32 Grupos Topologicos - Claudia Alvarado

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Grupos Topológicos
Claudia Damaris Alvarado
Noviembre 2015
Índice
1. Introducción 1
2. Preliminares 2
2.1. Algunas nociones topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3. Creando nuevas topoloǵıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4. Nociones de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3. Grupos Topológicos: Definiciones y ejemplos 11
3.1. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2. Relaciones entre grupos topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3. Grupo de inversibles de un grupo topológico . . . . . . . . . . . . . . 19
4. Subgrupos 23
4.1. Resultados elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2. Subgrupos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3. Grupo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4. The dense wind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.5. Componentes de arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.6. Componentes conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5. Pseudonormas en grupos topológicos 34
5.1. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2. Pseudonormas y grupos topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6. Algunos ejemplos concretos 44
6.1. Los subgrupos más habituales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Introducción
1. Introducción
Los grupos topológicos fueron estudiados por primera vez por Schreirer en 1926 y
por F.Leja en su art́ıculo Sur la notion du groupe abstrait topologique en 1927
donde se establece por primera vez la definición de grupo topológico aunque la idea
ya estaba vigente dentro del análisis en los grupos continuos de transformaciones y
en el desarrollo de los grupos de Lie y sus propiedades.
En la famosa lista de problemas que Hilbert propuso en 1900, el 5
o
problema
planteaba lo siguiente: bajo qué condiciones se puede asegurar que un grupo
topológico tiene una estructura anaĺıtica que hace de él un grupo de Lie. Este
problema impulsó investigaciones en torno a los grupos topológicos y en 1933 A.
Haar obtiene la existencia de una medida invariante por traslaciones en un grupo
localmente compacto, metrizable y separable; luego A.Weil consigue la existencia
de una medida con estas caracteŕısticas pero quitando las condiciones de
metrizabilidad y separabilidad. Luego, al surgir la posibilidad de integración en
grupos localmente compactos, era natural pensar que se pudiera usar en esta clase
de grupos las técnicas de trabajo utilizadas en los grupos de Lie.
El problema número 5 de Hilbert fue resuelto en 1952 por Gleason, D. Montgomery
y L. Zippin; podemos enunciar el resultado del siguiente modo: Un grupo
topológico es un grupo de Lie si y sólo si es localemnte eucĺıdeo o equivalentemente
si es localmente compacto y no contiene subgrupos pequeños (esto es, el elemento
neutro posee un entorno compacto que no contiene subgrupos no triviales).
La combinación de la estructura algebraica de un grupo con la estructura de
espacio topológico ha dado lugar al crecimiento de tres áreas bien marcadas de la
Matemática: Álgebra, Topoloǵıa y Análisis Funcional, lo que muestra la riqueza
del concepto de grupo topológico.
Un grupo topológico es una terna que involucra un conjunto, una función y una
transformación continua, por ende para ser considerado como tal, debe cumplir las
propiedades tanto de ser grupo como de ser espacio topológico, además de cumplir
con la continuidad tanto de la multiplicación en el grupo como la de la inversión.
En el presente trabajo se pretende explorar algunas de las propiedades básicas de
grupos topológicos y mostrar las relaciones entre la teoŕıa de grupos y la topoloǵıa
general en estos grupos. Con muy pocas herramientas se obtienen resultados muy
útiles. Por ejemplo, se pueden construir subgrupos con propiedades fuertes sin
pedir muchas hipótesis y tenemos buenas propiedades de separación que nos
permite estudiar de manera más sencilla cualquier grupo topológico.
Con este fin, se desea ejemplificar y detallar esta unión entre la teoŕıa de grupos y
la topoloǵıa, desarrollando la teoŕıa de subgrupos de un grupo topológico, el grupo
cociente y las pseudonormas definidas en el.
1
Preliminares
2. Preliminares
2.1. Algunas nociones topológicas
Definición 2.1.1. Sea X un conjunto. Una topoloǵıa en X es un un sistema de
subconjuntos τ ⊆ P(X) que verifica las siguientes tres propiedades básicas:
(a) Si σ ⊆ τ , entonces
⋃
σ ⊆ τ .
(b) Si F ⊆ τ es finita, entonces
⋂
F ⊆ τ .
(c) ∅ ∈ τ y X ∈ τ .
Es decir, τ es una topoloǵıa si contiene a X y ∅ y es cerrada por uniones
arbitrarias y por intersecciones finitas.
En tal caso decimos que el par (X, τ) es un espacio topológico. Los elementos de τ
se llamarán subconjuntos abiertos de X con respecto a la toploǵıa τ .
La familia más conocida de espacios topológicos proviene de dotar a un conjunto
X de una métrica o distancia.
Si (X, d) es un espacio métrico entonces un subconjunto O ⊆ X es abierto, si para
cada x ∈ O existe ε > 0 tal que
Bε(x) := {y ∈ O : d(x, y) < ε} ⊆ O
Luego, el sistema τd de subconjuntos de X es una topoloǵıa y la desigualdad
triangular implica que las bolas Bε(x) son conjuntos abiertos. La llamamos la
topoloǵıa definida (o inducida) por la métrica d en X.
Definición 2.1.2. Sea (X, τ) un espacio topológico,
(a) Un subconjunto C ⊆ X es cerrado si su complemento X \ C es abierto.
(b) Para x ∈ X un subconjunto U ⊆ X es un entorno de x si existe un
subconjunto abierto O ⊆ X tal que x ∈ O ⊆ U . Notamos U(x) o UX(x) al
conjunto de todos los entornos de x, i.e.
U(x) = {U ⊆ X : U es entorno de x}.
U se llamará entorno abierto de x si se tiene que x ∈ U y el mismo U es
abierto. De la misma forma notamos
Uo(x) = {U ⊆ X : U es entorno abierto de x} = U(x) ∩ τ
a todos los entornos abiertos de x.
Definición 2.1.3. Sea (X, τ) un espacio topológico y E ⊆ X un subconjunto.
2
Preliminares
(a) E :=
⋂
{F ⊆ X : E ⊆ F, F cerrado} es llamado la clausura de E. Es el
subconjunto cerrado más pequeño de X que contiene a E.
(b) Eo :=
⋃
{U ⊆ X : U ⊆ E,U abierto} es llamado el interior de E. Es el
subconjunto abierto más grande de X contenido en E.
(c) ∂E := E \ Eo es llamado la frontera de E.
Lema 2.1.1. Sea (X, τ) un espacio topológico, E ⊆ X y x ∈ X. Entonces tenemos
las siguientes afirmaciones:
i) x ∈ Eo ⇐⇒ existe U ∈ U(x), U ⊆ E ⇐⇒ E ∈ U(x).
ii) x ∈ E ⇐⇒ para todo U ∈ U(x) U ∩ E 6= ∅.
iii) x ∈ ∂E ⇐⇒ para todo U ∈ U(x) U ∩ E 6= ∅ y U ∩ (X \ E) 6= ∅.
Definición 2.1.4. Sea (X, τ) un espacio topológico. Diremos que X es un espacio
Hausdorff si dados x, y ∈ X distintos existen
U ∈ U(x) y V ∈ U(y) tales que U ∩ V = ∅.
Definición 2.1.5. Sea (X, τ) un espacio topológico. Diremos que X es un espacio
completamente regular si para cualquier F ⊆ X, F cerrado y x ∈ X \ F existe una
función f : X −→ [0, 1] continua tal que f(x) = 0, mientras que f(F ) ⊆ {1}.
2.2. Funciones continuas
Antes de ver ejemplos de ciertas topoloǵıas introduciremos la noción de
continuidad.
Definición 2.2.1.
(a) Una función f : X −→ Y es llamada continua si para cada subconjunto abierto
O ⊆ Y la imagen inversa f−1(O) es un subconjunto abierto de X. f es
también llamado morfismo de espacios topológicos.
Notamos C(X, Y ) al conjunto de todos las funciones continuas f : X −→ Y .
(b) Una función f : X −→ Y se dice abierta si para cada subconjunto abierto
O ⊆ X la imagen f(O) es un subconjunto abierto de Y . De forma similar
definimos una función cerrada f : X −→ Y como aquel que manda
subconjuntos cerrados de X en subconjuntos cerrados de Y .
3
Preliminares
(c) Un funcion continua f : X −→ Y es llamada homeomorfismo si existe una
función continua g : Y −→ X tal quef ◦ g = idY y g ◦ f = idX
En otras palabras, f es hómeo si es biyectiva, continua y abierta.
Proposición 2.2.1. Si f : X −→ Y y g : Y −→ Z son funciones continuas
entonces su composición g ◦ f : X −→ Z es continua.
Lema 2.2.1.
i) Si f : X −→ Z es una función continua e Y ⊆ X un subconjunto, entonces
f |Y : Y −→ Z es continua con respecto a la topoloǵıa de subespacio en Y .
ii) Si f : X −→ Z es una función e Y ⊆ Z es un subespacio que contiene a f(X),
entonces f es continuo si y sólo si la correstricción f |
Y
: X −→ Y es continua
con respecto a la topoloǵıa inducida en Y .
Definición 2.2.2. Sea X e Y espacios topológicos y x ∈ X. Una función
f : X −→ Y se dice continua en x si para cada entorno V de f(x) existe un
entorno U de x con f(U) ⊆ V . Notemos que esta condición es equivalente a que
f−1(V ) sea un entorno del x.
Lema 2.2.2. Sea f : X −→ Y y g : Y −→ Z funciones entre espacios topológicos.
Si f es continua en x y g es continua en f(x), entonces la composición g ◦ f es
continua en x.
Proposición 2.2.2. Para una función f : X −→ Y entre espacios topológicos, las
siguientes afirmaciones son equivalentes:
i) f es continua.
ii) f es continua en cada x ∈ X.
iii) La imagen inversa de un subconjunto cerrado de Y bajo f es un conjunto
cerrado.
iv) Para cada subconjunto M ⊆ X tenemos f(M) ⊆ f(M).
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Preliminares
2.3. Creando nuevas topoloǵıas
Podemos construir nuevas topoloǵıas a partir de una topoloǵıa dada o basándonos
en familias arbitratias de conjuntos. Sean τ1, τ2 dos topoloǵıas en X. Decimos que
τ1 es más fuerte (o más grande) que τ2 si τ2 ⊆ τ1, es decir τ1 tiene más conjuntos
abiertos que τ2. La menor de todas las topoloǵıas en un espacio X es τ = {X,∅}
llamada topoloǵıa trivial o insdiscreta. La mayor de todas las topoloǵıas en X es
τ = P(X) llamada topoloǵıa discreta. Aśı (X, τ) se denomina espacio discreto.
Definición 2.3.1. Para un subconjunto A ⊆ P(X) el conjunto
τ := 〈A〉top :=
⋂
{σ : A ⊆ σ, σ topologia}
es una topoloǵıa en X. Esta es la topoloǵıa más fuerte en X para la cual todos los
conjuntos en A son abiertos. τ es llamada la topoloǵıa generada por A y A es
llamada una subbase de la topoloǵıa τ .
El conjunto A es llamado una base de la topoloǵıa τ si todo conjunto en τ es unión
de conjuntos de A.
