formulas

Vista previa del material en texto

1 
 
FÓRMULAS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 
 
TEMAS 1 Y 2: CONCEPTOS BÁSICOS .............................................................................................. 2 
 Ley financiera. Suma financiera. Postulado de equivalencia financiera. Saldo financiero. 
TEMA 3: MAGNITUDES DERIVADAS .............................................................................................. 3 
 Factor, rédito, rédito acumulado, tanto (de capitalización o de descuento). 
 Precio financiero: total, unitario y medio. 
TEMA 4: SISTEMAS FINANCIEROS ................................................................................................. 4 
 Capitalización simple. Capitalización compuesta. 
 Descuento comercial simple. Operaciones de descuento bancario. 
TEMA 5: RENTAS ........................................................................................................................... 5 
 Origen, final, duración. Valor capital o financiero. Clasificación de las rentas. 
TEMA 6: VALORACIÓN DE RENTAS (I) ........................................................................................... 6 
 Rentas constantes: pospagables, prepagables, perpetuas, diferidas y anticipadas. 
TEMA 7: VALORACIÓN DE RENTAS (II) .......................................................................................... 7 
 Rentas en progresión aritmética/geométrica. 
TEMA 8: VALORACIÓN DE RENTAS (III) ......................................................................................... 8 
 Rentas fraccionadas, continuas y de periodicidad superior a la unidad de tiempo. 
TEMA 9: OPER. DE AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS (I) ................................................................ 9 
 Ecuación dinámica del capital vivo. Ecuación fundamental de equivalencia financiera. 
 Capital vivo o saldo financiero. Capital total amortizado. 
TEMA 10: OPER. DE AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS (II)........................................................... 10 
 Métodos: francés, americano, americano con fondo, amortización constante. 
 Amortización con términos variables en progresión aritmética/geométrica. 
 Préstamo con períodos de carencia/diferimiento. 
TEMA 11: PRÉSTAMOS CON TIPOS DE INTERÉS REFERENCIADOS .............................................. 13 
 T.A. predeterminados; T.A. posdeterminados y plan de amort. predet./posdet. 
TEMA 12: VALOR FINANCIERO DEL PRÉSTAMO .......................................................................... 14 
 Valor financiero total, del usufructo y de la nuda propiedad. 
 Fórmula de Achard. Valoración en métodos particulares de amortización. 
 
2 
 
TEMAS 1 Y 2: CONCEPTOS BÁSICOS 
 
Ley financiera 
   
 
 
 
pProy , , ;
, ; para 
, ;
, ; para 
V C t F C t p
L C t p t p
F C t p
A C t p t p
 

 

 
Propiedades: (Ver pág. 27.) 
 
Suma financiera 
       
   
1 1 1 1
p p
1
, , ... , ,
Proy , Proy ,
n n
n
s s
s
C t C t C t S q
C t S q

   

 
 
Postulado de equivalencia financiera 
'S S 
Dado un punto de la operación, la suma financiera de la prestación (S) en ese punto 
coincide con la suma financiera de la contraprestación (S') en el mismo punto. 
 
Saldo financiero (o reserva matemática) 
Dado un punto q, descomponemos la prestación y la contraprestación así: 
 1S y 1S  se corresponden con la suma financiera de los capitales pasados, de la 
prestación y de la contraprestación respectivamente. 
 2S y 2S  se corresponden con la suma financiera de los capitales futuros, de la 
prestación y de la contraprestación respectivamente. 
El saldo financiero puede calcularse por 2 métodos equivalentes. 
Retrospectivo: 
1 1qR S S  Prospectivo: 2 2qR S S  
0qR   capital a favor de la prestación 
0qR   capital a favor de la contraprestación 
Debemos distinguir entre saldo a la izquierda  qR y saldo a la derecha  qR . 
 
