OrtizMunozDavid2014

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Pontificia Universidad Javeriana.
Facultad de Ciencias.
Departamento de Matemáticas.
COMBINATORIA ALGEBRAICA. FUNCIONES
SIMÉTRICAS Y MULTISIMÉTRICAS.
Por: David Ortiz Muñoz.
Directora: Eddy Pariguán.
Bogotá - Colombia
Mayo de 2014
Índice general
Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1. Preliminares 10
2. Teoŕıa de Polya 13
2.1. Acciones de grupos sobre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Grupo Diedral D2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1. Coloraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2. Aplicación del Lema de Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3. Polinomio indicador de ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.4. Aplicación del polinomio indicador de ciclos al problema de colora-
ciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3. Funciones Simétricas Clásicas 31
3.1. Acción del grupo simétrico Sn sobre Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2. Álgebra de Invariantes y Coinvariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3. Funciones Simétricas Clásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.1. Funciones Simétricas Monomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.2. Funciones Simétricas Homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.3. Funciones Simétricas Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2
4. Funciones de Schür 39
4.1. Tablas de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2. Funciones de Schür . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5. Anillo de Funciones Multisimétricas 50
5.1. Funciones Multisimétricas Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3
Agradecimientos
A la Pontificia Universidad Javeriana por la financiación parcial de este trabajo a
través de los proyectos identificados con ID 00005841 y ID 00005024. A la profesora Eddy
Pariguan por dirigir el trabajo y confiar en mis capacidades. A la profesora Beatriz Graña
por sus valiosos aportes en la corrección de este trabajo.
A los profesores de la carrera de matemáticas de la Pontificia Universidad Javeriana por
todo lo que me enseñaron y aportaron a lo largo de mi formación como matemático. A
mis compañeros Gabriel, Lucas, Juan Camilo Rodŕıguez, Juan Camilo Vallejo con los que
estudie estos últimos años y de los que aprend́ı bastante. A mi familia por todo el apoyo
y a Laura por estar siempre conmigo.
4
Introducción
Cuando se habla de Combinatoria, se puede hablar de una rama de las Matemáticas,
con recientes avances, que estudia la manera de contar objetos dentro de un conjunto con
propiedades determinadas, y construir estructuras a partir de éstos. Inició gracias a que
despertó, desde tiempos muy antiguos, curiosidad e inquietud entre los matemáticos que
estudiaban problemas de probabilidad, como por ejemplo, los cuadrados mágicos de orden
n. Luego de muchos años de investigación en el tema, se logró consolidar un objeto de
estudio independiente.
Los oŕıgenes históricos de la Combinatoria pueden ser indagados desde tiempos anti-
guos y fue creciendo al lado de otras ramas de las Matemáticas como el Álgebra, la Teoŕıa
de Números y la Probabilidad. Sin embargo, en occidente surgió con los matemáticos
Blaise Pascal y Pierre Fermat en el siglo XVII con su trabajo sobre la teoŕıa de juegos de
azar. El actual término de “Combinatoria” se le debe al filósofo y matemático Gottfried
Leibniz, por su libro titulado “Dissertatio de Arte Combinatoria” [14]. Seguido a esto, ha
habido aportes de la familia Bernoulli, el suizo Leonhard Euler, y Arthur Cayley princi-
palmente en la Teoŕıa de Grafos [21]. El gran salto lo dio Gian-Carlo Rota, considerado
el padre de la combinatoria.
A medida que la ciencia fue avanzando y estudiando interacciones entre la Combi-
natoria, Teoŕıa de Representaciones, Geometŕıa Algebraica y otros campos del Álgebra,
se dio ascenso a una teoŕıa independiente llamada Combinatoria Algebraica. Uno de los
5
resultados más importantes de esta rama fue el despertar un nuevo interés por el estu-
dio las funciones simétricas, definidas a partir de la acción del grupo simétrico Sn sobre
R[x1, . . . .xn], donde los polinomios simétricos son los polinomios Sn-invariantes [2].
La Teoŕıa de Polya es una rama de la Teoŕıa Combinatoria, llamada aśı por el ma-
temático George Polya, quien nació en Budapest, Hungŕıa, en 1887, y obtuvo su t́ıtulo
como doctor en matemáticas en 1912. Desde 1940 se radicó en los Estados Unidos hasta
el año 1985, cuando murió a los 97 años, después de haber trabajado como profesor e
investigador en Brown University y Stanford University. Polya se interesó por problemas
de Probabilidad, Teoŕıa de Números y Análisis Numérico entre otros. Entre los resultados
más importantes de Polya están por ejemplo: En 1923 mostró que la transformada de
Fourier de una medida de probabilidad es un función caracteŕıstica. En 1920 realizó in-
vestigaciones sobre la distribución normal e introdujo el término “Teorema Central del
ĺımite”, que se usa en la actualidad. En Análisis Complejo investigó singularidades en
series de potencias, representaciones de funciones enteras de tipo exponencial y localiza-
ción de ceros. En 1921 demostró su teorema sobre caminos aleatorios en ret́ıculos enteras.
Polya también le interesaba mucho la pedagoǵıa, por lo que escribió 3 libros donde trata
el tema de como resolver problemas. “ ¿Cómo plantear y resolver problemas?” [19].
Objetos de la Geometŕıa Simétrica y enumeración de clases de simetŕıa fueron de gran
interés para él, como los 17 grupos cristalográficos planos, sin embargo la mayor contri-
bución que hizo Polya a la combinatoria fue su teorema de enumeración publicado en 1937.
En este trabajo estudiaremos el problema de conteo planteado por Polya, que esta-
blece cómo calcular el número de coloraciones distintas que se pueden realizar sobre los
vértices de poĺıgonos regulares. El planteamiento de dicho problema se realiza por medio
de una acción del grupo diedral D2n sobre el conjunto de vértices de un poĺıgono regular
de n lados. Este grupo tiene gran cantidad de representaciones en la naturaleza y otras
ciencias, como por ejemplo en la Qúımica, donde se utilizan grupos diedrales para cla-
6
sificar estructuras de moléculas y cristales, al igual que en el diseño, la arquitectura y
arte donde estos grupos son la base para la elaboración de diseños decorativos, edificios y
obras de arte. En la naturaleza, un ejemplo está en los copos de nieve, los cuales poseen
un simetŕıa equivalente a la del grupo D6 del hexágono. En el sector empresarial también
se utiliza por las más grandes multinacionales, quienes le dan a sus imágenes publicitarias
una simetŕıa igual a la de grupos diedrales.
Polya obtuvo una fórmula general para el problema ya mencionado de calcular el
número de coloraciones distintas de los vértices de un poĺıgono regular con un número
dado de colores. Para ello, Polya introduce el polinomio indicador de ciclos, que sirve como
fórmula para dicho conteo y además es un polinomio simétrico. El polinomio indicador de
ciclos está estrechamente ligado al Lema de Burnside, un resultado de la Teoŕıa de Grupos
que permite calcular el número de órbitas cuando un grupo finito actúa sobre un con-
junto finito. El lema se plantea y demuestra por el matemático alemán Ferdinand Georg
Frobenius (1849-1917) pero por una equivocación de la historia, el lema tomó el nombre
de Burnside, ya que no se conoció hasta que el londinense William Burnside (1852-1927)
lo publicó en su libro [6] mientras era profesoren Cambridge University.
Dentro de la Combinatoria Algebraica se da el estudio de funciones simétricas, tam-
bién conocidas como funciones simétricas de MacMahon debido a que fueron estudiadas
por el Británico Percy Alexander MacMahon (1854-1929), quien las aplicó en el proble-
ma de meter bolas en cajas y en la Teoŕıa de Cuadrados Latinos. Estas funciones son
de especial interés en Matemáticas y en F́ısica Matemática, y aparecen en el estudio de
álgebra elemental y Teoŕıa de Representaciones del Grupo Simétrico, entre otras. Gracias
a esa relación con la Teoŕıa de Representaciones, la Teoŕıa de Funciones Simétricas tiene
diversas aplicaciones en la F́ısica Matemática, por ejemplo, éstas aparecen en la corres-
pondencia entre Bosones y Fermiones, que es de gran importancia en la Teoŕıa de Cuerdas
(supercuerdas) y la Teoŕıa de Sistemas Integrables [13]. Aparecen también en el estudio
7
de los espacios de Moduli de superficies de Riemann [15].
Las funciones simétricas se extienden a un caso multivariado, dándo origen a las fun-
ciones multisimétricas, las cuales fueron objeto de estudio de matemáticos como Francesco
Vaccarino [27], Percy MacMahon, Mercedes Rosas [22] y John Dalbec [7].
Lo mencionado anteriormente, permite plantear el objetivo principal de este trabajo,
que es hacer un estudio detallado del art́ıculo [27] de Francesco Vaccarino, donde se pre-
senta el anillo de funciones multisimétricas y una fórmula general para la multiplicación
de funciones multisimétricas elementales. Para ello, se realizó una recopilación bibliográfi-
ca sobre los principales conceptos combinatorios que se deben manejar antes de iniciar el
estudio de las funciones simétricas y multisimétricas.
Este trabajo se encuentra organizado de la siguiente manera: un caṕıtulo de prelimi-
nares, donde se muestran definiciones y resultados de Teoŕıa de Grupos, haciendo énfasis
en el grupo simétrico Sn y además se introducirá la notación que utilizaremos a lo largo
del trabajo. En el segundo caṕıtulo se introducen conceptos tales como: permutación,
acción de grupos sobre conjuntos, órbitas, puntos fijos y estabilizador. Se define el grupo
diedral D2n como subgrupo del grupo simétrico Sn y se muestran ejemplos expĺıcitos de
los grupos D8 y D6 utilizando dibujos y mostrando cómo pueden definirse en términos de
permutaciones. Esto sirve como motivación para el problema de cómo calcular el número
de coloraciones distintas que se pueden realizar sobre los vértices de un poĺıgono regular
con un número dado de colores, que se resuelve por medio del Teorema de Polya. Previo
al teorema y su demostración, se enuncia el lema de Burnside con su respectiva prueba
para después definir el polinomio indicador de ciclos. El lema de Burnside y el polinomio
indicador de ciclos son fundamentales para la prueba del Teorema de Polya. Toda defini-
ción y todo resultado estará acompañado de ejemplos.
8
El tercer caṕıtulo comienza con el estudio de funciones simétricas, definiendo los poli-
nomios simétricos, que son los polinomios en varias variables f(x1, . . . , xn) tal que, para
cada permutación σ ∈ Sn, tenemos
f(xσ(1), xσ(2), . . . , xσ(n)) = f(x1, x2, . . . , xn),
es decir, los polinomios en R[x1, . . . , xn] invariantes bajo la acción del grupo simétrico.
El anillo de polinomios invariantes bajo la acción de Sn es denotado por R[x1, . . . , xn]
Sn .
Se definen y se muestran ejemplos de las funciones simétricas homogéneas, monomiales y
elementales, donde cada una de ellas forman una base para R[x1, . . . , xn]
Sn .
En el cuarto caṕıtulo se muestra un estudio detallado de las Funciones Simétricas de
Schür Sλ, introduciendo tres definiciones equivalentes de éstas, cada una con ejemplos
expĺıcitos de cómo calcularlas. La primera definición es la definición formal de Funciones
de Schür que se encuentra en el art́ıculo [12] de Jacobi, donde se introduce la fórmula de
Cauchy para calcular Funciones de Schür por medio de un cociente de determinantes. Las
otras dos definiciones utilizan propiedades de tablas semiestándar de Young [29], por lo
que el caṕıtulo inicia con una sección dedicada a las tablas y diagramas de Young que son
objetos combinatorios introducidas por el matemático británico Alfred Young (1873-1940)
[29]. Los ejemplos que se encuentran en este caṕıtulo muestran la expansión que puede te-
ner cada función de Schür en términos de Funciones Simétricas monomiales y elementales.
