, por lo que el 
asentamiento del suelo no lo consideramos por consolidación. En suelos finos como las 
arcillas la permeabilidad es baja y por ello la disipación del exceso de presión intersticial 
es muy lenta, con lo cual este asentamiento puede durar años, como es el caso de la 
zona lacustre de la Ciudad de México. 
 
 Cuando un suelo saturado se somete a un incremento de esfuerzos por la 
aplicación de una carga en la superficie del mismo, se produce un incremento en la 
presión intersticial (presión en exceso de la hidrostática), y debido a que el agua no 
resiste esfuerzos cortantes, este incremento de presión intersticial se disipa mediante el 
flujo del agua hacia un estrato permeable. 
 
 La disipación del exceso de presión intersticial producto de la permeabilidad del 
suelo produce una reducción en el volumen de vacíos y por consecuencia una reducción 
en el volumen total, lo cual se manifiesta con un asentamiento conocido como 
Asentamiento por Consolidación. 
 
 El asentamiento por consolidación depende del tiempo como a continuación se 
indica. 
 
 Consideremos que tenemos un estrato de arcilla saturado de espesor H, que se 
encuentra entre dos estratos de arena que le permiten drenar el agua por ambos lados, y 
en la superficie se coloca una carga que provoca un incremento en la presión del agua 
intersticial y que se disipará de acuerdo a la permeabilidad de la arcilla, transfiriendo los 
esfuerzos a la estructura del suelo, considerando teóricamente que el exceso de presión 
intersticial se disipará en tiempo infinito. 
 
Para comprender mejor el proceso de consolidación a continuación se tienen tres 
esquemas que indican tres etapas del proceso de consolidación, el primer esquema se 
considera un tiempo t=0, en el segundo esquema un tiempo mayor que cero pero menor 
que infinito ∞<< t0 , y en el tercer esquema, un tiempo infinito ∞=t 
 
´
 
Fig. 3.2 Esfuerzos verticales en el tiempo t=0 
 48
 
´
 
Fig. 3.3 Esfuerzos verticales en el tiempo t>0 
 
 
´
 
Fig. 3.4 Esfuerzos verticales en el tiempo ∞=t 
 
 El proceso de consolidación se puede dar en varias dimensiones, para el caso de 
asentamientos, el enfoque es solamente en sentido vertical con lo que solo se considera 
el fenómeno de consolidación unidimensional. 
 
 En el laboratorio la prueba de consolidación, nos da información que se ocupa 
para poder predecir el comportamiento de un suelo. En la gráfica de la curva de 
consolidación, se puede observar las dos etapas que tiene un suelo fino sujeto al proceso 
de consolidación. 
 
 49
Fig. 3.5 Curva de consolidación 
 
 
3.2.1 Asentamientos por consolidación primaria 
 
 3.2.1.1 Determinación de asentamientos 
 
 Consideremos un estrato de arcilla saturada de espesor H, bajo una presión 
producto de una sobrecarga en la superficie que provoca un incremento de esfuerzo 
vertical (promedio) ∆σ, que inducirá un asentamiento ∆H, cuando ∆σ= 
∆σ´. 
 
Fig. 3.6 Asentamiento producto de un incremento de esfuerzo vertical 
 
 
01 e
e
H
H
+
∆=∆ (3.5) 
 
 Despejando obtenemos la formula general para calcular asentamientos por 
consolidación 
 
 H
e
eH
o+
∆=∆
1
 (3.6) 
 
 50
 Las arcillas tienen “memoria”, como lo demuestran las típicas curvas de 
compresibilidad, en las cuales, el Tramo de Recomprensión nos indica los esfuerzos 
geológicos a los cuales ha estado sometido el suelo. Terzaghi descubrió que en las 
curvas de compresibilidad de suelos laminares dibujadas en escalas semilogarítmicas el 
tramo virgen es prácticamente recto, con lo que se pueden separar del tramo de 
recompresión, determinando el esfuerzo de preconsolidación σ´c, (método de 
Casagrande). 
 
