Guía Geanette Polanco

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Flujo en canales abiertos
Número de Froude / Energía 
EspecíficaEspecífica
Prof. Geanette Polanco
Sept-Dic 2012
¿Qué significa el estudio de flujo a superficie 
libre?
Es la aplicación de las leyes de balance de masa y energía, 
ya estudiados a un nuevo escenario físico caracterizado 
por la presencia de presión atmosférica en la superficie del 
líquido
Flujo a superficie libre
Numéro de Froude
Se conoce como la relación entre las fuerzas inerciales y la 
Número adimensional:
Lg
V
Fr
⋅
=
Se conoce como la relación entre las fuerzas inerciales y la 
fuerza de gravedad
También se puede interpretar como la relación de la 
velocidad del flujo y la velocidad característica que tendría 
el fluido cuando este está solo sometido al campo 
gravitatorio
3
22
gravedaddeFuerzas
inercialFuerza
gVL
LρV=
Clasificación del Flujo
Según el valor del número de Froude tendremos
Supercrítico Crítico Subcrítico
Fr>1 Fr=1 Fr<1
• También se conocen como tranquilo (subcrítico) y rápido 
(supercrítico)
• La comprensión de la naturaleza del flujo pasa por 
entender como se propagan las ondas superficiales y a 
ello se dedica la próxima sección
Clasificación del Flujo
Consideraciones:
Para V<c, (Fr<1), las perturbaciones viajan en todas direcciones.
Para V>c, (Fr>1), las perturbaciones no pueden viajar aguas arriba debido a 
la rapidez del flujo.
Para V=c (Fr=1), la onda permanece estacionaria.
Energía específica
Hz
g
V
=+
2
2
Volviendo al planteamiento de la ecuación de Bernoulli sobre una línea de 
corriente ubicada justo en la superficie, se mantiene que las componentes de 
energía cinética y la energía potencial son las dos contribuciones importantes 
al nivel de energía del sistema
Hz
g
=+
2
Si el canal es horizontal y se coloca la referencia justo al nivel del fondo 
entonces la ecuación de Bernoulli se escribe como:
pérdidasy
g
V
g
p
y
g
V
g
p
B
BB
A
AA +++=++
22
22
ρρ
Energía específica
Hz
g
V
=+
2
2
Si el canal tiene fondo variable entonces la ecuación de Bernoulli se escribe 
como:
( ) ( ) pérdidaszyVzyV BA +++=++
22
( ) ( ) pérdidaszy
g
zy
g BfondoB
B
AfondoA
A +++=++ __ 22
y
g
V
Es +=
2
2
Si se introduce el concepto de energía específica:
( ) ( ) pérdidaszEszEs BfondoBAfondoA ++=+ __
Energía específica
y
g
V
Es +=
2
2
Si se introduce el concepto de energía específica:
Si se grafica el concepto de energía específica junto con la ecuación de 
continuidad, pensando el un canal de ancho constante, sobre los ejes 
Profundidad y Energía se obtiene: Profundidad y Energía se obtiene: 
byVQ ⋅⋅=
yVq ⋅=
y
yg
q
Es +
⋅⋅
=
2
2
2
Medidor de tirante crítico
3
1
2
3
2






==
g
qEs
y cc
5
10
15
20
25
30
P
ro
fu
nd
id
ad
 [
m
]
5
6
7
bq,
g
VEs cc
23
2
=c
c
c yg
V
Es +=
2
2
0
0 10 20 30
Energía específica [m]
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6 7
Velocidad de onda en el campo gravitatorio 
Consideremos un fluido en reposo. De repente, la pared 
inicialmente estacionaria se mueve con velocidad dV . Lejos 
de la pared, el fluido no se entera del movimiento. Cerca de la 
pared, el fluido se mueve con velocidad dV. Entre ambas 
regiones una onda superficial de flujo se desplaza, 
propagando la perturbación, con una velocidad c.
Velocidad de onda en el campo gravitatorio 
Cambiemos el punto de vista del observador. Si un observador se mueve con 
velocidad c, el flujo lucirá como permanente, tal como se muestra:
El fluido a la izquierda se 
desplaza con velocidad (-c + 
dV) hacia la izquierda.
Si consideramos aplicar las ecuaciones de continuidad y cantidad de 
movimiento sobre el volumen de control mostrado, podremos obtener 
una expresión para la velocidad de la onda superficial de flujo.
El fluido a la derecha se desplaza 
con velocidad –c hacia la izquierda.
Velocidad de onda en el campo gravitatorio 
Aplicando la ecuación de continuidad sobre la superficie de control:
( ) ( ) 0ˆˆˆˆ =+⋅+−+⋅−=⋅∫ ibyyiVciybicndAV
s
δδ
( )yy δ+
De donde se obtiene que existe una relación entre la velocidad de la onda, la 
velocidad del desplazamiento de la pared y el tamaño de onda
( )
y
yy
Vc
δ
δδ +=
Velocidad de onda en el campo gravitatorio 
Aplicando la ecuación de cantidad de movimiento sobre la superficie de control:
( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∂
∂+⋅=+
VCSCVCSC
dVV
t
AdVVdVBdAT ρρρ
rrrrrr
Velocidad de onda en el campo gravitatorio 
Tomando en cuenta las componentes en la dirección horizontal y para un 
sistema donde los efectos viscosos son despreciables, la distribución presión se 
considera hidrostática y además tomando en cuenta que las ondas son 
pequeñas
( )( )22
2
yyy
gb
dAT −+=∫∫ δ
ρr
( )yy <<δ
2SC
∫∫
0=∫∫∫
VC
dVBρ
r
0=
∂
∂
∫∫∫
VC
dVV
t
ρ
r
( ) ( ) ( )( )yyVcycbAdVV
SC
δδρρ ++−−=⋅∫∫
22
rrr
Velocidad de onda en el campo gravitatorio 
( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∂
∂+⋅=+
VCSCVCSC
dVV
t
AdVVdVBdAT ρρρ
rrrrrr
c
g
y
V =
δ
δ
cy
=
δ
Combinando los resultados anteriores, se obtiene que:
gyc =
Donde y se puede considerar como la longitud característica del sistema 
Resultado independiente de la naturaleza 
del fluido (densidad, viscosidad). 
Si consideramos ahora una onda de flujo sobre una superficie libre como la 
mostrada en la figura 
Velocidad de onda en el campo gravitatorio 
Utilizando la ecuación de Bernoulli sobre la línea de corriente que coincide con 
la superficie libre, despreciando los efectos viscosos (no existen pérdidas)
Todos los puntos de la superficie libre están a la misma presión. En 
consecuencia podemos escribir
cttey
g
V
g
p
y
g
V
g
p
B
BB
A
AA =++=++
22
22
ρρ
cttey
g
V
=+
2
2
Diferenciando se obtiene:
0=+ y
g
VV δδ
V
g
y
V −=
δ
δ
Mientras que de la ecuación de continuidad
ctteVy =
Velocidad de onda en el campo gravitatorio 
0=⋅+⋅ VyyV δδ
ctteVy =
Al derivar se obtiene que:
y
V
y
V −=
δ
δ
Por lo tanto: 
y
V
V
g −=−
ygV ⋅=
ygc ⋅=
Como V es la velocidad 
de la superficie u onda 
para el sistema, entonces 
es igual a c
Flujo a superficie libre 
El flujo con superficie libre tiene la capacidad de cambiar de forma, según el estado 
de esfuerzos al que este sometida. Una vez perturbada, la superficie libre trata de 
regresar al estado de mínima energía y se producen ondas.
Estas ondas son de naturaleza muy variadas
–Amplitud: altas o pequeñas
–Longitud de onda: largas o cortas
–Forma: lisas o rotas (espumas)
El movimiento de estas ondas es, en general, muy complejo. Es importante El movimiento de estas ondas es, en general, muy complejo. Es importante 
conocer los casos fundamentales para comprender el flujo con superficie
libre.
Flujo en canales abiertos
Diagramas de energía
Prof. Geanette Polanco
Sept-Dic 2012
Diagrama de energía versus 
longitud
Es de común uso los diagramas de energía versus longitud para sistemas 
de tuberías, como el mostrado a continuación:
Q1
400 L/s
Q2
Diagrama de energía versus 
longitud
Note que para canales no se incluye el termino de presión, ya que esta 
se mantiene constante a lo largo de la linera de corriente ubicada en la 
superficie libre. Además. note que la energía potencia se divide en dos 
componentes la cota de fondo y la cota del fluido respecto al fondo
Diagrama de energía versus 
longitud
NOTAS IMPORTANTES:
• Para canales no se incluye el término de energía de presión 
en el gráfico de energía, ya que éste se mantiene constante 
a lo largo de la linera de corriente ubicada en la superficie 
libre. libre. 
•La energía potencia se divide en dos componentes la cota 
de fondo y la cota del fluido respecto al fondo
•El orden de magnitud de las pérdidas debido al roce se 
considera menos que las pérdidas ocurridas en un resalto 
hidráulico a menos que se trate de unas longitudes 
excepcionalmente elevadas
Diagrama de energía versus longitud / Diagrama de 
energía específica
El diagrama de energía versus longitud esta estrechamente 
relacionado con el diagrama de energía especifica, así como 
en el caso de tuberías este diagrama esta relacionado conel 
diagrama de energía versus caudal.
4
32
1
4
3
P
ro
fu
nd
id
ad
Energía
Comportamiento del flujo a superficie libre
Para cada sección de flujo tenemos la representación de la 
energía especifica según se muestra en base a una referencia 
tomada en la base del fondo del canal
Comportamiento del flujo a superficie libre
Comportamiento del flujo a superficie libre
Comportamiento del flujo a superficie libre
Comportamiento del flujo a superficie libre
Comportamiento del flujo a superficie libre
Comportamiento del flujo a superficie libre
Comportamiento del flujo a superficie libre
Comportamiento del flujo a superficie libre
Flujo en canales abiertos
Flujo variadoFlujo variado
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Sept-Dic 2012
¿Qué sucede en los casos de flujo 
variados?
En este tipo de flujo la profundidad del líquido 
transportado por el canal varía a lo largo del 
canal, es decir, la variable “y” no es constante 
y en consecuencia la velocidad promedio de y en consecuencia la velocidad promedio de 
la sección varía.
Esta variación en la profundidad desde la 
superficie variación hasta el fondo del canal, 
obedece estrictamente a la física plasmada 
en el balance de energía.
Enfoques de solución
Existen dos enfoques para la solución de éste Existen dos enfoques para la solución de éste 
tipo de problemas:
•Enfoque integral / Método de segmentos
•Enfoque diferencial / Método de integral
Flujo variado enfoque integral / 
Método de los segmentos
Recuerde que debido a que la presión se mantiene constante a lo largo 
de la línea de corriente ubicada en la superficie libre, éste término no se 
incluye en el balance de energía ni en el diagrama de energía en función 
de la longitud, tal como muestra la figura.
Note que en este diagrama sólo se contemplan las pérdidas generadas 
por el resalto y por el obstáculo.
Flujo variado enfoque integral / 
Método de los segmentos
No obstante, si se incluyen las pérdidas generadas por fricción, 
asumiendo que varían linealmente con la longitud el gráfico cambia y se 
genera una nueva línea de energía.
Flujo variado enfoque integral / Método de los segmentos
Tomando una sección genérica para la conservación de la energía, 
se tiene que:
1221 hfHH +=
energía
fondofondo
S
L
zy
g
V
zy
g
V
=