En otras palabras, sabemos generar una topoloǵıa en X a partir de una familia
arbitraria A ⊆ P(X), y sabemos lo que debe cumplir A para ser una base de una
topoloǵıa. Nos interesa saber cómo construir una base de 〈A〉top a partir de A, por
lo que veremos el siguiente resultado:
Proposición 2.3.1. Sea X un conjunto y sea A ⊆ P(X) tal que
⋃
A = X. Se
tiene que A es base de 〈A〉top si y sólo si se cumple que dados U, V ∈ A y
x ∈ U ∩ V , existe W ∈ A tal que x ∈ W ⊆ U ∩ V .
En particular, esto es que A es cerrado bajo intersecciones finitas.
Proposición 2.3.2. Sea (X, τ) un espacio topológico. Dada β ⊆ τ , son
equivalentes:
i) β es base de τ .
ii) Para todo x ∈ X y todo U ∈ U(x) existe V ∈ β tal que x ∈ V ⊆ U .
Definición 2.3.2.
(a) Sea (X, τ) un espacio topológico y fijemos Y ⊆ X un subconjunto. Podemos
dotar a Y de una topoloǵıa a partir de τ . Consideramos
τY := {U ∩ Y : U ∈ τ} = {A ⊆ Y : existe U ∈ τ tal que A = U ∩ Y } ⊆ P(Y ).
Es una topoloǵıa en Y llamada la topoloǵıa de subespacio o topoloǵıa inducida
por τ a Y .
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Preliminares
(b) Sea v una relación de equivalencia en el espacio topológico (X, τ),
Y := X/ v= {[x] : x ∈ X}
el conjunto de clases de equivalencia y
q : X −→ Y , x 7−→ [x]
la función cociente. Considerando σ := {U ⊆ Y : q−1(U) ∈ τ} es una topoloǵıa
en Y llamada topoloǵıa cociente.
(c) Sea (Xi, τi)i∈I una familia de espacios topológicos y X =
∏
i∈I
Xi su producto
cartesiano. Para cada i ∈ I llamaremos πi : X −→ Xi a la proyección tal que
πi(x) = xi donde x = (xi)i∈I.
Se tienen las siguientes propiedades:
1. El sistema de todos los conjuntos
U =
⋂
i∈F
π−1i (Ui) = {(xi)i∈I ∈ X : xi ∈ Ui, i ∈ F} =
∏
i∈F
Ui ×
∏
i/∈F
Xi
donde F ⊆ I es un subconjunto finito de ı́ndices y Ui ∈ τi para cada i ∈ I
forman una base para la topoloǵıa en X llamada topoloǵıa producto
2. Una función f : Z −→ X, z 7−→ f(z) = (fi(z))i∈I, es continua si y sólo si
todas las funciones fi = πi ◦ f son continuas. En particular, las proyecciones
πi son funciones continuas.
2.4. Nociones de grupos
Definición 2.4.1. Un grupo es un conjunto G con una operación binaria
· : G×G −→ G que cumple lo siguiente:
(a) Cualesquiera a, b, c ∈ G (a · b) · c = a · (b · c). (Asociatividad)
(b) Existe e ∈ G tal que a · e = e · a = a, para todo a ∈ G. (Existencia del
elemento neutro)
(c) Para todo a ∈ G, existe b ∈ G tal que a · b = b · a = e. (Existencia del elemento
inverso)
G se dice abeliano si vale para cualesquiera a, b ∈ G a · b = b · a. (Conmutatividad)
Si G cumple sólo 1) y 2) se dice que es un monoide.
6
Preliminares
Definición 2.4.2. Sean G y H grupos y f : G −→ H una función. Se dice que f
es un:
• homomorfismo si f(a ·G b) = f(a) ·H f(b).
• monomorfismo si f es inyectiva.
• epimorfismo si f es suryectiva.
• isomorfismo si f es monomorfismo y epimorfismo.
• endomorfismo si G = H.
• automorfismo si f es endomorfismo e isomorfismo.
Definición 2.4.3.
(a) Un homomorfismo f : X −→ Y es llamado isomorfismo topológico si f es un
isomorfismo de grupos y homeomorfismo de espacios topológicos.
Observemos que si f : G −→ H es un isomorfismo topológico, entonces f y f−1
son homomorfismos abiertos.
(b) Un homomorfismo g : G −→ G es un automorfismo topológico si g es un
isomorfismo topológico.
(c) Dos grupos topológicos G y H son topológicamente isomorfos si existe un
isomorfismo topológico f : G −→ H.
Definición 2.4.4. Sea G un grupo no vaćıo y H ⊆ G. H es un subgrupo de G si
para todo a, b ∈ H se cumple que
(a) a · b ∈ H.
(b) a−1 ∈ H.
Notación: H 6 G.
Observación 2.4.1. Sea G grupo y H ⊆ G son equivalentes:
i) H 6 G
ii) a) H ·H = H
b) H−1 = H
Definición 2.4.5. Sea H 6 G y a ∈ G
7
Preliminares
(a) aH = {ah : h ∈ H} son las coclases de a a izquierda.
(b) Ha = {ha : h ∈ H} son las coclases de a a derecha.
Definición 2.4.6. Sea H 6 G, G grupo. Definimos
G/H = {aH : a ∈ G},
con
PH : G −→ G/H , a 7−→ aH.
Resulta G =
⋃
{aH : a ∈ G} y es una unión disjunta.
Análogamente, para las coclases a izquierda.
Definición 2.4.7. Si G es un grupo definimos P∗(G) = {A ⊆ G : A 6= ∅} y
consideramos una multiplicación en P∗(G) dada por la fórmula
ST = {st : s ∈ S, t ∈ T}
donde S, T ∈ P∗(G).
La operación ST hace de P∗(G) un monoide.
Lema 2.4.1. Sean H,K 6 G. Luego, H ·K 6 G si y sólo si H ·K = K ·H.
Definición 2.4.8. Sea G grupo, si H 6 G. Son equivalentes:
(a) (aH)(bH) = abH, para cualquier a, b ∈ G.
(b) cHc−1 ⊆ H, para todo c ∈ G.
(c) cHc−1 = H, para todo c ∈ G.
(d) cH = Hc, para todo c ∈ G.
En tal caso decimos que H es un subgrupo normal de G y lo notaremos H C G.
Proposición 2.4.1. Sea N C G. Luego G/N tiene una única estructura de grupo
tal que PN : G −→ G/N es epimorfismo.
Más aún el producto en G/N es el de P∗(G).
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Preliminares
Definición 2.4.9. Si N C G entonces G/N es llamado el grupo cociente de G por
N .
Definición 2.4.10. Sea G un grupo entonces Aut(G) denotará al conjunto de
todos los automorfismos de G.
Aut(G) = {Φ : G −→ G/ Φ es isomorfismo}
Bajo la composición de funciones Aut(G) es un grupo.
Definición 2.4.11. Sean G y H grupos y α : G −→ Aut(H) un homomorfismo.
Consideramos m : (H ×G)× (H ×G) −→ H ×G definido por
m((h, g), (h′, g′)) = (h, g)(h′, g′) = (hα(g)(h′), gg′).
A (H ×G,m) se le llama producto semidirecto de G y N con respecto a α. Se
denota H oα G.
Definición 2.4.12. Sea X un espacio topológico, un arco en X es una función
continua
γ : [a, b] −→ X
donde [a, b] ⊆ R es un intervalo compacto.
Decimos también que γ es un arco de γ(a) en γ(b).
Para p, q ∈ X definimos
x ∼a y si existe un arco de p a q
Se sigue de esta definición que ∼a define una relación de equivalencia.
Las clases de equivalencia de ∼a se denotanCa(x) = {y ∈ X : x ∼a y}
y las llamamos componentes de arco del espacio topológico X.
El espacio X se dice arcoconexo si para cualquiera dos puntos en X existe un arco
que los conecta.
Definición 2.4.13. Sea X un espacio topológico.
Cada subconjunto unitario {x} ⊆ X es conexo. Además,
C(x) := {A ⊆ X : x ∈ A, A conexo}
es un subconjunto conexo y cerrado. Este conjunto es llamado la componente
conexa de x. Este es el subconjunto conexo más grande de X que contiene a x.
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Preliminares
Observamos que las componentes conexas son subconjuntos dos a dos disjuntos y
cerrados de X.
El espacio X es conexo si y sólo si C(x) = X para cada x ∈ X. Y es llamado
totalmente disconexo si C(x) = {x} para cada x ∈ X.
Decimos que X es localmente conexo si cada x ∈ X tiene un entorno conexo.
En particular, para cada x ∈ X la componente conexa C(x) es un entorno de x.
Por lo tanto, las componentes conexas de X son subconjuntos abiertos.
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Grupos Topológicos: Definiciones y ejemplos
3. Grupos Topológicos: Definiciones y ejemplos
3.1. Definiciones básicas
Definición 3.1.1. Un grupo topológico es un par (G, τ) donde G es un grupo
provisto de una topoloǵıa Hausdorff, τ , tal que las operaciones de grupo:
mG : G×G −→ G, (x, y) 7−→ xy y ηG : G −→ G, x 7−→ x−1
resultan continuas considerando la topoloǵıa producto en G×G.
Observación 3.1.1. La continuidad de las operaciones de grupo también se puede
traducir en las siguientes condiciones: Dados x, y ∈ G se cumple que
i) para cada U ∈ Uo(xy) existen V ∈ Uo(x) y W ∈ Uo(y) tales que VW ⊆ U
ii) para cada U ∈ Uo(x−1) existe V ∈ Uo(x) tal que V −1 ⊆ U .
Demostración.
Supongamos que vale i). Sea (x, y) ∈ G×G y sea U ∈ Uo(xy) entonces existen
V ∈ Uo(x) y W ∈ Uo(y) tales que VW ⊆ U . Tenemos que V ×W ∈ τG×G y
mG(V ×W ) = VW ⊆ U . Luego, mG es continua.
Rećıprocamente, si mG es continua sean x, y ∈ G y tomemos U ∈ U
o
(xy), como
mG es continua, existe A abierto en G×G tal que (x, y) ∈ A y mG(A) ⊆ U . Como
estamos trabajando con la topoloǵıa producto en G×G existen V ∈ Uo(x) y
W ∈ Uo(y) tales que V ×W ⊆ A. Aśı, mG(V ×W ) = VW entonces
VW ⊆ mG(A) ⊆ U y vale i).
Del mismo modo, es inmediato que ii) vale si y sólo si ηG es continua.
Observación 3.1.2. Para un grupo G con una topoloǵıa τ , la continuidad de mG
y ηG se deduce de la continuidad de la función
ϕ : G×G −→ G, (g, h) 7−→ gh−1
Es decir, G es un grupo topológico si y sólo si ϕ es continua.
Demostración.
Supongamos que G es un grupo topológico. Consideramos la función diagonal de la
identidad IdG y de ηG (escribiremos IdG = Id y ηG = η)
∆{Id,η} : G×G −→ G×G dada por
∆{Id,η}(x, y) = (Id(x), η(y)) = (x, y
−1)
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Grupos Topológicos: Definiciones y ejemplos
vemos que es continua.
Sean x, y ∈ G se cumple que
m ◦∆{Id,η}(x, y) = m(x, y−1) = xy−1 = ϕ(x, y)
por lo que ϕ = m ◦∆{Id,η}. Y al ser composición de funciones continuas ϕ es
continua.
Supongamos que ϕ es continua.
Veamos primero que η es continua: Consideramos la inclusión
f : G −→ G×G
f(x) = (e, x)
que es continua.
