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MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA
PROYECTO MATECO 3.141593
Jesús Muñoz San Miguel
Diciembre 2022
PROYECTO MATECO 3.141593 es un proyecto de libro de Matemáticas pa-
ra la Economía que recoge resultados de carácter general y conocimiento co-
mún sobre los distintos temas de Matemáticas que el Departamento de Economía
Aplicada I de la Universidad de Sevilla imparte en los distintos grados y comen-
zó recogiendo material acumulado a lo largo del tiempo, tanto por mí como por
otros compañeros, por lo que también incluye algunos temas que se trataban en
las correspondientes licenciaturas. El proyecto está siempre en construcción y se
modifica sin previo aviso.
NO LO IMPRIMA
TARDE O TEMPRANO TENDRÁ UNA VERSIÓN OBSOLETA
Esta obra está editada bajo una licencia de Cultura Libre
Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional
http://personal.us.es/jmiguel/PROYECTOMATECO.html
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.es_ES
Índice general
Introducción 1
Introducción 1
El uso de los símbolos en matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
El sistema de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Nociones sobre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Nociones sobre funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Nociones sobre lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Sistemas de computación algebraica 9
I CÁLCULO DIFERENCIAL 17
1. Funciones reales de una variable real 19
1.1. Concepto de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2. Continuidad de funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3. Derivada de funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.1. La derivada como tasa de variación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.2. La función derivada y las reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.3. Consecuencias de la derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.4. Elasticidad de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.5. Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4. Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
i
ii ÍNDICE GENERAL
1.4.1. Funciones exponenciales y logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.2. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.4.3. Funciones trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.5. Aproximación lineal y diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.6. Aproximación no lineal y fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.7. Convexidad y concavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.8. Extremos de funciones reales de una variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2. Funciones reales de varias variables 75
2.1. El espacio n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.2. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.3. Derivadas parciales y vector gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.4. Aproximación lineal y diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.5. Derivadas sucesivas y matriz hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
II CÁLCULO INTEGRAL 135
3. Integral indefinida de funciones de una variable 137
3.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.2. Descomposición en integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.3. Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.4. Integración de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.5. Integración por cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.6. Integración de funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.7. Integración de funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
ÍNDICE GENERAL iii
4. Integral definida de funciones de una variable 179
4.1. La integral definida como área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.2. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5. Integrales de funciones de dos variables. 197
5.1. La integral doble como volumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.2. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
III ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA DE MATRICES 223
6. Matrices y sistemas lineales. 225
6.1. Matrices y operaciones con matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6.2. Determinantes de matrices cuadradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.3. Rango de una matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.4. Sistemas de ecuaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
6.5. Métodos clásicos de resolución de sistemas lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
7. El espacio vectorial Rn. 279
7.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
7.2. Las bases como sistemas de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
7.3. Subespacios vectoriales de Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
7.4. Operaciones con subespacios vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
8. Diagonalización 341
8.1. Introducción a las aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
8.2. Diagonalización de endomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
iv ÍNDICE GENERAL
8.3. Diagonalización de matrices cuadradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
9. Formas cuadráticas sobreℜn. 381
9.1. Expresión matricial y analítica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
9.2. Expresiones diagonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
9.3. Clasificación de formas cuadráticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
9.4. Clasificación de formas cuadráticas restringidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
IV CÁLCULO DIFERENCIALE INTEGRAL AMPLIADO 409
10. Cálculo de límites. 411
10.1. Límite de funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
10.2. Límite de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
10.3. Diferenciabilidad de funciones mediante límites dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
11. Integrales impropias. 421
11.1. Integrales impropias de primera especie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
11.2. Integrales impropias de segunda especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
11.3. Integrales impropias de tercera especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
12. Integrales dependientes de parámetros. 453
12.1. Integrales paramétricas definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
12.2. Integrales paramétricas impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
12.3. Funciones eulerianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
13. Teoremas relativos a la diferenciación. 463
13.1. Teorema de Euler para funciones homogéneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
ÍNDICE GENERAL v
13.2. Regla de la cadena para funciones vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
13.3. Teorema de la función implícita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
14. Aproximación no lineal de funciones 503
14.1. Fórmula de Taylor para funciones con una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
14.2. Fórmula de Taylor para funciones con varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
14.3. Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
15. Aproximación de funciones por series. 527
15.1. Sucesiones y series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
15.1.1. Sucesiones y series numéricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
15.1.2. Cálculo en diferencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
15.1.3. Sucesiones y series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
15.2. Desarrollo de Taylor en serie de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
V PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA 553
16. Introducción a la Programación Matemática 555
16.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
16.2. Resolución gráfica de problemas con dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
16.3. Resolución de problemas con Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
17. Programación no lineal 571
17.1. Programación no lineal sin restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
17.2. Programación no lineal con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
17.2.1. Multiplicadores de Lagrange y condiciones de Karush-Kuhn-Tucker . . . . . . . . 586
17.2.2. Interpretación económica de los multiplicadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592
vi ÍNDICE GENERAL
17.2.3. Optimalidad global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
17.2.4. Condiciones de optimalidad de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605
17.3. Planteamiento de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614
18. Programación lineal 627
18.1. Características de la Programación Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627
18.2. Algoritmo del simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629
18.2.1. Forma estándar de un programa lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629
18.2.2. Algoritmo primal del simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
18.2.3. Algoritmo dual del simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641
18.3. Análisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648
18.4. Formulación dual de un programa lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
18.5. Planteamiento de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670
VI ÁLGEBRA AMPLIADA 687
19. Números complejos y ecuaciones 689
20. Aplicaciones lineales 693
20.1. Concepto de aplicación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693
20.2. Caracterización de las aplicaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695
20.3. Operaciones con aplicaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
20.4. Cambio de base en aplicaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715
21. Exponencial de una matriz. 721
21.1. Formas canónicas de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721
21.2. Potencia de una matriz cuadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728
ÍNDICE GENERAL vii
21.3. Exponencial de una matriz cuadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732
22. Productos escalares y normas 741
22.1. Productos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741
22.2. Normas vectoriales y matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744
22.3. Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748
22.4. Diagonalización por congruencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752
23. Uso de parámetros y valores críticos. 755
VII SISTEMAS DINÁMICOS 773
24. Sistemas dinámicos continuos con una variable 775
24.1. Sistemas dinámicos continuos y ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775
24.2. El problema de valor inicial en un sistema de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 781
24.3. Resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783
24.3.1. Ecuaciones diferenciales separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783
24.3.2. Ecuaciones diferenciales homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784
24.3.3. Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes . . . . . . . . . . . . . . . 785
24.3.4. Ecuaciones diferenciales lineales y reducibles a ellas . . . . . . . . . . . . . . . . 788
24.4. Sistemas dinámicos lineales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792
24.4.1. Estructura de las soluciones de una ecuación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 792
24.4.2. Solución de las ecuaciones lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . 795
24.5. Sistemas dinámicos univariantes con Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803
24.6. Algunas aplicaciones económicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81125. Sistemas dinámicos continuos con varias variables 815
25.1. Sistemas dinámicos continuos y sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815
25.2. Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816
viii ÍNDICE GENERAL
25.2.1. Estructura de las soluciones de un sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817
25.2.2. Solución de sistemas de ecuaciones con coeficientes constantes . . . . . . . . . . 819
25.3. Solución de sistemas multivariantes con Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832
25.4. Estudio gráfico de sistemas autónomos con Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836
25.5. Algunas aplicaciones económicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840
26. Sistemas continuos autónomos y estabilidad 845
26.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845
26.2. Estabilidad de los sistemas univariantes de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848
26.3. Estabilidad de los sistemas multivariantes de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 850
