Flujo Compresible

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FLUJO COMPRESIBLE
ECUACION DE ONDA DE CHOQUE
ONDAS DE CHOQUE
Una onda de choque es una onda de presión o acústica de
intensidad finita, es decir, las variaciones en la propiedades del
flujo se manifiestan en un entorno muy cercano al frente de
onda. Este entorno es tan pequeño que se considerará como
una discontinuidad en el flujo. Se verá que las ondas de choque
se encuentran sólo en flujo supersónicos.
En las ondas de choque normales o planas el vector velocidad
del flujo es normal a la superficie que contiene la onda tanto
antes como después de la onda. En éste tipo de ondas de
choque el flujo despúes de la onda será siempre subsónico.
Dado que el espesor de la onda es infinitesimal y que a través
de la onda ocurren cambios finitos en las propiedades y
parámetros del flujo, los términos diferenciales se pueden
considerar como despreciables.
En medios compresibles (gases) las perturbaciones en el medio
se transmiten como ondas de presión a distintas velocidades,
por ejemplo, al mover la mano desplazamos aire a la velocidad
de la mano, al hablar producimos una onda que se mueve
aproximadamente a la velocidad del sonido y un pistón de
automóvil produce una onda de choque que se mueve a
velocidad del pistón, por lo general a una velocidad superior a la
del sonido.
Si la perturbación se produce a una velocidad menor a la del
sonido, la perturbación es la responsable de que el gas se
adapte a la forma del obstáculo para que, por ejemplo, al mover
la mano no se quede un vacío de gas en el lugar que ocupaba la
mano anteriormente. El gas llena los huecos debido a que la
perturbación le informa de a dónde tiene que ir.
ONDAS DE CHOQUE
ONDAS DE CHOQUE
En la mecánica de fluidos, una onda de choque es una onda de
presión fuerte que a través de diversos fenómenos produce
diferencias de presión extremas y aumento de la temperatura (si
bien la temperatura de remanso permanece constante de acuerdo
con los modelos más simplificados). La onda de presión se
desplaza como una onda de frente por el medio. Una de sus
características es que el aumento de presión en el medio se
percibe como una explosiones.
Pero si la perturbación se mueve más rápida que la velocidad
del sonido, la materia del medio en las cercanías del origen de la
perturbación no puede reaccionar lo suficientemente rápido
para evadir a la perturbación. El valor de las condiciones del gas
(densidad, presión, temperatura, velocidad, etc.) cambian casi
momentáneamente para adaptarse a la perturbación. Así se
producen ondas de perturbación con aumento de presión y
temperatura, llamadas ondas de choque. El vacío que crea el
pistón al moverse de una posición a otra se llena mediante unos
mecanismos distintos a los de movimiento subsónico, las ondas
de Rankine-Hugoniot u ondas de expansión.
ONDAS DE CHOQUE
Hay dos tipos fundamentales de ondas de choque que en la
física son equivalentes y solamente se distinguen en la elección
del sistema de referencia:
Ondas progresivas en medio parado: son producidas por
perturbaciones súbitas en un medio, como a través de una
explosión o un pistón en un motor, tubo de choque, etc. Se
mueven a velocidad supersónica y realmente el observador está
quieto en el medio y ve pasar la onda en movimiento.
Ondas estáticas en medio fluido: son producidas cuando hay un
objeto moviéndose a velocidad supersónica relativa al medio, es
decir, el observador está montado sobre la onda y ve moverse al
medio, por ejemplo un avión volando a velocidad supersónica.
ONDAS DE CHOQUE
ECUACIONES DE ONDA DE CHOQUE
Se describe el flujo producido antes y despues de la onda de choque en un
volumen de control, en el cual el flujo es uniforme.
En este flujo denotaremos las condiciones de flujo supersónico en frente de la
onda de choque como 1 y detras de la onda de choque como 2.
Si aplicamos la ecuación de energía de flujo, continuidad, momentum y la
segunda ley de la termodinámica:
A
m
UU
TTC
UU
hhq
UU
TTC
UU
hhq
V
hq
WEEQ
p
p
.
2211
1
2
2
2
12
1
2
2
2
1212
1
2
2
2
12
1
2
2
2
1212
2
211221
vρvρ
DCONTINUIDA DE ECUACION II)
2
)(
2
0q
malinfinitesi longitud
 de sepor choque de onda unaen calor de ncia transferela ledespreciab doConsideran
2
)(
2
q estados, 2 para ,
2
)()(
ENERGIA DE ECUACION I)









