INICIA-1BACH-MATCCSSLP-unit

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E
l estudio de la matemática financiera será el hilo conductor de la unidad, los alumnos van a repasar lo aprendido en 
cursos anteriores sobre sucesiones y será el punto de partida para introducirles el estudio de contenidos relacionados 
con la matemática mercantil y su aplicación en la vida cotidiana.
Al inicio de esta unidad se repasan las sucesiones y se trabaja con progresiones aritméticas y geométricas y sus propiedades, 
para llegar en el siguiente epígrafe a estudiar los intereses bancarios tanto el interés simple como el compuesto y su relación 
con los períodos de capitalización. A continuación, se analiza el T.A.E. y se presentan situaciones cotidianas donde se utiliza.
Finalmente, se estudian las anualidades y manejan los conceptos de anualidades de capitalización y de amortización.
La metodología se ha diseñado incluyendo actividades de aprendizaje integradas que permitirán al alumnado avanzar hacia 
los resultados de aprendizaje de más de una competencia al mismo tiempo.
Se desarrolla la competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT) a lo largo de toda la 
unidad. A través del conocimiento de la matemática financiera, se desarrolla en el alumno la capacidad de aplicar el razona-
miento lógico-matemático y sus herramientas para describir e interpretar distintas situaciones.
La competencia digital (CD) se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene 
recurrir a los medios informáticos. 
Especial interés tienen las actividades propuestas con hoja de cálculo a lo largo de los epígrafes, así como las actividades 
interactivas del test de autoevaluación que se encuentra al final de la unidad.
A través de la incorporación del lenguaje matemático a la expresión habitual de los alumnos, se fomenta la competencia 
en comunicación lingüística (CL). En esta unidad se presentan numerosos conceptos matemáticos que los alumnos han de 
utilizar correctamente a la hora de resolver actividades y problemas.
La competencia aprender a aprender (CAA) se fomenta a través de la autonomía de los alumnos a la hora de resolver pro-
blemas. Es fundamental que el profesor incida en las destrezas necesarias para comunicar con eficacia los resultados de la 
resolución de cualquier actividad, reto o problema. 
Las competencias sociales y cívicas (CSC) se desarrollan en el área de Matemáticas mediante la aceptación de otros puntos 
de vista en la resolución de algunos problemas. Es importante que el docente trabaje situaciones que se pueden resolver 
de diferentes formas, el manejo de los conceptos relacionados con la matemática financiera, etcétera; para trabajar con los 
alumnos que distintas soluciones pueden ser igualmente válidas. El reconocimiento y valoración de las aportaciones ajenas 
enriquece el aprendizaje. 
Temporalización
El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los 
alumnos.
Objetivos
Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son: 
 ❚ Repasar las progresiones aritméticas y geométricas, y sus propiedades.
 ❚ Manejar intereses bancarios, tanto simple y compuesto.
 ❚ Conocer el concepto de T.A.E. y su cálculo.
 ❚ Manejar anualidades tanto de capitalización como de amortización.
MATEMÁTICA 
FINANCIERA3
353. Matemática financiera
P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D
Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables Competencias clave
Sucesiones
Definición. Término general
Progresiones aritméticas y 
geométricas
Suma de los n primeros términos 
de las progresiones aritméticas y 
geométricas
1. Obtener y manipular expresiones simbólicas 
que describan sucesiones numéricas, observando 
regularidades en casos sencillos que incluyan 
patrones recursivos.
1.1. Calcula términos de una sucesión numérica usando la 
ley de formación a partir de términos anteriores y obtiene el 
término general.
1.2. Identifica sucesiones aritméticas y geométricas, expresa 
su término general, calcula la suma de términos, y las emplea 
para resolver problemas.
CMCT 
CL
CAA
CSC
Intereses bancarios
Interés simple
Interés compuesto. Períodos de 
capitalización
Tasa Anual Equivalente (T.A.E.)
2. Resolver problemas de capitalización y 
amortización simple y compuesta utilizando 
parámetros de aritmética mercantil empleando 
métodos de cálculo o los recursos tecnológicos 
más adecuados.
2.1. Resuelve problemas de capitalización y amortización 
simple y compuesta utilizando parámetros de aritmética 
mercantil.
2.2. Interpreta y contextualiza correctamente parámetros de 
la aritmética mercantil para resolver problemas de ámbito de 
la matemática financiera mediante los métodos de cálculo o 
los recursos tecnológicos apropiados.
CMCT
CD
CL
CAA
Anualidades
Anualidades de capitalización
Anualidades de amortización
CMCT
CD
CL
CAA
Atención a la diversidad 
Con el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen algunas actividades de refuerzo que 
podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. 
36 Números y Álgebra
MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD
PARA EL PROFESOR PARA EL ALUMNO
Actividades de refuerzo
Prueba de evaluación
Presentación de la unidad 
Repasa lo que sabes
1. Sucesiones
• Definición. Término general
• Progresiones aritméticas y geométricas
• Suma de los n primeros términos de las 
progresiones aritméticas y geométricas
2. Intereses bancarios
• Interés simple
• Interés compuesto. Períodos de 
capitalización
• Tasa Anual Equivalente (T.A.E.)
3. Anualidades
• Anualidades de capitalización
• Anualidades de amortización
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
EVALUACIÓN
Actividades interactivas. Test 
de autoevaluación
Vídeo. Interés compuesto
Vídeo. Tasa Anual Equivalente
Vídeo. Anualidades de capitalización
Vídeo. Anualidades de amortización
373. Matemática financiera
38 Números y Álgebra
Repasa lo que sabes (página 67))
1. Calcula el valor de a para que se verifiquen las siguientes igualdades:
a) log 0,00001 � a b) log a � 3 c) loga 3 � �
5
2
� d) log7 7�
5
7� � a
a) log 0,00001 � a ⇒ 10a � 0,00001 ⇒ 10a � 10�5 ⇒ a � �5
b) log a � 3 ⇒ 103 � a ⇒ a � 1 000
c) loga 3 � �
5
2
� ⇒ a
�
5
2
�
� 3 ⇒ a � �
5
32�
d) log7 7�
5
7� � a ⇒ 7a � 7�
5
7� ⇒ 7a � 7
�
6
5
�
⇒ a � �
6
5
�
2. Sabiendo que log a � 5 y que log b � �1, utiliza las propiedades de los logaritmos para calcular:
a) log (a2 � b5) b) log �10a � �1b00�� c) log ��ba
2
3�� d) logb a
a) log (a2 � b5) � log (a2) � log (b5) � 2log a � 5log b � 10 � 5 � 5
b) log �10a � �1b00��� log (10a) � log ��1b00��� log 10 � log a � log b � log 100 � 1 � 5 � 1 � 2 � 3
c) log ��ba
2
3��� log (a2) � log (b3) � 2log a � 3log b � 10 � 3 � 13
d) logb a � �l
l
o
o
g
g
b
a
� � �
�
5
1
� � �5
3. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas y racionales.
