El futuro del espaciotiempo - Stephen Hawking

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Desde	Einstein,	y	sobre	 todo	a	partir	de	su	 teoría	de	 la	 relatividad	general,
sabemos	que	los	fenómenos	naturales	tienen	lugar	en	un	marco	geométrico
de	 cuatro	 dimensiones,	 en	 el	 espaciotiempo.	 En	 este	 libro	 algunos	 de	 los
físicos	y	divulgadores	científicos	más	importantes	de	nuestro	tiempo	exploran
las	posibilidades	más	llamativas	que	nos	abre	el	espaciotiempo	einsteiniano.
Tras	 una	 excelente	 introducción,	 en	 la	 que	 Richard	 Price	 suministra	 las
herramientas	conceptuales	básicas	para	poder	comprender	qué	es	eso	que
llamamos	 «espaciotiempo»,	 Igor	 Novikov	 introduce	 a	 los	 lectores	 en	 las
posibilidades	de	los	viajes	en	el	tiempo	con	sencillas	explicaciones	y	modelos
que	evitan	las	típicas	paradojas	que	se	producen	cuando	el	viaje	conduce	a
tiempos	anteriores	al	de	partida.	Sin	embargo,	los	viajes	en	el	tiempo	son,	tal
vez,	 imposibles	 porque	 pueden	 violar	 leyes	 físicas	 que	 aún	 no	 hemos
descubierto:	 esta	 es	 la	 cuestión	 que	 aborda	 Stephen	 Hawking	 con	 su
maestría	 habitual.	 Por	 su	 parte,	 Kip	 Thorne	mira	 a	 un	 futuro	 en	 el	 que	 se
pueda	 comprobar	 una	 de	 las	 predicciones	 de	 la	 teoría	 de	 la	 relatividad
general,	la	de	la	radiación	gravitacional,	que	ha	desafiado	hasta	el	momento
todos	 los	 intentos	de	ser	detectada,	mientras	que	Alan	Lightman	y	Timothy
Ferris	 abordan	 aspectos	 más	 «externalistas»	 que	 conectan	 la	 ciencia	 del
espaciotiempo,	y	 la	ciencia	en	general,	con	la	cultura,	entendida	ésta	en	su
sentido	más	amplio.	Y	es	que	no	hay	verdadera	cultura	sin	ciencia.
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Stephen	Hawking	&	Kip	S.	Thorne	&	Igor	Novikov	&	Timothy	
Ferris	&	Alan	Lightman	&	Richard	Price
El	futuro	del	espaciotiempo
ePub	r1.0
Titivillus	04.04.16
www.lectulandia.com	-	Página	3
Título	original:	The	future	of	spacetime
Stephen	Hawking	&	Kip	S.	Thorne	&	Igor	Novikov	&	Timothy	Ferris	&	Alan	Lightman	&	Richard
Price,	2002
Traducción:	Javier	García	Sanz
Editor	digital:	Titivillus
Aporte	original:	Spleen
ePub	base	r1.2
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Prefacio	y	agradecimientos
Éste	 no	 es	 un	 libro	 homogéneo.	 Para	 empezar,	 es	 una	 amalgama	 de	 ensayos
curiosamente	diferentes	que	han	sido	reunidos	dejando	las	marcas	de	la	soldadura	al
descubierto.	Nuestro	editor	en	W.	W.	Norton,	Ed	Barber,	nos	ha	apoyado	mucho	a	lo
largo	 del	 proceso	 de	 soldadura,	 pero	 en	 varias	 ocasiones	 creímos	 oírle	murmurar
nerviosamente	 (pero	dando	apoyo)	 la	palabra	«batiburrillo».	De	hecho,	 el	 libro	es
exactamente	 como	 debería	 ser,	 una	 colección	 ecléctica	 y	 encantadoramente
heterogénea.	Así	son	la	ciencia	y	los	científicos:	mezclas,	sin	fuertes	restricciones	y,
con	frecuencia,	sin	una	organización	muy	evidente.
