Capa Límite

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Capitulo 7
Capa Limite
Mecánica de los Fluidos I
Prof. Richard Oliva Denis
CONTENIDO
1. Introducción
2. Adimensionalización de las ecuaciones
3. Capa limite. Espesores de capa limite
4. Ecuaciones de capa limite
5. Solución de Blasius
6. Ecuación Integral de Von Karman
7. Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman
8. Separación
Introducción
En el capitulo anterior llegamos, haciendo uso de las leyes de conservación
de la masa y momentum lineal, a las ec. de Navier-Stokes, las cuales rigen el
comportamiento de un fluido newtoniano
𝝆
𝝏𝑽
𝝏𝒕
+ 𝑽 ∙ 𝜵 𝑽 = −𝜵𝑷 + 𝝁𝜵𝟐𝑽 + 𝝆𝑩
𝜵 ∙ 𝑽 = 𝟎
Si añadimos la ecuación de energia:
𝝆
𝝏𝒆
𝝏𝒕
+ 𝑽 ∙ 𝜵 𝒆 = −𝒑 𝜵 ∙ 𝑽 + 𝜵 ∙ 𝑲𝜵𝑻 + 𝚽 + 𝐒𝒊
Y ecuaciones de estado
𝒑 = 𝒑(𝝆, 𝑻) 𝒆 = 𝒆(𝝆, 𝑻)
Estas ultimas, para un gas ideal: 𝑝 = 𝜌𝑅𝑇 𝑒 = 𝐶𝑣𝑇
Introducción
Tenemos un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que en
conjunto con las condiciones iniciales y de frontera permiten describir el
movimiento de un fluido.
Las ecuaciones de Navier-Stokes son tres ecuaciones diferenciales en
derivdadas parciales, elípticas en el espacio y parabólicas en el tiempo.
Las condiciones de frontera son condiciones de tipo Dirichlet o Neumann
sobre la velocidad y la presión en un espacio cerrado.
Tipicamente se tiene que sobre superficies de cuerpos solidos existe una
igualdad entre las velocidades del cuerpo y el fluido
En el caso de flujos abiertos es necesario fijar condiciones de borde
artificiales lejos de la zona de interés
Si se consideran los efectos térmicos debemos de anadir las condiciones
iniciales de la temperatura y condiciones de borde de la temperatura y/o
flujo de calor en las fronteras.
Introducción
Se tiene un modelo cuya solución es prácticamente imposible en el caso general. Su
aplicabilidad esta limitada a algunos pocos casos.
La única posibilidad de encontrar soluciones desde un punto de vista practico requiere
la simplificación del modelo general.
Teniendo que resulta necesario la introducción de aproximaciones con cierto grado de
empirismo. Resultando en modelos que deben validarse.
La introducción de algunas hipótesis simplificadoras conllevan a la clasificación de flujos
que conservan algunos aspectos relacionados con los fluidos en su movimiento (un
ejemplo simple, los fluidos perfectos).
Es importante resaltar que el proceso de pase al limite en las soluciones de las
ecuaciones de Navier-Stokes no conducen necesariamente a las soluciones obtenidas al
resolver las ecuaciones de Navier-Stokes.
Es posible obtener algunos modelos particulares, con sus respectivas zonas de
aplicación apartir de consideraciones que incluyen las magnitudes relativas de las
fuerzas presentes
CONTENIDO
1. Introducción
2. Adimensionalización de las ecuaciones
3. Capa limite. Espesores de capa limite
4. Ecuaciones de capa limite
5. Solución de Blasius
6. Ecuación Integral de Von Karman
7. Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman
8. Separación
Adimensionalización de las ecuaciones
𝝆
𝝏𝑽
𝝏𝒕
+ 𝑽 ∙ 𝜵 𝑽 = −𝜵𝑷 + 𝝁𝜵𝟐𝑽 + 𝝆𝑩
Tomemos la ecuación de conservación de momentum lineal
Términos relacionados a las Variaciones en la cantidad de momentum
- > representan la inercia del fluido
Momentum del fluido Fuerzas capaces de poner el fluido
en movimiento
Contribuciones de las fuerzas que pudiesen generar un cambio en el
movimiento del fluido:
• Los gradientes o cambios de presión
• Esfuerzos viscosos (originados por el movimiento del fluido)
• Fuerzas externas de volumen (ej: gravedad)
Adimensionalización de las ecuaciones
Para comparar la contribución relativa de cada termino
adimensionalizaremos las ecuaciones. Partimos de las siguientes variables
adimensionales, expresadas en termino de magnitudes características del
problema considerado.
𝑢𝑗
∗ =
𝑢𝑗
𝑈0
𝑗 = [1,2,3] tal que en coordenadas cartesianas:
𝑃∗ =
𝑃
𝑃0
𝑥𝑗
∗ =
𝑥𝑗
𝐿 𝑡
∗ =
𝑡𝑈0
𝐿
Luego cada termino de la ecuación de momentun se expresa como:
Aceleracion local: 𝜌
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑡
= 𝜌
𝜕(𝑢𝑗
∗𝑈0)
