2022-06-15 Problemas que requieren del uso de la derivada

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Problema 1) Una empresa produce aceitunas rellenas y puede venderlos a $120 cada uno. El 
costo marginal de dicho producto es 𝐶′(𝑞) = 4𝑞 + 20. 
a) Determine cuántas unidades deben producirse y venderse para que se tenga el máximo 
beneficio. 
b) ¿Cuál es el beneficio, el ingreso y el costo de producir y vender 20 frascos de aceitunas 
sabiendo que si produce 10 frascos el beneficio obtenido es de $3200? 
c) ¿Qué niveles de producción hacen rentable a la empresa? 
 
 
Taller sobre Problemas que requieren del uso 
de derivadas. 
 
Prof. Romina Petrolo. Turno Tarde 
frascos
B(q)=I(q)-C(q)
B'(q)=0 máx o min
B'(q)=I'(q)-C'(q)
I(q)=120.q
I'(q)=120
C'(q)=4q+20
C(q)=2q²+20q+k
me quedo trabadx
Propiedad de la suma de derivadas
f(x)=g(x)+h(x)
f '(x)=g'(x)+h'(x)
B'(q)=I'(q)-C'(q)
B'(q)=120-(4q+20)=0
 120-4q-20=0
 -4q+100 = 0
 -4q=-100
 q=-100:(-4)
 q=25
Deben producirse y venderse 25 frascos para obtener el máximo beneficio
a)
b) Dato nuevo: B(10)=400
¿Beneficio, costo e ingreso de 20 frascos?
B'(q)= -4q+100
B'(q)= -4q+100
integro
B(q)= -4/2 q² + 100q + k
uso el dato nuevo
400= -2.10²+100.10+k
400= -200+1000+k
-400=k
B(q)= -2q² + 100q - 400
B(20)= 800
I(20)=120.20= 2400
C(20)= 1600
k=costo fijo
B=I-(Cv+400)
400
C(q)=2q²+20q+k
C(q)=2q²+20q+400
c) -2q²+100q-400=0
a=-2
b=100
c=-400
Resolvente para hallar las raíces de la función beneficio
q1= 4,38 q2=45,61
I(q)=C(q)
120q=2q²+20q+400
Igualo para hallar los puntos de equilibrio.
0=2q²-100q+400
a=2
b=-100
c=400 q1= 4,38 q2=45,61
Respuesta:
La empresa es rentable si produce vende desde 5 frascos (inclusive) hasta 45 frascos. 
Problema 2) La función de posición de un móvil que se mueve a lo largo de una recta está dada 
por 𝑠(𝑡) = 3𝑡2 + 5, donde t está en segundos y s en metros. 
a) Calcular la velocidad media del móvil entre los 4 segundos y los 5 segundos. 
b) Calcular la velocidad instantánea del móvil a los 4 segundos y a los 5 segundos. 
c) Hallar la recta tangente al gráfico de la función s(t) que pasa por (6; s(6)) y estimar con 
ella la posición del móvil a los 6,1 seg. ¿Es buena la estimación? ¿Podés estimar con la 
misma recta tangente la posición a los 10 seg? ¿Por qué? 
d) ¿Se detiene en algún momento el móvil entre los 2 y los 25 segundos? 
e) ¿Cuál es la posición del móvil a los 8 segundos? ¿A qué velocidad está andando en ese 
momento? 
 
Problema 3) Una empresa fabrica cepillos de dientes. Tiene un costo fijo mensual de 15000 y 
su costo marginal se puede calcular con la siguiente fórmula 𝐶′(𝑥) = −2𝑥 + 150. 
¿Cuál es el costo de fabricar 20 unidades? 
 
 
C(q)= -2/2 x² + 150x + k
C(q)= -x²+150x +15000
C(20)=-20²+150.20+15000
C(20)=17600
El costo de fabricar 20 unidades es de $17600
Integramos C'(x)