teoria del consumidor4

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Tema 6
Teoría del consumidor
2
Preferencias
• La Teoría del Consumidor parte del 
supuesto de que los individuos tienen 
preferencias (gustos) sobre los bienes
• Problema: las preferencias no son 
observables. No obstante, podemos inferir 
los gustos a partir de lo que los individuos 
eligen
• Si eliges A cuando B también era posible, 
debe ser que te gusta más A que B
3
Preferencias
• Llamamos X al conjunto de alternativas. 
Elemento de X son x,y,..
• Una relación de preferencia R es una 
relación binaria en X
• Leemos “xRy” como “x es al menos tan 
preferido como y” (“débilmente preferida”)
• A partir de R podemos obtener otras dos 
relaciones binarias
4
Preferencias
• Decimos que xPy (“x es estrictamente 
mejor que y”) cuando xRy pero no es 
cierto que yRx
• Decimos que xIy (“x es indiferente con y”) 
cuando xRy y también yRx
• Vamos a exigir que R sea racional. Esto 
requiere que sea completa y transitiva
5
Preferencias
• Decimos que R es completa si, para todo 
x,y∈X, o bien xRy o bien yRx o bien 
ambos
• Decimos que R es transitiva si para todo 
x,y,z∈X: xRy e yRz implica xRz
• Ej. 1: xRy si x pesa al menos tanto como y
• Ej. 2: xRy si x pesa y mide al menos tanto 
como y
6
Utilidad
• Una función u: X → R es una función de 
utilidad que representa R si, para 
cualquier x,y ∈ X :
xRy ⇔ u(x) ≥ u(y)
• Ejemplo: X = {x,y,z} y xRy, yRz, xRz
Podemos escribir u(x)=9, u(y)=4, u(z)=1
• Si u(x) representa R y f: R→R es una 
transformación monótona creciente, v(x) = 
f(u(x)) también representa R
7
Utilidad
• La utilidad es una medida ordinal, no 
cardinal
• Un problema clásico es el de la 
representación de las preferencias
• Es decir, ¿cuándo se pueden representar 
unas preferencias R mediante una función 
de utilidad?
• Que R sea racional es una condición 
necesaria
8
Utilidad
• Es también suficiente sólo cuando X es 
finito o contable (numerable)
• Ejemplo (clásico): supongamos xRy si o 
bien x1 > y1, o bien x1 = y1 y x2 > y2
• Decimos que R es continua en X si para 
todo x en X, los conjuntos de contorno 
superior e inferior de x son cerrados
• El conjunto de contorno superior de x es 
{y∈X: yRx}
9
Representación
• Si una relación de preferencias R en 
X⊆Rn+ es completa, transitiva y continua 
entonces es representable mediante una 
función de utilidad continua
• En general nos centraremos en el caso de 
2 bienes
• Podemos pensar que uno de ellos es un 
“bien compuesto”
10
Conjunto presupuestario
• Supongamos que el consumidor tiene una 
cantidad fija de dinero para gastar M
• Hay dos bienes, X e Y, cuyos precios son 
pX y pY
• Las cestas que puede comprar cumplen:
pXx + pYy ≤ M
• Suponemos además que x ≥ 0 e y ≥ 0
11
Conjunto presupuestario
Xp
M
x
y
Y
p
M
Recta presupuestaria
Conjunto presupuestario
Mypxp YX ≤+
12
Conjunto presupuestario
• La pendiente de la recta presupuestaria es 
-pX/pY
• Indica a cuánto de un bien debemos 
renunciar si queremos más del otro
• Por ejemplo, si pX = 3 y pY = 1, si 
queremos una unidad más de X debemos 
renunciar a 3 unidades de Y
13
Aumento de un precio
x
y
Yp
M
Xp
M
14
Aumento de un precio
x
y
Yp
M
La recta presupuestaria
pivota hacia dentro
Xp
M
15
Aumento de la renta
x
y
Yp
M
Xp
M
16
Aumento de la renta
x
y
Yp
M
La recta presupuestaria
se desplaza hacia fuera
(la pendiente no cambia)
Xp
M
17
Conjunto presupuestario
• Si los dos precios aumentan en la misma 
proporción es lo mismo que si la renta M
disminuye
• De hecho uno de los 3 parámetros (pX, pY
y M) es redundante
• Podemos hacer pX = 1. Entonces el bien X
es el bien numerario
• El tiempo también es una restricción 
18
Oferta de trabajo
• Cuando estudiamos la oferta de trabajo el 
tiempo es crucial
• Ofrecer trabajo significa que ese tiempo 
no lo podremos usar para consumir bienes
• Lo que hacemos es comprar ocio 
renunciando a trabajar. Es decir, el precio 
del ocio es el salario que dejamos de 
ganar por no trabajar 
19
Curvas de indiferencia
• Las curvas de nivel de la función de 
utilidad son las curvas de indiferencia
• Cada CI representa combinaciones de 
cestas entre las que el consumidor está
indiferente
• En general, curvas más alejadas del 
origen representan cestas mejores
• Si u(X,Y) = XY, las cestas (10,10), (20,5) y 
(5,20) están en la misma CI
20
Curvas de indiferencia
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
21
Relación marginal de sustitución
• La pendiente de una curva de indiferencia 
tiene la interpretación de la tasa a la que 
el consumidor está dispuesto a 
intercambiar un bien por otro
• Lo llamamos Relación Marginal de 
Sustitución (RMS)
• Nos dice la cantidad de Y que está
dispuesto a perder por una unidad 
adicional de X
22
Relación marginal de sustitución
• Para obtener la RMS partimos de la 
ecuación de una CI de utilidad u0:
u(x, y) = u0
• Diferenciando,
y
u
x
u
dx
dy
dy
y
u
dx
x
u
uu
∂
∂
∂
∂
−=⇒=
∂
∂
+
∂
∂
= 0
0
23
RMS, ejemplo
• Si u(X,Y) = XY, la RMS es –Y/X
• Calculamos la RMS en tres cestas 
diferentes:
– RMS(5,20) = -4
– RMS(10,10) = -1
– RMS(20,5) = -1/4
• La tasa a la que está dispuesto a cambiar 
X por Y depende de las cantidades que 
tiene de X e Y
24
Preferencias convexas
• Las preferencias son convexas si el 
conjunto de contorno superior es convexo. 
Esto implica que se prefieren las medias a 
los extremos
• Supongamos que u(x1,y1) = u(x2,y2). 
Cualquier punto en la línea que conecta 
(x1,y1) y (x2,y2) es al menos tan bueno 
como los extremos
25
Preferencias convexas
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
26
Preferencias convexas
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
27
Maximización de la utilidad
• Max {x,y}u(x,y) s.a. 
• Max 
Mypxp YX ≤+