En el sexto y último caṕıtulo se muestra el estudio del caso multivariado de las fun-
ciones simétricas. En este caṕıtulo se definen las Funciones Multisimétricas Elementales
y se calculan ejemplos propios donde se ilustra el comportamiento de dichas funciones. Se
enuncia y se muestra la prueba del resultado principal de Francesco Vaccarino en el art́ıcu-
lo [27], el cual da una fórmula general de multiplicación para las Funciones Multisimétricas
Elementales. Seguido a este teorema, se escriben dos ejemplos expĺıcitos de multiplicación
para mostrar la aplicación del teorema y hacer la comparación de los resultados utilizando
la ley ditributiva y el teorema principal dado por Francesco Vaccarino.
9
Caṕıtulo 1
Preliminares
Se presentarán las definiciones de grupo, subgrupo, grupo simétrico Sn y permutacio-
nes con su descomposición en ciclos, conceptos importantes para la lectura del trabajo.
Se enunciarán algunos resultados de la Teoŕıa de Grupos cuyas pruebas se consideran
conocidas, para el lector que desee conocerlas se encuentran en [10].
Definición 1. Sea G un conjunto, junto a una operación binaria usualmente llamada
multiplicación, que asigna a todo par (a, b) de elementos de G un elemento en G deno-
tado por ab. Decimos que G es un grupo bajo esta operación si satisface las siguientes
propiedades.
1. Asociatividad. (ab)c = a(bc), para todo a, b, c ∈ G.
2. Elemento identidad. Existe un elemento e llamado identidad en G tal que ae = ea =
a, para todo a ∈ G.
3. Elemento inverso. Para todo elemento a ∈ G, existe b ∈ G llamado inverso de a
talque ab = ba = e. b se denota como a−1.
Definición 2. Sea G un grupo y H un subconjunto de G. Decimos que H es un subgrupo
de G si H es un grupo bajo la operación de G.
10
Teorema 3. Sea G un grupo y H un subconjunto no vaćıo de G. H es un subgrupo de G
si ab−1 ∈ H para todo a, b ∈ H.
En todo este trabajo utilizaremos la siguiente notación: Dado n ∈ N, denotamos por
[0, n] := {0, 1, 2, . . . , n} y [n] := {1, 2, . . . , n}.
Para todo conjunto finito X, |X| denotará la cardinalidad del conjutno X.
Para todo n ∈ Z+, si λ es una partición de n escribiremos λ ` n.
Definición 4. Diremos que σ es una permutación de n letras si σ : [n] −→ [n] es una
función biyectiva. Denotaremos Sn = {σ : [n] −→ [n]| σ es una permutación}. Sn se
llama Grupo Simétrico en n letras el cual es un grupo bajo la composición de funciones.
Dado n ∈ Z+ y dado σ ∈ Sn denotaremos los elementos del grupo de la siguiente manera
σ =
 1 2 3 . . . n
σ(1) σ(2) σ(3) . . . σ(n)
 .
Ejemplo 5. Los elementos de S3 son todas las funciones biyectivas σ : [3] −→ [3]. Expĺıci-
tamente los elementos de S3 son
 1 2 3
1 2 3
 ,
 1 2 3
1 3 2
 ,
 1 2 3
2 1 3
 ,
 1 2 3
2 3 1
 ,
 1 2 3
3 1 2
 ,
 1 2 3
3 2 1
 .
Observe que |S3| = 3! = 6.
Definición 6. Sean k ≤ n, x1, x2, . . . , xk ∈ [n] elementos distintos. Sea σ = (x1x2 . . . xk),
dada por
σ =
 x1 x2 x3 . . . xk
x2 x3 x4 . . . x1
 ,
y el resto de los elemento de [n] están fijos por σ. A σ = (x1x2 . . . xk) se llama un ciclo
de tamaño k.
Todo elemento σ ∈ Sn admite una descomposición en ciclos según muestra el Teorema
7. El lector interesado en la prueba puede remitirse a [11].
11
Teorema 7. Toda permutación de Sn distinta de la identidad se descompone de forma
única, salvo el orden de los factores, como producto de ciclos disjuntos cadauno de longitud
mayor o igual que 2.
Ejemplo 8. Considere los siguientes elementos de S3.
 1 2 3
1 2 3
 ,
 1 2 3
3 1 2
 ,
 1 2 3
2 1 3
 .
La respectiva descomposición en ciclos de cada elemento está dada por
 1 2 3
3 2 1
 = (13)(2)
 1 2 3
2 1 3
 = (12)(3)
.
Observe que las dos permutaciones anteriores tienen la misma estructura de ciclos ya
que las dos se descomponen como un ciclo de tamaño 1 y un ciclo de tamaño 2.
12
Caṕıtulo 2
Teoŕıa de Polya
George Polya (1887-1985), matemático húngaro, profesor de la Universidad de Stan-
ford en California, cuyos aportes a la Matemática los hizo en Combinatoria, Teoŕıa de
Probabilidad, Teoŕıa de Números y Análisis Numérico, [18] estudió de forma muy es-
pećıfica la influencia que tiene la descomposición en ciclos de una permutación del grupo
simétrico Sn y como esta, acompañada del grupo diedral D2n puede ser utilizada para
resolver problemas de coloraciones.
A lo largo de este caṕıtulo, se utilizará el grupo diedral D2n como subgrupo del gru-
po simétrico Sn para estudiar problemas de coloraciones. Posteriormente se enunciará y
demostrará el Lema de Cauchy-Frobenious, como motivación para definir el polinomio
indicador de ciclos asociado a una acción de un grupo de permutaciones G sobre un con-
junto finito X. Se demuestra el Teorema de Polya y se muestran aplicaciones y ejemplos
del mismo. Finalmente utilizaremos el polinomio indicador de ciclos como herramienta
para calcular las distintas coloraciones que se pueden hacer sobre los vértices de poĺıgonos
regulares.
13
2.1. Acciones de grupos sobre conjuntos
Las acciones de grupos sobre conjuntos finitos son la base de la Teoŕıa de Polya, y
dan lugar a diversos resultados importantes importantes de dicha teoŕıa. Se introducirá el
concepto de acción, acompañado de la definición de conjuntos de puntos fijos, órbitas
y estabilizadores, los cuales serán fundamentales para los teoremas que se enunciarán y
demostrarán en este caṕıtulo.
Definición 9. Sea G un grupo y sea X un conjunto no vaćıo. Decimos que G actúa sobre
X si existe una aplicación:
· : G×X −→ X
(g, x) 7−→ g · x
tal que
1. e · x = x, ∀x ∈ X, donde e es la identidad de G.
2. (gh) · x = g · (h · x), ∀g, h ∈ G, ∀x ∈ X.
En este caso decimos que G actúa sobre X a izquierda.
Ejemplo 10. Acción por traslación: Sea G un grupo y sea H un subgrupo de G, H
actúa sobre G de la siguiente manera:
· : H ×G −→ G
(h, x) 7−→ h · x = hx.
Veamos que · es una acción:
1. e ∈ H, x ∈ G, luego e · x = ex = x.
2. Sean h, h′ ∈ H, luego (hh′) · x = hh′x = h(h′x) = h(h′ · x) = h · (h′ · x), ∀g ∈ G
14
Ejemplo 11. Sea G un grupo y H,K dos subgrupos de G. Sea X = {xK : x ∈ G}
el conjunto de las clases laterales izquierdas de K en G, entonces H actúa sobre X por
traslación:
· : H ×X −→ X
(h, xK) 7−→ h · xK = hxK
1. e ∈ H, luego e · xK = exK = (ex)K = xK.
2. h, h′ ∈ h, xK ∈ X, entonces (hh′) · (xK) = hh′xK = h(h′xK) = h(h′ · xK) =
h · (h′ · xK).
Ejemplo 12. Acción por conjugación: Sea G un grupo y H un subgrupo de G, y
definimos la acción:
· : H ×G −→ G
(h, x) 7−→ h · x = hxh−1
1. e ∈ H, entonces e · x = exe−1 = x, ∀x ∈ G.
2. Sean h, h′ ∈ H y x ∈ G, entonces
(hh′) · x = hh′x(hh′)−1 = hh′xh′−1h−1 = h(h′ · x)h−1 = h · (h′ · x).
Definición 13. Sea G un grupo, X un conjunto no vaćıo. Suponga que G actúa sobre X
· : G×X −→ X
(g, x) 7−→ g · x
definimos:
Para todo x ∈ X, la órbita de x denotada por x̄, es el conjunto x̄ = {g ·x : g ∈ G}.
Para todo x ∈ X, el estabilizador de x, es el subgrupo de G,
Gx = {g ∈ G : g · x = x},
también llamado grupo de isotroṕıa.
15
Para todo g ∈ G, los puntos fijos de g es el conjunto fixX(g) = {x ∈ X : g·x = x}.
Definición 14. Sea G un grupo, y H ⊂ G un subgrupo de G.
Si G actúa por conjugación sobre śı mismo, entonces la órbita de x ∈ G,
x̄ = {gxg−1 : g ∈ G} se llama la clase de conjugación de x.
Si H actúa por conjugación sobre G, entonces el grupo de isotroṕıa
Hx = {h ∈ H : hxh−1 = x} = {h ∈ H : hx = xh}, se llama centralizador de x ∈ H.
Sea S = {K ⊂ G : K es subgrupo de G}. Si H actúa por conjugación sobre S,
entonces el subgrupo fixS(h) = {K ∈ S : hKh−1 = K}, es llamado el normalizador
de K en H y denotado NH(K). El grupo NG(K) es llamado el normalizador de K.
Claramente todo subgrupo K es normal en NG(K); K es normal en G śı y solo
śı NG(K) = G.
2.2. Grupo Diedral D2n
El conjunto de simetŕıas de un poĺıgono regular de n lados (n ≥ 3), conformado por
las rotaciones y reflexiones que se pueden realizar sobre éste, forma un grupo bajo la
composición de funciones, llamado el grupo diedral de orden 2n, que se denotará por D2n.
Dado que, las rotaciones y reflexiones son algunas de las permutaciones que se pueden
hacer sobre los vértices del poĺıgono, entonces el grupo diedral es un subgrupo del grupo
simétrico Sn, es decir, D2n ⊂ Sn.
El grupo diedral D2n también se conoce como el grupo de simetŕıas del poĺıgono regular
de n lados.
Definición 15. Sea n ∈ N, n ≥ 3, el grupo diedral D2n es un grupo de orden 2n generado
por σ, τ ∈ Sn que satisfacen
σn = e, σk 6= e, 0 < k < n;
τ 2 = e;
16
τσ = σ−1τ ;
donde e es la identidad de Sn.
Ejemplo 16. El grupo diedral D6 = {R0, R1, R2, S0, S1, S2}, es el grupo de simetŕıas
del triángulo. La identidad para D6 es R0 que viene siendo la configuración inicial del
triángulo sin realizarle ninguna rotación o reflexión.(La configuración inicial se fija arbi-
trariamente).
R0 R1 R2
S0 S1 S2
Figura 2.1: Simetŕıas del triángulo
En términos de permutaciones, tenemos que
R0 =
 1 2 3
1 2 3
 , R1 =
 1 2 3
3 1 2
 , R2 =
 1 2 3
2 3 1
 ,
S0 =
 1 2 3
1 3 2
 , S1 =
 1 2 3
3 2 1
 , S2 =
 1 2 3
2 1 3
 .
En este caso tenemos que D6 = 〈R1, S0〉.
17
Ejemplo 17. El grupo diedral D8 está conformado por las simetrias del cuadrado,
Figura 2.2: Simetŕıas del cuadrado
En términos de permutaciones D8 ⊂ S4 viene dado por
D8 =

 1 2 3 4
1 2 3 4
 ,
 1 2 3 4
2 3 4 1
 ,
 1 2 3 4
3 4 1 2
 ,
 1 2 3 4
4 1 2 3
 ,
 1 2 3 4
4 3 2 1
 ,
 1 2 3 4
3 2 1 4
 ,
 1 2 3 4
1 4 3 2
 ,
 1 2 3 4
2 1 4 3


Haciendo la correspondencia con la descomposición en ciclos de cada permutación tenemos
que
D8 = {(1)(2)(3)(4), (1234), (13)(24), (1432), (14)(23), (13)(2)(4), (1)(24)(3), (12)(34)}.