26.4. Estabilidad de los sistemas univariantes de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852
26.5. Algunas aplicaciones económicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853
27. Sistemas dinámicos discretos 857
27.1. Sistemas dinámicos discretos y ecuaciones en diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857
27.2. Sistemas dinámicos lineales univariantes de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860
27.3. Sistemas dinámicos lineales univariantes de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 863
27.3.1. Estructura de las soluciones de una ecuación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 863
27.3.2. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866
27.4. Sistemas de ecuaciones lineales multivariantes de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . 874
27.4.1. Estructura de las soluciones de un sistema de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . 874
27.4.2. Sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . 877
27.5. Solución de sistemas discretos con Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886
28. Sistemas autónomos discretos y estabilidad 889
28.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889
28.2. Estabilidad de sistemas autónomos univariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894
28.2.1. Puntos fijos y diagramas de escalera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894
ÍNDICE GENERAL ix
28.2.2. Ciclos periódicos y sus órbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897
28.3. Estabilidad de sistemas lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 900
28.3.1. Sistemas dinámicos lineales univariantes de orden superior . . . . . . . . . . . . . 900
28.3.2. Sistemas dinámicos lineales multivariantes de primer orden . . . . . . . . . . . . 902
28.4. Algunas aplicaciones económicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907
VIII TEORÍA DE JUEGOS 909
29. Juegos no cooperativos con información completa estáticos 911
29.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911
29.2. Representación de juegos en forma estratégica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916
29.3. Resolución por dominancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918
29.4. Equilibrio de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923
29.5. Estrategias mixtas y equilibrio de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926
29.6. Juegos simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934
29.7. Juegos de suma cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935
29.8. Modelos de duopolio con competencia en cantidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941
30. Juegos no cooperativos con información completa dinámicos 947
30.1. Representación de juegos en forma extensiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947
30.2. Juegos con información perfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 950
30.3. Juegos con información imperfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955
30.4. Juegos repetidos finitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957
30.5. Juegos repetidos infinitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960
30.6. La tragedia de los comunes (juegos markovianos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964
31. Juegos no cooperativos con información incompleta estáticos 979
31.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979
31.2. Juegos bayesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981
x ÍNDICE GENERAL
31.3. Equilibrios en juegos bayesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984
31.3.1. Equilibrio en estrategias dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984
31.3.2. Equilibrio bayesiano de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986
32. Juegos cooperativos de utilidad transferible 997
32.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997
32.2. Forma coalicional de un juego UT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998
32.3. Soluciones de conjunto en juegos UT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003
32.4. Valores en juegos UT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007
32.5. Índices de poder en juegos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009
33. Dinámica de los modelos de Cournot 1013
33.1. Modelos de Cournot estáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014
33.1.1. Modelos con demanda lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016
33.1.2. Modelos con demanda isoelástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018
33.1.3. Modelos generales con concavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1020
33.2. Dinámica de mejor respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022
33.3. Modelos con ajuste dinámico de la respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027
33.3.1. Ajuste parcial de la producción propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027
33.3.2. Formación de expectativas sobre la producción rival . . . . . . . . . . . . . . . . 1032
33.3.3. Ajuste producción propia y formación expectativas sobre producción rival . . . . . 1035
33.4. Modelos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039
IX MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS 1045
34. Leyes financieras clásicas 1047
34.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047
34.2. Capitalización y descuento a tanto de interés vencido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051
34.3. Capitalización y descuento a tanto de interés anticipado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1060
34.4. Sustitución e intercambio de capitales financieros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067
ÍNDICE GENERAL xi
34.5. Características comerciales de las operaciones financieras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073
Ejerciciosdel tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085
35. Valoración de rentas 1091
35.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091
35.2. Valoración de rentas de términos constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092
35.3. Valoración de rentas de términos variables en progresión aritmética y geométrica . . . . . 1101
35.4. Valoración de rentas fraccionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115
36. Amortización de préstamos 1119
36.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119
36.2. Préstamos elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122
36.3. Préstamos amortizados mediante una renta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126
36.3.1. Sistemas de amortización basados en la forma de realizar los pagos . . . . . . . . 1126
36.3.2. Sistemas de amortización basados en la forma de devolver el principal . . . . . . . 1130
36.3.3. Cuadros de amortización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132
36.3.4. Periodos de carencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133
36.4. Valor financiero de un préstamo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136
36.5. Características comerciales de los préstamos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1140
36.5.1. Cancelación de un préstamo total y parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1140
36.5.2. Tantos de interés efectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147
X OPTIMIZACIÓN DINÁMICA 1151
37. Control óptimo continuo 1153
37.1. Introducción a los métodos variacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153
37.2. Fundamentos del control óptimo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164
37.3. Principio del óptimo de Pontryagin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166
xii ÍNDICE GENERAL
37.4. Condiciones de transversalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188
37.5. Interpretación económica del principio del máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207
37.6. Hamiltoniano en valor corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209
37.7. Problemas con horizonte infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1211
Bibliografía 1217
Introducción
El uso de los símbolos en matemáticas.
En el estudio de las matemáticas lo primero que necesitamos es conocer su lenguaje y, en particular, sus
símbolos. Algunos símbolos, que reciben el nombre de constantes lógicas, representan un objeto matemáti-
co definido, como los números (0, 1,
√
2, π). Otros símbolos son las variables y se utilizan para representar
un elemento no especificado de un conjunto dado. Dicho conjunto recibe el nombre de conjunto universal de
la variable o dominio de variación, en el cual cada elemento del conjunto es un posible valor de la variable.
Además también se emplean otros símbolos para representar operaciones y relaciones entre constantes
lógicas y variables. Estos símbolos reciben el nombre genérico de signos y son de tres clases: signos de
operación, signos de relación y signos de agrupación. Los signos básicos de operación son: suma, resta,
multiplicación y división, que se indican con los correspondientes signos de la aritmética. Los signos de
relación se emplean para indicar la relación que existe entre dos cantidades y los principales son el signo
igual y los signos de mayor y menor. Como signos de agrupación se utilizan paréntesis, corchetes y llaves
e indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero.
Por ejemplo, cuando escribimos x2 − 16 = (x + 4)(x − 4), los símbolos 16 y 4 son números concretos y
la letra x es un símbolo que representa a un número cualquiera. El signo igual nos indica que la expresión
a su izquierda es igual a la expresión a su derecha. El número 2 sobre la x nos indica que debemos elevar
la variable al cuadrado y los signos + y − que debemos sumar o restar los números correspondientes a la
variable. Los paréntesis nos indican que debemos sumar y restar 4 a la variable antes de multiplicar.
Este tipo de expresiones reciben el nombre de igualdades y son de dos tipos. Tenemos una ecuación
cuando la variable x es el símbolo de un número desconocido que queremos averiguar y en este caso
los números que verifican la ecuación reciben el nombre de soluciones de la ecuación. En determinados
1
INTRODUCCIÓN
casos, como en el ejemplo que hemos visto, la igualdad es válida para cualquier número representado por
la variable x. En este caso decimos que la igualdad es una identidad y a veces sustituimos el signo de
igualdad (=) por el el símbolo de identidad (≡). El signo de igualdad también se usa de otras formas, por
ejemplo, para definir funciones como f (x) = 3x + 1 o en fórmulas como A = πr2, la cual nos permite
obtener el área de un círculo, A, en función de su radio, r.
Cuando se trabaja con varias variables utilizamos letras distintas para representarlas. Normalmente, las
cantidades desconocidas y las variables de las funciones se representan por las últimas letras del alfabeto
(x, y, z) y las cantidades conocidas o fijas por las primeras letras del alfabeto (a, b, c). También utilizamos
estas letras cuando en una expresión queremos representar constantes numéricas que pueden tomar distintos
valores, en cuyo caso reciben el nombre de parámetros. Si el número de variables es grande utilizamos
subíndices para distinguir unas de otras (x1, x2, . . .).
El sistema de los números reales.
Los números que usamos para contar son los llamados naturales (1, 2, 3, . . . ) y forman un conjunto que
se representa por N. Las reglas de la aritmética; adición, sustracción, multiplicación y división; hacen que
aparezca otro tipo de números, como el cero (0) y los números negativos (-1, -2, -3, . . . ), que junto a los
naturales forman los números enteros, cuyo conjunto se representa por Z.
La multiplicación y la división hacen que aparezcan los números racionales, que son los que se pueden
escribir en la forma a/b, donde a y b son enteros. El conjunto de números racionales se representa por Q e
incluye a los números enteros, ya que un entero n se puede representar por n/1.
Operaciones más complejas hacen que aparezcan números, como
√
2, que no corresponden a ninguna
fracción. Esto lleva a ampliar el conjunto de números al conjunto de los números reales, que se representará
porR, para lo que vamos a construir una recta que nos va a permitir representar todo tipo de números como
la longitud de un segmento: la recta real.
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INTRODUCCIÓN
Para construir la recta real se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta que represente el
cero o punto origen y se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente
al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica. Cada punto sobre esta recta es un número. Los
números naturales son los correspondientes múltiplos de la longitud del segmento a la derecha del origen y
los enteros negativos los situados a su izquierda.