Para cada x ∈ G tenemos
(ϕ ◦ f)(x) = ϕ(e, x) = ex−1 = x−1 = η(x),
esto es η = ϕ ◦ f por lo que es una función continua.
Ahora bien, como η es continua la función diagonal ∆{Id,η} antes definida resulta
continua.
Para cada (x, y) ∈ G×G se cumple que
ϕ ◦∆{Id,η}(x, y) = ϕ(x, y−1) = x(y−1)−1 = xy = m(x, y)
por lo tanto, m = ϕ ◦∆{Id,η} y concluimos que m es continua.
Se sigue de esto que G es un grupo topológico.
Observación 3.1.3. Todo subgrupo de un grupo topológico es un grupo
topológico con respecto a la topoloǵıa inducida.
Demostración.
Sea H un subgrupo de un grupo topológico G, la restricción de la multiplicación y
la inversión a H son funciones continuas y como H es un subespacio topológico
con la topoloǵıa inducida tenemos que es un grupo topológico de G.
Ejemplos 1.
(1) El grupo aditivo (X,+) de todo espacio normado (X, ‖ · ‖) es un grupo
topológico ya que la adición y la negación son funciones continuas. En
particular, (Rn,+) es un grupo topológico abeliano con respecto a cualquier
métrica inducida por la norma.
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Grupos Topológicos: Definiciones y ejemplos
En efecto, considerando la base {Bε(x) : x ∈ R y ε > 0}, donde
Bε(x) = {y ∈ R :| y − x |< ε} sean x, y ∈ R se tiene que m(x, y) = x+ y y
η(x) = −x. Veamos que m y η son continuas.
Sean x ∈ R y V ∈ Uo(−x). Tenemos que existe ε > 0 tal que Bε(−x) ⊆ V .
Vemos que x ∈ Bε(x) y η (Bε(x)) = Bε(−x) ⊆ V . Por la definición 2.2.2, η es
continua.
Por otro lado, dados x, y ∈ R y V ∈ Uo(x+ y), entonces existe ε > 0 tal que
Bε(x+ y) ⊆ V . Sea r = ε2 , tenemos que x ∈ Br(x) e y ∈ Br(x), luego
m (Br(x)×Br(x)) ⊆ Bε(x+ y) ⊆ V
Por lo tanto, m es continua.
(2) (C×, ·) es un grupo topológico y el grupo T := {z ∈ C× : |z| = 1} es un
subgrupo compacto.
(3) El grupo GLn(R) de las matrices invertibles de n× n es un grupo topológico
con respecto a la multiplicación de matrices llamado el grupo general lineal de
orden n sobre R. Si consideramos en GLn(R) la topoloǵıa generada por la
métrica
d(A,B) =
(
n∑
i,j=1
| Aij −Bij |2
) 1
2
para A = (Aij), B = (Bij) ∈ GLn(R), tenemos que la función definida por
(A,B) 7−→ AB−1 es continua. Por lo que GLn(R) es un grupo topológico con
respecto a la topoloǵıa τd.
(4) Cualquier grupo G es un grupo topológico con respecto a la topoloǵıa discreta
llamado grupo discreto. Y cualquier grupo asociado a la topoloǵıa indiscreta es
un grupo topológico llamado grupo indiscreto.
Lema 3.1.1. Sea G un grupo topológico. Entonces las siguientes afirmaciones se
cumplen:
i) La multiplicación a izquierda λg : G −→ G, x 7−→ gx es un homeomorfismo.
ii) La multiplicación a derecha ρg : G −→ G, x 7−→ xg es un homeomorfismo.
iii) La conjugación cg : G −→ G, x 7−→ gxg−1 es un homeomorfismo.
iv) La inversión ηG : G −→ G, x 7−→ x−1 es un homeomorfismo.
Demostración.
(i) Fijando g ∈ G, la continuidad de la multiplicación implica, por restricción,
que la función λg es continua. En efecto, tenemos m(g, ·) = λg : G −→ G y
13
Grupos Topológicos: Definiciones y ejemplos
como m es continua su restricción a G también lo es. Ahora bien, si
consideramos λg−1 es la inversa de λg
(λg ◦ λg−1) (x) = λg (λg−1(x)) = λg(g−1x) = gg−1x = x.
(λg−1 ◦ λg) (x) = λg−1 (λg(x)) = λg−1(gx) = g−1gx = x.
y como λg−1 es una función continua se sigue que cada λg es un isomorfismo
topológico, i.e., es un homeomorfismo.
(ii) Análogamente a i) considerando la continuidad de la multiplicación tenemos
que m(·, g) = ρg por lo que ρg es continua y su inversa ρg−1 también.
(iii) cg : G −→ G, cg = (λg ◦ ρg−1). Por ser composición de funciones continuas la
conjugación es continua.
(iv) Se sigue de la continuidad de ηG y η
2
G = idG.
�
Observación 3.1.4. Sea G un grupo dotado con una topoloǵıa τ . (G, τ) es un
grupo topológico si se cumplen las siguientes condiciones:
(i) La multiplicación a izquierda λg : G −→ G, x 7−→ gx es continua.
(ii) La inversión ηG : G −→ G, x 7−→ x−1 es continua.
(iii) La multiplicación mG : G×G −→ G, es continua en (1,1).
Demostración.
Primero observemos que
ρg(x) = ηG(λg−1(ηG(x)))
como λg es un homeo y ηG es continua entonces ρg es continua (más aun es homeo).
Veamos ahora que mG es continua en todo G×G. Consideremos una red
(xi, yi)i∈I ⊆ G×G tal que (xi, yi) −→
i∈I
(x, y) con (x, y) ∈ G×G.
Aśı,
xi −→
i∈I
x y yi −→
i∈I
y
entonces
x−1xi −→
i∈I
1 y yiy
−1 −→
i∈I
1
y como mG es continua en (1,1)
x−1xiyiy
−1 −→
i∈I
1
14
Grupos Topológicos: Definiciones y ejemplos
Usando que λg, ρg son continuas para todo g ∈ G,
λx(x
−1xiyiy
−1) −→
i∈I
λx(1) ⇒ xiyiy−1 −→
i∈I
x
y
ρy(xiyiy
−1) −→
i∈I
ρy(x) ⇒ xiyi −→
i∈I
xy
Por lo tanto, mG(xi, yi) −→
i∈I
mG(x, y) para cualquier (x, y) ∈ G×G.
Luego G es un grupo topológico.
Observación 3.1.5. Sea G un grupo dotado con una topoloǵıa τ . (G, τ) es un
grupo topológico si se cumplen las siguientes condiciones:
i) La multiplicación a izquierda λg : G −→ G, x 7−→ gx es continua.
ii) La multiplicacióna derecha ρg : G −→ G, x 7−→ xg es continua.
iii) La inversión ηG : G −→ G, es continua en 1.
iv) La multiplicación mG : G×G −→ G, es continua en (1,1).
Demostración.
Por la observación anterior (i),(ii) y (iii) implican que mG es continua en todo
G×G.
Veamos que ηG es continua en todo g ∈ G:
Sea (xi)i∈I ⊆ G tal que xi −→
i∈I
x con x ∈ G. Tenemos,
η(xi)− η(x) = x−1i − x−1 = x−1(xx−1i − 1)
y como η es continua en 1 entonces
xi −→
i∈I
x ⇒ xix−1 −→
i∈I
1 ⇒ xx−1i −→
i∈I
1
aśı
x−1(xx−1i − 1) −→
i∈I
0
Por lo que
η(xi)− η(x) −→
i∈I
0
Luego, ηG es continua en todo G.
Por lo tanto, G es un grupo topológico.
15
Grupos Topológicos: Definiciones y ejemplos
3.2. Relaciones entre grupos topológicos
Estudiaremos el comportamiento de un grupo topológico con respecto a otros y
para ello veremos cuales son los morfismos que relacionan a los grupos topológicos.
Definición 3.2.1. Sean G y H grupos topológicos, y f : G −→ H una función. f
es un homomorfismo de grupos topológicos si f es un homomorfismo de grupos y
además
1) f es un homomorfismo abierto si f es una función abierta,
2) f es un homomorfismo cerrado si f es una función cerrada,
3) f es un homomorfismo continuo si f es una función continua.
Para abreviar nos referiremos al homomorfismo de grupos topológicos simplemente
como homomorfismo.
Ejercicio 3.2.2. Sea α : G −→ H un homomorfismo de grupos topológicos.
(1) α es continuo si y sólo si α es continuo en 1.
(2) α es abierto si y sólo si la imagen α(U) de cada entorno de la identidad U en
G es un entorno de la identidad en H.
Demostración.
1) ⇒ como α es continuo en todo g ∈ G en particular será continuo en 1.
⇐ Sea V ∈ U(α(g)) entonces existe V ′ ∈ U(1H) tal que α(g)V ′ ⊆ V .
Ahora bien, como V ′ ∈ U(1H) y α es continua en 1 existe U ′ ∈ U(1G) tal que
α(U ′) ⊆ V ′.
Considerando el conjunto abierto
U = gU ′, U ∈ U(g)
resulta
α(U) = α(g)α(U ′) ⊆ α(g)V ′ ⊆ V
por lo que α es continua en todo g ∈ G.
2) ⇒ Sea U ∈ U(1G) entonces existe U ′ ∈ U
o
(1G) tal que 1G ∈ U ′ ⊆ U . Ahora
bien, como α es abierta entonces α(U ′) es un conjunto abierto de H y tenemos
que
1H ∈ α(U ′) ⊆ α(U).
Luego, α(U) ∈ U(1H).
16
Grupos Topológicos: Definiciones y ejemplos
⇐ Sea A ⊆ G abierto. Veamos que α(A) ⊆ H es abierto:
sea b ∈ α(A) ⇒ α−1(b) ∈ A ⇒ A = α−1(b)U con U ∈ U(1H)
Aśı existe
U ′ = (U ′)
o
: α−1(b)U ′ ⊆ α−1(b)U ⊆ A,
obtenemos
α
(
α−1(b)U ′
)
= bα(U ′) ⊆ bα(U) ⊆ α(A)
Llamando V ′ = bα(U ′), b ∈ V ′ = (V ′)o por lo que para cada
b ∈ A ⇒ ∃V ′ ∈ Uo(b) : b ∈ V ′ ⊆ α(A).
Entonces α(A) es abierto en H.
Observación 3.2.1. Existen homomorfismos continuos que no son abiertos. Sea G
un grupo y consideramos Gdis el grupo topológico discreto y Gind el grupo
topológico indisceto. Si consideramos la función identidad Id : Gdis −→ Gind es un
homomorfismo continuo que no es abierto.
Observación 3.2.2. Sea (Gi)i∈I una familia de grupos topológicos, entonces el
grupo producto G :=
∏
i∈I
Gi es un grupo topológico con respecto a la topoloǵıa
producto.
Demostración.
Sea G :=
∏
i∈I
Gi con las operaciones mG :=
∏
i∈I
mi y ηG :=
∏
i∈I
ηi donde mi y ηi son
la multiplicación e inversión en Gi para cada i respectivamente. Por otro lado, sea
πi =
∏
i∈I
Gi −→ Gi la proyección continua sobre el i- ésimo factor. Tenemos que
πi ◦mG = mi ◦ (πi × πi) πi ◦ ηG = ηi ◦ πi
para cada i.
Por lo que mG y ηG son continuas con la topoloǵıa producto.