a) �
x �
2
2
� � �
x �
4
3
� � ��
1
2
� d) x4 � 5x2 � 4 � 0
b) (x � 2)2 � 3 � 1 e) x3 � 3x2 � x � 3 � 0
c) �
3
x
x
�
�
1
3
�� �
x
x
2
�
�
1
2
� ��
7
x
x
2 �
�
1
1
� f ) �
x2 �
4
1
� � �
x �
1
1
� � 0
a) x � 5
b) x1 � 4 x2 � 0
c) x1 � �1 x2 � �3 x3 � 2
d) x1 � 1 x2 � �1 x3 � 2 x4 � �2
e) x1 � 1 x2 � �1 x3 � 3
f) x1 � �3
4. Resuelve las siguientes ecuaciones radicales, logarítmicas y exponenciales:
a) �x � 6�� �x� � 6 d) �x � 1���
�x
2
� 1�
�
b) log x � log (x � 3) � 1 e) �2 � 3x � 9x � �1
c) log (11x � 1) � log (x � 1) � log (12x � 8) � 1 f ) 2x�4 � 15 � 2x
a) x � �
2
4
5
�
b) x � 2
c) x � 9
d) x � 1
e) x � 0
f) x � 0
5. En una tienda se vende una lavadora con un precio de 105 € sin IVA. Debido a las rebajas, se decide hacer un descuento del 10
%. Si el IVA es del 21 %, calcula el precio de la lavadora.
Cf � 105 � (1 � 0,21) � (1 � 0,10) � 114,35 €
6. Durante los meses enero y febrero, el precio de la gasolina aumentó un 3 %, pero, durante el mes de marzo, el precio bajó un 
2 %. Si el precio de la gasolina en elmes de abril se encuentra a 1,253 €/L, calcula el precio que tenía cuando comenzó el año.
1,253 � C � (1 � 0,03) � (1 � 0,03) � (1 � 0,02) ⇒ C � � 1,205 €/L
1,253
����
(1 � 0,03) � (1 � 0,03) � (1 � 0,02)
393. Matemática financiera
Sugerencias didácticas. Recursos TIC)
Interés compuesto (página 72)
En el vídeo se muestra cómo realizar una sencilla aplicación en
una hoja de cálculo para obtener el interés compuesto a partir de
un cierto capital y un porcentaje de interés, según los períodos
de capitalización.
Tasa Anual Equivalente (página 76)
En el vídeo se muestra cómo realizar una sencilla aplicación en
una hoja de cálculo para obtener el capital acumulado y el T.A.E.
correspondiente, según distintos períodos de capitalización.
Anualidades de capitalización (página 77)
En el vídeo se muestra cómo realizar una sencilla aplicación en una
hoja de cálculo para obtener las anualidades de capitalización co-
rrespondientes a un cierto capital y un porcentaje de interés.
Anualidades de amortización (página 80)
En el vídeo se muestra cómo realizar una sencilla aplicación en
una hoja de cálculo para obtener las anualidades de amortiza-
ción, el capital amortizado y el capital pendiente.
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES DEL LIBRO DEL ALUMNO
Actividades (páginas 70/80))
Calcula el término general de las siguientes progresiones
aritméticas.
a) �1, ��
3
4
�, ��
1
2
�, ��
1
4
�, 0, �
1
4
�, …
b) 5, 3, 1, �1, �3, …
c) 3, 1, �1, �3, �5, …
a) El primer término es �1 y la diferencia es �
1
4
�, por tanto el 
término general es:
an � �1 � (n � 1) �
1
4
� � �
n
4
� � �
5
4
� � n � �
5
4
�
b) El primer término es 5 y la diferencia �2, por tanto, el tér-
mino general es:
an � 5 � (n � 1) (�2) � 7 � 2n
c) El primer término es 3 y la diferencia también �2, el termi-
no general es:
an � 3 � (n � 1) (�2) � 5 -2n
Calcula el término general de las siguientes progresiones
geométricas.
a) �2�, 2, 2�2�, 4, 4�2�, 8…
b) �3, 3, �3, 3, �3, …
c) �4, �12, �36, �108, …
El primer término y la razón valen �2�, el término general es:
an � �2� � �2n � 1� � �2n�
Dada la sucesión an � (�1)
n � �
3
n
n
2 �
�
3
5
�, calcula los cinco pri-
meros términos.
Sustituyendo se obtiene:
a1 � 4; a2 � 11; a3 � ��
7
3
�; a4 � �
1
1
7
3
�; a5 � ��
1
1
0
1
�
Dada la sucesión an � (�n)
3, calcula el séptimo término.
Sustituyendo n por 7, se obtiene: a7 � �343
4
3
2
1
Calcula el término general de estas sucesiones:
a) 1, �
4
3
�, �
6
4
�, �
8
5
�, …
b) 0, �
3
7
�, �
8
9
�, �
1
1
5
1
�, …
c) �
1
5
�, �
2
9
�, �
1
4
3
�, �
1
8
7
�, �
1
2
6
1
�, �
3
2
2
5
�, …
a) Los numeradores son 4, 6, 8, … y los denominadores 3, 4,
5, …
El término general es: an � �n
2
�
n
1
�
b) Los numeradores son los cuadrados perfectos menos 1 y
los denominadores una progresión aritmética de primer
término 5 y diferencia 2.
El término general es: an � �2
n
n
2 �
�
1
3
�
c) Los numeradores son las potencias de 2 y los denomi-
nadores una progresión aritmética de primer término 5 y
diferencia 4.