𝜕(𝑡∗𝐿/𝑈0)
= 𝜌
𝑈0
𝐿/𝑈0
𝜕(𝑢𝑗
∗)
𝜕(𝑡∗)
=
𝑈0
2𝜌
𝐿
𝜕𝑢𝑗
∗
𝜕𝑡∗
𝑥1 = 𝑥 𝑥2 = 𝑦 𝑥3 = 𝑧
Aceleracion convectiva: 𝜌𝑢𝑘
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑘
= 𝜌 𝑈0𝑢𝑘
∗
𝜕 𝑢𝑗
∗𝑈0
𝜕 𝑥𝑘𝐿
=
𝜌𝑈0
2
𝐿
𝑢𝑘
∗
𝜕𝑢𝑗
∗
𝜕𝑥𝑘
∗
𝑢1 = 𝑢 𝑢2 = 𝑣 𝑢3 = 𝑤
Adimensionalización de las ecuaciones
Termino de presion: 𝜕𝑃
𝜕𝑥𝑗
=
𝜕(𝑃∗𝑃0)
𝜕(𝑥𝑗
∗𝐿)
=
𝑃0
𝐿
𝜕𝑃∗
𝜕𝑥𝑗
∗
Termino viscoso: 𝜇
𝜕2𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑘𝜕𝑥𝑘
= 𝜇
𝜕2(𝑢𝑗𝑈0)
𝜕(𝑥𝑘
∗𝐿)𝜕(𝑥𝑘
∗𝐿)
=
𝜇𝑈0
𝐿2
𝜕2𝑢𝑗
∗
𝜕𝑥𝑘
∗𝜕𝑥𝑘
∗
Fuerzas externas: considerando que estas corresponden únicamente a las de
gravedad:
𝜌𝑓𝑗 = −𝜌
𝜕 𝑔𝑧
𝜕𝑥𝑗
= −𝜌
𝜕 𝑔𝑧
𝜕𝑥𝑗
= −𝜌𝑔
𝜕 𝑧∗𝐿
𝜕 𝑥𝑗
∗𝐿
= −(𝜌𝑔)
𝜕𝑧∗
𝜕𝑥𝑗
∗
Adimensionalización de las ecuaciones
Sustituyendo en la ecuación de momentum:
𝜌𝑈0
2
𝐿
𝜕𝑉∗
𝜕𝑡
+ 𝑉∗ ∙ 𝛻∗ 𝑉∗ = −
𝑃0
𝐿
𝛻∗𝑃∗ +
𝜇𝑈0
𝐿
𝛻∗2𝑉∗ − (𝜌𝑔)𝛻∗𝑧∗
Los factores entre paréntesis a la izquierda de cada termino amplificaran (o
reducirán) la contribución adimensional de cada uno de ellos
Dividiendo por el factor asociado a la inercia:
𝝏𝑽∗
𝝏𝒕
+ 𝑽∗ ∙ 𝜵∗ 𝑽∗ = −
𝑷𝟎
𝝆𝑼𝟎
𝟐 𝜵
∗𝑷∗ +
𝝁
𝝆𝑼𝟎𝑳
𝜵∗𝟐𝑽∗ −
𝒈𝑳
𝑼𝟎
𝟐 𝜵
∗𝒛∗
Adimensionalización de las ecuaciones
Introduciendo los siguientes números adimensionales:
Reynolds Froude Euler
𝑅𝑒 =
𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎
𝑉𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑
=
𝜌𝑈0𝐿
𝜇
𝐹𝑟 =
𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎
𝐺𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑
=
𝑈0
𝑔𝐿
𝐸 =
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛
𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎
=
𝑃0
𝜌𝑈0
𝝏𝑽∗
𝝏𝒕
+ 𝑽∗ ∙ 𝜵∗ 𝑽∗ = −𝑬 𝜵∗𝑷∗ +
𝟏
𝑹𝒆
𝜵∗𝟐𝑽∗ −
𝟏
𝑭𝒓𝟐
𝜵∗𝒛∗
El numero de Reynolds indica la importancia relativa entre las fuerzas
inerciales y viscosas, nos permite clasificar los fluidos en laminares y
turbulentos y probablemente sea el numero adimensional mas importante
en la mecánica de fluidos.
El numero de Froude tiene gran importancia cuando se estudia flujos con
superficie libre.
Adimensionalización de las ecuaciones
El numero de Euler no es tan importante, y aparece en problemas con
caídas importantes de la presión y pueden conllevar a la cavitacion
𝝏𝑽∗
𝝏𝒕
+ 𝑽∗ ∙ 𝜵∗ 𝑽∗ = −𝑬 𝜵∗𝑷∗ +
𝟏
𝑹𝒆
𝜵∗𝟐𝑽∗ −
𝟏
𝑭𝒓𝟐
𝜵∗𝒛∗
De acuerdo al peso relativo de cada termino, la ecuación puede ser
simplificada y lleva a diferentes clasificaciones del flujo
Adimensionalización de las ecuaciones
a) Flujo de un fluido viscoso a velocidades muy lentas.
Fuerzas Inerciales << Fuerzas viscosas 
𝝏𝑽∗
𝝏𝒕
= −𝑬 𝜵∗𝑷∗ +
𝟏
𝑹𝒆
𝜵∗𝟐𝑽∗ −
𝟏
𝑭𝒓𝟐
𝜵∗𝒛∗
Los términos convectivos se asumen pequeños en comparación con los
viscosos y se simplifican. Las ecuaciones resultantes, conlleva a lo que
comúnmente se conoce como teoría de Stokes.
La ecuaciones de momentum son ahora lineales!
𝑹𝒆 → 𝟎
𝝆
𝝏𝑽
𝝏𝒕
= −𝜵𝑷 + 𝝁𝜵𝟐𝑽 + 𝝆𝑩
Adimensionalización de las ecuaciones
b) Flujo de fluidos ideales. Flujo potencial
Fuerzas Inerciales >> Fuerzas viscosas 𝑹𝒆 → ∞𝝁 → 𝟎
𝝏𝑽∗
𝝏𝒕
+ 𝑽∗ ∙ 𝜵∗ 𝑽∗ = −𝑬 𝜵∗𝑷∗ −
𝟏
𝑭𝒓𝟐
𝜵∗𝒛∗
Las ecuaciones de momentum se simplifican a las ecuaciones de Euler, y
aunque estas son no lineales, son de un orden menor que las ecuaciones de
N-S. Y algo interesante es lo que ocurre con las condiciones de borde,
estarán ahora relajadas. Las condiciones de borde de las velocidades
tangenciales sobre cuerpos rígidos no serán necesarias, y solo tendremos
condiciones para la velocidad normal.
La superficie de un cuerpo solido será una línea de corriente!
Adimensionalización de las ecuaciones
Clasificación de las ecuaciones de flujo
Flujo permanente Flujo transitorio
Flujo viscoso Elíptica Parabólica
Flujo ideal 𝑀𝑎 < 1 Eliptica
𝑀𝑎 > 1 Hiperbolica
Hiperbólica
Capa limite Parabólica Parabólica
Ec. Diferencial Eliptica -> Comportamiento del tipo “dos sentidos”
Coordenadas de un sentido -> Un pto en el espacio dependerá de una sola de 
las direcciones de dicha coordenada.
* Termino temporal y términos convectivos
Coordenadas de dos sentidos-> Un pto en el espacio dependerá de ambas 
direcciones de dicha coordenada.
* Termino viscoso.
Ec. Diferencial Parabolica -> Comportamiento del tipo “un sentido”