En este caso se tiene D8 = 〈(1234), (14)(23)〉.
En lo que sigue vamos a considerar los vértices de un poĺıgono indexados sobre el
conjunto [n]. En general vamos a considerar un grupo de permutaciones actuando sobre
un poĺıgono regular cuando el grupo actúe sobre el conjunto de vértices de mismo. La
18
acción a considerar está dada por σ · i = σ(i), para todo i vértice del poĺıgono y g en el
grupo.
2.2.1. Coloraciones
El problema a trabajar será contar de cuántas maneras distintas podemos colorear las
perlas de un collar con un número dado de colores, lo cual se puede pensar como una
función entre las perlas y el conjunto de colores, de la siguiente manera: dados N y R
conjuntos finitos, una función f : N −→ R, es una coloración de N con los colores de R.
Denotaremos Map(N,R) = {f : N −→ R|f es función}.
Dado el grupo Cn ⊂ Sn, donde Cn es el grupo ćıclico de rotaciones, se dice que dos colora-
ciones f, f ′ ∈Map(N,R) son iguales śı y solo śı f ′ = f ◦g para algún g ∈ Cn, es decir que
la coloració n del collar es independiente de las rotaciones. En este caso diremos que f y
f ′ son equivalentes, y se representará por medio de f ∼ f ′. La relación ∼ es una relación
de equivalencia, donde las clases de equivalencias son las distintas coloraciones que se le
pueden hacer al collar. Por lo tanto las clases de equivalencia de ∼ es lo que nos interesa
contar [3].
El siguiente Lema muestra una relación entre el cardinal de un grupo G que actúa sobre
un conjunto finito X, con los cardinalesde la órbita y del estabilizador de un elemento
de X. Este resultado permite entender la prueba del Teorema de Cauchy-Frobenious, el
cual es una herramienta fundamental para los resultados de la Teoŕıa de Polya.
Lema 18. Sea G un grupo que actúa sobre un conjunto finito X. Entonces se tiene
|x||Gx| = |G|,
donde Gx es el estabilizador de x.
Demostración. Sean x ∈ X y x,Gx la órbita y estabilizador de x respectivamente definidos
en la Definicón 13.
19
Veamos que para cualquier g ∈ G, hay exactamente |Gx| elementos del grupo de la forma
h = ga con a ∈ Gx, tal que h · x = g · x.
Supongamos g · x = h · x ⇐⇒ x = g−1h · x ⇐⇒ g−1h ∈ Gx ⇐⇒ h = ga, para algún
a ∈ Gx, ya que g−1h · x = g−1ga · x = a · x = x. Lo que prueba la afirmación anterior.
Luego en el conjunto x hay |Gx| elementos tal que h ·x = g ·x,por lo que se puede concluir
que
|x||Gx| = |G|.
El Lema de Burnside, también llamado Teorema de Cauchy-Frobenious es un resultado
de Teoŕıa de Grupos (1887) utilizado en problemas de conteo de simetŕıas en objetos
matemáticos [1], [6], [26].
Lema 19. Cauchy-Frobenious (Burnside)
Sea G un grupo que actúa sobre un conjunto finito X. Sean x1, x2, . . . , xn las distintas
órbitas de la acción del grupo G sobre X. Entonces se tiene que
n =
1
|G|
∑
g∈G
|fixX(g)|.
Demostración. Por el Lema 18 se tiene que |x||Gx| = |G| =⇒ |x| = |G||Gx| . Como la órbita
de x ∈ X nos induce una relación de equivalencia sobre el conjunto X, entonces ∀y ∈ x
tenemos y = x, luego |Gx| = |Gy|, ∀y ∈ x, entonces
|G| = |x||Gy| =
∑
y∈x
|Gy|.
Como se tienen n órbitas. Aśı
n|G| =
n∑
i=1
∑
y∈xi
|Gy| =
∑
y∈X
|Gy| =
∑
g∈G
|fixX(g)|.
La última igualdad se obtiene de la Definición 13. De lo cual se concluye:∑
x∈X
|Gx| =
∑
g∈G
|fixX(g)|.
20
∴ n =
1
|G|
∑
g∈G
|fixX(g)|.
2.2.2. Aplicación del Lema de Burnside
Si queremos colorear los vértices de un cuadrado con los colores azul y rojo, obten-
dremos el siguiente conjunto de coloraciones
X =
{
, , , , , , , , , , , , , , ,
}
.
(2.1)
En este conjunto hay elementos que son reflexiones o rotaciones de otros, para evitar esto,
vamos a utilizar la acción del grupo D8 definido en el Ejemplo 17, sobre el conjunto X y
el Lema 19 para contar las distintas clases de equivalencia, es decir las distintas órbitas
de la acción de D8 sobre X. Primero vamos a calcular los puntos fijos de cada elemento
del grupo D8.
fix[(1)(2)(3)(4)] = X
fix[(13)(24)] =
{
, , ,
}
fix[(1234)] =
{
,
}
fix[(1432)] =
{
,
}
fix[((12)(34))] =
{
, , ,
}
fix[(14)(23)] =
{
, , ,
}
fix[(13)(2)(4)] =
{
, , , , , , ,
}
fix[(1)(3)(24)] =
{
, , , , , , ,
}
.
21
Ahora, por el Lema de Burnside tenemos que
n =
1
|D8|
∑
g∈D8
|fixX(g)|,
donde n es el número de órbitas de la acción de D8 sobre el conjunto X. Luego
n =
1
|D8|
∑
g∈D8
|fixX(g)|
=
1
8
[16 + 4 + 2 + 2 + 4 + 4 + 8 + 8]
=
1
8
[48]
= 6.
Lo que nos dice que existen 6 coloraciones distintas de las 4 perlas de un collar con dos
colores.
Ahora para calcular únicamente las coloraciones que no son rotaciones de otra se va
a utilizar el subgrupo 〈σ〉 ⊂ D8 de las rotaciones generadas σ = (1234). Dado por
〈(1234)〉 =

 1 2 3 4
1 2 3 4
 ,
 1 2 3 4
2 3 4 1
 ,
 1 2 3 4
3 4 1 2
 ,
 1 2 3 4
4 1 2 3
 ,
haciendo la correspondencia con la descomposición en ciclos de cada permutación obte-
nemos que
G = {(1)(2)(3)(4), (1234), (13)(24), (1432)} = {σ0, σ, σ2, σ3},
y estudiando la acción de G sobre X, (2.1) y utilizando de nuevo el Lema 19, los puntos
fijos de cada elemento de G son
22
fix[(1)(2)(3)(4)] = X
fix[(1234)] =
{
,
}
fix[(13)(24)] =
{
, , ,
}
fix[(1432)] =
{
,
}
.
Y por lo tanto tenemos
n =
1
|〈(1234)〉|
∑
g∈〈(1234)〉
|fixX(g)|,
donde n es el número de órbitas de la acción de G = 〈(1234)〉 sobre el conjunto X. Luego
n =
1
|〈(1234)〉|
∑
g∈〈(1234)〉
|fixX(g)|
=
1
4
[16 + 2 + 4 + 2]
=
1
4
[24]
= 6.
De nuevo lo que este cálculo nos dice es que hay 6 coloraciones distintas de las 4 perlas
de un collar, con 2 colores (en general no es lo mismo utilizar el grupo de rotaciones o el
grupo diedral). Las 6 coloraciones del collar de 4 perlas son{
, , , , , ,
}
.
2.2.3. Polinomio indicador de ciclos
En la Sección 2.2.2, se utilizó un grupo G de permutaciones del conjunto {1, 2, 3, 4}
(grupo de simetŕıas del cuadrado) y se encontró que si G actúa en un conjunto X de colo-
raciones de los vértices del cuadrado, se puede obtener información sobre los patrones de
23
coloración (coloraciones que no son simetŕıas de otras), pero no se observó a profundidad
las propiedades de los elementos del grupo.
Polya observó que los elementos de un grupo de permutaciones G con la misma estructura
de ciclos, es decir con una descomposición en ciclos equivalente (ver Ejemplo 8), teńıan
la misma cantidad de puntos fijos [20]. Basado en esto Polya introduce el polinomio indi-
cador de ciclos del grupo G para llevar un seguimiento de la estructura de ciclos de sus
elementos [28].
Definición 20. Sea G un grupo de permutaciones sobre un conjunto finito X, |X| = n.
Para todo g ∈ G, sea bk(g) el número de ciclos de tamaño k de g. Entonces el polinomio
indicador de ciclos de G como grupo de permutaciones sobre X, es el polinomio en n
variables x1, . . . , xn, dado por
P(G,X)(x1, . . . , xn) =
1
|G|
∑
g∈G
x
b1(g)
1 x
b2(g)
2 . . . x
bn(g)
n .
El polinomio indicador de ciclos P(G,X) se puede denotar sólo por PG cuando el conjunto
X está impĺıcito en el contexto.
Proposición 21. El polinomio indicador de ciclos de la acción del grupo
D8 = {(1)(2)(3)(4), (1234), (13)(24), (1432), (14)(23), (13)(2)(4), (1)(24)(3), (12)(34)},
sobre el conjunto de los vértices del cuadrado está dado por
PD8(x1, x2, x3, x4) =
1
8
[x41 + 2x
2
1x2 + 3x
2
2 + 2x4]. (2.2)
Demostración. Analizando la descomposición en ciclos de los elementos de D8 tenemos
que
(1)(2)(3)(4) tiene 4 ciclos de tamaño 1,
(1234) tiene 1 ciclo de tamaño 4,
(13)(24) tiene 2 ciclos de tamaño 2,
(1432) tiene 1 ciclo de tamaño 4,
24
(14)(23) tiene 2 ciclos de tamaño 2,
(13)(2)(4) tiene 2 ciclos de tamaño 1 y un ciclo de tamaño 2,
(1)(24)(3) tiene 2 ciclos de tamaño 1 y un ciclo de tamaño 2,
(12)(34) tiene 2 ciclos de tamaño 2.
O lo que es equivalente
b1((1)(2)(3)(4)) = 4 b2((1)(2)(3)(4)) = 0 b3((1)(2)(3)(4)) = 0 b4((13)(24)) = 0
b1((1234)) = 0 b2((1234)) = 0 b3((1234)) = 0 b4((1234)) = 1
b1((13)(24)) = 0 b2((13)(24)) = 2 b3((13)(24)) = 0 b4((13)(24)) = 0
b1((1432)) = 0 b2((1432)) = 0 b3((1432)) = 0 b4((1432)) = 1
b1((14)(23)) = 0 b2((14)(23)) = 2 b3((14)(23)) = 0 b4((14)(23)) = 0
b1((13)(2)(4)) = 2 b2((13)(2)(4)) = 1 b3((13)(2)(4)) = 0 b4((13)(2)(4)) = 0
b1((1)(24)(3)) = 2 b2((1)(24)(3)) = 1 b3((1)(24)(3)) = 0 b4((1)(24)(3)) = 0
b1((12)(34)) = 0 b2((12)(34)) = 2 b3((12)(34)) = 0 b4((12)(34)) = 0.
Finalmente tenemos que
PD8(x1, x2, x3, x4) =
1
|8|
∑
g∈D8
x
b1(g)
1 x
b2(g)
2 x
b3(g)
3 x
b4(g)
4
=
1
8
[x41x
0
2x
0
3x
0
4 + x
0
1x
0
2x
0
3x
1
4 + x
0
1x
2
2x
0
3x
0
4 + x
0
1x
0
2x
0
3x
1
4
+ x01x
2
2x
0
3x
0
4 + x
2
1x
1
2x
0
3x
0
4 + x
2
1x
1
2x
0
3x
0
4 + x
0
1x
2
2x
0
3x
0
4]
=
1
8
[x41 + x4 + x
2
2 + x4 + x
2
2 + x
2
1x2 + x
2
1x2 + x
2
2]
=
1
8
[x41 + 2x
2
1x2 + 3x
2
2 + 2x4].