El término general es: an � �4n
2n
�
�1
1
�
Se han depositado 60 000 € al 3,4 % anual de interés simple
durante un período de 48 meses.
a) ¿Qué intereses producen?
b) ¿Cuál es el capital final?
a) Dado que el interés es anual debemos contar el tiempo en
años, 4 años. El interés en 1 año es:
I � 60 000 � 0,034 � 2 040 €
Como el interés es simple, en 4 años:
I � 4 � 2 040 � 8 160 €
b) El capital final es:
C � 60 000 � 8 160 � 68 160 €
Calcula el tiempo que tarda un capital en incrementarse un
50 % depositado al 3 % de interés simple.
1,5C � C (1 � 0,03n) ⇒ 1,5 � 1 � 0,03n ⇒ n � 16,667 años 
⇒ n � 16 años y 8 meses
A un 5 % de interés simple, ¿qué capital hemos de depositar
para que en 45 días nos proporcione 45 € de intereses?
45 días � 0,125 años
45 € � C � 0,05 � 0,125 ⇒ C � 7 200 €
Depositamos 10 000 € a un interés anual del 6 % durante 5
años, calcula los intereses si:
a) El interés es simple.
b) El interés es compuesto.
a) I � 10 000 � 0,06 � 5 � 3000 €
b) Aunque los intereses se pueden calcular directamente los 
alumnos, en general, comprenden mejor el cálculo del 
capital final y, después, calcular la diferencia entre el final
y el inicial para calcular los intereses.
C5 � 10 000(1,06)
5 � 13 382,26 €
Así el interés es: I � 3 382,26 €
Depositamos 3 500 € en el banco a un interés anual del
4,5 %, calcula el capital que tendremos a los 5 años.
C � 4 361,64 €
C5 � 3 500(1,045)
5 � 4 361,64 €
10
9
8
7
6
5
Determina con cuál de estos intereses obtendremos más
beneficio:
� Un interés del 6 % anual.
� Un interés del 5 % anual capitalizable semestralmente.
� Un interés del 4 % anual con capitalización diaria.
� Cf � C (1,06) � 1,06C
� Cf � C (1,025)
2 � 1,0506C
� Cf � C (1,000 11)
365 � 1,0408C
Obtenemos más beneficio con el 6 % anual.
Calcula el T.A.E. del 5 % anual capitalizable trimestralmente.
�
T
1
.A
0
.
0
E.
� � �1 � �4500��
4
� 1 ⇒ T.A.E. � 5,09 %
Una entidad bancaria ofrece un 8 % de interés nominal
anual, con una liquidación semestral de intereses. Una
segunda entidad bancaria ofrece un 7,5 % de interés anual
con liquidación trimestral de intereses. ¿Qué entidad tiene
el T.A.E. más alto y por tanto es más conveniente para colo-
car el capital?
�
T
1
.A
0
.
0
E.
� � �1 � �2800��
2
� 1 ⇒ T.A.E. � 8,16 %
�
T
1
.A
0
.
0
E.
� � �1 � �470,50��
4
� 1 ⇒ T.A.E. � 7,71 %
Una entidad bancaria ofrece un producto financiero con un
T.A.E. del 5,46 %. ¿Cuál es la tasa de interés nominal si la
capitalización es cuatrimestral?
�
5
1
,
0
4
0
6
� � �1 � �30r0��
3
� 1 ⇒ r � 5,36 %
Una persona que inicia un plan de pensiones deposita a
principio de cada año 4 000 € en el banco, el cual le garan-
tiza el 5,5 % de interés nominal. ¿De cuánto dinero dispon-
drá al cabo de 13 años?
C � 4 000 � 1,055 � �
1,0
0
5
,
5
0
1
5
3
5
� 1
� � 77 170,29 €
Un hombre suscribe un plan de pensiones por un período
de 20 años con una cuota mensual de 150 €. Si la entidad
bancaria le asegura un 9 % de interés anual, ¿de qué canti-
dad podrá disponer al final de los 20 años?
C � 150 � 1,007 5 ��
1,00
0
7
,0
5
0
2
7
40
5
� 1
�� 100 934,40 €
Un deportista profesional considera que solo le quedan 
8 años para retirarse, gana mucho dinero pero es previsor
y cuando deje el deporte pretende crear un negocio que
le supondrá un gasto de 360 000 €. ¿Qué cantidad debe 
ingresar anualmente en una entidad bancaria que le ofrece
el 5 % para tener ahorrado el dinero necesario dentro de 
8 años?
360 000 � A � 1,05 � �
1,0
0
5
,
8
0
�
5
1
� ⇒ A � 35 904,62 €
¿Durante cuántos años debo ingresar la cantidad de 600 €
mensuales al 4 % anual para acumular un capital de 90 000 €?
90 000 � 600 � 1,003 3 � �
1,0
0
0
,
3
00
3
3
n
3
� 1
� ⇒ n � 121,51 meses,
es decir, aproximadamente 10 años.
Determina las cuotas semestral y anual que se deben satis-
facer para devolver 15 000 € al 7 % anual en 3 años.
A � 15 000 �
0,
1
0
,
3
0
5
35
�
6
1
�
,03
1
56
�� 2 815,02 € de cuota semestral
19
18
17
16
15
14
13
12
11
A � 15 000 �
0
1
,0
,0
7
7
�
3
1
�
,0
1
73
� � 5 715,77 € de cuota anual
Una persona decide comprar un piso que le cuesta 300 000 €.
Como tiene 100 000 € ahorrados, pide una hipoteca al banco,
que le conceden al 3,2 % anual a devolver en 20 años. ¿Qué
cuota debe satisfacer trimestralmente?
A � 200 000 �
0,
1
0
,
0
0
8
08
�
8
1
0
,
�
00
1
880
�� 3 394,41 € de cuota trimestral
Ejercicios y problemas (páginas 82/84))
Sucesiones
El precio del alquiler de un piso es de 600 €. Si cada año el
propietario lo incrementa un 4,5 %, ¿cuál será el precio al
cabo de 5 años?
P � 600 � 1,0455 � 747,71 €
En una tienda de ropa, un determinado artículo tiene un pre-
cio de 87 €. En las primeras rebajas se baja el precio un 20 %
y en las segundas, un 15 % del precio ya rebajado. ¿Cuál es el
precio final?
