algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-174

Vista previa del material en texto

n n
Cr = ––––––––r n - r
n
Cr : combinaciones de “n” elementos tomados de
“r” en “r”.
n : número total de elementos.
r : el número de elementos que conforman cada
grupo.
Ejemplo.- ¿De cuántas maneras se puede combi-
nar 5 elementos tomados de 2 en 2?
Solución:
Sean los 5 elementos a, b, c, d, e.
Los grupos serán:
ab, ac, ad, ae
bc, bd, be
cd, ce
de
El número total de grupos formado es 10.
Aplicando la fórmula:
5 5
C2 = ––––––––2 5 - 2
5 5 5 . 4 3
C2 = –––––– = –––––––– = 10 
2 3 2 . 1 3
PROPIEDADES DE LAS COMBINACIONES
1º Combinaciones Complementarias. 
Se dice que 2 combinaciones son complemen-
tarias cuando el número de combinaciones, de
“n” elementos tomados de “r” en “r”, es igual al
número de combinaciones de “n” elementos
tomados de “n - r” en “n - r”. Es decir:
n n
Cr = Cn-r
CONSECUENCIA IMPORTANTE
Si se cumple que:
n n
Cr = Cp
tomando combinaciones complementarias:
n n n
Cr = Cp = Cn-p
Luego por lo tanto:
a) r = p
b) r = n - p
r + p = n
2º Suma de Combinaciones.
Demostraremos la siguiente relación:
n n n+1
Cr + Cr+1 = Cr+1
Utilizando la fórmula de combinaciones:
n n n n
Cr + Cr+1 = ––––––– + –––––––––––––r n - r r + 1 n - r - 1
n (r + 1) + n (n - r)
= ––––––––––––––––––––––
r + 1 n - r
n (r + 1 + n + r) n (n + 1)
= –––––––––––––– = –––––––––––
r + 1 n - r r + 1 n - r
n + 1
= –––––––––––
r + 1 n - r
n n n+1
Cr + Cr+1 = Cr+1
3º Propiedad sobre los índices.
n
Si el Cr existe, luego:
a) n y r son números enteros positivos
b) n > r
4º Degradación de índices. 
Consiste en descomponer un número combinato-
rio en otro que tenga como índice superior uno
menor que el original y como índice inferior al
inmediato inferior. Es decir:
n n n-1Cr = –– Cr-1r
Demostración.-
n n n n - 1
Cr = –––––––– = ––––––––––––r n - r r r - 1 n - r 
- 186 -
α
α α
Algebra 27/7/05 16:30 Página 186