3 
 
TEMA 3: MAGNITUDES DERIVADAS 
 
M.D. DE CAPITALIZACIÓN 
Factor de capitalización 
  21 2
1
, ;
C
u t t p
C
 
Fórmula alternativa: 
 
 
 
1
1 2
2
;
, ; 1
;
L t p
u t t p
L t p
  
Rédito de capitalización 
   0 0, ; , ; 1n nr t t p u t t p  
  2 2 10
1 1
, ; 1n
C C C
r t t p
C C

   
Rédito acumulado o referido a p 
   
     
1 2 p 1 2 2
1 2 1 2 2
, ; Proy , ; ,
, ; , ; ;
t t p r t t p t
t t p r t t p L t p


   
 
 
Fórmula alternativa: 
     1 2 1 2, ; ; ;t t p L t p L t p   
Tanto de capitalización 
 
 1 2
1 2
2 1
, ;
, ;
r t t p
t t p
t t
 

 
M.D. DE DESCUENTO 
Factor de descuento 
  11 2
2
, ;
C
v t t p
C
 
Fórmula alternativa: 
 
 
 
2
1 2
1
;
, ; 1
;
A t p
v t t p
A t p
  
Rédito de descuento 
   0 0, ; 1 , ;n nd t t p v t t p  
  1 2 10
2 2
, ; 1n
C C C
d t t p
C C

   
Tanto de descuento 
 
 1 2
1 2
2 1
, ;
, ;
d t t p
t t p
t t
 

 
 
PRECIO FINANCIERO 
(LEY DE CAPITALIZACIÓN) 
Precio financiero total o interés total: 
 2 1 1 1 2, ;I C C C r t t p    
Precio financiero unitario: 
 2 1 1 2
1 1
, ;
C CI
r t t p
C C

  
Precio financiero medio: 
 
 
 1 2 1 2
1 2 1 2 1
, ;
, ;
r t t pI
t t p
C t t t t
 
 
 
PRECIO FINANCIERO 
(LEY DE DESCUENTO) 
Precio financiero total o descuento: 
 2 1 2 1 2, ;D C C C d t t p    
Precio financiero unitario de descuento: 
 2 1 1 2
2 2
, ;
C CD
d t t p
C C

  
Precio financiero medio de descuento: 
 
 
 1 2 1 2
2 2 1 2 1
, ;
, ;
d t t pD
t t p
C t t t t
 
 
 
 
4 
 
TEMA 4: SISTEMAS FINANCIEROS 
 
CAPITALIZACIÓN SIMPLE 
   ; 1L t p i p t   
 0 1nC C ni  
0 0nI C C C n i     
Tantos equivalentes:  
m i
i
m
 
Magnitudes derivadas: 
 0
0
, ; ... 1nn
C
u t t p n i
C
     
   0 0, ; , ; 1n nr t t p u t t p n i    
 
 0
0
, ;
, ;
n
n
r t t p
t t p i
n
   
 
CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 
   
 
; 1
p t
L t p i

  
 0 1
n
nC C i  
 0 0 1 1
n
nI C C C i      
 
Intereses periódicos: 1s s sI C i  
Tantos equivalentes: 
  1 1
m
m
i i   
Magnitudes derivadas: 
   0
0
, ; ... 1
nn
n
C
u t t p i
C
    
     0 0, ; , ; 1 1 1
n
n nr t t p u t t p i     
 
   0
0
, ; 1 1
, ;
n
n
n
r t t p i
t t p
n n

 
  
 
DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE 
 0 1nC C nd  
SC nD C n d   
Tantos equivalentes:  
m d
d
m
 
 
OPERACIONES DE DESCUENTO BANCARIO 
Descuento comercial: 
C SCE C D G I    
Descuento financiero: 
'C SCE C D G G T I      
Efectivo que recibe el banco: 
B SCE C D G   
Leyenda: 
EC: efectivo que cobra el cliente 
C: nominal de la letra 
DSC: cuantía del descuento 
G: comisión por negociación 
G': corretaje (honorarios del notario) 
T: timbre de la letra 
I: impuestos 
 
5 
 
TEMA 5: RENTAS 
Conjunto de capitales financieros que han de hacerse efectivos en distintos 
vencimientos. 
Elementos básicos 
 
 
Valor capital o financiero 
Valor capital en q de una renta es la suma financiera en ese punto (q) de los capitales 
que la constituyen. 
 
Dos valores importantes: 
Valor inicial: El calculado en el punto t0. Valor final: El calculado en tn (o post.). 
 