Proposición 22. El polinomio indicador de ciclos del grupo diedral D12
D12 =

(1)(2)(3)(4)(5)(6), (123456), (135)(246), (14)(25)(36),
(153)(264), (165432), (12)(36)(45), (1)(4)(26)(35),
(2)(5)(13)(46)(3), (6)(15)(24), (56)(14)(23), (16)(25)(34)
 ,
25
actuando sobre el conjunto de vértices de un hexágono regular está dado por la expresión
PD12(x1, x2, x3, x4, x5, x6) =
1
12
[x61 + 4x
3
2 + 3x
2
1x
2
2 + 2x
2
3 + 2x6].
Demostración. Por la descomposición en ciclos de cada permutación del grupo D12 y la
definición del polinomio indicador de ciclos, tenemos que
PD12(x1, x2, x3, x4, x5, x6) =
1
|12|
∑
g∈D12
x
b1(g)
1 x
b2(g)
2 x
b3(g)
3 x
b4(g)
4 x
b5(g)
5x
b6(g)
6
=
1
12
[x61 + x6 + x
2
3 + x
3
2 + x
2
3 + x6+
x21x
2
2 + x
2
1x
2
2 + x
2
1x
2
2 + x
3
2 + x
3
2 + x
3
2]
=
1
12
[x61 + 4x
3
2 + 3x
2
1x
2
2 + 2x
2
3 + 2x6].
2.2.4. Aplicación del polinomio indicador de ciclos al problema
de coloraciones
Sean C un conjunto finito de colores y Ω = Map(X,C), es decir que Ω es el conjunto
de todas las posibles coloraciones de los elementos de X con los colores de C. Sea G un
grupo finito que actúa sobre el conjunto X. Bajo estas condiciones tenemos:
Proposición 23. La aplicación de G sobre el conjunto Ω definida por
· : G× Ω −→ Ω
(g, φ) 7−→ (g · φ)(x) = φ(g−1(x)),
es un acción de G sobre Ω.
Demostración. Veamos que · satisface los axiomas de acción.
1. e ∈ G es la permutación identidad, luego e−1(x) = e(x) = x, ∀x ∈ X, entonces
(e · φ)(x) = φ(e−1(x)) = φ(e(x)) = φ(x), ∀φ ∈ Ω.
26
2. Sean g, h ∈ G y φ ∈ Ω, entonces tenemos que
(gh · φ)(x) = φ((gh)−1(x)) = φ(h−1g−1(x)) = (g · φ(h−1(x)) = g · (h · φ(x)).
Luego · es una acción bien definida.
Como una motivación para entender mejor la prueba del Teorema de Polya, vamos a
ver la incidencia de la descomposición en ciclos de una permutación en el cardinal de sus
puntos fijos.
A continuación vamos a estudiar algunos conjuntos de puntos fijos de elementos del grupo
diedral D8 actuando sobre el conjunto de coloraciones de los vértices del cuadrado.
Si detallamos los puntos fijos de las permutaciones, nos podemos dar cuenta que los puntos
fijos son aquellas coloraciones del cuadrado, en las cuales se colorea con el mismo color
cada elemento de un mismo ciclo. Esta observación nos permite calcular fácilmente el
cardinal del conjunto de puntos fijos de cada permutación de D4 solamente con saber su
descomposición en ciclos, de la siguiente manera:
(1)(2)(3)(4) ∈ D4 tiene como puntos fijos al conjunto X, según se observó en (2.1), y se
descompone en 4 ciclos. Luego los puntos fijos serán las coloraciones del cuadrado que
colorean de un mismo color cada ciclo, es decir todo el conjunto X. Si utilizamos 2 colores,
entonces tenemos 2 posibles colores para cada ciclo, es decir 24 = 16 coloraciones estaŕıan
fijas por (1)(2)(3)(4). Aśı mismo, si estuvieramos usando 3 colores, podŕıamos colorear con
3 colores cada ciclo y obtendŕıamos 34 coloraciones fijas por (1)(2)(3)(4). Si estudiamos
la permutación (1234) ∈ D4, vemos que sus puntos fijos, al colorear con 2 colores es el
conjunto {
,
}
y como se descompone en 1 ciclo de tamaño 4, se tienen 21 = 2 puntos fijos.
Para (12)(34) ∈ D4 tenemos que sus puntos fijos después de colorear con 2 colores son{
, , ,
}
,
y por descomponerse en 2 ciclos, se tienen 22 = 4 puntos fijos, ya que se pueden escoger
2 colores para colorear cada ciclo.
27
Por último, para (13)(2)(4) ∈ D4, vemos que sus puntos fijos son{
, , , , , , ,
}
y tiene 23 = 8 ya que se descompone en 3 ciclos.
Por lo tanto, si tenemos un elemento con m ciclos y vamos a utilizar c colores, entonces
el cardinal de puntos fijos bajo dicho elemento seŕıa cm.
Aún nos falta probar que los únicos puntos fijos son aquellos que colorean cada elemento
de un mismo ciclo con el mismo color, y dicha prueba se hará en la demostración del
Teorema de Polya.
Teorema 24. Polya
Sea G un grupo que actúa sobre X. Las órbitas x1, . . . , xn de G actuando sobre Ω viene
dado por
n = P(G,X)(|C|, |C|, . . . , |C|),
donde C es un conjunto finito de colores y Ω = Map(X,C).
Demostración. Por el Lema 19, tenemos que el número de órbitas de la acción de un
grupo G sobre Ω es
1
|G|
∑
g∈G
|fixΩ(g)|
donde fixΩ(g) = {φ ∈ Ω|gφ = φ}. Vamos a ver que g fija las coloraciones φ śı y solo śı φ
colorea con el mismo color los elementos de cada ciclo de g.
(=⇒) Si g · φ = φ, entonces (g · φ)(x) = φ(x) ⇒ φ(g−1(x)) = φ(x) para todo x ∈ X. En
particular se tiene para x = y, g(y), g2(y), . . . con y ∈ X.
Por tanto (φ)(y) = φ(g−1(y) = φ(g−1(g(y))) = φ(g(y)). Esto se tiene por el siguiente
hecho.
g · φ(y) = φ(y) = φ(g−1g(y) = g · φ(g(y)) = φ(g(y)),
φ(g(y)) = φ(g−1gg(y)) = g · φ(g2(y)) = φ(g2(y)).
28
Entonces si seguimos este proceso se tiene
φ(y) = φ(g(y)) = φ(g2(y)) = φ(g3(y)) = . . . = φ(gn(y)).
Esto significa que si g fija a φ entonces φ asigna el mismo color a cada elemento de todo
ciclo de g.
(⇐=) Si φ es tal que cada ciclo de g es coloreado con el mismo color, entonces g−1(x) y
x tienen el mismo color, para cada x ∈ X, lo que quiere decir que φ(g−1(x)) = φ(x) y
entonces g · φ(x) = φ(x), para todo x ∈ X y se concluye que g · φ = φ lo que dice que g
fija a φ.
Esto prueba la hipótesis de que los elementos de fixΩ(g) son precisamente los elementos
que colorean los elementos de cada ciclo con el mismo color. Además ya se observó que se
tienen |C|m coloraciones posibles para cada permutación con m ciclos donde 1 ≤ m ≤ n,
entonces
|fixΩ|(g) = |C|b1(g)|C|b2(g) · · · |C|bn(g),
y se puede concluir que el número de órbitas viene dado por la expresión
1
|G|
∑
g∈G
|fixΩ(g)| = |P(G,X)(|C|, |C|, . . . , |C|).
Ejemplo 25. Se pueden hacer 6 coloraciones distintas de un collar de 4 perlas con 2
colores.
Este problema se resuelve utilizando la acción del grupo D8 sobre los vértices del cua-
drado y el Teorema de Polya, simplemente evaluando PD8(x1, x2, x3, x4) con x1 = x2 =
x3 = x4 = 2,
29
PD8(2, 2, 2, 2) =
1
8
[24 + 2 · 22 · 2 + 3 · 22 + 2 · 2]
=
1
8
[16 + 2 · 4 · 2 + 3 · 4 + 4]
=
1
8
[48]
= 6.
Ejemplo 26. Se pueden realizar 110 coloraciones distintas de un collar de 6 perlas utili-
zando 3 colores.
Dado el grupo D12 actuando sobre el conjunto de vértices de un hexágono regular, se
puede obtener el polinomio indicador de ciclos y utilizando el Teorema 24, podemos calcu-
lar el número de coloraciones distintas de un collar de 6 perlas con 3 colores, simplemente
calculando PD12(x1, x2, x3, x4, x5, x6) en xi = 3 para i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
PD12(3, 3, 3, 3, 3, 3) =
1
12
[36 + 4 · 33 + 3 · 32 · 32 + 2 · 32 + 2 · 3]
=
1
12
[729 + 4 · 81 + 243 + 2 · 9 + 6]
=
1
12
[729 + 324 + 243 + 18 + 6]
=
1
12
[1320]
=110.
Podemos concluir que se pueden realizar 110 coloraciones distintas.
30
Caṕıtulo 3
Funciones Simétricas Clásicas
Utilizando los conceptos de Teoŕıa Combinatoria Enumerativa y haciendo un énfa-
sis en el grupo de permutaciones Sn y en las acciones de grupos sobre conjuntos finitos
[11], estamos listos para dar un paso hacia la Combinatoria Algebraica [2], donde intro-
duciremos el concepto de Funciones Simétricas [16], definiendo las Funciones Simétricas
monomiales, homogéneas y elementales. Se calcularán algunos ejemplos de cada una de
estas, donde se podrá ver la forma de calcularlas y la influencia que tiene la acción del
grupo Sn sobre el anillo de polinomios R[x1, . . . , xn].
3.1. Acción del grupo simétrico Sn sobre Rn
La acción del grupo simétrico Sn sobre el conjunto Rn que se definirá acontinuación,
da el primer paso a la introducción de las funciones simétricas. El objetivo es utilizar
la acción de Sn sobre las variables del anillo de polinomios R[x1, . . . , xn] e identificar las
funciones invariantes bajo dicha acción, de modo que generan un álgebra de invariantes
con la cual se trabajará [8].
Ejemplo 27. Sea G = Sn, y definimos la acción:
· : Sn × [n] −→ [n]
(σ, i) 7−→ σ · i = σ(i).
31
Veamos que · es una acción:
1. e ∈ Sn es la permutación identidad, luego e · i = e(i) = i, ∀i ∈ [n].
2. Sean σ, τ ∈ Sn, y sea i ∈ [n], entonces (στ) ·i = στ(i) = σ(τ(i)) = σ(τ ·i) = σ ·(τ ·i).
Proposición 28. Sn actúa sobre Rn como sigue:
· : Sn × Rn −→ Rn
(σ, (x1, x2, . . . , xn)) 7−→ (xσ−1(1), xσ−1(2), . . . , xσ−1(n))
Demostración. Veamos que · satisface los axiomas de acción.
1. e ∈ Sn es la permutación identidad, luego e−1(i) = e(i) = i, ∀i ∈ [n], entonces
e · (x1, . . . , xn) = (xe−1(1), . . . , xe−1(n)) = (x1, . . . , xn), ∀(x1, . . . , xn) ∈ Rn.
2. Sean σ, τ ∈ Sn y (x1, . . . , xn) ∈ Rn, entonces
(στ) · (x1, . . . , xn) = (x(στ)−1(1),. . . , x(στ)−1(n))
= (xτ−1σ−1(1), . . . , xτ−1σ−1(n))
= σ · (x(τ)−1(1), . . . , x(τ)−1(n))
= σ · (τ · (x1, . . . , xn)).
Luego · es una acción bien definida.
3.2. Álgebra de Invariantes y Coinvariantes
Sea k un cuerpo de caracteŕıstica 0, V un espacio vectorial sobre k y G un grupo finito
que actúa sobre V de la siguiente forma:
· : G× V −→ V
(g, v) 7−→ g · v
El álgebra de invariantes está dado por:
V G = {v ∈ V : g · v = v, ∀g ∈ G}.
32
Se tiene una aplicación simetrización sv : V −→ V G, dada por:
sv(v) =
1
|G|
∑
g∈G
gv,
donde |G| denota el cardinal de G.
