2022-02-22 Integrales_Desde el hallazgo de las funciones hasta el cálculo de áreas entre ellas_

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Problema 3. Dadas las funciones f(x) y g(x): 
a) Hallar las expresiones de ambas funciones. 
𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) 
4 = 𝑎. (0 − (−1)). (0 − 4) 
4 = 𝑎. 1. (−4) 
4 = −4𝑎 
4: (−4) = 𝑎 
−1 = 𝑎 
𝑓(𝑥) = −1. (𝑥 + 1)(𝑥 − 4) 
𝑓(𝑥) = (−𝑥 − 1). (𝑥 − 4) 
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 − 𝑥 + 4 
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 3𝑥 + 4 
Hallo la función g(x) 
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛: − 2 
𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒: 1 
La función 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2 
 
b) Hallar el área de la superficie rayada. 
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 3𝑥 + 4 
𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2 
Calculo el área de la región A marcada en el gráfico, la separo en 
dos partes: desde la intersección entre recta y cuadrática hasta la 
raíz -1 y la otra desde -1 hasta 0. 
Intersección: 
−𝑥2 + 3𝑥 + 4 = 𝑥 − 2 
−𝑥2 + 3𝑥 + 4 − 𝑥 + 2 = 0 
−𝑥2 + 2𝑥 + 6 = 0 
Uso resolvente para intersecciones: 
𝑥1 ≅ 3,65 𝑦 𝑥2 ≅ −1,65 
 
∫ ((−𝑥2 + 3𝑥 + 4) − (𝑥 − 2))𝑑𝑥 =
−1
−1,65
 
∫ (−𝑥2 + 2𝑥 + 6)𝑑𝑥 =
−1
−1,65
−
1
3
𝑥3 + 𝑥2 + 6𝑥 = 
= −
1
3
(−1)3 + (−1)2 + 6. (−1) − (−
1
3
(−1,65)3 + (−1,65)2 + 6. (−1,65)) = 
−
14
3
− (−5,680) ≅ 1,0134 
A 
B 
Calculo la segunda partecita de la región A 
Y=0 
− ∫ (𝑥 − 2)𝑑𝑥
0
−1
= − (
𝑥2
2
− 2𝑥) = − (02: 2 − 2.0 − ((−1)2: 2 − 2. (−1))) = − (0 −
3
2
) =
3
2
 
Parte A completa: sumo ambas áreas: 
Á𝑟𝑒𝑎 𝐴 = 1,0134 +
3
2
= 2,5134 
 
Calculamos Área B: 
∫ (𝑓(𝑥) − 0)𝑑𝑥
𝑥 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒
0
 
𝑥𝑣 =
−1 + 4
2
= 1,5 
∫ ((−𝑥2 + 3𝑥 + 4) − 0)
1,5
0
𝑑𝑥 = 
−
1
3
𝑥3 +
3
2
𝑥2 + 4𝑥 = −
1
3
. 1,53 +
3
2
. 1,52 + 4.1,5 − (−
1
3
03 +
3
2
02 + 4.0) = 8,25 = 
Á𝑟𝑒𝑎 𝐵 = 8,25 
 
Área rayada: Sumo A y B =2,5134 + 8,25 = 10,76634