+





+−






+





+
12
22
2
2
11
2
1
22
Estableciendo la pendiente de la línea de energía, se obtiene que:
energíaSL
hf
L
HH ==−
−− 21
12
21
21
Flujo variado enfoque integral / Método de los segmentos
Note que:
12*21 LSzz fondofondofondo =−
Reescribiendo la ecuación se obtiene que:
fondoenergía SSL
y
g
V
y
g
V
−=






+−





+
12
2
2
2
1
2
1
22
Flujo variado enfoque integral / Método de los segmentos
Hasta ahora sólo se ha expresado la ecuación de balance de energía, sin 
embargo, la expresión de Chezzy-Manning establece que el equilibrio entre 
las fuerzas de fricción y las gravitaciones para flujo uniforme cuando la 
pendiente de la línea de energía es igual a la pendiente del fondo del canal: 
21321 SAR
n
Q ∝
Para adaptar la ecuación de Chezzy – Manning a flujo variado se 
ÁreaA...
energíadePendienteS...
hidráulicoRadioR...
ManningdeeCoeficientn...
CaudalQ...
Para adaptar la ecuación de Chezzy – Manning a flujo variado se 
establece que S que aparece en la ecuación sea la pendiente de la 
línea de energía y no de fondo.
2132 SAR
n
C
Q =
Constante...C
Flujo variado enfoque integral / Método de los segmentos
fondoenergía SSL
y
g
V
y
g
V
−=






+−





+
12
2
2
2
1
2
1
22
Si se establece el cumplimiento de ambas ecuaciones más la ecuación de 
continuidad se puede establecer segmento a segmento la variación de la 
profundidad en un tramo de longitud L12.
L12
energíaSCAR
nQ =





2
32
( )dprofundidafVAVQ .. ==
Flujo variado enfoque integral / Método de los segmentos
Para evaluar de manera representativa la ecuación de Chezzy-Manning para el 
segmento entre los puntos 1 y 2, se debe utilizar el valor promedio de los variables 
geométricas del segmento de longitud L12.
energía
promediopromedio
S
RCA
nQ =








2
32
promediopromedioRCA 


)( promediopromedio yAA =
)( promediopromedio yRR =
Siendo el área y el radio hidráulico promedio, éstas mismas funciones evaluadas 
en la profundidad promedio
Flujo variado enfoque integral / Método de los segmentos
Para evaluar de manera representativa la ecuación de Chezzy-Manning para el 
segmento entre los puntos 1 y 2, se debe utilizar el valor promedio de los variables 
geométricas del segmento de longitud L12.
energía
promediopromedio
S
RCA
nQ =








2
32
promediopromedioRCA 


)( promediopromedio yAA =
)( promediopromedio yRR =
Siendo el área y el radio hidráulico promedio, éstas mismas funciones evaluadas 
en la profundidad promedio
Flujo variado enfoque integral / Método de los segmentos
¿Qué se quiere resolver?
Note que dada una condición de flujo conocida (sección 1), se 
desea conocer la profundidad en la sección 2 
¿Cómo resolver el problema?
Se busca la solución del sistema de tres ecuaciones
fondoenergía SSL
y
g
V
y
g
V
−=






+−





+
12
2
2
2
1
2
1
22
energíaSCAR
nQ =





2
32
( )dprofundidafVAVQ .. ==
Flujo gradualmente variado / 
Método por segmentos
Y1 DATO
Área 1
Perímetro 1
Área promedio
Perímetro promedio
Radio Hidráulico 
promedio
Propuesta de solución
( )
fondoenergía SS
yy
g
VV
L
−
−+




 −
=∆
21
2
2
2
1
2
2
3
3
2
..
.








=
RAC
Qn
S
Perímetro 1
Ancho superficial 1
Radio Hidráulico 1
Velocidad 1
Froude 1
Área 2
Perímetro 2
Ancho superficial 2
Radio Hidráulico 2
Velocidad 2
Froude 2
Y2=Y1+∆Y
2
3
3
2
..
.








=
RAC
Qn
Senergía
Flujo variado enfoque diferencial / Método de integración
Tomando una sección diferencial genérica para la conservación de 
la energía, se tiene que:
1221 hfHH +=
energía
fondo
S
dL
zy
g
V
d
=








+







+
2
2
Estableciendo la pendiente de la línea de energía, se obtiene que:
energíaSdL
dH =
Flujo variado enfoque integral / Método de integración
Note que:
fondo
fondo S
dL
dz
=
Reescribiendo la ecuación se obtiene que:
fondoenergía SSdL
dy
dL
dV
g
V −=+
fondoenergía SSdL
dy
dL
A
Qd
g
V −=+





Flujo variado enfoque integral / Método de integración
Reescribiendo la ecuación se obtiene que:
fondoenergía SSdL
dy
dL
dy
yTg
VQ
dL
dy
dL
yd
Tg
VQ −=+−=+





2
1
1
SS
dydyV −=+− 1
2
fondoenergía SSdL
dy
dL
dy
yg
V −=+− 1
fondoenergía SSgy
V
dL
dy −=





+− 1
2
( ) fondoenergía SSFrdL
dy −=+− 12 ( )12 +−
−
=
Fr
SS
dL
dy fondoenergía
Flujo variado enfoque integral / Método de integración
Reescribiendo la ecuación se obtiene que:
( )
dy
SS
Fr
dL
fondoenergía−
+−= 1
2
( )
dy
Fr
dLL
yL
∫∫ −
+−==
22 12
dy
SS
dLL
y fondoenergíaL
∫∫ −==
11
Siendo Fr, el número de Froude
3
2
gA
TQ
Fr =
Con T siendo el ancho superficial de la superficie libre del canal
Flujo variado enfoque integral / Método de integración
Procedimiento propuesto:
La forma más sencilla de lograr esta evaluación de la integral es la 
realización de la integral numéricamente evaluando la función en 
diferentes puntos, para así generar la función y luego calcular la 
integral como el área bajo la curva, tal como muestra la figura.
Profundidad
F(y) Aprox. Por integración
F
un
ci
ón
 d
en
tr
o 
de
 la
 in
te
gr
al
Flujo gradualmente variado / 
Método por integración / Ejemplo
( ) ( )23211
3
11
2
..
1
1
RACnQSo
gATQ
Yf
−
−=Y1 DATO
Área 1
Perímetro 1
Ancho superficial 1
Radio Hidráulico 1
Procedimiento propuesto:
Y2=Y1+∆Y
Área 2
Perímetro 2
Ancho superficial 2
Radio Hidráulico 2
( ) ( )23222
3
22
2
..
1
2
RACnQSo
gATQ
Yf
−
−=
Se grafica f(Y)Se calcula el área bajo la curva
Flujo en canales abiertos
Resalto HidráulicoResalto Hidráulico
Prof. Geanette Polanco
Sept- Dic 2012
Perfiles de flujo en secciones transversales
La velocidad que se utiliza en las 
ecuaciones corresponde a la 
velocidad promedio del perfil 
correspondiente
La velocidad que se utiliza en las 
ecuaciones corresponde a la 
velocidad promedio del perfil 
correspondiente
( ) dAnxVQ (∫=
Perfiles de flujo en secciones transversales
Cambio de sección transversal de flujo
Al contraerse el canal, el caudal por unidad de ancho aumenta.
Las curvas q asociadas a un mayor caudal por unidad de ancho se 
alejan hacia la derecha en el gráfico y=y(E) ya que, para y=ctte, tenemos
Cambio de sección transversal de flujo
Como el flujo por unidad de 
ancho es menor para el caso 1, 
también lo será el término de 
energía cinética y por lo tanto su 
representación de energías es 
más cercana a la línea de 
pendiente 1 que la curva 
correspondiente a la sección 2
Flujos laminar y turbulento
ρ hVR=Re
Naturaleza del flujo
– Laminar (Re<500)
– Turbulento (Re>12500)
µ
ρ hVR=ReNúmero de Reynolds
hR Radio Hidráulico
Clasificación del Flujo / Resalto hidráulico
dy/dx = 0 FU
Flujo no uniforme o flujo variado dy/dx ≠ 0 
dy/dx ~ 1 FRV 
El flujo no uniforme se clasifica en FGV y/o FRV
dy/dx << 1 FGV 
Resalto 
hidráulico
Resalto hidráulico
Conservación de la energía
1221 hfkHH +=
Consideración de pérdidas:
012 ≠hfk
Resalto hidráulico 
Si se realiza un balance de fuerzas sobre el volumen de 
control que se asume el ancho “b” constante para la 
sección del canal donde este ocurre el resalto
( ) ( )12111221 VVbyVVVQFF −=−=− ρρ
Y el balance de masa expresa que:
QbyVbyV == 2211
qyVyV == 2211
Resalto hidráulico 
1
1 y
q
V =
2
q
V =
Incorporando las definiciones de hidroestática y de 
continuidad al balance de momentum:
by
y
gF 1
1
1 2
ρ=
by
y
gF 2ρ=
2
2 y
V =