P � 87 � 0,80 � 0,85 � 59,16 €
Unpropietario tiene un piso valorado en 240 000 €, hace 
5 años.
a) Sabiendo que el precio de la vivienda se ha incremen-
tado en los últimos 5 años un 23 %, ¿cuál es el valor 
actual del piso? 
b) Si decide venderlo y al comprador le hace un descuento
del 7 %, ¿a cuánto lo vende?
a) P � 240 000 � 1,23 � 295 200 €
b) V � 295 200 � 0,93 � 274 536 €
Calcula el término general de cada una de las sucesiones
siguientes.
a) 3, 7, 11, 15, 19, …
b) 2, 6, 18, 54, 162, …
c) 1, �
3
2
�, 2, �
5
2
�, 3, …
d) �
1
2
�, �
2
3
�, �
3
4
�, �
4
5
�, �
5
6
�, …
e) 2, 5, 10, 17, 26, …
f) 10, 26, 50, 82, …
g) ��
1
2
�, �
1
5
�, �
3
8
�, �
1
5
1
�
h) 1, �2, �5, �8, �11, …
i) 4, 2, 1, �
1
2
�, �
1
4
�, …
a) an � 4n – 1
b) an � 2 · 3
n � 1
c) an � �
n �
2
1
�
d) an � �n �
n
1
�
e) an � n
2 � 1
f) an � (2n � 1)
2 � 1
g) an � �
2
3
n
n
�
�
3
1
�
h) an � �3n � 4
i) an � 2
3 � n
4
3
2
1
20
40 Números y Álgebra
413. Matemática financiera
Calcula las sumas de los 20 primeros términos de las pro-
gresiones aritméticas y geométricas de la actividad anterior.
a) S20 � �
3 �
2
79
� � 20 � 820
b) S20 � �
2 �
3
(3
�
20 �
1
1)
� � 320 � 1 � 3 486 784 400
c) S20 � � 20 � 115
i) S20 � �
1 � (
2
�56)
� � 20 � �550
j) S20 ��
4 �
(
(
1
(1
/2
/2
)�
)20
1
� 1)
�� 8
Escribe los siete primeros términos de una progresión arit-
mética cuyo primer término es a1 � 2 y cuya diferencia es
d � 1/3.
Los siete primeros términos son: 2, �
7
3
�, �
8
3
�, 3, �
1
3
0
�, �
1
3
1
�, 4
Calcula el valor del término que ocupa el lugar 100 en una
progresión aritmética de primer término –1 y diferencia 3.
Calcula, así mismo, la suma de los 100 primeros términos de
la progresión.
a100 � �1 � 99 � 3 � 296
S100 ��
(�1 � 2
2
96) � 100
�� 14 750
Calcula el primer término y la diferencia de una progresión
aritmética tal que a3 � 1 y a30 � 82.
�a3 � a1 � 2d ⇒ �1 � a1 � 2d ⇒ a1 � �5, d� 3a30 � a1 � 29d 82 � a1 � 29d
Calcula los cinco primeros términos de una progresión geo-
métrica que tiene como primer término 4 y cuya razón es
1/5.
Los cinco primeros términos son: 4, �
4
5
�, �
2
4
5
�, �
1
4
25
�, �
6
4
25
�
Dada la progresión geométrica 3, 3�2�, 6, 6�2�, 12,… deter-
mina el término 19 y la suma de los 19 primeros términos.
La razón de la progresión es �2�.
a19 � 3 � ��2��
18
� 1 536
S19 � �
a19
r
�
�
r �
1
a1
� ��
1 53
�
6
2�
� �
�
2�
1
� 3
�, racionalizando:
S19 � �1 536�2� � 3���2� � 1� � 3 069 � 1 533�2�
Los dos primeros términos de una progresión geométrica son
3 y 8, determina la razón, el término 7 y la suma de los 7 pri-
meros términos.
r � 8/3 a1 � 3 � (8/3)
6 � 262 144/243
S1 � � �
2 0
1
9
2
6
1
4
5
23
�
Determina la suma de los 10 primeros términos de la pro-
gresión geométrica 4, 2, 1, 1/2, 1/4,…
a10 � 4 � (1/2)
9 � 1/27
S10 � � �
1
1
0
2
2
8
3
�
�
2
1
7� � �
1
2
� � 4
��
�
1
2
� � 1
12
�
26
2
2
4
1
3
44
� � �
8
3
� � 1
��
�
8
3
� � 1
11
10
9
8
7
6
1 � �
2
2
1
�
�
2
5 Un concurso de televisión consiste en proponer al concur-
sante una sucesión de preguntas hasta que da una respues-
ta equivocada y queda eliminado. Los premios para cada
respuesta son de 1 € para la primera, 2 € para la segunda,
4 € para la tercera y así sucesivamente en progresión geo-
métrica de razón 2.
a) Si el concursante responde 10 preguntas correctamente,
¿cuánto dinero conseguirá?
b) ¿Cuál es el número de preguntas que hay que responder
para conseguir un millón de euros o más?
a) S10 � �
1(2
2
1
�
0 �
1
1)
� � 1 023 €
b) Sn � 1 000 000 � �
1(
2
2n
�
�
1
1)
� ⇒ 2n � 1 000 001 
⇒ n ��
log 1
lo
0
g
00
2
001
�� 19,93
Para conseguir 1 000 000 € debe contestar 20 preguntas.
Intereses
Calcula a qué tanto por ciento de interés compuesto debe
colocarse un capital de 500 € si se quiere triplicar en 6 años.
¿Y si el capital es de 3 000 €?
3C � C�1 � �10r0��
6
⇒ �
6
3� � 1 � �
10
r
0
� ⇒ r � 20,09 %
El resultado es el mismo, 20,09 %, en ambos casos, ya que no
depende del capital inicial.
Se invierten 2 millones de euros a un interés compuesto
anual del 6 %. ¿Cuál es el capital que habrá al cabo de los 
3 años?
Cf � C�1 � �10r0��
n
⇒ 2 000 000 � �1 � �1600��
3
� 2 382 032 €
Calcula el capital que al ser invertido al 4 % anual de interés
compuesto nos proporciona 14 800 euros al finalizar el déci-
mo año.
Cf � C�1 � �10r0��
n
⇒ 14 800 � C � 1,0410 ⇒ C � 9 998,35 €
Una caja de ahorros ofrece a sus clientes un 9 % de interés
simple anual por una imposición de 15 000 €. ¿Cuánto
tiempo debe transcurrir dicha cantidad para obtener unos
intereses de 9 450 €?