Los números racionales positivos representados por a/b corresponden a la división del segmento que
representa a a en b partes y los racionales negativos son análogos pero a la izquierda del origen. De este
modo, cada número racional se puede asociar a un punto de la recta real. Sin embargo, no todos los puntos
de ella representan números racionales. Los números irracionalescorresponden a los puntos que quedan en
la recta real después de que se hayan marcado en ella los racionales. Entre ellos están:
√
2, que corresponde
a la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1; π, que corresponde a la longitud de una circunferencia
de diámetro 1: o el número e, que no corresponde a ninguna longitud fácil de definir.
Como los números racionales son insuficientes para medir todas las longitudes posibles, se utiliza la
notación decimal en la que cada combinación de dígitos (0, 1, 2, ..., 9) define un número como una suma de
dígitos por potencias de 10. Por ejemplo, 176 = 1× 102 + 7× 101 + 6× 100. De esta forma se puede obtener
todo número natural y, con el uso de los signos + y -, todos los enteros, tanto positivos como negativos.
La coma decimal permite obtener algunos números racionales no enteros, como, por ejemplo 54 :
5
4 =
1, 25 = 1 + 2 × 110 + 5 ×
1
102 . Sin embargo, con un número finito de cifras decimales no se obtienen todos
los racionales. Para obtener todos los números racionales se consideran fracciones decimales periódicas, en
las que se repite indefinidamente una sucesión finita de dígitos a partir de un cierto lugar en la expresión
decimal, como, por ejemplo, 11/7 = 1, 571428 571428 . . ..
Al incluir las fracciones decimales arbitrarias se obtienen todos los números reales, de forma que un
número real es un número de la forma
±m, α1α2α3 . . .
donde m es un entero y αn (n = 1,2...) son dígitos del 0 al 9.
La expresión decimal de un número, que no siempre es fácil de obtener, nos permite además distin-
guir los números racionales de los irracionales: las fracciones decimales periódicas son números racio-
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INTRODUCCIÓN
nales y las fracciones decimales no periódicas son números irracionales. Por ejemplo, son irracionales
π = 3, 14159265358979 . . . y e = 2, 71828182845904 . . .
Es importante señalar que las operaciones de la aritmética entre números reales tienen como resultado
números reales, excepto la división por cero, que no está definida.
Nociones sobre conjuntos.
Aunque no hemos definido formalmente lo que es un conjunto, hemos visto algunos conjuntos de nú-
meros: los naturales, enteros, racionales y reales. Lo que los caracteriza es que forman una colección de
objetos de la misma naturaleza que se ven como un todo. Estas colecciones se llaman conjuntos y los obje-
tos son los elementos del conjunto. Se considera que dos conjuntos son iguales si cada elemento de uno es
un elemento del otro. Sólo hay un conjunto que no tiene elementos: el conjunto vacío, que se denota por ∅.
La manera más sencilla de definir un conjunto es dar una lista de sus elementos entre dos llaves (el
orden no importa). Sin embargo, este tipo de definición sólo es posible para conjuntos finitos y algunos
conjuntos son infinitos. En este último caso, una forma de definir el conjunto es caracterizar a sus elementos,
determinando qué tipo de elementos son y cuáles son sus propiedades.
Por ejemplo, para definir el intervalo de números reales comprendidos entre dos números a y b (con
a < b) distinguimos dos casos
(a, b) = {x ∈ R/a < x < b} abierto [a, b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b} cerrado
En ambas definiciones se usan llaves { } para designar al conjunto, que se define en dos partes. A la
izquierda de la barra se designa un elemento típico del conjunto (la barra / se lee tal que y a veces se
sustituye por dos puntos). En nuestro caso, el símbolo ∈, que se lee pertenece, nos indica que un elemento
del conjunto, x, pertenece al conjunto de los números reales, R. A la derecha de la barra se especifica la
propiedad (o propiedades) que cumplen los elementos del conjunto. En ambos casos, nos indican que los
elementos del conjunto están entre a y b. En el primer caso no se incluyen los extremos y en el segundo sí.
Otro concepto importante dentro de la teoría de conjuntos es el de subconjunto. De forma que un con-
junto A es un subconjunto de un conjunto B si todos los elementos de A son también elementos de B. Se
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INTRODUCCIÓN
escribe A ⊆ B y se lee A está contenido en B. Si son conjuntos distintos decimos que A es un subconjunto
propio de B.
Las operaciones básicas entre conjuntos son unión, intersección y diferencia de conjuntos:
A unión B son los elementos que pertenecen a cualquiera de los dos conjuntos:
A ∪ B = {x/x ∈ A ó x ∈ B}
A intersección B son los elementos que pertenecen a ambos conjuntos:
A ∩ B = {x/x ∈ A y x ∈ B}
A menos B son los elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B:
A \ B = {x/x ∈ A y x < B}
▶ El símbolo < indica que un elemento no pertenece al conjunto y se lee x no pertenece a B.
Nociones sobre funciones
Una regla que asocia a los elementos de un conjunto origen elementos de otro conjunto final recibe
el nombre de correspondencia. Cuando a los elementos del conjunto origen les asigna un único elemento
del conjunto final recibe el nombre de aplicación y si los elementos de ambos conjuntos son números
el de función (real de variable real). En este último caso podemos representar la relación entre ambos
gráficamente consideramos el conjunto de puntos del plano
Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/ f (x) = y}
Por ejemplo, la regla que a cada número le asigna su cuadrado, f (x) = x2, es una función, ya que un
número tiene un único cuadrado. Sin embargo, la regla que a cada número le asigna el número del que es
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INTRODUCCIÓN
cuadrado no es una función, ya que a un número positivo le asocia dos números (4 es el cuadrado de 2
y -2). En ambos casos tenemos una ecuación que relaciona un número con su cuadrado, y = x2 e x = y2
respectivamente, pero en el segundo caso no tenemos una función.
Podemos definir una función mediante varias reglas parciales sin más que comprobar que en los puntos
comunes estas reglas definen el mismo número. Por ejemplo, la función valor absoluto es
f (x) = |x| =

x si x ≥ 0
−x si x ≤ 0
Nociones sobre lógica
Hay afirmaciones que son ciertas o falsas, a las que llamanos enunciados o proposiciones. Sin embargo,
cuando una afirmación incluye variables no siempre se puede afirmar que sea cierta o falsa. Por ejemplo,
la expresión x > 1 no es ni verdadera ni falsa, y no lo será hasta que no reemplacemos a la variable x por
algún número. Este tipo de expresiones reciben el nombre de proposiciones abiertas y es posible darles un
valor de verdad si se utilizan cuantificadores.
Un cuantificador es una expresión que afirma que una condición se cumple para un cierto número de
individuos. Dos de estos cuantificadores son el cuantificador universal y el cuantificador existencial. El
primero afirma que una condición se cumple para todos los individuos de los que se está hablando y se
representa por el símbolo ∀ (que se lee para todo). El segundo afirma que la condición se cumple para al
menos uno de los individuos y se representa por el símbolo ∃ (que se lee existe). Así, podemos asignar
un valor de verdad a la expresión ∀x : x > 1. Sin embargo, esta expresión es falsa si consideramos que
el dominio de variación de x son todos los números reales y verdadera si consideramos que el dominio
de variación son todos los naturales pares. Por tanto, en una proposición es imprescindible especificar el
dominio de variación de las variables.
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INTRODUCCIÓN
También hay proposiciones que se construyen a partir de otras proposiciones, como x ≥ 0, que es una
abreviatura de la proposición x > 0 ó x = 0. Esta proposición será verdadera bien si x es positiva o bien
si x es cero. Para representar situaciones parecidas, construimos a partir de otras proposiciones una nueva
proposición cuyo valor de verdad depende del valor de verdad de las proposicionesque la forman. Para ello,
utilizamos las conectivas lógicas:
p ∧ q es la proposición que es verdadera sólo cuando son verdaderas p y q (se lee p y q).
p ∨ q es la proposición que es verdadera si p es verdadera o q es verdadera (se lee p o q).
¬p es la proposición que es verdadera si p es falsa y falsa si p es verdadera (se lee no p).
p⇒ q es la abreviatura de ¬p∨q y es verdadera cuando p y q son dos proposiciones tales que cuando
p es verdadera lo es también q (se lee p implica q).
p ⇔ q es la abreviatura de (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) y es verdadera cuando p y q son dos proposiciones
tales que p es verdadera si y sólo sí q es verdadera (se lee p si y sólo sí q).