−=−
12
1
1
2
2
1
1
22 y
q
y
q
by
y
q
by
y
gby
y
g ρρρ






−=−
12
22
2
2
1 11
22 yyg
qyy
bygF 2
2
2 2
ρ=
Resalto hidráulico 






−=−
12
22
2
2
1 11
22 yyg
qyy
0
112 2
2
2
2
1 =−





−− y
yyg
q
y 02
12
1 =−



−− y
yyg
y
Reordenando:
0
2
21
21
2
2
2
2
1 =




 −−−
yy
yy
g
q
yy
Resalto hidráulico 
Utilizando la definición del producto notable mostrado:
( )( )21212221 yyyyyy +−=−
0
12 2
21 =





−+
yyg
q
yy
Utilizando la definición del producto notable mostrado:
21



 yyg
Identificando la definición del número de Froude:
( ) ( ) gy
V
bAg
V
TAg
V
Fr ===
3
2
2
22
2
gy
q
gyy
q
gy
V
Fr ===
Resalto hidráulico 
0
112
21
3
13
1
2
21 =





−+
yy
y
yg
q
yy
0
1
2 21
2
121 =





−+
y
yFryy
Identificando que la ecuación resultante corresponde aun 
polinomio de segundo orden en y2 y a la vez en y1, su 
solución puede ser planteada en función de la resolvente:
2



 y
02 21
2
121
2
2 =−+ yFryyy
0
2
1
2
1 2
22
1
12
1
2
2
1 =−− y
Fr
y
Fr
yy
Polinomio en y2
Polinomio en y1 pero 
con coeficientes 
implícitos
Resalto hidráulico 
( )214 222 yFryy −××−±−
{ {
02
2
1
2
1
1 2
2
1
2
121
1
2
2 =−+
===
43421
yFrCyBA
yFryyy
Polinomio en y2
( )
2
214 1111
2
yFryy
y
−××−±−
=







 +±−
=
2
811 21
12
Fr
yy
Resalto hidráulico Polinomio en y1
{
0
2
1
2
1
2
22
1
2
1
2
2
1
2
22
1
2
1
12
1
2
1
2
1 =−−
−=−=
= 4342143421
y
Fr
C
Fr
yB
A
y
Fr
y
Fr
yy
Note que los coeficientes B y C son dependientes del Note que los coeficientes B y C son dependientes del 
valor de y1, por lo tanto son implícitos. Si se desea 
calcular y1 en función de y2, entonces se vuelve a la 
ecuación general y se expresa en función del número de 
Froude evaluado en el punto 2:
0
112
21
3
23
2
2
21 =





−+
yy
y
yg
q
yy
Resalto hidráulico Polinomio en y1
0
1
1
2
2
2
221 =





−+
y
yFryy
{ {
02 22
2
221
1
2
1 =−+
==
43421
yBA
yFryyy
2
2
2
2
2 21 === yFrCyBA







 +±−
=
2
811 22
21
Fr
yy
Resalto hidráulico 
Lo que implica que existen dos valores de la profundidad, 
para cada valor del número de Froude. Éstos valores se 
conocen como las alturas conjugadas y pueden ser 
ubicadas como las soluciones univocas entre ellas.
1y 2y
Alturas conjugadas
1Fr 2Fr
Resalto hidráulico 
Graficando estas funciones podemos observar:
5
6
7
Fr1 y2/y1
1,0 1,00
1,5 1,68
2,0 2,37
2,5 3,07 y
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6
y2/y1
2,5 3,07
3,0 3,77
3,5 4,47
4,0 5,18
4,5 5,88
5,0 6,59
1
2
y
y
1Fr
Resalto hidráulico 
Volviendo al balance de energía se obtiene:
2,122
2
2
11
2
1
22
hfkzy
g
V
zy
g
V +++=++
Reordenando las expresiones se obtiene:








−+−= 2
2
2
1
2
212,1
11
2 yyg
q
yyhfk
Resalto hidráulico 














−+−=
2
2
1
1
2
1212,1 12
1
y
y
yFryyhfk








2
21 yyhfk
Pérdidas de energía en el resalto














−+−=
2
12
1
1
2
1
2,1 1
2
1
1
y
y
Fr
y
y
y
hfk
( )
21
2121
3
1
3
2
2,1 4
3
yy
yyyyyy
hfk
−+−=
Resalto hidráulico 
¿Fr1 debe ser siempre supercrítico?
Partiendo del hecho de que luego del resalto en 
flujo aumenta su profundidad
12 yy 〉 12 yy 〉
Por lo tanto la solución física de la resolvente 
corresponde al término positivo de la raíz:







 ++−
=
2
811 21
12
Fr
yy
Resalto hidráulico 
Y dado que: 12 yy 〉
1
2
1
1 2
811
y
Fr
y 〉






 ++−
Despejando Froude1 de la ecuación anterior queda: 
Por lo tanto se demuestra que la condición para 
que se cumpla el resalto debe ser súper crítica
111
2
1
12
8
1
2
1
1
1 ==







−










 +〉
y
y
Fr
Flujo en canales abiertos
OptimizaciónOptimización
Prof. Geanette Polanco
Sept-Dic 2012
Flujo a superficie libre / Canales
Principio físico del problema de 
optimización
Se trata de determinar la relación de 
aspectos más favorable para el transporte 
de una cierta cantidad de fluido, a través 
de un canal de forma, pendiente y material de un canal de forma, pendiente y material 
conocidos.
NO SE DETERMINAN VALORES SOLO 
PROPORCIONES
Una vez conocidas estas proporciones 
óptimas si se pueden determinar valores 
de diseño
Principio físico del problema de 
optimización
Para capturar la interacción entre los 
fenómenos gravitatorio y viscosos la 
relación funcional base de cálculo es la 
ecuación de Chezzy Manningecuación de Chezzy Manning
21321 SAR
n
Q ∝
ÁreaA...
canaldelfondodePendienteS...
hidráulicoRadioR...
ManningdeeCoeficientn...
CaudalQ...
Profundidad normal

Es la profundidad que representa el 
equilibrio en la ecuación de Chezzy-
Manning


















=
inglésSistema
49.1
nalinternacioSistema
00.1
2132
2132
SAR
n
SAR
nQ
Formas geométricas comunes 
de canales
Área y perímetro
La función área se refiere a la superficie de la 
sección transversal ocupada por el fluido 
(mojada), que normalmente se expresa en 
función de las variables geométricas 
independientes.independientes.
La función perímetro mojado se refiere a la 
porción del perímetro de la sección mojada, que 
normalmente se expresa en función de las 
variables geométricas independientes.
Radio hidráulico
El radio hidráulico es el cociente entre el área de 
la sección mojada y el perímetro mojado. El 
perímetro mojado es el contorno de la sección 
que está en contacto con el agua.
La fórmula del radio hidráulico es:
Radio hidráulico (R) = Superficie de la sección 
mojada (A) / Perímetro mojado (P)
Formas geométricas comunes 
de canales
Ejemplo: Sección rectangular
La variables independientes 
necesarias para definir el área y 
el perímetro con el ancho “b” y el perímetro con el ancho “b” y 
la altura “y”. Siendo entonces 
Área (A) y perímetro (P) dos 
variablesdependientes.
{
( )nfby
by
var,.....var,var
2P
A
21
ntesindependie Variablesesdependient Variables
=





+
=





43421
Formas geométricas comunes 
de canales
Sección rectangular
Área:
Perímetro mojado 
byA =
Área Perímetro mojado
byP += 2
z
1
Formas geométricas comunes 
de canales
Sección Trapecial
Área:
( ) ( )zhbhabhhbBA +=+=+=
2
b
z
Perímetro mojado = h t
Área:
2
222 122 zhbhabP ++=++=
Perímetro
mojado 
Sección Triángular
Área:
Formas geométricas comunes 
de canales
2
2
zh
hB
A =⋅=
1Perímetro mojado = h t
2
21222 zhhP +==
z
1
Área
Perímetro
mojado 
Sección Semi circular
Área:
Formas geométricas comunes 
de canales
( ) ( )
82
22 αααα senDsenr
A
−=−=
Perímetro mojado 
82
2
αα DrP ==
Optimización de Formas 
geométricas comunes de canales
La sección más eficiente se estima para el 
transporte de una determinada cantidad 
de flujo y para una pendiente establecida:
32
21 00.1
ARK
n
S
Q
conocidosValores
==





43421
Si se deriva con respecto a una variable 
independiente genérica (var):
Optimización de Formas 
geométricas comunes de canales
  dKnQd
La derivada 
de éste 
Entonces,
0
var00.1var 21
==











d
dKn
S
Q
d
d
( )320 AR
dy
d=
de éste 
término es 
siempre 
nula
Reescribiendo la ecuación anterior:
Optimización de Formas 
geométricas comunes de canales
( )3235
32
varvar
0 −=