´´
Fig. 3.7 Curva de compresibilidad 
 
 
 Por lo anterior se tendrán dos formas diferentes de asentamientos en la 
consolidación primaria: 
 
Preconsolidada: Debida a esfuerzos menores del esfuerzo de preconsolidación 
σ´c, lo que provocará pequeños asentamientos. 
 
Normalmente consolidada: Debida a esfuerzos mayores al esfuerzo de 
preconsolidación σ´c, con lo que se tendrán asentamientos significativos. 
 
 Una formula común también para determinar el asentamiento es en función de las 
pendientes de la curva de compresibilidad. 
 
 Coeficiente de compresibilidad 
 
 
´σ∆
∆= eav (3.7) 
 
 Con lo que la formula para calcular el asentamiento, quedaría 
 
 H
e
aH
o
v ´
1
σ∆+=∆ (3.8) 
 
 
 51
 Coeficiente de variación volumétrica 
 
 
e
am vv += 1 (3.9) 
 
 Con lo que la formula para calcular el asentamiento, quedaría 
 
 HmH v ´σ∆=∆ (3.10) 
 
 Índice de compresibilidad (pendiente en gráficas semi-logarítmicas en el tramo 
virgen) 
 
 
´
´´log
o
o
c
eC
σ
σσ ∆+
∆= (3.11) 
 
 Con lo que la formula para calcular el asentamiento (normalmente consolidada), 
quedaría 
 
 H
e
CH
o
o
o
c
'
´´log
1 σ
σσ ∆+
+=∆ (3.12) 
 
 Índice de expansión (pendiente en gráficas semi-logarítmicas en el tramo de 
descarga o expansión, usado también como equivalente en el tramo de recarga) 
 
 
´
´´logo
o
s
eC
σ
σσ ∆+
∆= (3.13) 
 
 Con lo que la formula para calcular el asentamiento (preconsolidada), quedaría 
 
 H
e
CH
o
o
o
s
'
´´log
1 σ
σσ ∆+
+=∆ (3.14) 
 
 
 Índice de compresión (Cc). Terzaghi con la finalidad de de realizar cálculos 
aproximados de consolidación primaria propuso las siguientes formulas empíricas del el 
Índice de compresión: 
 
 Para arcillas inalteradas 
 
 Cc=0.009(LL-10) (3.15) 
 
 Para arcillas remodeladas 
 
 Cc=0.007(LL-10) (3.16) 
 
 52
 En donde LL es el límite líquido en porciento 
 
 Índice de expansión.(Cs). Se determina por pruebas de laboratorio y se encuentra 
entre el siguiente rango: 
 
 CcaCs
10
1
5
1= (3.17) 
 
 
 Ejemplo 
 
 Determinar el asentamiento por consolidación primaria en el estrato de arcilla, de 
la siguiente figura (cotas en metros): 
 
 
 
 Datos: 
 
 Carga en la superficie: 
 
 ∆σ=6t/m2 
 Arena (Suprayacente): 
 
 γseco=1.6t/m3 
 
 γsat.=1.8t/m3 
 
 Arcilla: 
 
 γsat.=1.9t/m3 
 
 σ´c=10t/m2 
 
 53
 eo=0.9 
 
 LL=50 
 
 Cs=0.2Cc 
 
 
 Esfuerzo efectivo (promedio) a la mitad del estrato de arcilla 
 
 σ´o=2.0(1.6)+2.0(1.8-1.0)+3.0(1.9-1) 
 
 σ´o=7.50t/m2 
 
 σ´c=10t/m2>σ´o=7.50t/m2 
 
 σ´o+∆σ´=7.5+6.0=13.5t/m2 
 
 Índice de compresión (Cc). 
 
 Cc=0.009(LL-10)=0.009(50-10)=0.36 
 
 Índice de expansión.(Cs). (Se considera semejante a la recompresión) 
 
 Cs=0.2Cc=0.2(0.36)=0.07 
 
 Asentamiento en la zona preconsolidada 
 
H
e
CH
o
o
o
s
'
´´log
1 σ
σσ ∆+
+=∆ 
 
( )0.6
5.7
10log
9.01
07.0
+=∆H 
 
 ∆Hp=0.03m. 
 