Ec. Diferencial Hiperbolica -> Comportamiento del tipo “un sentido” a lo largo de las 
caracteristicas
Adimensionalización de las ecuaciones
Ec. Diferencial Eliptica (en
ambos sentidos)
Estan usualmente asociadas a
problemas en estado estacionario
en donde predominan los efectos
disipativos.
Ec. Diferencial Parabolica
(Estrictamente: Parabolica en la
coord. 𝒕
y elíptica en 𝒙)
Estan usualmente asociadas a
problemas de propagación con
disipación
Adimensionalización de las ecuaciones
Ec. Diferencial Hiperbolica (en ambos
sentidos)
Estan usualmente asociadas a problemas de
propagación sin disipación o atenuacion
Adimensionalización de las ecuaciones
En la practica existe una amplia variedad de velocidades y muchas clases de
flujos corresponden a valores elevados del numero de Reynolds, pero no
infinitos.
Y además muchos fluidos pueden poseen una viscosidad pequeña mas no
nula. Recordemos que los esfuerzos asociados a la viscosidad vienen dados
por:
𝜎𝑖𝑗 = 𝜇
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
Cuando los gradientes de velocidad sean importantes, es decir zonas con 
alta deformación, las ecuaciones de Euler no serán aplicables
Adimensionalización de las ecuaciones
Flujo externo. 
Efectos viscosos despreciables al igual 
que la vorticidad del flujo
𝝆
𝝏𝑽
𝝏𝒕
= −𝜵𝑷 + 𝝁𝜵𝟐𝑽
Estela
Efectos viscosos despreciables.
Pero no la vorticidad!
𝝏𝝎
𝝏𝒕
= 𝑽 ∙ 𝜵 𝝎 + 𝝎 ∙ 𝑽 +
𝝁
𝝆
𝜵𝟐𝝎
Separación de la capa limite
Capa limite
Efectos viscosos importantes
Generacion de vorticidad 𝝆 𝑽 ∙ 𝜵 𝑽 = −𝜵𝑷 + 𝝁𝜵𝟐𝑽 (∗)
CONTENIDO
1. Introducción
2. Adimensionalización de las ecuaciones
3. Capa limite. Espesores de capa limite
4. Ecuaciones de capa limite
5. Solución de Blasius
6. Ecuación Integral de Von Karman
7. Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman
8. Separación
Capa limite. Espesores de capa limite
La capa limite es una capa fina adyacente a la superficie de un cuerpo
en la cual existe una fuerte influencia de los efectos viscosos
El punto desde donde se
origina se denomina pto
de estancamiento.
En esta región la
vorticidad no es nula y es
difundida y convectada a
lo largo de la capa limite
Detrás del cuerpo encontraremos un gradiente de presión adverso
(un incremento de presión) que usualmente conlleva al
desprendimiento de la capa limite y a la formación de la estela
Capa limite. Espesores de capa limite
Espesor de capa limite (𝛿)
Espesores de capa limite:
𝑦 = 𝛿
𝑢 = 0,99𝑈
cuando 
Pueden ser definidos de diferentes maneras. Los tres mas comúnmente usados 
son:
• Espesor de capa limite (𝛿)
• Espesor de desplazamiento (𝛿∗)
• Espesor de momentum (𝜃)
𝛿 = 𝛿(𝑥)
Capa limite. Espesores de capa limite
Espesor de desplazamiento (𝛿∗)
Corresponde a la distancia de la frontera en la cual el flujo externo
transporta la misma masa que aquella correspondiente a la faltante de
masa de la verdadera capalimite
𝜌𝑈𝛿∗ = 
0
∞
𝜌 𝑈 − 𝑢 𝑑𝑦 𝛿∗ = 
0
∞
1 −
𝑢
𝑈
𝑑𝑦
Capa limite. Espesores de capa limite
Espesor de momentum (𝜃)
Corresponde a la distancia de la frontera en la cual el flujo externo
transporta la misma cantidad de momentum que aquella correspondiente a
la faltante de cantidad de momentum de la verdadera capa limite
𝜌𝑈2𝜃 = 
0
∞
𝑢[𝜌 𝑈 − 𝑢 ]𝑑𝑦 𝜃 = 
0
∞ 𝑢
𝑈
1 −
𝑢
𝑈
𝑑𝑦
Capa limite. Espesores de capa limite
Las definiciones se adoptan según el interés de los diversos autores.
En todo caso, es una variable que es usada para delimitar la zona en
donde el fluido esta siendo frenado por la pared.
En general tenemos que:
𝛿 > 𝛿∗ > θ
CONTENIDO
1. Introducción
2. Adimensionalización de las ecuaciones
3. Capa limite. Espesores de capa limite
4. Ecuaciones de capa limite
5. Solución de Blasius
6. Ecuación Integral de Von Karman
7. Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman
8. Separación
Ecuaciones de capa limite
Consideremos el flujo que circula sobre la superficie mostrada, y
la idea fundamental introducida por Prandtl
𝜹 ≪ 𝒙
La teoria de capa limite propuesta por Prandlt parte de la idea de que
el espesor de capa limite (𝛿) es pequeno en comparacion con las
distancias medidas a lo largo de la superficie (𝑥) y debido a ello
