MECANICA DE SUELOS 2 JUAREZ BADILLO

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Mecánica de Suelos
Ing. José A. Cuevas
precursor de la Mecánica de Suelos en México
Dr. Nabor Carrillo Flores
relevante investigador de la escuela de Mecánica de Suelos
Mecánica
de
Suelos
T O M O I I
Teoría y Aplicaciones de la Mecánica de Suelos
EULALIO JUAREZ BADILLO 
ALFONSO RICO RODRIGUEZ
E D I T O R I A L
M E X I C O
L I M U S A 
1 9 7 3
© 1967, Revista INGENIERIA
EULALIO JUAREZ BADILLO
Doctor en Ingeniería. Profesor de la 
División de Estudios Superiores 
de la Facultad de Ingeniería de 
la Universidad Nacional Autónoma 
de México*
ALFONSO RICO RODRIGUEZ
Maestro en Ingeniería. Profesor de la 
División Profesional y de Estudios 
Superiores de la Facultad de Ingeniería 
de la Universidad Nacional Autónoma 
de México. Profesor de-la 
Universidad Iberoamericana
Todos los derechos reservados:
© 1973, EDITORIAL LIMUSA, S. A. 
Arcos de Belén Núm. 75, México 1, D. F. 
Miembro de la Cámara Nacional de la 
Industria Editorial, Registro Núm. 121
Primera reimpresión: 1973 
Im prm en Mixico
(971)
PROLOGO DE LOS AUTORES
Es con mucha satisfacción que los autores ponen ahora a dispo­
sición de sus estudiantes y del público interesado, el Volumen II de 
la obra Mecánica de Suelos, a la que han venido dedicando su entu­
siasmo en estos últimos años. Comprenden que entre la aparición de 
este libro y el anterior ha pasado un lapso inconveniente y se excusan 
por ello, exhibiendo como única disculpa las muchas ocupaciones que 
los acosan; ojalá que el Tercer Volumen, que ahora comienzan, dedi­
cado a Flujo de Agua en Suelos, pueda estar a disposición de los 
lectores con más oportunidad.
La a cogida que el estudiantado y los técnicos de México y Amé­
rica Latina han brindado al Tomo I ha sobrepasado con mucho las 
modestas esperanzas de los autores, los ha colmado de satisfacción y 
los ha convencido de la necesidad de aplicarse a su tarea con reno­
vado esfuerzo. Desde aquí quieren expresar público testimonio de 
agradecimiento a todos los lectores que han dado tan grata bienve­
nida a su trabajo y muy especialmente a los que, yendo más allá, 
les han comunicado su impresión personal o sus críticas orientadoras, 
tan necesarias en una obra como la presente, especialmente por estar 
incompleta y expuesta a la reiteración de defectos.
También quieren los autores expresar su reconocimiento a la Fa­
cultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de Méxi­
co y a la Secretaría de Obras Públicas por el estímulo que les han 
brindado en la elaboración de este segundo tomo.
Han colaborado con la obra el señor Humberto Cabrera, quien 
hizo los dibujos y la señora Sahadi Rucoz que volvió a realizar todo 
el ingrato trabajo de mecanografía. A ambos, los autores expresan 
su gratitud por su empeño, dedicación y entusiasmo.
El señor Ing. Ignacio Avilez Espejel tuvo a su cargo la delicada 
tarea de editar estas páginas y, es de agradecer el cariño que puso 
en ella.
El señor Ing. Javier Barros Sierra, ex Director de la Facultad 
de Ingeniería, ex Secretario de Obras Públicas, actualmente Rec­
tor de la Universidad Nacional Autónoma de México, ha accedido 
bondadosamente a escribir un Prólogo a este libro. Es para sus 
autores un motivo muy especial de orgullo y reconocimiento que su 
alta personalidad honre estas páginas.
México, D. F„ noviembre de 1967
PROLOGO
Continuando el esfuerzo que les condujo en 1963 a la publi­
cación del primer volumen de esta obra, los dos jóvenes ingenieros, 
profesores e investigadores Eulalio Juárez Badillo y Alfonso Rico 
Rodríguez presentan ahora la segunda parte de su libro, que recoge 
las aplicaciones prácticas más importantes de la teoría, desarrollada 
en el primer tomo.
Con este nuevo volumen se completa el programa actual de la 
materia en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional 
y se cubren ciertos aspectos esenciales del contenido de la asigna­
tura en el nivel de la maestría.
La obra, primera del género en nuestro país y una de las muy 
pocas escritas originalmente en castellano, ha tenido tan amplia cuan­
to justa acogida (del Tomo I ha salido ya la segunda edición) 
debido, seguramente, no sólo a la ventaja del idioma sino también 
a algunas cualidades relevantes, entre las que cabe citar una expo­
sición de carácter general y no especializada y una presentación 
certeramente didáctica. Puede decirse, extendiendo la célebre frase 
del pensador español, que la claridad no sólo es cortesía de filósofos 
sino también de sabios. Y estos dos maestros han tenido en alta 
consideración a los estudiantes que, cada día en mayor número, 
han de enfrentarse con su libro. No hay duda de que ellos, con sus 
bien probadas capacidad y perseverancia y con su plausible entusias­
mo, habrán de completar en breve su tratado con el tercer y último 
volumen, relativo al flujo de agua en suelos.
Es de elemental justicia señalar que los autores, en un rasgo 
que tos honra mucho, han cedido los productos de la venta de los 
tres volúmenes a la Facultad de Ingeniería, en la que ambos hicieron 
los estudios de ingeniería civil y Alfonso Rico; muy brillante alum­
no mío por cierto, alcanzó después con alta distinción y, curiosamente, 
sin que al principio creyera tener especial vocación para tal espe­
cialidad, la maestría en mecánica de suetos.
Al comienzo del libro los autores presentan las imágenes del 
Ing. José A. Cuevas y del Dr. Nabor Carrillo Flores. De esta mane­
ra, implícitamente dedican su trabajo a dos de los hombres que 
más han tenido que ver con el nacimiento y el desarrollo de la 
Mecánica de Suelos en México. José A. Cuevas fue sin duda el más 
destacado de los precursores de esta disciplina y el hombre que con 
su labor estableció los fundamentos para que pudiera hablarse de
xii PROLOGO
una Escuela Mexicana de Mecánica de Suelos; a esta tarea dedicó 
durante muchos y difíciles años su singular intuición y su incansable 
esfuerzo. Nabor Carrillo, al dedicar aíl naciente campo sus brillantes 
dotes 11 su destacado talento, contribuyó quizá en mayor medida 
que ningún otro a darle a esa Escuela reconocimiento nacional y 
estatura internacional. Es justo y conveniente que la presencia de 
estos hombres, ambos ya desaparecidos de entre nosotros, preceda 
un trabajo como el que ahora ve la luz.
No me resta sino decir, como observador más o menos cercano 
de la incansable labor de los señores Juárez Badillo y Rico, que 
merecen, junto con la más cordial felicitación, el agradecimiento de 
la Universidad y el de los estudiosos de la mecánica de los suelos.
Ciudad Universitaria, D. F., septiembre de 1967
Javier Barros Sierra*
Rector de la Universidad Nacional Autónoma de México
Exdirector de la Facultad de Ingeniería de la U.N.A.M.
Exsecretario de Obras Públicas del Poder Ejecutivo 
Mexicano.
CAPITULO I 
ACCION DE LA HELADA EN LOS SUELOS
1-1. Introducción
En este capítulo se tratarán someramente los problemas que 
derivan de la congelación del agua libre contenida en el suelo, por 
efecto climático, naciendo especial énfasis en lo que se refiere a 
cambios volumétricos y variaciones de propiedades mecánicas.1
Si la temperatura del agua libre llega a un valor igual a su punto 
de conqelación, el agua se toma sólida y su volumen aumenta. Tanto 
el punto de congelación, como el coeficiente de expansión volumétrica 
del agua dependen de la presión actuante sobre ésta. A la presión 
atmosférica, el punto de congelación corresponde a una temperatura 
de 0°C, en tanto que bajo una presión de 600 atmósferas el agua 
se congela a —5°C y a 1100 atmósferas a —10°C. Los coeficientes 
de expansión volumétrica son 0.09 a 1 atmósfera, 0.102 a 600 y 
0.112 a 1100.
Cuando el agua se congela en masas de grava o arena limpias 
hay pues, un aumento de volumen; sin embargo, esta expansión no 
necesariamente es de un 10% del volumen inicial de vacíos, como 
correspondería al caso normal de agua congelada, puesto que el agua 
puede drenarse durante la congelación. Si en una masa de arena se 
encuentrancapas gruesas de hielo o lentes grandes de esta substancia, 
podrá decirse que el hielo se formó por congelación in sita de una 
masa de agua previamente existente. Sin embargo, si el agua está 
homogéneamente incorporada a la masa de suelo, como es general, 
la congelación afecta al conjunto de dicha masa, sin que el agua 
forme capas o lentes aislados de hielo.
En limos saturados o arenas limosas en igual condición, el efecto 
de la congelación depende mucho del gradiente con el que se abate 
la temperatura. Un enfriamiento rápido provoca la congelación in 
sita, como en el caso de la arena y la grava, pero si el descenso 
de la temperatura es gradual, la mayor parte del agua se agrupa 
en pequeñas capitas de hielo paralelas a la superficie expuesta al en- 
friamiento. Resulta así una alternación de capas de suelo helado y 
estratos de hielo.
En condiciones naturales, en suelos limosos expuestos a fuertes 
cambios de clima, pueden formarse capas de hielo de varios centí­
metros de espesor. La formación de masas de hielo limpio indica una
1
2—Mecánica de Suelo» n
emigración del agua de los vacíos hacia el centro de congelamiento; el 
agua puede proceder del suelo en congelamiento o puede ser absor­
bida de un manto acuífero, situado bajo la zona de congelación. En 
la fig. 1-1 se muestran tales posibilidades en un espécimen de suelo 
fino. El espécimen A descansa sobre una base sólida e impermeable, 
en tanto que los B y C tienen su parte inferior sumergida en agua. En 
los tres casos, la temperatura de los extremos superiores se mantiene 
bajo el punto de congelación del agua. En A el agua que forma los 
estratos finos de hieío procede de la masa de la parte, inferior del 
espécimen, mientras que en el B, el agua procede de la fuente inferior. 
Terzaghi llama al caso A un sistema cerrado, por no variar en él el 
contenido total de agua de la masa de suelo; en contraposición, el caso 
B sería un sistema abierto. El caso C, aunque pudiera creerse 
abierto, es cerrado en realidad, por efecto de la capa de grava fina 
existente.
2 CAPITULO I
mil 11 lll'TMl. gangas .
H2 ? _~TExpansión
Consolidado
F IS . I-I. Casos de formación de hielo en suelos finos, según Terzaghi1
En el espécimen A el agua que forma los lentes de hielo proviene, 
como se dijo, de la parte inferior; este flujo ascendente del agua 
durante el proceso de congelación induce un proceso de consolida­
ción en la parte inferior de la muestra, análogo al que se tiene cuando 
el agua asciende por capilaridad hacia una superficie de evaporación. 
El proceso probablemente prosigue hasta que el contenido de agua 
en la parte inferior se reduce al correspondiente al límite de con­
tracción, siempre y cuando la temperatura en la superficie de enfria­
miento sea lo suficientemente baja. El incremento total de volumen 
asociado a un sistema cerrado, tal como el espécimen A, tiene como 
limite el incremento volumétrico por congelación del agua contenida 
en la masa. Por lo general, oscila entre el 3% y el 5% del volumen 
total.