 Asentamiento en la zona normalmente consolidada 
 
H
e
CH
o
o
o
c
'
´´log
1 σ
σσ ∆+
+=∆ 
 
( )0.6
10
5.13log
9.01
36.0
+=∆H 
 
 ∆Hn=0.15m. 
 
 
 Por lo que el asentamiento total será: 
 54
 
 ∆H=0.18m. 
 
 Ejemplo 
 
 Considerando el estrato de arcilla calcular el asentamiento por consolidación 
primaria, que se produce por colocar una zapata cuadrada (cotas en metros) 
 
 
 
 Datos: 
 
 Zapata: 
 
 Cuadrada de 1.6 X1.6 mts. 
 
 Suelos: 
 
 Arena suprayacente Arcilla normalmente consolidada 
 
 γseco =1.6t/m3 γsat =1.7t/m3 
 
 γsat =1.8t/m3 eo = 1.0 
 
 LL=40 
 
 Asentamiento: 
 
 Asentamiento en la zona normalmente consolidada 
 
H
e
CH
o
o
o
c
'
´´log
1 σ
σσ ∆+
+=∆ 
 
 Cc=0.009(LL-10)=0.009(40-10)=0.27 
 
 55
 eo = 1.0 
 
 H=6m 
 
 σo´=2.0x1.6+2.0(1.8-1.0)+3.0(1.7-1.0)=6.9t/m2 
 
 Determinando el incremento de esfuerzo (a la mitad del estrato), por el 
método de Fadum: 
 
 Considerando 
 
 ( ) 22 /25.316.16.1
80 mt
mx
tq == 
 
z x Y m=x/z n=y/z wo 
5.5 1.6/2 1.6/2 0.107 0.107 0.009757 
 
 ∆σ´=4qwo=1.22t/m2 
 
 Substituyendo 
0.6
90.6
22.190.6log
11
27.0 +
+=∆H 
 
 mH 057.0=∆ 
 
 
 3.2.1.2 Porcentaje de asentamiento y tiempo de consolidación 
 
 La consolidación es un fenómeno en el cual el tiempo es un factor importante, 
como ejemplo tenemos que la consolidación regional de la Ciudad de México lleva más de 
cien años y a mediados del siglo pasado se realizaron obras como el drenaje profundo 
para dar solución a la eliminación de aguas residuales del Valle de México. Así también 
se establecieron políticas de prohibición a la extracción de aguas subterráneas que 
acelera el proceso de consolidación y el acondicionamiento de nuevos lagos sobre el ex-
lago de Texcoco para establecer recargas a los acuíferos. 
 
 Como la consolidación aumenta con la disipación de la presión en exceso de la 
hidrostática, una forma de determinar el porcentaje de asentamiento U, es comparando la 
presión en exceso de la hidrostática ∆µ en un tiempo t, con la presión en exceso de la 
hidrostática ∆µo al inició. 
 
 
o
U µ
µ
∆
∆−=1 (3.18) 
 
 Entre los factores que influyen en el tiempo del asentamiento, se encuentran la 
relación de vacíos e, el coeficiente de permeabilidad k, el espesor del estrato H, el número 
de fronteras permeables (sobreyacente y/o subyacente) N, el coeficiente de 
compresibilidad (razón de cambio de relación de vacíos con cambios de esfuerzos) av, y el 
 56
peso especifico del agua γω. De acuerdo a la Teoría de la Consolidación primaria, estos 
factores podemos agruparlos en una razón adimensional llamada factor tiempo T, que se 
define con la siguiente expresión. 
 
 
( )
ωγvaH
ketT 2
1+= (3.19) 
 
H = Es la trayectoria vertical de drenaje promedio, más larga durante la 
consolidación 
 
 Este análisis teórico esta basado en un suelo homogeneo, saturado y que es 
constante la siguiente relación 
 
 
( )
va
ek +1
 (3.20) 
 
 El porcentaje de consolidación U, se expresa como una expresión matemática en 
función del factor tiempo. 
 