= PA
d
d
P
A
A
d
d ( )
varvar 

  dPd
( )
varvar3
5
var
0 353532323235
d
dP
PA
d
dA
APPA
d
d −−− −==
Para proseguir con el cálculo es necesario conocer la función del área y del 
perímetro de la figura en cuestión y la relación entre ambas parámetros 
dependientes
Manteniendo presente que existen funciones 
definidas para el área y el perímetro:
Optimización de Formas 
geométricas comunes de canales
( )nfA var,.......,var,var 211=
( )fP var,.......,var,var= ( )nfP var,.......,var,var 212=
Se busca hacer un cambio de variables de manera 
que: 
ó( )nPg var,....,var,var 211 = ( )nAg var,....,var,var 221 =
( )nPfA var,.......,var, 21= ( )nAfP var,.......,var, 22=
Caso 1: Si el área es función del perímetro, es decir,
La expresión de la derivada queda expresada como:
Optimización de Formas 
geométricas comunes de canales
( )nPfA var,.......,var, 21=
( )nPg var,....,var,var 211 =
La expresión de la derivada queda expresada como:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
var
var
var,.......,var,
var,.......,var,
3
5
0
135
1
35
232
2
32
1
d
gdP
gPA
d
PdA
PAgP nn
−
−
−
=
Para establecer un máximo o mínimo se requiere 
que 
La expresión de la derivada queda expresada como:
Optimización de Formas 
geométricas comunes de canales
( )nPfA var,.......,var, 21=
( )nPg var,....,var,var 211 =
La expresión de la derivada queda expresada como:
Dado que ni el área ni el perímetro pueden ser nulos 
se determina
( )
var
var,.......,var,
0 2
d
PdA n=
( )1g
( )
0
var
1 =
d
gdP
Caso 2: Si el área es función del perímetro, es decir,
La expresión de la derivada queda expresada como:
Optimización de Formas 
geométricas comunes de canales
( )nAfP var,.......,var, 21=
( )nAg var,....,var,var 221 =
La expresión de la derivada queda expresada como:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
var
var,.......,var,
var,.......,var,
var3
5
var,.......,var,0
235
2
35
2
232
2
32
2
d
AdP
APgA
d
gdA
gAAP
n
n
n
−
−
−
=
Para establecer un máximo o mínimo se requiere 
que 
La expresión de la derivada queda expresada como:
Optimización de Formas 
geométricas comunes de canales
( )nPfA var,.......,var, 21=
( )nPg var,....,var,var 211 =
La expresión de la derivada queda expresada como:
Dado que ni el área ni el perímetro pueden ser nulos 
se determina
( )
var
var,.......,var,
0 2
d
AdP n=
( )
0
var
2 =
d
gdA
Optimización de Formas 
geométricas comunes de canales
Dado que el desarrollo mostrado es 
genérico, observe que en caso de existir N 
variables independientes hará falta derivar 
respecto a N-1 variablerespecto a N-1 variable
Ejemplo: Una sección rectangular
Optimización de Formas 
geométricas comunes de canales
byA =
byP += 2 y
A
yP += 2
NOTE: que el despeje realizado 
corresponde al perímetro en función del 
área, por lo tanto se requiere que:
byP += 2
( )
dy
AdP=0
Ejemplo: Una sección rectangular
Optimización de Formas 
geométricas comunes de canales
( )
2
1
20
y
A
dy
PdA
y
−+=( )
dy
AdP=0
Devolviendo el cambio de variables
byA =
ydyy
220 y
A−=
22yA = yb 2=
dy
Flujo en canales abiertos
Compuertas y vertedrosCompuertas y vertedros
Prof. Geanette Polanco
Sept-Dic 2012
Vertederos
• El vertedero hidráulico es una estructura 
hidráulica destinada a permitir el pase, libre o 
controlado, del fluido en los escurrimientos 
superficiales.
• Aliviadero es una estructura exclusiva para el 
desagüe y no para la medición. 
Alivideros de Guri
Vertedero rectangular
Vertederos como medidores de 
flujo
Los vertederos constituyen un método simple para 
medir el caudal en flujos de agua. Conocida la 
geometría de la zona alta del vertedero y el nivel 
del agua sobre el vertedero
Balances de energía y 
vertederos
Para un vertededro genérico se pueden imponen las 
siguientes suposiciones del comportamiento del flujo:
1. Aguas arriba del vertedero el flujo es uniforme y la 
presión = ρgh (hidrostática)
2. La superficie libre permanece horizontal hasta el plano 2. La superficie libre permanece horizontal hasta el plano 
del vertedero y todas las partículas que pasan sobre el 
vertedero se mueven horizontalmente (en realidad la 
superficie libre cae cuando se aproxima al vertedero).
3. La presión atmosférica se mantiene a través de la 
lámina de líquido que pasa sobre el vertedero
4. Los efectos de la viscosidad y de la tensión superficial 
son despreciables.
Balances de energía y 
vertederos
Gráficamente se pueden expresar estas hipótesis 
como:
Balances de energía y 
vertederos
Al escribir la expresión de balance de energía entre el 
punto “A” (punto sumergido) y un punto de un 
volumen de control localizado a una distancia “h” de 
la superficie queda:
( )VVp
22
Dada la hipótesis de superficie de flujo horizontal y 
presión hidrostática antes de la vertedero:
( )hPH
g
V
z
g
Vp
wA
AA −++=++
22
2
2
2
γ
A
A H
p =
γ
( )wAA PHz
p +=+
γ
Balances de energía y 
vertederos
Entonces la velocidad en el punto 2 queda:








+= h
g
V
gV A
2
2
2
2 


 g2
De acuerdo a la definición del flujo se obtiene:
dAh
g
V
gdAVQ
Hh
h
A
A
∫∫
=
=








+==
0
2
2 2
2
Balances de energía y 
vertederos
Si el diferencial de área se puede expresar como un 
ancho constante por el diferencial de profundidad 
(diferencial rectangular) entonces:
bdldA = bdldA =


















−






+=
2
3
22
3
2
22
2
3
2
g
V
H
g
V
bgQ AA
Clasificación de los vertederos
Geométria
Existen muchos 
criterios de 
clasificación de 
los vertederos sin 
embargo aquí se 
Vertederos
Espesor
de pared
Funciona
miento
embargo aquí se 
presentan solo 
tres de ellos:
Clasificación de los vertederos
Desde el punto de vista de la pared donde 
se produce el vertimiento: 
• Vertedero de pared delgada
• Vertedero de pared gruesa
Clasificación de los vertederos
Desde el punto de vista de la sección por la 
cual se da el vertimiento: Rectangulares
• Trapezoidales
• Triangulares• Triangulares
• Circulares
• Lineales, en estos el caudal vertido es una 
función lineal del tirante de agua sobre la 
cresta
Clasificación de vertederos
Desde el punto de vista de su funcionamiento , 
en relación al nivel aguas abajo: 
Vertedero libre, no influenciado por el nivel aguas 
abajo
Vertedero ahogado
Vertederos de pared delgada 
(Sharp-crested weirs)
•Los vertederos rectangular y triangular son los 
más comunes
•Su estructura delgada está propensa a •Su estructura delgada está propensa a 
deteriorarsepor la erosión de la cresta 
•Su calibración debe ser chequeada 
periódicamente
•Su uso está limitado a canales pequeños y 
corrientes que no lleven escombros y sedimentos. 
Vertedero rectangular
La fórmula fundamental de caudal vertido en vertederos 
de sección rectangular, sin contracción, también conocido 
como vertedero de Bazin, es:
















−






+=
2
3
22
3
2
22
2
3
2
g
V
H
g
V
bgQ AA
Q = caudal en m3/s
b = ancho del canal en m
L = longitud de la solera del vertedero en m
H = altura de la lámina vertiente sobre la cresta en m
g = aceleración de la gravedad, en m/s2
VA = velocidad de llegada de la corriente inmediatamente 
aguas arriba del vertedero, en m/s




 223 gg
Vertedero rectangular
Una expresión simplificada es:
Q = caudal en m3/s
2
3
2
3
2
bHgCQ w=
Q = caudal en m3/s
Cw = coeficiente de escurrimiento (adim.)
b = ancho del canal en m
L = longitud de la solera del vertedero en m
H = altura de la lámina vertiente sobre la cresta en m
g = aceleración de la gravedad, en m/s2
V1 = velocidad de llegada de la corriente inmediatamente 
aguas arriba del vertedero, en m/s
Vertedero rectangular
Los valores Cw son 
dependientes de la 
geometría y del nivel de 
flujo:flujo:
Fuente: Munson. Fluid Mechanics






+=
w
w P
H
C 075.0611.0
Vertedero rectangular
Los valores Cw son dependientes 
de la geometría y del nivel de flujo:
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Vertedero_hidr%C3%A1ulico 
Vertedero triangular
Se recomienda su uso para medir caudales 
menores a 6 l/s.
El caudal sobre un aliviadero triangular es dado 
por la fórmula:
2
5
2
2
tan
15
8
HgCQ wt 




= θ
ϴ= ángulo del vértice del triángulo
Q = caudal en m3/s
Cwt = coeficiente de escurrimiento para una 
seccion triangular (adim.)
H = altura de la lámina vertiente sobre la cresta 
en m
g = aceleración de la gravedad, en m/s2
2
2
tan
15
HgCQ wt 



=
Vertedero triangular
El coeficiente para los vertederos triangulares 
también es variable
Vertedero trapezoidal. 
Vertedero de Cipoletti
El vertedero trapezoidal, cuya inclinación de los 
lados es de 4:1 (4 unidades en la vertical por 1 
unidad de la horizontal) se conoce como el 
vertedero tipo Cipoletti. El vertedero trapezoidal, cuya 
inclinación de los lados es de 4:1 
se conoce como el vertedero tipo 
Cipoletti. Las ampliaciones 
laterales compensan el gasto 
disminuido por las contracciones 
laterales de un vertedero 
rectangular, de longitud de cresta 
“w” en igualdad de condiciones 
de carga. Sin embargo, este 
hecho no ha sido plenamente 
comprobado. 
Vertedero trapezoidal. 
Vertedero de Cipoletti
El Ingeniero Cipoletti propuso un vertedero 
trapezoidal como aforador de canales para eliminar 
la corrección y longitud efectiva de la cresta. Se ha 
encontrado experimentalmente que el coeficiente de encontrado experimentalmente que el coeficiente de 
un vertedor de Cipolletti vale 0.63 y el gasto se 
determina con la ecuación:
2
3
2
3
86.12
3
2
63.0 LhbhgQ ==
Q en litros por segundo, h en centímetros y L en metros
Vertedero trapezoidal. 
Vertedero de Cipoletti
2
3
861.1 LhQ =
Válida si:Válida si:
Cuando no se satisfacen estas condiciones se puede sustituir h para tomar el 
efecto de la velocidad de llegada
h
g
V
h A +→
2
2
hb 3≥ha 2≥
mHm 60.008.0 ≤≤
hw 3≥
FLUJO COMPRESIBLE
INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN
Prof. Geanette Polanco
Intención de la clase
•Repasar los conceptos de gas ideal, ya 
que la teoría de flujo de gases a estudiar en 
este curso se basa en esa premisa.este curso se basa en esa premisa.
•Identificar conceptualmente los campos de 
aplicación de los diferentes modelos 
desarrollados a partir de la ecuación de 
balance de energía
GAS IDEAL
Repaso de definiciones
•Gas ideal
•Calores específicos
•Entalpia
•Entropía
•Primera y segunda ley
•Aplicaciones
GAS IDEAL
RTp ρ=
ECUACION DE ESTADO
Cuando las moléculas de un líquido tienen un efecto mutuo causado
solo por choques perfectamente elásticos, entonces la teoría cinética
de gases indica que para tal fluido, conocido como gas perfecto,
existe una expresión que relaciona:
RTp ρ=
( )K
Kt
RTp 