En un razonamiento lógico utilizamos la implicación (⇒) y la equivalencia (⇔) para llevar el control de
cada paso, de forma que cuando tenemos proposiciones abiertas, el uso de una implicación p⇒ q significa
que para cada valor de la variable para el que p sea verdadera también lo es q y el uso de la equivalencia
p⇔ q añade que sólo es válida q para esos valores de la variable.
También utilizamos las implicaciones y equivalencias para enunciar teoremas, ya que todo teorema se
puede formular como una implicación P ⇒ Q en la que P representa una o varias proposiciones, que
son las premisas del teorema ,y Q representa una o varias proposiciones, que son sus conclusiones. En
este contexto, si es cierto que P ⇒ Q decimos que P es una condición suficiente para Q o que Q es una
condición necesaria para P. Si es cierto que P⇔ Q decimos que P es una condición necesaria y suficiente
para Q (o que Q es una condición necesaria y suficiente para P).
Para demostrar un resultado del tipo P ⇒ Q empezamos en las premisas P y mediante implicaciones
sucesivas llegamos hasta la conclusión Q. Esta técnica se llama una demostración directa. Sin embargo,
a veces hay que dar una demostración indirecta de la implicación. En este caso partimos de que Q no es
cierta y, sobre esta base, probamos que P tampoco puede ser cierta. Para ello nos basamos en que p ⇒ q
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INTRODUCCIÓN
es equivalente a ¬q ⇒ ¬p. Un tercer método de demostración basado en esta equivalencia es la reduc-
ción al absurdo, en la que suponemos simultáneamente que P es cierta y que Q no lo es. Al llegar a una
contradicción tenemos demostrado el teorema.
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Sistemas de computación algebraica
Un sistema de computación algebraica o CAS (Computer Algebra System) es un programa desarrollado
como herramienta específica para Matemáticas que realiza cálculos simbólicos y trata las expresiones como
símbolos, evitando realizar aproximaciones. La mayoría de los CAS se divide en dos partes: un núcleo que
realiza los cálculos y una interfaz que introduce datos y recibe resultados. En nuestro caso, utilizaremos
Maxima, que además de ser software libre gratuito, tiene versión para android y, al no tener propósito
comercial, proporciona toda la información sobre los algoritmos que utiliza para los cálculos. El núcleo del
sistema es el propio Maxima y la interfaz es un programa externo, que en nuestro caso va a ser WxMaxima.
La interfaz se comunica con el núcleo mediante archivos que reciben el nombre de hojas de trabajo
(worksheets). El núcleo procesa las órdenes que recibe de ella, para lo que dispone de procedimientos
y funciones pre-programadas a las que nos referiremos como comandos para evitar confusiones con las
funciones que analizamos. Las órdenes se denominan inputs y siguen, con algunas diferencias, la notación
matemática usual. Una vez introducidos se envían al núcleo pulsando “Intro” que los procesa y devuelve
una o varias salidas con los resultados, que se denominan outputs. Al evaluar una instrucción si queremos
que muestre el resultado terminamos con un punto y coma y si no con el símbolo del dolar.
Independientemente de que se muestren o no, los outputs van siendo numerados y nos podemos referir
a ellos por su número, %on para el output n, o por su posición relativa respecto al input que estamos
introduciendo, % para el último calculado y %th(n) para el output n pero contando hacia atrás.
▶ Si hay algún error el núcleo devuelve un mensaje con el error y no realiza ningún cálculo.
▶ Al introducir el signo de cierre de interrogación seguido del nombre de un comando ? comando, nos
aparece un breve resumen tanto de su formato como de su uso.
Además de los comandos más o menos básicos que incluye Maxima, hay conjuntos de comandos rela-
cionados que reciben el nombre de paquetes para poder utilizarlos se cargan con el comando load(paquete).
9
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_4.html#IDX15
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_4.html#IDX17
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_4.html#IDX18
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_13.html#IDX561
SISTEMAS DE COMPUTACIÓN ALGEBRAICA
Tanto para las entradas de algunos comandos como para sus salidas se utilizan listas, que son conjuntos
ordenados de elementos de cualquier tipo, encerrados entre paréntesis y separados por comas (pueden ser
también listas)
[elem1, . . . elemn]
Estas listas son fundamentales en un CAS y en Maxima podemos generarlas siguiendo un patrón, para
lo que hay dos comandos con ligeras diferencias: makelist y create_list.
( % i1) makelist (x=i, i, [a, b, c]); /*create_list (x=i, i, [a, b, c]);*/
[x = a, x = b, x = c] ( % o1)
( % i2) makelist (aˆi, i, 1,10); /*create_list (aˆi,i,1,10);*/
[a, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10] ( % o2)
( % i3) makelist (aˆi, i, 1,10,2); /* con salto (2)*/
[a, a3, a5, a7, a9] ( % o3)
( % i4) create_list (iˆj, i, 1,3, j, 1,3); /* doble iteración*/
[1, 1, 1, 2, 4, 8, 3, 9, 27] ( % o4)
▶ Para extraer elementos de una lista utilizamos el comando part, donde para extraer el elemento i de
la lista list en vez de part(list, i) podemos escribir list[i] y si este elemento es una lista para extraer de ella
directamente su elemento j escribimos list[i][ j] o part(list, i, j)
Maxima incluye la mayoría de los símbolos y funciones matemáticas, así como múltiples comandos. El
formato básico es el que se emplea normalmente al escribir expresiones matemáticas y para hacer operacio-
nes solo hemos de introducir la expresión. Así, para sumar y restar usamos los signos + y -. Para multiplicar
y dividir usamos el signo * y la barra /. Para elevar un número a otro utilizamos el signo ˆ.
PROYECTO MATECO 3.141593 Página 10
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_5.html#IDX138
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_5.html#IDX125
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_8.html#IDX268
http://personal.us.es/jmiguel/PROYECTOMATECO.html
SISTEMAS DE COMPUTACIÓN ALGEBRAICA
Los comandos se escriben en minúsculas y tienen el nombre en inglés correspondiente a la función o ac-
ción que realizan (sus opciones también tienen nombres descriptivos y no las comentaremos normalmente).
En particular, utilizamos el comando expand para hacer que Maxima desarrolle los cálculos simbólicos.
( % i1) 2+5*3ˆ2;
47 ( % o1)
( % i2) (a+b)ˆ2;
(b + a)2 ( % o2)
( % i3) expand( %);
b2+2ab+a2 ( % o3)
( % i4) (a+b)*(a-b);
(a − b) (b + a) ( % o4)
( % i5) expand( %);
a2 − b2 ( % o5)
( % i6) 2*cos(5* %pi/6);
−
√
3 ( % o6)
( % i7) float( %);
−0.86602540 ( % o7)
( % i8) log(2* %e);
log (2 %e) ( % o8)
( % i9) float( %);
1.693147 ( % o9)
Como variables podemos utilizar cualquier letra o combinación de caracteres y en ellas podemos alma-
cenar cualquier tipo de elemento. Para realizar la asignación se utiliza el signo de dos puntos simple (:) o
doble (::), cuya diferencia es que el segundo evalúa ambos lados de la asignación.
( % i1) a:2;
2 ( % o1)
( % i2) aˆ3;
8 ( % o2)
( % i3) a:a+x;
x + 2 ( % o3)
Maxima permite definir funciones, para lo que se utiliza el signo igual precedido de dos puntos (:=), de
forma que para calcularsu valor en un punto solo hay que indicarlo. Otra forma de definir una función es
mediante el comando define que siempre evalúa la expresión con la que definimos la función y se utiliza
para definir funciones que dependen de otras funciones
( % i1) f(x):=xˆ2+1;
f(x) := x2 + 1 ( % o1)
( % i2) f(2);
5 ( % o2)
( % i3) define(g(x),f(x+1)-1);
g(x) := (x + 1)2 ( % o28)
El signo igual (=) se utiliza tanto en igualdades y ecuaciones como para indicar los valores de una
variable, en cuyo caso se calcula el correspondiente valor de la función utilizando los comandos ev y at. La
diferencia se aprecia al sustituir en ciertas expresiones, ya que el comando ev realiza la sustitución antes de
evaluar la expresión y el comando at después. Siempre podemos impedir la evaluación de una expresión
anteponiendo un apostrofe (’) y forzar su evaluación anteponiendo dos (”):
Página 11 PROYECTO MATECO 3.141593
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_9.html#IDX299
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_6.html#IDX201
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_6.html#IDX202
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_6.html#IDX204
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_36.html#IDX1490
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_6.html#IDX200
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_7.html#IDX220
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_18.html#IDX795
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_7.html#IDX218
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_7.html#IDX219
http://personal.us.es/jmiguel/PROYECTOMATECO.html
SISTEMAS DE COMPUTACIÓN ALGEBRAICA
( % i4) ev(f(x),x=2);
5 ( % o4)
( % i5) at(f(x),x=2);
5 ( % o5)
( % i6) ’f(2);
f(2) ( % o6)
Para definir una función a trozos utilizamos una evaluación condicional del tipo
si condición entonces acción 1 en otro caso acción 2
mediante la instrucción if cond then ac1 else ac2.