Hay	principios	organizadores	detrás	del	libro:	las	contribuciones	son	excelentes
y	 legibles	 —difícilmente	 se	 encontrará	 una	 ecuación—.	 Todas	 ellas	 están
relacionadas	 con	 la	 física	 moderna	 del	 espacio	 y	 el	 tiempo.	 Y,	 lo	 que	 es	 más
importante,	 son	adaptaciones	de	charlas	dadas	el	3	de	 junio	de	2000	en	honor	del
sexagésimo	 cumpleaños	 de	 Kip	 Thorne	 del	 Instituto	 de	 Tecnología	 de	 California.
Pero	admitimos	que	el	contenido	crea	algunas	yuxtaposiciones	pintorescas.	Hay	tres
ensayos	que	divulgan	ciencia,	un	ensayo	sobre	la	forma	de	divulgar	la	ciencia	y	un
ensayo	sobre	la	diferencia	entre	ciencia	y	divulgación.
Este	 libro	 impuro	 nació	 de	 un	 engaño.	 Es	 tradicional	 celebrar	 el	 sexagésimo
cumpleaños	 de	 los	 científicos	 importantes.	 Kip	 Thorne	 no	 sólo	 es	 un	 científico
importante	 sino	 que	 también	 es	 importante	 personalmente	 para	 cada	 uno	 de
nosotros.	Queríamos	hacer	en	esta	ocasión	algo	realmente	especial,	pero	su	modestia
era	 un	 inconveniente.	 Por	 ello	 recurrimos	 a	 lo	 que	 podría	 llamarse	 una	 farsa,	 o
incluso	una	trampa,	para	que	Kip	aceptara	recibir	los	honores	y	tomar	parte	en	ello.
Todo	 había	 sido	 preparado	 a	 espaldas	 de	 Kip.	 Cinco	 famosos	 oradores	 habían
aceptado	dar	sus	charlas;	se	había	reservado	el	centro	de	celebraciones	públicas	de
Caltech,	el	Beckman	Auditorium.	Cuando	Kip	supo	toda	la	verdad	ya	era	demasiado
tarde	para	que	él	se	volviera	atrás.
Aquí	 presentamos	 adaptaciones	 de	 las	 charlas	 dadas	 ese	 día	 en	 Caltech.	 Los
oradores	 invitados	 eran	 figuras	 distinguidas	 y	 consumadas,	 y	 atrajeron	 a	 una
multitud.	 Dice	mucho	 sobre	 el	 lugar	 de	 Kip	 en	 la	 comunidad	 el	 hecho	 de	 que	 no
hubiera	que	recurrir	a	segundas	elecciones.	Todos	a	quienes	se	pidió	que	hablaran
aceptaron	 la	 invitación.	 Aceptaron	 no	 cobrar	 por	 sus	 charlas	 ni	 por	 el	 uso	 de	 las
adaptaciones	de	sus	charlas	en	esta	recopilación.	El	sábado	3	de	 junio	de	2000	se
impartieron	 gratuitamente	 las	 charlas.	 Las	 ganancias	 de	 este	 libro	 irán	 a	 una
fundación	en	Caltech	unida	al	nombre	de	Kip.
Lo	que	es	suficientemente	interesante	para	atraer	a	una	multitud	a	un	auditorio
también	debería	ser	de	interés	para	muchos	de	ustedes	que	no	pudieron	estar	en	el
lugar	 adecuado	 en	 el	 momento	 adecuado.	 Quizá	 este	 volumen	 carezca	 de	 la
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inmediatez	de	la	presencia	física	de	los	oradores,	pero	permite	una	degustación	más
pausada	 de	 algunos	 platos	 de	 gourmet	 que	 no	 deberían	 ser	 consumidos
apresuradamente.