En los sistemas abiertos, representados por el espécimen B, el 
desarrollo inicial de los lentes de hielo también es debido al agua 
procedente de los niveles inferiores de la masa de suelo, por lo que, 
en un principio, esa zona se consolida. Sin embargo, según este 
proceso progresa, aumenta la cantidad de agua que se extrae de la 
fuente de agua libre, hasta que, finalmente, la cantidad de agua que 
toma la muestra por la parte inferior iguala a la que fluye hacia 
la zona de congelamiento, manteniéndose constante, de ahí en adelan­
te, el contenido de agua en la parte inferior de la muestra.
La experiencia obtenida en regiones en que prevalecen muy bajas 
temperaturas durante largos períodos de tiempo, demuestra que el 
espesor total de las lentes de hielo formadas en el suelo natural, 
trabajando como sistema abierto, puede alcanzar varios metros.
Un sistema abierto puede convertirse en cerrado sin más que 
insertar entre la superficie de congelamiento y el nivel freático una 
capa de gravilla, tal como se simboliza en el espécimen C de la fig.
1-1. El agua no puede subir por capilaridad a través del suelo grueso 
y, por lo tanto, de tal estrato hacia arriba, la masa se comporta como 
un sistema cerrado.
Se ha encontrado que los lentes de hielo no se desarrollan a 
menos que, en añadidura a la existencia de las condiciones climáticas 
apropiadas, exista en el suelo cierto porcentaje mínimo de partículas 
finas. También afectan en cierta forma a la formación y desarrollo 
de tales lentes, el grado de uniformidad de las partículas, el peso 
específico del suelo y el tipo de estratificación. La forma cuantitativa 
enNque cada factor afecta a los fenómenos en estudio, no está aún 
dilucidada por completo.
En general, se dice que un suelo es susceptible a la acción de 
la helada cuando en él pueden desarrollarse lentes apreciables 
de hielo puro.
1-2. Efectos de la helada
Cuando el agua se congela en un vacío del suelo bajo una presión 
moderada actúa como una cuña, separando las partículas sólidas y 
aumentando el volumen de los vacíos. Cuando la congelación ocurre 
en un suelo no susceptible a la helada, como la grava o la arena, 
o en un sistema cerrado, el aumento de volumen, según se indicó, 
tiene como límite un 10% del volumen inicial de los vacíos, por lo 
que en un suelo de superficie horizontal, la elevación de dicha super­
ficie no podrá ser mayor que
h = 0.1 n H (1-1)
Donde n es la porosidad media del suelo y H el espesor de suelo 
en que se deja sentir el efecto de congelación. Por otra parte, en un
MECANICA DE SUELOS (II) 3
sistema abierto constituido por suelo susceptible a la helada, la 
expansión por congelación puede llegar a ser mucho mayor que 
el limite indicado por la expresión 1-1. La presión que ejerce el suelo 
congelado al expanderse aún no está determinada con exactitud, pero 
es, desde luego, de gran magnitud y teóricamente puede llegar a 
valores de un orden extraordinario, que exceden en mucho a las car­
gas usuales sobrepuestas. Así, cualquier estructura situada sobre el 
suelo, se eleva juntamente con él.
Por otra parte, durante el deshielo que ocurre al iniciarse la 
primavera, la zona congelada de suelo se funde, proceso que, general­
mente, dura algunas semanas y va acompañado de asentamientos 
del subsuelo. La magnitud de este asentamiento en un suelo dado 
depende, fundamentalmente, de si se han formado o no en ese suelo 
lentes de'hielo puro durante la época de congelación. En el caso de 
suelos no susceptibles a la helada, en que el congelamiento no formó 
lentes de hielo, el asentamiento está acotado por la expresión 1-1; 
sin embargo, el valor real de tal asentamiento no puede exceder el 
aumento de volumen causado por el proceso previo de congelación. 
En suelos susceptibles a la helada, en los que el congelamiento haya 
formado lentes de hielo, al fundirse éste se tiene el efecto adicional 
del colapso de las bóvedas de las cavidades antes llenas de hielo, por 
lo que el asentamiento puede aumentar en forma notable; los asenta­
mientos diferenciales asociados a este fenómeno son frecuente fuente 
de problemas para estructuras suprayacientes, específicamente para 
caminos, aeropistas, etc.
En el caso de suelos que formen taludes o laderas, la acción de la 
helada produce en esencia un movimiento de las partículas hacia 
el pie del talud. Si el material no es susceptible a la helada, las 
partículas de suelo colocadas en la superficie del talud se desplazan 
normalmente a dicha superficie, durante el proceso de congelación; 
durante el deshielo esas partículas descienden verticalmente, con un 
desplazamiento neto resultante hacia el pie del talud en la dirección 
de su superficie. Si los suelos son susceptibles, en especial si son 
limosos, la mayor parte del desplazamiento de las partículas ocurre 
durante la licuación posterior de los lentes de hielo formados en el 
período de congelación, paralelamente a la superficie del talud; esta 
licuaciónhace que el suelo colocado sobre los lentes de hielo se 
desintegre y fluya prácticamente como un líquido viscoso; este fe­
nómeno se conoce con el nombre de solifluxión.
En el caso de muros de retención, la congelación del agua libre 
en el suelo detrás de la estructura, produce un aumento de presión 
sobre ellos, el cual es, desde luego, mucho mayor en suelos suscep­
tibles a la helada. Este aumento de presión, reiterado frecuentemente 
a través del tiempo, puede terminar por producir el colapso de la 
estructura. Si los muros son de concreto reforzado, la falla puede
4 CAPITULO I
llegar a presentarse por esfuerzo cortante en la sección entre el 
muro propiamente dicho y su losa de cimentación.
En los suelos susceptibles a la helada, el espesor de los lentes de 
hielo formados depende de varios factores, entre los que pueden 
enumerarse el grado de susceptibilidad del suelo, la facilidad del 
drenaje (tanto para absorber, como para ceder agua), la intensidad 
del frío y duración del mismo, especialmente este último factor.
Las soluciones que se han adoptado para evitar la acción nociva 
del congelamiento de las capas superficiales del terreno por efecto 
climático pueden agruparse en tres tipos diferentes:
a) Substitución de los suelos susceptibles a la helada por otros 
no susceptibles, hasta la profundidad necesaria para llegar a niveles 
más abajo que la penetración del efecto climático exterior.
b) Drenaje adecuado para abatir el nivel freático a una profun­
didad mayor que la altura máxima de ascensión capilar del suelo.
c) Conversión del sistema abierto existente en cerrado. Esto se 
logra excavando hasta la profundidad de congelación y colocando a 
ese nivel una capa de material grueso, no capilar. Posteriormente 
volverá a rellenarse la excavación con el material original.
Lo anterior ha sido aplicado principalmente a caminos y aero- 
pistas.
Además de los cambios volumétricos anotados en los párrafos an­
teriores, la fase del deshiélo en los suelos produce una disminución 
de la resistencia al esfuerzo cortante de los mismos y consecuente­
mente, una disminución de su capacidad de carga. Esto es fácilmente 
explicable tomando en cuenta lo expuesto en el Capitulo X II del 
Volumen I de esta obra, pues al fundirse el hielo y tratar el suelo 
de comprimirse, el agua experimentará presiones en exceso de la 
hidrostática, que sólo se disipan cuando el agua haya sido totalmente 
drenada, lo cual sucede normalmente en periodos de dos o tres 
meses, a no ser que se hayan tomado precauciones especiales en lo 
referente al drenaje.
1-3. Clasificación de suelos de acuerdo con su susceptibilidad a 
la helada
Según A. Casagrande2, un suelo puede considerarse como no 
susceptible a la helada si posee menos de un 3% de partículas me­
nores de 0.02 mm. El intervalo crítico en el cual el material empieza 
a mostrarse susceptible está entre 3% y 10% de contenido de aque­
llas partículas, dependiendo de sus características granulométricas.
Los suelos susceptibles a la acción de las heladas pueden clasifi­
carse como se muestra en la Tabla 1-1, ampliamente usada por los 
técnicos de todo el mundo. En esa tabla los suelos aparecen agrupa­
dos en orden creciente de susceptibilidad.
MECANICA DE SUELOS (II) 5
6 CAPITULO I 
TABLA 1-1
GRUPO TIPO DE SUELO
Fi Gravas con 3% a 20% de partículas menores que 
0.02 mm.
f 2 Arenas con 3% a 15% de partículas menores que 
0.02 mm.
F 3—a Gravas con más del 20% de partículas menores que 
0.02 mm.
F ,~ b Arenas (excepto las finas limosas), con más del 
15% de partículas menores de 0.02 mm.
F t—c Arcillas (excepto finamente estratificadas) con 
lp > 12
F*~a Todos los limos inorgánicos, incluyendo los arenosos
F t—b Arenas finas limosas con más del 15% de partícu­
las menores de 0.02 mm.
F t—c Arcillas con 7p < 12
F t~ d Arcillas finamente estratificadas
Los suelos más peligrosos desde el punto de vista de la acción 
de la congelación son aquellos en que se combine la granulometría 
más fina, con la mayor permeabilidad; por ejemplo, las arcillas fina­
mente estratificadas con muy delgadas capitas de arena, son los suelos 
más peligrosos; también los limos, las arenas limosas y las arcillas 
relativamente poco plásticas.
En general, se recomienda no usar los suelos F t cuando se tema 
una acción climática intensa. Especialmente resultan contraindicados 
en caminos y aeropistas.
1-4. Indice de congelación
La profundidad de la zona de congelación de un suelo depende, 
según se dijo, tanto de la duración, como del valor de las tempera­
turas que el ambiente alcance bajo el punto de congelación. Para 
tomar en cuenta ambos factores en la profundidad de penetración 
de una helada, se ha creado el concepto de Indice de congelación. 
(Ic).
Para los efectos que siguen, se entenderá por un número de 
grados-día (°C-día) la diferencia entre la temperatura media diaria 
y la temperatura de congelación del agua. Expresando la tempera­
tura en grados centígrados, la temperatura de congelación del agua 
es 0‘ C y el número de grados-aías coincide con la temperatura 
media diaria.
Si se dibuja para un invierno una gráfica acumulativa de grados- 
día contra el tiempo, expresado en días, se obtiene una curva del 
tipo de la mostrada en la fig. 1-2.
MECANICA DE SUELOS (II) 7
En dicha gráfica el índice de congelación puede calcularse como 
el número de grados-dia entre los puntos máximo y mínimo de la 
curva. El índice de congelación está, así, ligado a un invierno dado.
El índice normal de congelación se define como el promedio 
de los índices de congelación de un lugar, a lo largo de un lapso de 
tiempo prolongado, usualmente diez o más años.
La aplicación principal de estos conceptos ha sido hecha en la 
construcción de caminos y aeropistas, en donde se tienen curvas ex­
perimentales sobre los espesores mínimos de material no suscepti­
ble, que deben colocarse para proteger al suelo situado bajo la 
subrasante de los efectos de la congelación. Es normal dar estos 
espesores de protección en términos del índice normal de congela­
ción de las regiones de que se trate, correspondiendo, como es obvio, 
los mayores espesores de capas protectoras a los mayores índices.
8 CAPITULO I
REFERENCIAS
1. Terzaghi, K. — Pe-rmafrnx¡ — Harvard Soil Mecbanics Serles N* 3 7 — Univer­
sidad de Harvard— 1952.
2. Casagrande, A. — Notas de clase no publicadas, reproducido en Transactions 
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J
BIBLIOGRAFIA
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Ingeniería de Carreteras— L. I. Hewes y C. H. Oglesby— (Trad. O. M. Bece- 
rril) — Ed. Continental — México, D. F .— 1959.
