2022-10-28 Uso del Criterio de la primera derivada para el estudio de funciones_

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Definiciones previas: 
DERIVADA DE 𝑓 EN UN PUNTO, PENDIENTE DE RECTA TANGENTE A 𝑓 EN UN PUNTO, MÁXIMOS Y/O MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN, INTERVALOS DE CRECIMIENTO O 
DECRECIMIENTO 
 
 
EEM (ESPACIO ESTUDIAR MATEMÁTICA) 
presenta 
Taller: Uso del Criterio de la primera derivada 
Prof. Vanessa Pereyra 
 
En los siguientes gráficos se pueden ver las rectas tangentes al gráfico de 𝑓 en los puntos rojos, negros y azules respectivamente. 
 
Rectas tangentes al gráfico de 𝑓 en puntos rojos: 
 
Rectas tangentes al gráfico de 𝑓 en puntos negros: 
 
Rectas tangentes al gráfico de 𝑓 en puntos azules: 
 
 
En los puntos rojos las rectas tangentes son 
crecientes. Es decir, sus pendientes son positivas. 
 
En los puntos negros las rectas tangentes son 
horizontales (es decir, constantes). Por lo tanto, sus 
pendientes son iguales a 0. 
 
En los puntos azules las rectas tangentes son 
decrecientes, es decir, sus pendientes son 
negativas. 
En los valores de 𝑥 donde están marcadas las rectas 
tangentes rojas, 𝑓′ 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 → 𝑓′ > 0. 
 
En 𝑥1, 𝑥2 y 𝑥3, resulta que 𝑓´ vale 0. Es decir: 
𝑓′(𝑥1) = 𝑓
′(𝑥2) = 𝑓′(𝑥3) = 0. 
 
En los valores de 𝑥 donde están marcadas las rectas 
tangentes azules, 𝑓´ 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 → 𝑓´ < 0. 
 
En los intervalos de 𝑥 donde las rectas tangentes 
son rojas, el grafico de 𝑓 es creciente. 
 
En 𝑥1, 𝑥2 y 𝑥3, la función del gráfico tiene máximo y 
mínimo locales. 
 
En los intervalos de 𝑥 donde las rectas tangentes 
son azules, el grafico de 𝑓 es decreciente. 
 
 
Resumen: si I es un intervalo, resulta que: 
 
Si f´(x) > 0 (es decir positiva) para x ∈ I → f crece en I. 
Si f´(x) < 0 (es decir negativa) para x ∈ I → f decrece en I. 
Si f’(x) = 0, la función puede tener un máximo o un mínimo o un punto de inflexión. 
¿Cómo detectamos un máximo o un mínimo local? Para ello, primero buscaremos los puntos críticos de la función. Diremos que 𝑥0 es un punto crítico de 𝑓 si 
𝑥0 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) y 𝑓´(𝑥0) = 0, o bien 𝑥0 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑓´). Como la mayoría de las funciones con las que trabajaremos en el curso son continuas (se pueden dibujar sin 
levantar el lápiz) y derivables en todo ℝ, los puntos críticos serán de la forma 𝑓′(𝑥0) = 0 (es decir, ceros de la función derivada). 
 
Los puntos críticos dividen el dominio de 𝑓 en intervalos en los cuales el signo de la derivada permanece igual, ya sea positivo o negativo (nos basamos en el 
Teorema de Bolzano). 
 
 
 
Con la derivada de 𝑓 vamos a determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓, para determinar qué clase de puntos críticos tenemos. 
 
¿Cómo procedemos? 
 
1. Buscaremos los ceros/raíces de la derivada, para determinar los puntos críticos (candidatos a máximos o mínimos). 
2. Como los valores hallados dividen el dominio de 𝑓′ (que coincide con el dominio de 𝑓 porque son funciones polinómicas las que estudiamos) en intervalos 
donde la derivada es positiva o negativa, escribimos esos intervalos. 
3. Para determinar el signo de la derivada basta con elegir valores de 𝑥 en esos intervalos y sustituirlos en 𝑓′. 
4. Finalmente, concluimos en cada intervalo si la función 𝑓 es creciente o decreciente. 
5. Clasificamos los puntos críticos. 
 