En	 uno	 de	 los	 ensayos	 que	 siguen,	 Igor	 Novikov,	 director	 del	 Centro	 de
Astrofísica	Teórica	en	el	NORDITA	(Instituto	Nórdico	para	Física),	nos	habla	sobre
el	 viaje	 en	 el	 tiempo:	 un	 tema	que	 parece	 extraño	 y	maravilloso	 incluso	 para	 una
comunidad	 científica	 que	 se	 siente	 tan	 cómoda	 con	 los	 agujeros	 negros	 como	 con
unos	 zapatos	 viejos.	 Se	 nos	 introduce	 en	 el	 tema	 con	 explicaciones	 sencillas	 y
modelos	mecánicos	simples	de	cómo	evitar	paradojas	cuando	se	viaja	hacia	atrás	a
un	tiempo	anterior.	Aun	si	no	es	paradójico,	el	viaje	en	el	tiempo	quizá	sea	imposible.
Stephen	Hawking,	Profesor	Lucasiano	de	Matemáticas	 en	Cambridge	 y	uno	de	 los
más	famosos	científicos	del	mundo,	ofrece	los	resultados	de	sus	investigaciones	sobre
la	pregunta	«¿hasta	qué	punto	imposible?».	Aprendemos	que	esta	pregunta	exige	ir
hasta	la	misma	frontera	de	lo	que	hoy	se	entiende	en	física,	y	que	su	respuesta	exigirá
ir	un	poco	más	allá.	El	 ensayo	de	Kip	Thorne	es	un	 intento	de	 viajar	a	un	 tiempo
futuro.	 [Todos	 acabamos	 haciéndolo,	 pero	 Kip	 se	 adelanta	 en	 una	 misión	 de
exploración].	 La	 astronomía	 de	 ondas	 gravitatorias	 será	 una	 realidad	 en	 el	 futuro
próximo,	 y	 Kip	 comparte	 su	 entusiasmo	 por	 los	 descubrimientos	 excitantes	 que
producirá	en	un	futuro	menos	cercano.
Los	 dos	 últimos	 ensayos	 constituyen	 un	 conjunto	 que	 difiere	 algo	 de	 las
explicaciones	 científicas	 de	 los	 anteriores.	 Uno	 es	 debido	 a	 Timothy	 Ferris,	 un
destacado	escritor	y	periodista	científico,	que	ha	fijado	alto	el	listón	para	lo	que	debe
ser	la	divulgación	de	la	astronomía	y	la	cosmología,	con	libros	como	The	Red	Limit,
The	Whole	 Shebang[*]	 y	 Coming	 of	 Age	 in	 the	 Milky	 Way.	 Él	 nos	 habla	 sobre	 la
necesidad	 y	 la	 dificultad	 de	 explicar	 la	 ciencia,	 e	 incluye	 una	 parte	 de	 un	 guión
cinematográfico	que	cae	en	algún	lugar	entre	la	ciencia	y	el	arte,	o	en	ambos.	Alan
Lightman	vive	ciertamente	en	ambos	mundos.	De	ser	un	físico	destacado	con	pasión
por	la	escritura,	ha	pasado	a	ser	un	escritor	destacado	con	pasión	por	la	física.	Para
aquellos	que	no	se	dediquen	a	la	física	o	participen	en	el	Programa	de	Escritura	del
MIT,	Alan	es	probablemente	más	conocido	por	el	best-seller	Sueños	de	Einstein	de
1993.	 Puesto	 que	 ha	 experimentado	 los	 tipos	 muy	 diferentes	 de	 creatividad	 que
forman	parte	de	 la	ciencia	y	 forman	parte	del	arte,	él	 tiene	 la	rara	autoridad	para
ofrecer	una	comparación	de	ambos	en	su	ensayo.
Además	 de	 adaptaciones	 de	 las	 cinco	 charlas,	 Richard	 Price,	 un	 teórico	 del
Departamento	 de	 Física	 de	 la	 Universidad	 de	 Utah,	 nos	 ofrece	 una	 breve
introducción	 a	 las	 ideas	 de	 la	 física	 acercadel	 espaciotiempo,	 y	 a	 la	 historia	 de
dichas	 ideas.	 Esta	 introducción	 establece	 el	 escenario	 para	 la	 ciencia	 mostrada,
anunciada	y	ponderada	por	Timothy	Ferris,	Stephen	Hawking,	Alan	Lightman,	Igor
Novikov	y	Kip	Thorne.