 −
Y
X
p
xpM
xu ,
y
u
p
p
x
u
p
xpM
xu
dx
d
Y
X
Y
X
∂
∂
−
∂
∂
=




 −
= ,0
28
Condición de primer orden
y
u
p
p
x
u
p
xpM
xu
dx
d
Y
X
Y
X
∂
∂
−
∂
∂
=




 −
= ,0
RMS
dx
dy
y
u
x
u
p
p
uuY
X =−=
∂
∂
∂
∂
=
= 0
Pendiente recta presupuestaria = 
pendiente de la CI
29
Condición de primer orden
• Supongamos que pX/pY = 3, pero tenemos 
una cesta en la que la RMS es 4
• No es la cesta óptima. Por 1 unidad más 
de X estamos dispuestos a ceder 4 de Y
• Pero sólo tenemos que dar 3!!
30
Ilustración gráfica
x
y
Xp
M
Yp
M
31
Condición de segundo orden
• Para más adelante:
• Concavidad respecto de X
2
222
2
2
2
2
)()(
,
)(
0
y
u
p
p
yx
u
p
p
x
u
p
xpM
xu
dx
d
Y
X
Y
X
Y
X
∂
∂






+
∂∂
∂
−
∂
∂
=




 −
≥
32
Notación
• Este es el gradiente, la dirección de 
máximo crecimiento de u
• La CPO implica que el gradiente es 
perpendicular a la recta presupuestaria






∂
∂
∂
∂
=
y
u
x
u
uu ,),( 21
33
Problemas
• Cuando la utilidad no es diferenciable. Por 
ejemplo, u(x, y) = min{x, y}
• Cuando la condición de tangencia no es 
suficiente. Por ejemplo, con preferencias 
que no son convexas (solución esquina)
• También puede ocurrir que el óptimo esté
en una esquina
34
Ejemplo Cobb-Douglas
• La proporción de gasto en cada bien es 
constante (α y 1- α, respectivamente)
( ) αα −= 1, yxyxu
.
)1(
0
x
y
y
u
x
u
dx
dy
p
p
uuY
X
α
α
−
=
∂
∂
∂
∂
=−=
=
YX p
M
y
p
M
x
)1(
,
αα −
==
35
Complementos perfectos
• Si dos bienes son complementos 
perfectos se consumen en proporciones 
fijas
• La utilidad es u(x, y) = min{x, βy}
• El consumidor comprará de forma que x = 
βy. Si x > βy, la cantidad extra de x no le 
añade utilidad
• Podemos definir un “bien compuesto”
36
Complementos perfectos
• Consiste en comprar la cantidad y de Y y 
la cantidad βy de X
• El precio de este bien es βpX+pY y la 
utilidad es u = M/(βpX+pY)
• Los complementos perfectos se pueden 
ver como un único bien
37
Punto de saciedad
• Si los dos únicos bienes son pizza y 
cerveza, es muy probable que exista un 
punto de saciedad
• Algo así como una combinación óptima,por encima de la cual ya no queremos 
consumir más
• También es razonable cuando hablamos 
de cuestiones políticas
38
Punto de saciedad
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
u=100
u=50
u=40
u=30
u=20
u=10
u=120
39
Efecto sustitución
• Supongamos que el precio de un bien 
sube. ¿Compraremos menos de él?
• No necesariamente
• Pensemos en el ocio. Si sube el salario, el 
coste del ocio aumenta
• Si el individuo se siente más rico, puede 
elegir trabajar menos y tener más ocio
• También puede ocurrir con bienes de 
subsistencia
40
Efecto sustitución
• La cantidad de Y puede aumentar cuando el 
precio de Y aumenta
x
y
41
Sustitución
• Un aumento de un precio implica una 
reducción del poder de compra (M tiene 
ahora menos poder adquisitivo) más un 
cambio en el precio relativo
• Los efectos sustitución y renta separan 
estos dos efectos
• El ES aísla el efecto del cambio en el 
precio relativo, cambiando la renta de 
forma que el consumidor se mantenga en 
la misma curva de indiferencia 
42
Efecto Sustitución
x
y
Elección
inicial
43
Aumenta el precio de Y
x
y
Elección
inicial
pY ↑
Ahora no puede 
alcanzar la misma CI 
que en la elección 
inicial. Para ello 
necesitaría más renta
44
ES mantiene la utilidad constante
x
y
Elección
inicial
pY ↑
Demanda
compensada
45
Efecto sustitución (ejemplo)
• La función de utilidad es u(x, y) = xy
• Precios pX = 2, pY = 5. Renta M = 100
• El consumidor elige la cesta (25, 10) en la 
que obtiene una utilidad de 250
• El precio de Y sube a p’Y = 6. Ya no puede 
comprar la misma cesta (vemos que 
2×25+6×10 = 110 > 100
• ¿Cuánto debería aumentar la renta para 
que alcanzase la utilidad 250?
46
Efecto sustitución (ejemplo)
• La nueva renta la llamamos m’
• Sabemos que elegirá x = m’/4, y = m’/12
• Por tanto, obtendrá una utilidad igual a 
(m’)2/48
• Igualando a 250, obtenemos m’ = 109.54
• Por lo tanto, la renta debe aumentar en 
m’-m = 9.54
• Esta es la “compensación”
47
Efecto sustitución
• El ES de un aumento en el precio de Y
siempre disminuye el consumo de Y y 
aumenta el de X
• Todas las cestas del conjunto 
presupuestario en las que la cantidad de Y
es mayor que en la elección inicial le dan 
una utilidad menor
48
Efecto renta
• Para niveles bajos de renta la mayoría de 
los bienes son normales
• Cuando la renta es suficientemente alta, la 
mayor parte de los bienes se convierten 
en inferiores
• La curva que representa el conjunto de las 
cestas óptimas para diferentes niveles de 
renta es la curva de Engel
49
Efecto renta
• Bienes normales
x
y
50
X inferior, Y normal
x
y
51
Gasto en comida (USA)
Año Gasto en comida (%) 
1935-39 35.4
1952 32.2
1963 25.2
1992 19.6
2000 16.3
52
Ejemplo: Cobb-Douglas
• En el caso Cobb-Douglas, las cestas 
óptimas son x = αM/pX, y = (1-α)M/pY
• Por tanto, la curva de Engel es una recta 
con pendiente (1-α)pX/αpY
• En general, se dice que un individuo tiene 
preferencias homotéticas, si la curva de 
Engel es una línea recta
53
Efecto renta
• Hemos visto que el ES nos permite 
descomponer el efecto de un cambio en 
un precio en un ES y un ER
• En la figura siguiente vemos cuál es el ER
54
Descomposición en ES y ER
x
y
55
Descomposición en ES y ER
x
y
Efecto
sustitución
56
Descomposición en ES y ER
x
y
Efecto
renta
Efecto
sustitución
57
Descomposición en ES y ER
x
y
Efecto
renta
Efecto
sustitución
ES
ER
ET
58
Soluciones esquina
• En ocasiones el óptimo puede estar en 
una de las esquinas del conjunto 
presupuestario
• Por ejemplo, si en el óptimo x* = 0, se 
cumple que |RMS| < pX/pY
• El consumidor querría reducir el consumo 
de x, pero no puede (ya es 0)
59
Ejemplo: preferencias
cuasilineales
• Si la función de utilidad tiene la forma 
u(x,y) = v(x)+αy, con v() cóncava, decimos 
que el individuo tiene preferencias cuasi-
lineales
• Las curvas de indiferencia son paralelas 
(no necesariamente rectas) entre sí
• Por ejemplo, estudiamos el caso en el que 
u(x,y) = ln(x)+ αy
60
Preferencias cuasilineales
• Usamos la restricción presupuestaria 
para eliminar y
• Tenemos:
• La condición de primer orden es:





 −
+
Y
X
p
xpm
x α)ln(
)0*0(0
*
1
>=≤− xsi
p
p
x Y
Xα
61
Preferencias cuasilineales
• El óptimo interior es:
x* = pY/αpX; y* = (M/pY)-(1/α)
• Para que el óptimo sea interior se debe 
cumplir que M > pY/α
• Si, por el contrario, M < pY/α, el óptimo es: 
x* = M/pX; y* = 0
• Cuando M es pequeña, sólo consume X. 
A partir de cierto valor (pY/α), consume de 
ambos (pero su consumo de X es fijo)
62
Oferta de trabajo
• Trabajar más horas permite consumir más 
bienes, pero reduce el tiempo de ocio
• Llamamos x al consumo, L es el tiempo de 
ocio, T-L el tiempo de trabajo y M la renta 
no laboral
• La restricción es px = M+w(T-L), donde p
es el precio del consumo y w el salario
• O también px+wL = M+wT
63
Restricción presupuestaria
T L
x
M/p
M/p+wT/p
64
Restricción presupuestaria
T L
x
M/p
M/p+wT/p
La pendiente 
es –w/p
La pendiente 
es –w/p
65
Oferta de trabajo
• La utilidad del individuo es u(x, L). 
Sustituyendo x podemos escribir:
• La condición de primer orden es:
• Las derivadas parciales se evalúan en el 
óptimo





 −+
=
≤≤
L
p
LTwM
uLhMax
TL
,
)(
)(
0
21*)(0 u
p
w
uLh +





−=′=
66
Oferta de trabajo
• Estudiamos el efecto en L* de un 
aumento del salario
• Diferenciando la CPO, obtenemos:
• El signo depende del numerador (den < 0)
2212
2
11
1211
1
2 u
p
w
u
p
w
u
p
LT
u
p
LT
u
p
w
p
u
w
L
+





−





−
−
−
+
=
∂
∂
)(
*
67
Oferta de trabajo
• En concreto, ∂L*/∂w > 0, si y sólo si:
• Simplificando esta expresión:
01211
1 <
−
−
−
+
p
LT
u
p
LT
u
p
w
p
u )(
1
1
1211
>
+