Clasificación de las rentas 
Según… 
 Cuantía: constantes, variables. 
Casos particulares de las variables: progresión aritmética o geométrica. 
 Vencimiento de los términos: pospagables, prepagables. 
 Medida intervalos: discretas, continuas. (Nos centramos en las discretas.) 
 Duración: temporales, perpetuas. 
 Punto de valoración: dependiendo de cómo se calcula el valor financiero. 
o Inmediatas: valor actual en el origen; valor final en el final. 
o Diferidas: el valor actual se calcula antes del origen (según se indique en d). 
o Anticipadas: el valor final se calcula después del final (según se indique en h). 
 
6 
 
TEMA 6: VALORACIÓN DE RENTAS (I)Regla 6.1: Relación entre el valor actual y el valor final: 
 0 1
n
fV V i   0 1
n
fV V i

  
Regla 6.2: Relación entre las rentas prepagable (con diéresis) y pospagable: 
 1a aV V i   1n nV V i   1f fV V i  
 
Valoración de rentas constantes pospagables 
C = cuantía de la renta (constante) 
Valor actual: 0 n iV C a  Valor final: n n iV C s  
 1 1
n
n i
i
a
i

 
 
 1 1
n
n i
i
s
i
 
 
 
Valoración de rentas constantes prepagables 
Valor actual: 
0 n i
V C a  Valor final: n n iV C s  
 
1
1 1
n i n i n i
a a i a

     
1
1 1
n i n i n i
s s i s

    
 
Valoración de rentas constantes perpetuas 
Pospagables: 
1
lim
i n in
a a
i 
  Prepagables:  
1
1
i i
i
a a i
i 

   
* El valor final no puede calcularse. 
 
Valoración de rentas diferidas 
(d = períodos de diferimiento) 
 0 1
d
dV V i

  
 
Valoración de rentas anticipadas 
(h = períodos de anticipación) 
 1
h
f nV V i  
 
 
7 
 
TEMA 7: VALORACIÓN DE RENTAS (II) 
 
Valoración de rentas en progresión aritmética 
Notación: 
 1 ,C d n i
A  valor actual 
 1 ,C d n i
S  valor final 
C1  capital inicial d  incremento 
Pospagables: 
 1 1, n iC d n i
d d n
A C d n a
i i
 
      
 
 
   
 
1 1, ,
1
n
C d n i C d n i
S A i  
Prepagables: (Ver regla 6.2.) 
Perpetuas: 
 1 1,
1
C d i
d
A C
i i
 
  
 
 
Bonus: 
Para calcular la cuantía de un término en función de otro: 
 1 1sa a d s   
 
Valoración de rentas en progresión geométrica 
Notación: 
 1 ,C q n i
A  valor actual 
 1 ,C q n i
S  valor final 
C1  capital inicial q  razón 
Pospagables: 
 
 
1
1,
1 1
1
nn
C q n i
q i
A C
i q

 

 
 
   
 
1 1, ,
1
n
C q n i C q n i
S A i  
Caso especial  Cuando 1q i  : 
 1
1
, 1 1C q i n i
C n
A
i 



 
Prepagables: (Ver regla 6.2.) 
Perpetuas: 
Sólo tiene sentido si  1q i  . 
 1
1
, 1C q i
C
A
i q

 
 
 
 
8 
 
TEMA 8: VALORACIÓN DE RENTAS (III) 
 
Rentas fraccionadas 
Se calcula la renta fraccionada en función de la renta entera. 
 
 
m
a a
i
V V
j m
   
 
m
f f
i
V V
j m
  
(Ver ejercicios 8.3 hasta 8.6, a partir de la pág. 201.) 
Prepagables: Primero se calcula la renta de la pospagable, y luego: 
      1m m ma aV V i  
 
Rentas continuas 
Se calcula la renta continua en función de la renta entera. 
a a
i
V V
k
  a aV V 
 
Rentas de periodicidad superior a la unidad de tiempo 
Calcularemos una renta de n términos que vencen cada t periodos. 
Ejemplo: renta de 60 € cada 3 años, en 10 trienios.  n = 10, t = 3. 
0 nt i
t i
C
V a
s
  
 
9 
 
TEMA 9: OPER. DE AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS (I) 
(Se corresponde con el tema 10 del libro.) 
 