�
Lema 3.2.1. Si G es un grupo topológico y g ∈ G fijo, entonces la conjugación
cg : G −→ G dada por cg(x) = gxg−1 es un automorfismo topológico. Estos son
llamados automorfismos internos de G.
17
Grupos Topológicos: Definiciones y ejemplos
Demostración.
Por el Lema 3.1.1 tenemos que cg es un homeomorfismo, nos falta ver que cg y
(cg)
−1 son homomorfismos. Sean x, y ∈ G, entonces
cg(xy) = g(xy)g
−1 = g(x1y)g−1 = g(xg−1gy)g−1 = (gxg−1)(gyg−1) = cg(x)cg(y)
Luego, cg es homomorfismo. Y como
(cg)
−1 = (λg ◦ ρg−1)−1 = (ρg−1)−1(λg)−1 = ρg ◦ λg−1 se sigue que (cg)−1 es un
homomorfismo.
�
Observación 3.2.3. Si G es un grupo abeliano, entonces para cada g ∈ G se tiene
que cg = IdG. En cambio si G es un grupo no abeliano, entonces admite muchos
automorfismos internos.
Ejercicio 3.2.3. Sea G y N grupos topológicos, supongamos que hay un
homomorfismo α : G −→ Aut(N) que define una función continua
ϕα : G×N −→ N, (g, n) 7−→ α(g)(n).
Consideramos al grupo N oα G, como en la definición 2.4.11. Entonces, N oα G es
un grupo topológico con respecto a la topoloǵıa producto teniendo la multiplicación
(n, g)(n′, g′) := (nα(g)(n′), gg′),
Un t́ıpico ejemplo es el grupo
Mot(E) := E oα O(E)
de isometŕıas afines de un espacio E euclideano; también llamado el ”el grupo de
movimientos afines”. En este caso, α(g)(v) = gv y Mot(E) actúa en E por
(b, g).v := b+ gv (de ah́ı el nombre).
Demostración.
· m : N oα G×N oα G −→ N oα G es continua:
Sean (n, g), (n′, g′) ∈ N oα G tenemos
m((n, g), (n′, g′)) = (n, g)(n′, g′)
= (nα(g)(n′), gg′)
= (nϕα(g, n
′), gg′)
= (mN(n, ϕα(g, n
′)),mG(g, g
′))
Ahora bien, por la continuidad de la multiplicación en N y G y la continuidad del
homomorfismo α tenemos que el producto en N oα G es una función continua.
18
Grupos Topológicos: Definiciones y ejemplos
Por otro lado, sea η : N oα G −→ N oα G la inversión en N oα G, sea
(n, g) ∈ N oα G probemos que
(n, g)−1 = (α(g−1)(n−1), g−1),
en efecto,
(n, g)(α(g−1)(n−1), g−1) = (nα(g)(α(g−1)(n−1)), gg−1)
= (nα(gg−1)(n−1),1G)
= (nα(1G)(n
−1),1G)
= (nIdN(n
−1),1G)
= (nn−1,1G)
= (1N ,1G)
y que (α(g−1)(n−1), g−1)(n, g) = (1N ,1G) se prueba análogamente. Por lo que
(n, g)−1 = (α(g−1)(n−1), g−1).
Entonces,
η((n, g)) = (n, g)−1
= (α(g−1)(n−1), g−1)
= (ϕα(g
−1, n−1), g−1)
= (ϕα(ηG(g), ηN(n)), ηG(g))
y como ηN y ηG son funciones continuas en H y G respectivamente y ϕα es
continua se obtiene que la inversión en N oα G es continua.
Por lo tanto, N oα G es un grupo topológico.
�
3.3. Grupo de inversibles de un grupo topológico
Ya hemos argumentado anteriormente que el grupo GLn(R) tiene una estructura
natural de grupo topológico. Este grupo es el grupo de inversibles del álgebra
Mn(R) de las matrices reales de n× n.
Como veremos ahora, hay una gran generalización de esta construcción.
Definición 3.3.1. Un álgebra de Banach es una terna (A,mA, ‖ · ‖) de un
espacio de Banach (A, ‖ · ‖) junto con una multiplicación asociativa bilineal
mA = A×A −→ A, (a, b) 7−→ ab
19
Grupos Topológicos: Definiciones y ejemplos
tal que la norma ‖ · ‖ es submultiplicativa, i.e.,
‖ ab ‖≤‖ a ‖ · ‖ b ‖ para a, b ∈ A.
Por abuso de notación llamamos A un álgebra de Banach si la norma y la
multiplicación son claras en el contexto.
Un álgebra de Banach unital es un par (A,1) donde A es un álgebra de Banach
y un elemento 1 ∈ A satisface 1a = a1 = a para todo a ∈ A.
El subconjunto
A× := {a ∈ A : (existe b ∈ A) ab = ba = 1}
es llamado el grupo de inversibles de A.
Observación 3.3.1. En un álgebra de Banach la multiplicación
mA : A×A −→ A, mA((a, b)) = ab es continua. En efecto, sea (an, bn)n∈N
sucesión en A×A tenemos que
an −→ a y bn −→ b
implica
‖ an ‖−→‖ a ‖, ‖ bn ‖−→‖ b ‖
y
‖ anbn − ab ‖=‖ anbn − abn + abn − ab ‖≤‖ an − a ‖ · ‖ bn ‖ + ‖ a ‖ · ‖ bn − b ‖−→ 0.
En particular, las multiplicaciones a izquierda y a derecha
λa : A −→ A, x 7−→ ax y ρa : A −→ A, x 7−→ xa,
son continuas con
‖ λa ‖≤‖ a ‖ y ‖ ρa ‖≤‖ a ‖
Proposición 3.3.1. El grupo unitaria A× de un álgebra de Banach unital es un
subconjunto abierto y un grupo topológico con respecto a la topoloǵıa definida
(inducida) por la métrica d(a, b) :=‖ a− b ‖ .
Demostración.
1) A× es un subconjunto abierto
Primero veamos que B1(1) ⊆ A×, donde B1(1) = {a ∈ A :‖ a− 1 ‖< 1}.
Sea a0 ∈ B1(1), entonces la serie
∞∑
n=0
(1− a0)n converge. Llamemos
b0 =
∞∑
n=0
(1− a0)n.
20
Grupos Topológicos: Definiciones y ejemplos
Veamos que b0a0 = 1:
b0a0 =
∞∑
n=0
(1− a0)na0 =
∞∑
n=0
xn(1− x) = 1− ĺım
n→+∞
xn = 1
donde
x = 1− a0 con ‖ x ‖< 1
Análogamentese prueba a0b0 = 1.
Luego, a0 ∈ A× entonces B1(1) ⊆ A×.
Sea a ∈ A×, sea r = 1‖a−1‖ . Veamos que Br(a) ⊆ A
×:
Sea b ∈ Br(a),
‖ ba−1 − 1 ‖=‖ ba−1 − aa−1 ‖=‖ (b− a)a−1 ‖≤‖ b− a ‖ · ‖ a−1 ‖< 1
‖ a−1 ‖
· ‖ a−1 ‖= 1.
Por lo antes visto tenemos ba−1 ∈ A× =⇒ b ∈ A×.
Por lo tanto, Br(a) ⊆ A× y A× es un subconjunto abierto de A.
2) A× es un grupo topológico
Por la observación 3.3.1 sabemos que la multiplicación mA es continua.
Falta ver que ηA es continua, para probar esto veamos primero la continuidad en
1 ∈ A: sea (an)n∈N sucesión en A× tal que an −−−→
n→∞
1 queremos ver que
‖ ηA − 1 ‖−→ 0.
En efecto,
‖ ηA − 1 ‖ =‖ a−1n − 1 ‖=‖ a−1n − ana−1n ‖=‖ (1− an)a−1n ‖=
∥∥∥∥∥(1− an)
∞∑
k=0
(1− an)k
∥∥∥∥∥
=
∥∥∥∥∥
∞∑
k=1
(1− an)k
∥∥∥∥∥ ≤
∞∑
k=1
‖ (1− an) ‖k=
‖ 1− an ‖
1− ‖ 1− an ‖
−−−→
n→∞
0
Por lo tanto, ηA es continua en 1.
Ahora veamos que ηA es continua en todo a ∈ A×:
Sea (an)n∈N sucesión en A× tal que an −−−→
n→∞
a,
‖ ηA(an)− ηA(a) ‖=‖ a−1n − a−1 ‖=‖ a−1(aa−1n − 1) ‖=‖ a−1
(
(ana
−1)−1 − 1
)
‖
Ahora bien, como
an −−−→
n→∞
a =⇒ ana−1 −−−→
n→∞
1
21
Grupos Topológicos: Definiciones y ejemplos
y como ηA es continua en 1 entonces
(ana
−1)−1 −−−→
n→∞
1
‖ ηA(an)− ηA(a) ‖−−−→
n→∞
0.
Por lo tanto, ηA es continua.
Esto prueba A× es un grupo topológico.
�
Ejemplos 2.
(1) Si (X, ‖ · ‖) es un espacio de Banach, entonces el espacio L(X) de los
operadores lineales continuos A : X −→ X es un álgebra de Banach unital
con respecto a la norma de operador
‖ A ‖:= sup{‖ Ax ‖: x ∈ X, ‖ x ‖< 1}
y la composición de funciones.
Notar que la submultiplicación de la norma de operador
‖ AB ‖≤‖ A ‖ · ‖ B ‖
es una consecuencia inmediata de la estimación
‖ ABx ‖≤‖ A ‖ · ‖ Bx ‖≤‖ A ‖ · ‖ B ‖ · ‖ x ‖ para x ∈ X.
En este caso el grupo de inversibles es también denotado GL(X) := L(X)×.
(2) Especializando 1) para Kn (K = R o C), vemos que el álgebra A = Mn(K) de
las matrices de n× n con entradas en K es un álgebra de Banach con
respecto a la norma de operador
‖ A ‖:= {‖ Ax ‖:‖ x ‖< 1, x ∈ Kn},
donde ‖ · ‖ es cualquier norma en Kn.
(3) Si X es un espacio compacto y A es un álgebra de Banach, el espacio
C(X,A) de funciones continuas en X a valores en A es un álgebra de
Banach con respecto a la multiplicación puntual (fg)(x) = f(x)g(x) y la
norma ‖ f ‖:= supx∈X ‖ f(x) ‖. El grupo de inversibles es
C(X,A)× = C(X,A×),
ya que la continuidad de la inversión en A× implica que para cada función f
valuada en A× la inversa puntual también es continua.
(4) Un caso especial importante de 3) es cuando tomamos A = Mn(C) donde
obtenemos C(X,Mn(C))× = C(X,GLn(C)) = GLn(C(X,C)).
22
Subgrupos
4. Subgrupos
A lo largo de esta sección, G denota un grupo y 1 es el elemento identidad de G.
4.1. Resultados elementales
Definición 4.1.1. Decimos que un subconjunto W ⊆ G es simétrico si
W = W−1 := {w−1 : w ∈ W}. En particular, si W es un entorno abierto, diremos
que W es un entorno simétrico si W = W−1.
Definición 4.1.2. Para dos subconjuntos A,B ⊆ G escribimos
AB := {ab : a ∈ A, b ∈ B} al producto de los conjuntos A y B.
Teorema 4.1.1. Si G es un grupo topológico y U es un entorno abierto del
elemento identidad 1, entonces existe un entorno simétrico V de 1 tal que V ⊆ U .
Esto nos dice que la familia de entornos simétricos de la identidad forman una
base local de la identidad.