CAPITULO II
DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN LA MASA DEL SUELO
H-l. Introducción
En este capítulo se trata el problema de importancia fundamen­
tal en Mecánica de Suelos, de la distribución de los esfuerzos apli­
cados en la superficie de una masa de suelo a todos los puntos de 
esa masa. En realidad puede decirse que tal problema no ha sido 
satisfactoriamente resuelto en suelos. Las soluciones que actualmente 
se aplican, basadas en la Teoría de la Elasticidad, adolecen de los 
defectos prácticos acarreados por las fuertes hipótesis impuestas 
por las necesidades de la resolución matemática tan frecuentes, in­
fortunadamente, en aquella disciplina. Sin embargo, hasta hoy, la 
Mecánica de Suelos no ha sido capaz de desarrollar sus propias 
soluciones más adaptadas a sus realidades, por lo cual resulta im­
prescindible recurrir aún a las teorías elásticas. Los resultados que 
se obtengan en las aplicaciones prácticas deberán siempre de verse 
con el debido criterio y, no pocas veces, ajustarsecon la experiencia. 
El hecho real concreto es, empero, que de la aplicación de las Teo­
rías en uso, el ingeniero civil actual logra, en la inmensa mayoría 
de los casos prácticos, una estimación suficientemente aproximada de 
los fenómenos reales en que está interesado, de manera que le es 
posible trabajar sus proyectos y materiales con factores de seguridad, 
por ejemplo, que no desmerecen nunca y frecuentemente aventajan 
a los empleados en otras ramas de la ingeniería. Sería infantil creer, 
por otra parte, que de la aplicación de las teorías expuestas ade­
lante puedan calcularse los asentamientos de una estructura, por 
ejemplo, con profética seguridad; los cálculos proporcionarán al inge­
niero, en el mejor de los casos (y también en el más frecuente), el 
orden de magnitud de tales asentamientos, pero, normalmente, de un 
modo suficientemente aproximado como para poder normar el criterio 
del proyectista, de modo que éste pueda combatir los efectos nocivos 
con eficacia práctica. Podría decirse que, desde el punto de vista 
de la Mecánica de Suelos, existen dos problemas en la aplicación de 
las teorías elásticas y de la teoría de la consolidación unidimensional 
al cálculo de asentamientos: uno, el teórico, dista de estar resuelto y 
exige, aún mucho del esfuerzo de los investigadores; otro, el práctico, 
relativamente resuelto, pero susceptible de mejoramiento, pues hoy
9
IÜ CAPITULO II
los proyectos relativos a suelos pueden tratarse con razonable segu­
ridad y economía.
II-2. El problema de Boussinesq
Los esfuerzos que una sola carga vertical concentrada actuante 
en la superficie horizontal de un medio semiinfinito, homogéneo, isó­
tropo y linealmente elástico, induce en los puntos de cualquier 
vertical trazada en el medio, fueron calculados por vez primera por 
Boussinesq *.
En la fig. 11-1, P representa la 
carga concentrada actuante según 
la vertical: (x, y, z) son las coor­
denadas del punto en que se calcu­
lan los esfuerzos, referidas a un 
sistema cartesiano ortogonal cuyo 
origen coincide con el punto de 
aplicación de P.
Si r es la distancia radial de A' 
a 0 y i)/ el ángulo entre el vector 
posición de A (R ) y el eje Z, los 
esfuerzos en el punto A pueden 
escribirse
FIG . I l-I . E sfuerzos p ro v o c a d o s en un 
p u n to d e una m asa d e suelo 
p o r una c a rg a c o n c e n tra d a
3 P eos11 _ 3 P z“
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2 tzz* eos3 vj;
eos2 4< 
1 + eos
3 PXrc = eos4 di sen J/2 n r
( 2-2 )
(2-3)
(2-4)
En el Anexo Il-a se presenta la deducción de las anteriores 
expresiones, por métodos familiares en Teoría de Elasticidad.
En la práctica de la Mecánica de Suelos la expresión 2-1 es, 
con mucho, la más usada de las anteriores y su aplicación al cálculo 
de asentamientos es de fundamental importancia. A este respecto se 
hace necesario recalcar que las expresiones arriba escritas, en par-
MECANICA DE SUELOS (II) 11
ticular la 2-1, se han obtenido suponiendo que el material en cuyo 
seno se producen los esfuerzos que se miden es homogéneo, isótropo, 
linealmente elástico y semiinfinito, limitado por una sola frontera 
plana. Es evidente que el suelo no es homogéneo, pues sus propieda­
des mecánicas no son las mismas en todos los puntos de su masa; ni 
isótropo, pues en un punto dado esas propiedades varían, en general, 
en las distintas direcciones del espado; ni linealmente elástico, pues, 
las relaciones esfuerzo-deformación de los suelos no son las que 
corresponden a ese comportamiento. Por último, tampoco es semiin­
finita ninguna masa de suelo.
De hecho no debe dejar de mencionarse que la aplicación más 
frecuente en Mecánica de Suelos de las fórmulas de Boussinesq 
estriba en el cálculo de asentamientos de los suelos sujetos a conso­
lidación, vale decir de arcillas y suelos compresibles, en los que 
algunas de las hipótesis teóricas, la elasticidad perfecta, por ejemplo, 
distan de satisfacerse en forma muy especial, aún dentro de los 
suelos en general.
Para la aplicación práctica de la fórmula 2-1 es conveniente 
expresarla como sigue (fig. II -l) .
3 P z3 3 P
2 tt (r- + z- ) 5/2 
que puede escribirse en forma adimensional
1 -V*
(Tí P
de donde
1 + (t ) =
<Tz = A - Po
(2-5)
( 2 -6 )
con
(2 7:
En el Anexo Il-b se presenta una tabla de valores de P0 en 
función de la relación r/z. Así, para encontrar el valor de un esfuerzo 
normal vertical, at, con la ayuda de la tabla, basta medir la distancia 
r del punto de aplicación de la carga al punto de la superficie (A') 
exactamente arriba del punto de la masa en que se mide el esfuerzo
(A ) y dividir ese valor de r, entre la z correspondiente al plano en 
que se calcula el esfuerzo (distancia entre el plano de aplicación 
de la carga y el plano en que se sitúa al punto en que se calcula el 
esfuerzo). Con el valor de esta relación, r/z, se selecciona el valor 
de P0 correspondiente y se calcula el esfuerzo aplicando la ec. 2-6.
n-3. Extensión de la fórmula de Boussinesq a otras condiciones 
de carga comunes
12 CAPITULO II
La carga única concentrada cuyo efecto se ha analizado en la 
sección II-2, aunque de acción común en la práctica, no constituye 
el único caso que es necesario estudiar. Otras condiciones de carga
muy comunes se pre­
sentan a continuación 
en. forma concisa, sin 
entrar, en general, a 
los detalles matemáti­
cos de la obtención de 
las fórmulas que se in­
cluyen.
En la figura II-2 
aparece una carga li­
neal, uniformemente 
distribuida en la lon­
gitud y, de p unida­
des de carga, por uni­
dad de longitud. El 
valor de o* en un pun­
to de la masa bajo 0 
puede obtenerse fácil- 
FIG . 11-2. Distribución de esfuerzos con carga lineal de mente integrando la 
longitud finita expresión 2-1 a lo lar­
go de la línea de car­
ga, resultando
<r* = yz3 1
2it (x2 + z2) V* 2 + y2 + z ( — LVx2 + y2
+
y2 + z2 x°- + z2
( 2-8 )
La anterior expresión 2-8 puede ponerse en forma adimensional, 
introduciendo los parámetros
En función de tales parámetros, la ec. 2-8 resulta
z_ _ l___________ n_____________ / 1 2 \
" p 2tc (m2 + 1) Vm2 + n2 + 1 Vm* + n2 + 1 m2 + l j
(2-9)
lo cual puede expresarse como
a ,.- ~ = Po (2-10)
En donde p0 es el segundo miembro de la expresión 2-9.
El valor de p0 fue tabulado para diferentes valores de m y n por 
R. E. Fadum2 y en el Anexo II-c aparecen las gráficas que responden 
a tal tabulación debidas al mismo investigador.
Así, para encontrar el valor de un esfuerzo tr*, en cualquier punto 
A debido a una carga lineal de longitud finita, utilizando la gráfica 
del Anexo II-c, basta medir las distancias x y y, tal como se definen 
en la fig. II-2 y dividir estas distancias entre la profundidad z para 
obtener los valores de m y n, respectivamente; con ellos, la gráfica 
proporciona directamente el valor de influencia correspondiente, p0. 
El esfuerzo a¡ se determina con la ecuación:
MECANICA DE SUELOS (II) 13
Si se desea calcu­
lar el valor de a j bajo 
un punto 0', diferente 
de 0, podrá conside­
rarse que la carga li­
neal tiene la longitud 
9 + y' Y proceder a 
calcular así el a"\ des­
pués habrá de calcu­
larse el esfuerzo co­
rrespondiente a una 
longitud y' (cr*'"). El 
Hz deseado será, evi­
dentemente_ / — - // _
Car — <T« fJz
Si se usa la gráfica 
propuesta, el sistema 
coordenado ortogonal 
de referencia debe es­
cogerse de modo que 
el eje Y sea paralelo a 
la carga lineal y el X 
normal a ella, por SU F|S n.3 D}sfr¡hue}¿„ J , „finnt* bafr una tapcrfícia 
extremo. rectangular un'formamnnt• cargada
<y. = T P o ( 2- 11)
Un caso de condición de carga aún más interesante en la práctica 
que el anterior es el que corresponde a la fig. II-3, en la que se 
analiza la influencia en la masa del continuo homogéneo, elástico e 
isótropo de una superficie rectangular uniformemente cargada, con 
w unidades de carga por unidad de área.
El esfuerzo az bajo una esquina de la superficie cargaday a una 
profundidad z. puede obtenerse por integración de la ec. 2-1 en toda 
el área rectangular, obteniéndose la expresión
ff. = W ( 2xü2 (x '' + r + z-)u" . IT + y- + 2 z2
4 t:Vz'-(.xl‘ + y- + z-) + x2 y- x2 + y- + z~
14 CAPITULO II
4 anq tg ^ Z \ .,) (2-12)
z - ( x - + y + z2) x2 y 1 ' 7■)
Adoptando los parámetros m y ti, tales que m — - y n = (ahora
intercambiables), la ec. 2-12 puede escribirse adimensionalmente 
como
ff* _ 1 (2 m n(m2 + n2 4- 1)1/2 m2 + n* + 2
w 4 ttV (m" + n’ + 1 ) + m"ri- nv + r + 1 "**
. 2 m n (m2 + n2 + 1) ,/2\ . _ , , 4
Si al segundo miembro de esta ecuación se le llama w0, puede 
tabularse su valor en función de distintos m y n. Esta labor fue
también realizada por Fadum2 y en el Anexo Il-d se muestra una
gráfica con los resultados de la tabulación.
Para encontrar el valor de <r~ en un punto A bajo una esquina de 
la superficie rectangular uniformemente cargada se procede a calcular 
las distancias x y y (fig. II-3), con las que pueden obtenerse los va­
lores d e m v n para diferentes profundidades z a lo largo de la ver­
tical. Con la gráfica del Anexo Il-d puede calcularse ahora w0 y 
aplicar la ecuación
ffz — w • w0 (2-14)
Así se tiene el valor de ffz, correspondiente a cada profundidad z.
Debe notarse que el sistema coordenado base respecto al cual se 
calculó el gráfico del Anexo Il-d es tal que su origen coincide pre­
cisamente con la esquina del área rectangular uniformemente carga­
da. Si se desean calcular los esfuerzos bajo otro punto, tal como el 
A! de la fig. 11-3, podrá procederse haciendo substracciones y adi­
ciones convenientes al área cargada. Por ejemplo, en el caso del 
punto A’, podría calcularse el cr/ correspondiente al área hipotética 
BO’FD ; después los ai" y az,y substractivos correspondientes a las 
áreas BO'HO y CO'FE, debiendo notarse que al hacer estas subs­
MECANICA DE SUELOS (II) 15
tracciones, el área CO'HG se restó del total inicial dos veces, por lo 
que será necesario calcular el esfuerzo cr*' por ella producido y to­
marlo como aditivo una vez. El esfuerzo cr'~ deseado será
Un caso especial de gran importancia práctica es el que corres­
ponde al cálculo de esfuerzos a lo largo de una normal por el centro 
de un área circular uniformemente cargada (tv — presión uniforme). 