Ecuación dinámica del capital vivo 
 1 1s s s sC C i a   
 Cs: capital vivo o capital pendiente de amortizar (al final del período). 
(Es el saldo financiero a la derecha.) 
Podemos despejar el término amortizativo (as): 
   1 1
cuota de amortización cuota de interés
s s s s s s sa C C C i A I       
 
Ecuación fundamental de equivalencia financiera 
Equivalencia financiera en el origen: 
       
1 2
0 1 2 2 0
1
1 1 ... 1 1
n
n h
h
h
C a i a i a i C a i
   

          
Equivalencia financiera en el final: 
         
1 2
0 1 2 0
1
1 1 1 ... 1 1
n
n n n n n h
n h
h
C i a i a i a C i a i
  

           
 
Capital vivo o saldo financiero 
Método retrospectivo: 
1 1qR S S  
Método prospectivo: 
2 2qR S S  
Método recurrente: consiste en usar la ecuación del capital vivo. 
 El saldo financiero se calcula a la derecha. 
 Ver ejercicio 10.7 de la pág. 256. 
 
Capital total amortizado 
Es la suma de las cuotas de amortización pagadas hasta un momento dado. 
1
s
e
s h
h
M A

 0
e
s sM C C  
Además, el capital vivo es la suma de las cuotas de amortización pendientes. 
0
1 1 1
n s n s
e
s s h h s h
h h h
C C M A A A


  
       
10 
 
TEMA 10: OPER. DE AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS (II) 
(Se corresponde con los temas 11 y 12 del libro.) 
(Del 12 únicamente: 12.2; 12.3; 12.5) 
 
Método francés 
Los términos amortizativos y el tipo de interés son de cuantía constante. 
a) Ecuación de equivalencia financiera: 
0 n i
C a a  
b) Ley de variación de las cuotas de amortización: 
 
1
1 1
s
sA A i

  
c) Capital total amortizado: 
1
1
s
e
s h s i
h
M A A s

   
En el último período: 
0
0 1 1
e
n n i
n i
C
M C A s A
s
     
d) Capital vivo o saldo financiero: 
1. Método recurrente:  1 1s sC C i a   
2. Método retrospectivo:  0 1
s
s s i
C C i a s    
3. Método prospectivo: s n s iC a a   
4. En función del capital total amortizado: 
0
0 0 0 0 1
s ie
s s i s i s i
n i n i
sC
C C M C A s C s C
s s
 
          
 
 
 
 
Método americano simple 
El prestatario sólo paga intereses hasta el final, en donde paga la cuota amortizativa. 
0 1
1 1 0
0
...
e
n n
n
A C M
C C C


 
  
 
Términos amortizativos: 
0
0 0
s s s
n n n n
a I C i
a A I C C i
  
    
 
 
11 
 
Método americano con fondo 
Combina 2 operaciones: 
 Un préstamo por el método americano simple. 
 Una operación de constitución para formar el capital del préstamo. 
(Se realizan aportaciones para no tener que pagar tanto dinero al final.) 
Caso 1: La cantidad aportada mensual (f) al fondo es constante. 
0 n i
C f s

  
Cuantía que desembolsa el prestatario en cada período: 
s sa I f   
Montante constituido al final de un período: 
s n i
F f s

  
Capital pendiente de constituir o saldo neto de la operación conjunta: 
0s sC C F   
 
Método de cuota de amortización constante (o método italiano) 
Las cuotas de amortización son todas de la misma cuantía. 
0
0
e
n
C
C M n A A
n
     
Capital total amortizado: 
e
sM s A  
Capital vivo o saldo financiero: 
 0 ...
e
s sC C M n s A     
Caso particular: Tipo de interés constante 
Los intereses a pagar son decrecientes porque cada vez se debe menos dinero. 
Ley de variación de los términos amortizativos (varían en progresión aritmética): 
 1 1 1s s sa a Ai a a d s d Ai        
Para obtener el primer término amortizativo: 
0
1 1 o
C
a I A C i
n
    
 
12 
 
Amortización con términos variables en progresión geométrica 
Ecuación de equivalencia financiera: 
 10 ,a q n i
C A 
Capital vivo o saldo financiero: 
 Método retrospectivo: 
 
 10 ,
1
s
s a q s i
C C i S   
 Método prospectivo: 
 1 ,ss a q n s i
C A
 
 
Ley de variación de las cuotas de amortización: 
(…) (No usaremos esta fórmula en los ejercicios. Puede preguntarse teóricamente.) 
 