Demostración.
Sea U ∈ Uo(1), como G es un grupo topológico tenemos que η es un homeo.
Aśı η(U) = U−1 es abierto y 1 ∈ U−1 por lo cual U−1 ∈ Uo(1). Consideremos
V = U ∩ U−1, vemos que V ⊆ U , V = V −1 y V ∈ Uo(1) y se cumple lo pedido.
�
Teorema 4.1.2. Sea G un grupo topológico.
i) Si U ∈ Uo(1) entonces para cada número natural n existe V ∈ Uo(1) tal que
V n ⊆ U .
ii) Si U ∈ Uo(1) entonces existe V ∈ Uo(1) tal que V ⊆ U . Esto es equivalente a
decir que los entornos cerrados de 1 forman una base local de 1.
Demostración.
(i) Sea U ∈ Uo(1). Realizamos inducción sobre n:
Para n = 1 podemos tomar V = U .
Supongamos que vale para n ∈ N, es decir existe W ∈ Uo(1) tal que W n ⊆ U .
Como G es un grupo topológico, la función m es continua y m(1,1) = 1,
para W ∈ Uo(1) existen V1, V2 ∈ U
o
(1) tales que V1V2 ⊆ W . Si tomamos
V = V1 ∩ V2 entonces V 2 ⊆ W
V n+1 = V 2V n−1 ⊆ WW n−1 = W n ⊆ U
Luego, V n+1 ∈ Uo(1) y V n+1 ⊆ U .
23
Subgrupos
(ii) Sea V ∈ Uo(1) tal que V 2 ⊆ U . Por el Teorema 4.1.1 existe W ∈ Uo(1)
simétrico tal que W ⊆ V , entonces W 2 ⊆ U .
Sea x ∈ W entonces Wx ∩W 6= ∅, luego existen x1, x2 ∈ W tales que
x1x = x2 entonces x = x
−1
1 x2 ∈ W−1W = W 2 ⊆ U .
Por lo tanto, W ⊆ U .
�
Lema 4.1.1. Sea G un grupo topológico. Entonces las siguientes afirmaciones se
cumplen:
i) Para cada U ∈ UG(1) y n ∈ N existe un subconjunto simétrico W ∈ UG(1) con
W n ⊆ U .
ii) Sea K un compacto y V un subconjunto abierto de G con K ⊆ V . Entonces
existe un abierto U ∈ UG(1) con KU ⊆ V .
iii) Si U ⊆ G es abierto y M ⊆ G, entonces MU y UM son subconjuntos abiertos
de G.
iv) Si A,B ⊆ G con subconjuntos compactos, entonces AB y A−1 son compactos.
v) Si A,B ⊆ G son subconjuntos arcoconexos, entonces AB es arcoconexo.
vi) Para un subconjunto S ⊆ G tenemos:
So = {s ∈ S : (∃U ∈ UG(1)) sU ⊆ S} y S =
⋂
{SU : U ∈ UG(1)}.
En otras palabras, la clausura de S se puede expresar como la intersección de
todos los productos de S por los entornos abiertos de la identidad (esto vale
tanto a izquierda como a derecha).
Demostración.
(i) Se deduce del Teorema 4.1.1 y 4.1.2 (i).
(ii) Sea x ∈ K como V es abierto, existe Vx ∈ U
o
(1) tal que xVx ⊆ V y existe
Ux ∈ U
o
(1) tal que U2x ⊆ Vx.
Tenemos que como x ∈ K el conjunto xUx = λx(Ux) es abierto y
aśı {xUx : x ∈ K} es un cubrimiento por abiertos de K y, como K es
compacto, existen x1, ..., xn ∈ K tales que K ⊆
k=n⋃
k=1
Uxk
Sea U =
k=n⋂
k=1
Uxk , como para cada k = 1, ..., n se cumple que 1 ∈ Ux se obtiene
que U es no vaćıo y, como es una intersección finita de abiertos, se tiene que
U es abierto, por lo que U ∈ Uo(1). Como 1 ∈ U ,
K = K1 ⊆ KU
24
Subgrupos
Ahora bien, si x ∈ K, entonces existe k = 1, ..., n tal que x ∈ xkUxk . Aśı se
cumple que
xU ⊆ xkUxkU ⊆ xkUxUx ⊆ xkVk ⊆ U.
Por lo tanto, K ⊆ KU ⊆ U .
(iii) MU =
⋃
m∈M
mU =
⋃
m∈M
λm(U), luego por el Lema 3.1.1, λm : G −→ G es un
homeo por lo que los conjuntos mU ⊆ G son abiertos y MU , al ser la unión
de estos conjuntos, es abierto.
De la misma forma, UM es abierto.
(iv) Supongamos que A y B son compactos, entonces A×B es compacto en
G×G. Como tenemos que m : G×G −→ G definida por m(x, y) = xy es
continua y m(A×B) = AB entonces AB es compacto. Además, como η es
continua y η(A) = A−1 tenemos que A−1 es compacto.
(v) Como A y B son arcoconexos, lo mismo sucede con su producto topológico
A×B. Ahora bien, utilizando nuevamente la continuidad de la multiplicación
mG : G×G −→ G tenemos AB = mG(A×B) es arcoconexo.
(vi) · So = {s ∈ S : existe U ∈ UG(1) sU ⊆ S}:
⊆) Sea s ∈ So existe
U ′ = (U ′)
o
: s ∈ U ′ ⊆ S
como U ′ ∈ UaG(s), existe
U ∈ UG(1) tal que sU ⊆ U ′ ⊆ S.
⊇) Sea s ∈ S entonces existe U ∈ UG(1)) tal que sU ⊆ S como U ∈ UG(1))
entonces existe
U ′ = (U ′)
o
: U ′ ∈ UaG(1)
Aśı
λs(U
′) = sU ′ es un conjunto abierto y s ∈ sU ′ ⊆ S ⇒ s ∈ So .
Luego se cumple la igualdad.
· S =
⋂
{SU : U ∈ UG(1)}:
Sea x ∈ S ⇔ para todo V ∈ UG(x), V ∩ S 6= ∅ como UG(x) = xUG(1), se
sigue que
xU ∩ S 6= ∅
para todo U ∈ UG(1). Ahora bien,
xU ∈ UG(x) ⇔ x ∈ SU−1.
25
Subgrupos
Como ηG es un homeomorfismo, para cada U ∈ UG(1) el conjunto
ηG(U) = U
−1 ∈ UG(1) .
Resulta,
S =
⋂
{SU−1 : U ∈ UG(1)} =
⋂
{SW : W ∈ UG(1)}
�
4.2. Subgrupos cerrados
Definición 4.2.1. Un subconjunto S de un espacio topológico X se dice
localmente cerrado si para cada s ∈ S existe un entorno U ∈ UX(s) tal que U ∩ S
es un subconjunto cerrado de U .
Teorema 4.2.1. Si G es un grupo topológico, A y B son subconjuntos de G,
entonces
i) A B ⊆ AB,
ii)
(
A
)−1
= A−1,
iii) sean x, y ∈ G se cumple que xAy = (xAy).
Demostración.
(i) Sean x ∈ A e y ∈ B. Consideramos W ∈ UG(xy). Como la multiplicación escontinua existen V1 ∈ UG(x) y V2 ∈ UG(y) tales que V1V2 ⊆ W . Como x ∈ A,
existe v1 ∈ A ∩ V1 y existe v2 ∈ B ∩ V2. Entonces
v1v2 ∈ AB y v1v2 ∈ V1V2
esto es,
AB ∩W 6= ∅
Aśı, xy ∈ AB. Por lo tanto, A B ⊆ AB
(ii) Como la inversión η es un homeomorfismo tenemos que(
A
)−1
= η
(
A
)
= A−1.
(iii) Dados x, y ∈ G por el Lema 3.1.1 λx y ρy son homeomorfismos por lo que
xAy = (λx ◦ ρy)(A) = (λx ◦ ρy)(A) = xAy
26
Subgrupos
�
Lema 4.2.1. Sea H un subgrupo de un grupo topológico G.
i) H es un subgrupo de G.
ii) Si N es un subgrupo normal de G, entonces N es un subgrupo normal de G.
iii) Si H es un conjunto abierto si y sólo si H
o 6= ∅.
iv) Si H es localmente cerrado ⇒ H es cerrado.
v) Si H es abierto ⇒ H es cerrado.
vi) Para cada U ∈ UG(1) con U = U−1 el conjunto 〈U〉 :=
⋃
n∈N
Un es un subgrupo
abierto y cerrado de G.
Demostración.
(i) Por la Observación 3.1.2, la función ϕ : G×G −→ G, (x, y) 7−→ xy−1 es
continua. Aśı
H ·H−1 = ϕ
(
H ×H
)
⊆ ϕ (H ×H) ⊆ H
Esto implica H
−1 ⊆ H. Por lo tanto (por la observación 2.4.1) H es un
subgrupo de G.
(ii) Como N es normal, por la definición 2.4.8, para todo c ∈ G se tiene
cNc−1 ⊆ N . Luego, por (iii) del Teorema anterior
cNc−1 = cNc−1 ⊆ N.
Por lo tanto, N es un subgrupo normal de G.
(iii) Si H es un conjunto abierto, como 1 ∈ H entonces Ho = H 6= ∅.
Si H
o 6= ∅ por lo que existe x ∈ Ho entonces existe U ∈ Uo(1) tal que
xU ⊆ H.
Ahora bien, sea y ∈ H se tiene que
yU = yx−1xU ⊆ yx−1H = H.
Como yU = λy(U) es abierto, concluimos que H es abierto.
(iv) Sea U ∈ UG(1) un abierto tal que U ∩H es un subconjunto cerrado de U .
Ahora bien, sea x ∈ H como vimos antes esto es equivalente a x ∈ HU−1.
Sea y ∈ xU entonces existe un u ∈ U con y := xu ∈ H. Luego, u = x−1y ∈ U
y u ∈ H ·H = H por ser H subgrupo de G, aśı tenemos que
u ∈ H ∩ U = U ∩H ∩ U = U ∩H
entonces x = yu−1 ∈ H.
27
Subgrupos
(v) Como H es abierto tenemos que Hc =
⋃
h6∈H
hH y como todos los cosets
hH = λh(H) son subconjuntos abiertos de G, el subgrupo H es cerrado.
(vi) Sean x, y ∈ 〈U〉 existen k, l ∈ N tales que x ∈ Uk e y ∈ U l, por lo que
xy ∈ Uk+l ⊆ 〈U〉. Por otro lado, x−1 ∈ (U−1)k = Uk ⊆ 〈U〉.
Por lo tanto, 〈U〉 es un subgrupo de G. Como 〈U〉 es la unión de conjuntos
abiertos tenemos que es abierto y por el Lema 4.2.1 (v) se tiene que 〈U〉 es
cerrado.
�
Observación 4.2.1. Un subgrupo Γ de un grupo topológico G se dice discreto si
es discreto como subespacio topológico. Esto es equivalente a la existencia de un
1-entorno U ⊆ G con U ∩ Γ = {1}.
Es decir, sean G un grupo topológico y Γ un subgrupo de G. Γ es un espacio
discreto si y sólo si Γ tiene un punto aislado.
Demostración.
Si Γ es un espacio discreto todos sus puntos son aislados.
Por otro lado, si x ∈ Γ es un punto aislado entonces existe U ∈ Uo(1) tal que
Ux ∩ Γ = {x}.