ciertos términos de las ecuaciones de Navier-Stokes son despreciables
con respecto a los demás.
Ecuaciones de capa limite
La componente de la velocidad 𝑢 es del orden de 𝑈 𝒖 ~ 𝑼
La derivada de 𝑢 en 𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
~
𝑈−0
𝑥−0
=
𝑈
𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑢
𝜕𝑥
⇒
𝑣
𝛿
~
𝑈
𝑥
Y al tener que 𝑥 ≫ δ 𝑢 ≫ 𝑣Y podemos suponer razonablemente que
La derivada de 𝑣 en 𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑦
~
𝑣
𝛿
De la ecuacion de continuidad ⇒ 𝒗~
𝜹𝑼
𝒙
𝒖 ~ 𝑼 𝒗~
𝜹𝑼
𝒙
𝝏
𝝏𝒙
~
𝟏
𝒙
𝝏
𝝏𝒚
~
𝟏
𝜹
Veamos lor ordenes de magnitude de los terminus de nuestras ecuaciones
Ecuaciones de capa limite
En 2D, en estado permanente y sin fuerzas externas tenemos
que nuestras ecuaciones de N-S se escriben como
𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+ 𝜈
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 𝜈
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= −
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑦
+ 𝜈
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
+ 𝜈
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2
Veamos el orden de magnitud de los términos de las ecuaciones de 
Navier-Stokes dentro de la capa limite (menos el de presión).
𝑈2
𝑥
+
𝛿𝑈
𝑥
𝑈
𝛿
= −
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+ 𝜈
𝑈
𝑥2
+ 𝜈
𝑈
𝛿2
𝑈2
𝑥
+
𝑈2
𝑥
= −
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+ 𝜈
𝑈
𝑥2
+ 𝜈
𝑈
𝛿2
En 𝑥 :
Ecuaciones de capa limite
Los términos inerciales son ambos del mismo orden.
El primer termino viscoso es de un orden mucho menor que el
segundo, 𝑥 ≫ δ, por lo que se despreciara y la componente en x
de la ecuación de momentum queda:
𝒖
𝝏𝒖
𝝏𝒙
+ 𝒗
𝝏𝒖
𝝏𝒚
= −
𝟏
𝝆
𝝏𝑷
𝝏𝒙
+ 𝝂
𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒚𝟐
La teoria que estamos desarrollando considera que los terminus
inerciales son del mismo orden que el termino viscoso no
simplificado por lo que
𝑈2
𝑥
≈ 𝜈
𝑈
𝛿2
Y en consecuencia:
𝛿 ≈
𝜈𝑥
𝑈
Ecuaciones de capa limite
Continuando con la direccion 𝑦:
𝑈
𝑈𝛿
𝑥
𝑥
+
𝑈𝛿
𝑥
𝑈𝛿
𝑥
𝛿
= −
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑦
+ 𝜈
𝑈𝛿
𝑥
𝑥2
+ 𝜈
𝑈𝛿
𝑥
𝛿2
𝑈2𝛿
𝑥2
+
𝑈2𝛿
𝑥2
= −
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑦
+ 𝜈
𝑈𝛿
𝑥3
+ 𝜈
𝑈
𝑥𝛿
𝐸𝑛 𝑥:
𝑈2
𝑥
+
𝑈2
𝑥
= −
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+ 𝜈
𝑈
𝑥2
+ 𝜈
𝑈
𝛿2
Comparando con los ordenes de magnitude de la direccion en x:
𝛿
𝑥
𝑈2
𝑥
+
𝑈2
𝑥
= −
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑦
+
𝛿
𝑥
𝜈
𝑈
𝑥2
+ 𝜈
𝑈
𝛿2
Los terminus inerciales y viscosos de la ecuacion en 𝑥 son de
orden (𝛿/𝑥) menores que aquellos de la ecuación en 𝑦.
Ecuaciones de capa limite
Luego, al despreciarlos
0 = −
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑦
Y se tiene que la presion no dependera de la coordenada
transversal y solo depende de la coordenada longitudinal
𝝏𝒖
𝝏𝒙
+
𝝏𝒗
𝝏𝒚
= 𝟎
𝒖
𝝏𝒖
𝝏𝒙
+ 𝒗
𝝏𝒖
𝝏𝒚
= −
𝟏
𝝆
𝝏𝑷
𝝏𝒙
+ 𝝂
𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒚𝟐
Entonces en la capa limite tenemos como ecuaciones:
Ecuaciones de capa limite
Puesto que la presion no depende de la coordenada transversal,
la distribucion de presion a lo largo de la capa limite debe ser la
misma que la del flujo externo. Este al ser un flujo potencial e
irrotacional nos permite utilizar la ecuacion de Bernoulli
𝑃
𝜌
+
1
2
𝑈2 = 𝑐𝑡𝑡𝑒
En general, la velocidad 𝑈 será función de 𝑥. Derivando la
ecuación de Bernoulli
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑥
=
1
𝜌
𝑑𝑃
𝑑𝑥
= −𝑈
𝜕𝑈
𝜕𝑥
Luego al sustituir en la ecuacion de momentum se obtiene la
llamada ecuacion de Prandtl:
𝒖
𝝏𝒖
𝝏𝒙
+ 𝒗
𝝏𝒖
𝝏𝒚
= 𝑼
𝝏𝑼
𝝏𝒙
+ 𝝂
𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒚𝟐
Ecuaciones de capa limite
𝝏𝒖
𝝏𝒙
+
𝝏𝒗
𝝏𝒚
= 𝟎
𝒖
𝝏𝒖
𝝏𝒙
+ 𝒗
𝝏𝒖
𝝏𝒚
= 𝑼
𝝏𝑼
𝝏𝒙
+ 𝝂
𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒚𝟐
Las condiciones de borde son:
𝑢 𝑥, 0 = 0
𝑣 𝑥, 0 = 0
Pared sin deslizamiento
𝑢 𝑥, 𝑦 → ∞ = 𝑈(𝑥) Solucion potencial
La ultima condicion permite “empatar” el flujo interno de capa
limite con elflujo externo o potencial
CONTENIDO
1. Introducción
2. Adimensionalización de las ecuaciones
3. Capa limite. Espesores de capa limite
