Unidad 2 TeoriaCineticaParte2

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Teoría Cinética de Gases
UNIDAD 2
ASTRONOMÍA – GEOFÍSICA – Univ. Nac. de San Juan
Distribuciones Estadísticas y Valores Medios
Se desea conocer la distribución de velocidades de autos que circulan por un cierto lugar
Distribuciones Estadísticas y Valores Medios
Se desea conocer la distribución de velocidades de autos que circulan por un cierto lugar
Listado de valores de velocidad 
proporciona demasiada información y no resulta conveniente
Distribuciones Estadísticas y Valores Medios
Se desea conocer la distribución de velocidades de autos que circulan por un cierto lugar
Listado de valores de velocidad 
proporciona demasiada información y no resulta conveniente
Histograma
Aún cuando la velocidad sea una variable continua colocamos las velocidades posibles dentro de casillas discretas y los números relativos de las casillas nos ayudan a entender la situación física
es la distribución estadística de las velocidades
Distribuciones Estadísticas y Valores Medios
Se desea conocer la distribución de velocidades de autos que circulan por un cierto lugar
Listado de valores de velocidad 
proporciona demasiada información y no resulta conveniente
Histograma
Aún cuando la velocidad sea una variable continua colocamos las velocidades posibles dentro de casillas discretas y los números relativos de las casillas nos ayudan a entender la situación física
es la distribución estadística de las velocidades
Valor más probable
intervalo con el número más grande
Valor medio
promedio de velocidad
Distribuciones Estadísticas y Valores Medios
Número total de observaciones
Valor medio de la velocidad
Frecuencia Relativa o Probabilidad
Valor medio de la velocidad en términos de probabilidad
valor típico o representativo de la velocidad en cada intervalo (puede ser la veloc. en el centro de cada intervalo)
número de observaciones correspondientes a una velocidad representativa
Distribuciones Estadísticas y Valores Medios
Número total de observaciones
Valor medio de la velocidad
Frecuencia Relativa o Probabilidad
Valor medio de la velocidad en términos de probabilidad
valor típico o representativo de la velocidad en cada intervalo (puede ser la veloc. en el centro de cada intervalo)
número de observaciones correspondientes a una velocidad representativa
Una distribución así formulada puede basarse puramente en datos empíricos, sin una teoría que la soporte
En otros casos, la distribución observada puede compararse con los cálculos basados en una teoría dada
Recorrido Libre Medio
Si formamos una distribución midiendo la distancia recorrida por una molécula entre colisiones mientras zigzaguea en un gas repitiendo el experimento muchas veces
Recorrido Libre Medio
Si formamos una distribución midiendo la distancia recorrida por una molécula entre colisiones mientras zigzaguea en un gas repitiendo el experimento muchas veces
Recorrido Libre Medio
Si formamos una distribución midiendo la distancia recorrida por una molécula entre colisiones mientras zigzaguea en un gas repitiendo el experimento muchas veces
El valor da el recorrido libre medio de las moléculas
Recorrido Libre Medio
λ representa la distancia promedio que se mueve una molécula (a velocidad constante) entre colisiones
Depende inversamente del tamaño de las moléculas y del número de moléculas por unidad de volumen
Recorrido Libre Medio
¿Cómo encontramos la función de probabilidad f(r)? Planteamos un experimento simple
Un haz de moléculas de intensidad I0 incide sobre una capa delgada de gas de espesor r 
 La intensidad I del haz que pasa a través de la capa es una medida del número de moléculas del haz que no experimentan colisiones en la distancia I
Recorrido Libre Medio
¿Cómo encontramos la función de probabilidad f(r)? Planteamos un experimento simple
Un haz de moléculas de intensidad I0 incide sobre una capa delgada de gas de espesor r 
 La intensidad I del haz que pasa a través de la capa es una medida del número de moléculas del haz que no experimentan colisiones en la distancia I
Las moléculas del gas que chocan se dispersan en direcciones diferentes
Recorrido Libre Medio
¿Cómo encontramos la función de probabilidad f(r)? Planteamos un experimento simple
Un haz de moléculas de intensidad I0 incide sobre una capa delgada de gas de espesor r 
 La intensidad I del haz que pasa a través de la capa es una medida del número de moléculas del haz que no experimentan colisiones en la distancia I
