algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-149

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Es decir: (y - z), (z - x).
∴ El polinomio es divisible entre el producto:
(x - y)(y - z)(z - x).
3) Se plantea la identidad de polinomios siguiente:
(x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3144442444443
3er.Grado
≡ (x - y)(y - z)(z - x) Q1442443 . 14243
3er.Grado Grado cero
Por ser el polinomio de tercer grado, Q debe ser
de grado cero, es decir debe ser un número:
(x-y)3 +(y-z)3 +(z-x)3 ≡ Q(x - y)(y - z)(z - x)
Probemos un juego de valores para x,y,z.
Para x = 1, y = 2, z = 3:
(1 - 2)3 +(2 - 3)3 +(3 - 1)3 = Q(1 - 2)(2 - 3)(3 - 1)
(-1)3 + (-1)3 + (2)3 = Q (-1)(-1)(2)
-1 - 1 = 8 = Q(2)
3 = Q
la expresión factorizada es finalmente:
3(x - y)(y - z)(z - x)
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Factorizar:
E = (a3 + b3)(a -b)+ (b3+ c3)(b - c) + (c3 + a3)(c - a) 
Solución:
1) Intercambiando a por b, el polinomio es alterno.
2) Para a = 0:
-b4 + (b3+c3)(b - c) + c4 ≠ 0
(no hay factores monomios)
3) Para a = b:
(b3 + c3)(b - c) + (b3 + c3)(c - b) = 0
Como se anula, entonces un factor es (a - b), y
como es alterno, los otros factores siguen un
orden circular, en el sentido indicado, es decir:
a
(b - c)
(c - a)
c b
4) El polinomio es de 4to.grado y los factores
obtenidos dan producto de 3er.grado, por lo
que hace falta un polinomio de primer grado
simétrico y de tres variables de la forma:
M(a + b + c)
Realizando la identidad de polinomios:
E = (a3 + b3)(a - b) + (b3 + c3)(b - c)
+ (c3 + a3)(c - a) ≡ M(a+b+c)(a -b)(b - c)(c - a)
Dando valores para a = 1, b = 0, c = 2, se obtiene:
1 - 16 + 9 = M(3)(1)(-2)(1) 
∴ M = 1
finalmente:
E = (a + b + c)(a - b)(c - a)(b - c)
2.- Factorizar:
E = (a + b)5 - a5 - b5
Solución:
1) Intercambiando “a” y “b” el polinomio, es
simétrico.
2) Para a = 0; V.N.P. = 0, un factor es “a” y el otro
“b” por propiedad de polinomios simétricos.
3) Para a = -b. V.N.P. = 0; otro factor es (a + b).
4) El polinomio es de 5to. grado y ab(a + b) es de
3er. grado, falta un polinomio simétrico de
2do. grado de dos variables de la forma:
M(a2 + b2) + Nab
Á L G E B R A
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Algebra 27/7/05 16:04 Página 161