Ejercicio de Cinemática de Fluidos

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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR 
DIVISIÓN DE MATEMÁTICA Y FÍSICA 
DEPARTAMENTO DE MECÁNICA 
Mecánica de los Fluidos I (MC-2312) 
 
Instructor: Freddy Maan 
Trimestre: Enero-Indeterminado 2019 
 
Ejercicio de repaso: 
 
 Se trata de un ejercicio de cinemática del Roca Vila (Capítulo 3). 
 Aclarando el enunciado y la figura: 
 En primer lugar, expliquemos un poco la figura. El sólido en movimiento consta de 
un tubo dispuesto verticalmente, y una base de sección circular (dicha base vendría siendo 
la lámina circular de diámetro 2R). Este cuerpo está descendiendo a velocidad constante 
U0, con la cual se aproxima a un plano infinito (que puede interpretarse como el suelo). La 
situación que nos interesa es que entre la lámina circular y el suelo hay un fluido, dispuesto 
de forma cilíndrica, de altura "y" y radio "r", que se va aplastando conforme la lámina 
circular desciende. 
 Esencialmente, lo que se pide en el problema es la velocidad "U", con la que el 
fluido se traslada radialmente, como consecuencia del aplastamiento. El hecho de que se 
hable de que el radio de la lámina circular (R, para un diámetro total de 2R) es mucho 
mayor que la altura del cilindro de fluido sirve para darle fundamento a la suposición de 
que todo el fluido se trasladaría radialmente con velocidad uniforme (no variará según la 
altura a la que se encuentre el fluido), y si bien esto no es del todo cierto, pues, en la 
realidad, muy probablemente se crearía un perfil no uniforme de velocidades, la 
aproximación es válida. Si la altura del cilindro de fluido fuese considerable, la variación en 
la velocidad del fluido según la altura podría representar un factor de peso. Por otro lado, en 
la figura se ilustra que el radio del cilindro de fluido es menor que el de la lámina circular, y 
si este último es muy grande (como se sugiere en el enunciado), se puede suponer que la 
totalidad del fluido siempre estará siendo aplastada por la lámina circular, como si la 
lámina circular fuese literalmente infinita, lo cual incentiva una idea análoga a la anterior, 
de que la velocidad tampoco varía según la posición radial del fluido. Es decir, sin importar 
cuán lejos se encuentre una partícula de fluido del centro del cilindro, dado que todas están 
siendo aplastadas por la lámina circular a velocidad U0, se aproximará que todas tienen la 
misma velocidad radial en un mismo instante de tiempo. 
 Razonamiento: 
 Pensemos esto de manera similar a un problema de mecánica de materiales II, en el 
que se está comprimiendo un sólido al aplicarle presión desde la parte superior, lo cual hará 
que dicho sólido "se aplane", o dicho de otra forma, que pierda altura y se "ensanche" (se 
vuelva más ancho). En este caso en particular, se trata de un fluido que inicialmente posee 
forma cilíndrica, por lo que su altura disminuye y su radio aumenta conforme la lámina 
circular desciende. Si se conoce la "forma" en la que la altura disminuye, debería poder 
relacionarse con la "forma" en la que el radio aumenta. 
 Al igual que en mecánica de materiales II, podría resultar de utilidad suponer que el 
material que se está estudiando es incompresible. Que un sólido sea incompresible suele 
implicar que su volumen físico no cambia, debido a que las pérdidas de masa en un sólido 
suelen darse por fracturas o roturas del material. Por otro lado, dada la "volatilidad" de los 
fluidos, para que su volumen físico no cambie, aún siendo incompresible, se debe estar 
seguro de que no hay entradas ni salidas de masa. En este punto toma algo de relevancia el 
hecho de que la lámina circular se esté considerando de radio infinito, pues sin importar 
cuánto descienda, por ser "muy grande", siempre estará aplastando a todo el fluido (por más 
que el radio del cilindro fluídico aumente al disminuir su altura, ninguna partícula de fluido 
escapará del aplastamiento), por lo que se descartan pérdidas de masa para este sistema, y 
dado que tampoco hay entrada o ganancia de masa, esta se mantiene constante, por lo que, 
en este caso, si el fluido fuese incompresible, su volumen físico sería constante en el 
tiempo, sin importar cuánto se deforme. 
 