−
−
u
uu
p
w
LT )(
68
Oferta de trabajo
• Dado que:
• Y que:
• Podemos escribir la condición:
1
1211
1
u
uu
p
w
L
uLog
+−
=
∂
∂ )(
LTL
LTLog
−
=
∂
−∂
−
1)(
69
Oferta de trabajo
• O simplemente:
• En total, la condición queda:
L
LTLog
LTL
uLog
∂
−∂
−=
−
>
∂
∂ )()( 11
01 >
∂
−∂
+
∂
∂
L
LTLog
L
uLog )()(
01 >
∂
−∂
L
LTuLog ))((
70
Oferta de trabajo
• En palabras, la condición dice que u1(T-L) 
debe ser creciente con L
• La cantidad óptima de ocio aumenta (y por 
lo tanto la cantidad de trabajo se reduce) 
cuando sube el salario si la utilidad 
marginal del consumo, multiplicada por las 
horas trabajadas, es creciente con L
• Si el consumo y el ocio son sustitutos, 
esto no puede ocurrir 
71
Oferta de trabajo
• La razón es que, si son sustitutos, un 
aumento de L reduce la utilidad marginal 
del consumo
• Por tanto, si el consumo y el ocio son 
sustitutos, un aumento del salario reducirá
la cantidad de ocio y aumentará la oferta 
de trabajo
• ¿Y si son complementarios?
72
Oferta de trabajo
• Supongamos que u(x, L) = Min{x, L}
• En este caso vemos que:
L* = (M+wT)/(p+w)
• Por tanto, el ocio crece con el salario 
siempre que pT > M (si M es pequeño)
• En el caso Cobb-Douglas, u(x, L) = xαL1- α
• Vemos que:
L* = (1-α)(T+M/w)
73
Oferta de trabajo
• Es una función decreciente del salario
• La cantidad óptima de trabajo es:
T-L = Max{0, αT-(1- α)(M/w)}
• Es decir, sólo trabaja si la renta no laboral 
M es suficientemente pequeña
• En concreto, si M > (α/(1- α))(Tw), 
prefiere no trabajar en absoluto
74
Horas anuales trabajadas
0
500
1000
1500
2000
2500
19
71
19
73
19
75
19
77
19
79
19
81
19
83
19
85
19
87
19
89
19
91
19
93
19
95
19
97
19
99
20
01
20
03
20
05
20
07
20
09
France Germany Spain
75
Diferencias compensatorias
• Las diferencias compensatorias se 
refieren a las diferencias salariales 
debidas a ciertas características de los 
empleos
• Los trabajos difieren en muchos aspectos: 
duración de la jornada, riesgos físicos, el 
entorno del trabajo, etc.
• La teoría de las DC parte de la premisa de 
que no hay nada gratis(“no free lunch”)
76
Diferencias compensatorias
• En un equilibrio de mercado, los trabajos 
más desagradables deben ofrecer una 
prima salarial en relación a otros trabajos
• Supongamos que la utilidad de un 
trabajador depende del salario w y de 
cierta característica del empleo, por 
ejemplo la seguridad en su trabajo s
• Imaginemos que hay 2 trabajos A y B, con 
diferentes características
77
Diferencias compensatorias
• En el equilibrio, se debe cumplir:
u(wA, sA) = u(wB, sB)
• ¿Por qué?
• ¿Qué ocurriría si no es así?
• Si sA > sB, entonces wA < wB
78
Diferencias compensatorias
• Los salarios astronómicos que ganan 
algunos deportistas no se deben a DC
• Son pagos que reflejan la rareza del 
talento
• Los mismo ocurre con los artistas. El 
precio de los cuadros de Picasso refleja la 
escasez de los mismos respecto a la 
demanda
79
Precio de la vivienda
• Los precios de la vivienda reflejan las 
valoraciones de diferentes aspectos
• Para mucha gente es mejor vivir en el 
centro, cerca de su trabajo, que en las 
afueras. Vemos un modelo
• El bien cuya oferta está limitada en la 
ciudad no es la vivienda, sino el suelo
• Los costes de construcción son muy 
similares en diferentes ciudades
80
Precio de la vivienda
• La diferencia está en el precio del suelo
• Es decir, la diferencia de precio entre el 
centro de Madrid y las afueras se debe a 
la diferencia en los precios del suelo
• Imaginemos una ciudad plana en la que 
todos trabajan en (0,0), el centro
• Los costes de llegar al centro, en tiempo, 
son c(t), donde t = λr y r es la distancia al 
centro (λ es 
81
Precio de la vivienda
• Si una persona paga por su vivienda un 
precio p(r) a la distancia r, en total pagará
por la combinación de vivienda y 
transporte:
c(λr)+p(r) 
• Todos tratarán de buscar la alternativa 
menos costosa
• Si todos tienen idénticas preferencias, los 
precios de las casas dependerán de r
82
Precio de la vivienda
• Estarán determinados por la ecuación:
c(λr)+p(r) = constante
• Los individuos estarán indiferentes 
respecto a la distancia: un menor tiempo 
de llegar al centro se compensa exacta-
mente con un mayor precio
• Vemos cuál es la constante. La población 
total es N y cada individuo ocupa un área 
unitaria 
83
Precio de la vivienda
• El tamaño de la ciudad rmax debe cumplir 
N = π(rmax)2
• Por lo tanto:
• En los límites de la ciudad, el precio de la 
tierra viene dado por otro uso diferente de 
la construcción, por ejemplo por la 
agricultura
• Supongamos que ese precio es v por el 
tamaño de una vivienda
π
N
r =max
84
Precio de la vivienda
• Por lo tanto, en el límite de la ciudad se 
debe cumplir que p(rmax) = v
• Con esto obtenemos todos los precios:
• De ahí obtenemos:
v
N
cvrc
rprcrprc
+