 
ECUACIONES DE ONDA DE CHOQUE
0S
ICATERMODINAMLA DE LEYSEGUNDA V)
Tρ
P
Tρ
P
ESTADO DE ECUACION IV) 
)(P
malinfinitesi longitud
 de sepor choque de onda unaen fricción de efecto el ledespreciab doConsideran
0
2
MOVIMIENTO DE CANTIDAD III)
12
22
2
11
1
12
.
12
2




S
UU
A
m
P
UdUdx
D
U
fdp 
ECUACIONES DE ONDA DE CHOQUE
Combiando las ecuaciones II, III y IV , obtenemos:
 
 
1
2
2
2
2
2
1
2
1
01
2
22
2
22
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
1
NTOESTANCAMIE DE PRESIONES DE RELACION 4)
 
1
1
ASTEMPERATUR DE RELACION 3)
 
1
1
DENSIDADES DE RELACION 2)
 
1
1
PRESIONES DE RELACION 1)


















 






 

















K
K
O
M
K
M
K
P
P
P
P
KM
KM
M
M
P
P
M
M
T
T
KM
KM
M
M
T
T
P
P
KM
KM
P
P


FLUJO COMPRESIBLE CON 
TRANSFERENCIA DE CALOR EN 
TRAMOS RECTOS
FLUJO EN UN DUCTO CON INTERCAMBIO DE CALOR
Estudio del flujo en un ducto de sección constante y sin fricción, pero donde se
considera apreciable el intercambio de calor con el exterior.
Las ecuaciones básicas ya han sido establecidas en láminas anteriores y las
indicamos a continuación:
22
2
11
1
12
.
12
.
2211
1
2
2
2
12
1
2
2
2
1212
2
Tρ
P
Tρ
P
ESTADO DE ECUACION IV)
)(P
MOVIMIENTO DE CANTIDAD DE ECUACION III)
vρvρ
DCONTINUIDA DE ECUACION II)
2
)(
2
q estados, 2 para ,
2
ENERGIA DE ECUACION I)







UU
A
m
P
A
m
UU
TTC
UU
hhq
V
hq p
FLUJO EN UN DUCTO CON INTERCAMBIO DE CALOR
Observamos que las ecuaciones II, III y IV son las mismas que se utilizaron para
deducir la onda de choque:
 
 
1
2
2
2
2
2
1
2
1
01
2
22
2
22
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
1
NTOESTANCAMIE DE PRESIONES DE RELACION 4)
 
1
1
ASTEMPERATUR DE RELACION 3)
 
1
1
DENSIDADES DE RELACION 2)
 
1
1
PRESIONES DE RELACION 1)


















 






 











K
K
O
M
K
M
K
P
P
P
P
KM
KM
M
M
T
T
KM
KM
M
M
T
T
P
P
U
U
KM
KM
P
P


FLUJO EN UN DUCTO CON INTERCAMBIO DE CALOR
Es de notar que la relación entre los números de Mach M1 y M2 no es la misma
aquí que en el caso de la onda de choque. En efecto la ecuación de energía no es
la misma en ambos casos, ya que el fenómeno de la onda de choque se supone
adiabático y aquí es la hipótesis contraria.
Entropía de un gas perfecto
Introduciendo la relación de presiones y temperaturas en la ecuación anterior,
tenemos:
 lnln
1
2
1
2
12
P
P
R
T
T
CSS p 
 
 222
22
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
212
1
1
: tenemosentalpías derelación la de
1
1
ln 
1
1
1
ln2
kM
kM
M
M
h
h
kM
kM
k
k
kM
kM
M
M
C
SS
p










FLUJO EN UN DUCTO CON INTERCAMBIO DE CALOR
Las ecuaciones constituyen una representación paramétrica de la curva, en el
plano h-s, llamada curva de Rayleigh, siendo el número de Mach el parámetro. La
curva representada constituye el lugar geométrico de los puntos representativos
de las condiciones del flujo en un ducto, para cualquier valor de calor
introducido.
Al visualizar la curva de Rayleigh, se pueden apreciar los puntos de máxima
entropía y entalpía. Para ello se calcula dh/ds, evaluando separadamente ds/dM y
dh/dM.
Al realizar ds/dM el punto de máxima entropía corresponde a la siguiente
relación:
Al realizar dh/dM el punto de máxima entalpía corresponde a lasiguiente
relación:
1M para obtiene se , 
ds
dh
k
1
M para obtiene se ,0 
ds
dh
FLUJO EN UN DUCTO CON INTERCAMBIO DE CALOR
FLUJO EN UN DUCTO CON INTERCAMBIO DE CALOR
FLUJO COMPRESIBLE CON 
FRICCION EN TRAMOS RECTOS
FLUJO EN UN DUCTO CON FRICCION
Estudio del flujo en un ducto de sección constante con fricción interna en las
paredes sin transferencia de calor.
Las ecuaciones básicas son:
22
2
11
1
2
.
2211
0102
1
2
2
2
12
1
2
2
2
12
1
2
2
2
12
1
2
2
2
1212
2
211221
Tρ
P
Tρ
P
ESTADO DE ECUACION IV)
0
2
MOVIMIENTO DE CANTIDAD DE ECUACION III)
vρvρ
DCONTINUIDA DE ECUACION II)
0)(
0
2
)(
2
0q para
2
)(
2
q estados, 2 para ,
2
)()(
ENERGIA DE ECUACION I)