 
 
 
 
 Solución: 
 Si el volumen es constante en el tiempo, planteando el volumen de un cilindro: 
 
 Derivando en el tiempo, se obtiene: 
 
 
 
 
 
 
 Aplicando las reglas de la cadena y el producto para derivadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 En este momento es importante destacar que la tasa de cambio de la altura es 
equivalente a lo que desciende la lámina circular: 
 
 
 
 
 En otras palabras, lo que desciende la lámina circular debe ser equivalente a la 
compresión vertical del fluido. Por otro lado, el aumento del radio del fluido está 
directamente asociado con la velocidad radial del fluido, es decir: 
 
 
 
 
 Los que están en negritas son vectores. Nótese que en ambos casos se relacionaron 
los valores absolutos, pues las tasas de cambio temporales (las derivadas del radio y la 
altura en el tiempo) dependen de si los parámetros físicos aumentan o disminuyen. Por 
ejemplo, estrictamente hablando, la derivada de la altura en el tiempo debería ser negativa, 
debido a que esta disminuye, decrece en el tiempo, mientras que el radio aumenta, por lo 
que su derivada debe ser positiva. Por otro lado, las velocidades dependen del sistema de 
referencias que se tome, del signo se atribuya a los sentidos direccionales, por ejemplo, si 
una velocidad radial se considera negativa si el vector apunta fuera de la circunferencia o se 
considera negativa si apunta hacia el centro de esta. Para lidiar con esta ambigüedad es que 
se relaciona el valor absoluto de las tasas de cambio con el módulo de las velocidades. 
 La suposición de que el fluido es incompresible se traduce, en este caso, a que la 
derivada de su volumen físico en el tiempo sea nula, es decir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Despejando la tasa de cambio radial, se obtiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aplicando valor absoluto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Por otro lado, podemos referirnos a los módulos de los vectores también como el 
propio vector, pero sin las negritas, es decir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Obteniéndose: 
 
 
 
 
 Análisis de resultados: 
 Tal como puede apreciarse, suponer que el fluido era incompresible (que su 
densidad no varíaba) nos llevó al resultado correcto. Tal como se suele hacer en varios 
problemas de termodinámica, a falta de datos, se supuso la idealidad (como cuando se 
hacen suposiciones respecto a los equipos en los ciclos termodinámicos, con lo cual se 
logra que el número de incógnitas no exceda el número de ecuaciones), y se llegó al 
resultado correcto. Se pudo hacer esta suposición debido a que, en el enunciado, no se 
mencionó explícitamente que el fluido fuese compresible; de haber sido ese el caso, se 
trataría de un problema diferente que debería contar con al menos un dato adicional (la 
forma en la que varía la densidad en el tiempo, por ejemplo) para poder resolverse. 
 Lo interesante de esta respuesta es que es general. Los parámetros de altura "y", y 
de radio "r" son variables en el tiempo, conforme uno disminuye, el otro aumenta; pero la 
velocidad radial siempre tendrá la forma obtenida, en todo instante de tiempo, hasta llegar, 
teóricamente, a una compresión total (altura nula y radio infinito). 
 Este problema también es útil para entender que la cinemática de los fluidos no se 
reduce simplemente a calcular campos de velocidades, rotacionales y vorticidades. Hay un 
mundo más extenso, másallá de derivar y hacer productos vectoriales. Si bien podría 
considerarse que no es un repaso, pues yo no había hecho nada como esto en clases, sigue 
sin ser un tema nuevo, pues cinemática ya fue evaluada en el segundo examen parcial. 
 Análisis adicional: 
 Suele ser bueno hacerse preguntas adicionales respecto a todo lo que se resuelve. La 
que yo me hice en este caso fue ¿La velocidad radial es constante? Se sabe que la velocidad 
de descenso de la lámina circular es constante, pero la velocidad radial también depende del 
radio y de la altura, pero estos son variables. ¿Es posible que las variaciones de ambos se 
compensen entre sí de modo que la velocidad radial sea constante? Probablemente no sea el 
caso, pero es fácil de averiguar, relacionando ambos parámetros: 
 
 
 
 
 Sustituyendo esto en la expresión 11, se obtiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sabiendo que el volumen es constante y recordando que la velocidad U0 también lo 
es (y por ende su módulo), se determina que la velocidad radial no es constante, y crece 
conforme aumenta el radio, que es exactamente lo que ocurre. 
 
 
 
 
 Esta última ecuación es un resumen de todo el planteamiento. Dado que el radio 
varía en el tiempo (aumenta conforme la lámina circular desciende), y se determinó que la 
velocidad radial puede escribirse únicamente como función del radio (es decir que varía 
conforme el radio lo hace), esto implica que la velocidad radial varía en el tiempo. Esto 
mismo se podía determinar colocando la velocidad radial como función de la altura "y". 
 Para concluir, quiero hacer énfasis en la diferencia entre "constante" y "uniforme". 
Una magnitud se considera constante cuando no varía en el tiempo, y se considera uniforme 
cuando no varía en el espacio. En este problema, la velocidad radial se considera uniforme, 
pues se plantea que todo el fluido (todas y cada una de sus partículas) se mueve con la 
misma velocidad radial, esto es una aproximación, pero si las dimensiones del fluido son lo 
suficientemente pequeñas y las de la lámina circular lo suficientemente grandes, la 
aproximación gana validez. Por otro lado, la velocidad radial no es constante, varía en cada 
instante de tiempo, tal como acaba de determinarse.