=+=
=+=+
π
λλ
λλ
)(
)()()()(
max
maxmax
)()( rcv
N
crp λ
π
λ −+






=
85
Precio de la vivienda
• Los precios son mayores cuanto más 
cerca del centro
• El precio más caro es p(0). El más barato 
es p(rmax)
• También aumentan con N y con v
• En equilibrio no hay “chollos”. Los precios 
reflejan las características del bien que 
interesan a los consumidores (la distancia 
al centro)
86
Precio de la vivienda
87
Elección intertemporal
• El consumo tiene lugar en diferentes 
momentos de tiempo
• Llamamos x1 al consumo en el periodo 1 y 
x2 al consumo en el periodo 2
• Podemos pensar en 2 años o en dos 
periodos más largos, como vida laboral y 
retiro
• El valor del consumo es:
u(x1, x2) = v(x1) + δv(x2)
88
RMS intertemporal
• El parámetro δ es la tasa individual de 
descuento
• La RMS entre x1 y x2 nos dice a qué tasa 
está dispuesto el consumidor a cambiar 
consumo entre periodos
• En particular:
( )2
1 )(
xv
xv
RMS
′
′−
=
δ
89
RMS intertemporal
• La RMS nos dice a cuántas unidades de 
consumo futuro está dispuesto a renunciar 
por una unidad más de consumo hoy
• Por ejemplo, si x1 = x2 la RMS es -1/δ
• Si δ = 0.5, quiere decir que está dispuesto 
a renunciar a 2 unidades de consumo 
mañana por una unidad más hoy
• Normalmente, δ < 1
90
Restricción intertemporal
• El consumidor espera ganar M1 en el 
primer periodo y M2 en el segundo
• La restricción presupuestaria es: 
(1+r)(M1-x1) = x2 - M2
• El término (M1-x1) representa lo que 
ahorra el primer periodo
• Aquí r es el tipo de interés. También:
(1+r)x1 + x2 = (1+r)M1 + M2
91
Restricción intertemporal
• Esta restricción se llama restricción 
presupuestaria intertemporal
• Vemos que el precio del consumo en el 
periodo 2 en términos del consumo en el 
periodo 1 es (1+r)
• La renta relevante es la “renta 
permanente”, no la renta de cada periodo
• La renta permanente es (1+r)M1 + M2
92
Restricción intertemporal
x1
x2
(M1,M2)
M2+(1+r)M1
M1+M2/(1+r)
93
Restricción intertemporal
x1
x2
(M1,M2)
M2+(1+r)M1
M1+M2/(1+r)
La pendiente de la 
RP es –(1+r)
94
Restricción intertemporal
x1
x2
(M1,M2)
Ahorra
Pide prestado
(desahorra)
95
Elección intertemporal
• La CPO en el óptimo interior es:
• El parámetro δ mide lo que el consumidor 
valora el futuro
• El término 1/(1+r) indica lo que el mercado 
valora el futuro
• Si δ < 1/(1+r), valora el consumo en el 
periodo 1 más de lo que lo hace el mercado
( )
)1(
)(
2
1 r
xv
xv
+=
′
′
δ
96
Elección intertemporal
• Entonces, v’(x1) < v’(x2) por lo que x1 > x2
• Decimos que el consumidor es más 
“impaciente” que el mercado
• Si δ(1+r) = 1, consume lo mismo en los 
dos periodos
• Si δ(1+r) > 1, es que valora el consumo en 
el periodo 1 menos que el mercado, por lo 
que querrá consumir más en el periodo 2
97
Elección intertemporal
• El que un individuo sea ahorrador o pida 
prestado no depende sólo de sus 
preferencias, también depende de sus 
ingresos
• Por ejemplo, si sus ingresos son mucho 
mayores en el segundo periodo es posible 
que su ahorro en el periodo 1 sea 
negativo
98
Optimización intertemporal
x1
x2
(M1,M2)
En el periodo 1
pide prestado
Devolución
del préstamo
99
Aumento del tipo de interés
• Si el tipo de interés aumenta, la recta 
pivota alrededor del punto (M1, M2)
• La razón es que ese punto siempre es 
factible
• El efecto dependerá de si el individuo es 
un prestamista o un prestatario
• En la figura vemos un prestatario que 
decide pedir prestado menos dinero
100
Aumento del tipo de interés
x1
x2
(M1,M2)
101
Aumento del tipo de interés
• No está claro el efecto en el consumo del 
periodo 2
• Por un lado tiene menos renta, pero por 
otro lado el precio relativo del consumo en 
el periodo 2 ha bajado
• Un aumento del tipo de interés es positivo 
para los prestamistas netos. Consumirá
más en el periodo 2. ¿Y en el periodo 1?
102
Aumento del tipo de interés
La renta del prestamista aumenta
(M1,M2)
x1
x2
103
Diferentes tipos de interés
x1
x2
(M1,M2)
La pendiente es -(1+r2)
Aquí es -(1+r1)
104
Efecto de un aumento
transitorio de la renta
• Ahora un aumento transitorio de la renta 
puede tener un efecto importante en el 
consumo
• Esto explica por qué los individuos no 
ahorran mucho cuando reciben una 
cantidad inesperada de dinero, o por qué
sufren una gran pérdida puntual en lugar 
de una pérdida pequeño durante un 
periodo largo, cuando les surgen gastos 
inesperados
105
Propensión a consumir del 100% 
x1
x2
(M1,M2)
Decisión con 
incertidumbre
107
Estadística básica
• Sea x una variable aleatoria que toma los 
valores x1, x2,.., xn con probabilidades p1, 
p2,.., pn
• Si las alternativas son exhaustivas y 
mutuamente excluyentes:
p1+p2+..+pn = 1
• Definimos la media de x (o el valor 
esperado) como:
E(x) = p1x1+p2x2+…+pnxn
108
Estadística básica
• La media nos da información sobre el valor 
central de la variable aleatoria
• La varianza de x nos mide la dispersión 
de la variable alrededor de la media:
Var(x) = p1(x1-E(x))
2+…+pn(xn-E(x))
2
• En la práctica se usa más la desviación 