=⇒⇒=
 slug
lbft 
3ft
slug
 
2f
lb
 s Unidade ρ
( )K
K
RTp 













=⇒⇒=
 Kg
N m
3m
Kg
 Pascal s Unidade ρ
Calores específicos
GAS IDEAL
v/ CCpk =
Razón de calores específicos
El calor específico a presión constante dividido por el calor específico a volumen
constante. Variable adimensional.
( )[ ]Kº KgJ/ =Cp
Calores específicos
El calor específico Cp de un gas representa el número de unidades de calor
agregadas por unidad de masa para aumentar la temperatura del gas 1 ºC cuando
la presión se mantiene constante.
El calor específico Cv de un gas representa el número de unidades de calor
agregadas por unidad de masa para aumentar la temperatura del gas 1 ºC cuando
el volumen se mantiene constante.
( )[ ]Kº KgJ/ =Cv
Calores específicos
El calor específico a presión constante, Cp:
GAS IDEAL
( )
hh
 hh)T(T Cp
dt dh / Th/ p
1212
P
−=
−=−
=∂∂=C
Cp � entalpía
El calor específico a volumen constante, Cv:
( )
12
12
1212
V
TT
uu
 Cv
uu)T(T Cv
dt du / Tu/ v
−
−=
−=−
=∂∂=C
 
TT
hh
 Cp
12
12
−
−=
Cv � energía 
interna
GAS IDEAL
 P/ u h ρ+=
Relación entalpía con la energía interna
Cantidad de calor desarrollada por una reacción química a presión constante.
u = Energía interna 
P/ρ = Trabajo realizado por la fuerzas exteriores (presión)
FLUJO COMPRESIBLE
Mismos valores independientemente del sistema de unidades utilizado
Cuando un sistema, representado por una cantidad fija de fluido, cambia del estado
1 al estado 2, su contenido de energía cambia de E1 a E2 mediante un cambio de
energía con su entorno. El intercambio de energía adopta la forma de trabajo o
transferencia de calor.
sistema elpor realizado Trabajo W
sistema el haciacalor de ciaTransferen Q
 E -E WQ 122-12-1
→
→
=−
PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA
masa de unidadpor interna Energía u
 totalEnergía E
 u z g
2
V
 m E
2
→
→






++=
≈
≈
ENERGIA TOTAL
 totalEnergía E
sistema elpor realizado Trabajo W
→
→
PROCESO ISENTRÓPICO (ADIABÁTICO 
Y REVERSIBLE)
sistema elpor realizado Trabajo W
sistema el haciacalor de ciaTransferen Q
 E -E WQ 122-12-1
→
→
=−
Proceso en el cual el cambio de entropía es cero.
 totalEnergía E
sistema elpor realizado Trabajo W
→
→
0 Q adiabático Proceso =
pérdidasSin Reversible Trabajo ⇒
 E -E 0 12=
Clausius introdujo el concepto de entropía, la cual es una medición de la 
cantidad de restricciones que existen para que un proceso se lleve a cabo, 
determinando además la dirección de dicho proceso. 
sistema elpor realizado Trabajo W
sistema el haciacalor de ciaTransferen Q
 E -E WQ 122-12-1
→
→
=−
Proceso en el cual el cambio de entropía NO es cero.
PROCESO ADIABÁTICO / Curva de Fanno
 totalEnergía E
sistema elpor realizado Trabajo W
→
→
0 Q adiabático Proceso =
 E -E W- 1212 =
Clausius introdujo el concepto de entropía, la cual es una medición de la 
cantidad de restricciones que existen para que un proceso se lleve a cabo, 
determinando además la dirección de dicho proceso. 
sistema elpor realizado Trabajo W
sistema el haciacalor de ciaTransferen Q
 E -E WQ 122-12-1
→
→
=−
Proceso en el cual el cambio de entropía NO es cero.
PROCESO NO ADIABÁTICO SIN 
RESISTENCIA (REVERSIBLE) / 
Curva de Rayleigth
 totalEnergía E
sistema elpor realizado Trabajo W
→
→
pérdidasSin Reversible Trabajo ⇒
 E -E 1212 =Q
Clausius introdujo el concepto de entropía, la cual es una medición de la 
cantidad de restricciones que existen para que un proceso se lleve a cabo, 
determinando además la dirección de dicho proceso. 
sistema elpor realizado Trabajo W
sistema el haciacalor de ciaTransferen Q
 E -E WQ 122-12-1
→
→
=−
Proceso en el cualel cambio de entropía NO es cero.
PROCESO ISOTÉRMICO (NO ADIABÁTICO Y 
NO REVERSIBLE)
 totalEnergía E
sistema elpor realizado Trabajo W
→
→
 nula entalpía Incluye
Clausius introdujo el concepto de entropía, la cual es una medición de la 
cantidad de restricciones que existen para que un proceso se lleve a cabo, 
determinando además la dirección de dicho proceso. 
 E -E WQ 122-12-1 =−
sistema elpor realizado Trabajo W
sistema el haciacalor de ciaTransferen Q
 E -E WQ 122-12-1
→
→
=−
Proceso en el cual el cambio de entropía NO es cero.
ONDA DE CHOQUE ( NO ADIABÁTICO Y NO 
REVERSIBLE)
 totalEnergía E
sistema elpor realizado Trabajo W
→
→
Clausius introdujo el concepto de entropía, la cual es una medición de la 
cantidad de restricciones que existen para que un proceso se lleve a cabo, 
determinando además la dirección de dicho proceso. 
S ENERGÉTICA CIONESSIMPLIFICA HAY NO
Cuando un sistema, representado por una cantidad fija de fluido, cambia del estado
1 al estado 2, su contenido de energía cambia de E1 a E2 mediante un cambio de
energía con su entorno. El intercambio de energía adopta la forma de trabajo o
transferencia de calor.
sistema elpor realizado Trabajo W
sistema el haciacalor de ciaTransferen Q
 E -E WQ 122-12-1
→
→
=−
PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA
masa de unidadpor interna Energía u
 totalEnergía E
 u z g
2
V
 m E
2
→
→






++=
≈
≈
ENERGIA TOTAL
 totalEnergía E
sistema elpor realizado Trabajo W
→
→
Es importante señalar que la entropía no está definida como una cantidad absoluta
S (símbolo de la entropía), sino lo que se puede medir es la diferencia entre la
entropía inicial de un sistema S1 y la entropía final del mismo S2. No tiene sentido
hablar de entropía sino en términos de un cambio en las condiciones de un
sistema.
SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA
∫=−=∆→→=
2
1
12 dQ/Tss sestados 2 entreT / dQds
En todo proceso, el cambio de entropía de un sistema aislado es positivo, 
, el caso de igualdad se realiza si el proceso es reversible.
0 s≥∆
ECUACIONES PARA DE FLUJO 
COMPRESIBLE
Debido a la complejidad del comportamiento de los flujos 
compresibles se han desarrollado modelos simplificados de estos, 
basados en tres suposiciones primordiales como lo son:
• que el flujo es unidireccional, 
•que el flujo es estacionario y•que el flujo es estacionario y
•que el efecto de la gravedad sobre estos flujos es despreciable.
Además las geometría sobre las cuales estos modelos son 
aplicables son restringidas a ductos de sección contantes y ductos 
de secciones variables (toberas o difusores)
Modelos flujos compresible
•Flujo isentrópico
•Flujo adiabático con 
presencia de trabajo
•Flujo no adiabático con 
Variables 
termodinámicas
•Presión
•Temperatura
•Densidad
•Calor
•Trabajo•Flujo no adiabático con 
ausencia de trabajo
•Flujo no adiabático y con 
presencia de trabajo
•Flujo isotérmico
•Trabajo
•Flujo másico
Variables cinemáticas
•Velocidad
•Numero de Mach
•Velocidad del sonido
Variables geométricas
•Áreas (diámetro)
•Longitud
APLICACIONES DE FLUJO COMPRESIBLE
Flujo isoentrópico / Toberas
.
Flujos internos con cambios 
de área o flujos externos
Flujo adiabático / Curva de Fanno
.
APLICACIONES DE FLUJO COMPRESIBLE
Flujos internos con área constante / Aislados / Longitudes variadas
Flujo no adiabático reversible / Curva de Rayleigt h
APLICACIONES DE FLUJO COMPRESIBLE
Flujos internos con área constante / Longitudes 
“cortas”
Ondas de choque
.
APLICACIONES DE FLUJO COMPRESIBLE
Flujos internos o externos sin dependencia con 
el área 
Onda de choque normal.
FLUJO COMPRESIBLE / 
FLUJO ISOENTRÓPICO
(Flujo de densidad dependiente de la (Flujo de densidad dependiente de la 
presión y la temperatura)
Prof. Geanette Polanco
Intención de la clase
•Repasar las ecuaciones de gobierno de flujo: Balance de masa, 
Balance de Momentum y Balance de Energía
•Desarrollar las ecuaciones particularizadas para el caso de un flujo 
isoentrópico.
2
Ecuaciones generales de flujo
Son la expresiones primitivas de los balances de masa, 
cantidad de movimiento y energía para un flujo 
tridimensional, compresible, con transferencia de calor y 
comportamiento transitorio. Es decir, son las relaciones 
que dieron lugar a las expresiones de flujos particulares, que dieron lugar a las expresiones de flujos particulares, 
tales como flujo estacionario, flujo potencial, flujo 
incompresible, entre otros.
Ecuación de Continuidad
( ) ( ) ( ) ( )
 dxdy
w
dxdz
v
dydz
udxdydzD
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂= ρρρρ
( ) ( ) ( ) ( )
z
wA
y
vA
x
uAdxdydzD xyxzyz
∂
∂
+
∂
∂+
∂
∂
=
ρρρρ
 
Dt
( ) ( ) ( )
4444444 34444444 21
4444444 34444444 21
control de volumen delión por variac masa de Flujo
caras laspor masa de Flujo
 
Dt
z
dxdy
w
y
dxdz
v
x
dydz
u
dxdy
x
dxdz
x
dydz
x
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
+
∂
+
∂
=
ρρρ
Ecuación de Cantidad de Movimiento
( )
ygzyx
vD ρ
τστρ +
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= zyyyxy 
Dt
( )
xgzyx
D ρσ
ττρ +
∂
∂+
∂
∂
+
∂
∂= zzyzxz 
Dt
w
( )
xgzyx
D ρτ
τσρ +
∂
∂+
∂
∂
+
∂
∂= zxyxxx 
Dt
u
V
x
u
p
r
•∇+
∂
∂+−= λµσ xx
Ecuación de Energía / Primera Ley
( ) ( ) ( )
Dt
ugz
wvu
D
z
pw
y
pv
x
pu
z
T
y
T
x
T
K