La sucesión 0 −→ Ker(sv) −→ V −→ VG −→ 0 es exacta y obtenemos el correspondiente
triángulo conmutativo.
V - V G
V/Ker(sv)
sv
-
-
El espacio V/Ker(sv) = {vKer(sv) : v ∈ V} lo denotaremos como VG y se llama el Álgebra
de Coinvariantes de V por la acción de G. Es bien conocido que existe un isomorfismo
entre V G y VG.
3.3. Funciones Simétricas Clásicas
Comenzaremos el estudio de funciones simétricas definiendo las funciones simétricas
[5]. Son las funciones en varias variables f(x1, . . . , xn) tales que, para cada permutación
σ ∈ Sn, tenemos
f(xσ(1), xσ(2), . . . , xσ(n)) = f(x1, x2, . . . , xn).
Si Sn actúa sobre un anillo R entonces el anillo R
Sn de invariantes se descompone como la
suma directa
∞⊕
d=1
RSnd , con R
Sn
d la componente homogénea de grado d de R
Sn . La dimensión
de RSnd es el número de particiones de d en a lo sumo n bloques.
3.3.1. Funciones Simétricas Monomiales
Una base lineal para RSn está dada por las funciones simétricas monomiales, definidas
de la siguiente manera:
33
Escribimos mλ = mλ(x) para denotar la suma de todos los distintos monomios x
a donde
a vaŕıa en el conjunto de reordenamientos del n-vector λ = (λ1, λ2, . . . , λk, 0, . . . , 0). Lo
que deja claro que un monomio dado aparece con multiplicidad 1 en mλ.
m211(x1, x2, x3) = x
2
1x2x3 + x1x
2
2x3 + x1x2x
2
3,
contiene tres términos en lugar de seis. Observe que la definición implica mλ = 0 cuando
`(λ) > n, siendo `(λ) = k el número de componentes no nulas del vector (λ1, λ2, . . . , λk, 0, . . . , 0).
Ejemplo 29. Las funciones simétricas monomiales, para x = x1, x2, x3, x4, son:
m5 =x
5
1 + x
5
2 + x
5
3 + x
5
4.
m41 =x
4
1x2 + x
4
1x3 + x
4
1x4 + x
4
2x3 + x
4
2x4 + x
4
3x4
+ x1x
4
2 + x1x
4
3 + x1x
4
4 + x2x
4
3 + x2x
4
4 + x3x
4
4.
m32 =x
3
1x
2
2 + x
3
1x
2
3 + x
3
1x
2
4 + x
3
2x
2
3 + x
3
2x
2
4 + x
3
3x
2
4
+ x21x
3
2 + x
2
1x
3
3 + x
2
1x
3
4 + x
2
2x
3
3 + x
2
2x
3
4 + x
2
3x
3
4.
m311 =x
3
1x2x3 + x
3
1x2x4 + x
3
1x3x4 + x
3
2x3x4
+ x1x
3
2x3 + x1x
3
2x4 + x1x
3
3x4 + x2x
3
3x4
+ x1x2x
3
3 + x1x2x
3
4 + x1x3x
3
4 + x2x3x
3
4.
m221 =x
2
1x
2
2x3 + x
2
1x
2
2x4 + x
2
1x
2
3x4 + x
2
2x
2
3x4
+ x21x2x
2
3 + x
2
1x2x
2
4 + x
2
1x3x
2
4 + x
2
2x3x
2
4
+ x1x
2
2x
2
3 + x1x
2
2x
2
4 + x1x
2
3x
2
4 + x2x
2
3x
2
4.
m2111 =x
2
1x2x3x4 + x1x
2
2x3x4 + x1x2x
2
3x4 + x1x2x3x
2
4.
m11111 =0.
3.3.2. Funciones Simétricas Homogéneas
Un segundo conjunto clásico de funciones simétricas consiste en las funciones simétri-
cas homogéneas completas, aśı llamados por que se corresponden con la suma de todos los
34
monomios de un grado dado:
hd = hd(x) =
∑
|a|=d
xa,
donde a = (a1, a2, . . . , an) y |a| =
∑
ai. Como se ha venido realizando, es habitual omitir
mencionar las variables actuales x en las expresiones de las funciones simétricas, más aún
la mayoŕıa de fórmulas que vamos a obtener son independientes del actual conjunto de
variables. Por ejemplo, tenemos
hd =
∑
λ`d
mλ
que muestra la relación entre las funciones homogéneas y las monomiales, donde λ ` d
representa las particiones de d (ver Definición 33) . Además podemos especificar el hd a
través de su función generatriz
H(ζ) :=
∑
d≥0
hdζ
d =
n∏
i=1
1
1− xiζ
(3.1)
Observe que esto requiere que h0 = 1. Extendemos la noción de funciones simétricas mo-
nomiales a particiones λ, ajustando hλ := hλ1hλ2 . . . hλr , para λ = λ1λ2 . . . λr. Claramente
hλ es homogéneo con grado d = |λ|. Expandiendo las funciones simétricas homogéneas
completas en términos de la base monomial, tenemos
h11111 =m5 + 5m41 + 10m32 + 20m311 + 30m221 + 60m2111 + 120m11111.
h2111 =m5 + 4m41 + 7m32 + 13m311 + 18m221 + 33m2111 + 60m11111.
h221 =m5 + 3m41 + 5m32 + 8m311 + 11m221 + 18m2111 + 30m11111.
h311 =m5 + 3m41 + 4m32 + 7m311 + 8m221 + 13m2111 + 20m11111.
h32 =m5 + 2m41 + 3m32 + 4m311 + 5m221 + 7m2111 + 10m11111.
h41 =m5 + 2m41 + 2m32 + 3m311 + 3m221 + 4m2111 + 5m11111.
h5 =m5 +m41 +m32 +m311 +m221 +m2111 +m11111.
35
Ejemplo 30. La función homogénea h41 para x = x1, x2, x3, x4, se expande en términos
de la base monomial para.
h41 = h4h1 =
∑
λ`4
mλ
∑
λ`1
mλ = (m1111 +m22 +m31 +m211 +m4)(m1)
= (x1x2x3x4 + x
2
1x
2
2 + x
2
1x
2
3 + x
2
1x
2
4 + x
2
2x
2
3 + x
2
2x
2
4 + x
2
3x
2
4 + x
3
1x2 + x
3
1x3 + x
3
1x4 + x
3
2x3 +
x32x4 + x
3
3x4 + x1x
3
2 + x1x
3
3 + x1x
3
4 + x2x
3
3 + x2x
3
4 + x3x
3
4 + x
2
1x2x3 + x
2
1x2x4 + x
2
1x3x4 +
x22x3x4 + x1x
2
2x3 + x1x
2
2x4 + x1x
2
3x4 + x2x
2
3x4 + x1x2x
2
3 + x1x2x
2
4 + x1x3x
2
4 + x2x3x
2
4 + x
4
1 +
x42 + x
4
3 + x
4
4)(x1 + x2 + x3 + x4)
= (x51+x
5
2+x
5
3+x
5
4)+2(x
4
1x2+x
4
1x3+x
4
1x4+x
4
2x3+x
4
2x4+x
4
3x4+x1x
4
2+x1x
4
3+x1x
4
4+x2x
4
3+
x2x
4
4 +x3x
4
4)+2(x
3
1x
2
2 +x
3
1x
2
3 +x
3
1x
2
4 +x
3
2x
2
3 +x
3
2x
2
4 +x
3
3x
2
4 +x
2
1x
3
2 +x
2
1x
3
3 +x
2
1x
3
4 +x
2
2x
3
3 +x
2
2x
3
4 +
x23x
3
4)+3(x
3
1x2x3 +x
3
1x2x4 +x
3
1x3x4 +x
3
2x3x4 +x1x
3
2x3 +x1x
3
2x4 +x1x
3
3x4 +x2x
3
3x4 +x1x2x
3
3 +
x1x2x
3
4+x1x3x
3
4+x2x3x
3
4)+3(x
2
1x
2
2x3+x
2
1x
2
2x4+x
2
1x
2
3x4+x
2
2x
2
3x4+x
2
1x2x
2
3+x
2
1x2x
2
4+x
2
1x3x
2
4+
x22x3x
2
4+x1x
2
2x
2
3+x1x
2
2x
2
4+x1x
2
3x
2
4+x2x
2
3x
2
4)+4(x
2
1x2x3x4+x1x
2
2x3x4+x1x2x
2
3x4+x1x2x3x
2
4)
= m5 + 2m41 + 2m32 + 3m311 + 3m221 + 4m2111 + 5m11111.
3.3.3. Funciones Simétricas Elementales
De manera análoga, las funciones simétricas elementales ek se introducen por medio
de las series generatrices
E(ζ) :=
∑
k≥0
ekζ
k =
n∏
i=1
(1 + xiζ). (3.2)
Observe que ek es solo otro nombre para m1n .
Ejemplo 31. Sea n = 3, y expandiendo la serie formal obtenemos
∑
k≥0
ekζ
k =
3∏
i=1
(1 + xiζ)
=(1 + x1ζ)(1 + x2ζ)(1 + x3ζ)
=1 + (x1 + x2 + x3)ζ + (x1x2 + x1x3 + x2x3)ζ
2 + x1x2x3ζ
3.
36
Luego se puede concluir que
e0 = 1,
e1 = x1 + x2 + x3,
e2 = x1x2 + x1x3 + x2x3,
e3 = x1x2x3.
En general para todo n ∈ Z+ se satisface que
e0 = 1,
e1 = x1 + x2 + . . .+ xn,
e2 =
∑
1≤i<j≤n
xixj,
...
en = x1x2 . . . xn.
Las funciones homogéneas y las funciones elementales están relacionadas por medio
de la identidad:
H(ζ)E(−ζ) = 1
Puede ser deducida fácilmente utilizando las ecuaciones (3.1) y (3.2) . Comparando los
coeficientes de ζn en ambos lados de esta ecuación, obtenemos
n∑
k=0
(−1)khn−kek = 0
para n > 0. Como antes, eλ := eλ1eλ2 . . . eλr . Observe que eλ es cero siempre que λ
tenga una parte que es más larga que n, el número de variables. En términos de la base
37
monomial, las funciones elementales se expanden como sigue
e11111 =m5 + 5m41 + 10m32 + 20m311 + 30m221 + 60m2111 + 120m11111.
e2111 =m41 + 3m32 + 7m311 + 12m221 + 27m2111 + 60m11111.
e221 =m32 + 2m311 + 5m221 + 12m2111 + 30m11111.
e311 =m311 + 2m221 + 7m2111 + 20m11111.
e32 =m221 + 3m2111 + 10m11111.
e41 =m2111 + 5m11111.
e5 =m11111.
Ejemplo 32. e11111 se expande en términos de la base monomial para x = x1, x2, x3, x4.
e11111 = e1e1e1e1e1 = (x1 + x2 + x3 + x4)
5
= (x1 +x2 +x3 +x4)(x1 +x2 +x3 +x4)(x1 +x2 +x3 +x4)(x1 +x2 +x3 +x4)(x1 +x2 +x3 +x4)
= (x51+x
5
2+x
5
3+x
5
4)+5(x
4
1x2+x
4
1x3+x
4
1x4+x
4
2x3+x
4
2x4+x
4
3x4+x1x
4
2+x1x
4
3+x1x
4
4+x2x
4
3+
x2x
4
4+x3x
4
4)+10(x
3
1x
2
2+x
3
1x
2
3+x
3
1x
2
4+x
3
2x
2
3+x
3
2x
2
4+x
3
3x
2
4+x
2
1x
3
2+x
2
1x
3
3+x
2
1x
3
4+x
2
2x
3
3+x
2
2x
3
4+x23x
3
4)+20(x
3
1x2x3+x
3
1x2x4+x
3
1x3x4+x
3
2x3x4+x1x
3
2x3+x1x
3
2x4+x1x
3
3x4+x2x
3
3x4+x1x2x
3
3+
x1x2x
3
4+x1x3x
3
4+x2x3x
3
4)+30(x
2
1x
2
2x3+x
2
1x
2
2x4+x
2
1x
2
3x4+x
2
2x
2
3x4+x
2
1x2x
2
3+x
2
1x2x
2
4+x
2
1x3x
2
4+
x22x3x
2
4+x1x
2
2x
2
3+x1x
2
2x
2
4+x1x
2
3x
2
4+x2x
2
3x
2
4)+60(x
2
1x2x3x4+x1x
2
2x3x4+x1x2x
2
3x4+x1x2x3x
2
4)
= m5 + 5m41 + 10m32 + 20m311 + 30m221 + 60m2111 + 120m11111.