I � 15 000 � 0,09 � n � 9 450 ⇒ n � 7 años 
Se depositan en una libreta de ahorro 20 000 €, ¿qué inte-
rés simple nos dan si a los 4 años obtenemos un capital total
de 24 800 €?
I � 4 800 � 2 000 � �
10
r
0
� � 4 ⇒ r � 6 %
Una persona ha colocado 25 000 € en un fondo de inversión
(en los fondos de inversión los intereses se acumulan al capi-
tal inicial) durante 2 años y obtiene 27 958 €. ¿Qué tipo de
interés anual tenía ese fondo?
Cf � C�1 � �10r0��
n
⇒ 27 958 � 25 000�1 � �10r0��
2
⇒ r � 5,75 %
Recibimos un préstamo de 30 000 € al 10 % anual, lo hemos
de devolver a los 5 años mediante un único pago. Averigua
cuánto habremos de pagar si los períodos de capitalización
son:
a) anuales.
b) mensuales.
c) trimestrales.
20
19
18
17
16
15
14
13
42 Números y Álgebra
a) Cf � C�1 � �10r0��
n
⇒ C � 30 000 � 1,105 � 48 315,30 €
b) Cf � C�1 � �10r0��
n
⇒ C � 30 000�1 � �112000��
60
� 49 359,27 €
c) Cf � C�1 � �10r0��
n
⇒ C � 30 000�1 � �41000��
20
� 49 158,49 €
Pedimos un préstamo de 10 000 € al 6 % anual con capitali-
zación semestral. ¿Cuánto dinero deberemos abonar trans-
curridos 3 años?
Cf � C�1 � �10r0��
n
⇒ C � 10 000�1 � �2600��
6
� 11 940,52 €
Se deposita un capital de 3 000 € a un interés compuesto
del 3 % anual durante 8 años. ¿Qué interés anual habría de
dar una entidad financiera para que un capital de 2 500 €
en un período de 10 años se convirtiera en el mismo capital
en que se convertirían los 3 000 € al 3 %?
C � 3 000 � 1,038 � 3 800,31 €
3 800,31 � 2 500�1 � �10r0��
10
⇒ r � 4,28 %
Un capital colocado a interés compuesto durante 4 años se
ha convertido en 1 345 517,58 €. Si hubiera estado deposi-
tado un año más habría producido 1 513 707,27 €. Calcula
el tanto por ciento anual al que ha estado colocado y el
capital inicial depositado.
Se debe plantear este sistema:
1 345 517,58 � C�1 � �10r0��
4
⇒ r � 12,5 %, C � 840 000 €� 1 513707,27 � C�1 � �10r0��5
Un capital inicial se colocó durante 2 años al 9 % anual;
el capital obtenido se colocó al 5 % semestral durante los 
3 años siguientes y se convirtió en 7 960,84 €. ¿Cuál era el
capital inicial?
7 960,84 � C(1,09)2(1 � (5/200))6 ⇒ C � 5 777,80 €
¿A qué interés se ha colocado un capital de 3 750 € si al
cabo de 5 años se ha convertido en 5 018,35 €?
5 018,346 � 3 750 � (1 � r)5 ⇒ (1 � r)5 � 1,338
Tomando logaritmos, r � 6 %.
Tenemos una cuenta de ahorro al 5,75 % de interés anual.
Hasta ahora el banco nos abonaba los intereses a final de
año, pero ahora nosotros querríamos que nos abonase los
intereses trimestralmente. ¿Qué interés anual equivalente
nos habrá de pagar el banco?
1,057 5 � �1 � �40x0��
4
⇒ x � 5,63 %
Calcula el capital que se ha de invertir para obtener en 4
años 36 000 €:
a) Haciendo una única imposición inicial con un interés
simple del 5 %.
b) Haciendo una única imposición inicial con un interés
compuesto del 4 % con capitalización mensual.
a) Cf � C�1 � �10r0� � n� ⇒ 36 000 � C�1 � �1500� � 4�
⇒ C � 30 000 €
b) Cf � C�1 � �10r0��
n
⇒ 36000 � C�1 � �12400��⇒ C � 30685,34 €
27
26
25
24
23
22
21
Tenemos un cierto capital en una cuenta bancaria en la cual
cada 4 meses nos abonan unos intereses de un 2 % de este
capital. ¿Cuál es el T.A.E. de esta cuenta bancaria?
1 � �
T
1
.A
0
.
0
E.
� � �1 � �3200��
3
⇒ T.A.E. � 2,01 %
Una entidadfinanciera ofrece un producto bancario consis-
tente en un 4 % anual capitalizable cuatrimestralmente.
Calcula el T.A.E. de la operación.
1 � �
T
1
.A
0
.
0
E.
� � �1 � �3400��
3
⇒ T.A.E. � 4,05 %
Una entidad financiera ofrece un producto capitalizable tri-
mestralmente que supone un T.A.E. del 4 %. ¿Cuál es el inte-
rés nominal?
1,04 � �1 � �40r0��
4
⇒ r � ��
4
1,04� � 1�400 � 3,94 %
Una persona presta 10 000 € a un familiar. Cada trimestre le
da 200 € correspondientes a los intereses que aquel capital
ha producido durante ese trimestre. Calcula el T.A.E. de este
préstamo.
El interés trimestral es del 2 %.
1 � �
T
1
.A
0
.
0
E.
� � (1 � 0,02)4 ⇒ T.A.E. � 8,24 %
Determina cuál de los dos procedimientos financieros 
siguientes es más favorable para el inversor y calcula 
también la diferencia que hay entre los dos capitales acu-
mulados.
A. Ingresar 300 000 € a un interés simple del 8 % anual
durante 10 años.
B. Ingresar 300 000 € a un interés compuesto del 7 %
anual durante 10 años.
Procedimiento A:
I � 300 000 � 0,08 � 10 � 240 000 € ⇒ C � 540 000 €
Procedimiento B:
C � 300 000 � (1,07)10 � 590 145,41 €
Es más ventajoso el procedimiento B.
No recuerdo cuánto tiempo hace que coloqué 10 000 € en el
banco a un interés compuesto anual que ahora tampoco
recuerdo. Esta mañana he ido al banco y me han dicho que
si ahora retirase el dinero me darían 13 310 €, pero que si
espero 2 años me darán 16 105,10 €. Calcula el interés anual
que me abona el banco y los años que hace que tengo el
dinero. Di también cuál es el interés anual equivalente que
me habría de abonar el banco a partir de ahora si le pido que
me abone los intereses cada mes.