Las moléculas del gas que chocan se dispersan en direcciones diferentes
Suponemos que ninguna molécula del haz es dispersada más de una vez por una molécula blanco. Válido si la densidad no es muy grande
Recorrido Libre Medio
¿Cómo encontramos la función de probabilidad f(r)? Planteamos un experimento simple
Un haz de moléculas de intensidad I0 incide sobre una capa delgada de gas de espesor r 
 La intensidad I del haz que pasa a través de la capa es una medida del número de moléculas del haz que no experimentan colisiones en la distancia I
Las moléculas del gas que chocan se dispersan en direcciones diferentes
Suponemos que ninguna molécula del haz es dispersada más de una vez por una molécula blanco. Válido si la densidad no es muy grande
Si aumentamos el espesor de la capa en una cantidad dr, el cambio resultante en la intensidad I será 
la intensidad del haz disminuye exponencialmente con el espesor de la capa de gas
Recorrido Libre Medio
¿Cómo encontramos la función de probabilidad f(r)? Planteamos un experimento simple
Un haz de moléculas de intensidad I0 incide sobre una capa delgada de gas de espesor r 
 La intensidad I del haz que pasa a través de la capa es una medida del número de moléculas del haz que no experimentan colisiones en la distancia I
Las moléculas del gas que chocan se dispersan en direcciones diferentes
Suponemos que ninguna molécula del haz es dispersada más de una vez por una molécula blanco. Válido si la densidad no es muy grande
Si aumentamos el espesor de la capa en una cantidad dr, el cambio resultante en la intensidad I será 
la intensidad del haz disminuye exponencialmente con el espesor de la capa de gas
Esto sugiere una forma exponencial para estimar f(r)
Recorrido Libre Medio
¿Cómo encontramos la función de probabilidad f(r)? Planteamos un experimento simple
Multiplico arriba y abajo por y hago que 
Recorrido Libre Medio
¿Cómo encontramos la función de probabilidad f(r)? Planteamos un experimento simple
Multiplico arriba y abajo por y hago que 
Recorrido Libre Medio
¿Cómo encontramos la función de probabilidad f(r)? Planteamos un experimento simple
Multiplico arriba y abajo por y hago que 
el camino libre medio interviene como factor de decaimiento exponencial en el cálculo probabilístico de que una molécula recorra una distancia r antes de colisionar con otra
El factor A no afecta la estima del camino libre medio y puede determinarse por normalización, requiriendo que la suma de los n(ri) sea N
Cálculo Microscópico del Recorrido Libre Medio
Si las moléculas fueran puntuales… ¿cuánto valdría al recorrido libre medio?
Cálculo Microscópico del Recorrido Libre Medio
Si las moléculas fueran puntuales… ¿cuánto valdría al recorrido libre medio?
Cálculo Microscópico del Recorrido Libre Medio
Si las moléculas fueran puntuales… ¿cuánto valdría al recorrido libre medio?
λ se relacionará entonces con el tamaño de las moléculas y con su número por unidad de volumen 
Cálculo Microscópico del Recorrido Libre Medio
λ se relacionará entonces con el tamaño de las moléculas y con su número por unidad de volumen 
Consideremos que las moléculas son esferas de diámetro d. En una colisión los centros de las dos moléculas se aproximan una distancia como máximo igual a d
Si las moléculas fueran puntuales… ¿cuánto valdría al recorrido libre medio?
Cálculo Microscópico del Recorrido Libre Medio
λ se relacionará entonces con el tamaño de las moléculas y con su númeropor unidad de volumen 
Consideremos que las moléculas son esferas de diámetro d. En una colisión los centros de las dos moléculas se aproximan una distancia como máximo igual a d
Si las moléculas fueran puntuales… ¿cuánto valdría al recorrido libre medio?
Una descripción equivalente es suponer una molécula como una esfera de diámetro 2d, que desplaza otras moléculas consideradas todas puntuales
Cálculo Microscópico del Recorrido Libre Medio
Una molécula con velocidad v y diámetro equivalente 2d, barre un cilindro de área πd2 y longitud vt en un intervalo de tiempo t.
2d
vt
Cálculo Microscópico del Recorrido Libre Medio
Una molécula con velocidad v y diámetro equivalente 2d, barre un cilindro de área πd2 y longitud vt en un intervalo de tiempo t.
2d
vt
De esta forma el número de colisiones sufridas por la molécula en este tiempo es igual al número de partículas que contiene el cilindro
Y el camino libre medio es
Cálculo Microscópico del Recorrido Libre Medio
Una molécula con velocidad v y diámetro equivalente 2d, barre un cilindro de área πd2 y longitud vt en un intervalo de tiempo t.