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Este	libro	debe	su	existencia	a	la	celebración	del	Festival	Kip	en	Caltech	a	principios
de	junio	de	2000.	Por	lo	tanto	está	en	deuda	con	las	muchas	personas	que	ayudaron
a	que	dicho	evento	tuviera	lugar.	Nosotros	siete	 formábamos	el	comité	organizador
de	dicho	evento,	pero	éramos	sólo	un	pequeño	subconjunto	de	los	que	contribuyeron.
Algunos	de	éstos	deben	ser	mencionados.
Ciertamente	 el	 libro	 y	 el	 evento	 no	 podrían	 haberse	 dado	 sin	 el	 apoyo,	 tanto
financiero	 como	 logístico,	 de	 la	 administración	 de	Caltech.	En	 particular,	 hay	 que
agradecérselo	 a	 David	 Baltimore,	 presidente	 de	 Caltech,	 y	 Thomas	 Tombrello,
director	 de	 la	 División	 de	 Física,	 Matemáticas	 y	 Astronomía	 de	 Caltech.	 David
Goodstein,	 vicedecano	 de	 Caltech,	 merece	 un	 agradecimiento	 especial	 por	 actuar
como	maestro	de	ceremonias	en	las	charlas.
Además	del	apoyo	financiero	de	Caltech,	el	Festival	Kip	recibió	gran	parte	de	la
financiación	necesaria	de	David	Lee	y	su	compañía	Global	Crossing.	Gracias	David.
Hubo	 muchos	 que	 ayudaron	 de	 muchas	 maneras:	 el	 consejo	 del	 Beckman
Auditorium,	el	personal	de	relaciones	públicas	de	Caltech,	el	Athenaeum	de	Caltech,
Lynda	Williams	(la	«Physics	Chanteuse»),	y	todos	aquellos	que	cruzaron	el	mundo	o
el	campus	de	Caltech	para	tomar	parte.	¡Gracias	a	todos!
EANNA	FLANAGAN,	SANDOR	KOVACS,
RICHARD	PRICE,	BERNARD	SCHUTZ,
CLIFFORD	WILL,	LESLIE	WILL,
ELIZABETH	WOOD
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Introducción
Bienvenidos	al	espaciotiempo
RICHARD	PRICE
Una	fiesta	en	el	espaciotiempo
Es	 curioso	 cuánto	 tiempo	 espera	 uno	 para	 hacerse	 algunas	 de	 las	 preguntas	 más
importantes,	 incluso	preguntas	sobre	su	propia	vida.	A	veces	 tiene	que	esperar	a	un
suceso	que	le	anime	a	detenerse	y	echar	la	vista	atrás.	Un	acontecimiento	de	este	tipo
fue	 la	 celebración	 del	 sexagésimo	 cumpleaños	 de	Kip	S.	Thorne.	Kip	 (él	 se	 siente
incómodo	con	cualquier	 título	más	pomposo)	es	uno	de	 los	 teóricos	de	 la	física	del
espaciotiempo	más	conocidos	del	país,	y	un	gran	divulgador	de	su	extraña	ciencia.	Es
una	 persona	 cuya	 humanidad	 es	 tan	 singular	 como	 su	 intelecto,	 una	 persona	 que
influyó	en	las	vidas	de	muchos	que	trabajaron	con	él.	Un	simposium	para	celebrar	el
sexagésimo	 cumpleaños	 de	 un	 científico	 importante	 es	 una	 especie	 de	 tradición	 en
física,	 pero	 la	 sensación	 que	 flotaba	 en	 el	 aire	 en	 Caltech	 en	 junio	 de	 2000	 era
evidentemente	mucho	más	 compleja.	Asistir	 a	 la	 celebración	 era	 una	 expresión	 de
afecto	tanto	como	de	homenaje.