13 310 � 10 000�1 � �10r0��
n
⇒ 1,331 � (1 � 0,01r)n
⇒ 1 � 0,01r � �
n
1,331�
16 105,10 � 10 000�1 � �10r0��
n � 2
⇒ 1,610 51 � (1 � 0,01r)n � 2
1,610 51 � ��
n
1,331��
n � 2
⇒ 1,610 51 � 1,331n � 2/n
⇒ �
n �
n
2
� � �
lo
lo
g
g
1,
1
6
,
1
3
0
3
5
1
1
� ⇒ n � 3 años
Sustituyendo: 1,01r � �
3
1,331� ⇒ r � 10 %
El interés anual será:
�1 � �11000��
4
� �1 � �1 2rm00��
12
⇒ rm � 9,57 %
33
32
31
30
29
28
433. Matemática financiera
Un banco ofrece dos opciones a sus clientes para cobrar los
intereses. Una consiste en un 2,25 % anual que se ingresa
mensualmente (cada mes se ingresa en la cuenta la doceava
parte de los intereses que le habría de pagar a final de año 
a un 2,25 % anual). La otra posible opción es un 2,4 % abo-
nado trimestralmente (cada trimestre ingresa la cuarta parte
de los intereses que habría de pagar a final de año a un 2,4 %
anual) ¿Cuál de las dos opciones tiene el T.A.E. más alto?
�1 � �T1.A0.0E.�� � �1 � �122,2050��
12
⇒ T.A.E. � 2,27 %
�1 � �T1.A0.0E.�� � �1 � �420,40��
4
⇒ T.A.E. � 2,42 %
La segunda opción es más ventajosa.
Hay dos anuncios muy parecidos en la prensa, relativos a
posibles inversiones:
ANUNCIO 1
Interés del 5 % T.A.E. calculado para cualquier importe
superior a 1 €.
Abono mensual de intereses.
Tipo de interés nominal del 4,89 %.
ANUNCIO 2
Interés del 5 % T.A.E. calculado para cualquier importe
superior a 1 €.
Abono trimestral de intereses.
Tipo de interés nominal del 4,89 %.
Comprueba que el primer anuncio es correcto y explica si
puede serlo también el segundo.
a) �1 � �142,8090��
12
� 1,05
b) �1 � �44,0809��
4
� 1,049 8 � 1,05
Cuando se afirma que la inflación anual es del 3,2 %, se está
indicando que un producto cuyo valor sea, por ejemplo, de
100 € al inicio del año valdrá 103,20 € al finalizar este.
Según esto, halla cuánto habrá que pagar dentro de 4 años
por una vivienda que ahora cuesta 137 000 €, suponiendo
una inflación anual constante del 3,2 %.
P � 137 000 � (1 � 0,032)4 � 155 395,83 €
Considerando la misma inflación del 3,2 %, calcula el precio
que tenía una vivienda hace 4 años si actualmente cuesta
200 000 €.
200 000 � P0 � (1 � 0,032)
4 ⇒ P0 � 176 323,91 €
Anualidades
Pepe tiene un préstamo de 10 000 € al 7 % de interés com-
puesto por 6 años. ¿Qué anualidad debe abonar?
A � P�
(1
i(
�
1 �
i)n
i
�
)n
1
� � 10 000 �
0
1
,0
,0
7
7
�
6
1
�
,0
1
76
�� 2 097,98 €
Una familia desea abrir una cuenta vivienda para tener un
cierto capital en el momento de la compra. Ahorra 1 000 €
mensuales y el banco le ofrece un 6 % de interés. ¿Cuánto
habrá ahorrado a los 3 años? ¿Y a los 5?
En 3 años:
C � A(1 � r)�
(1 � r
r
)n � 1
�� 1000 � 1,005�
1,0
0
0
,
5
0
3
0
6
5
� 1
�� 39532,79 €
39
38
37
36
35
34 En 5 años:
C � A(1 � r)�
(1 � r
r
)n � 1
�� 1000 � 1,005�
1,0
0
0
,
5
0
6
0
0
5
� 1
�� 70118,88 €
El día 15 de abril del 2015 me dejaron 6 000 € a un interés
compuesto anual del 8 %. He de devolver este préstamo en
cinco anualidades del mismo importe, la primera de las cua-
les he de pagarla el 15 de abril de 2016 y la última, el 15 de
abril de 2020.
a) Calcula el importe, A, de las anualidades.
b) Para cada uno de los años 2016, 2017 y 2018, calcula la
parte de la anualidad que se utiliza para pagar los inte-
reses del año y la parte que se destina a amortizar el
capital. Halla el capital total amortizado después de
pagar la anualidad y el capital pendiente en ese
momento.
a) A � P�
(1
i(
�
1 �
i)n
i
�
)n
1
� � 6 000�
0
1
,0
,0
8
8
�
5
1
�
,0
1
85
�� 1 502,74 €
b)
He abierto una cuenta corriente en un banco y he olvidado
qué interés anual me han dicho que me darán. Recuerdo,
sin embargo, que me han comentado que un capital cual-
quiera C ingresado en el banco a este interés, al cabo de 12
años se habría duplicado.
a) ¿Qué interés compuesto anual me pagan?
b) ¿Cuál sería el interés mensual equivalente?
c) A partir de mañana, día 18 de diciembre de 2014, pienso
ingresar 100 € cada mes al interés mensual anterior.
¿Cuánto dinero tendré el 18 de diciembre de 2015 antes
del ingreso correspondiente a aquel día?
a) 2C � C(1 � 0,01r)12 ⇒ r � 5,95 %
b) �1,0595 � �1 � �1 2r00��
12� ⇒ r � 5,79 %
c) C � A(1 � r)�
(1 � r
r
)n � 1
� � 100 � 1,0579�
1,0
0
5
,
7
0
9
5
1
7
2
9
� 1
��
� 1 762,94
Un año después tendré 1 762,94 €
Un trabajador de 52 años invierte anualmente 1 750 € a un
interés compuesto del 5,5 % con la intención de disponer
de cierto capital cuando se jubile a los 65 años. ¿De qué
capital podrá disfrutar?