2d
vt
De esta forma el número de colisiones sufridas por la molécula en este tiempo es igual al número de partículas que contiene el cilindro
Y el camino libre medio es
Asumiendo que las moléculas blanco son estáticas
Cálculo Microscópico del Recorrido Libre Medio
Una molécula con velocidad v y diámetro equivalente 2d, barre un cilindro de área πd2 y longitud vt en un intervalo de tiempo t.
2d
vt
De esta forma el número de colisiones sufridas por la molécula en este tiempo es igual al número de partículas que contiene el cilindro
Y el camino libre medio es
Asumiendo que las moléculas blanco son estáticas
Asumiendo que las moléculas blanco se mueven
velocidad molec. media respecto al recipiente
velocidad molec. media relativa a las otras molec.
Cálculo Microscópico del Recorrido Libre Medio
Recorrido libre medio del aire
300 km
100 km
0 km
Cálculo Microscópico del Recorrido Libre Medio
Recorrido libre medio del aire
300 km
100 km
0 km
Recorrido libre medio en el sol
Cálculo Microscópico del Recorrido Libre Medio
Recorrido libre medio del aire
300 km
100 km
0 km
Recorrido libre medio en el sol
Distribución de Velocidades Moleculares
Tenemos un pequeño número de moléculas de gas confinadas en una caja, en equilibrio térmico a una temperatura dada
Si tomamos una molécula en particular… ¿qué velocidad tendrá?
Conocemos 
Conocemos 
Distribución de Velocidades Moleculares
Tenemos un pequeño número de moléculas de gas confinadas en una caja, en equilibrio térmico a una temperatura dada
Si tomamos una molécula en particular… ¿qué velocidad tendrá?
Conocemos 
Conocemos 
Es altamente improbable que todas las moléculas tengan la misma v, y algunas tendrán valores muy distintos a la veloc. promedio 
Obtendremos una distribución de velocidades
Distribución de Velocidades Moleculares
Para una muestra de gas a la temperatura T que contenga N moléculas cada una de masa m  distribución de Maxwell
depende sólo de T !
Ojo !
número de moléculas por intervalo de velocidad unitario con velocidades entre v y v+dv
número de moléculas con velocidades entre v y v+dv
Distribución de Velocidades Moleculares
Para una muestra de gas a la temperatura T que contenga N moléculas cada una de masa m  distribución de Maxwell
depende sólo de T !
Ojo !
número de moléculas por intervalo de velocidad unitario con velocidades entre v y v+dv
número de moléculas con velocidades entre v y v+dv
velocidad cuadrática media
velocidad promedio
velocidad más probable
O2, T=300 K
Distribución de Velocidades Moleculares
Para una muestra de gas a la temperatura T que contenga N moléculas cada una de masa m  distribución de Maxwell
depende sólo de T !
Ojo !
número de moléculas por intervalo de velocidad unitario con velocidades entre v y v+dv
número de moléculas con velocidades entre v y v+dv
velocidad cuadrática media
velocidad promedio
velocidad más probable
Si integramos n(v) para todas las velocidades
 número total de moléculas == área bajo la curva
O2, T=300 K
Distribución de Velocidades Moleculares
O2, T=300 K
Distribución de Velocidades Moleculares
número de moléculas con velocidades entre v1 y v2
O2, T=300 K
Distribución de Velocidades Moleculares
número de moléculas con velocidades entre v1 y v2
O2, T=300 K
¿Cuántas moléculas de gas tendrán una velocidad determinada, digamos vx = 623.1 m/s ?
Distribución de Velocidades Moleculares
número de moléculas con velocidades entre v1 y v2
O2, T=300 K
¿Cuántas moléculas de gas tendrán una velocidad determinada, digamos vx = 623.1 m/s ?
Distribución de Velocidades Moleculares
número de moléculas con velocidades entre v1 y v2
O2, T=300 K
¿Cuántas moléculas de gas tendrán una velocidad determinada, digamos vx = 623.1 m/s ?
¿Podemos encontrar en estas condiciones moléculas con velocidades altas, digamos v>9500 m/s ?
Distribución de Velocidades Moleculares
número de moléculas con velocidades entre v1 y v2
O2, T=300 K
¿Cuántas moléculas de gas tendrán una velocidad determinada, digamos vx = 623.1 m/s ?
¿Podemos encontrar en estas condiciones moléculas con velocidades altas, digamos v>9500 m/s ?
Distribución de Velocidades Moleculares
número de moléculas con velocidades entre v1 y v2
O2, T=300 K
¿Cuántas moléculas de gas tendrán una velocidad determinada, digamos vx = 623.1 m/s ?
La probabilidad de que una partícula tenga una velocidad determinada es cero
La probabilidad de que una partícula tenga una velocidad dentro de un intervalo tiene un valor distinto de cero
¿Podemos encontrar en estas condiciones moléculas con velocidades altas, digamos v>9500 m/s ?