 
UdUdx
D
U
fdp
cte
A
m
TTC
UU
TTC
UU
hh
UU
TTC
UU
hhq
V
hq
WEEQ
p
p
p

FLUJO EN UN DUCTO CON FRICCION
De la ecuación de número de Mach y la ecuación de gas perfecto, tenemos:
:obtenemos 4y 3 2, ecuaciones las Combinando
4 Ec. ,
P
dP
donde de ,
U
T
R
A
m
 T R ρP perfecto gas del estado deecuación la de
3 Ec. ,
2
1
1
U
dU
dU/U despejandoy dT/T eliminando ,
T
dT
M
dM
2
U
dU
 2 ldiferencia formaen 1ecuación La
Ec.2 )1(
T
dT
 obtenemos ,
1
 
C
comoy 1ecuación lapor dividimos la si 0, dU UdT C energía deecuación la de
1 Ec. U T RK M que tienese ,
C
U
.
2
2
p
p
22
U
dU
T
dT
M
k
M
dM
U
dU
MkR
k
k
KRT
U
M







 








FLUJO EN UN DUCTO CON FRICCION
De la ecuación de número de Mach y la ecuación de gas perfecto, tenemos:





 








 







2
3
23
2
2
2
2
1
1
12
D
dx f
simples fraccionesen expresión la endodescomponi
6 Ec. ,
2
1
1
)1(2
D
dx f
:obtenemos movimiento de cantidad deecuación laen ecuaciones las combinando
 Ec.5, ,
M
dM
M
2
1k
1
 1)M(k1
P
dP
M
k
M
dM
k
k
M
dM
k
M
k
kM
M
FLUJO EN UN DUCTO CON FRICCION
Si integramos la ecuación diferencial de cantidad de movimiento:
Desde el origen de la tubería x=0 donde M=M1 hasta x=L donde M=M2,
obtenemos:





 



2
3
2
1
1
12
D
dx f
M
k
M
dM
k
k
M
dM
k







































2)1(
)1(
ln
2
1
1
11
D
l fm
1M críticacondición la para
2)1(
2)1(
ln
2
1111
D
l fm
2
1
2
12
1
*
2
1
22
1
22
1
Mk
k
M
k
k
Mk
Mk
Mk
M
M
k
k
MMk
FLUJO EN UN DUCTO CON FRICCION
12
1
2
11
2
2
1
2
1
1
2
2
2
1
1
2
1
1
M
M
U
U
obtenemos ,
2
1
1
U
dU
 : 3 Ec. la de mismo Así
7 Ec. ,
2
1
1
2
1
1
P
P
MM donde ly x p1p donde 0 xentre integramos si , 
M
dM
M
2
1k
1
 1)M(k1
P
dP
:5ecuación la De








 






 







 







 









M
k
M
k
M
k
M
dM
M
k
M
k
M
M
FLUJO EN UN DUCTO CON FRICCION
2
1
2
1
2
2
M
2
1k
1
 M
2
1)(k
1
T
T
:nuevamente integrando e
3 Ec. ,
2
1
1
U
dU
Ec.2 )1(
T
dT
 3y 2 ecuaciones las combinando forma, misma la De










 



M
k
M
dM
U
dU
Mk
FLUJO EN UN DUCTO CON FRICCION
 
   ln2ln
entropía deexpresión laen ecuaciones las ndointroducie ,
2
 mh 
p
:estado deecuación la deexpresión 
una obtiene se T Cp h perfecto gasun de entalpía la defunción en estado deecuación la escribimos Si
2
 ln
:estado deecuación la dey entropía ,específicocalor de
 esdefinicion las de obtenida perfecto gasun de entropía la de conocidaexpresión la departir A 
1)/2-(k
0
1
.
1
1
12
.
.
k1
1
12
hhhC
m
A
C
R
p
ss
hhAC
R
hhA
m
P
P
Css
v
k
p
k
op
o
v



































FLUJO EN UN DUCTO CON FRICCION
CURVA DE FANNO
FLUJO EN UN DUCTO CON FRICCION