Consideramos que se jubilará con 65 años, es decir, 13 años
después.
C � � 33 762
Cuando se jubile el trabajador dispondrá de 33 762 €
Se pide un préstamo de 15 000 € a un interés anual del
9,5 % a devolver en 15 años. ¿Qué cuota mensual debe
pagarse?
Teniendo en cuenta que 15 años son 180 meses, y que 0,095
de interés anual es 0,095/12 � 0,0079 de interés mensual se
tiene que:
43
1 750 � 1,055 (1,05513 � 1)
���
0,55
42
41
40
1 502,74 � 480 �
1 022,74
4 977,26 €
1 502,74 €
1 502,74 � 398,18
� 1 104,56
3 872,70 €
Capital amortizado
Capital
pendiente
Cuota
amortización
Cuota interésAño
4 977,26 � 0,08 �
398,18
1 502,74 €6 000 � 0,08 � 4802016
2017
1 502,74 � 309,82
� 1 192,92
2 679,78 €1 502,74 €
3 872,7 � 0,08 �
309,82
2018
44 Números y Álgebra
a ��
D
(1
�
�
l �
l
(
)
1
t �
�
1
l)t
�� � 157 €
Supóngase que en la actividad anterior la cuota mensual
que hay que pagar fuese de 125 €. ¿Cuánto tiempo se tarda-
ría en devolver el préstamo?
125 ��
D
(1
�
�
l �
l
(
)
1
t �
�
1
l)t
��
⇒ 125 � 1,007 9t � 125 � 118,5 � 1,007 9t ⇒ 1,007 9t � 19,23
Aplicando logaritmos:
t log 1,007 9 � log 19,23 ⇒ t � 376 meses
Se tardarían 31 años y 4 meses en devolver el préstamo.
Dos amigos deciden realizar un viaje, para lo cual deben
reunir un capital de 8 000 € en 3 años. ¿Cuánto dinero han
de colocar al año si el interés anual que les ofrece el banco
es del 8,2 %?
8 000 � ⇒ a �
De este modo, la anualidad debe ser de unos 2 273 €.
Una señora deposita 50 € cada mes en una cartilla de ahorro,
al 5 % de interés anual, con la intención de acumular un capi-
tal para su hijo. Sabiendo que empezó cuando el niño tenía
seis años, determina qué edad tendráel hijo cuando pueda
retirar 5 000 €. ¿Qué cantidad de capital acumulado podrá
retirar el hijo al llegar la mayoría de edad, es decir, 18 años?
5 000 �
⇒ 100 � ��01
,0
2
5
��� �1 � �01
,0
2
5
��
t�1
� �1 � �01
,0
2
5
��
⇒ �1 � �01
,0
2
5
��
t�1
� 100 � ��01
,0
2
5
��� �1 � �01
,0
2
5
��
1,00417 t�1 � 1,42083 ⇒ t � 1 ��
l
l
o
o
g
g
1
1
,
,
4
0
2
0
0
4
8
1
3
7
�� 84,41
⇒ t � 83,41 meses, es decir, 6 años, 11 meses y medio aproxi-
madamente.
Este cálculo no es así si el banco acumula los intereses al final
del año. En ese caso, el capital anual que la madre impone es
de 50 � 12 � 600 € y debe hacerse:
5 000 �
�
2
3
5
� � 0,05 � (1 � 0,05)t�1 � (1 � 0,05)
�
2
3
5
� � 0,05 � (1 � 0,05) � (1 � 0,05)t�1
1,46667 � 1,05 t�1, t � 1 � �
lo
l
g
og
1,4
1
6
,0
6
5
67
�� 7,85 años, es decir 
t � 6,85, 6 años, 10 meses y unos seis días.
Es este el modo común de acumulación de intereses.
Siguiendo este modelo, en el caso de que espere a la mayoría
de edad, habrán pasado 12 años, por lo que:
C � � 10 027,79 €
600 � (1,05) � [1,0512 � 1]
���
0,05
600 (1 � 0,05)[(1 � 0,05)t � 1]
����
0,05
50 � �1 � �01
,0
2
5
�� � ��1� �01
,0
2
5
��
t
� 1�
����
��01
,0
2
5
��
46
0,082 � 8 000
���
1,082 � (1,0823 � 1)
. (1,082) (1,0823 � 1)
���
0,082
45
15 000 � 0,007 9 � (1,007 9)180
���
1,007 9180 � 1
44
15 000 � 0,007 9 � (1,007 9)180
���
1,007 9180 � 1
¿Cuánto tiempo se tardará en amortizar una deuda de 2 500 €
al 8,5 % de interés si se paga una anualidad de 250 €?
Siguiendo la pauta de las anualidades de amortización:
2 500 �
10 � 0,085 � 1,085t � 1,085t �1
1,085t (1 � 0,85) � 1 ⇒ 1,085t � �
0,
1
15
� ⇒ t � �
�
lo
l
g
og
1,
0
0
,
8
1
5
5
� �
� 23,25 años
Una familia tiene un préstamo hipotecario de 240 000 € al
8 % de interés anual a devolver en 15 años. Si los pagos son 
mensuales, ¿qué cantidad mensual deberá abonar a la enti-
dad financiera para realizar una cancelación de su préstamo?
A � P�
(1
i(
�
1 �
i)n
i
�
)n
1
� � 240 000�
0,0
1
0
,0
6
0
7
6
�
7
1
18
,
0
00
�
67
1
180
�� 2 299,11 €
Una persona abrió una cuenta de ahorro el día 1 de enero
de 2014 al interés (compuesto) del 0,3 % mensual. Hizo una
imposición inicial de 600 €. Desde entonces fue ingresando
600 € en esta cuenta el día 1 de cada mes. El día 1 de enero
de 2015 ya no ingresó 600 € sino que sacó todo el capital
que tenía en la cuenta. Con el dinero que retiró y un présta-
mo que le concedió el banco ese mismo día se compró un
coche que costaba 23 000 €. El importe del préstamo era
justamente la cantidad que le faltaba para comprar dicho
automóvil. El préstamo era al 1,1 % de interés mensual y se
debía devolver en 18 mensualidades del mismo importe, la
primera de las cuales se ha de pagar el 1 de febrero de 2015.
Determina el importe de las mensualidades.