U T( ) 100 1
0
10000
n
8 2 n⋅ 1+( )2 π2⋅ ÷  e 2 n⋅ 1+( )
2 π2⋅ T⋅  4÷ −⋅∑
=
−


⋅:=
 (3.21) 
 
 
 En donde el límite superior de la sumatoria es infinito, pero para fines de 
establecer la gráfica se consideró 10,000, quedando la gráfica de la siguiente forma: 
 
 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
U T( )
T
 
Fig. 3.8 Curva hipotética (asintótica) del porcentaje de consolidación en función del factor 
tiempo 
 
 
 57
 
 Tabla de la función teórica de consolidación 
 
U% T 
0 0.000 
10 0.008 
15 0.018 
20 0.031 
25 0.049 
30 0.071 
35 0.096 
40 0.126 
45 0.159 
50 0.197 
55 0.238 
60 0.287 
65 0.342 
70 0.405 
75 0.477 
80 0.565 
85 0.684 
90 0.848 
95 1.127 
100 • 
 
Tabla 3.1 Valores del Factor Tiempo T, en función del porcentaje de consolidación 
 
 El coeficiente de coeficiente de consolidación Cv 
 
 
( )
ωγvv a
keC += 1 (3.22) 
 
Se obtiene en el laboratorio a través de la gráfica de la Curva de Consolidación 
(tiempo – deformación), por el método del logaritmo del tiempo (Casagrande y Fadum) o 
por método de la raíz cuadrada del tiempo (Taylor). 
 
Método del logaritmo del tiempo Método de la raíz cuadrada del 
tiempo 
50
2
50
t
HTCv = 
90
2
90
t
HTCv = 
T50=0.197 T90=0.848 
H = Es la trayectoria de drenaje promedio más larga durante la prueba de 
consolidación 
 
Tabla 3.2 Formulas más comunes para obtener el coeficiente de consolidación 
 
 Por lo que se puede aplicar en para predecir el tiempo del asentamiento en campo 
con la formula: 
 
 58
 
Cv
THt
2
= (3.23) 
 
H = Es la trayectoria vertical de drenaje promedio, más larga durante la 
consolidación 
 
 Ejemplo 
 
 Determinar cual será la elevación del agua de piezómetro inmediatamente 
después de aplicar la carga, y que grado de consolidación se tiene cuando en el punto A 
se tiene una altura h (arriba del N.A.F.) de 4 m 
 
²
 
 
Determinar cual será la elevación del agua de piezómetro (arriba del N.A.F.) 
inmediatamente después de aplicar la carga 
 
 La presión del agua en exceso de la hidrostática, la determinamos dividiendo entre 
el peso especifico del agua 
 
 m
mt
mtmto 10/1
/10/10 3
2
2 ===∆= σµ 
 
mo 10=µ 
 
 Que grado de consolidación se tiene cuando en el punto A se tiene una altura h 
(arriba del N.A.F.) de 4 m 
 
 %60100
10
411001 =

 −=


 −=
o
aU µ
µ
 
 
%60=U 
 59
 
 
 Ejemplo 
 
 Considerando el estrato de arcilla del ejemplo anterior, determinar el tiempo para 
que se produzca el 50% y 90% de consolidación primaria (cotas en metros).Considerando que el coeficiente de consolidación se determina por los siguientes 
datos de laboratorio: 
 
 Espesor del espécimen 2.54 cms 0.0254 m. 
 Drenado: ambas caras 
 Tiempo requerido 50% de consolidación 3 min 180 seg 
 
 
Cv
0.197
0.0254
2



2
⋅


180
:=
 
 
 smCv /10765.1
7−×= 
 
 
 
 
 
 Tiempo para que se produzca el 50% de asentamiento 
 
 
t50
0.192
6
2



2
⋅


Cv
:=
 
 
 segt 650 10789.9 ×= t50=113dias 
 
 Tiempo para que se produzca el 90% de asentamiento 
 60
 
 
t90
0.848
6
2



2
⋅


Cv
:=
 
 
 segt 790 10324.4 ×= t90=500dias 
 
 Se debe tener en cuenta que la función teórica tiempo – asentamiento es de tipo 
asintótica, y el 100% de asentamiento se alcanza en un tiempo infinito, es por esto que 
comúnmente se determina el tiempo para un asentamiento al 90% que da un pronóstico 
próximo al del 100%. 
 