4. Ecuaciones de capa limite
5. Solución de Blasius
6. Ecuación Integral de Von Karman
7. Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman
8. Separación
Solución de Blasius
La solución de las ecuaciones de capa limite de Prandlt para un
flujo externo constante sobre una placa plana fue obtenida por
Blasius.
Tenemos como condiciones de borde:
𝑢 → 𝑈 𝑒𝑛 𝑦 → ∞
𝑢 = 0
en 𝑦 = 0
𝑣 = 0
𝑢 = 𝑈 𝑒𝑛 𝑥 = 0
Solución de Blasius
𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 𝜈
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
Reduciendo la ecuación de momentum a:
𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 𝑈
𝜕𝑈
𝜕𝑥
+ 𝜈
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
Nuestras ecuaciones de capa limite:.
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= 0
Al tener un flujo externo constante. 𝑈
𝜕𝑈
𝜕𝑥
= 0
Introduciremos una función corriente definida por
𝑢 =
𝜕𝜓
𝜕𝑦
𝑣 = −
𝜕𝜓
𝜕𝑥
Solución de Blasius
𝜕𝜓
𝜕𝑦
𝜕2𝜓
𝜕𝑥𝜕𝑦
−
𝜕𝜓
𝜕𝑥
𝜕2𝜓
𝜕𝑦2
= 𝜈
𝜕3𝑢
𝜕𝑦3
El uso de la función corriente satisface la ecuación de continuidad y
permite escribir la ecuación de momentum como:
Las formas de los
perfiles de velocidad
poseen una
geometría similar
que difieren solo por
un factor de
proporcionalidad
Buscaremos una solución basada en
propiedades de similaridad, y escojeremos:
𝜓 = 𝜈𝑈𝑥𝑓(𝜂) 𝜂 = 𝑦 ∙ 𝑔 𝑥 =
𝑦
𝜈𝑥/𝑈
Solución de Blasius
Y veamos que ocurre con cada uno de la ecuación de momentun
expresada en términos de la función corriente
𝜕𝜓
𝜕𝑥
= 𝜈𝑈𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
+
𝜈𝑈
2 𝑥
𝑓 = −
𝜂
2
𝜈𝑈
𝑥
𝑓′(𝜂) +
1
2
𝜈𝑈
𝑥
𝑓(𝜂)
𝜕𝑓(𝜂)
𝜕𝑥
=
𝜕𝑓
𝜕𝜂
𝜕𝜂
𝜕𝑥
= −
𝑦
2𝑥 𝑥
𝑈
𝜈
𝜕𝑓
𝜕𝜂
= −
𝜂
2𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝜂
= −
𝜂
2𝑥
𝑓′(𝜂)
𝜕𝑓(𝜂)
𝜕𝑦
=
𝜕𝑓
𝜕𝜂
𝜕𝜂
𝜕𝑦
=
𝑈
𝜈𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝜂
=
𝑈
𝜈𝑥
𝑓′(𝜂)
𝜓 = 𝜈𝑈𝑥𝑓(𝜂)
𝜂 =
𝑦
𝜈𝑥/𝑈
𝜕𝜓
𝜕𝑦
= 𝜈𝑈𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑈𝑓′(𝜂)
𝜕2𝜓
𝜕𝑦2
=
𝜕(𝑈𝑓′(𝜂))
𝜕𝑦
= 𝑈
𝜕(𝑓′(𝜂))
𝜕𝜂
𝜕𝜂
𝜕𝑦
= 𝑈
𝑈
𝜈𝑥
𝑓′′(𝜂)
Solución de Blasius
𝜕3𝜓
𝜕𝑦3
=
𝜕
𝜕𝑦
𝑈
𝑈
𝜈𝑥
𝑓′′ 𝜂 = 𝑈
𝑈
𝜈𝑥
𝜕(𝑓′′(𝜂))
𝜕𝜂
𝜕𝜂
𝜕𝑦
=
𝑈2
𝜈𝑥
𝑓′′′(𝜂)
𝜕2𝜓
𝜕𝑦𝜕𝑥
=
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝜓
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑥
𝑈𝑓′(𝜂) = 𝑈
𝜕 𝑓′(𝜂)
𝜕𝜂
𝜕𝜂
𝜕𝑥
= −
𝜂𝑈
2𝑥
𝑓′′(𝜂)
Sustituyendo:
𝑈𝑓′(𝜂) −
𝜂𝑈
2𝑥
𝑓′′ 𝜂 − −
𝜂
2
𝜈𝑈
𝑥
𝑓′ 𝜂 +
1
2
𝜈𝑈
𝑥
𝑓 𝜂 𝑈
𝑈
𝜈𝑥
𝑓′′(𝜂) = 𝜈
𝑈2
𝜈𝑥
𝑓′′′(𝜂)
Simplificando:
−
𝜂𝑈2
2𝑥
𝑓′(𝜂)𝑓′′ 𝜂 −
𝑈2
2𝑥
−𝜂𝑓′ 𝜂 + 𝑓 𝜂 𝑓′′(𝜂) =
𝑈2
𝑥
𝑓′′′(𝜂)
Solución de Blasius
−
𝜂𝑈2
2𝑥
𝑓′ 𝜂 𝑓′′ 𝜂 +
𝑈2
2𝑥
𝜂𝑓′ 𝜂 𝑓′′ 𝜂 −
𝑈2
2𝑥
𝑓 𝜂 𝑓′′(𝜂) =
𝑈2
𝑥
𝑓′′′(𝜂)
−
1
2
𝑓 𝜂 𝑓′′(𝜂) = 𝑓′′′(𝜂)
𝒇′′′ 𝜼 +
𝟏
𝟐
𝒇 𝜼 𝒇′′(𝜼) = 𝟎
Veamos sus condiciones de borde
𝑢 𝑥, 0 = 0 ⇒
𝜕𝜓(𝑥, 0)
𝜕𝑦
= 0 ⇒ −𝑈𝑓′ 0 = 0 ⇒ 𝒇′ 𝟎 = 𝟎
𝑣 𝑥, 0 = 0 ⇒
𝜕𝜓(𝑥, 0)
𝜕𝑥
= 0 ⇒ −
𝜂
2
𝜈𝑈
𝑥
𝑓′(0) +
1
2
𝜈𝑈
𝑥
𝑓(0) = 0 ⇒ 𝒇 𝟎 = 𝟎
Solución de Blasius
𝑢 → 𝑈 𝑒𝑛 𝑦 → ∞ ⇒
𝜕𝜓
𝜕𝑦
= 𝑈𝑓′ 𝜂 → 𝑈 𝑒𝑛 𝜂 → ∞
⇒ 𝒇′ 𝜼 → 𝟏 𝒆𝒏 𝜼 → ∞
En resumen, llegamos a
𝒇′′′ 𝜼 +
𝟏
𝟐
𝒇 𝜼 𝒇′′(𝜼) = 𝟎
Con
𝒇′ 𝟎 = 𝟎𝒇 𝟎 = 𝟎
𝒇′ 𝜼 → 𝟏 𝒆𝒏 𝜼 → ∞
Usando técnicas numéricas se determina 𝑓 y en consecuencia las
componentes de la velocidad
𝑣 = −
𝜕𝜓
𝜕𝑥
=
𝜂
2
𝜈𝑈
𝑥
𝑓′ 𝜂 −
1
2
𝜈𝑈
𝑥
𝑓(𝜂)𝑢 =
𝜕𝜓
𝜕𝑦
= 𝑈𝑓′(𝜂)
Se redujo la EDP a una EDO con condiciones de borde bien
definidas
Solución de Blasius
Algunos valores de la velocidad en function de 𝜂 se presentan en
la siguiente tabla:
Solución de Blasius
Graficamente:
Solución de Blasius
El esfuerzo de corte sobre la placa viene dado por
𝜏0 𝑥 = 𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑦
(𝑥, 0) = 𝜇
𝜕2𝜓
𝜕𝑦2
(𝑥, 0)
𝜏0 𝑥 = 𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑥, 0 = 𝜇
𝑈
𝜈𝑥
𝑓′′ 0
Adimensionalizando: 𝜏0 𝑥
𝜌𝑈2/2
= 2
𝜈
𝑥𝑈
𝑓′′(0)
Luego:
Donde:
𝜏0 𝑥
𝜌𝑈2/2
=
2
𝑅𝑒𝑥
𝑓′′(0)
𝑅𝑒𝑥 =
𝑥𝑈
𝜈
Solución de Blasius
𝑓′′(0) es obtenido numéricamente, y posee un valor igual a 0.332
𝑪𝒇 =
𝝉𝟎 𝒙
𝝆𝑼𝟐/𝟐
=
𝟎. 𝟔𝟔𝟒
𝑹𝒆𝒙
Se define a 
𝝉𝟎 𝒙
𝝆𝑼𝟐/𝟐
como el coeficiente local de friccion y se tiene
Otra cantidad de interés es la fuerza de arrastre que viene dada por:
𝐹𝐷 = 
0
𝑥
𝜏0 𝜉 𝑏𝑑𝜉
Donde 𝑏 es el ancho de la placa. Luego, se define el coeficiente de arrastre
𝐶𝐷 =
𝐹𝐷
1
2
𝜌𝑈2𝑏𝑥
=
 0
𝑥
𝜏0 𝜉 𝑏𝑑𝜉
1
2
𝜌𝑈2𝑏𝑥
Solución de Blasius
𝐶𝐷 =
 0
𝑥 0.664
𝑅𝑒𝜉
𝜌𝑈2
2
𝑏𝑑𝜉
1
2
𝜌𝑈2𝑏𝑥
=
0.664
x
 