C � A(1 � r)�
(1 � r
r
)n � 1
�� 600 � 1,003�
1,0
0
0
,
3
0
2
0
4
3
� 1
�� 14 952,63 €
P � 23 000 � 14 952,63 � 8 047,37 €
A � P�
(1
i(
�
1 �
i)n
i
�
)n
1
� � 8 047,37�
0,
1
0
,
1
0
1
11
�
1
1
8
,
�
01
1
118
�� 495,24 €
Una cierta entidad financiera presta un capital al 10 % anual
amortizable en 10 años y otra entidad lo hace al 12 % a
devolver en 9 años. ¿En qué entidad son más bajas las anua-
lidades? ¿Y en cuál es más baja la cantidad total que se debe
devolver? 
Primera entidad:
A � P�
(1
i(
�
1 �
i)n
i
�
)n
1
� � P�
0
1
,
,
1
0
0
11
�
1
1
8
,
�
10
1
18
�� 0,16P
Segunda entidad:
A � P�
(1
i(
�
1 �
i)n
i
�
)n
1
� � P�
0,
1
1
,
2
12
�
9
1
�
,1
1
29
�� 0,076P
Son más pequeñas las anualidades y el capital a devolver en
la segunda entidad.
Decidimos ingresar en una cuenta de ahorro 1 200 € a ini-
cios de año durante 10 años. En los seis primeros años la
libreta nos da unos intereses del 4,6 % y a partir del séptimo
año el interés disminuye al 4,2 % anual. ¿Cuál es el saldo
final de la libreta?
C � A(1 � r)�
(1 � r
r
)n � 1
�� 1 200 � 1,046�
1,0
0
4
,
6
0
6
4
�
6
1
�� 8 452,27 €
C1 � 8 452,27 � 1,42
4 � 9 964,24 €
C2 � 1 200 � 1,042�
1,0
0
4
,
2
0
4
4
�
2
1
�� 5 325,62 €
Cf � 9 964,24 � 5 325,62 � 15 289,86 €
51
50
49
48
250 � [(1 � 0,085)t �1]
���
0,085 � (1�0,085)t
47
453. Matemática financiera
Evaluación (página 85))
1. Calcula el capital final que se obtiene para los distintos casos que se dan:
a) Depositar 1 000 € a un interés simple del 3 % anual durante 3 años.
b) Capitalizar 500 € con un interés simple del 5 % anual durante 2 años.
c) Ingresar 1 500 € a un interés del 3 % anual durante 3 años.
d) Depositar 2 000 € a un interés del 2 % anual durante 2 años con un período de capitalización semestral.
a) 1 090 € b) 550 € c) 1 639,09 € d) 2 081,21 €
2. Calcula el tiempo necesario para que una cantidad de 100 € se conviertan en una cantidad de 146,41 € con un rédito anual del
10 %.
146,41 � 100(1 � 0,1)t ⇒ 1,1t � 1,4641 ⇒ t ��
lo
l
g
og
1,4
1
6
,1
41
�� 4 años
3. ¿Cuál es el rédito en una inversión para que una cantidad de 3 000 € durante 2 años se convierta en 3 307,50 €?
3 307,50 � 3 000(1 � x)2 ⇒ x �	�3330070,0
50�
 � 1 � 5 %
4. Un bono es un producto financiero que permite invertir una cantidad con un período de tiempo e interés fijo. Calcula cuánto
hay que invertir para que al finalizar el bono en 4 años, con un interés del 3 % se haya obtenido una cantidad de 5 304,50 €.
5 304,50 � C(1 � 0,03)4 ⇒ C ��
5 3
1
0
,0
4
3
,5
4
0
�� 4 712,98 €
5. Calcula el T.A.E. para los distintos supuestos:
a) Un rédito del 6 % anual con un período de capitalización semestral.
b) Un rédito del 12 % anual con un período de capitalización trimestral.
a) T.A.E. ��1 � �2600��
2
� 1 � 6,09 %
b) T.A.E. ��1 � �41020��
4
� 1 � 12,55 %
6. Un agente financiero ofrece un plan de pensiones a 5 años con un interés del 5 %. La anualidad para ese plan es de 2 000 € ca-
da año. Calcula cuánto podríamos ahorrar con ese plan de pensiones.
C � 2 000 � (1 � 0,05) ��
1,0
0
5
,0
5 �
5
1
�� 11 603,83 €
7. A través de un plan de ahorros, Ana ha ahorrado 30 000 €. Si el plan de ahorros ha durado 15 años con un interés anual del 
6 %, calcula la anualidad que tenía que pagar Ana cada año.
30 000 � A � (1 � 0,06) ��
1,0
0
6
,
1
0
5
6
� 1
�⇒ A � 1 215,93 €
8. Copia y completa la siguiente tabla para un préstamo de 1 000 € a 4 años. ¿Cuál es el interés?
Año Interés
Cuota de
amortización
Amortización 
Capital
restante
0
2
3
1
� � � 1 000
282,01 � �
�
�
�
255,79
524,38
�
�
�
4 � � 013,43
50
Año Interés
Cuota de
amortización
Amortización 
Capital
restante
0
2
3
1
1 000
282,01 232,01 767,99
282,01
282,01 
243,61
255,79
524,38
268,59
38,40
26,22
4 282,01 268,58 013,43
50
46 Números y Álgebra
9. Se obtiene un préstamo de 12 000 € con un interés anual del 2 % que se tendrá que devolver en 5 años. Calcula la cuota de
amortización y construye la tabla de amortización para cada año.
La cuota para pagar cada año es 2 545,90 €.
10. Utiliza la hoja de cálculo para elaborar la tabla de amortización y calcular la anualidad para una hipoteca de 150 000 € que se
devolverá en 30 años a un interés de 1 % anual.
Insertamos en distintas celdas el capital (150 000), el interés (1 %) y el tiempo (30). En otra celda, insertamos un valor para la cuota
(no importa cuál sea). Después, construimos la tabla de amortización y arrastramos para obtener todos los períodos de tiempo.
Año Cuota interés
Cuota 
amortización
Capital
amortizado
Capital
pendiente
1
3
4
2
240,00 2 545,90 2 305,90 9 694,10 
2 545,90 2 352,02 7 342,08 
2 545,90
2 545,90
2 399,06
2 447,04
4 943,02 
2 495,98
146,84
98,86
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193,88
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