 ++++
=
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂






∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
~
2
222
- 
2
2
2
2
2
2
ρ
Imposición de las premisas flujo 
compresible bajo la condición 
isoentrópica
Continuidad: ( )
0 =
∂
∂
x
uAyzρ
( ) ( ) u
x
A
A
x
u
uA
x
yz
yzyz ρρ
ρ
∂
∂
+
∂
∂+
∂
∂= 0
yz
yz
A
A
u
u ∂+∂+∂=
ρ
ρ
 0
Ecuación de continuidad
=−
••
De forma integral la ecuación de continuidad 
para el caso estacionario se puede expresar 
como: el flujo másico que entra al volumen 
de control es igual al que sale del mismo.
( )
0 =
∂
∂
x
uAyzρ
0=−
••
saleentra mm
0≠− saleentra QQ
No obstante, ya no se puede aplicar la conservación del flujo 
volumétrico. Caudal que entra al volumen de control no es igual al 
caudal que sale del mismo
Imposición de las premisas flujo 
compresible bajo la condición 
isoentrópica
Momemtun: ( )
xgzyx
D ρτ
τσρ +
∂
∂+
∂
∂
+
∂
∂= zxyxxx 
Dt
u
( )
{
( )
43421
r
43421
lidadcompresibideEfectospresión de Efectosmovimiento de cantidad de cambio del Efectos
- 
u
u 
x
V
x
p
x ∂
•∇∂+
∂
∂=
∂
∂ λρ
Imposición de las premisas flujo 
compresible bajo la condición 
isoentrópicaEnergía:
( ) ( ) ( )
ugz
wvu
D
z
pw
y
pv
x
pu
z
T
y
T
x
T
K











 ++++
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂






∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
~
2
222
- 2
2
2
2
2
2
ρ
Dt
ugzD 







++
= 2
ρ
x
u
u
u
x
p
u
∂














+∂
=
∂
∂−
~
2
2
ρ
x
u
pu
∂














++∂
=
~
2
0
2
ρ
ρ
Ecuación de energía / Primera Ley de 
la termodinámica
x
h
u
∂














+∂
=
2
0
2
ρ
2
2
2
1
2
1
0 22
h
u
h
u
h +=+=
ntoestancamie de Entalpía
ntoestancamie de entalpía la conserva Se
Ecuaciones para de flujo isoentrópico
Tomando la dirección “x” como la dirección preferencial de flujo se 
obtiene:
Balance de masa: Continuidad
yz
yz
A
A
u
u ∂+∂+∂=
ρ
ρ
 0
Balance de momentum
Balance de energía : Primera Ley
yzAuρ
x
h
u
∂














+∂
=
2
0
2
ρ
( ) ( )
x
V
x
p
x ∂
•∇∂+
∂
∂=
∂
∂
r
λρ
- 
u
u 
Ecuaciones para de flujo isoentrópico
Agrupando las expresiones anteriores se obtiene que:
Esta expresión muestra la relación existente 
( )
yz
yz
A
A
Ma
u
u ∂=−∂ 12
Si Ma<1, el flujo acelera a medida que el área 
disminuye
Si Ma>1, el flujo acelera a medida que el área 
aumenta
Esta expresión muestra la relación existente 
entre una variable geométrica y dos de las 
variables cinemáticas 
Note que no existe restricción para la forma de
la variación del área (convergente o
divergente) ni para su desarrollo a lo largo del
eje de movimiento preferencial
Modelos flujos compresible
•Flujo isoentrópicoVariables 
termodinámicas
•Presión
•Temperatura
•Densidad
•Calor
•Trabajo•Trabajo
•Flujo másico
Variables cinemáticas
•Velocidad
•Numero de Mach
•Velocidad del sonido
Variables geométricas
•Áreas (diámetro)
•Longitud
Flujo isoentrópico + gas ideal






−





=∆
1
2
1
2
p
p
lnR
T
T
Cpln s
0s=∆
k






=
1
2
1
2
p
p
ρ
ρ k
k 1
1
2
1
2
p
p
T
T
−






=
k
2
1
1
2
v p
p
lnC0 





=
ρ
ρ
Repaso / Velocidad del sonido
kRTc =
Para un volumen de control alrededor de una onda de sonido, se obtiene:
ρ∆
∆= pc
ρ∆
c
V
Ma = Numero de Mach. Relación adimensional de flujo
FLUJO COMPRESIBLE / 
FLUJO ISOENTRÓPICO
(Flujo de densidad dependiente de la (Flujo de densidad dependiente de la 
presión y la temperatura)
Prof. Geanette Polanco
Intención de la clase
•Trabajar los conceptos de puntos de referencia: punto de 
estancamiento y punto crítico
2
•Manejar las diferentes definiciones de flujo isoentrópico
•Introducir la concepción grafica de las ecuaciones de flujo.
Modelos flujos compresible
•Flujo isoentrópico
Variables 
termodinámicas
•Presión
•Temperatura
•Densidad
•Calor
•Trabajo•Trabajo
•Flujo másico
Variables cinemáticas
•Velocidad
•Numero de Mach
•Velocidad del sonido
Variables geométricas
•Áreas (diámetro)
•Longitud
Ecuaciones genéricas de flujo
Ecuaciones de flujo con base en el 
estancamiento
Ecuaciones de flujo con base en el 
punto crítico
Ecuaciones de flujo con base en el 
estancamiento, 0 < Ma < 10
Ecuaciones de flujo con base en el 
punto crítico, 0 < Ma < 1 
Ecuaciones de flujo con base en el 
punto crítico, 1 < Ma < 5
Ecuaciones de flujo con base en el 
punto crítico, 0 < Ma < 5
Tablas de flujo, cualquier Mach
Flujo másico / consideraciones
De alcanzarse, el valor máximo de flujo másico dentro de un ducto 
de sección variable se alcanza en el sección de área mínima, que de sección variable se alcanza en el sección de área mínima, que 
normalmente se conoce como garganta.
Tobera divergente. Tobera convergente. Tobera convergente-
divergente.
Amin Amin
Amin
Escenarios de flujo para la condición 
isoentrópica
Punto crítico � Mach = 1
NO siempre es posible alcanzar el Mach = 1 en la sección de área 
mínima. 
El desarrollo del número de Mach dentro de una tobera dependerá 
Tobera divergente.
Amin
El desarrollo del número de Mach dentro de una tobera dependerá 
de las condiciones de entrada y salida
Escenarios:
Ma < 1 en la entrada � Ma < 1 en la salida
Ma > 1 en la entrada � Ma > 1 en la salida
Ma = 1 en la entrada � Ma < 1 en la salida
Ma > 1 en la salida
Entrada
Salida
Escenarios de flujo isoentrópico
Dirección de flujo
Tobera divergente.
Amin
Ma < 1 en la entrada �
Ma < 1 en la salida
Amin > Acrítica (Ma=1)
Entrada
Salida
Entrada
Salida
Ma = 1 en la entrada � No es posible
Dirección de flujo
Ma > 1 en la entrada � Ma > 1 en la salida
Amin > Acrítica (Ma=1)
Dirección de flujo Dirección de flujo
Entrada
Salida
Entrada
Salida
Salida
Escenarios de flujo para la condición 
isoentrópica
Punto crítico � Mach = 1
NO siempre es posible alcanzar el Mach = 1 en la sección de área 
mínima. 
El desarrollo del número de Mach dentro de una tobera dependerá El desarrollo del número de Mach dentro de una tobera dependerá 
de las condiciones de entrada y salida
Escenarios:
Ma < 1 en la entrada � Ma < 1 en la salida
Ma = 1 en la salida
Ma > 1 en la entrada � Situación No posible
Tobera convergente.
Amin
Entrada
Salida
Escenarios de flujo isoentrópico
Dirección de flujoMa < 1 en la entrada �
Ma < 1 en la salida
Amin > Acrítica (Ma=1)
Tobera convergente.
Amin
Entrada
Salida
Entrada
Salida
Ma = 1 en la entrada � Situación NO posible
Dirección de flujo
Ma > 1 en la entrada � Ma > 1 en la salida
Dirección de flujo
Amin > Acrítica (Ma=1)
Existe contradicción la dirección del flujo y la 
variación del área
EntradaEntradaSalidaEntrada
Salida
Escenarios de flujo para la condición 
isoentrópica
Punto crítico � Mach = 1
NO siempre es posible alcanzar el Mach = 1 en la sección de área 
mínima. 
El desarrollo del número de Mach dentro de una tobera dependerá El desarrollo del número de Mach dentro de una tobera dependerá 
de las condiciones de entrada y salida
Escenarios:
Ma < 1 en la entrada � Ma < 1 en la salida
Ma > 1 en la salida
(Ma = 1 en la garganta)
Ma > 1 en la entrada � Ma < 1 en la salida
Ma > 1 en la salida
(Ma = 1 en la garganta)
Tobera convergente-
divergente.
Amin
Entrada Salida
Escenarios de flujo isoentrópico
Ma < 1 en la entrada � Ma < 1 en la salida
Ma < 1 en la entrada �
Ma > 1 en la salida
Dirección de flujo
Amin = Acrítica (Ma=1)
Tobera convergente-
divergente.
Amin
Entrada Salida
Entrada Salida
Ma < 1 en la entrada � Ma < 1 en la salida
Ma > 1 en la entrada � Ma < 1 en la salida
Amin = Acrítica (Ma=1)
Amin > Acrítica (Ma=1)
Dirección de flujo
Dirección de flujo
Entrada
Salida Salida
Entrada
El flujo no alcanza la Condición Crítica
Escenarios de flujo isoentrópico
Ma > 1 en la entrada � Ma > 1 en la salida
Amin > Acrítica (Ma=1)
Tobera convergente-
divergente.
Amin
Dirección de flujo
El flujo no alcanza la Condición Crítica
Gráficos en función de la dirección de 
flujo
Tobera convergente-divergente.
Amin=Acrítica
E
st
an
ca
m
ie
nt
o
S
ie
m
pr
e 
fu
er
a 
de
 la
 s
ec
ci
ón
 