0
𝑥 𝑑𝜉
𝑅𝑒𝜉
=
0.664
x
 
0
𝑥 𝑑𝜉
𝜉𝑈
𝜈
=
𝐶𝐷 =
0.664
x
1
1/2 𝑈/𝜈
𝜉1/2 
0
𝑥
=
1.328
𝑥1/2
1
𝑈/𝜈
𝑪𝑫 =
𝟏. 𝟑𝟐𝟖
𝑹𝒆𝒙
Solución de Blasius
De los valores numéricos se puede observar que 𝑢 = 0.99𝑈 cuando 𝜂~5
El espesor de capa limite es obtenido apartir de la definición de 𝜂 =
𝑦
𝜈𝑥/𝑈
𝛿 = 𝜂𝑢=0.99𝑈 𝜈𝑥/𝑈 = 5 𝜈𝑥/𝑈
𝜹
𝒙
= 𝟓
𝝂
𝒙𝑼
=
𝟓
𝑹𝒆𝒙
Similarmente, los espesores de capa limite de desplazamiento y momentum 
pueden ser obtenidos
𝛿
𝑥
=
1
𝑥
 
0
∞
1 −
𝑢
𝑈
𝑑𝑦 =
1.72
𝑅𝑒𝑥
𝜃
𝑥
=
1
𝑥
 
0
∞ 𝑢
𝑈
1 −
𝑢
𝑈
𝑑𝑦 =
0.664
𝑅𝑒𝑥
CONTENIDO
1. Introducción
2. Adimensionalización de las ecuaciones
3. Capa limite. Espesores de capa limite
4. Ecuaciones de capa limite
5. Solución de Blasius
6. Ecuación Integral de Von Karman
7. Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman
8. Separación
Ecuación Integral de Von Karman
La solución de Blasius corresponde a la solución de las ecuaciones
de capa limite para un flujo externo constante que fluje sobre una
placa plana sin transpiración, las formas de solución obtenidas
satisfacen las ecuaciones de capa limite para todos los puntos en
el espacio, es decir para cuales quiera valores de 𝑥 e 𝑦 . Sin
embargo, encontrar soluciones de este tipo no son siempre
posibles.
En ocasiones, a pesar de no ser posible una solución “diferencial”,
si lo es satisfacer las ecuaciones de conservación en un sentido de
promedios. Si las ecuaciones de capa limite son integradas
respecto a la dirección y encontraremos una ecuación que
representa el balance promedio de las fuerzas inerciales y
viscosas para cada posición 𝑥
Ecuación Integral de Von Karman
Consideremos un volumen de control estacionario fijo a la superficie
cuya longitud paralela a la placa es infinitesimal 𝛿𝑥 pero con una
altura finita y dada por 𝑌
Intentaremos desarrollar una ecuación diferencial que ya este
integrada en la dirección 𝑦
Ecuación Integral de Von Karman
Integremos nuestras ecuaciones en un V.C
𝛻 ∙ 𝜌𝑉 = 0
𝜌 𝑉 ∙ 𝛻 𝑢 = −
𝑑𝑃
𝑑𝑥
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
Integrando C. Masa:
 
𝑉
(𝛻 ∙ 𝜌𝑉)𝑑𝑉 = 
𝑆
𝜌(𝑉 ∙ 𝑑 𝑆) = 0
⇒
 
𝑺
𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑺) = 𝟎
Integrando C. Momentum en x:
𝛻 ∙ 𝑉𝜌𝑉 = 𝑉 𝛻 ∙ 𝜌𝑉 + 𝜌 𝑉 ∙ 𝛻 𝑉 = 𝜌 𝑉 ∙ 𝛻 𝑉
𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
= 𝜇
𝜕(𝜏𝑦)
𝜕𝑦
 
𝑉
𝑉 ∙ 𝛻 𝜌𝑢𝑑𝑉 = 
𝑉
−
𝑑𝑃
𝑑𝑥
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
𝑑𝑉
 
𝑉
𝛻 ∙ 𝑉𝜌𝑢 𝑑𝑉 = − 
𝑉
𝑑𝑃
𝑑𝑥
𝑑𝑉 + 
𝑉
𝜕(𝜏𝑦)
𝜕𝑦
𝑑𝑉
 
𝑺
𝝆𝒖(𝑽 ∙ 𝒅𝑺) = − 
𝑺
𝑷(𝒅𝑺 ∙ 𝒋) + 
𝑺
𝝉𝒚(𝒅𝑺 ∙ 𝒊)
⇒
Ecuación Integral de Von Karman
Resumiendo, nuestras ecuaciones de capa limite son
Forma diferencial:
𝜵 ∙ 𝝆𝑽 = 𝟎
𝝆 𝑽 ∙ 𝜵 𝒖 = −
𝒅𝑷
𝒅𝒙
+ 𝝁
𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒚𝟐
Forma Integral:
 