 
3.2.2 Asentamientos por consolidación secundaria 
 
 Como se ha indicado, la consolidación primaria es considerada el asentamiento 
producto de la transferencia del incremento de esfuerzo en exceso de la hidrostática, al 
esfuerzo efectivo del suelo. Se considera que en los suelos orgánicos o inorgánicos 
altamente compresibles, el asentamiento conocido como flujo plástico, debido al ajuste 
plástico de la estructura del suelo, es conocido con el nombre de Consolidación 
Secundaria, y teóricamente se sucede después de la consolidación primaria (aunque 
algunos investigadores indican que una parte de la consolidación secundarias, se da al 
mismo tiempo de la consolidación primaria)- 
 
 En algunos suelos inorgánicos (arcillas y/o limos) el asentamiento por 
consolidación secundaria es muy pequeño y no tiene importancia, sin embargo en suelos 
orgánicos como turbas o en suelos inorgánicos altamente compresibles estos 
asentamientos pueden ser relativamente considerables. 
 
 En la gráfica de relación de vacíos – tiempo (en escala logarítmica), se puede ver 
que el tramo de consolidación secundaria es prácticamente una línea recta con una 
pendiente (negativa) poco inclinada. 
 
 
Fig. 3.9 Curva de consolidación 
 61
 
 
Fig. 3.10 Tramo de consolidación secundaria 
 
 
 El índice de compresión secundaria Cα, es la pendiente de la línea (prácticamente 
recta) de tramo de consolidación secundaria, y se puede definir como: 
 
 




∆=−
∆=
1
212 log
loglog
t
t
e
tt
eCα (3.24) 
 
 Como el asentamiento se puede determinar con la siguiente formula 
 
 H
e
eH
o+
∆=∆
1
 (3.25) 
 
 Substituimos ∆e para determinar la formula del asentamiento por consolidación 
secundaria. 
 
 H
t
t
e
CH
p




+=∆ 1
2log
1
α (3.26) 
 
 En donde ep, la relación de vacíos final de la consolidación primaria y la inicial de la 
consolidación secundaria. 
 
 
 
 
 
 62
 
 Ejemplo 
 
 En un estrato de arcilla de 5 metros de espesor, el asentamiento por consolidación 
primaria tendrá una variación en su relación de vacíos de eo=0.90 inicial, a ep=0.82 final, 
producto de la colocación de una carga en la superficie, y se sucederá en un lapso de 4 
años. Estimar el asentamiento por consolidación secundaria que ocurrirá a los 8 años de 
haber colocado la sobre carga, considerando que el índice de compresión secundaria es 
Cα=0.020 
 
 Cα=0.020 
 
 ep=0.82 
 
 t2=8 años 
 
 t1=4 años 
 
 H=5 m. 
 
 H
t
t
e
CH
p




+=∆ 1
2log
1
α 
 
 5
4
8log
82.01
02.0 


+=∆H 
 
 mH 033.0=∆ 
 
 
3.3 Expansiones 
 
 En excavaciones profundas se presenta el fenómeno de expansiones causadas 
por la descarga del suelo que se encuentra en el fondo, sin embargo en suelos no 
plásticos la magnitud de la expansión es prácticamente despreciable, pero en arcillas 
altamente compresibles el fenómeno es importante sobre todo cuando se realizan 
trabajos de cimentaciones compensadas en las cuales observan asentamientos 
importantes, causados por la recuperación de las expansiones generadas durante el 
proceso de excavación y construcción de la estructura. 
 
 El abatimiento del nivel de aguas freáticas por el proceso constructivo, produce 
también fuerzas de filtración del flujo del agua ascendentes en forma de subpresiones que 
contribuyen a la expansión volumétrica de la arcilla 
 
 63
 
Fig. 3.11 Subpresiones que contribuyen a la expansión volumétrica de la arcilla 
 
 
 Las expansiones en las arcillas altamente expansivas, son producto de 
excavaciones que reducen la presión vertical, se pueden dividir en dos etapas: la primera 
es producto de las distorsiones en la masa de arcilla que subyace la base de la 
excavación y se le llama expansión inmediata; la segunda que se desarrolla gradualmente 
con un aumento en el volumen de la arcilla (tramo de descarga en la grafica de 
consolidación) y que se le llama expansión lenta. 
 