El caso aparece en la fig. 11-4.
El esfuerzo <r~ en cualquier punto de la vertical bajada por el 
centro del círculo cargado puede obtenerse también integrando la 
ec. 2-1 a toda el área circular. El proceso se realiza a continuación 
con referencia a la fig. II-4, para ilustración de los casos análogos 
que se han venido mencionando.
Definiendo un A A como se muestra en la figura citada se tiene
Esa carga, según la expresión 2-1 produce a una profundidad z, 
en un punto como el A, un esfuerzo vertical A<r2.
A A = pApAO 
En esa área obrará una carga AP
AP = wpApAO
3AP Acr* = —2tz (x2 + y2 + z2)*'2
Entonces:
ya que x2 + y2 = p2
Agrupando
AoV~ 2-x Z* (p2 + z2) 5/2 ApA0
A
El esfuerzo <r2 correspondiente 
a toda el área resultará de llevar a 
la expresión anterior al límite y de 
aplicar la definición usual de in­
tegral de superficie.
FIG . 11-4. Distribución del esfuerzo boj o 
el centro de una superficie 
circular uniformemente car­
gada
16 CAPITULO II
<Tz = JÍ
3wz3 
2 tz
3wz3
( p2 + 2 2 )5 /2
dpdQ Í
2TT fT 
* (p* + z*yn dp =
[2u] r j L i 1 T = ^ f 1 1 . 1L 2 3 (p2 + z2)3/2 Jo l_z3 (r* +2tc L“ " J L 2 3 (p2 + 
De donde, finalmente
3/2̂
donde
Lo anterior puede escribirse aún
(Tz — u> ■ W 0 
* 1tv0 “ 1
1 +
m
a/2
(2-15)
(2-16)
(2-17)
Los valores de w0 pueden tabularse en función de los correspon­
dientes de r/z. En el Anexo Il-e se presenta la tabulación en cues­
tión. Encontrando w0, el valor de <rz resulta simplemente de la 
aplicación de la fórmula 2-16.
En muchos casos se han de cimentar estructuras sobre suelos 
compresibles que contienen finos estratos de arena o limo alternados 
con otros de arcilla (arcillas finamente estratificadas). El Dr. A. 
Casagrande hizo notar que, en estos suelos, las láminas de arena o 
limo actúan como refuerzos del conjunto que restringen la defor­
mación horizontal de la arcilla. H. M. Westergaard8 obtuvo una 
solución de este problema para el caso extremo en que las deforma­
ciones horizontales fueran nulas. De acuerdo con esta solución el 
esfuerzo vertical debido a la acción de una sola carga vertical con­
centrada superficial, actuante sobre un medio semiinfinito, que se 
comporte según la ley de Hooke, pero que tenga totalmente restrin­
gida su deformación horizontal, está dado por
donde
2iz (jc2 -I- y2 + K 2z*) 3/2 
I 1 2 p,
K - y ] 2 ( ¡ - ü r
(2 -1 8 )
(2 -1 9 )
Siendo p, la relación de Poisson para el material arcilloso blando.
Análogamente al caso de las soluciones obtenidas a partir de la 
de Boussinesq, se cuenta en la actual literatura con ecuaciones y 
gráficas que permiten extender la solución de Westergaard a otras 
condiciones de carga, análogas a las vistas; sin embargo, estos grá­
ficos se omiten en esta obra por considerarse que son pocos los 
casos prácticos que ameritan su aplicación.
MECANICA DE SUELOS (II) 17
H-4. Algunas otras condiciones de carga con interés práctico
A continuación se mencionan algunos trabajos tendientes a resol­
ver el problema de transmisión de esfuerzos al continuo semiinfinito, 
homogéneo, isótropo y linealmente elástico, provocados por cargas 
superficiales obedientes a diferentes leyes de distribución de interés 
práctico.
a) Carga lineal de longitud infinita
Si en la expresión 2-8, correspondiente a la influencia de una 
carga lineal de longitud finita, y, esta magnitud crece hasta ser 
mucho mayor que las x y z que intervengan en el caso, su valor 
podrá considerarse como ( + oo ) y, en tal situación el valor cr, tiene 
por limite
P z 3
°* (2-20> ■re (x:2 + z ) 2
Que corresponde al esfuerzo en un punto situado en el plano 
normal a la línea de carga, trazado por su extremo, extendiéndose 
la línea infinitamente desde el punto origen de coordenadas, en la 
dirección del eje Y, hacia ( + oo), (carga semiinfinita).
Si la línea de Carga se extiende también infinitamente en el sen­
tido ( — oo) (carga infinita) el esfuerzo crz. a la profundidad z, en 
un plano normal a la línea trazada por el origen de coordenadas, es 
simplemente el doble del dado por la ec. 2-20.
b) Area circular uniformemente cargada
Este caso ya ha sido tratado en el párrafo precedente, pero 
únicamente para encontrar los esfuerzos verticales a lo largo de una 
normal al área trazada por su centro. L. Jürgenson* presenta una 
solución más general, que permite calcular los esfuerzos verticales y 
los cortantes máximos en cualquier punto del medio semiinfinito. En 
la fig. II-5 aparece una gráfica en que se vacía la solución antes 
mencionada.
3— Mecánica de Suelos II
18 CAPITULO II
FIG. 11-5. Distribución de esfuerzos verticales y cortantes misimos bajo un área circu­
lar uniformemente cargada
c) Carga rectangular de longitud infinita
Este caso, fig. II-6, ha sido resuelto por Terzaghi y Carothers4, 
quienes dieron las fórmulas que proporcionan los distintos esfuer­
zos.
Estas fórmulas son
o-* = — [a + sen a eos 2p] <xx = — [a — sen a eos 2¡S]% Tt
t*» = — sen a sen 2(3 (2-21)%
Los esfuerzos principales y el cortante máximo están dados por
ffi = — (a + sen a) = — (a — sen a)ir
Tmfa = — sen a (2-22)u
MECANICA DE SUELOS (II) 19
F IS . 11-6. Distribución de esfuerzos bajo una carga rectangular de longitud infinita
La dirección en que actúa el esfuerzo principal mayor, crlt es 
la de la bisectriz del ángulo a.
El esfuerzo Tmt*. actúa, naturalmente, a 45° respecto a la ante­
rior dirección.
En la fig. II-7 aparece una gráfica que da los valores de ov y 
de iz. en los distintos puntos del medio semiinfinito.
d) Carga triangular de longitud infinita, (triángulo isósceles)
La solución para este caso fue propuesta por Carothers4 y se 
refiere a la fig, II-8,
20 CAPITULO II
FIS . 11-8. Distribución do osfuunot bajo una carga triangular da longitud infi­
nita (triángulo ¡táscalas)
Las expresiones son:
f f z = ĵ ai + a2 + (ai — a2)
= í r [ ai + az + y (ai — (L*) ~ T ln ’t t ] (2 -2 3 )
= — -j-{ ai — a2)u b
En la fig. II-9 aparece la solución gráfica de las ecuaciones 
anteriores para los valores de o* y íx.
Este caso reviste importancia práctica especial por su aplicación 
a presas de tierra.
MECANICA D E SUELOS (II) 21
F IS . 11-9. Distribución de estuarios verticales y cortantet máximos bajo yna carga 
triangular de longitud infinita (triángulo ¡tásceles)
c) Carga triangular de longitud infinita ( triángulo escaleno)
También Carothers4 dio la solución general para este caso, con 
las fórmulas
* = - í [ t - + £ ± Í = £ » - t ^ - t , * ^ I « j - 2 4 >
Que pueden interpretarse en la fig. II -10.
Las expresiones anteriores son susceptibles de tabulación sencilla 
en cualquier caso práctico.
22 CAPITULO II
FIG . 11-10. Distribución de esfuerzos bajo una carga triangular de longitud infi­
nita (triángulo escaleno)
f) Carga triangular de longitud finita (triángulo rectángulo)
Este importante caso práctico fue resuelto por Hamilton Gray6, 
quien dio para los esfuerzos fórmulas que se incluyen a continuación
Bajo el punto O ( fig. II-l 1).
— p° •k (z v d + B2 + z2 z_____
B \ L2 + z2 V X2 +
. B BL \
T a° 9 " w n n w m ( 2 - 2 5 )
y bajo el jjunto Q
9 t ~ 2n B ( v ¿ 2 + z2 (B2 + z2) V ^ 2 + L2 + z2) *2' 26^
El mismo investigador arriba citado proporciona soluciones grá­
ficas de esas ecuaciones. En las figs. 11-11 y 11-12 se muestran las 
curvas correspondientes.
Es de notar que, con la ayuda de estas gráficas puede encon­
trarse el valor de cz bajo cualquier punto del área rectangular suje­
ta a la carga triangular; para éllo será necesario usar dichas gráficas 
reiteradamente, haciendo las adiciones y substracciones que sean 
pertinentes para poder poner al punto cualquiera o bien en la con­
dición de O o en la de Q. Para resolver estos problemas pueden 
usarse cualesquiera de las distribuciones de carga ya vistas y que 
convengan en cada caso.
MECANICA DE SUELOS (II) 23
FIG . II-11. Etfunnot verticales Inducido* bajo ni punto 0, por una carga trkmgular dn 
longitud finita (triángulo rectángulo)
Lo anterior implica la hipótesis de que el principio de la super­
posición de causas y efectos es aplicable a los problemas de la 
naturaleza tratada.
Si se suman las ordenadas de cualquier curva de "n” en la fig*
11-11 con las correspondientes de la fig. 11-12, los resultados repre­
sentan las ordenadas provenientes del diagrama de Fadum para una 
carga uniformemente distribuida sobre el área rectangular.
V
A
L
O
R
E
S
 
D
E
24 CAPITULO II
V A L O R E S DE m
FIG . 11-12. Esfuerzos verticales inducidos bajo Q por una carga triangular da longitud 
finita (triángulo rectángulo)
g) Carga trapecial de longitud infinita
El problema, resuelto también por Carothers4 tiene, según la fig.
11-13, las siguientes soluciones
MECANICA DE SUELOS (II) 25
i Z
Fl©. 11-13. Distribución de esfuerzos bajo una carga trapecial de longitud infi­
nita (trapecio rectángulo)
Desde luego, todas estas ecuaciones son fácilmente tabulables 
para el trabajo en un problema práctico, pero para mayor facilidad, 
en la fig. 11-14 se incluye una solución gráfica dada por J. O. Os- 
terberg para los puntos indicados.
El presente caso es de muy especial importancia práctica por 
permitir el cálculo de los esfuerzos inducidos por un terraplén. Para 
resolver este problema bajo el centro del terraplén bastará multi­
plicar ̂por dos el valor de cz obtenido para cada profundidad z, con 
la gráfica presentada. Si se desean calcular los esfuerzos bajo el 
centro del extremo final de un terraplén supuesto semiinfinito en 
longitud, bastará aplicar la mitad del valor de rsz obtenido para el 
terraplén completo de longitud infinita.
h) Plano semiinfinito uniformemente cargado
El problema resuelto por Carothers4 se esquematiza en la fig.