𝑺
𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑺) = 𝟎
 
𝑺
𝝆𝒖(𝑽 ∙ 𝒅𝑺) = − 
𝑺
𝑷(𝒅𝑺 ∙ 𝒋) + 
𝑺
𝝉𝒚(𝒅𝑺 ∙ 𝒊)
Ecuación Integral de Von Karman
Apliquemos nuestra ley de conservacion de la masa a nuestro V.C
𝜌𝑌𝑣𝑌𝛿𝑥𝑏 + 𝑏 
0
𝑌
𝜌𝑢𝑑𝑦 + 𝑏
𝑑
𝑑𝑥
 
0
𝑌
𝜌𝑢𝑑𝑦 𝛿𝑥 − 𝜌0𝑣0𝛿𝑥𝑏 − 𝑏 
0
𝑌
𝜌𝑢𝑑𝑦 = 0
𝝆𝒀𝒗𝒀 = 𝝆𝟎𝒗𝟎 −
𝒅
𝒅𝒙
 
𝟎
𝒀
𝝆𝒖𝒅𝒚
Ecuación Integral de Von Karman
Ahora nuestra ecuacion de momentum en direccion horizontal:
𝜌𝑌𝑢𝑌𝑣𝑌𝛿𝑥𝑏 + 𝑏 
0
𝑌
𝜌𝑢2𝑑𝑦 + 𝑏
𝑑
𝑑𝑥
 
0
𝑌
𝜌𝑢2𝑑𝑦 𝛿𝑥 − 𝑏 
0
𝑌
𝜌𝑢2𝑑𝑦
= 𝜏𝑌𝛿𝑥𝑏 − 𝜏0𝛿𝑥𝑏 + 
0
𝑌
𝑃𝑏𝑑𝑦 − 
0
𝑌
𝑃𝑏𝑑𝑦 + 
0
𝑌 𝑑𝑃
𝑑𝑥
𝑏𝑑𝑦
Ecuación Integral de Von Karman
Simplificando:
𝜌𝑌𝑢𝑌𝑣𝑌 +
𝑑
𝑑𝑥
 
0
𝑌
𝜌𝑢2𝑑𝑦 = 𝜏𝑌 − 𝜏0 − 
0
𝑌 𝑑𝑃𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝜏0
Introduciendo la expresion obtenida de la conservacion de la masa
𝑈𝜌𝑌𝑣𝑌 +
𝑑
𝑑𝑥
 
0
𝑌→∞
𝜌𝑢2𝑑𝑦 = −𝜏0 − 
0
𝑌→∞ 𝑑𝑃
𝑑𝑥
𝑑𝑦
Consideremos que el volume de control se extiende lo suficiente tal
que 𝑢𝑌 = 𝑈 y
𝜕𝑢
𝜕𝑦𝑦=𝑌
= 0 esto ultimo conlleva a 𝜏𝑌 = 0
𝑼𝝆𝟎𝒗𝟎 − 𝑼
𝒅
𝒅𝒙
 
𝟎
𝜹
𝝆𝒖𝒅𝒚 +
𝒅
𝒅𝒙
 
𝟎
𝜹
𝝆𝒖𝟐𝒅𝒚 + 
𝟎
𝜹 𝒅𝑷
𝒅𝒙
𝒅𝒚 = −𝝉𝟎
Ecuación Integral de Von Karman
Como se escogió que el V.C se extendiera mas alla de la inflluenia de la capa
limite podemos relacionar mediante la ecuación de Bernoulli la presión con
la velocidad de la corriente libre:
𝑑𝑃
𝑈
= −𝑑
𝑈2
2
⇒
𝑑𝑃
𝑑𝑥
= −𝜌∞𝑈
𝑑𝑈
𝑑𝑥
Y luego:
𝑼𝝆𝟎𝒗𝟎 − 𝑼
𝒅
𝒅𝒙
 
𝟎
𝜹
𝝆𝒖𝒅𝒚 +
𝒅
𝒅𝒙
 
𝟎
𝜹
𝝆𝒖𝟐𝒅𝒚 + 
𝟎
𝜹
−𝝆∞𝑼
𝒅𝑼
𝒅𝒙
𝒅𝒚 = −𝝉𝟎
𝑼𝝆𝟎𝒗𝟎 +
𝒅
𝒅𝒙
 
𝟎
𝜹
𝝆𝒖(𝒖 − 𝑼)𝒅𝒚 + 
𝟎
𝜹
−𝝆∞𝑼
𝒅𝑼
𝒅𝒙
𝒅𝒚 = −𝝉𝟎
CONTENIDO
1. Introducción
2. Adimensionalización de las ecuaciones
3. Capa limite. Espesores de capa limite
4. Ecuaciones de capa limite
5. Solución de Blasius
6. Ecuación Integral de Von Karman
7. Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman
8. Separación
Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman
Apliquemos el método integral al flujo uniforme en estado
permanente sobre una placa plana que no posee transpiracion.
Al tener que la velocidad del flujo es uniforme
𝑑𝑃
𝑑𝑥
= −𝜌∞𝑈
𝑑𝑈
𝑑𝑥
= 0
Y además al tener una placa sin transpiración 𝒗𝟎 = 𝟎
Nuestra ecuacion integral de capa limite queda simplificada de
la forma:
𝑑
𝑑𝑥
 
0
𝛿
𝜌𝑢2𝑑𝑦 − 𝑈
𝑑
𝑑𝑥
 
0
𝛿
𝜌𝑢𝑑𝑦 = −𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑦=0
𝑑
𝑑𝑥
 
0
𝛿
(𝜌𝑢2 − 𝜌𝑈𝑢)𝑑𝑦 + 𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑦=0
= 0
𝜏0 = 𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑦=0
El esfuerzo de corte en la pared viene dado por:
Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman
Debemos ahora suponer una forma para el perfil de velocidades
Una solución bastante aceptable puede ser obtenida al considerar
un perfil simple de una parábola cuadrática. Sin embargo una
cubica permite obtener una mejor solución ya que tenemos que la
segunda derivada de la velocidad respeto a y se hace cero en la
pared.
Tomemos: 𝑢 = 𝑎 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑦2 + 𝑑𝑦3
Requerimos 4 condiciones (o ecuaciones) para determinar los
coeficientes del polinomio
De las condiciones de borde: En 𝑦 = 0 
𝑢 = 0
𝑣 = 0 En 𝑦 = 𝛿 
𝑢 = 𝑈
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 0
Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman
Nuestra ecuación de capa limite de Prandlt nos permite obtener a 
partir de la condición de 𝑣 𝑦 = 0 = 0 que 
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
(𝑦 = 0) = 0
Con estas cuatro condiciones:
𝑢
𝑈
=
3
2
𝑦
𝛿
−
1
2
𝑦
𝛿
3
Sustituyendo en nuestra ecuacion integral:
𝑑
𝑑𝑥
 