Deber	 y	 deseo	 atrajeron	 a	 los	 físicos	 que	 alguna	 vez	 se	 habían	 cruzado	 en	 la
carrera	de	Kip,	desde	mediados	de	la	década	de	1960	hasta	el	presente,	de	modo	que
un	estudiante	de	la	física	del	espaciotiempo	que	pasease	los	días	2	y	3	de	junio	por	el
Ramo	Auditorium	 de	 Caltech	 durante	 las	 pausas	 para	 el	 café	 podía	 ver	 un	museo
viviente	de	la	ciencia	de	la	época.	Las	piezas	de	este	museo	incluían	a	colegas	que	se
habían	perdonado	mutuamente	algún	desaire	pasado	y	volvían	a	dirigirse	la	palabra,
físicos	que	estaban	presentando	torpemente	a	sus	nuevas	esposas,	y	colegas,	en	otro
tiempo	estudiante	y	profesor,	que	ahora	llegaban	a	una	igualdad	más	relajada	con	el
paso	del	tiempo.	El	hecho	de	que	la	reunión	coincidiera	con	la	llegada	de	un	nuevo
milenio	podría	haber	impresionado	a	una	muchedumbre	más	impresionable,	pero	esta
vez	había	un	acontecimiento	más	apropiado	para	la	ocasión:	la	inminente	terminación
de	un	sistema	mundial	de	detectores	para	detectar	ondas	gravitatorias,	oscilaciones	en
el	espaciotiempo.
El	 cumpleaños	 era	 un	 recordatorio	 del	 paso	 del	 tiempo.	 La	 reunión	 de	 viejos
amigos	 y	 rivales	 creaba	 la	 sensación	monocroma	 de	 una	 película	 sueca,	 pese	 a	 las
palmeras	 de	 los	 alrededores.	 Era	 el	 momento	 de	 plantear	 algunas	 preguntas
pendientes.	¿Qué	impulsa	a	personas	razonables	(aquí	se	está	haciendo	una	hipótesis)
a	dedicar	sus	vidas	al	estudio	de	la	naturaleza	del	espacio	y	el	tiempo?
En	el	momento	de	escribir	esta	introducción	se	cierra	un	siglo	caracterizado	por	la
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ciencia,	 especialmente	 por	 la	 física.	Después	 de	 todo,	Albert	Einstein	 fue	 escogido
por	 la	 revista	 Time	 (el	 nombre	 resulta	 irónico)	 como	 la	 personalidad	 del	 siglo.
Einstein	había	iniciado	el	siglo	de	forma	impresionante	en	su	año	milagroso	de	1905.
En	ese	año,	dio	la	demostración	estadística	de	la	naturaleza	atómica	de	la	materia	y,
con	su	explicación	de	los	fotones	que	inciden	en	superficies	metálicas,	que	le	valió	el
Premio	Nobel,	ayudó	a	poner	en	marcha	la	revolución	cuántica	con	la	que	nunca	se
sintió	cómodo.	Pero	tanto	entre	científicos	como	entre	nocientíficos,	la	respuesta	más
probable	 a	 «Einstein»	 en	 un	 test	 de	 asociación	 de	 palabras	 sería	 citar	 su	 tercer
milagro	de	1905:	la	«relatividad»,	la	teoría	de	la	estructura	del	espacio	y	el	tiempo.
¿Qué	había	en	ese	trabajo,	y	no	en	su	más	relevante	y	«útil»	trabajo	sobre	átomos
y	 fotones,	 para	 hacer	 de	 Einstein	 una	 celebridad	 y	 un	 héroe?	 Probablemente	 es	 el
hecho	de	que	trabajamos	diariamente	con	el	espaciotiempo,	y	creemos	que	sabemos
lo	 que	 es.	 Los	 átomos	 son	 demasiado	 pequeños,	 los	 fotones	 son	 demasiados;	 no
tenemos	opiniones	firmes	sobre	estas	cosas.	Cuando	se	nos	dan	noticias	sobre	ellos,
las	aceptamos	como	parte	del	progreso	metódico	de	la	ciencia.	La	materia	está	hecha
de	(tipos	de)	unidades	indivisibles;	la	luz	tiene	una	naturaleza	de	onda	y	de	partícula	a
la	vez.	Quien	no	es	científico	no	tiene	pruebas	para	contradecir	el	primer	enunciado,
y	 ninguna	 comprensión	 clara	 de	 lo	 que	 se	 entiende	 por	 el	 segundo.	 Pero	 en	 1905
Einstein	nos	dijo	también	que	el	tiempo	no	es	un	reloj	universal	que	marcha	al	mismo
ritmo	 para	 todos,	 y	 que	 un	 gemelo	 que	 parte	 en	 un	 viaje	 en	 un	 cohete	 a	 gran
velocidad	 no	 envejecerá	 tanto	 como	 el	 otro	 gemelo	 que	 se	 queda	 en	 casa.	Esto	 se
entiende	 y	 parece	 escandaloso.	 Lo	 que	 atrapó	 la	 imaginación	 popular	 era	 que	 es
imposible,	y	pese	a	todo	es	correcto.