 La suma de las expansiones, la expansión inmediata ∆Ei y la expansión lenta ∆El 
se puede considerar como la expansión total ∆Et 
 
 lit EEE ∆+∆=∆ (3.27) 
 
 EXPANSIÓN INMEDIATA. ∆Ei 
 
 La expansión inmediata se asemeja a la expansión que sufre una probeta de 
arcilla inalterada en una prueba de compresión triaxial no drenada, en el momento en que 
se le descarga axialmente. 
 
En la prueba mencionada se puede determinar su módulo de elasticidad en la 
compresión considerado como la relación entre el esfuerzo axial promedio (50%) σc, entre 
su deformación unitaria axial correspondiente εc. 
 
 
c
c
cE ε
σ= (3.28) 
 
 El módulo de elasticidad de expansión se considera un 20% mayor que el de 
compresión, por lo que puede expresar como: 
 
 ce EE 2.1= (3.29) 
 64
 El cálculo de la expansión se considera de tipo elástico y se puede determinar en 
forma semejante al cálculo del asentamiento elástico. 
 
Calculo del asentamiento 
elástico 
Calculo de la expansión 
inmediata (elástico) 
sIE
wBh )1(
2ν−=∆ 
 
f
e
Df
i FE
Bw
E
)1( 2ν−=∆ 
 
B= ancho de la cimentación 
w= sobrecarga 
ν= 0.5 Módulo de Poisson 
E= Módulo de elasticidad 
(compresión) 
Is= Factor de influencia 
(Terzaghi) 
B= ancho de la cimentación 
WDf= Descarga 
ν= 0.5 Módulo de Poisson 
Es= Módulo de elasticidad de 
expansión 
Ff= Factor de forma 
(Egorov) 
 
Tabla 2.3 Comparación de las formulas de asentamiento y expansión elasticos 
 
 El factor de forma Ff de Egorov para cimentaciones cuadradas, establece valores 
que van de 0.7 a 1.05, para relaciones de profundidad del estrato Z/B de 1 a 10, siendo 
aproximadamente 1 con una relación Z/B=4; para cimentaciones rectangulares con una 
relación de 1:2 (ancho largo), los valores varían de 0.8 a 1.45, para relación de 
profundidad del estrato 1 a 10, siendo aproximadamente 1.1 con una relación Z/B=2. 
 
 Ejemplo 
 
 En un estrato de arcilla blanda, homogénea de 10 metros de espesor, subyacente 
en el fondo de una excavación para una cimentación cuadrada de 10 x 10 mts., tiene las 
siguientes caracteristicas. 
 
 Es= 40kg/cm2 
 
 ν= 0.5 
 
 wDf= 1.5kg/cm2 
 
 B= 1000 cm 
 
 Z= 500 cm. 
 
 Factor de forma Ff, es 
 
 L/B=1 Cuadrada 
 
 Z/B=1000/1000=1 
 
 Ff= 0.7 
 
 65
 f
e
Df
i FE
Bw
E
)1( 2ν−=∆ 
 
 
( )( ) ( )7.0
40
)5.01(10005.1 2−=∆ iE 
 
 cmEi 7.19=∆ 
 
 
 EXPANSIÓN LENTA. ∆El 
 
 La expansión lenta inicia en el momento que se realiza la excavación y puede 
durar mucho tiempo (años incluso), dependiendo de los procesos constructivos y tipos de 
cimentaciones. 
 
 Para medir los parámetros de expansión lenta, se realiza una prueba de expansión 
volumétrica, enun consolidómetro de anillo fijo, en la primera parte se comprime el 
espécimen inalterado de arcilla hasta su presión de preconsolidación y en la segunda 
parte se descomprime el espécimen para medir las expansiones a través del tiempo, 
producidas de acuerdo a los decrementos de carga. 
 