0
𝛿
𝜌
3
2
𝑦
𝛿
−
1
2
𝑦
𝛿
3 2
−
3
2
𝑦
𝛿
+
1
2
𝑦
𝛿
3
𝑑𝑦
+ 𝜇
𝜕
𝜕𝑦
3
2
𝑦
𝛿
−
1
2
𝑦
𝛿
3
𝑦=0
= 0
Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman
𝑑
𝑑𝑥
 
0
𝛿
𝜌𝑈2
9
4
𝑦2
𝛿2
−
3
2
𝑦4
𝛿4
+
1
4
𝑦6
𝛿6
−
3
2
𝑦
𝛿
+
1
2
𝑦3
𝛿3
𝑑𝑦 +
3𝜇
2𝛿
𝑈 = 0
𝑑
𝑑𝑥
𝜌𝑈
3
4
𝑦3
𝛿2
−
3
10
𝑦5
𝛿4
+
1
28
𝑦7
𝛿6
−
3
4
𝑦2
𝛿
+
1
8
𝑦4
𝛿3
+
3𝜇
2𝛿
= 0
𝒅
𝒅𝒙
𝝆𝜹𝑼
𝟑𝟗
𝟐𝟖𝟎
=
𝟑𝝁
𝟐𝜹
Integrando y usando como condicion de borde: 𝛿 𝑥 = 0 = 0
𝜹 =
𝟖𝟒𝟎
𝟑𝟗
𝝁𝒙
𝝆𝑼
=
𝟒. 𝟔𝟒𝟏 𝒙
𝑹𝒆𝒙
Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman
𝜏0 = 𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑦=0
= 𝜇
3
2
𝑈
𝛿
= 0.3233
𝜇𝑈
𝑥
𝑅𝑒𝑥
Para hallar el esfuerzo de corte en la pared usamos las expresiones 
𝑢
𝑈
=
3
2
𝑦
𝛿
−
1
2
𝑦
𝛿
3
y
𝛿
𝑥
=
4.641
𝑅𝑒𝑥
Luego: 𝐶𝑓 =
𝜏0
𝜌𝑈2/2
=
0.647
𝑅𝑒𝑥
Al comparar con la solución exacta
𝛿
𝑥
=
4.641
𝑅𝑒𝑥
𝜹
𝒙
𝑩𝒍𝒂𝒔𝒊𝒖𝒔
=
𝟓
𝑹𝒆𝒙
Representa una diferencia de 7%
Representa una diferencia de 
2.6% respecto a la sol exacta
CONTENIDO
1. Introducción
2. Adimensionalización de las ecuaciones
3. Capa limite. Espesores de capa limite
4. Ecuaciones de capa limite
5. Solución de Blasius
6. Ecuación Integral de Von Karman
7. Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman
8. Separación
Separación
Se tiene, de observaciones experimentales, que la capa limite
tiene tendencia a separarse de la superficie en la que fluye para
formar una estela. Esta conlleva a una diferencia de presión
importante en el cuerpo que resulta en un incremento sustancial
de la fuerza de arrastre. En cuerpos cilíndricos a altos números
de Reynolds, la fuerza de arrastre producida por los efectos
viscosos es incluso despreciable en comparación con aquella que
genera los efectos de la presión.
Separación
Consideremos la solución potencial para el flujo sobre un
cilindro sin circulación, se tiene que las componentes de la
velocidad son:
𝑢𝑅 = 𝑈𝑐𝑜𝑠 1 −
𝑎2
𝑅2
𝑢𝜃 = 𝑈𝑠𝑖𝑛 1 +
𝑎2
𝑅2
Sobre una línea de corriente tendremos que la presión se
obtiene a partir de:
𝑃0
𝜌
+
1
2
𝑈2 =
𝑃
𝜌
+
1
2
𝑢𝜃
2
La presión sobre la superficie del cilindro (𝑟 = 𝑎) viene dada por
𝑃0
𝜌
+
1
2
𝑈2 =
𝑃
𝜌
+
1
2
𝑢2 =
𝑃
𝜌
+
1
2
(𝑢𝑅
2 + 𝑢𝜃
2)
Separación
𝑃0
𝜌
+
1
2
𝑈2 =
𝑃
𝜌
+ 2𝑈2 sin2 𝜃 ⇒ 𝑃 = 𝑃0 +
1
2
𝜌𝑈2(1 − 4 sin2 𝜃)
Separación
A medida que nos movemos aguas abajo, la presión sobre el cilindro que habia
alcanzado su menor valor en q 𝜃 = 𝜋/2 comienza a incrementarse. Este gradiente
de presion adverso (en sentido contrario a la velocidad, es capaz de detener el flujo
en el punto de estancamiento 𝜃 = 𝜋).
Al incluir los efectos de capa limite tenemos que la presion dentro de la capa limite
no cambia en direccion perpendicular al flujo.
La inercia del flujo es menor al interior de la capa limite debido a la adherencia a
la pared. En consecuencia, la existencia de este gradiente de presion podria
detener el flujo.
Separación
De la ecuación de momentum en la capa limite
𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+ 𝜈
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
En las cercanías de la pared los términos inerciales son
prácticamente nulos 𝑢, 𝑣 → 0 por lo que
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑥
= 𝜈
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
Y al ser el gradient de presion positivo 𝜕
2𝑢
𝜕𝑦2
> 0
Y en consecuencia:
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑦+∆𝑦
>
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑦
Separación
Luego, dependiendo de la inercia del fluido se podría producir
una situación como la siguiente:
Capitulo 7
Capa Limite
Mecánica de los Fluidos I
Prof. Richard Oliva Denis