Amortización con términos variables en progresión aritmética 
(Similar al apartado anterior, pero usando rentas en progresión aritmética.) 
Ley de variación de las cuotas de amortización: 
(…) (No usaremos esta fórmula en los ejercicios. Puede preguntarse teóricamente.) 
A partir de esa fórmula se obtiene esta otra, que sí se usa en los ejercicios: 
 1 1 1
s
s s i
A A i d s     
 
Préstamo con períodos de carencia 
En los períodos de carencia sólo se paga cuota de interés. 
A lo largo del período de carencia se verifica: 1s sC C  
 
Préstamo con períodos de diferimiento 
En los períodos de diferimiento no se paga nada (ni amortización ni intereses). 
A lo largo de ese período se verifica:  0 1
s
sC C i  
 
13 
 
TEMA 11: PRÉSTAMOS AMORTIZABLES CON TIPOS DE 
INTERÉS REFERENCIADOS O INDICIADOS 
(Se corresponde con el tema 13 del libro.) 
 
Préstamos con tipos de interés referenciados: 
rj j d  
 j = tipo de interés nominal 
 jr = índice de referencia 
 d = margen o diferencialMétodo con t.a. predeterminados 
 El término amortizativo es constante. La duración es indefinida. 
 Las cuotas de interés y amortización se calculan en cada año. 
 
Método con t.a. posdeterminados y plan de amortización predeterminado 
 A priori, se conoce la duración y la cuota de amortización. 
 Las cuotas de interés se calculan en cada año. 
El término amortizativo es la suma: s s sa A I  
 
Método con t.a. posdeterminados y plan de amortización posdeterminado 
A priori, sólo se conoce la duración del préstamo. 
Se aplica el sistema francés generalizado. 
En cada revisión, se plantea la ecuación de equivalencia financiera para calcular los 
términos amortizativos que se pagarán hasta el siguiente período de revisión. 
1s s n s i
C a a   
 
14 
 
TEMA 12: VALOR FINANCIERO DEL PRÉSTAMO, DEL 
USUFRUCTO Y DE LA NUDA PROPIEDAD 
 
a) Valor financiero total: Es el valor actualizado, al tipo de interés de valoración i’, de 
los términos amortizativos pendientes de vencimiento. 
(Es similar a calcular el saldo financiero por el método prospectivo.) 
 
1
1
n s
h
s s h
h
V a i




  
b) Valor financiero del usufructo: El es el valor actualizado, al tipo de interés de 
valoración i', de las cuotas de interés pendientes de vencimiento. 
 
1
1
n s
h
s s h
h
U I i




  
c) Valor financiero de la nuda propiedad: El es el valor actualizado, al tipo de interés 
de valoración i', de las cuotas de amortización pendientes de vencimiento. 
 
1
1
n s
h
s s h
h
N A i




  
El valor financiero total puede expresarse así: s s sV U N  
 
Fórmula de Achard 
Permite calcular el usufructo en los préstamos con tipo de interés constante. 
 s s s
i
U C N
i
 

 
(No es necesario conocer la demostración de esta fórmula.) 
 
Valoración en métodos particulares de amortización 
 Método francés: ver ejercicio 14.4. 
 La nuda propiedad también puede calcularse calculando el valor actual de la 
renta de las cuotas de amortización (renta en progresión geométrica) . 
 Método americano: ver ejercicio 14.5 
 Método de cuotas de amortización constantes: ver ejercicio 14.6. 
 El valor financiero total también puede calcularse calculando el valor actual de 
la renta de los términos amortizativos (renta en progresión aritmética) . 
 Términos variables en progresión geométrica: ver ejercicio 14.4.4.