 En los resultados de la prueba de expansión volumétrica expansión – tiempo se 
determinan dos etapas de expansión, la primaria y la secundaria, la primera está en 
función de la velocidad con que el agua es succionada por la parte superior del 
espécimen y la segunda esta en función del fenómeno de adsorción del agua en el 
espacio Intercoloidal de la arcilla. 
 
 La expansión lenta primaria representa más del 85% de la expansión lenta y se 
puede ocupar en la práctica para determinar este tipo de expansión. 
 
 El cálculo de la expansión lenta se puede determinar en forma semejante al 
cálculo del asentamiento por consolidación. 
 
 
Calculo del asentamiento 
por consolidación 
Calculo de la expansión 
lenta 
 
HmH v ´σ∆=∆ 
 
 
HWmE Dfel ´=∆ 
mv= Coeficiente de variación 
volumétrica 
∆σ´= Incremento de 
esfuerzo efectivo 
H= Espesor del estrato 
me= Modulo de expansibilidad 
volumétrica 
WDf´= Decremento de presión 
en campo 
H= Espesor del estrato 
 
Tabla 3.4 Comparación de las formulas de asentamiento por consolidación y expansión 
lenta 
 
 66
 El módulo de expansibilidad volumétrica me, se obtiene en el laboratorio a través 
de la siguiente fórmula 
 
 
Di
p
e WH
E
m 100100
∆= (3.30) 
 
 Donde tenemos 
 
 me100= Módulo de expansibilidad primaria (100%) 
 
 ∆Ep100= Expansión primaria máxima del espécimen 
 
 Hi= Espesor inicial del espécimen recomprimido a la presión de preconsolidación 
 
 WD= Decremento de presión en la prueba 
 
 
 Ejemplo 
 
 En un estrato de arcilla blanda, homogénea de 5 metros de espesor, se realizan 
pruebas de laboratorio para determinar sus características de expansión, obteniéndose un 
módulo de expansibilidad primaria me100=0.08cm2/kg, el decremento de presión sobre el 
estrato de arcilla es de WDf´=0.6kg/cm2. Determinar la expansión lenta (considerando que 
se desprecia la etapa de expansión secundaria). 
 
 H= 500cm 
 
HWmE Dfel ´=∆ 
 
 ( )( )( )5006.008.0=∆ lE 
 
 cmEl 24=∆ 
 
 67
CAPITULO 4 
 
CAPACIDAD DE CARGA. 
 
 
4.1 Introducción 
 
 La capacidad de carga de un suelo, se puede definir como el estado límite de falla 
de un suelo en una cimentación. 
 
 De acuerdo a los reglamentos de construcción el estado límite de falla se entiende, 
por la situación que corresponde al agotamiento de la capacidad de carga del terreno de 
cimentación o al hecho de que ocurran daños irreversibles que afecten significativamente 
la resistencia del suelo ante nuevas aplicaciones de carga. 
 
 El Reglamento de Construcciones del Distrito Federal (Publicado en la Gaceta 
Oficial del Distrito Federal el 29 de enero de 2004) en su Capitulo III DE LOS CRITERIOS 
DE DISEÑO ESTRUCTURAL, en el Articulo 146, establece Toda edificación debe contar 
con un sistema estructural que permita el flujo adecuado de las fuerzas que generan las 
distintas acciones de diseño, para que dichas fuerzas puedan ser transmitidas de manera 
continua y eficiente hasta la cimentación. Debe contar además con una cimentación que 
garantice la correcta transmisión de dichas fuerzas al subsuelo. 
 
 Así mismo en el Artículo 147, dice, Toda estructura y cada una de sus partes 
deben diseñarse para cumplir con los requisitos básicos siguientes: 
 
I. Tener seguridad adecuada contra la aparición de todo estado límite de falla 
posible ante las combinaciones de acciones más desfavorables que puedan presentarse 
durante su vida esperada 
 
 En Mecánica de Suelos se define este estado límite de falla del suelo, como la 
capacidad de carga última de un suelo. 
 
 
4.2 Teorías de capacidad de carga 
 
 En el Capitulo IV del RCDF. DEL DISEÑO DE CIMENTACIONES, en el artículo 
169, establece: Toda edificación se soportará por medio de una cimentación que cumpla 
con los requisitos relativos al diseño y construcción que se establecen en las Normas. 
 