38
Caṕıtulo 4
Funciones de Schür
Issai Schür (1875-1941), matemático ruso, quien obtuvo su doctorado en Berĺın aseso-
rado por Georg Frobenius, trabajó en Alemania como profesor en la Universidad de Bonn.
Su principal área de investigación estuvo basada en la Teoŕıa de Representaciones de Gru-
pos, aunque también realizó aportes en Teoŕıa Combinatoria, Teoŕıa de Números y F́ısica
Teórica. Las Funciones de Schür Sλ, nombrados aśı en honor a Issai Schür, conforman
otra base para el anillo de funciones simétricas R[x1, . . . , xn]
Sn donde R es un cuerpo con
caracteŕıstica cero [2]. Las funciones simétricas de Schür juegan un papel fundamental en
una gran cantidad de contextos matemáticos, por ejemplo, en Teoŕıa de Representaciones
son los caracteres de representaciones irreducibles de los grupos lineales generales.
Las funciones Sλ tienen varias descripciones naturales. Una forma de describirlas, es me-
diante la enumeración de tablas de Young semiestándar de skew shape [24], utilizando los
monomios que se corresponden a cada una de estas enumeraciones.
Primero se definirán las tablas y diagramas de Young a partir de particiones de enteros no
negativos, y se introducirán los monomios asociados a cada tabla. Se enunciarán dos defi-
niciones equivalentes de las funciones de Schür Sλ. La primera utilizando tablas de Young
semiestándar y la segunda utilizando los números de Kostka. Se mostrará la expansión
de las funciones de Schür en términos de la base de funciones simétricas elementales y
monomiales, lo cual muestra que dichas funciones también son simétricas. Cada definición
39
tendrá sus respectivos ejemplos, los cuales harán evidentes algunos resultados de la teoŕıa.
4.1. Tablas de Young
Las tablas de Young son objetos combinatorios útiles en Teoŕıa de Representaciones
y cálculo de Schubert [9], [23]. Las tablas de Young brindan una forma conveniente para
describir las representaciones de los grupos simétricos, grupo lineal general y estudiar
algunas de sus propiedades. Fueron introducidas en 1900 por el matemático británico
Alfred Young (1873-1940) [29] en la Universidad de Cambridge, Inglaterra. Entre sus
principales áreas de investigación se destacan la Teoŕıa de Grupos y Teoŕıa de Invariantes.
Las tablas y diagramas se utilizaron después por Percy MacMahon [17], Gian-Carlo Rota
[4] y Richard P. Stanley [25] entre otros grandes matemáticos.
Definición 33. Dado un entero no negativo n y una sucesión decreciente de enteros no
negativos λ = (λ1, λ2, . . . , λm), decimos que λ es una partición de n si
n = λ1 + λ2 + . . .+ λm.
Si λ es una partición de n escribiremos λ ` n.
Definición 34. Dado un entero no negativo n y una partición λ = (λ1, λ2, . . . , λm) de n,
decimos que
λ = (λ1, λ2, . . . , λm) es débilmente decreciente si λ1 ≤ λ2 ≤ . . . ≤ λm.
λ = (λ1, λ2, . . . , λm) es estrictamente decreciente si λ1 < λ2 < . . . < λm.
Definición 35. Dado n ∈ Z+ y λ = (λ1, λ2, . . . , λm) una partición de n, un diagrama
de Young es una colección de cajas organizadas en m filas, alineadas a izquierda, con λi
cajas en la fila i. Es claro que n es el número total de cajas.
Ejemplo 36. Sea n = 16 y la partición λ = (6, 4, 4, 2), entonces el diagrama de Young λ
de la partición viene dado por
40
λ = .
Sean n, λ1, . . . , λm, a1, . . . , am ∈ Z+. Denotaremos por (λa11 , . . . , λamm ) la partición de n
que posee ai copias del entero λi, 1 ≤ i ≤ m, y ai denota la multiplicidad de λi. A veces
es conveniente permitir uno o más ceros en la partición.
Es usual denotar λ tanto a la partición como al diagrama, ya que a cada partición de n
le corresponde un diagrama de Young y rećıprocamente a cada diagrama de Young se le
puede asociar una partición de n. El propósito de escribir una partición como diagrama
es para introducir objetos en las cajas.
Definición 37. Una tabla de Young es una enumeración de las cajas de un diagrama λ,
que satisface
1. Débilmente creciente a lo largo de cada fila.
2. Estrictamente creciente a lo largo de las columnas.
Decimos que una tabla τ es una tabla de la partición λ, o de forma λ.
Las entradas de un tabla pueden ser tomadas de cualquier conjunto totalmente orde-
nado, en general se utiliza Z+.
Ejemplo 38. Sea n = 16 y considere la partición λ = (6, 4, 4, 2), entonces decimos que
τ =
1 2 2 3 3 5
2 3 5 5
4 4 6 6
5 6
es una tabla de forma (6, 4, 4, 2).
Definición 39. Dado n ∈ Z+ y λ un partición de n y sea τ una tabla de forma λ.
Decimos que τ es una tabla estándar si sus entradas son elementos de [n] y cada entrada
tiene multiplicidad 1. τ es una tabla semiestándar si sus entradas son elementos de [n]
permitiendo repeticiones.
41
Ejemplo 40. Dado n = 9, τ1 =
1 2 3
4 5 6
7 8
9
es una tabla estándar de forma
λ = (3, 3, 2, 1), y τ2 =
1 2 2
3 4 5
6 9
9
una tabla semiestándar de forma λ.
Definición 41. El contenido γ(τ) de una tabla τ es la sucesión γ(τ) = (m1,m2,m3, . . .)
de las multiplicidades de cada entrada i en la tabla τ .
Ejemplo 42. El contenido de la tabla
τ =
1 1 2 4
2 2 4 4
4 1 1
5
es γ(τ) = (4, 3, 0, 4, 1, 0, . . .). Observe que la suma de todos los mi es igual al número de
cajas de la tabla.
Definición 43. Sea n ∈ Z+, sean λ y µ particiones de n, el número de Kostka Kλ.µ
está dado por el número de tablas semiestándar de forma λ y contenido µ.
Ejemplo 44. Sea n = 4 y λ = (3, 1), µ = (2, 1, 1) particiones de 4. El número de Kostlka
K(3,1)(2,1,1) es el número de tablas semiestándar de forma λ = (3, 1), y contenido
µ = (2, 1, 1) es decir que sus entradas son elementos del conjunto {1, 2, 3} y sus multipli-
cidades son respectivamente 2, 1, 1. Es decir
K(3,1)(2,1,1) = |
{
1 1 2
3 ,
1 1 3
2
}
| = 2.
Ejemplo 45. Sea n = 4 y λ = (2, 2), µ = (1, 1, 1, 1) particiones de 4. El número de
Kostlka K(2,2)(1,1,1,1) es el número de tablas semiestándar de forma λ = (2, 2), y contenido
µ = (1, 1, 1, 1) es decir que sus entradas son elementos del conjunto {1, 2, 3, 4} y cada un
con multiplicidad 1. Es decir
K(2,2)(1,1,1,1) = |
{
1 2
3 4 ,
1 3
2 4 ,
1 4
2 3
}
| = 3.
42
4.2. Funciones de Schür
Para todo entero positivo n y cada partición λ de n, podemos construir unas funciones
simétricas Sλ(x1, . . . , xn) llamadas Funciones de Schür. La primera definición formal de
funciones de Schür se puede encontrar en el art́ıculo [12] de Jacobi, donde se introduce
la fórmula de Cauchy para calcular funciones de Schür por medio de un cociente de
determinantes.
Definición 46. Sea n ∈ Z+ y λ = (λ1, . . . , λk) un partición de n en k partes. La función
de Schür asociada a la partición λ está dada por
Sλ(x1, . . . , xk) :=
det(xλi+k−ji )i,j
det(xk−ji )i,j
,
donde i, j son los contadores de las filas y columnas de las matrices respectivamente y λi
es la entrada i-ésima de la partición λ
Ejemplo 47. Sea n = 2 y λ = (1, 1) un partición de 2. Utilizando la Definición 46
tenemos
S(1,1)(x1, x2) =
det(xλi+2−ji )i,j
det(x2−ji )i,j
=
∣∣∣∣∣∣ x
2
1 x1
x22 x2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ x1 1x2 1
∣∣∣∣∣∣
=
x21x2 − x1x22
x1 − x2
=
x1x2(x1 − x2)
(x1 − x2)
=x1x2.
43
Otra manera más sencilla de definir las Funciones de Schür es utilizando tablas de
Young semiestándar y sus propiedades. En adelante utilizaremos el término tabla para
las tablas semiestándar.
Definición 48. Para toda tabla τ asociada a un diagrama de Young, denotamos xτ al
monomio dado por el producto de variables xi, que se corresponden a las entradas i que
aparecen en τ , es decirxτ = xa11 x
a2
2 . . . x
am
m ,
donde ai es la multiplicidad de la entrada i.
Ejemplo 49. Sea λ = (6, 4, 4, 2) y τ =
1 2 2 3 3 5
2 3 5 5
4 4 6 6
5 6
entonces se le asocia a τ el
monomio x1x
3
2x
3
3x
2
4x
4
5x
3
6.
Definición 50. La función de Schür Sλ(x1, . . . , xn) se define como la suma sobre las
tablas τ de forma λ con entradas en [n], de todos los monomios asociados a la tabla τ .
Esto es
Sλ(x1, . . . , xn) =
∑
xτ .
Ejemplo 51. Sea n = 2 y λ = (1, 1) una partición de 2. Para encontrar la función de
Schür asociada a la partición λ = (1, 1), debemos encontrar todas las tablas que cumplen
las condiciones dadas en la Definición 50.
La única tabla seŕıa
1
2 .
Luego
S(1,1)(x1, x2) = x1x2.
Ejemplo 52. Sea n = 4 y λ = (3, 1) una partición de 4. Para encontrar la función de
Schür asociada a la partición λ = (3, 1), debemos encontrar todas las tablas que cumplen
las condiciones dadas en la Definición 50. Estas son
44
1 1 1
2
1 1 1
3
1 1 1
4
1 2 2
2
1 3 3
3
1 4 4
4
2 2 2
3
2 2 2
4
3 3 3
4
3 4 4
4
2 3 3
3
2 4 4
4
1 1 2
2
1 1 3
3
1 1 4
4
2 2 3
3
2 2 4
4
3 3 4
4
1 1 2
3
1 1 2
4
1 1 3
2
1 1 3
4
1 1 4
2
1 1 4
3
1 2 2
3
1 2 2
4
1 3 3
2
1 3 3
4
1 4 4
2
1 4 4
3
1 2 3
2
1 2 3
3
1 2 4
4
1 3 4
3
1 3 4
4
2 3 4
3
2 2 3
4
2 2 4
3
2 3 4
4
2 3 3
4
2 4 4
3
1 2 4
2
1 2 3
4
1 2 4
3
1 3 4
2
Asignando el monomio respectivo a cada tabla y realizando la sumatoria, se puede concluir
que
S(3,1)(x1, x2, x3, x4) =x
3
1x2 + x
3
1x3 + x
3
1x4 + x1x
3
2 + x1x
3
3 + x1x
3
4 + x
3
2x3 + x2x
3
3 + x
3
2x4
+ x2x
3
4 + x
3
3x4 + x3x
3
4 + x
2
1x
2
2 + x
2
1x
2
3 + x
2
1x
2
4 + x
2
2x
2
3 + x
2
2x
2
4 + x
2
3x
2
4
+ x21x2x3 + x
2
1x2x3 + x
2
1x2x4 + x
2
1x2x4 + x
2
1x3x4 + x
2
1x3x4 + x
2
2x3x4
+ x22x3x4 + x1x
2
2x3 + x1x
2
2x3 + x1x
2
2x4 + x1x
2
2x4 + x1x
2
3x4 + x1x
2
3x4
+ x2x
2
3x4 + x2x
2
3x4 + x1x2x
2
3 + x1x2x
2
3 + x1x2x
2
4 + x1x2x
2
4 + x1x3x
2
4
+ x1x3x
2
4 + x2x3x
2
4 + x2x3x
2
4 + x1x2x3x4 + x1x2x3x4 + x1x2x3x4
= m31 +m22 + 2m211 + 3m1111.