Caso subsónico a la 
entrada.
Tobera convergente-divergente.
E
st
an
ca
m
ie
nt
o
S
ie
m
pr
e 
fu
er
a 
de
 la
 s
ec
ci
ón
 
va
ri
ab
le
Distancia 
suficientemente 
lejana
Gráficos en función de la dirección de 
flujo
Tobera convergente-divergente.
Amin > Acrítica
E
st
an
ca
m
ie
nt
o
S
ie
m
pr
e 
fu
er
a 
de
 la
 s
ec
ci
ón
 
Caso subsónico a la 
entrada.
Tobera convergente-divergente.
E
st
an
ca
m
ie
nt
o
S
ie
m
pr
e 
fu
er
a 
de
 la
 s
ec
ci
ón
 
va
ri
ab
le
Distancia 
suficientemente 
lejana
Gráficos en función de la dirección de 
flujo
Tobera convergente-divergente.
Amin = Acrítica
O
tr
o 
el
em
en
to
 q
ue
 g
en
er
e 
la
 
co
nd
ic
ió
n 
su
pe
rs
ón
ic
a
Caso supersónico a 
la entrada.
Tobera convergente-divergente.
O
tr
o 
el
em
en
to
 q
ue
 g
en
er
e 
la
 
co
nd
ic
ió
n 
su
pe
rs
ón
ic
a
Distancia nula
Gráficos en función de la dirección de 
flujo
Tobera convergente-divergente.
Amin > Acrítica
O
tr
o 
el
em
en
to
 q
ue
 g
en
er
e 
la
 
co
nd
ic
ió
n 
su
pe
rs
ón
ic
a
Caso supersónico a 
la entrada.
Tobera convergente-divergente.
O
tr
o 
el
em
en
to
 q
ue
 g
en
er
e 
la
 
co
nd
ic
ió
n 
su
pe
rs
ón
ic
a
Distancia nula
FLUJO COMPRESIBLE / 
FLUJO ADIABÁTICOFLUJO ADIABÁTICO
(Línea de Fanno)
Prof. Geanette Polanco
Intención de la clase
•Repasar el comportamiento de la entropía para un gas ideal – gas 
real
•Trabajar las premisas impuestas a las ecuaciones generales de 
2
flujo para es caso de flujo adiabático
•Verificar que independientemente del modelo las relaciones 
típicas de los modelos compresibles corresponden a las variables 
termodinámicas, cinemáticas y geométricas
•Introducir la concepción gráfica de las ecuaciones de flujo para 
este modelo.
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
A partir de la expresión conocida de la entropía
. 
A partir de la expresión conocida de la entropía de un gas perfecto obtenida 
de las definiciones de calor específico, entropía y de la ecuación de estado
k
2
1
1
2
v12 p
p
lnCs - s 





=
ρ
ρ
2
1
1
2
v12 lnRT
T
lnCs - s
ρ
ρ+=
 
hh2A 
m
0
.








−
=ρ
hh2CA 
mh R
p
0p
.
−
=
Introduciendo las ecuaciones en la expresión de entropía, tenemos
RT
v
RT
p ρ==
k
0
.
1
1
0p
.
v1
hh2A 
mp
hh2CA 
mh R
lnCs - s


























−
−
= ρ
Gas ideal Gas real
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
Gas ideal
k
0
.
1
1
0p
.
v1
hh2A 
mp
hh2CAmh R
lnCs - s


























−
−
= ρ
Rearreglando
( )
1-k.
1-k
0
p1
k
1
v1
m
hh2A 
C
h R
lnCs - s






−
=
p
ρ ( ) ( ) 1-k01-k.
1-k
p1
k
1
v1 hh
m
2A 
C
 R
lnCs - s −






= h
p
ρ
( ) 1-k0v
1-k
.
p1
k
1
v1 hhlnC
m
2A 
C
 R
lnCs - s −+
















= h
p
ρ
FLUJO ADIABÁTICO
(Línea de Fanno)
sistema el haciacalor de ciaTransferen Q
 E -E WQ 122-12-1
→
=−
Proceso en el cual el cambio de entropía NO es cero.
 totalEnergía E
sistema elpor realizado Trabajo W
→
→
0 Q adiabático Proceso =
 E -E W 122-1 =−
Modelos flujos compresible
•Flujo isentrópico
•Flujo adiabático 
con presencia de 
trabajo
Variables 
termodinámicas
•Presión
•Temperatura
•Densidad
•Calor
•Trabajo constante
Área
•Flujo no adiabático con 
ausencia de trabajo
•Flujo no adiabático y con 
presencia de trabajo
•Flujo isotérmico
•Trabajo
•Flujo másico
Variables cinemáticas
•Velocidad
•Número de Mach
•Velocidad del sonido
Variables geométricas
•Longitud
constante
Ecuación de continuidad / Flujo 
adiabático
De forma integral la ecuación de continuidad 
para el caso estacionario con movimiento 
preferencial en la dirección “x” se puede 
expresar como: el flujo másico por unidad de 
área que entra al volumen de control es igual 
al que sale del mismo.
( )
0 =
∂
∂
x
uAyzρ
( )
0 =
∂
∂
x
u
Ayz
ρ
al que sale del mismo.∂x
0=−
••
saleentra mm
0=−
••
A
m
A
m saleentra
También se sigue cumpliendo la expresión general de balance
02211 =− uu ρρ
Ecuación de Cantidad de Movimiento / 
Flujo adiabático
( )
xgzyx
D ρτ
τσρ +
∂
∂+
∂
∂
+
∂
∂= zxyxxx 
Dt
u
0 dU U dx 
D 2
U
 f dpecuación la quedando
 ,
8
U
 f donde 0, dU U dx 
D
4 dp
2
2
0
0
=++
==++
ρρ
ρτρτ
Ecuación de Energía / Flujo adiabático
TTT
K 


 ∂+∂+∂ 
222
ctteh
u =



+
2
( ) ( ) ( )
Dt
ugz
wvu
D
z
pw
y
pv
x
pu
z
T
y
T
x
T
K











 ++++
=
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂






∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
~
2
222
-
 222
ρ 0 d CdU U p =+ T
ctteh
u =





+
2
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
Curvas de Fanno
Desarrollo de las ecuaciones :
De la definición de gas perfecto, tenemos
22 URTk M =
RTk 
U
c
U
M ==
UdU2MRTk 2MdM 2 =+ KRdT





+=
T
1
Rk 
U
RTk 
dU
dM d
( )dT3/2-T
2
1
Rk 
U
RTk 
dU
dM −+=
( )
U
RTk 
T
2
1
Rk 
U
U
RTk 
RTk 
dUdM 3/2- dT
M
−+=
T
dT
M 2
1
U
dUdM −=
UdU2MRTk 2MdM 2 =+ KRdT
22
2
2
UdU2
RTk M
M
RTk M
RTk 2MdM
U
KRdT =+
U
dT dU2
T M
 2dM =+
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
Curvas de Fanno
Desarrollo de las ecuaciones :
0 dU U d Cp =+T
1)-R/(kk Cp =
de la ecuación de energía
y como obtenemos UdU M 1)--(k
dT 2=
T
ctteh
u =





+
2
2
T





 +
=
2M
2
1-k
1M
dM
U
dU
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
M
2
1-k
1
M
2
1-k
1
M
M
U
U
ρ
ρ=
+
+
=
T
dT
M 2
1
U
dUdM −=
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
Curvas de Fanno
Desarrollo de las ecuaciones :
De la ecuación de estado del gas perfecto
U
 R 
A
m
 R 
.
T
Tp == ρ de donde
 R 
UA
m
U
 R 
A
m
..





+








= TdTddp ( ) R 
UA
m
- R 
AU
m
U
 R 
A
m
2
...
dUT
Td
T
ddp +








=
U
dUdTd −=
Tp
p
( )
U
R
A
m
R 
UA
m
- 
U
R
A
m
R 
AU
m
 
U
R
A
m
U
 R 
A
m
.
2
.
.
.
0
.
.
T
dUT
T
Td
T
T
d
p
dp +








=
=
43421
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
Curvas de Fanno
Desarrollo de las ecuaciones :
U
dUdTd −=
Tp
p UdU M 1)--(k
dT 2=
T



 +
=
2M
1-k
1M
dM
U
dU
+
Para la presión





 + 2M
2
1-k
1MU
M
dM
M
2
1-k
1
M)1k(1
p
dp
2
2
+
−+−=
 
M
2
1-k
1
M
2
1-k
1
M
M
p
p
2
1
2
2
1
2
2
1
+
+
=
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
Curvas de Fanno
Estudio de la Fricción
+
Para la Temperatura
UdU M 1)--(k
dT 2=
T 




 +
=
2M
2
1-k
1M
dM
U
dU
Integrando de nuevo obtenemos:
2
1
2
2
2
1
M
2
1-k
1
M
2
1-k
1
+
+
=
T
T
 
M
2
1-k
1M
dM
 M 1)--(k
dT
2
2





 +
=
T dM 
M
2
1-k
1
M 1)-(k
 -
dT
2





 +
=
T
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
Curvas de Fanno





 +
+−=





 +
−=
2
3
23
2
M
2
1-k
1M
dM
k
1k
M
dM2
M
2
1-k
1kM
)M1(2
D
dx f
k
desde el origen de la tubería x=0, M=M1 hasta x=l, M=M
Para la longitud
obtenemos:








+−
+





++





−=
2M)1k(
21)M-(k
M
M
ln
2k
1k
M
1
M
11
D
 f
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
m
k
l