Por ejemplo, la función valor absoluto se puede definir con una evaluación condicional (hay un comando
para su cálculo directo, abs):
( % i1) f(x):=if x≥0 then x else -x;
f(x) := if x>=0 then x else−x ( % o1)
Para calcular la derivada de la función en un punto genérico utilizamos el comando diff , con distintas
opciones para sustituir en un punto (también calcula las derivadas sucesivas).
( % i1) C(x):=log(xˆ2-4)$
diff(C(x),x);
2x
x2 − 4
( % o2)
( % i3) ev( %,x=4); /* Alternativas: at( %,x=4)$ ev(”(diff(C(x),x)),x=4)$ at(diff(C(x),x),x=4)$ */
2
3
( % o3)
( % i4) diff(C(x),x,2);
2
x2 − 4
−
4x2(
x2 − 4
)2 ( % o4)
PROYECTO MATECO 3.141593 Página 12
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_37.html#IDX1555
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_10.html#IDX326
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_18.html#IDX809
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SISTEMAS DE COMPUTACIÓN ALGEBRAICA
Para funciones de dos o más variables utilizamos el mismo comando
( % i1) f(x,y):=sin(2*x+yˆ2- %pi);
f (x , y) := sin
(
2x + y2 − π
)
( % o1)
( % i2) diff(f(x,y),x);
−2 cos
(
y2 + 2x
)
( % o2)
( % i3) diff(f(x,y),y);
−2y cos
(
y2 + 2x
)
( % o3)
( % i4) G:jacobian([f(x,y)],[x,y]); /* Vector gradiente */
(
−2 cos
(
y2 + 2x
)
−2y cos
(
y2 + 2x
))
( % o4)
( % i5) diff(f(x,y),x,2);
4 sin
(
y2 + 2x
)
( % o5)
( % i6) diff(f(x,y),x,1,y,1);
4y sin
(
y2 + 2x
)
( % o6)
( % i7) diff(f(x,y),y,2);
4y2 sin
(
y2 + 2x
)
− 2 cos
(
y2 + 2x
)
( % o7)
( % i8) H:hessian(f(x,y),[x,y]); /* Matriz hessiana */
 4 sin
(
y2 + 2x
)
4y sin
(
y2 + 2x
)
4y sin
(
y2 + 2x
)
4y2 sin
(
y2 + 2x
)
− 2 cos
(
y2 + 2x
)
 ( % o8)
Página 13 PROYECTO MATECO 3.141593
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SISTEMAS DE COMPUTACIÓN ALGEBRAICA
En Maxima las matrices tienen una estructura específica y hay comandos cuya entrada y salida es una
matriz. Muchas veces, para poder aplicarles algún comando que no trabaja con matrices, necesitamos trans-
formarlas en listas. En este caso, los elementos de la lista serán sus filas en forma de listas
Por ejemplo, el vector gradiente y la matriz hessiana que hemos calculado directamente son matrices, y
para transformarlos en listas de listas utilizamos el comando args.
( % i9) args(G);
[[−2 cos
(
y2 + 2x
)
,−2y cos
(
y2 + 2x
)
]] ( % o9)
( % i10) args(H);
[[4 sin
(
y2 + 2x
)
, 4y sin
(
y2 + 2x
)
] ,[4y sin
(
y2 + 2x
)
, 4y2 sin
(
y2 + 2x
)
− 2 cos
(
y2 + 2x
)
]] ( % o10)
Para construir una matriz a partir de sus filas utilizamos el comando matrix, que indica a Maxima que
tenemos una matriz:
( % i1) A:matrix ([a,b], [c, d]);
a bc d
 (A)
( % i2) apply(’matrix,[[a,b],[c,d]]);
a bc d
 ( % o2)
En Maxima podemos construir una matriz mediante una fórmula basada en los subíndices del elemento
con el comando genmatrix. En particular, aunque hay comandos para ello, podemos generar la matriz nula
de orden m × n (formada solo por ceros) y la matriz identidad de orden n (cuadrada y formada por unos
en la diagonal principal y ceros en el resto)
θ = (0)m,ni, j=1 I = (δi j)
n,n
i, j=1 con δi j =

1 si i = j
0 si i , j
donde la función δi j recibe el nombre de delta de Kronecker y en Maxima el comando es kron_delta:
PROYECTO MATECO 3.141593 Página 14
https://maxima.sourceforge.io/docs/manual/es/maxima_8.html#IDX231
https://maxima.sourceforge.io/docs/manual/es/maxima_23.html#IDX970
https://maxima.sourceforge.io/docs/manual/es/maxima_23.html#IDX959
https://maxima.sourceforge.io/docs/manual/es/maxima_35.html#IDX1437
http://personal.us.es/jmiguel/PROYECTOMATECO.html
SISTEMAS DE COMPUTACIÓN ALGEBRAICA
( % i2) genmatrix (lambda ([i, j], 0), 3, 2);
zeromatrix (3, 2)$ /*mejor opción*/

0 0
0 0
0 0
 ( % o2)
( % i4) genmatrix (lambda ([i, j], kron_delta(i,j)), 3, 3);
ident(3)$ /*mejor opción*/

1 0 0
0 1 0
0 0 1
 ( % o3)
Maxima calcula directamente muchas funciones sobre matrices. Así, el determinante de una matriz
se calcula con el comando determinant y su rango con el comando rank, que no distingue los distintos
casos que aparecen en una matriz con parámetros. También calcula sus autovalores y autovectores con los
comandos eigenvalues y eigenvectors
Los menores de una matriz se pueden obtener con el comando submatrix
( % i1) A:genmatrix(lambda([i,j], a[i,j]), 3, 4);

a1,1 a1,2 a1,3 a1,4
a2,1 a2,2 a2,3 a2,4
a3,1 a3,2 a3,3 a3,4
 ( % o1)
( % i2) submatrix(1,A,2,3);
a2,1 a2,4a3,1 a3,4
 ( % o2)
Para resolver un sistema utilizaremos el comando solve que si el sistema es lineal distingue si es in-
compatible o compatible, tanto determinado como indeterminado, en cuyo caso introduce los parámetros
necesarios (numerándolos a medida que aparecen en la sesión:
( % i1) sist:[2*x+2*y+5*z=21,2*x-y+z=6];
[5z + 2y + 2x = 21, z − y + 2x = 6] (sist)
( % i2) solve(sist,[x,y,z]);
[[x = −
7 %r1 − 33
6
,
y = −
4 %r1 − 15
3
,
z = %r1]]
( % o2)
( % i3) sist:[2*x+2*y+5*z=21,2*x+2*y+5*z=6];
[5z+2y+2x = 21, 5z+2y+2x = 6] (sist)
( % i4) solve(sist,[x,y,z]);
[] ( % o4)
Para la representación gráfica utilizamos el paquete draw a través de wxMaxima. En este caso, podemos
incluir los gráficos en el documento anteponiendo a los comandos el prefijo "wx".
Página 15 PROYECTO MATECO 3.141593
https://maxima.sourceforge.io/docs/manual/es/maxima_23.html#IDX935
https://maxima.sourceforge.io/docs/manual/es/maxima_23.html#IDX981
https://maxima.sourceforge.io/docs/manual/es/maxima_23.html#IDX953
https://maxima.sourceforge.io/docs/manual/es/maxima_23.html#IDX955
https://maxima.sourceforge.io/docs/manual/es/maxima_23.html#IDX990
https://maxima.sourceforge.io/docs/manual/es/maxima_20.html#IDX887
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_47.html#IDX1974
http://personal.us.es/jmiguel/PROYECTOMATECO.html
SISTEMAS DE COMPUTACIÓN ALGEBRAICA
Así, podemos representarfunciones explícitas en las que la variable dependiente depende directamente
de la función y funciones implícitas en las que tenemos una relación entre las variables dependiente e
independiente. Otra posibilidad es representar la gráfica en forma paramétrica (válida para cualquier curva
descrita por parámetros).