En este caso m31,m22,m211 y m1111 son las funciones simétricas monomiales dadas en la
Sección 3.3.
La siguiente definición es equivalente a la Definición 50.
45
Definición 53. Sea n ∈ Z+ y λ una partición de n, se define la función de Schür
Sλ(x1, . . . , xn) como sigue
Sλ(x1, . . . , xn) =
∑
µ`n
Kλ,µmµ(x1, . . . , xn),
donde Kλ,µ es el número de Kostka dado en la Definición 43, y mµ es la función simétrica
monomial asociada a µ.
Ejemplo 54. Sea n = 4, λ = (3, 1). Usando la Definición 53 tenemos
S(31)(x1, x2, x3, x4) =
∑
µ`4
K(3,1),µmµ = K(3,1),(3,1)m31 +K(3,1),(2,2)m22
+K(3,1),(2,1,1)m211 +K(3,1),(1,1,1,1)m1111.
Calculando los respectivos números de Kostka, se tiene
K(3,1)(3,1) = |
{
1 1 1
2
}
| = 1, K(3,1)(2,1,1) = |
{
1 1 2
3 ,
1 1 3
2
}
| = 2
K(3,1)(2,2) = |
{
1 1 2
2
}
| = 1, K(3,1)(1,1,1,1) = |
{
1 2 3
4 ,
1 3 4
2 ,
1 2 4
3
}
| = 3.
Luego se concluye que
S(31)(x1, x2, x3, x4) = m31 +m22 + 2m211 + 3m1111.
Observe que los resultados aqúı obtenidos coinciden con los cálculos realizados en el Ejem-
plo 52, donde utilizamos la Definición 50.
Ejemplo 55. Sea n = 3, λ = (2, 1), entonces
S(21) =
∑
µ`3
K(2,1),µmµ = K(2,1),(2,1)m21 +K(2,1),(1,1,1)m111,
calculando los respectivos números de Kostka, se tiene
46
K(2,1),(2,1) = |
{
1 1
2
}
| = 1 K(2,1),(1,1,1) = |
{
1 2
3 ,
1 3
2
}
| = 2.
Luego se concluye que
S(21)(x1, x2, x3) = m21 +m111.
Ejemplo 56. Sea n = 4, λ = (4), entonces
S(4)(x1, x2, x3, x4) =
∑
µ`4
K(4),µmµ =K(4),(4)m4 +K(4),(3,1)m31
+K(4),(2,2)m22 +K(4),(2,1,1)m211 +K(4),(1,1,1,1)m1111,
calculando los respectivos números de Kostka, se tiene que
K(4),(4) = |
{
1 1 1 1
} | = 1, K(4),(3,1) = |{ 1 1 1 2 } | = 1,
K(4),(2,2) = |
{
1 1 2 2
} | = 1, K(4),(2,1,1) = |{ 1 1 2 3 } | = 1,
K(4),(1,1,1,1) = |
{
1 2 3 4
} | = 1.
Luego se concluye que
S4(x1, x2, x3, x4) = m4 +m31 +m22 +m211 +m1111.
Observe que si expandimos cada función de Schür según la Definición 53 y asociamos
de forma adecuada, obtenemos las siguientes identidades.
S4(x1, x2, x3, x4) =m4 +m31 +m22 +m211 +m1111
S31(x1, x2, x3, x4) =m31 +m22 + 2m211 + 3m1111
S22(x1, x2, x3, x4) =m22 +m211 + 2m1111
S211(x1, x2, x3, x4) =m211 + 3m1111
S1111(x1, x2, x3, x4) =m1111.
47
Proposición 57. Sean n ∈ Z+, λ la partición de n en una sola parte, es decir λ = (n).
Entonces se satisface
S(n) =
∑
µ`n
mµ.
Demostración. El diagrama de Young de la partición λ = (n) es
n =
n︷ ︸︸ ︷
por definición de Sλ se tiene
Sn =
∑
µ`(n)
K(n),(µ)mµ,
luego, como la enumeración del diagrama debe ser débilmente creciente en filas y en este
caso se tiene una sola fila, entonces para toda µ ` n, se tiene una sola enumeración del
diagrama, es decir que K(n),(µ) = 1 para toda µ ` n. Por lo tanto podemos concluir que
Sn =
∑
µ`n
mµ.
Proposición 58. Sean n ∈ Z+, λ la partición de n en n partes, es decir λ = (1n).
Entonces se satisface
S1n = m1n = en.
Demostración. El diagrama de Young de la partición λ = (
n︷ ︸︸ ︷
1, 1, . . . , 1) tiene n filas y 1
columna
1n =
Además, toda partición µ ` n debe tener n partes para que no queden cajas vaćıas en
la enumeración del diagrama, entonces se tiene K(1n)(µ) = 0, excepto para la partición
µ = (1n), donde K(1n),(1n) = 1. Además la enumeración de dicho diagrama debe ser
48
estrictamente creciente por columnas, es decir la enumeración (1, 2, 3, . . . , n). Luego como
cada entrada tiene multiplicidad 1, se concluye que
S1n =x1x2 . . . xn = m1n = en,
Donde en es la n-ésima función simétrica elemental. (Ver Subsección 3.3.3)
49
Caṕıtulo 5
Anillo de Funciones Multisimétricas
Extendiendo las Funciones Simétricas Clásicas al caso multivariado, se definen las
Funciones Multisimétricas, las cuales fueron introducidas por Francesco Vaccarino, [27].
En este caṕıtulo se definirán y se calcularán ejemplos de las Funciones Multisimétricas
Elementales para después enunciar el resultado más importante de Vaccarino, el cual
establece un regla general de multiplicación entre funciones multisimétricas elementales,
dando su respectiva demostración y unos ejemplos en los cuales se muestra como se utiliza
la regla general de multiplicación [7].
5.1. Funciones Multisimétricas Elementales
Sea R un anillo conmutativo y sean m,n dos enteros positivos. Denotaremos por
R[x11, . . . , xm1, x12, . . . , xm2, x1n . . . , xmn] el anillo de polinomios en las variables conmu-
tativas independientes xij, con i ∈ [m], j ∈ [n]. El grupo simétrico Sn actúa sobre
R[x11, . . . , xmn] de la siguiente manera
· : Sn ×R[x11, . . . , xmn] −→ R[x11, . . . , xmn]
(σ, f(x11, . . . , xmn)) 7−→ σ · f(x11, . . . , xmn)
donde
σ · f(x11, . . . , xmn) = f(x1σ(1), . . . , xmσ(n)), ∀σ ∈ Sn
50
Denotaremos por R[x11, . . . , xmn]
Sn el anillo de polinomios invariantes bajo esta acción y
un elemento f(x1σ(1), . . . , xmσ(n)) ∈ R[x11, . . . , xmn]Sn se le llamará función multisimétrica.
En el caso m = 1 tenemos las funciones simétricas clásicas introducidas en la Sección 3.3,
generadas por las funciones simétricas elementales e1 . . . , en, dados por
n∑
k=0
tkek :=
n∏
i=1
(1 + txi).
Para el caso m > 1, debemos estudiar el conjunto de generadores para el anillo
R[x11, . . . , xmn]
Sn . Consideremos el anillo R[y1, . . . , ym], donde y1, . . . , ym son variables
independientes conmutativas, sea f = f(y1, . . . , ym) ∈ R[y1, . . . , ym], definimos
f(j) := f(x1j, x2j, . . . , xmj), para j ∈ [n].
Nótese que f(j) ∈ R[x11, . . . , xm1, . . . , xmn] para todo j ∈ [n]. Definamos
ek(f) := ek(f1, . . . , fn),
a través de la expresión
n∑
k=0
tkek(f) :=
n∏
i=1
(1 + tfi),
donde t es una variable independiente conmutativa.
SeaMm el conjunto de monomios en R[y1, . . . , ym]. Para µ ∈Mm, denotaremos por ∂i(µ)
al grado de µ en yi y por ∂(µ) := (∂1(µ), . . . , ∂m(µ)) al multigrado de µ. El grado total
de µ es
m∑
i=1
∂i(µ). Sea M+m el conjunto de todos los monomioscon grado positivo. Un
monomio µ ∈ M+m se llama primitivo si no es potencia de algún otro. El conjunto de
todos los monomios primitivos lo denotaremos por M+m.
Si f ∈ R[y1, . . . , ym] es homogénea con grado total l entonces ek(f) tiene grado total kl
para todo k, n ∈ N.
El Teorema 59 fue demostrado por Vaccarino en [27], también conocido como Teorema de
Generadores, donde se afirma que el anillo de funciones multisimétricas son generadas por
las funciones ek(µ). En este trabajo omitiremos la prueba del teorema ya que la misma
requiere de complejas técnicas algebraicas que no son nuestro objetivo.
51
Teorema 59. El anillo R[x11, . . . , xm1, x12, . . . , xm2, x1n . . . , xmn]
Sn de funciones multi-
simétricas es generado por las funciones ek(µ), donde µ ∈ M+m, k = 1, . . . , n y el grado
total de ek(µ) es menor o igual a n(m− 1).
Ahora vamos a considerar K un cuerpo de caracteŕıstica cero y K[y1, y2, . . . , ym], el
anillo de polinomios de m variables, donde y1, . . . , ym, son variables independientes con-
mutativas.
Para todo k ∈ N, denotamos f = (f1, f2 . . . , fk), donde fi ∈ K[y1, y2, . . . , ym].
Sea α = (α1, α2, . . . , αk) ∈ Nk, tal que |α| :=
n∑
i=1
αi ≤ n. Sean t1, . . . , tk variables conmu-
tativas independientes, y sea tα :=
k∏
i=1
tαii .
Definimos las funciones multisimétricas elementales
eα(f) ∈ K[x11, . . . , xm1, x12, . . . , xm2, x1n . . . , xmn]Sn , mediante la expresión
∑
|α|≤n
tαeα(f) =
n∏
i=1
(1 +
k∑
h=1
thfh(i)).
Ejemplo 60. Sea f = (f, g) donde f = (y1y2), g = (y
2
1) ∈ K[y1, y2] y n = 4
∑
|α|≤4
tαeα(f) =
4∏
i=1
(1 + t1f(i) + t2g(i))
=(1 + t1f(1) + t2g(1))(1 + t1f(2) + t2g(2))
(1 + t1f(3) + t2g(3))(1 + t1f(4) + t2g(4)).
Si se quiere obtener el término e(2,1)(f, g), este será el coeficiente que acompañe al mono-
mio t21t2.
e(2,1)(f, g) =f(1)f(2)g(3) + f(1)g(2)f(3) + g(1)f(2)f(3)
f(1)f(2)g(4) + f(1)g(2)f(4) + g(1)f(2)f(4)
f(1)f(3)g(4) + f(1)g(3)f(4) + g(1)f(3)f(4)
f(2)f(3)g(4) + f(2)g(3)g(4) + g(2)f(3)f(4).
52
Como f = y1y2 y g = y
2
1 tenemos
e(2,1)(y1y2, y
2
1) =x11x21x12x22x
2
13 + x11x21x
2
12x13x23 + x
2
11x12x22x13x23
x11x21x12x22x
2
14 + x11x21x
2
12x14x24 + x
2
11x12x22x14x24
x11x21x13x23x
2
14 + x11x21x
2
13x14x24 + x
2
11x13x23x14x24
x12x22x13x23x
2
14 + x12x22x
2
13x14x24 + x
2
12x13x23x14x24.