Ahora bien, sea y ∈ Γ entonces
Uy ∩ Γ = Uxx−1y ∩ Γx−1y = (Ux ∩ Γ)x−1y = {x}x−1y = {y}
Por lo que todos los puntos de Γ son aislados. Entonces Γ es un espacio discreto
En particular, Γ es localmente cerrado y por lo tanto cerrado por el Lema anterior.
Ejemplo. Consideremos el grupo topológico G = (R,+). Supongamos que
{0} 6= Γ ⊆ R es un subgrupo. Luego ocurren dos casos:
Caso 1: inf(R×+ ∩ Γ) = 0, i.e., existe una sucesión 0 < xn ∈ Γ con xn −→ 0.
Entonces Zxn ⊆ Γ para cada n. Aśı para cada intervalo abierto (a, b) ⊆ R y
xn < b− a obtenemos
∅ 6= Zxn ∩ (a, b) ⊆ Γ ∩ (a, b),
luego Γ es denso, es decir Γ = R.
Caso 2: d :=inf(R×+ ∩ Γ) > 0. Entonces (−d, d)∩ Γ = {0} implica que Γ es discreto
y además cerrado. Si d 6∈ Γ, entonces existe un d′ ∈ (d, 2d)∩ Γ y de la misma forma
existe d′′ ∈ (d, d′) ∩ Γ. Luego, 0 < d′ − d′′ < d contradiciendo la definición de d.
Esto implica que d ∈ Γ y Zd ⊆ Γ.
Para ver la igualdad, sea γ ∈ Γ y k := max{n ∈ Z : nd 6 γ}. Entonces
γ − nd ∈ [0, d) ∩ Γ = {0} =⇒ γ = nd. Concluimos que Γ = Zd es un grupo ćıclico.
28
Subgrupos
Lema 4.2.2. Sea θ ∈ R. Entonces Z+Zθ es denso en R si y sólo si θ es irracional.
Demostración.
Supongamos que Z + Zθ no es denso en R. Entonces es discreto por el ejemplo
anterior, por lo tanto tiene la forma Zx0 para algún x0 > 0. Luego existen k,m ∈ Z
con
1 = kx0 y θ = mx0.
Aśı, θ = m
k
∈ Q por lo que llegamos a una contradicción.
Rećıprocamente, si θ = m
k
∈ Q, entonces Z + Zθ ⊆ 1
k
Z no es denso en R.
�
Lema 4.2.3. Sea G un grupo topológico. Si H es un subgrupo y existe U ∈ Uo(1)
tal que U ∩H es cerrado en G entonces H es cerrado en G.
Demostración.
Sea x ∈ H veremos que x ∈ H. Sea V ∈ Uo(1) tal que V 2 ⊆ U . Por el Lema 4.2.1
(i) tenemos que H es un subgrupo de G, luego x−1 ∈ H y como x−1V ∈ Uo(x−1)
tenemos que existe y ∈ x−1V ∩H.
Afirmamos que xy ∈ U ∩H. Para probarlo supongamos que no, es decir
xy 6∈ U ∩H, como U ∩H es cerrado por hipótesis, existe W ∈ Uo(1) tal que
Wxy ∩ (U ∩H) = ∅.
Como (W ∩ V )x ∈ Uo(x) y x ∈ H, entonces existe
z ∈ (W ∩ V )x ∩H = Wx ∩ V x ∩H.
Notemos que
zy ∈ (V x)(x−1)V = V (x−1x)V = V 2 ⊆ U
además,
zy ∈ HH = H y zy ∈ (Wx)y = Wxy.
Lo que contradice la definición de W . Luego xy ∈ U ∩H. Por lo tanto,
x = x1 = x(yy−1) = (xy)y−1 ∈ H
ya que y−1 ∈ H (por ser y ∈ H y H es un grupo).
Aśı, H es cerrado.
�
29
Subgrupos
4.3. Grupo cociente
Definición 4.3.1. Sea G un grupo topológico y N un subgrupo normal de G. El
grupo cociente G/N se obtiene de equipar al grupo cociente algebraico con la
topoloǵıa cociente.
Teorema 4.3.1. Sea G un grupo topológico y N un subgrupo normal de G.
i) La proyección PN : G −→ G/N es una función abierta.
ii) El grupo cociente G/N es un grupo topológico.
iii) El grupo cociente G/N es discreto si y sólo si N es abierto en G.
Demostración.
(i) Sea U ⊆ G un subconjunto abierto. Por la definición 2.4.5
P−1N (PN(U)) = NU =
⋃
n∈N
nU
y por (iii) del Lema 4.1.1, NU es abierto. Entonces, por la continuidad de la
proyección al cociente, PN(U) es un subconjunto abierto de G/N .
(ii) Consideramos la familia
B = {PN(U) : U ∈ U
o
(1), U = U−1}
que genera una topoloǵıa τ sobre G/N . Como PN es un función abierta, cada
elemento de B es abierto en la topoloǵıa cociente de G/N .
Por otro lado, si W es abierto en la topoloǵıa cociente y Nx ∈ W , entonces
P−1N (W ) es abierto y contiene a x en G. Luego, existe V ∈ U
o
(1), V = V −1
tal que V x ∈ P−1N (W ) y tenemos que PN(V )Nx ⊆ W entonces PN(V )Nx ∈ τ .
Luego, τ coincide con la topoloǵıa cociente sobre G/N y (G/N, τ) es un
grupo topológico.
(iii) Si G/N es discreto entonces {N} = {N1} es abierto en G/N . Y como la
proyección PN es continua entonces P
−1
N ({N}) = N es abierto en G.
Rećıprocamente, si N es abierto en G tenemos que para cualquier g ∈ G se
cumple Ng es abierto en G. Aśı, como PN es abierta se satisface
PN(Ng) = {Ng} es abierto en G/N . Por lo tanto, G/N es discreto.
�
30
Subgrupos
4.4. The dense wind
En esta pequeña subsección discutiremos un importante ejemplo de un subgrupo
del 2-toro T2 que es no cerrado. Es el ejemplo más simple de un subgrupo no
cerrado arcoconexo.
Sea
A =
{(
eit
√
2 0
0 eit
)
: t ∈ R
}
⊆ T2 :=
{(
eir 0
0 eis
)
: r, s ∈ R
}
,
donde T2 es el toro dos-dimensional. Dotamos a T2 con la topoloǵıa inducida
heredada de M2(C).
Lema 4.4.1. A es un subgrupo denso del 2-toro T2.
Demostración.
Consideramos la función
Φ : R2 −→ T2, (r, s) 7−→
(
e2πir 0
0 e2πis
)
que es un homomorfismo de grupo continuo y suryectivo con núcleo Z2. Si
tomamos L := R(
√
2, 1) y V = R(1, 0) tenemos R2 ∼= V ⊕ L. Y como
Φ(L) = Φ(L+Ker(Φ)) = Φ(L+ Z2) = A
es suficiente mostrar que L+ Z2 es denso en R2.
Desde la descomposición directa R2 ∼= V ⊕ L y L ⊆ L+ Z2 obtenemos
L+ Z2 = L+ ((L+ Z2) ∩ V ),
y tomando p : R2 −→ V la proyección con núcleo L, entonces
p(L+ Z2) = p(Z2) = (L+ Z2) ∩ V.
Luego, basta con probar que p(Z2) es denso en V .
Como p(1, 0) = (1, 0) y p(0, 1) = p((0, 1)− (
√
2, 1)) = p(−(
√
2, 0)) = −(
√
2, 0). Aśı,
obtenemos p(Z2) = Z +
√
2Z de manera que la densidad de p(Z2) es una
consecuencia del Lema 4.2.2.
Por lo tanto A = Φ(L+ Z2) es un subgrupo denso de T2.
�
31
Subgrupos4.5. Componentes de arcos
Sea G un grupo topológico. Denotamos Ga al componente arcoconexo del elemento
identidad 1.
Lema 4.5.1. Ga es un subgrupo normal de G.
Demostración.
Por el Lema 4.1.1 (v) el conjunto producto GaGa ⊆ G es arcoconexo. Y como
contiene a 1= 1 · 1 se sigue que GaGa ⊆ Ga.
Por otra parte, la continuidad de la inversión η : G −→ G, g 7−→ g−1 mapea Ga en
un conjunto arcoconexo G−1a el cual también contiene a 1= 1
−1. Además
G−1a ⊆ Ga, por lo que Ga es un subgrupo de G.
Para cada g ∈ G el automorfismo conjugación cg : x 7−→ gxg−1 es continuo y
cg(1) = 1. Por lo que los mapeos de Ga sobre un conjunto arcoconexo contiene al
1. Concluimos que cg(Ga) ⊆ Ga. Entonces Ga es un subgrupo normal de G.
�
Definición 4.5.1. Como Ga es un subgrupo normal de G, el conjunto G/Ga de
cosets de Ga tiene una estructura natural de grupo. El grupo
π0(G) := G/Ga
es llamado el grupo componente de G.
4.6. Componentes conexas
Sea G un grupo topológico. Escribimos G0 a la componente conexa del elemento
identidad 1.
Lema 4.6.1.
i) G0 es un subgrupo normal y cerrado de G.
ii) Ga ⊆ G0.
Demostración.
(i) Con un argumento similar a la demostración del Lema 4.5.1, usando que las
funciones continuas mapean conjuntos conexos en conjuntos conexos,
tenemos que Ga es un subgrupo normal de G. La clausura de G0 viene de la
clausura de todos los componentes conexos de un espacio topológico
(definición 2.4.13).
32
Subgrupos
(ii) Finalmente la conexidad de Ga implica Ga ⊆ G0.
�
Lema 4.6.2. Si Ga es abierto entonces Ga = G0.
Demostración.
Ya hemos visto que Ga ⊆ G0. Como todos los cosets gGa, g ∈ G0, son
subconjuntos abiertos de G0 la conexidad de G0 implica que esta partición es
trivial. Entonces Ga = G0.
�
33
Pseudonormas en grupos topológicos
5. Pseudonormas en grupos topológicos
Estudiaremos la topoloǵıa de un grupo topológico mediante pseudonormas y
veremos que todo grupo topológico es completamente regular, lo cual nos
proveerá de buenas propiedades para trabajar con su topoloǵıa asociada.
5.1. Definiciones y propiedades
Primero daremos algunas definiciones y propiedades de las pseudonormas.
Definición 5.1.1. Sea G un grupo topológico y N : G −→ R≥0 una función. N es
una pseudonorma en G si se cumple N(1G) = 0 y para cualquier x, y ∈ G se
cumple
N(xy−1) ≤ N(x) +N(y).
Lema 5.1.1. Sea N una pseudonorma en G. Se cumple que
i) N(x) ≥ 0 y N(x−1) = N(x) para todo x ∈ G.
ii) Para todo x, y ∈ G se cumple N(xy) ≤ N(x) +N(y).
iii) Para todo x, y ∈ G se cumple que | N(x)−N(y) |≤ N(x−1y).
Demostración.
(i) Por definición de N se tiene que N(x) ≥ 0 probemos que N(x−1) = N(x):
por definición 5.1.1,
N(x−1) ≤ N(x)
y
N(x) = N
(
(x−1)−1
)
= N
(
1G(x
−1)−1
)
≤ N(1G) +N(x−1) = N(x−1).
Por lo tanto, N(x−1) = N(x).