 
 
 
 
Problema 1. Una científica está probando la acción de un nuevo medicamento sobre una bacteria causante de una enfermedad grave. A partir de los datos 
recolectados, ha establecido que, una vez suministrado el fármaco, el número de bacterias 𝑁 en el organismo varía con el tiempo 𝑡 (medido en horas) según la función 
𝑵(𝒕) = 𝟐𝟎𝒕𝟑 − 𝟓𝟏𝟎𝒕𝟐 + 𝟑𝟔𝟎𝟎𝒕 + 𝟐𝟎𝟎𝟎. 
a. ¿Cuándo empieza a notarse el efecto del fármaco? 
b. ¿En qué momento la acción del fármaco es máxima? 
c. La investigadora concluyó que el medicamento no es efectivo ya que pierde su efecto en algún momento. ¿Es cierta su afirmación? Expliquen su respuesta. 
En caso afirmativo, indiquen cuándo ocurre eso. 
ANTES DE EMPEZAR 
• ¿Cuáles son las variables del problema? 
• ¿Qué significa que el fármaco comience a hacer efecto? ¿Qué significa esto en términos matemáticos? 
Implica estudiar cómo es el gráfico de la función, específicamente ver: intervalos de crecimiento, de decrecimiento, y la existencia de máximos y/o 
mínimos. Para ello, analizamos el signo de la derivada de 𝑁(𝑡). 
Vamos a averiguar primero los puntos críticos de la función, es decir, buscamos los ceros o raíces de la derivada: 
𝑵(𝒕) = 𝟐𝟎𝒕𝟑 − 𝟓𝟏𝟎𝒕𝟐 + 𝟑𝟔𝟎𝟎𝒕 + 𝟐𝟎𝟎𝟎 
𝑵′(𝒕) = 𝟔𝟎𝒕𝟐 − 𝟏𝟎𝟐𝟎𝒕 + 𝟑𝟔𝟎𝟎 
𝟎 = 𝟔𝟎𝒕𝟐 − 𝟏𝟎𝟐𝟎𝒕 + 𝟑𝟔𝟎𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos a aplicar el criterio de la primera derivada para clasificar los puntos críticos. 
Debemos tener en cuenta el dominio de la función 𝑁. Como 𝑡 representa tiempo medido en horas, los intervalos en los cuales vamos a estudiar el signo de 𝑁′ son 
los siguientes: 
𝑵(𝒕) = 𝟐𝟎𝒕𝟑 − 𝟓𝟏𝟎𝒕𝟐 + 𝟑𝟔𝟎𝟎𝒕 + 𝟐𝟎𝟎𝟎 
𝑵′(𝒕) = 𝟔𝟎𝒕𝟐 − 𝟏𝟎𝟐𝟎𝒕 + 𝟑𝟔𝟎𝟎 
 [𝟎, 𝟓) 𝟓 (𝟓, 𝟏𝟐) 𝟏𝟐 (𝟏𝟐, +∞) 
Signo 𝑵′ 
𝑵′(𝟎) = 𝟑𝟔𝟎𝟎 
𝑵′ es positiva 
𝑵′(𝟓) = 𝟎 
𝒕 = 𝟓 es PC 
𝑵′(𝟏𝟎) = −𝟔𝟎𝟎 
𝑵′ es negativa 
𝑵′(𝟏𝟐) = 𝟎 
𝒕 = 𝟏𝟐 es PC 
𝑵′(𝟐𝟎) = 𝟕𝟐𝟎𝟎 
𝑵′ es positiva 
Comportamiento 
de 𝑵 
𝑵 es creciente 
En 𝒕 = 𝟓, 𝑵 
alcanza un 
máximo 
𝑵 es decreciente 
En 𝒕 = 𝟏𝟐, 𝑵 
alcanza un 
mínimo 
𝑵 es creciente 
 
 
a. ¿Cuándo empieza a notarse el efecto del fármaco? 
 
A partir del análisis anterior, como en 𝑡 = 5 la función 𝑁(𝑡) alcanza un máximo y luego comienza a decrecer, podemos afirmar que el efecto del fármaco se nota 
a partir de las 5 horas de iniciada la investigación. 
 
b. ¿En qué momento la acción del fármaco es máxima? 
 
En 𝑡 = 12 la función alcanza un mínimo, por lo tanto, a las 12 horas de iniciada la investigación hay una cantidad mínima de bacterias, y es en este momento 
en el que el medicamento hace su mayor efecto. 
 
OBSERVACIÓN: 
 
𝑁(12) = 20. (12)3 − 510. (12)2 + 3600. (12) + 2000 = 6320 
El punto mínimo de 𝑁(𝑡) es el (12, 6320). 
 
Como vemos, la cantidad de bacterias “malas” en 𝑡 = 12 no es 0, que sería lo deseable. 
 
c. La investigadora concluyó que el medicamento no es efectivo ya que pierde su efecto en algún momento. ¿Es cierta su afirmación? Expliquen su respuesta. En 
caso afirmativo, indiquen cuándo ocurre eso. 
 
Como mencionamos antes, a partir de 𝑡 = 12 la función 𝑁(𝑡) crece y no deja de hacerlo, por ende, concluimos que a las 12 horas el fármaco pierde su efecto. 
 
𝑵(𝒕) = 𝟐𝟎𝒕𝟑 − 𝟓𝟏𝟎𝒕𝟐 + 𝟑𝟔𝟎𝟎𝒕 + 𝟐𝟎𝟎𝟎