( % i1) wxdraw2d(explicit(xˆ2, x, -10,10))$
( %i2) wxdraw2d(implicit(xˆ2=y, x, -10,10,y,0,100))$
( %i3) wxdraw2d(parametric(k,kˆ2,k,-10,10));$
Para funciones de dos variables podemos representar la función y sus curvas de nivel, tanto juntas como
por separado
( % i4) wxdraw3d(explicit(xˆ2+yˆ2,x, -5,5,y,-5,5))$
wxdraw3d(explicit(xˆ2+yˆ2,x,-5,5,y,-5,5),contour=map)$
wxdraw3d(explicit(xˆ2+yˆ2,x, -5,5,y,-5,5),contour=both)$
wxcontour_plot(xˆ2+yˆ2, [x, -5,5],[y,-5,5]);
( % t1 % t2)
( % t3 % t4)
PROYECTO MATECO 3.141593 Página 16
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Bloque I
CÁLCULO DIFERENCIAL PARA
FUNCIONES REALES DE VARIABLES
REALES
17
Tema 1
Funciones reales de una variable real
1.1. Concepto de función
Definición 1.1 Una función (real de variable real) es una correspondencia (o regla), f , que a cada número
x le asigna un único valor f (x). ♣
Definición 1.2 Sea f : D ⊆ R −→ R una función
El dominio de f , D, son los puntos en los que está definida
Dom( f ) = {x ∈ R/∃ f (x)}.
La imagen, rango o recorrido de f son los valores que toma en R
Im( f ) = {y ∈ R/∃x ∈ D con f (x) = y}.
La gráfica de f es su representación en el plano formada por el conjunto de puntos
Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/ f (x) = y}. ♣
Ejemplo 1.3
19
Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL
La función f (x) = c está definida para todo número y sólo tiene un resultado. Por tanto, su dominio
está formado por todos los números reales y su imagen por el número c. Su gráfica son los puntos del
plano que verifican la ecuación y = c:
Dom( f ) = R Im( f ) = {c} Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y = c}.
La función f (x) = x está definida para todo número y todo número es un resultado. Por tanto, su
dominio y su imagen están formados por todos los números reales. Su gráfica son los puntos del
plano que verifican la ecuación y = x (la bisectriz del primer cuadrante):
Dom( f ) = R Im( f ) = R Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y = x}.
La función f (x) = x2 está definida para todo número y todo número positivo es el cuadrado de un
número. Por tanto, su dominio está formado por los números reales y su imagen por los números
reales positivos. Su gráfica son los puntos del plano que verifican la ecuación y = x2:
Dom( f ) = R Im( f ) = {y ∈ R/y ≥ 0} Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y = x2}.
La función f (x) = x3 que a cada número le asigna su cubo está definida para todo número y todo
número es el cubo de algún número. Por tanto, su dominio y su imagen están formado por todos los
números reales. Su gráfica son los puntos del plano que verifican la ecuación y = x3:
Dom( f ) = R Im( f ) = R Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y = x3}. ♣
Ejemplo 1.4
PROYECTO MATECO 3.141593 Página 20
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TEMA 1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
La función f (x) =
√
x está definida para todo número positivo y su resultado es el número positivo del
que es cuadrado. Por tanto, su dominio y su imagen están formado por todos los números positivos.
Su gráfica son los puntos del plano que verifican la ecuación y =
√
x:
Dom( f ) = {x ∈ R/x ≥ 0} Im( f ) = {y ∈ R/y ≥ 0} Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y =
√
x}.
La función f (x) = −
√
x está definida para todo número positivo y su resultado es el número negativo
del que es cuadrado. Por tanto, su dominio está formado por todos los números positivos y su imagen
están formado por todos los números negativos. Su gráfica son los puntos del plano que verifican la
ecuación y = −
√
x:
Dom( f ) = {x ∈ R/x ≥ 0} Im( f ) = {y ∈ R/y ≤ 0} Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y = −
√
x}.
La función f (x) =
√
x y la función f (x) = −
√
x verifican la ecuación implícita x = y2, que no define
una función pero une en la misma gráfica las gráficas de ambas funciones (nos referiremos a estas
raíces como las dos ramas de la parábola). ♣
Nota La función f es par si f (−x) = f (x) en su dominio e impar si f (−x) = − f (x). En el primer caso es
simétrica con respecto al eje OY y en el segundo con respecto al origen. Por ejemplo, la función f (x) = x2
es par, f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x), y la función f (x) = x3 es impar, f (−x) = (−x)3 = −x3 = − f (x). Sin
embargo, la función f (x) =
√
x no es ni par ni impar y, de hecho, no está definida para valores negativos. ♣
Nota (Funciones lineales) Una función lineal se puede escribir como f (x) = mx + b donde m y b son
constantes reales y su gráfica es la recta y = m x + b. Está definida en todo R y su imagen es también todo
R (salvo para m = 0 que es una función constante).
La constante b es la altura del corte de la función con el eje
OY y determina su desplazamiento con respecto al origen, hacia
arriba si es positiva y hacia abajo si es negativa. La constante
m es la tangente del ángulo de inclinación de la recta con el eje
OX, [m = tan(θ)], recibe el nombre de pendiente y determina la
inclinación de la recta.
Página 21 PROYECTO MATECO 3.141593
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Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL
En una función lineal cuando la variable pasa de un valor inicial
x0 a un valor x el aumento que experimentan los valores de la
función, que denotamos por △y, es proporcional al incremento
de la variable, que denotamos por △x. Por tanto, la pendiente
es la constante de proporcionalidad (△y = m△x) y representa
el aumento que experimentan los valores de la función cuando
aumentamos la variable x en una unidad.
Obsérvese que si m > 0 la recta es una función creciente y si m < 0 decreciente. ♣
Ejemplo 1.5 (leyes de la oferta y la demanda)
♦ La ley de la demanda establece que existe una relación inversa entre la cantidad demandada de un bien
y su precio, de forma que, si el resto de factores de los que depende se mantienen constantes, cuando el
precio de un producto aumenta la cantidad demandada baja y cuando el precio baja la cantidad demandada
aumenta (existen ciertas excepciones). La función que relaciona la cantidad demandada del bien, d, y el
precio al que se demanda, p, se escribe como d = D(p) y recibe el nombre de curva de demanda. Cuando
consideramos que la demanda depende linealmente del precio tenemos D(p) = a − bp con a, b > 0
a representa la cantidad máxima que puede demandarse
b representa la sensibilidad de los demandantes al precio (pendiente de la recta negativa).
♦ La ley de la oferta, contrariamente, establece que existe una relación directa entre la cantidad ofertada
de un bien y su precio, de forma que, si el resto de factores de los que depende se mantienen constantes,
cuando el precio de un producto aumenta la cantidad ofertada también aumenta y cuando el precio baja
también baja (existen ciertas excepciones). La función que relaciona la cantidad ofertada del bien, s, y el
precio al que se demanda, p, se escribe como s = S (p) y recibe el nombre de curva de oferta. Cuando
consideramos que la oferta depende linealmente del precio tenemos S (p) = c + dp con c, d > 0
c representa la cantidad mínima que se oferta
d representa la sensibilidad de los oferentes al precio (pendiente de la recta positiva). ♣
Nota En general una función f es creciente si ∀x1, x2 ∈ D x1 < x2 =⇒ f (x1) ≤ f (x2) (estrictamente si
f (x1) < f (x2)). Es decreciente si ∀x1, x2 ∈ D x1 < x2 =⇒ f (x1) ≥ f (x2) (estrictamente si f (x1) > f (x2)).
PROYECTO MATECO 3.141593 Página 22
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TEMA 1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
Si cumple alguno de los casos anteriores decimos que f es monótona (cuando decimos que una función es
monótona en un punto lo que en realidad queremos decir es que es monótona en un entorno del punto). ♣
Observación Si denotamos y0 = f (x0) e y = f (x) tenemos la ecuación punto-pendiente de la recta
y− y0 = m(x − x0)
en la que dados dos puntos obtenemos la pendiente como la relación entre los incrementos m = y1−y0x1−x0 .