estándar, que es la raíz cuadrada de la 
varianza
109
Decisión con incertidumbre
• Ahora losindividuos deben elegir entre 
diferentes alternativas con incertidumbre 
(“loterías”)
• Ejemplo de lotería: lanzamos una mone-
da al aire. Si sale cara ganas 100 euros. 
Si sale cruz no ganas nada
• Cada lotería es una distribución de proba-
bilidad sobre cantidades de dinero 
110
Decisión con incertidumbre
• En ausencia de incertidumbre todos 
preferimos más dinero
• Si x representa cantidades de dinero, 
cualquiera de las funciones siguientes es 
equivalente en términos de cómo ordenan 
nuestras preferencias:
– U(x) = a+bx, con b > 0
– U(x) = Exp(x)
– U(x) = x3
111
Decisión con incertidumbre
• No obstante, nosotros queremos algo más
• Queremos ordenar también las loterías
• Por ejemplo, considera las siguientes 
loterías:
– L1: Con ½ ganas 100 euros, con ½ ganas 0
– L2: Con ½ ganas 70 euros, con ½ ganas 30
• Von Neumann y Morgestern propusieron 
una forma de ordenar estas loterías
112
Decisión con incertidumbre
• En concreto, prueban que bajo ciertas 
condiciones existe una forma de asignar 
números a cada posible resultado de 
forma que podemos comparar las loterías, 
comparando la “utilidad esperada”
• Esto es, a partir de U(100) = U100, U(70) = 
U70, U(30) = U30, U(0) = U0, la utilidad de 
L1 es ½U100 + ½U0 y la utilidad de L2 es 
½U70 + ½ U30 
113
Decisión con incertidumbre
• Es decir, bajo ciertas condiciones, existe 
una función de utilidad sobre las cantida-
des de dinero que podemos usar tanto 
para comparar cantidades de dinero (esta 
parte es trivial) como loterías sobre canti-
dades de dinero (esto ya no lo es)
• Este procedimiento es muy útil 
114
Decisión con incertidumbre
• En general, supongamos que los posibles 
resultados son x1, x2, .., xn y sus 
probabilidades respectivas son p1, p2, .., 
pn
• La utilidad (esperada) es:
{ }
∑
=
=
=+++=
n
i
ii
nn
xUp
xUpxUpxUpxUE
1
2211
)( 
)(...)()()(
115
Decisión con incertidumbre
• Volviendo a las loterías L1 y L2, ¿cuál 
prefieres?
• Tu preferencia dice algo sobre tu función 
de utilidad esperada
• Obviamente, U’(x) > 0, ¿no?
• Supongamos además que es lineal, es 
decir, U(x) = a+bx, con b > 0
• Entonces U(0) = a, U(30) = a+30b, U(70) 
= a+70b y U(100) = a+100b
116
Decisión con incertidumbre
• Entonces resulta que: 
½U(30)+½U(70) = ½U(0)+½U(100)
• Si la utilidad es lineal, las loterías con 
igual valor esperado son indiferentes entre 
sí
• Si, como es habitual, L2 es mejor que L1, 
la función de utilidad esperada debe ser 
cóncava
• Esto se llama aversión al riesgo
117
Aversión al riesgo
• Hablamos de aversión al riesgo si:
• Por ejemplo, prefieres 50 euros a otra 
alternativa en la que ganas 100 si una 
moneda sale cara y 0 si sale cruz
• Aversión al riesgo implica que la función U
es cóncava (segunda derivada < 0)
)()()( 22112211 xUpxUpxpxpU +≥+
118
Aversión al riesgo
x
x1 x2p1x1+p2x2
U(p1x1+p2x2)
p1U(x1)+p2U(x2)
U
EC
119
Aversión al riesgo
• En general, suponemos que a las 
personas no les gusta el riesgo
• Otra forma de ver la aversión al riesgo es 
la siguiente
• Si un individuo es averso al riesgo, 
entonces, para todo x: 
U(x) ≥ EU(x+∈), donde E(∈) = 0
• Por ejemplo, 100 euros frente a una 
lotería que paga 105 o 95 (ambos con ½)
120
Definiciones
• El equivalente cierto (EC) es la cantidad 
de dinero que el individuo valora igual que 
la alternativa incierta: E{U(x)} = U(EC)
• La prima de riesgo (PM) es el valor 
esperado de la alternativa menos el EC
• La prima del riesgo es el coste monetario 
del riesgo. Es lo que pagaría el individuo 
por evitar el riesgo
121
Definiciones
• Por ejemplo, ¿cuál es para ti el EC de una 
lotería que te da 100 euros con ½ y 0 
euros con ½?
• Supongamos que es 30 euros. Sería 50 
euros si no te preocupa el riesgo
• Si tu EC es 30 euros, la prima del riesgo 
es 50-30 = 20 euros
122
Transformaciones permisibles
• Una función de utilidad esperada no es 
invariante frente a una transformación 
arbitraria
• Si tu función de UE es U(x) = αx entonces 
tú eres “neutral” frente al riesgo y sólo te 
preocupa el valor esperado
• Si mi función de UE es V(x) = {U(x)}1/2, mi 
función es cóncava 
123
Transformaciones permisibles
• Yo tengo aversión al riesgo
• Pero entonces tú y yo no evaluamos las 
loterías de la misma forma
• Las funciones de UE sólo son invariantes 
frente a transformaciones lineales
• Si tu función es U(x) y la mía es V(x) = 
a+bU(x) con b > 0, entonces ambos 
ordenamos las loterías igual
124
Transformaciones permisibles
• Esto nos permite re-escalar la función de 
forma que asignamos al peor resultado 
utilidad 0 y al mejor utilidad 1
• Si el peor resultado es -1,000 euros y el 
mejor resultado es +25,000 euros y 
tenemos U(-1000) = u0, U(25000) = u1, 
podemos re-escalar a V(x) = a+bU(x), con 
b = 1/(u1-u0) y a = u0/(u1-u0)
125
Tu función de utilidad esperada
• Supongamos que el peor resultado 
posible es -100 y el mejor es +1,000
• Queremos asignar números a todos los 