(ii) Sean x, y ∈ G, entonces por (i)
N(xy) ≤ N(x) +N(y−1) = N(x) +N(y).
34
Pseudonormas en grupos topológicos
(iii) Por un lado tenemos
N(y) = N(y−1) = N(y−1xx−1) = N((y−1x)x−1) ≤ N(y−1x) +N(x),
por (i)
N(y−1x) = N
(
(y−1x)−1
)
= N(x−1y),
aśı
N(y) ≤ N(x−1y) +N(x),
entonces
−N(x−1y) ≤ N(x)−N(y) (5.1)
Por otro lado,
N(x) = N(yy−1x) = N(x−1yy−1) ≤ N(x−1y) +N(y−1) =≤ N(x−1y) +N(y)
y se sigue que
N(x)−N(y) ≤ N(x−1y) (5.2)
Luego, por (5.1) y (5.2) obtenemos
| N(x)−N(y) |≤ N(x−1y)
�
Teorema 5.1.1. Sea G un grupo topológico, k ∈ R≥0 y M,N pseudonormas en G.
i) kN : G −→ R≥0 dada por x 7−→ kN(x), es una pseudonorma en G.
ii) M +N : G −→ R≥0 dada por x 7−→M(x) +N(x), es una pseudonorma en G.
Demostración.
(i) Tenemos
kN(1G) = k(0)
y
kN(xy−1) ≤ k(N(x) +N(y)) = kN(x) + kN(y)
Por lo tanto, kN es una pseudonorma.
35
Pseudonormas en grupos topológicos
(ii) Tenemos
(M +N)(1G) = M(1G) +N(1G) = 0 + 0 = 0
y
(M +N)(xy−1) = M(xy−1) +N(xy−1)
≤ (M(x) +M(y)) + (N(x) +N(y))
= (M(x) +N(x)) + (M(y) +N(y))
= (M +N)(x) + (M +N)(y)
Luego, M +N es una pseudonorma en G.
�
Teorema 5.1.2. Sea f : G −→ H un homomorfismo de grupos topológicos. Si M
es una pseudonorma en H entonces N = M ◦ f es una pseudonorma en G.
Demostración.
Como f es homomorfismo de grupos,
N(1G) = (M ◦ f)(1G) = M(f(1G)) = M(1G) = 0.
Ahora bien, sean x, y ∈ G
N(xy−1) = M(f(xy−1)) = M(f(x)f(y−1)) = M(f(x)(f(y))−1)
≤M(f(x)) +M(f(y)) = N(x) +N(y).
Luego, M es una pseudonorma en G.
�
5.2. Pseudonormas y grupos topológicos
Como nos interesa definir pseudonormas sobre grupos topológicos resulta
conveniente que estas no dependan de otras pseudonormas. Para ello veamos
primero el siguiente resultado:
Teorema 5.2.1. Sea G un grupo topológico. Si f : G −→ R es una función
acotada, entonces la función N : G −→ R≥0 definida por
N(x) = sup{| f(yx)− f(y) | : y ∈ G}
es una pseudonorma en G.
36
Pseudonormas en grupos topológicos
Demostración.
Notemos que para todo y ∈ G se cumple
N(1G) =| f(y1G)− f(y) |=| f(y)− f(y) |= 0
Sean x, y ∈ G, entonces
N(xy−1) = sup{| f(zxy−1)− f(z) | : z ∈ G}
≤ sup{| f(zxy−1)− f(zx) | + | f(zx)− f(z) | : z ∈ G}
≤ sup{| f(zxy−1)− f(zx) | : z ∈ G}+ sup{| f(zx)− f(z) | : z ∈ G}
≤ sup{| f(ty−1)− f(t) | : t ∈ G}+N(x)
= N(y−1) = N(x).
Y por otro lado,
N(x−1) = sup{| f(yx−1)− f(x−1) | : y ∈ G} con z = yx−1
= sup{| f(z)− f(zx) | : z ∈ G} = N(x).
Entonces,
N(xy−1) ≤ N(y−1) +N(x)
Luego, N es una pseudonorma en G.
�
Definición 5.2.1. Sea G un grupo topológico y N una pseudonorma en G. N es
una pseudonorma invariante si para cualesquiera elementos x, y ∈ G se cumple
N(x) = N(y−1xy)
Observemos que si consideramos yx en vez de x en la definición anterior tenemos
la siguiente fórmula
N(yx) = N(xy)
para cualesquiera x, y ∈ G.
Definición 5.2.2. Sea N : G −→ R≥0 una pseudonorma. N es una pseudonorma
continua si es continua como función de G a R.
Teorema 5.2.2. Sea G un grupo topológico, g ∈ G y N una pseudonorma en G.
Si N es una pseudonorma continua, entonces la pseudonorma Ng : G −→ R≥0
definida por Ng(x) = N(g
−1xg) es una pseudonorma continua.
37
Pseudonormas en grupos topológicos
Demostración.
Primero veamos que Ng es una pseudonorma, para ello notemos que
Ng(x) = N(g
−1xg) = N(cg(x))
y como ya hab́ıamos visto, cg es un automorfismo interno em G. Luego, por el
Teorema 5.1.2, Ng es una pseudonorma en G.
Más aun, como cg es un homeomorfismo y N es continua entonces Ng es continua.
�
Teorema 5.2.3. Sea G un grupo topológico y N una pseudonorma en G. N es
continua si y sólo si para cualquier ε real positivo existe un entorno U ∈ U(1G) tal
que para cualquier x ∈ U se cumple N(x) < ε, es decir, N es continua si y sólo si
N es continua en 1G.
Demostración.
Si N es continua, entonces N es continua en 1G. En efecto, sea ε > 0 entonces
existe U ∈ Uo(1G) tal que para cualquier x ∈ U se tiene
| N(x)−N(1G) |< ε
y como
| N(x)−N(1G) |=| N(x) |= N(x) < ε,
luego, se cumple lo pedido.
Rećıprocamente, supongamos que dado ε > 0 existe U ∈ Uo(1G) tal que para
cualquier x ∈ Uε se cumple N(x) < ε. Sea y ∈ G, entonces yUε ∈ U
o
(y). Ahora
bien, sea z ∈ yUε entonces y−1z ∈ Uε y tenemos que N(y−1z) < ε. Por el Lema
5.1.1 (iii) obtenemos
| N(y)−N(z) |< N(y−1z) < ε.
Por lo tanto, N es continua en y ∈ G.
�
A continuación, veremos una forma de obtener pseudonormas a partir de la
topoloǵıa del grupo topológico. Antes veamos una útil notación:
Sea G un grupo topológico y N es una pseudonorma, entonces para cada ε > 0
denotamos
BN(ε) = {x ∈ G : N(x) < ε}
que llamamos bola abierta de radio ε y centro 1G.
38
Pseudonormas en grupos topológicos
Teorema 5.2.4. Sea G un grupo topológico. Si {Ui}i∈I es una sucesión decreciente
con Ui ∈ U(1G), Ui = U−1i , tal que
U2i+1 ⊆ Ui,
entonces se puede definir una pseudonorma continua N : G −→ R≥0 tal que para
cualquier i ∈ I se cumple que
BN
(
1
2i
)
⊆ Ui ⊆ BN
(
1
2i−1
)
Además, si para cualquier i ∈ I e y ∈ G se cumple que
y−1Uiy ⊆ Ui,
entonces se puede definir N de manera que también sea pseudonorma invariante.
Demostración.
Primero construiremos por inducción una familia de entornos de 1G como sigue:
Para n = 1, sea U(1) = U0.
Para n ∈ N fijo y m∈ {1, ..., 2n − 1} definimos
U
(
1
2n+1
)
= Un+1 (5.3)
y
U
(
2m+ 1
2n+1
)
= U
(m
2n
)
Un+1
Esta última condición nos garantiza que no se repiten fracciones. Aśı, hemos
definido un sistema de entornos U(r) de 1G, donde r recorre todas las fracciones
diádicas positivas. Ademaś, si m > 2n tomamos
U
(m
2n
)
= G (5.4)
Ahora probaremos por inducción sobre n que
U
(m
2n
)
U
(
1
2n
)
⊆ U
(
m+ 1
2n
)
(5.5)
Observemos que para el caso m > 2n la contención es inmediata por la desigualdad
(5.4). Por lo que, basta analizar cuando m < 2n:
Para n = 1,
U
(
1
2
)
U
(m
2n
)
⊆ U1U1 ⊆ U0 = U(1)
Supongamos que la relación vale para p < n.
Probaremos que vale para n. Consideremos dos casos:
39
Pseudonormas en grupos topológicos
1) m = 2k, k ∈ Z+. Por la relaciones vistas tenemos que
U
(m
2n
)
U
(
1
2n
)
= U
(
k
2n−1
)
Un = U
(
2k + 1
2n
)
= U
(
m+ 1
2n
)
2) m = 2k + 1, k ∈ Z+. Tenemos que
U
(m
2n
)
U
(
1
2n
)
= U
(
2k + 1
2n
)
Un
= U
(
k
2n−1
)
UnUn
⊆ U
(
k
2n−1
)
Un−1
= U
(
k
2n−1
)
U
(
1
2n−1
)
⊆ U
(
k + 1
2n−1
)
= U
(
m+ 1
2n
)
Por lo que (5.5) vale.
Ahora bien, observamos que si r y s son fracciones diádicas, con 0 < r < s, sin
pérdida de generalidad suponemos que r = k
2n
y s = l
2n
para algún entero positivo
k y algún entero positivo l, k < l y por (5.5) y (5.3) obtenemos U(r) ⊆ U(s).
Sea x ∈ G, definimos
f(x) = inf{r ∈ Q : x ∈ U(r)}
Como U(r) = G si r > 1, entonces para cualquier x ∈ G se cumple f(x) ≤ 1. Por
definición, vemos que si f(x) < r, entonces x ∈ U(r). Aśı para todo n ∈ N se
cumple que si 1G ∈ U
(
1
2n
)
, entonces f(1G) = 0.
Como f : G −→ R es una función acotada, por el Teorema 5.2.1 tenemos que
N : G −→ R≥0 definida por
N(x) = sup{| f(yx)− f(y) | : y ∈ G}
es una pseudonorma en G.
Más aun, N cumple
BN
(
1
2i
)
⊆ Ui ⊆ BN
(
1
2i−1
)
.
En efecto, notemos que si N(x) < 1
2i
para algún x ∈ G, entonces
f(x) =| f(1Gx)− f(1G) |≤ N(x) <
1
2i
40
Pseudonormas en grupos topológicos
y como x ∈ U
(
1
2i
)
= Ui tenemos
BN
(
1
2i
)
⊆ Ui.
Por otro lado, si x ∈ Ui y sea y ∈ G, entonces existe k ∈ N tal que
k − 1
2i
≤ f(y) < k
2i
.
entonces y ∈ U
(
k
2i
)
, se sigue que yx ∈ U
(
k
2i
)
Ui y yx
−1 ∈ U
(
k
2i
)
U−1i . Y como
U−1i = Ui y se cumplen (5.3) y (5.5) tenemos yx, yx
−1 ∈ U
(
k + 1
2i
)
Luego,
f(xy) ≤ k + 1
2i
f(yx−1) ≤ k + 1
2i
entonces
f(yx)− f(y) ≤ k + 1
2i
− k − 1
2i
=
1
2i−1
f(yx−1)− f(y) ≤ k + 1
2i
− k − 1
2i
=
1
2i−1
Si sustituimos y por yx en la última desigualdad obtenemos
f(y)− f(yx) ≤ 1
2i−1
,
lo cual implica
| f(yx)− f(y) |≤ 1
2i−1
, para todo y ∈ G
es decir,
N(x) ≤ 1
2i−1
,
por lo que
Ui ⊆ BN
(
1
2i−1
)
.