Esto permite escribir la ecuación de la recta que pasa por dos puntos como
x − x0
x1 − x0
=
y − y0
y1 − y0
♣
Observación Sólo para b = 0 la función f (x) = mx + b es realmente una aplicación lineal que tiene unas
propiedades especiales que estudiaremos dentro del bloque de Álgebra; lo que hace que a veces se distinga
entre función afín (b , 0) y función lineal (b = 0). ♣
Nota (Funciones inversas) Para definir la inversa de una función ésta debe ser inyectiva (elementos dis-
tintos tienen imágenes distintas), en este caso asocia a cada x ∈ Im( f ) el único y tal que f (y) = x
f −1(x) = y⇔ f (y) = x
La gráfica de la función inversa es la imagen simétrica respecto a la bisectriz del primer cuadrante de
la gráfica de la función. El dominio de la función inversa es la imagen de la función y viceversa. Así, la
función f (x) =
√
x solo tiene sentido para x ≥ 0 y su dominio es el intervalo [0,+∞) (rama positiva de la
parábola). ♣
Página 23 PROYECTO MATECO 3.141593
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Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL
Nota (Funciones potencia)
♦ La potencia de exponente natural, n, se define para todo x ∈ R como
f (x) = xn = x · · · x n veces
Para valores crecientes de x la función xn crece más rápido cuan-
to mayor es el exponente n. Cuando nos acercamos a cero los
valores de la función se acercan a cero tanto más rápido cuanto
mayor es el exponente n. Si n es impar su gráfica es simétrica
respecto al origen y si n es par simétrica respecto al eje OY .
♦ La potencia de exponente negativo, n = −m con m ∈ N, se define para x , 0 como
f (x) = x−m =
1
xm
Para valores crecientes de x la función x−m (m > 0) se acercan a
cero tanto más rápido cuanto más grande es m. Cuando nos acer-
camos a cero crecen indefinidamente, tanto más rápido cuanto
más grande es m. Si m es impar su gráfica es simétrica respecto
al origen y si m es par simétrica respecto al eje OY .
♦ La potencia de exponente 1/n, con n ∈ N, está definida para x ∈ R si n es impar y para x ≥ 0 si n es
impar como la inversa de xn, que es la raíz n-ésima de x:
f (x) = x
1
n = n
√
x
Para valores crecientes de x las raíces n-ésimas crecen más lento
cuanto mayor es n. Cuando nos acercamos a cero sus valores se
acercan a cero, tanto más rápido cuanto menor es n. Si n es
impar la función es simétrica respecto al origen, pero si n es par
la función no es simétrica, ya que, solo tiene sentido en [0,+∞).
♦ La potencia de exponente racional, pq , está definida para x > 0 (x ≥ 0 si
p
q > 0) como
f (x) = x
p
q =
q√xp
♦ La potencia de exponente real, r, está definida para x > 0 como
f (x) = lı́m
q→r
xq con q ∈ Q ♣
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TEMA 1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
Ejercicio 1.6 Determinar el dominio de las siguientes funciones
(a) f (x) =
√
x2 + x +
√
x − 3 (b) f (x) =
1
3√x + 6
(c) f (x) =
1
4√x + 6
(d) f (x) =
4√
x2 + 2x + 2
Maxima 1.7 Determinar el dominio de las siguientes funciones:
(a) f (x) =
√
x2 − 3x + 2 (b) g(x) =
1
√
x2 − 3
Solución Para determinar el dominio de la función necesitamos ayudar al programa indicando las condi-
ciones que tiene que cumplir la función mediante desigualdades que se descomponen mediante los coman-
dos fourier_elim y solve_rat_ineq (tenemos que cargar previamente el paquete del mismo nombre).
En el primer caso imponemos que el argumento de la raíz sea mayor o igual que cero y en el segundo
que sea estrictamente mayor que cero (está dividiendo).
( % i1) load(fourier_elim)$ ( % i2) load(solve_rat_ineq)$
( % i3) f(x):=sqrt(xˆ2-3*x+2)$ ( % i4) ineq1:xˆ2-3*x+2>=0$
( % i5) fourier_elim([ineq1],[x]);
[x = 1]or[x = 2]or[2 < x]or[x < 1]
( % o5)
( % i6) solve_rat_ineq(ineq1);
[[x<=1], [x>=2]] ( % o6)
( % i7) g(x):=1/sqrt(xˆ2-3)$ ( % i8) ineq2:xˆ2-3>0$
( % i9) fourier_elim(ineq2,[x]);
[x2 − 3 > 0] ( % o9)
( % i10) solve_rat_ineq(ineq2);
[[x < −
√
3], [x >
√
3]] ( % o10)
Nota (Polinomios) Las funciones polinómicas están definidas en todo R y para n natural son de la forma
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + ··· + anxn con a0, a1, . . . , an ∈ R. ♣
Nota (Parábola vertical) p(x) = ax2 + bx + c (corresponde a un polinomios de grado dos)
♦ Su vértice es un mínimo si a > 0 (parábola convexa) y un máximo si a < 0 (parábola cóncava)
V
(
−
b
2a
, p
(
− b2a
))
♦ El punto de corte con el eje OY se obtiene para x = 0
y es (0, c). Los posibles puntos de corte con el eje OX se
obtienen mediante la fórmula
ax2 + bx + c = 0 =⇒ x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
♣
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Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL
Nota (Hipérbola equilátera) xy = a
♦ Corresponde a la función f (x) = ax−1 = a/x
♦ Para obtener su gráfica se considera que los ejes son sus
asíntotas y que sus vértices son V
(
±
√
|a|,±
√
|a|
)
, donde los
signos dependen del signo de a. ♣
Nota Hay gráficas correspondientes a ecuaciones implícitas que no son funciones, pero dan lugar a ramas
que sí lo son (se obtienen despejando la variable y). ♣
Nota (Parábola horizontal) x = ay2 + by + c
♦ No es una función y sus dos ramas son
y =
−b ±
√
b2 − 4a(c − x)
2a
♦ Se representa como la parábola vertical cambiando el
papel de x e y. ♣
Nota (Circunferencia) (x − x0)2 + (y − y0)2 = R2
♦ La ecuación corresponde a la circunferencia de centro
(x0, y0) y radio R > 0. Si el centro es el origen se tiene
x2 + y2 = R2
♦ No es una función y sus dos ramas son
y = y0 ±
√
R2 − (x − x0)2 ♣
Nota (Elipse)
(x − x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
= 1
♦ La ecuación corresponde a la elipse de centro (x0, y0) y
semiejes a, b > 0. Si el centro es el origen se tiene
x2
a2
+
y2
b2
= 1
♦ No es una función y sus dos ramas son
y = y0 ±
b
√
a2 − (x − x0)2
a
♣
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TEMA 1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
1.2. Continuidad de funciones de una variable
Definición 1.8 Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R, x0 ∈ [a, b].
f es continua en x0 si el límite de f (x) cuando x tiende a x0 es el valor de la función en x0
lı́m
x→x0
f (x) = f (x0)
donde el límite es l si ∀ϵ > 0 ∃δ > 0/x ∈ [a, b] y 0 < |x − x0| < δ =⇒ | f (x) − l| < ϵ.
f es continua en [a, b] si es continua en todos los puntos de (a, b), en a el límite por la derecha es f (a)
y en b el límite por la izquierda es f (b). ♣
Observación Una función es discontinua en un punto si no es continua en el punto pero es continua en
un entorno reducido. Dependiendo de los valores del límite y de los límites laterales distinguimos distintos
tipos de discontinuidades.
Así, si existe el límite y es finito decimos que es una discontinuidad evitable (se obtiene una función
continua definiendo la función en el punto como el valor del límite). En caso contrario, decimos que es una
discontinuidad esencial.
Las discontinuidades esenciales se dividen en discontinuidades de primera y segunda especie. Así, una
discontinuidad es una discontinuidad de primera especie si existen los límites laterales, siendo estos
finitos o infinitos, y es una discontinuidad de segunda especie si alguno de los límites laterales no existe.
En el caso de las discontinuidades de primera especie distinguimos tres tipos:
Discontinuidad de salto finito, si ambos límites laterales son finitos (el salto es la diferencia entre
ambos límites).
Discontinuidad de salto infinito, si un límite lateral es finito y el otro infinito.