valores entre -100 y 1,000
• Empezamos por asignar U(-100) = 0 y 
U(1000) = 1
• Para cualquier valor intermedio, contesta 
a la pregunta siguiente: 
126
Tu función de utilidad esperada
Si tuvieras la opción de elegir entre 250 
euros seguros y una lotería que da +1,000 
euros con probabilidad p o -100 euros con 
probabilidad (1-p), ¿para que valor de p
estarías indiferente entre ambas 
opciones?
127
Tu función de utilidad esperada
• Le llamamos p250. ¿Es mayor que .318?
• Obviamente, 0 < p250 < 1
• Podemos asignar a la cantidad 250 ese 
valor, es decir, U(250) = p250. ¿Por qué?
• Por la definición de p250, tenemos:
p250U(1,000)+(1- p250)U(0) = U(250)
• Como U(-100) = 0, U(1000) = 1, tenemos 
que U(250) = p250
128
Precio de una acción
• Tienes 20 euros en el bolsillo y también 
una acción de una empresa
• Mañana esa acción puede valer 16 euros 
u 80 euros (ambas con ½)
• ¿Cuál es el precio mínimo al que estarías 
dispuesto a vender la acción?
• La utilidad esperada si no vendes es:
½U(36)+½U(80) 
129
Precio de una acción
• La utilidad esperada si vendes al precio p
es U(20+p)
• Querrás vender siempre que:
U(20+p) ¥ ½U(36)+½U(80)
• El precio mínimo p* cumple:
U(20+p*) = ½U(36)+½U(80)
• Si U(x) = x½, p* = 44 euros
• Sólo vende si p ¥ 44
130
Seguros
• Probamos que un averso al riesgo, si 
puede comprar un seguro actuarialmente 
justo, elegirá asegurarse completamente
• Supongamos que tienes 30,000 euros 
pero con una probabilidad p puedes 
perder 10,000 euros
• Sin seguro, tu utilidad esperada es: 
(1- p)U(30,000)+pU(20,000)
• Sabemos que U’ > 0 y U’’ < 0
131
Seguros
• Una póliza de seguros te da 1 euro de 
cobertura si pagas una prima π
• Es decir, si pagas π euros de prima, en 
caso de accidente la compañía te paga 1 
euro y nada en otro caso
• El valor esperado de la póliza para la 
compañía es (1-p)π + p(π-1)
• Cuando esto es cero, se dice que el 
seguro es actuarialmente justo 
132
Seguros
• Esto implica que π = p
• Si compras C euros de cobertura tu UE 
es:
Φ(C) = (1-p)U(30,000-πC)+
+pU(20,000-πC+C)
• La CPO (comprobar la CSO) es: 
Φ’(C) = -π(1-p)U’(30,000-πC)+
+(1- π)pU’(20,000+(1- π)C) = 0
133
Seguros
• Comprobamos que nunca puede ocurrir 
C* = 0 
• La CPO quedaría (dado que π = p): 
Φ’(0) = -π(1- π)U’(30,000)+
+(1- π)πU’(20,000) = 0
• Es decir (1- π)π[U’(20,000)-U’(30,000)] = 0
• Esto es imposible ya que U es cóncava
134
Seguros
• Dado que π = p:
-p(1-p)U’(30,000-pC)+
+(1- p)pU’(20,000+(1- p)C) = 0
• O también:
U’(30,000-pC) = U’(20,000+(1- p)C)
• Como U’’ < 0:
30,000-pC = 20,000+(1- p)C
135
Seguros
• Pero entonces C = 10,000
• Variantes: Si tienes que pagar una tasa 
de F euros, pero aún π = p, puedes probar 
que si se asegura, se asegura por 
completo. No obstante, puede que no se 
asegure (si F es suficientemente grande)
• Si π > p, el individuo no se asegura 
completamente 
136
Defraudar
• Un contribuyente tiene una renta y. El tipo 
marginal del impuesto es t (0 < t < 1)
• Debe elegir la renta x que declara, con lo 
quepaga tx
• Ser honrado significa x = y
• No ser honrado significa 0 ≤ x < y
• Llamamos z = y-x a la renta que oculta
• La AT revisa la declaración con 
probabilidad p (independiente de x)
137
Defraudar
• Si le revisan y ha defraudado le pillan
• Debe pagar lo que ocultó mas una multa 
θz
• Con probabilidad p su renta es:
y-tx-θz-tz = y(1-t)-θz
• Con 1-p su renta es:
y-tx = y(1-t)+tz
• Maximiza la utilidad esperada
138
Defraudar
• Su objetivo es elegir z ∈ [0, y] para:
Max U(z) = (1-p)U(y(1-t)+tz)+
+pU(y(1-t)-θz)
• La primera derivada es: 
U’(z) = t(1-p)U’(y(1-t)+tz)-θpU’(y(1-t)-θz)
• Evaluando en z = 0: 
U’(0) = [t(1-p)-θp]U’(y(1-t))
139
Defraudar
• Vemos que para que U’(0) > 0 debe 
ocurrir que:
• Esta condición garantiza que z* > 0. Es 
decir, que decide defraudar
• También obtenemos ∂z*/∂p < 0 y que 
∂z*/∂θ < 0. El signo de ∂z*/∂t es ambiguo 
θ
p
p
t
−
>
1
140
Búsqueda (“search”)
• En el mundo real encontramos una gran 
variación de precios de los productos
• Pero entonces, esto significa que los 
consumidores podrían ganar si buscan el 
mejor precio
• La teoría de búsqueda parte de la idea de 
que el precio es, desde el punto de vista 
del consumidor, una variable aleatoria
141
Búsqueda (“search”)
• Supongamos que la función de densidad 
del precio es f(p)
• El coste de obtener información de un 
precio (visitar una tienda) es c
• El individuo usa un precio de reserva. 
Comprará si p ≤ p*
• Coste esperado (fórmula recursiva):
∫∫
∞
++=
*
*
)(*)()(*)(
p
p
dppfpJdpppfcpJ
0
142
Búsqueda
• Obtener información de un precio cuesta c
y puede resultar en un precio menor que 
p*
• El segundo término es el valor medio del 
precio, dado que es menor que p*
• El tercer término es el valor de 
continuación, en términos esperados
143
Coste esperado de comprar
• CPO:
*)(
)(
*)(
*
pF
cdpppf
pJ
p
+
= ∫0
2
*
0
*)(
)(*)(
*)(
*)(
**)(
pF
cdpppfpf
pF
pf
ppJ
p
+
−=′
∫
( )*)(*
*)(
*)(
*)(
)(
*
*)(
*)(
*
pJp
pF
pf
pF
cdpppf
p
pF
pf
p
−=