Las edificaciones no podrán en ningún caso desplantarse sobre tierra vegetal, 
suelos o rellenos sueltos o desechos. Sólo será aceptable cimentar sobre terreno natural 
firme o rellenos artificiales que no incluyan materiales degradables y hayan sido 
adecuadamente compactados. 
 
 Las teorías para la determinación de la capacidad carga establecen modelos para 
el diseño de cimientos sobre suelos en estado natural, y aplicables a rellenos artificiales 
con un correcto control de calidad. 
 
 68
 Existen diferentes Teorías para determinar la capacidad de carga de un suelo, 
Prandtl, Hill, Terzaghi, Skempton, Meyerhof, etc., todas en función de las propiedades y 
características del suelo; así como también en función de las características de la 
cimentación. 
 
 
4.2.1 Terzaghi 
 
 La Teoría de Terzaghi para determinar la capacidad de carga de un suelo cubre el 
caso más general, pues se aplica a suelos con cohesión y/o fricción, y se considera la 
teoría más usada para determinar la capacidad de carga en cimientos poco profundos 
(aquellos en que el ancho del cimiento B, es igual o mayor a la distancia vertical entre el 
nivel del terreno y la base del cimiento, Df). 
 
Fig. 4.1 Modelo de cimentación poco profunda de ancho b 
 
 Terzaghi en su teoría desprecia la resistencia al esfuerzo cortante arriba del nivel 
de desplante del cimiento. Esta Teoría establece que una zapata continua descansa 
sobre una superficie de suelo, el terreno falla a través de tres zonas. Debido a la fricción y 
cohesión entre el suelo y la base de la cimentación, la zona I actúa como una cuña que se 
introduce en el suelo como si fuera parte de la zapata formando el los lados del triangulo 
ángulos de (45o+ϕ/2); las zonas II son de deformación tangencial radial y las curvas de 
falla son espirales logarítmicas, cuyos centros se localizan en las aristas de la base de la 
cimentación; Las zonas III son zonas de estado plástico pasivo de Ranking y sus fronteras 
forman un ángulo de (45o-ϕ/2) con la horizontal. 
 
El mecanismo de falla se indica en la siguiente figura par un cimiento poco 
profundo. 
 
 69
Fig 4.2 Modelo de falla de cimentación infinita, poco profunda de ancho b, de Terzaghi 
 
 Por lo anterior se deduce que la capacidad de carga de un suelo, depende de: 
 
• Resistencia al esfuerzo cortante (cohesión y/o fricción) 
• Ancho de la cimentación 
• Peso volumétrico del suelo y del relleno arriba del nivel de desplante 
• Profundidad del cimiento. 
 
Por lo que Terzaghi propone la siguiente formula para determinar la capacidad de 
caga última de un cimiento continuo, poco profundo: 
 
 qfqcu NDcNNBq γγ γ ++= 2
1
 (4.1) 
 
 En donde se suma la capacidad de carga con la que contribuyen, la parte 
friccionante, la parte cohesiva y la parte relativa a la profundidad de desplante. 
 
 B= Ancho de la cimentación 
 
 γ= Peso volumétrico del suelo debajo de la cimentación 
 
 ϕ= Ángulo de fricción interna del suelo debajo de la cimentación 
 
 c= Cohesión 
 
 γq = Peso volumétrico del suelo arriba del nivel de desplante de la 
 Cimentación 
 
 Df = Profundidad de desplante 
 
 Nγ , Nc y Nq = Factores de carga en función del ángulo de fricción 
interna del suelo debajo del desplante de la cimentación 
 70
 
 Los factores de carga los determinan los diferentes códigos de construcción, 
según los tipos de suelos. Se pueden determinar a través de las siguientes formulas. 
 
)
2
45(tan 02tan ϕϕπ += eNq (4.2) 
 
ϕγ tan)1(2 += qNN (4.3) 
 
ϕtan/)1( −= qc NN (4.4) 
 
 
 A continuación se en listan los valores de los factores de carga