Distribución de Velocidades Moleculares
O2, T=300 K
Respecto a vp, notamos que la curva no es simétrica ¿Por qué?
Distribución de Velocidades Moleculares
O2, T=300 K
Respecto a vp, notamos que la curva no es simétrica ¿Por qué?
No hay límite (clásico) para la velocidad más alta
La velocidad (teórica) más baja possible es cero
También notamos que en general
Distribución de Velocidades Moleculares
Veamos qué pasa al variar la temperatura
Al aumentar la temperatura  vrms aumenta (y también lo hacen v y vp)  la distribución se ensancha y aplana
la proporción de partículas con velocidades más altas se incrementa!
En un gas ideal, la presión no afecta la distribución de velocidades
Esto se pone de manifiesto en el aumento de la cantidad de ciertas reacciones químicas o nucleares al aumentar la temperatura
Distribución de Velocidades Moleculares
Ejemplo  Evaporación
¿Es un proceso de calentamiento o de enfriamiento?
Distribución de Velocidades Moleculares
Ejemplo  Evaporación
Esto reduce la energía cinéticas de las moléculas restantes y por ende disminuye su temperatura
En un líquido en condiciones normales  la temperatura de ebullición es superior a la temp. normal del líquido
En un líquido en condiciones normales  algunas pocas moléculas tienen la velocidad suficiente para vencer las atracciones de otras moléculas y escapar de la superficie
La evaporación es entonces un proceso de enfriamiento
Distribución de Velocidades Moleculares
Ejemplo  Evaporación
Esto reduce la energía cinéticas de las moléculas restantes y por ende disminuye su temperatura
En un líquido en condiciones normales  la temperatura de ebullición es superior a la temp. normal del líquido
En un líquido en condiciones normales  algunas pocas moléculas tienen la velocidad suficiente para vencer las atracciones de otras moléculas y escapar de la superficie
Laevaporación es entonces un proceso de enfriamiento
Distribución de Velocidades Moleculares
La distribución de velocidades moleculares también depende de la masa
A menor masa, mayor proporción de moléculas de alta velocidad a una temperatura dada
El H2 escapa con mayor probabilidad de la atmósfera a grandes alturas que el O2 o el N2
<v> (20 °C)
44 g/mol
32 g/mol
28 g/mol
18 g/mol
 2 g/mol
 410 m/s
 480 m/s
 515 m/s
 640 m/s
 1930 m/s
CO2
O2
N2
H2O
H2
M
Distribución de Velocidades Moleculares
El experimento de Stern (1920) permite determinar distribuciones de veloc. moleculares, empleando un selector de velocidad
Distribución de Velocidades Moleculares
El experimento de Stern (1920) permite determinar distribuciones de veloc. moleculares, empleando un selector de velocidad
Distribución de Velocidades Moleculares
El experimento de Stern (1920) permite determinar distribuciones de veloc. moleculares, empleando un selector de velocidad
Concuerda notablemente bien con el experimento en circunstancias ordinarias
No vale a densidades elevadas (las hipótesis de la teoría cinética tampoco)
Distribución de Maxwell
Debo usar distribuciones cuánticas !
Distribución de Energías (energía interna de un gas ideal)
Supongamos que la energía cinética de traslación es la única forma de energía posible que puede tener la molécula
número de moléculas con energías entre E y E+dE
Distribución de Energías (energía interna de un gas ideal)
Supongamos que la energía cinética de traslación es la única forma de energía posible que puede tener la molécula
número de moléculas con energías entre E y E+dE
Distribución de Energías (energía interna de un gas ideal)
Supongamos que la energía cinética de traslación es la única forma de energía posible que puede tener la molécula
número de moléculas con energías entre E y E+dE
Distribución de energías de Maxwell-Boltzmann
Distribución de Energías (energía interna de un gas ideal)
Supongamos que la energía cinética de traslación es la única forma de energía posible que puede tener la molécula
número de moléculas con energías entre E y E+dE
Distribución de energías de Maxwell-Boltzmann
Esta ecuación vale para un gas monoatómico. Para moléculas más complejas aparecen otros factores en la ecuación
Depende de T, pero no depende de la masa !
Distribución de Energías (energía interna de un gas ideal)
contribución a la energía interna del gas por moléculas con energías entre E y E+dE
Distribución de Energías (energía interna de un gas ideal)
contribución a la energía interna del gas por moléculas con energías entre E y E+dE
Coincide con los resultados anteriores !
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