Discontinuidad asintótica, si ambos límites laterales son infinitos (pueden ser de distinto signo). ♣
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Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL
Nota Los polinomios son funciones continuas en todo R. El producto de un número por una función
continua, la suma de funciones continuas,el producto de funciones continuas y la composición de funciones
continuas son funciones continuas. Sin embargo, el cociente de funciones continuas sólo es una función
continua en los puntos en los que no se anula el denominador. ♣
Nota Las funciones racionales se expresan como cociente de dos funciones polinómicas,
f (x) =
P(X)
Q(X)
Sólo están definidas cuando el denominador, Q(x), no se anula. Su dominio es el conjunto de los números
reales menos el conjunto de raíces del denominador y en este dominio la función es continua. En estas
raíces presenta discontinuidades, que pueden ser evitables o de primera especie
Ejercicio 1.9 Estudiar el domino y la continuidad de f (x) =
x − 1
x2 − 3x + 2
Solución
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TEMA 1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
Para determinar su dominio igualamos a cero el denominador
x2 − 3x + 2 = 0⇔ x =
3 ±
√
32 − 4 · 2
2
=

2
1
=⇒ Dom( f ) = {x ∈ R/x , 1, 2} = R \ {1, 2}
La función es continua en su dominio y para estudiar el tipo de discontinuidad calculamos los límites
de la función en ambos puntos
lı́m
x→1
x − 1
x2 − 3x + 2
= lı́m
x→1
1
x − 2
= −1 lı́m
x→2
x − 1
x2 − 3x + 2
= [1/0] = ±∞
Así, para x = 1 tenemos una discontinuidad evitable y para x = 2 tenemos una discontinuidad asintótica
(esencial y de primera especie). ♣
Nota El comportamiento en el infinito de una función racional depende de los términos de mayor grado de
numerador y denominador. Así, cuando los términos de mayor grado son positivos si el grado del numerador
es mayor que el grado del denominador crecen a infinito y si el grado del denominador es mayor que el grado
del numerador decrecen a cero con el eje OX como asíntota. Cuando los grados son iguales se acercan según
una asíntota horizontal a un valor constante (el cociente entre los coeficientes lideres). ♣
Ejercicio 1.10 Estudiar el comportamiento en el infinito de f (x) =
x − 1
x2 − 3x + 2
Solución (ver gráfica en el ejercicio 1.9)
Calculamos los límites de la función en ambos infinitos
lı́m
x→−∞
x − 1
x2 − 3x + 2
= 0 lı́m
x→+∞
x − 1
x2 − 3x + 2
= 0
En ambos casos la función se acerca a cero según una asíntota horizontal (y = 0). ♣
Ejercicio 1.11 Estudiar el dominio, la continuidad y el comportamiento en el infinito de:
(a) f (x) =
x2 + x
x − 3
(b) f (x) =
x2 − 1
x2 + 3x + 2
(c) f (x) =
√
x + 1
x − 1
(d) f (x) =
√
x2 − 2x + 1
3√
x2 − 1
(e) f (x) =
x
x2 + 1
(f) f (x) =
4√
x + 6
Proposición 1.12 (Teoremas clásicos) Sea f : [a, b] ⊆ R −→ R continua en [a, b] entonces
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Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL
(Teorema de Bolzano). Si f (a) y f (b) tienen distinto signo existe c ∈ (a, b) con f (c) = 0.
(Teorema de los valores intermedios o de Darboux) Si c1, c2 ∈ [a, b] con c1 < c2 y f (c1) , f (c2), f
alcanza cualquier valor entre f (c1) y f (c2). ♣
1.3. Derivada de funciones de una variable
1.3.1. La derivada como tasa de variación
El valor de la derivada en un punto marcará el ritmo del cambio que experimenta el valor de una variable
cuando se produce un cambio infinitesimal en el valor de la variable de la que depende. Para analizar cómo
responde la variable a este cambio consideramos una función que las relaciona, y = f (x).
Así, partimos de un valor x0 para la variable independiente, al que le corresponde un valor f (x0), y
tomamos otro valor x1, al que le corresponde un valor f (x1).
El incremento de la variable independiente es △x = x1 − x0 y
el incremento de la variable dependiente △y = f (x1) − f (x0) (el
valor x1 se escribe como x1 = x0 + △x).
La tasa media de variación de y con respecto a x nos indica la variación relativa de una variable con
respecto a la otra:
△y
△x
=
f (x1) − f (x0)
x1 − x0
=
f (x0 + △x) − f (x0)
△x
.
Para estudiar como varía la variable dependiente con respecto a
la variable independiente cerca del punto en el que nos encontra-
mos buscamos que la diferencia con el otro punto sea cada vez
más pequeña y calculamos el límite de la tasa media de varia-
ción.
De este modo, obtenemos la tasa instantánea de variación de y con respecto a x en x0, que recibe el
nombre de derivada de la función en x0 y se denota por f ′(x0).
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https://es.wikipedia.org/wiki/Bernard_Bolzano
https://es.wikipedia.org/wiki/Jean_Gaston_Darboux
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TEMA 1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
Definición 1.13 Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R y x0 ∈ (a, b).
La derivada de f en x0
f ′(x0) = lı́m
△x→0
f (x0 + △x) − f (x0)
△x
= lı́m
x→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
.
f es derivable en x0 si este límite existe.
f es derivable en un intervalo abierto si es derivable en todos los puntos del conjunto. ♣
Nota (Interpretación geométrica de la derivada) La tasa media de variación entre los puntos P y Q corres-
ponde a la pendiente de la recta que corta a la gráfica y = f (x) en estos puntos.
Cuando △x tiende a cero, el punto Q se mueve sobre la gráfica acercándose a P y la pendiente de la recta
secante se aproxima a la pendiente de la recta tangente, de forma que la derivada de la función en x0 es la
pendiente de la recta tangente a la gráfica y = f (x) en el punto P(x0, f (x0)). ♣
Nota (Interpretación económica de la derivada) En Economía la tasa instantánea de variación también
recibe el nombre de tasa marginal de variación pues se interpreta como el incremento en el valor de la
función cuando la variable dependiente se incrementa en una unidad. Sin embargo, aunque el incremento
que marca la derivada es relativo y por unidad, ambos conceptos solo coinciden si el incremento de una
unidad es relativamente pequeño con respecto a las unidades en las que medimos la variable. ♣
Ejemplo 1.14 (Coste marginal) Cuando se producen muchas unidades del producto podemos considerar
que un incremento de una unidad es un incremento pequeño y podemos escribir
C′(x0) = lı́m
△x→0
C(x0 + △x) −C(x0)
△x
≈
C(x0 + 1) −C(x0)
1
= C(x0 + 1) −C(x0),
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Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL
con lo que la derivada en x0 (tasa instantánea de variación del coste con respecto al número de unidades
producidas) es aproximadamente el coste adicional de producir una unidad más de producto cuando ya se
han producido x0 unidades del mismo o coste marginal.
Así, si el coste de producir x kilogramos de un determinado producto medido en euros viene dado por
la función C(x) = x2 + 3x+ 100 y estamos produciendo 100 kilogramos del producto el coste adicional que
hay que soportar para producir la unidad ciento uno es C(101) − C(100) = 10.604 − 10.400 = 204 y la
derivada de la función es
C′(100) = lı́m
△x→0
C(100 + △x) −C(100)
△x
= lı́m
△x→0
(100 + △x)2 + 3(100 + △x) + 100 − 10400
△x
= 203
Como el incremento de una unidad es un incremento pequeño en relación a las 100 unidades producidas
la derivada de la función, es una aproximación bastante buena del coste marginal real. En este caso la
derivada es 203 euros/kilo y el coste marginal real es de 204 euros/kilo. ♣
▶ La derivada marca el ritmo del cambio que experimenta la variable dependiente cuando se produce
un cambio en la variable independiente y cuanto mayor es el valor de la derivada mayor es el cambio que
experimenta la variable dependiente.
▶ Si la derivada es positiva a un aumento de la variable independiente le corresponde un aumento
de la variable dependiente y si es negativa a un aumento de la variable independiente le corresponde una
disminución de la variable dependiente.
1.3.2. La función derivada y las reglas de derivación
Definición 1.15 Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R.
Si f es derivable en (a, b) la función derivada de f asocia a cada x su derivada
f ′ : x ∈ (a, b) −→ f ′(x) ∈ R. ♣
Nota Las distintas notaciones que se usan para la función derivada de una función y = f (x) son:
y′ o f ′(x), cuyo valor en