11-15. Los esfuerzos actuantes pueden calcularse con las fórmulas
* = ■ £ [ ) + ? ]
( » >
t«* = — sen2 S %
26
*-h 0 .4 0
O
Z
UJ
O
- i 0 .3 0
UJ
o
c/> °*20
UJ 
QC 
O
<
>
CAPITULO II
0 .5 0
a/z
F IG . 11-14. G ráfica da valoras da influencia para al cálculo da esfuenos varticalas 
debido a la sobrecarga impuesta por una carga trapecial de longitud 
infinita (según J . O . Osterbarg)
Los esfuerzos principales en los distintos puntos del continuo de 
suelo están dados por
cri = — f (3 + sen (i]TU
cx3 = — [0 — sen 0] (2-29)
p
tai*. = — sen 0 TZ
MECANICA DE SUELOS (II) 27
cargado
FIG . 11-16. Distribución de esfuerzos bajo un plano semiinfinito, uniformemente 
cargado, con talud
i) Plano semiinfinito, uniformemente cargado, con talud
La solución a este problema también es debida a Carothers4 y 
responde a las siguientes ecuaciones, relacionadas con la fig. 11-16
(2-30)
0* = — 
*
[ » ♦
* ' = i \ [p +
t - f - -'•xa —----
75
z
— a 
b
28 CAPITULO II
FIG. 11- 17. D hfribuciin do m fm nos bajo bu plano infinito uniformomonto car­
gado con taja trapecial no cargada do longitud infinita
j ) Plano infinito uniformemente cargado con faja trapecial descar­
gada de longitud infinita
Los esfuerzos en cualquier punto de la masa de suelo en este caso 
pueden resolverse con las siguientes ecuaciones, debidas a Garo- 
thers4, fig. 11-17.
0V = A £(0 + 0i) — j- (a + ai) + - j - (a — ai)J
= A ["(P + fc) - A ( a + a i) + J L ( « _ « , ) +
ti L a a a fi r i J
t» = A J jA (a — ai>J (2-31)
n-5. La carta de Newmark
Newmark6 desarrolló en 1942 un método gráfico sencillo que 
permite obtener rápidamente los esfuerzos verticales (o*) trans­
mitidos a un medio semiinfinito, homogéneo, isótropo y elástico 
por cualquier condición de carga uniformemente repartida sobre la 
superficie del medio. Esta carta es especialmente útil cuando se tie­
nen varias áreas cargadas, aplicando cada una de ellas, diferentes 
presiones a la superficie del medio.
El método se basa en la ec. 2-15 correspondiente al esfuerzo ver­
tical bajo el centro de un área circular utíiformemente cargada. Esta 
ecuación puede escribirse
« = !-(. I V /2
w \ 1 + (t / z Y )
Si en esta ecuación se da a crz/w el valor 0.1 se encuentra que r/z 
resulta ser 0.27; es decir, que si se tiene un círculo cargado de 
radio r = 0.27z. donde z es la profundidad de un punto A bajo el 
centro del círculo, el esfuerzo en dicho punto A será
— 0.1 w
Si este círculo de r = 0.27 z se divide en un número de segmentos 
iguales (fig. 11-18), cada uno de ellos contribuirá al esfuerzo <r, total 
en la misma proporción. Si el número es 20 como es usual en las 
cartas de Newmark, cada segmento cooperará para el esfuerzo c* con 
0.1w/20 = 0.005 w. El valor de 0.005 es el valor de influencia corres, 
pondiente a cada uno de los segmentos circulares considerados.
Si ahora se toma a jw = 0.2, resulta tjz — 0.40; es decir, para el 
mismo punto A a la profundidad z, se requiere ahora un círculo carga­
do de r = 0.40 z, para que el esfuerzo <r* sea igual a 0.2 w.
MECANICA DE SUELOS (II) 29
Concéntrico con el anterior puede dibujarse otro círculo (fig. II- 
18) con dicho r = 0.40 z. Como el primer circulo producía en A un
cTu = 0.1 w, se sigue que la corona circular ahora agregada produce otro 
cr* = 0.1 w (de modo que el nuevo círculo total genera <TZ = 0.2 w) . 
Así, si los radios que dividían el primer círculo se prolongan has­
ta el segundo, se tendrá la corona subdividida en áreas cuya influen­
cia es la misma que la de los segmentos originales. (0.005 w ).
De esta manera puede seguirse dando a ae/w valores de 0.3, 0.4, 
0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 obteniendo así los radios de círculos concéntri­
cos en función de la z del punto A, que den los esfuerzos 0.3 w, 
0.4 w, etc. en el punto A. Prolongando los radios vectores ya usados 
se tendrá a las nuevas coronas circulares añadidas subdivididas en 
áreas cuya influencia esigualmente de 0.005 w sobre el esfuerzo en A.
Para z/w = 1 .0 resulta que el radio del círculo correspondiente 
es ya infinito, para cualquier z diferente de cero, por lo que las áreas 
que se generan por prolongación de los radios vectores fuera del 
círculo en que z/w — 0.9, aun siendo infinitas, tienen la misma 
influencia sobre A que las restantes dibujadas.
En el Anexo Il-f se presenta una carta de Newmark construida 
para el valor de z que se indica.
Para encontrar el valor de cr* en puntos con diferentes profundi­
dades que el A puede precederse en forma similar, construyendo otras 
cartas de Newmark, con base en otros valores de z. Debe notarse 
sin embargo, que el valor de depende sólo del valor de la relación 
r/z, por lo que una sola carta de Newmark puede usarse para deter­
minar los <Tz a distintas profuiididades, a lo largo de la vertical por 
el centro de los círculos concéntricos, con tal de considerar que la z 
usada para la construcción de la carta representa las distintas pro­
fundidades a que se desea calcular los esfuerzos, si bien a diferentes 
escalas.
Puesto de otra forma, en la práctica se puede hacer funcionar la 
carta de Newmark de dos maneras distintas.
a) Usando varias cartas de Newmark. Por ejemplo, si las z usa­
das para la construcción de las cartas son 1 cm, 2 cm, 5 cm, 10 cm 
y 20 cm y se tiene un área cargada, cuya influencia se desea deter­
minar, representada a escala 100, las cartas proporcionarían los 
<sz producidos por tal área a profundidades de 1 m, 2 m, 5 m, 10 m y 
20 m, que son las z utilizadas a escala 100.
b) Usando una sola carta de Newmark, para lo cual será preciso 
disponer de varias plantillas del área cargada cuya influencia se es­
tudia, dibujadas a escalas diferentes. Así, por ejemplo, si la carta de 
que se dispone fue construida con base en una z de 10 cm, y se 
desea conocer el o» que se produce a las profundidades de 2 m, 5 m, 
10 m y 20 m, deberán construirse las plantillas a escalas tales que esas 
profundidades queden representadas por la z = 10 cm; es decir, a 
escalas: 20, 50, 100 y 200.
La plantilla del área cargada, dibujada en papel transparente, se 
coloca en tal forma que el centro de 1? carta coincida con el punto
30 CAPITULO II
bajo el cual quieran calcularse los cr*. A continuación se contarán 
los elementos de área de la carta cubiertos por dicha área cargada, 
aproximando convenientemente las fracciones de elemento. El número 
así obtenido, multiplicado por el valor de influencia común de los 
elementos (en el desarrollo anterior 0.005) da el valor de influencia 
total, que multiplicado por la w que se tenga da el o# deseado.
Posiblemente la máxima utilidad del método de Newmark apa­
rezca cuando se tiene una zona con diversas áreas cargadas unifor­
memente, pero con cargas de distintas intensidades, pues en este 
caso los métodos antes vistos requerirían muchos cálculos, mientras 
que la carta de Newmark funciona sin mayor dificultad.
n-6. Estudios sobre sistemas no homogéneos
Burmister12,13,14 estudió el problema de la distribución de esfuer­
zos y desplazamientos en un sistema no homogéneo formado por 
dos capas, cada una de ellas homogénea, isótropa y linealmente 
elástica. La primera capa es infinita horizontalmente, pero'tiene 
espesor finito, h. La segunda capa, subyacente a la anterior, es 
semiinfinita. Se supone que entre las dos capas existe un contacto 
continuo, siendo la frontera plana entre ellas perfectamente rugosa. 
E\ y E 2 son los módulos de elasticidad de las dos capas; se estudió 
el caso de interés práctico, con aplicación al diseño de pavimentos, 
en el cual E x» E t.
Coeficiente de influencia del esfuerzo vertical, (Tz/P
MECANICA DE SUELOS (II) 31
FIG . I I-19. Curvas de influencia de esfuenos verticales transmitidos en un sistema de 
dos capas elásticas (según Burmister)
En la fig. 11-19 se muestran las curvas de influencia de la carga 
superficial, supuesta circular y uniformemente distribuida, en lo refe­
rente a los esfuerzos verticales bajo el centro del área cargada, supo­
niendo que el radio del circulo de carga es igual al espesor de la 
primera capa. Las curvas mostradas se refieren a distintas relaciones 
E i/ E 2 en materiales cuya relación de Poisson se fijó en el valor 0.5 
para ambas capas.
Puede notarse que en la frontera y para el caso E 1/E 2 = 1, que 
corresponde al problema de Boussinesq ya tratado, el esfuerzo verti­
cal es el 70% de la presión aplicada en la superficie, en tanto que
32 CAPITULO II
FIG . 11-20. Comparación do la distribución do otfnonos verticales on un modio homo­
géneo y on un sistema do dos capas
si E J E 2 se considera de 100, dicho valor se reduce a sólo un 10% 
de la presión superficial.
En la fig. 11-20 se muestra una comparación de las distribucio­
nes del esfuerzo vertical en un medio homogéneo en el sistema de 
dos capas para el caso en que E JE ? — 10, p = 0.5 y t/h = 1. La 
figura se complementa con la 11-19, en el sentido de que muestra 
los esfuerzos en cualquier punto de la masa del medio y no sólo en la 
vertical.
Según el análisis teórico efectuado por Burmister, el desplaza­
miento vertical elástico en la superficie del sistema está dado por la 
expresión
A = 1.5 (2-32)
donde
A = desplazamiento vertical en la superficie del sistema 
F — factor adimensional de desplazamiento, que depende de la 
relación E JE ? y de la relación h/r 
p = presión uniforme en el área circular 
r = radio del círculo cargado 
E 2 = Módulo de Elasticidad de la segunda capa, semiinfinita.
En la fig. 11-21 aparece una gráfica que da los valores de F para 
diferentes relaciones de las que tal factor depende.
Para el uso de esa gráfica es preciso determinar primeramente 
los valores numéricos de E x y E 2, lo cual se logra por medio de prue­
bas de placa. En el caso de que la placa transmisora de las cargas 
sea idealmente rígida, la ec. 2-32 se modifica a la forma
'A = 1 .1 8 F | r (2-33)
Si se coloca una placa rígida sobre el material que va a constituir 
la segunda capa y se transmite presión, la fórmula 2-33 permite el 
cálculo de E 2 pues en tal caso F — 1, por tratarse de un sistema 
homogéneo de una sola capa. Efectuando la prueba de placa ahora 
en la superficie del sistema de dos capas, la expresión 2-33, nueva­
mente usada, permitirá el cálculo de i7 y la gráfica de la fig. 11-20 
proporcionará la correspondiente relación E JE ?, de la cual puede 
deducirse el valor de É?. Con los valores de E x y E?, así determi­
nados, pueden calcularse con las fórmulas anteriores y la gráfi­
ca 11-20 los desplazamientos verticales bajo el centro de cualquier 
área circular cargada aplicada en la superficie del sistema de dos 
capas.
Los resultados de Burmister se han aplicado sobre todo al diseño 
de pavimentos, fungiendo el pavimento como primera capa más rí-
MECANICA DE SUELOS (II) 33
4—Mecánica de Suelos II
34 CAPITULO II
- ........r... . .4
• Corga circular, p.uniforroomonto
• i = í i .
h
! primara capa d« Modulo do 
1 Elasticidad E,
i
Frontero porfoctamonto r u g o s a j Segunda capa.sem í-infinita, de
j Modulo de Elasticidad E ¿
R e la c ió n de P o ísso n * en om bas c a p a s .