+−
+++





−=
2M)1k(
1)(k
Mln
k
1k
1
M
11
D
 f
2
1
2
2
1
*
m
k
l
Para la condición crítica M = 1
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
Curvas de Fanno
Estudio de la Fricción
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
Curvas de Fanno
¿Cómo se comporta en la dirección del flujo?
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
Curvas de Fanno
¿Cómo se comporta en la dirección del flujo?
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
Curvas de Fanno
¿Cómo se comporta en la dirección del flujo?
Ma < 1
máximos
Entalpía
En todos los 
casos sobre esta 
línea Ma=0
Ma > 1
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
Curvas de Fanno
¿Cómo se comporta en la dirección del flujo?
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
Curvas de Fanno
¿Cómo se comporta en la dirección del flujo?
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
Curvas de Fanno
¿Cómo se comporta en la dirección del flujo?
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
Curvas de Fanno
¿Cómo se comporta en la dirección del flujo?
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
Curvas de Fanno
¿Cómo se comporta en la dirección del flujo?
FLUJO COMPRESIBLE / 
FLUJO SIN FRICCIÓNFLUJO SIN FRICCIÓN
(Línea de Rayleight)
Prof. Geanette Polanco
Intención de la clase
•Trabajar las premisas impuestas a las ecuaciones generales de 
flujo para es caso de flujo no adiabático sin fricción
2
•Verificar que independientemente del modelo las relaciones 
típicas de los modelos compresibles corresponden a las variables 
termodinámicas, cinemáticas y geométricas
•Introducir la concepción gráfica de las ecuaciones de flujo para 
este modelo.
FLUJO COMPRESIBLE
sistema el haciacalor de ciaTransferen Q
 E -E WQ 122-12-1
→
=−
FLUJO SIN FRICCIÓN
(Línea de Rayleight)
Proceso en el cual el cambio de entropía NO es cero.
 totalEnergía E
sistema elpor realizado Trabajo W
sistema el haciacalor de ciaTransferen Q
→
→
→
0 Q adiabático Proceso =
 E -E 12=Q
Modelos flujos compresible
•Flujo isentrópico
•Flujo adiabático con 
presencia de trabajo
•Flujo no 
adiabático con 
Variables 
termodinámicas
•Presión
•Temperatura
•Densidad
•Calor
•Trabajo
•Flujo másico
constante
Área
adiabático con 
ausencia de 
trabajo
•Flujo no adiabático y con 
presencia de trabajo
•Flujo isotérmico
•Flujo másico
Variables cinemáticas
•Velocidad
•Número de Mach
•Velocidad del sonido
Variables geométricas
•Longitud
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
A partir de la expresión conocida de la entropía
A partir de la expresión conocida de la entropía de un gas perfecto obtenida 
de las definiciones de calor específico, entropía y de la ecuación de estado
k
2
1
1
2
v12 p
p
lnCs - s 





=
ρ
ρ
2
1
1
2
v12 lnRT
T
lnCs - s
ρ
ρ+=
RT
v
RT
p ρ==
Gas ideal
Ecuación de continuidad
De forma integral la ecuación de continuidad 
para el caso estacionario con movimiento 
preferencial en la dirección “x” se puede 
expresar como: el flujo másico por unidad de 
área que entra al volumen de control es igual 
al que sale del mismo.
( )
0 =
∂
∂
x
uAyzρ
( )
0 =
∂
∂
x
u
Ayz
ρ
al que sale del mismo.∂x
0=−
••
saleentra mm
0=−
••
A
m
A
m saleentra
También se sigue cumpliendo la expresión general de balance
Ecuación de Cantidad de Movimiento
9) (Ec. ),UU(
A
m
pp 12
.
12 −=−
( )
ygzyx
vD ρ
τστρ +
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= zyyyxy 
Dt
( )
xgzyx
D ρσ
ττρ +
∂
∂+
∂
∂
+
∂
∂= zzyzxz 
Dt
w( )
xgzyx
D ρτ
τσρ +
∂
∂+
∂
∂
+
∂
∂= zxyxxx 
Dt
u Se supone que los efectos de los 
esfuerzos normales y tangenciales son 
despreciables 
Ecuación de Energía / Flujo adiabático
TTT
K 


 ∂+∂+∂ 
222




+∆==


 ∂+∂+∂ huqTTTK 
2222
( ) ( ) ( )
Dt
ugz
wvu
D
z
pw
y
pv
x
pu
z
T
y
T
x
T
K











 ++++
=
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂






∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
~
2
222
-
 222
ρ




+∆==


 ∂
+
∂
+
∂
hq
zyx
K
2
 222
o
p
p hTC
u
Cq ∆=








∆+=
2
 
2
( ) ooop hTTCq ∆=−= 12 
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
Curva de Rayleigh






−=−
1
2
1
2
p12 p
p
ln R)
T
T
(lnCss
Análisis de las variaciones de un fluido en un ducto de sección 
constante con conducción de calor sin fricción interna en las paredes
Introduciendo la relación de presiones y temperaturas en la ecuación anterior, 
La expresión que relaciona la entropía de un gas perfecto es
( )
( )222
22
1
2
1
2
2
1
2
kM1
kM1
M
M
 
h
h
 
+
+=
Introduciendo la relación de presiones y temperaturas en la ecuación anterior, 
tenemos
De la relación de entalpías, tenemos
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
p
12
Mk 1
Mk 1
ln 
k
1-k
kM1
kM1
M
M
ln 2
C
ss
 
+
+−
+
+=−
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
Curva de Rayleigh
La expresión que relaciona la entropía de un gas perfecto es
2
2
2
1
1
2
p
12
Mk 1
Mk 1
ln 
k
1-k
h
h
 ln 2
C
ss
 
+
+−=−
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
Curva de Rayleigh
Las ecuaciones constituyen una representación paramétrica de la
curva, en el plano h – s, llamada curva de Rayleigh, siendo el número
de Mach el parámetro. La curva representada constituye el lugar
geométrico de los puntos representativos de las condiciones de flujo
en un ducto, para cualquier valor de calor introducido.
Al visualizar la curva de Rayleigh, se pueden apreciar los puntos de
máxima entropía y entalpía. Para ello se calcula dh/ds, evaluandomáxima entropía y entalpía. Para ello se calcula dh/ds, evaluando
separadamente ds/dM y dh/dM.
Al realizar ds/dM el punto de máxima
entropía corresponde a la siguiente
relación:
Al realizar dh/dM el punto de máxima entalpía corresponde a la
siguiente relación:
k
1
M para obtiene se ,0
ds
dh ==
1M para obtiene se ,
ds
dh =∞=
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
Como se comporta el flujo
Análisis de las variaciones de un fluido a tráves de una onda de 
choque considerando flujo adiabático y sin transferencia de calor
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
Curva de Rayleigh
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
Ecuaciones de Onda de Choque
2
2
2
1
1
2
Mk 1
Mk 1
 
p
p
 
+
+=
Análisis de las variaciones de un fluido a tráves de una onda de 
choque considerando flujo adiabático y sin transferencia de calor
Relación de Presiones
( )
( )222
22
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
Mk 1
Mk 1
M
M
p
p
M
M
 
h
h
 
+
+=





==
T
T
Relación de Entalpías y 
Temperaturas
Ecuación de Velocidad y Densidad
( )
( )21
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
1
2
2
1
Mk 1
Mk 1
M
M
p
p
 
U
U
 
+
+=











==
T
T
ρ
ρ
FLUJO UNIDIMENSIONAL DE UN GAS REAL
FLUJO COMPRESIBLE / 
FLUJO ONDA DE CHOQUEFLUJO ONDA DE CHOQUE
Prof. Geanette Polanco
Intención de la clase
•Establecer la relación de este modelo como la superposición de los 
modelos de flujo adiabático y no adiabático 
2
•Introducir la concepción gráfica de las ecuaciones de flujo para 
este modelo.
Modelos flujos compresible
•Flujo isentrópico
•Flujo adiabático con 
presencia de trabajo
•Flujo no adiabático con 
ausencia de trabajo
Variables 
termodinámicas
•Presión
•Temperatura
•Densidad
•Calor
•Trabajo
•Flujo no 
adiabático y con 
presencia de 
trabajo / Onda 
de choque
•Flujo isotérmico
•Trabajo
•Flujo másico
Variables cinemáticas
•Velocidad
•Número de Mach
•Velocidad del sonido
Variables geométricas
•Área o longitud dentro 
del sistema donde ocurre 
la onda de choque
sistema elpor realizado Trabajo W
sistema el haciacalor de ciaTransferen Q
 E -E WQ 122-12-1
→
→
=−
Proceso en el cual el cambio de entropía NO es cero.
Onda de Choque
 totalEnergía E
sistema elpor realizado Trabajo W
→
→
Ecuación de continuidad
De forma integral la ecuación de continuidad 
para el caso estacionario con movimiento 
preferencial en la dirección “x” se puede 
expresar como: el flujo másico por unidad de 
área que entra al volumen de control es igual 
al que sale del mismo.
( )
0 =
∂
∂
x
uAyzρ
( )
0 =
∂
∂
x
u
Ayz
ρ
al que sale del mismo.∂x
0=−
••
saleentra mm
0=−
••
A
m
A
m saleentra
U
 ,
8
U
 f donde 0, dU U dx 
D
4 dp
2
2
0
0 ==++ ρτρτ
Ecuación de Cantidad de Movimiento
Onda de Choque
0 dU U dx 
D 2
U
 f dpecuación la quedando
2
=++ ρρ
 
2
U
2
U
hh w- q
2
1
2
2
12 −+−=
Ecuación de Energía
Estas ecuaciones plantean los casos de un ducto de sección constante y/o
posiblemente variable (cambios graduales), con fricción y conducción de
calor.
•Separando el comportamiento de las ecuaciones planteadas podemos 
observar que la onda de choque engloba el comportamiento de un flujo con 
transferencia de calor y con fricción.
•Note que al pertenecer a las líneas de Fanno y Rayleigh paralelamente, 
también este modelo debe cumplir con las restricciones de cada uno de los 
modelos de flujo con y sin fricción.
Onda de Choque
•Para cumplir con la segunda ley es evidente que para que la onda de 
choque exista debe ser solamente en una dirección tal que se inicie en una 
condición supersónica y termine en una condición subsónica.
•Lo anterior implica que durante una onda de choque la temperatura de 
estancamiento debe mantenerse constante.
•Es un proceso de exotérmico y por lo tanto la temperatura debe aumentar, 
al mismo tiempo que la temperatura de estancamiento debe mantenerse.
Dirección posible de acuerdo a 
Onda de Choque
Dirección posible de acuerdo a 
la segunda ley
2
2
2
1
1
2
Mk 1
Mk 1
 
p
p
 
+
+=
Análisis de las variaciones de un fluido a tráves de una onda de 
choque considerando flujo adiabático y sin transferencia de calor
Relación de Presiones
los modelos de flujo adiabático y no adiabático
Onda de Choque
( )
( )222
22
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
Mk 1
Mk 1
M
M
p
p
M
M
 
h
h
 
+
+=





==
θ
θ
Relación de Entalpías y 
Temperaturas
Ecuación de Velocidad y Densidad
( )
( )21
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
1
2
2
1
Mk 1
Mk 1
M
M
p
p
 
U
U
 
+
+=











==
θ
θ
ρ
ρ
los modelos de flujo adiabático y no adiabático
Onda de Choque
Onda de Choque