algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-150

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α
α α
realizando la identidad de polinomios:
E = (a + b)5- a5- b5 = a . b(a+b){M(a2 + b2) + Nab}
dando valores para a = 1, b = 1:
32 - 1 - 1 = 1(2)(2M + N)
2M + N = 15 (I)
para a = 1, b = 2:
243 - 1 - 32 = 2(3) (5M + 2N)
5M + 2N = 35 (II)
resolviendo (I) y (II), para lo cual operamos 
(I) (-2) + (II):
-4M - 2N = -30
5M +2N = 35
–––––––––––––
M = 5
Sustituyendo en (I):
10 + N = 15 
N = 5
Luego, el polinomio factorizado es:
E = ab(a + b)[5(a2 + b2) + 5ab]
E = 5ab(a + b)(a2 + b2 + ab)
3.- Factorizar:
E = (a + b + c)4 - (b + c)4 - (a + c)4 - (a + b)4
+ a4 + b4 + c4
Solución:
i) Intercambiando a por b, el polinomio es simé-
trico.
ii) Haciendo a = 0, se obtiene:
E = (b + c)4 -(b + c)4 - c4 - b4 + b4 + c4 = 0
Luego, “a” es un factor; y los otros, “b” y “c”.
iii) El producto abc es de tercer grado y como el
polinomio es de cuarto grado, se necesita un
polinomio simétrico de primer grado y de tres
variables de la forma M(a + b + c).
Realizando la identidad de polinomios:
E = (a + b + c)4 - (b + c)4 - (a + c)4 - (a + b)4
+ a4 + b4 + c4 ≡ Mabc(a + b + c)
dando valores a = 1, b = 2, c = -1:
(1 + 2 - 1)4- (2 - 1)4- (1 - 1)4- (1 + 2)4 + (1)4
+ (2)4 + (-1)4 = M(1)(2)(-1)(1 + 2 - 1)
16 - 1 - 81 + 1 + 16 + 1 = -4M 
M = 12
entonces, finalmente:
E = 12(abc)(a + b + c)
4.- Factorizar:
E = m3(n - p) + n3(p - m) + p3(m - n) 
Solución:
1) Intercambio n por p, el polinomio es alterno.
2) Cálculo de los factores. Para n = p:
VE = m
3(p - p) + n3(p - m) + n3(m - p)
VE = 0 + n
3(p - m) + n3[-(p - m)]
VE = n
3(p - m) - n3(p - m) = 0
Luego, E es divisible por “n - p”.
Por ser el polinomio alterno, también será divisi-
ble entre los factores obtenidos en forma circular
en el sentido indicado.
n
m p
es decir: (p - m), (m - n).
Luego, E es divisible entre:(n - p)(p - m) (m - n)
3) E = Q (n - p)(p - m)(m - n)
123 123� 14444424444443
4° 1° 3°
Algebra 27/7/05 16:04 Página 162