FIG . 11-21. Factores de deformaciin para un sistema de dos capas
gida. Sin embargo, hasta hoy, los métodos analíticos emanados de 
estas teorías son menos confiables que otros más empíricos, pero de 
resultados más comprobados. Debe observarse que desde el punto 
de vista de transmisión de esfuerzos, las teorías de Burmister rinden 
resultados que hacen aparecer los obtenidos con la solución básica 
de Boussinesq como conservadores (por ejemplo, véase ref. 14).
Recientemente18 se han desarrollado algunos estudios en conexión 
con medios semiinfinitos no lineales y no homogéneos; es decir, con 
materiales que al ser sometidos a compresión simple muestran reía-
( f k
MECANICA D E SUELOS (II) 35
FIG. 11-22. Relación elástica no lineal entre esfuerzo y deformación en estado 
monoaxial de esfuerzos
ciones esfuerzo-deformacióndel tipo indicado en la fig. 11-22, que 
matemáticamente pueden expresarse
e = ( j J n > 1 (2-34)
Donde k es una constante característica del material. En el caso 
en que n = 1 la ec. 2-34 representará la ley de Hooke y k coincide 
con el módulo de elasticidad del medio.
Las conclusiones que parecen desprenderse de estos estudios son 
que en los suelos reales, que indudablemente se acercarán más en su 
comportamiento al tipo de deformación elástica sugerido, los es­
fuerzos verticales bajo la carga concentrada son menores que los de­
terminados haciendo uso de la teoría clásica de Boussinesq y que los 
desplazamientos verticales de los puntos bajo la carga ocurren en 
forma mucho más concentrada en la cercanía de la superficie que 
lo que se desprende de la mencionada teoría clásica. Es muy intere­
sante hacer notar que los estudios comentados parecen justificar la 
conocida regla empírica, ya mencionada en el Volumen I de esta 
obra, en el sentido de que, para el cálculo de asentamientos, es sufi­
ciente considerar las deformaciones del suelo hasta una profundidad 
comprendida entre una y media y dos veces el ancho del cimiento.
Es oportuno, finalmente, hacer notar que en Mecánica de Suelos, a 
pesar de las meritorias tendencias señaladas, el problema de distribu­
ción de esfuerzos en la masa del suelo dista de poder ser considerado 
como resuelto y es mucho aún lo que en estas direcciones ha de 
investigarse.
36 CAPITULO II
ANEXO H-a 
El problema de Boussinesq
Desde el punto de vista de la Teoría de la Elasticidad, el pro­
blema de Boussinesq es un caso particular del problema de Mindlin,7 
en el cual se supone la existencia de un sólido que ocupa la región 
del espacio z > 0, en cuyo interior obra una carga concentrada P, 
aplicada en el punto z = c, r = 0 (fig. II-a .l). Se trata de calcular 
el estado de esfuerzos en un punto cualquiera A de la masa.
El problema de Boussinesq es 
una particularización del anterior, 
resultado de hacer c = 0, con lo 
que la carga concentrada queda 
aplicada en la frontera del medio 
semiinfinito, homogéneo, isótropo 
y linealmente elástico.
La solución del problema puede 
lograrse por varios caminos, de­
pendiendo de la herramienta mate­
mática utilizada. En la ref. 8 se 
presenta un tratamiento elegante y 
expedito, basado en la aplicación 
de la transformación de Hankel; una solución muy general con he­
rramienta tensorial podrá verse en la ref. 9. En la ref. 10 se desarrolla 
un tratamiento matemático más simple, pero más laborioso. El tra­
tamiento que aquí se presenta está basado fundamentalmente en 
la ref. 11.
La carga concentrada produce en el medio un estado de esfuerzos 
y desplazamientos que evidentemente es simétrico respecto al eje de 
aplicación de la carga.
Las ecuaciones de Navier o de la deformación, que expresan 
las condiciones de equilibrio en función de las componentes del vector
desplazamiento v (vlt v2, u3), son
FIG. II-a .l. £/ p ro b le m a d e M in d lin
En donde p es el módulo de Poisson, G el módulo de rigidez
r _ E
2 ( 1 + ( i )
F (F i, F 2, Fa) las fuerzas de masa y (xu Xa. x¡) el sistema 
coordenado ortogonal de referencia.
Las ecs. 2-a.l tienen como variables únicamente a vlt v2 y v».
Multiplicando las ecs. 2-a.l por los versores ilf i2, t3 respectiva­
mente y sumando,
W + V div. v + £ = 0 (2-a.2)
Ecuación que ha sido llamada fundamental de la Teoría de la 
Elasticidad.
Si se aplica a 2-a.2 el operador div:
1 -* 1 -+
div. V 2u + - ̂ - div. V div. v + div. F — 0 (2-a.3)
Pero:
div. V 2 v — V z div. v — V 2e
y div. V div. = V a div. p = V 2e
Donde e es la deformación volumétrica o 1er- invariante del ten­
sor deformación.
Substituyendo lo anterior en la ec. 2-a.3 y simplificando
" / - I p T V ’ E + b div- ^ = 0 (2'a,4)
Se supondrá ahora la existencia dé una función <f>, potencial de 
fuerza, armónica. En tal caso,
F — V<¡> y div. F — V V = 0
por lo tanto, de la ec. 2-a.4 se sigue que, si <¡> existe
V 2£ — 0
Si se aplica, bajo la hipótesis anterior, a la cc. 2-a.2 el operador 
escalar V 2, se puede escribir
V 2V 2u + - ¡ 4 - V 2Vdiv. v + 4 V 2 F = 0
[ l G
lo cual da
V 4u + -r4 — V 2V e + ¿ V 2F = 01-2 p G
MECANICA DE SUELOS (II) 37
38 CAPITULO II
pero V 2Ve = V V 2e = 0; por lo tanto 
pero esto es
V 4u + - i V 2 F — 0
L r
V 4u + V 2V <f> — o
de donde, si <¡> existe
V 4u = 0 (2-a.5)
La ec. 2-a.5 se cumplirá sí y sólo si existe la mencionada función 
potencial <¡>.
Ahora bien, la ec. 2-a.5 puede ponerse
V 4V = V 4!>i ¿i + V 4V2 Í2 + V 4 V 3 h 
por lo que se tendrá que verificar
V 4Ui = 0
V 4i>2 = 0 (2-a.6)
V 4us — 0 .
De manera que si existe la función <¡> deben cumplirse las ecs. 
biarmónicas 2-a.6.
Se trata ahora de verificar si la siguiente ecuación que se propone 
como solución del problema verifica la ec. 2-a.2.
2G v = (c V 2 — V 2 div.) R (2-a.7)
donde
c = constante
R — Rx (x3 x2 x5) ii + i ?2 (* i x 2 X a ) ¿2 -f Ra (xx x2 x3) i3 es el lla­
mado vector de Galerkin.
La ec. 2-a.2 puede escribirse
2 G l V ’ + l - ^ 2 Í
Teniendo en cuenta las ecs. 2-a.7 y 2-a.8 puede ponerse 
V 2 +
operando
2 G ( V 2 + T—* Vdi v. ) u + 2 F = 0 (2-a.8)
1 — 2 p
(V 2 + r = A ^ V div.) (c V 2- V d iv .)f l + 2 F = 0 (2-a.9)
(cV 4 — V 2V div. + -j — V div. V 2 - 
1 V div. V div) R + 2 F = 0
1 — 2p
pero
V 2V div. = V div. V 2 = V div. V div.
por lo cual
C V * R + ( - 1 + ^ V V di”. R + 2 F = 0
La constante c puede escogerse de modo que la ecuación anterior 
se reduzca a
c V 4fl + 2 F = 0 
para lo cual será preciso que
- 1 + r ^ i - T ^ r = 0
c = 2(1 — p) (2-a.lO)
y entonces
= — F ■ (2 -a .ll)
1 - p
Si las fuerzas másicas son nulas, se tendrá:
V 4R = 0 (2-a,12)
y en tal caso, el vector Galerkin tendrá que ser una función vectorial 
Inarmónica.
Por lo tanto, el vector desplazamiento v satisface la ec. 2-a.2 
cuando (ver ec. 2-a.7)
2 G v — [2(1 — p) V 2 — V div.] R (2-a.l3)
con la condición de que se cumpla la ec. 2-a.ll.
La ec. 2-a.l3, en forma desplegada, da lugar a
MECANICA DE SUELOS (II) 39
40 CAPITULO II
En las ecs. 2-a.l4 habrá la condición
V 4, Ri = — t — — Fi 
1 — tr
= _ _ i _ F 2
1 - [J.
(2-a.l5)
V 4/?s = — F 3
1 — ti
Las ecs. 2-a.l4 proporcionan las componentes del vector despla­
zamiento v en términos del vector R, las que pueden relacionarse, 
según la Teoría de la Elasticidad, con las deformaciones unitarias 
correspondientes; éstas, a su vez, haciendo uso de la Ley de Hooke 
generalizada para un medio homogéneo, isótropo y linealmente elás­
tico, pueden relacionarse con los esfuerzos producidos en un punto 
del medio. Asi, en definitiva, podrá llegarse a expresiones entre los 
esfuerzos y las componentes del vector R. El proceso matemático 
anterior es simple, aunque muy laborioso y podrá consultarse en 
detalle, en la mencionada ref. 11; aquí se pondrán únicamente los 
resultados obtenidos.
El triedro (x , y , z ) corresponde al (*i x2 x3) usado anteriormente. 
En el caso particular del problema de Boussinesq puede llegarse 
a la solución, adoptando un vector Galerkin (R) de la forma
av = 2(1 — n )V 2^ | + (y. V )d i Iv.R
a, = 2 (1 - p) V* ^ + (p V 2 - g ) div. R (2-a. 16)
R = c [ ( l — 2 n )z ln (z + r) -(- 2 p r]t3 (2-a.l7)
MECANICA DE SUELOS (II) 41
donde
t- — x- + y- + z- 
La expresión para o-,, dada en las ecs. 2-a,16 puede escribirse
dR3 d3R3
siendo
<r,= [ 2 ( 1 - t r J + txjV2 9z ^
Rh = c ( l —2p)zlog (z + r) + 2qjir 
Efectuando operaciones se tiene
= c [ - + (1 — 2 p) log (z + r) ] 
oz r
(2-a.l8)
V ’8# - = - < PS z r
= i z ¿ I + c (i
dz3 r v
Agrupando, resulta finalmente
ff* = —
3cz3
r"
(2-a.l9)
p
Frontera
infinito 0
- T n i j c
' r
p T r "
z
P
J
!/ ¡
^ V , i1
/ 1
\
S ^ \ x
Considérese ahora el equilibrio 
interno en el seno del medio, (fig. 
II-a.2).
En un plano a la profundidad 
z — cte debe cumplirse la condi­
ción: P = Sama de fuerzas verti­
cales internas.
Considerando una superficieanular en dicho plano, se tendrá
d Fi = | ffzpdpdd
o sea
dFi = - ^ p d p \ y e =
3cz3 2-npdp
FIG . Il-a.2 Equilibrio en el Interior del 
semiespado elástico
Lo cual puede escribirse 
dP> = ~ (p- £ £ )■ »
42 CAPITULO II
Integrando la expresión anterior en el plano z — cíe
p . — .—• 3 C 7r 2 3 f ° ° 2p̂ P = P
Integrando y despejando, se tiene:
c = - £ (2-a.20)
Z7T
Llevando este valor a la ec. 2-a.l7 y operando este valor con 
el resultado obtenido en las ecs. 2-a.l6, se obtiene finalmente:
ffi - J 5 _ L f /, _ 0. . , r2tz + r ) - * 2lz + 2r)
]
2tc r3 L U + r ) ¡
z( r2 — 3x2) ? + 2¡xz
p 1 V, ̂ r2(z +' r) — y2{z + 2r)
2k r3 L (z + rY
l “-> + 2 J
_ 3P z (2-a.21)
_ P xy r , , n z + 2r 3zl 
Tlí “ 2w r3 [ + r )2 r2]
_ 3P
Tír “ 1 ÍT
xz
_ 3P i/z2
Twr “ 1 Í T “ F -
que es la solución originalmente propuesta por Boussinesq.