 +
−= ∫0
144
Solución
• La solución es J(p*)=p*
• Consiste en fijar un precio de reserva igual 
al coste total esperado de comprar el bien
• La regla es comprar siempre que 
encontremos un precio por debajo de 
dicho precio de reserva
• No tiene sentido esperar por un precio 
menor de lo que esperamos pagar en 
promedio
145
Ejemplo
• Si el precio p sigue una distribución 
uniforme en el intervalo [a,b], obtenemos:
• Aplicando la CPO, obtenemos:
• A medida que c → 0, p* → a
ap
abc
appJ
−
−
++=
*
)(
)*(*)(
2
1
)(* abcap −+= 2
146
Ejemplo
• Cuando el coste es muy bajo sólo 
compramos si el precio está cerca del 
mínimo
• Sea a = 200, b = 500 y c = 20
• Calculamos p* = 309.5 euros
• Si el coste sube a c’ = 40 euros, entonces 
p* = 355 euros 
147
Ejemplo
• Además, p* < b siempre que 2c < (b-a)
• Según esto, si lo más que podemos 
ahorrar buscando otro precio es menos 
que el doble del coste, no merece la pena 
buscar más precios
• Lo óptimo es comprar ya
• Cuanto menor es la dispersión, menor es 
el precio de reserva
148
Equilibrio general
• Los individuos poseen unas dotaciones 
iniciales de los bienes
• Van al mercado donde observan precios, 
intercambian bienes a esos precios para 
maximizar su utilidad
• Un equilibrio es un vector de precios
(uno para cada bien) y una asignación tal 
que todos los mercados se vacían
149
Equilibrio general
• Los mercados se vacían cuando en cada 
uno de ellos la oferta es igual a la 
demanda
• Cuestiones:
– ¿Es algo bueno el equilibrio?
– ¿Existe?
– ¿Es único?
– ¿Puede ocurrir? ¿Cómo se determina?
150
Economías de Edgeworth
• Dos individuos (1 y 2) y dos bienes (X e Y)
• Cesta del 1: (x1, y1)
• Cesta del 2: (x2, y2)
• Dotaciones iniciales: (̅x1, ̅y1) y (̅x2, ̅y2)
• Una asignación {(x1, y1), (x2, y2)} es 
factible si se cumple:
– x1+x2 ≤ ̅x1+ ̅x2 = ̅x
– y1+y2 ≤ ̅y1+ ̅y2 = ̅y
151
Economías de Edgeworth
• Además vamos a suponer que no se 
desperdician los bienes. Es decir:
– x1+x2 = ̅x1+ ̅x2 = ̅x
– y1+y2 = ̅y1+ ̅y2 = ̅y
• Entonces las asignaciones se pueden 
representar en una caja, llamada caja de 
Edgeworth
152
Caja de Edgeworth
• Las dotaciones iniciales determinan el 
tamaño de la caja:
1
2
y1
y2
x1 x2
153
Preferencias
1
2
u1
154
Eficiencia de Pareto 
1
2
u1
2
155
Curva de contrato
1
2
156
Ejemplo
• Los dos individuos tienen preferencias 
Cobb-Douglas y la cantidad total de cada 
bien es 1. Por tanto, x2 = 1 – x1
• Las funciones de utilidad son u1 = x
αy1-α, 
u2 = (1-x)
β(1-y)1-β
• Las asignaciones PE cumplen:
)1)(1(
)1(
)1( 2
2
1
1
x
y
y
u
x
u
y
u
x
u
x
y
−β−
−β
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
α−
α
157
Ejemplo
• Podemos resolver para y:
• Sólo depende del parámetro 
)(
)(
)()()(
)(
xx
x
x
x
y
−





−
−
+
=
−+−
−
=
1
1
11
1
βα
αβαβαβ
βα
βα−
αβ−
)1(
)1(
158
Curva de contrato, caso CD
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
159
Dotaciones iniciales
• Las dotaciones iniciales representan las 
combinaciones de bienes que los 
individuos poseen inicialmente
• Es un punto en la caja
• Las curvas de indiferencia que pasan por 
las dotaciones iniciales representan un 
nivel mínimo de utilidad que los individuos 
se pueden garantizar (no comerciando)
160
Asignaciones eficientes e 
individualmente racionales
1
2
161
Existencia de equilibrio
1
2
162
Equilibrio general
• n bienes, I individuos, preferencias 
convexas 
• Primer teorema del bienestar: el equilibrio 
competitivo es Pareto eficiente
• Segundo teorema del bienestar: toda 
asignación eficiente es un equilibrio 
competitivo para unas dotaciones iniciales 
apropiadas
• Existe un equilibrio competitivo