Ejemplo 61. Sea f = (f, g) donde f = (y1y2), g = (y1) ∈ K[y1, y2] y n = 3∑
|α|≤4
tαeα(f) =
3∏
i=1
(1 + t1f(i) + t2g(i))
=(1 + t1f(1) + t2g(1))(1 + t1f(2) + t2g(2))
(1 + t1f(3) + t2g(3)).
Si se quiere obtener el término e(1,1)(f, g), este será el coeficiente que acompañe al mono-
mio t1t2.
e(1,1)(f, g) = f(1)g(2) + f(1)g(3) + f(2)g(3) + g(1)f(2) + g(1)f(3) + g(2)f(3)
Como f = y1y2 y g = y1 tenemos
e(1,1)(y1y2, y1) = x11x21x12+x11x21x13+x12x22x13+x11x12x22+x11x13x23+x12x13x23 (5.1)
Ejemplo 62. Sea f = (f, g) donde f = (y1y2), g = (y3) ∈ K[y1, y2] y n = 3∑
|α|≤4
tαeα(f) =
3∏
i=1
(1 + t1f(i) + t2g(i))
=(1 + t1f(1) + t2g(1))(1 + t1f(2) + t2g(2))
(1 + t1f(3) + t2g(3)).
Si se quiere obtener el término e(1,1)(f, g), este será el coeficiente que acompañe al mono-
mio t21t2.
e(2,1)(f, g) = f(1)f(2)g(3) + f(1)g(2)f(3) + g(1)f(2)f(3)
Como f = y1y2 y g = y3 tenemos
e(2,1)(y1y2, y3) = x11x21x12x22x33 + x11x21x32x13x23 + x31x12x22x13x23 (5.2)
53
El Teorema 63 es el resultado principal de Francesco Vaccarino, publicado en su art́ıcu-
lo [27], en el 2005.
Teorema 63. Sean a, b, n ∈ N, p = (p1, . . . , pa), q = (q1, . . . , qb) con pi, qj ∈ K[y1, y2, . . . , yn],
∀i ∈ [a], ∀j ∈ [b]. Sea α = (α1, . . . , αa) ∈ Na y β = (β1, . . . , βb) ∈ Nb, tales que |α| ≤ n,
|b| ≤ n. Entonces se tiene que
eα(p)eβ(q) =
∑
γ∈L(α,β,n)
eγ(p, q, pq),
donde:
(p, q, pq) = (p1, . . . , pa, q1, . . . , qb, p1q1, p1q2, . . . , p1qb, p2q1, p2q2, . . . , p2qb, . . . , paqb).
L(α, β, n) es el conjunto de matrices γ ∈Map([0, a]× [0, b],N), tales que:
1) γ00 = 0.
2) |γ| =
a∑
l=0
b∑
r=0
γlr ≤ n.
3)
b∑
r=0
γlr = αl, ∀l ∈ [a].
4)
a∑
l=0
γlr = βr, ∀r ∈ [b].
Gráficamente la matriz γ se representa de la siguiente manera:
0 γ01 γ02 . . . γ0b
γ10 γ11 γ12 . . . γ1b → α1
γ20 γ21 γ22 . . . γ2b → α2
...
...
...
. . .
...
γa0 γa1 γa2 . . . γab → αa
↓ ↓ ↓
β1 β2 βb
54
En lo que sigue vamos a identificar la matriz γ con el vector
γ = (γ10, . . . , γa0, γ01, . . . , γ0b, γ11, . . . , γ1b, γ21, . . . , γ2b, . . . , γa1, . . . , γab).
Demostración.
∑
|α||β|≤n
eα(p)eβ(q)t
αsβ =
∑
|α|≤n
eαt
α
∑
|β|≤n
eβs
β

=
n∏
i=1
(
1 +
a∑
l=1
pl(i)tl
)
n∏
i=1
(
1 +
b∑
r=1
qr(i)sr
)
=
n∏
i=1
[(
1 +
a∑
l=1
pl(i)tl
)(
1 +
b∑
r=1
qr(i)sr
)]
=
n∏
i=1
[
1 +
a∑
l=1
pl(i)tl +
b∑
r=1
qr(i)sr +
a∑
l=1
b∑
r=1
pl(i)qr(i)tlsr
]
=
n∏
i=1
[
1 +
a∑
l=1
pl(i)wl0 +
b∑
r=1
qr(i)wor +
a∑
l=1
b∑
r=1
pl(i)qr(i)wlr
]
=
∑
γ
eγ(p, q, pq)w
γ.
Donde wl0 = tl, w0r = sr, wlr = tlsr.
wγ =
a∏
l=0
b∏
r=0
wγlrlr =
a∏
l=0
b∏
r=0
(tlsr)
γlr =
a∏
l=0
b∏
r=0
tγlrl s
γlr
r , t0 = s0 = 1.
Para que wγ sea igual a tαsβ, tenemos lo siguiente
wγ =
a∏
l=0
b∏
r=0
tγlrl s
γlr
r =

a∏
l=0
t
b∑
r=0
γlr
l


b∏
r=0
s
a∑
l=0
γlr
r
 = tαsβ =
(
a∏
l=0
tαll
)(
b∏
r=0
sβrl
)
.
Por otro lado tα = tα11 t
α2
2 . . . t
αa
a y s
β = sβ11 s
β2
2 . . . s
βb
b .
Luego podemos concluir que
eα(p)eβ(q) =
∑
γ∈L(α,β,n)
eγ(p, q, pq).
55
Ejemplo 64. Consideremos n = 3, p = (y1y2, y1), q = (y1y2, y3), α = (1, 1), β = (2, 1).
Vamos a calcular eα(p) · eβ(q). Por el Teorema 63 tenemos que
e(1,1)(y1y2, y1)e(2,1)(y1y2, y3) =
∑
γ
eγ(y1y2, y1, y1y2, y3, y
2
1y
2
2, y1y2y3, y
2
1y2, y1y3)
donde γ = (γ10, γ20, γ01, γ02, γ11, γ12, γ21, γ22) ∈ N8 es tal que:
0 γ01 γ02
γ10 γ11 γ12 → 1
γ20 γ21 γ22 → 1
↓ ↓
2 1
Debemos buscar los γ’s que son posibles soluciones naturales al sistema
γ10 + γ11 + γ12 = α1 = 1
γ20 + γ21 + γ22 = α2 = 1
γ01 + γ11 + γ21 = β1 = 2
γ02 + γ12 + γ22 = β2 = 1.
Las tres soluciones naturales del sistema son
γ1 = (0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0)
γ2 = (0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1)
γ3 = (0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0).
Luego tenemos que∑
γ
eγ(y1y2, y1, y1y2, y3, y
2
1y
2
2, y1y2y3, y
2
1y2, y1y3) =
e(1,1,1)(y3, y
2
1y
2
2, y
2
1y2) + e(1,1,1)(y1y2, y
2
1y
2
2, y1y3) + e(1,1,1)(y1y2, y1y2y3, y
2
1y2).
56
Observe que:
e(1,1)(y1y2, y1)e(2,1)(y1y2, y3) = (x11x21x12 + x11x21x13 + x12x22x13 + x11x12x22
+ x11x13x23 + x12x13x23)(x11x21x12x22x33 + x11x21x32x13x23 + x31x12x22x13x23) =
e(1,1,1)(y3, y
2
1y
2
2, y
2
1y2) + e(1,1,1)(y1y2, y
2
1y
2
2, y1y3) + e(1,1,1)(y1y2, y1y2y3, y
2
1y2).
Ejemplo 65. Consideremos n = 4, p = (y21y2, y
3
2y3, y1y2y3), q = (y
3
1y
2
2y3, y
2
1y3, y2y3),
α = (1, 1, 1), β = (1, 2, 1). Vamos a calcular eα(p) · eβ(q). Por el Teorema 63 tenemos que
e(1,1,1)(y
2
1y2, y
3
2y3, y1y2y3)e(1,2,1)(y
3
1y
2
2y3, y
2
1y3, y2y3) =
∑
γ
eγ(y
2
1y2, y
3
2y3, y1y2y3, y
3
1y
2
2y3, y
2
1y3,
y2y3, y
5
1y
3
2y3, y
4
1y2y3, y
2
1y
2
2y3, y
3
1y
5
2y
2
3, y
2
1y
3
2y
2
3, y
4
2y
2
3, y
4
1y
3
2y
2
3, y
3
1y2y
2
3, y1y
2
2y
2
3)
donde γ = (γ10, γ20, γ30, γ01, γ02, γ03, γ11, γ12, γ13, γ21, γ22, γ23, γ31, γ32, γ33) ∈ N15 es tal que:
0 γ01 γ02 γ03
γ10 γ11 γ12 γ13 → 1
γ20 γ21 γ22 γ23 → 1
γ30 γ31 γ32 γ33 → 1
↓ ↓ ↓
1 2 1
Debemos buscar los γ’s que son posibles soluciones naturales al sistema
γ10 + γ11 + γ12 + γ13 = α1 = 1
γ20 + γ21 + γ22 + γ23 = α2 = 1
γ30 + γ31 + γ32 + γ33 = α3 = 1
γ01 + γ11 + γ21 + γ31 = β1 = 1
γ02 + γ12 + γ22 + γ32 = β2 = 2
γ03 + γ13 + γ23 + γ33 = β3 = 1
57
Las 12 soluciones naturales del sistema son
γ1 = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1)
γ2 = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0)
γ3 = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0)
γ4 = (0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1)
γ5 = (0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0)
γ6 = (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0)
γ7 = (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1)
γ8 = (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0)
γ9 = (0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0)
γ10 = (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0,0, 1, 1, 0, 0)
γ11 = (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0)
γ12 = (0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0).
Luego tenemos que∑
γ
eγ(y
2
1y2, y
3
2y3, y1y2y3, y
3
1y
2
2y3, y
2
1y3y2y3, y
5
1y
3
2y3, y
4
1y2y3, y
2
1y
2
2y3, y
3
1y
5
2y
2
3, y
2
1y
3
2y
2
3,
y42y
2
3, y
4
1y
3
2y
2
3, y
3
1y2y
2
3, y1y
2
2y
2
3) =
e(1,1,1,1)(y
3
1y2y3, y
4
1y2y3, y
2
1y
3
2y
2
3, y1y
2
2y
2
3) + e(1,1,1,1)(y
3
1y2y3, y
4
1y2y3, y
4
2y
2
3, y
3
1y2y
2
3)+
e(1,1,1,1)(y
3
1y2y3, y
2
1y
2
2y3, y
2
1y
3
2y
2
3, y
3
1y2y
2
3) + e(1,1,1,1)(y
2
1y3, y
5
1y
3
2y3, y
2
1y
3
2y
2
3, y1y
2
2y
2
3)+
e(1,1,1,1)(y
2
1y3, y
5
1y
3
2y3, y
4
2y
2
3, y
3
1y2y
2
3) + e(1,1,1,1)(y2y3, y
5
1y
3
2y3, y
2
1y
3
2y
2
3, y
3
1y2y
2
3)+
e(1,1,1,1)(y
2
1y3, y
4
1y2y3, y
3
1y
5
2y
2
3, y1y
2
2y
2
3) + e(1,1,1,1)(y
2
1y3, y
2
1y
2
2y3, y
3
1y
5
2y
2
3, y
3
1y2y
2
3)+
e(1,1,1,1)(y2y3, y
4
1y2y3, y
3
1y
5
2y
2
3, y
3
1y2y
2
3) + e(1,1,1,1)(y
2
1y3, y
4
1y2y3, y
4
2y
2
3, y
4
1y
3
2y
2
3)+
e(1,1,1,1)(y
2
1y3, y
2
1y
2
2y3, y
2
1y
3
2y
2
3, y
4
1y
3
2y
2
3) + e(1,1,1,1)(y2y3, y
4
1y2y3, y
2
1y
3
2y
2
3, y
4
1y
3
2y
2
3).
58
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