MECANICA D E SUELOS (II) 43
ANEXO n-b 
Valores de influencia para el caso de carga concentrada
Solución de Boussinesq
« . = £ ■ p.
r/z Pe r/z Pe r/z P.________r/z
0.00 — 0.4775
1 — 0.4773
2 — 0.4770
3 — 0.4764
4 — 0.4756
5 — 0.4745
6 — 0.4732
7 — 0.4717
8 — 0.4699
9 — 0.4679
0.10 — 0.4657
1 — 0.4633
2 — 0.4607
3 — 0.4579
4 — 0.4548
5 — 0.4516
6 — 0.4482
7 — 0.4446
8 — 0.4409
9 — 0.4370
0.20 — 0.4329
1 — 0.4286
2 — 0.4242
3 — 0.4197
4 — 0.4151
5 — 0.4103
6 — 0.4054
7 — 0.4004
8 — 0.3954
9 — 0.3902
0.30 — 0.3849
1 — 0.3796
2 — 0.3742
3 — 0.3687
4 — 0.3632
5 - 0.3577
6 — 0.3521
7 - 0.3465
8 — 0.3408
9 — 0.3351
0.40 — 0.3294
1 — 0.3238
2 — 0.3181
3 — 03124
4 — 03068
5 — 0.3011
6 — 0.2955
7 — 0.2899
8 — 0.2843
9 — 0.2788
0.50 — 0.2733
1 — 0.2679
2 — 0.2625
3 — 0.2571
4 — 0.2518
5 — 0.2466
6 — 0.2414
7 — 0.2363
8 — 0.2313
9 — 0.2263
0.60 — 0.2214
1 — 0.2165
2 — 0.2117
3 — 0.2070
4 — 0.2024
5 — 0.1978
6 — 0.1934
7 — 0.1889
8 — 0.1846
9 — 0.1804
0.70 — 0.1762
1 — 0.1721
2 — 0.1681
3 — 0.1641
4 — 0.1603
5 — 0.1565
6 — 0.1527
7 — 0.1491
8 — 0.1455
9 — 0.1420
0.80 — 0.1386
1 — 0.1353
2 — 0.1320
3 — 0.1288
4 — 0.1257
5 — 0.1226
6 — 0.1196
7 — 0.1166
8 — 0.1138
9 — 0.1110
0.90 — 0.1083
1 — 0.1057
2 — 0.1031
3 — 0.1005
4 — 0.0981
5 — 0.0956
6 — 0.0933
7 — 0.0910
8 — 0.0887
9 — 0.0865
1.00 — 0.0844
1 — 0.0823
2 — 0.0803
3 — 0.0783
4 — 0.0764
5 — 0.0744
6 — 0.0727
7 — 0.0709
8 — 0.0691
9 — 0.0674
1.10 — 0.0658
1 — 0.0641
2 — 0.0626
3 — 0.0610
4 — 0.0595
5 — 0.0581
6 — 0.0567
7 — 0.0553
8 — 0.0539
9 — 0.0526
1.20 — 0.0513
1 — 0.0501
2 — 0.0489
3 — 0.0477
4 — 0.0466
5 — 0.0454
6 — 0.0443
7 — 0.0433
8 — 0.0422
9 — 0.0412
1.30 — 0.0402
1 — 0.0393
2 — 0.0384
3 - 0.0374
4 — 0.0365
5 — 0.0357
6 — 0.0348
7 — 0.0340
8 — 0.0332
9 — 0.0324
1.40 — 0.0317
1 — 0.0309
2 — 0.0302
3 — 0.0295
4 — 0.0288
5 — 0.0282
6 — 0.0275
7 — 0.0269
8 — 0.0263
9 — 0.0257
1.50 — 0.0251
1 — 0.0245
2 — 0.0240
3 — 0.0234
4 — 0.0229
5 — 0.0224
6 — 0.0219
7 — 0.0214
8 — 0.0209
9 — 0.0204
44 CAPITULO II
r/z P» r/z Po r/z Po r/z P .
1.60 — 0.0200 2.10 — 0.0070 2.60 — 0.0029 3.10 — 0.0013
1 — 0.0195 1 — 0.0069 1 — 0.0028 1 — 0.0013
2 — 0.0191 2 — 0.0068 2 — 0.0028 2 — 0.0013
3 — 0.0187 3 — 0.0066 3 — 0.0027 3 — 0.0012
4 — 0.0183 4 — 0.0065 4 — 0.0027 4 — 0.0012
5 — 0.0179 5 — 0.0064 5 — 0.0026 5 — 0.0012
6 — 0.0175 6 — 0.0063 6 — 0.0026 6 — 0.0012
7 — 0.0171 7 — 0.0062 7 — 0.0025 7 — 0.0012
8 — 0.0167 8 — 0.0060 8 — 0.0025 8 — 0.0012
9 - 0.0163 9 — 0.0059 9 — 0.0025 9 — 0.0011
1.70 — 0.0160 2.20 — 0.0058 2.70 - 0.0024 3.20 — 0.0011
1 — 0.0157 1 — 0.0057 1 — 0.0024 1 — 0.0011
2 — 0.0153 2 — 0.0056 2 — 0.0023 2 — 0.0011
3 — 0.0150 3 — 0.0055 3 — 0.0023 3 — 0.0011
4 — 0.0147 4 — 0.0054 4 — 0.0023 4 — 0.0011
5 — 0.0144 5 — 0.0053 5 — 0.0022 5 — 0.0011
6 — 0.0141 6 — 0.0052 6 — 0.0022 6 — 0.0010
7 — 0.0138 7 — 0.0051 7 — 0.0022 7 — 0.0010
8 — 0.0135 8 — 0.0050 8 — 0.0021 8 — 0.0010
9 — 0.0132 9 — 0.0049 9 — 0.0021 9 — 0.0010
1.80 — 0.0129 2.30 — 0.0048 2.80 — 0.0021 3.30 — 0.0010
1 — 0.0126 1 — 0.0047 1 — 0.0020 1 — 0.0009
2 — 0.0124 2 — 0.0047 2 — 0.0020 2 — 0.0009
3 — 0.0121 3 - 0.0046 3 — 0.0020 3 — 0.0009
4 — 0.0119 4 — 0.0045 4 — 0.0019 4 — 0.0009
5 — 0.0116 5 — 0.0044 5 — 0.0019 5 — 0.0009
6 — 0.0114 6 — 0.0043 6 — 0.0019 6 — 0.0009
7 — 0.0112 7 — 0.0043 7 — 0.0019 7 — 0.0009
8 - 0.0109 8 — 0.0042 8 — 0.0018 8 — 0.0009
9 — 0.0107 9 — 0.0041 9 — 0.0018 9 — 0.0009
1.90 — 0.0105 2.40 — 0.0040 2.90 — 0.0018 3.40 — 0.0009
1 — 0.0103 1 — 0.0040 1 — 0.0017 1 — 0.0008
2 — 0.0101 2 — 0.0039 2 — 0.0017 2 — 0.0008
3 — 0.0099 3 — 0.0038 3 — 0.0017 3 — 0.0008
4 — 0.0097 4 — 0.0038 4 — 0.0017 4 — 0.0008
5 — 0.0095 5 — 0.0037 5 — 0.0016 5 — 0.0008
6 — 0.0093 6 — 0.0036 6 — 0.0016 6 — 0.0008
7 — 0.0091 7 — 0.0036 7 — 0.0016 7 — 0.0008
8 — 0.0089 8 — 0.0035 8 — 0.0016 8 — 0.0008
9 — 0.0087 9 — 0.0034 9 — 0.0015 9 — 0.0008
2.00 — 0.0085 2.50 — 0.0034 3.00 — 0.0015 3.50
1 — 0.0084 1 — 0.0033 1 — 0.0015 a — 0.0007
2 — 0.0082 2 — 0.0033 2 — 0.0015 3.61
3 - 0.0081 3 — 0.0032 3 — 0.0014 'X 6.1
4 — 0.0079 4 — 0.0032 4 — 0.0014 a a nnn£
5 — 0.0078 5 — 0.0031 5 — 0.0014 a — u.uUvO "X 74
6 — 0.0076 6 — 0.0031 6 — 0.0014
7 — 0.0075 7 — 0.0030 7 — 0.0014 3.75
8 - 0.0073 8 — 0.0030 8 — 0.0013 a — 0.0005
9 — 0.0072 9 — 0.0029 9 - 0.0013 3.90
ANEXO I I - d. A r e a r e c t a n g u l a r u n i f o r m e m e n t e c a r g a d a . ( C a s o d e B o u s s i n e s o ) .
MECANICA DE SUELOS (II) 45
r/z Po r/z Po r/z P» r/z Po
3.91 
a — 0.0004 
4.12
4.13 
a — 0.0003 
4.43
4.44 
a - 0.0002 
4.90
4.91 
a — 0.0001 
6.15
ANEXO H-e
Valores de influencia para área circular uniformemente cargada
Solución de Boussinesq
<7, — W Wo
r/z w„ r/z w. r/z w0 r/z w0
.00 — 0.00000 
1— 0.00015 
2 — 0.00060
3 — 0.00135
4 — 0.00240
5 - 0.00374
6 - 0.00538 
7-0.00731 
8 — 0.00952 
9-0.01203
.30 — 0.12126 
1-0.12859
2 — 0.13605
3 — 0.14363
4-0.15133
5-0.15915
6 — 0.16706
7 — 0.17507
8 — 0.18317 
9-0.19134
.60 - 0.36949 
1— 0.37781
2 — 0.38609
3 — 0.39431
4 — 0.40247
5 — 0.41058
6 — 0.41863
7 — 0.42662
8 - 0.43454 
9-0 .44240
.90 - 0.58934 
1 -0.59542 
2-0.60142 
3 — 0.60734
4-0.61317
5-0.61892
6 — 0.62459
7 — 0.63018
8 — 0.63568
9 — 0.64110
.10-0.01481 
1-0.01788 
2 — 0.02122
3 - 0.02483
4 - 0.02870
5 — 0.03283
6 — 0.03721 
7-0.04184 
8 - 0.04670 
9-0.05181
.40 — 0.19959 
1 — 0.20790 
2-0.21627 
3 — 0.22469 
4-0.23315
5 — 0.24165
6 — 0.25017
7 — 0.25872
8 — 0.26729
9 — 0.27587
.70 - 0.45018
1— 0.45789
2-0.46553 
3 — 0.47310
4-0.48059
5-0.48800
6 — 0.49533
7 — 0.50259
8-0.50976
9-0.51685
1.00-0.64645
1— 0.6517!