Luego se cumple lo pedido para la pseudonorma N en G y esto implica que N es
continua en 1G y, por lo tanto, continua en G.
41
Pseudonormas en grupos topológicos
Por último, sea Ui para i ∈ I tal que cumpla y−1Uiy ⊆ Ui entonces cada U(r)
(cumpliendo nuestra construcción anterior) también lo cumple. Además, por la
definición de f y y−1Uiy ⊆ Ui se satisface f(y−1xy) = f(x) para cualesquiera
x, y ∈ G. Esto implica
N(y−1xy) = sup{| f(zy−1xy)− f(z) |: z ∈ G}
= sup{| f(yzy−1x)− f(yzy−1) |: z ∈ G}
= N(x)
donde sup{| f(zy−1xy)− f(z) |: z ∈ G} = sup{| f(yzy−1x)− f(yzy−1) |: z ∈ G}
ya que las traslaciones λg y ρg son homeos para todo g ∈ G.
Por lo tanto, N es una pseudonorma invariante.
�
Teorema 5.2.5. Sea G un grupo topológico. Si U ∈ Uo(1G), entonces existe una
pseudonorma continua N en G tal que BN(1) ⊆ U .
Demostración.
Sea U0 = U ∩ U−1. Consideramos una sucesión {Ui}i∈I de entornos simétricos de
1G con la propiedad U
2
i+1 ⊆ Ui definido inductivamente por:
U0 = U ∩ U−1.
Y para Ui ya definida entonces existe Vi ∈ U
o
(1G) tal que V
2
i ⊆ Ui (Teorema 4.1.2
(i)), y definimos Ui+1 = Vi ∩ V −1i .
Ahora bien, por el Teorema 5.2.4, existe una pseudonorma continua N en G tal
que para todo i ∈ I cumple
BN
(
1
2i
)
⊆ Ui ⊆ BN
(
1
2i−1
)
,
en particular, para i = 0 tenemos
BN
(
1
20
)
= BN(1) ⊆ U0 ⊆ U.
�
Aśı observamos que la topoloǵıa de cualquier grupo topológico se puede generar
mediante una familia de pseudonormas continuas. Basta tomar un entorno abierto
de la identidad en G y realizar la construcción del teorema anterior.
Y finalmente, llegamos al resultado esperado:
Teorema 5.2.6. Todo grupo topológico es completamente regular.
42
Pseudonormas en grupos topológicos
Demostración.
Sea G un grupo topológico. Sea x ∈ G y U ∈ Uo(x), entonces x−1U ∈ Uo(1G),
luego por el Teorema 5.2.5 existe una pseudonorma continua N en G tal que
BN(1) ⊆ x−1U.
Si consideramos la función f : G −→ [0, 1] dada por f(y) = N(x−1y) es continua
en G,
f(x) = N(x−1x) = N(1G) = 0,
y si f(y) < 1, entonces
x−1y ∈ x−1U
es decir, y ∈ U por lo que {y ∈ G : f(y) < 1} ⊆ U . Y por la definición 2.1.5, G es
completamente regular.
�
43
Algunos ejemplos concretos
6. Algunos ejemplos concretos
6.1. Subgrupos conocidos
Definición 6.1.1. Introducimos las siguientes notaciones para algunos subgrupos
importantes de GLn(K), K ∈ {R,C}:
(a) El grupo lineal especial : SLn(K) := {g ∈ GLn(K) : det g = 1}.
(b) El grupo ortogonal : On(K) := {g ∈ GLn(K) : g> = g−1}.
(c) El grupo ortogonal especial : SOn(K) := SLn(K) ∩On(K).
(d) El grupo unitario: Un(K) := {g ∈ GLn(K) : g∗ = g−1}. Notar que
Un(R) = On(R), pero On(C) 6= Un(C).
(e) El grupo unitario especial : SUn(K) := SLn(K) ∩ Un(K).
Observar que estos conjuntos son efectivamente subgrupos
(a) · Sean g1, g2 ∈ SLn(K) ⇒ det(g1g2) = det(g1)det(g2) = 1 · 1 = 1 ⇒
g1g2 ∈ SLn(K).
· Sea g ∈ SLn(K) ⇒ det(g−1) = (det(g))−1 = 1.
Luego SLn(K) es un subgrupo de GLn(K).
(b) · Sean g1, g2 ∈ On(K) ⇒ (g1g2)> = g>2 g>1 = g−12 g−11 = (g1g2)−1 ⇒
g1g2 ∈ On(K).
· Sea g ∈ On(K) ⇒ (g−1)> = (g>)> = g = (g−1)−1.
(c) Como SLn(K) y On(K) son subgrupos de GLn(K) ⇒ SLn(K) ∩On(K) es un
subgrupo de GLn(K).
(d) Para K = R ya está, por que Un(R) = On(R). Para K = C tenemos:
· g1, g2 ∈ Un(C) entonces
(g1g2)
∗ = (g1g2)> = (g>2 g
>
1 ) = g
>
2 g
>
1 = g
∗
2g
∗
1 = g
−1
2 g
−1
1 = (g1g2)
−1
· Sea g ∈ Un(C) ⇒ (g−1)∗ = (g∗)∗ = g = (g−1)−1.
(e) Como SLn(K) y Un(K) son subgrupos de GLn(K) ⇒ SLn(K) ∩ Un(K) es un
subgrupo de GLn(K).
Lema 6.1.1.
i) Los grupos Un(C), SUn(C), On(R) y SOn(R) son compactos.
ii) Los grupos SLn(K) y On(C) son no compactos para n ≥ 2.
Demostración.
44
Algunos ejemplos concretos
(i) Como todos los grupos son subconjuntos de Mn(C) ∼= Cn
2
, mostraremos que
estos son cerrados y acotados.
Acotados: En vista de que
SOn(R) ⊆ On(R) ⊆ Un(C) y SUn(C) ⊆ Un(C),
es suficiente ver que Un(C) es acotado. Sean g1, ..., gn denotan las filas de la
matriz g ∈ Un(C). Luego g∗ = g−1 es equivalente a gg∗ = 1, lo cual significa
que g1, ..., gn forman una base ortonormal de Cn con respecto al producto
escalar 〈z, w〉 =
n∑
j=1
zjwj que induce la norma ‖z‖ =
√
〈z, z〉.
Aśı, Un(C) es acotado.
Cerrado: Las funciones
f, h : Mn(K) −→Mn(K), f(A) := AA∗ − 1 y h(A) := AA> − 1
son continuas. Además los grupos
Un(K) := f−1(0) y On(K) := h−1(0)
son cerrados. Igualmente, SLn(K) es cerrado y los grupos SUn(C) y SOn(R)
son también cerrados ya que son intersecciones de subconjuntos cerrados.
(ii) Como SL2(R) ⊆ SL2(K) ⊆ SLn(K) y O2(C) ⊆ On(C), podemos suponer que
n = 2 y mostrar que SL2(R) y O2(C) son no acotados.
SL2(R) no acotado: consideramos
g1 =
(
1 x
0 1
)
y g2 =
(
1 y
0 1
)
∈ SL2(R), para x, y ∈ R,
y considerando la norma
‖A‖ = max1≤j≤m
m∑
i=1
| aij |
vemos que
diam(SL2(R)) = supg,g′∈SL2(R) ‖ g − g′ ‖ ≥ ‖ g1 − g2 ‖= maxx,y∈R ‖ x− y ‖
por lo que diam(SL2(R)) =∞.
Luego, SL2(R) es no acotado.
O2(C) no acotado: consideramos
g =
(
cosh(t) −isenh(t)
isenh(t) cosh(t)
)
Efectivamente, g−1 =
(
cosh(t) −isenh(t)
isenh(t) cosh(t)
)>
= g> entonces g ∈ O2(C) y
considerando nuevamente la norma anterior.
Análogamente probamos lo pedido.
45
Algunos ejemplos concretos
�
Proposición 6.1.1.
i) El grupo Un(C) es arcoconexo.
ii) El grupo On(R) tiene dos componentesde arco
SOn(R) y On(R)− := {g ∈ On(R) : detg = −1}.
Demostración.
(i) Primero consideramos Un(C). Vemos que este grupo es arcoconexo, sea
g ∈ Un(C), entonces existe una base ortonormal v1, ..., vn de autovectores de
g. Sean λ1, ..., λn los correspondientes autovalores. Escribimos
u := (v1, ..., vn) ∈ Un(C) a la matriz cuyas columnas son v1, ..., vn. Luego,
u−1gu = diag(λ1, ..., λn)
y g unitario implica |λj| = 1, aśı para algún θj ∈ R tenemos λj = eθji. Ahora
bien definamos una curva continua
γ : [0, 1] −→ Un(C), γ(t) := udiag(eitθ1 , ..., eitθn)u−1.
Obtenemos γ(0) = 1, γ(1) = g y cada γ(t) es unitario para t ∈ [0, 1].
(ii) Para g ∈ On(R) tenemos gg> = 1 y 1 = det(gg>) = (det g)2. Esto muestra
que
On(R) = SOn(R) ∪On(R)−
y ambos conjuntos son cerrados en On(R) ya que det es continuo. Además,
On(R) es no conexo y por ende no es arcoconexo.
Si vemos que SOn(R) es arcoconexo entonces para x, y ∈ On(R)−, tendŕıamos
1, x−1y ∈ SOn(R)
que se pueden conectar por un arco γ : [0, 1] −→ SOn(R), aśı
t 7−→ xγ(t)
define un arco [0, 1] −→ On(R)− conectando x con y. Por lo que probemos
que SOn(R) es arcoconexo.
Sea g ∈ SOn(R). Por álgebra lineal sabemos que existe una base ortonormal
tal que la matriz u cumple ugu−1 y tiene la forma
46
Algunos ejemplos concretos

cosα1 − sinα1
sinα1 cosα1
. . .
cosαm − sinαm
sinαm cosαm
−1
. . .
1
. . .
1

El determinante de cada bloque dos dimensional es 1, de modo que el
determinante es el producto de todos -1 autovalores. Por lo que su número es
par y podemos escribir cada par consecutivo como un bloque(
−1 0
0 −1
)
=
(
cos π − sin π
sin π cos π
)
Esto muestra que
ugu−1 =

cosα1 − sinα1
sinα1 cosα1
. . .
cosαm − sinαm
sinαm cosαm
1
. . .
1

Ahora, obtenemos un arco γ : [0, 1] −→ SOn(R) con γ(0) = 1 y γ(1) = g
dado por
γ(t) := u−1

cos tα1 − sin tα1
sin tα1 cos tα1
. . .
cos tαm − sin tαm
sin tαm cos tαm
1
. . .
1

u.
�
47
REFERENCIAS
Referencias
[1] Karl - Hermann Neeb. Lie Groups . 2010. (Chapter 1 - Appendix A: Basic
Topological Concepts)
[2] Dikran Dikranjan. Introduction to Topological Groups. (Chapter 3)
[3] William A. Adkins, Steven H. Weintraub. An Approach via Module Theory.
(Chapter 1)
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