2 - 0.65690
3 — 0.66200
4 - 0.66703 
5-0.67198
6 — 0.67686
7 — 0.68168
8-0.68639
9-0.69104
.20 — 0.05713 
1— 0.06268
2 — 0.06844
3 - 0.07441
4 - 0.08057
5 - 0.08692
6 — 0.09346
7-0.10017
8-0.10704
9-0.11408
.50-0.28446
1— 0.29304
2 — 0.30162
3 — 0.31019 
4-0.31875
5 - 0.32728
6 — 0.33579
7 — 0.34427
8 — 0.35272
9 — 0.36112
.80 — 0.52386 
1— 0.53079
2 — 0.53763
3 — 0.54439
4-0.55106
5-0.55766
6-0.56416
7 — 0.57058
8 — 0.57692
9 — 0.58317
1.10 - 0.69562 
1— 0.70013
2 — 0.70457
3 - 0.70894
4-0.71324
5-0.71747
6-0.72163 
7 — 0.72573 
8-0.72976 
9 — 0.73373
46 CAPITULO II
r /z IVe
1.20 — 0.73763 
1— 0.74147
2 — 0.74525
3 — 0.74896
4 — 0.75262
5 — 0.75622
6 — 0.75976
7 — 0.76324
8 — 0.76666
9 — 0.77003
1.30 — 0.77334 
1— 0.77660
2 — 0.77981
3 — 0.78296
4 — 0.78606
5 — 0.78911
6 — 0.79211
7 — 0.79507
8 — 0.79797
9 — 0.80083
1.40 — 0.80364 
1— 0.80640
2 — 0.80912
3 — 0.81179
4 — 0.81442
5 — 0.81701
6 — 0.81955
7 — 0.82206
8 — 0.82452
9 — 0.82694
1.50 — 0.82932 
1— 0.83167
2 — 0.83397
3 — 0.83624
4 — 0.83847
5 — 0.84067
r /z w0
1.56 — 0.84283
7 — 0.84495
8 — 0.84704
9 — 0.84910
1.60 — 0.85112 
1— 0.85312
2 — 0.85607
3 — 0.85700
4 — 0.85890
5 — 0.86077
6 — 0.86260
7 — 0.86441
8 — 0.86619
9 — 0.86794
1.70 — 0.86966 
1— 0.87136
2 — 0.87302
3 — 0.87467
4 — 0.87628
5 — 0.87787
6 — 0.87944
7 — 0.88098
8 — 0.88250
9 — 0.88399
1.80 — 0.88546 
1— 0.88691
2 — 0.88833
3 — 0.88974
4 — 0.89112
5 — 0.89248
6 — 0.89382
7 — 0.89514
8 — 0.89643
9 — 0.89771
1.90 — 0.89897r /z iVo
1.91— 0.90021
2 — 0.90143
3 — 0.90263
4 — 0.90382
5 — 0.90498
6 — 0.90613
7 — 0.90726
8 — 0.90838
9 — 0.90948
2.00 — 0.91056
2 — 0.91267
4 — 0.91472
6 — 0.91672
8 — 0.91865
2.10 — 0.92053 
.15 — 0.92499 
.20 — 0.92914 
.25 — 0.93301 
.30 — 0.93661 
.35 — 0.93997 
.40 — 0.94310 
.45 — 0.94603 
.50 — 0.94877 
.55 — 0.95134 
.60 — 0.95374 
.65 — 0.95599 
.70 — 0.95810 
.75 — 0.96009 
.80 — 0.96195 
.85 — 0.96371 
.90 — 0.96536 
.95 — 0.96691
3.00 — 0.96838 
.10 — 0.97106 
.20 — 0.97346 
.30 — 0.97561
3.40 — 0.97753 
.50 — 0.97927 
.60 — 0.98083 
.70 — 0.98224 
.80 — 0.98352 
.90 — 0.98468
4.00 — 0.98573 
.20 — 0.98757 
.40 — 0.98911 
.60 — 0.99041 
.80 — 0.99152
5.00 — 0.99246 
.20 — 0.99327 
.40 — 0.99396 
.60 — 0.99457 
.80 — 0.99510
6.00 — 0.99556 
.50 — 0.99648
7.00 — 0.99717 
.50 — 0.99769
8.00 — 0.99809
9.00 — 0.99865
10.00 — 0.99901
12.00 — 0.99943
14.00 — 0.99964
16.00 — 0.99976
18.00 — 0.99983
20.00 — 0.99988
25.00 — 0.99994
30.00 — 0.99996
40.00 — 0.99998
50.00 — 0.99999 100.00— 1.00000oo — 1.00000
ANEXO n-f
MECANICA DE SUELOS (II) 47
FIG. Il-f. Caria de Nevmark
R EFER EN CIAS
1. Boussinesq, J. — Application des potenciéis á Vetude de f equilibre et da mouve- 
ment des solides élastiques — Paris— 1885.
2. Fadum. R. E. — Influence valúes for vertical stresses in a semi-infinite, elas- 
tic solid due to surface loads — Universidad de Harvard. Escuela de Gra­
duados— 1941.
3. Westergaard, H. M. — A problem of Elasticity suggested bu a problem in Soil 
Mechamos. Soft material reinforced by numeróos strong horizontal sheets — 
Contributions to the Mechantes of Solids — Stephen Timoshenko, 60th. 
Anniversary volume — 1938.
4. Jürgenson, L. — The application o í tbeoríes■ o f Etasticity and Plasticity to 
foundation problems — Contributions to Soil Mechanics — Boston Society 
of Civil Engineers — 1925-1940.
5. Gray, H. — Charts facilítate Determination o f stresses under loaded arcas — 
Civil Engineering — Junio 1948.
6. Newmark, N. M. — Influence chatis for the computation o f stresses in elas- 
tic foundations — Boletín N* 45. Vol. 44 — Universidad de Illinois — 1942.
7. Mindlin, R. D . — Contribution au probleme d"equilibre d’élasticité d’un solide 
indefiné limité par un plan — "Comptes Rendus” — 201-536-537 — 1935.
8. Sneddon, I. N. — Fourier Transfotms — Me Graw-Hill Book Co. — 1951.
9. Green, A. E. y Zema, W . — Theoretical Elasticity — Oxford University 
Press— 1954.
10. Timoshenko, S. y Goodier, J. N .— Theory o f Etasticity — McGraw-Hill 
Book Co. — 1951.
11. Westergaard, H. M. — Theory o f Elasticity and Plasticity — John Wiley 
and Sons— 1952.
12. Burmister, D. M. — The Theory o f stresses and displacements in layered 
systems and application to the design o[ airport runways — Proc. Highway 
Research Board— 1943.
13. Burmister, D. M. — The General Theory o f stresses and displacements in 
layered soil systems — Journal of Applied Physics — Vol. 16— 1945.
14. Burmister, D. F. — Evaluation o f Pavement systems o f the W ASHD Road 
test by layered systems methods — Highway Research Board— Bulletin 
177— 1958.
15. Hruban, K .— The basic probtem o f a non-linear and non-homogeneous half 
space — Non homogeneity in Elasticity and Plasticity •— Olszak Editor — Per- 
gamon Press — 1959.
48 CAPITULO II
BIBLIOGRAFIA
J/T heoretical Soil Mechanics — K. Terzaghi-— John W iley and Sons — 1956.
J Soils Mechanics, Foundations and Earth Structures — G. P. Tschebotarioff — 
/ McGraw-Hill Book Co. — 1957.
J Fundamentáis o f Soil Mechanics — D. W . Taylor — John Wiley and Sons — 
/ 1956.
' Mecánica de Suelos — J. A. Jiménez Salas — Ed. Dossat— 1954.
J Traité de Mecanique des Sois — J. Caquot y J. Kerissel — Gauthier-Villars— 
1956.
''Theory o f Elasticity — S. Timoshenko y J. N. Goodier — McGraw-Hill Book Co. 
— 1951.
Theoretical Elasticity — A. E. Green y W . Zema — Oxford University Press — 
1954
Theory o f Elasticity and Plasticity — H. M. Westergaard — Harvard University 
Press y John W iley and Sons—'1952 
Fourier Transforma — I. N. Sneddon-— McGraw-Hill Book C o.— 1951
CAPITULO III 
ANALISIS DE ASENTAMIENTOS
m -1. Introducción
En el Capítulo X, correspondiente al Volumen I de esta obra, 
se discutieron los conceptos fundamentalés relativos a la magnitud 
y evolución de los asentamientos que tienen lugar en un estrato de 
suelo compresible, sujeto a cargas. Implícitamente se supuso allí que 
el incremento de presión aplicado al estrato (Ap) era uniforme en 
todo el espesor del mismo. Por otra parte, en el Capítulo II se ha 
tratado lo relativo a la transmisión de esfuerzos al interior de la masa 
de suelo, provocados por cargas impuestas en la frontera del estrato 
considerado. En el presente capítulo se discutirá el como tomar en 
cuenta, para fines de cálculo, la no uniformidad del incremento de 
presión transmitido al estrato compresible.
Además de tratar el cálculo de asentamientos en suelos plásticos 
compresibles, se incluye en el capítulo también una discusión de los 
métodos de cálculo de asentamientos en suelos arenosos finos y 
limosos, de estructura suelta, que son susceptibles de experimentar 
fuerte compresión volumétrica por efecto de carga combinada con 
una condición de saturación rápida. También se incluyen algunos 
comentarios sobre los métodos usados hasta hoy para el cálculo de 
asentamientos en los suelos friccionantes, en general.
m -2. Asentamientos en suelos plásticos compresibles
En el Capítulo X del Volumen I de esta obra se obtuvo la 
fórmula general que permite calcular el asentamiento por consoli­
dación de un estrato de espesor H. Dicha fórmula es:
^ = T T 7 7 » <*■»>
En el caso en que los incrementos de presión (Ap) transmitidos 
al suelo varíen con la profundidad o en el que Ae/I + e0 varíe apre- 
ciablemente a lo largo del espesor del estrato, por ejemplo, por efecto 
de preconsolidación en parte de él, se hace necesario expresar la
49
5—Mecánica de Suelos II
50 CAPITULO III
ec. 3-1 en forma diferencial y obtener el asentamiento total por un 
proceso de integración a lo largo del espesor del estrato.
Puede entonces escribirse:
A d z = Ae
1 + e0 
Lo cual, integrado da:
A ^ = f A L_
Jo 1 + e0 d z
(3-2)
(3-3)
Considerando a la frontera superior del estrato compresible como 
origen de las z. La ec. 3-3 es la ecuación general para el cálculo 
del asentamiento total por consolidación primaria, supuesto un pro­
ceso unidimensional de consolidación.
La ec. 3-3 sugiere un método simple de trabajo para valuar los 
asentamientos en un caso práctico dado (fig. III- l) .
Si se tienen pruebas de consoli­
dación efectuadas sobre muestras 
inalteradas representativas de un 
estrato compresible a diferentes 
profundidades, se contará con una 
curva de compresibilidad para 
cada prueba, representativa del 
comportamiento del suelo a esa 
profundidad, (parte a de la fig.
III- l) . Sobre esas gráficas podrá 
llevarse el valor de p0, presión 
actual efectiva del suelo a esa 
profundidad: con tal valor podrá 
obtenerse el correspondiente e0: a 
continuación, podrá llevarse, a par­
tir de p0, el valor Ap, determinado 
según los métodos que se despren­
den del Capítulo II y que repre­
senta el nuevo esfuerzo efectivo 
que deberá aceptar la fase sólida 
del suelo cuando éste se haya 
consolidado totalmente bajo la 
nueva condición de cargas exterio­
res, representada por la estructura 
cuyo asentamiento se calcula. La
ur ni. U ü J , Li •• j ordenada del valor p ~ p 0 + Ap FIG. III-l. Métodos para la obtención de . . \ r- i , - .
la curva de influencia de los proporcionara la e final que, teori-
as en ta m ien io s camente, alcanzará el suelo a la
a = a h ■■ Curvo de inf luencto 
de o se n to m ie n to s
(bi
profundidad de que se trate. Puede así determinarse Ae = e — e0 y, 
por lo tanto, Ae/1 + e„.
En la parte b de la fig. III-l se muestra la gráfica Ae/1 + e„ — z, 
que deberá trazarse una vez determinados sus puntos por el proce­
dimiento anterior aplicado a las distintas