Estar	 equivocados	 nos	 sorprende.	 Nos	 enseña	 algo	 sobre	 nosotros	mismos.	 No
sólo	hay	cosas	que	no	sabemos,	sino	que	las	cosas	que	sabemos	pueden	ser	falsas.
La	relatividad,	o	la	física	del	espaciotiempo,	con	su	aura	de	agujeros	negros	y	un
universo	en	expansión,	capta	nuestra	atención	porque	es	la	materia	de	la	vida	diaria
—espacio	 y	 tiempo—	hecha	 exótica,	 como	 si	 el	 bibliotecario	 condujera	 un	 Ferrari
vestido	 con	 una	 túnica	 indonesia.	 Esto	 explica,	 creo	 yo,	 la	 razón	 de	 la	 perenne
fascinación	que	ejerce	sobre	los	legos	con	conocimientos	científicos.	También	explica
la	importancia	de	la	relatividad	para	aquellos	con	demasiada	poca	paciencia	y	quizá
demasiada	autoconfianza.	Cualquier	físico	relativista	ha	pasado	por	la	experiencia	de
recibir,	 varias	 veces	 al	 año,	 una	 nueva	 teoría	 de	 la	 relatividad	 remitida	 por	 un
pensador	no-tradicional	con	inclinaciones	técnicas	que	no	ha	«leído	todos	los	libros»
pero	sabe	dónde	estaba	equivocado	Einstein.
Una	 respuesta	 a	 la	 pregunta	 «por	 qué»	 no	 es	 tan	 evidente	 para	 aquellos	 de
nosotros	que	somos	estudiantes,	colegas	y	colaboradores	de	Kip.	Hemos	leído	«todos
los	 libros»	 y	 trabajamos	 con	 los	 detalles.	 Mi	 propia	 investigación,	 por	 ejemplo,
trabaja	 fundamentalmente	 con	matemática	 aplicada,	 la	misma	matemática	 aplicada
que	 podría	 dedicarse	 a	 un	 trabajo	 honesto	 como	 la	 hidrodinámica	 o	 la	 ingeniería
química.	El	asombro	ante	el	hecho	de	que	estos	esfuerzos	se	dirijan	a	las	colisiones
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de	los	agujeros	negros	se	pierde	fácilmente	con	la	familiaridad.	Lo	mismo	sucede	con
losaviones.	 Aplastados	 en	 nuestros	 asientos	 refunfuñamos	 sobre	 minucias	 y	 no
mostramos	 ningún	 temor	 por	 habernos	 despegado	 de	 la	 Tierra.	 Pero	 a	 veces,
observando	 desde	 una	 colina,	 vemos	 un	 enorme	 chorro	 que	 se	 desliza
silenciosamente	sobre	una	ciudad	y	nos	quedamos	atónitos.	De	la	misma	forma,	yo	a
veces	me	despego	de	la	computación	y	recuerdo	que	estoy	tratando	de	desenmarañar
enigmas	sobre	regiones	del	universo	de	las	que	no	es	posible	escapar;	¡éste	es	el	tipo
de	cosas	de	mi	trabajo	diario!	(Y,	lo	que	es	aún	más	extraño,	me	pagan	por	ello).
Las	contribuciones	a	este	volumen	ilustran	varios	temas	diferentes	que	son	parte
de	un	tema	más	amplio.	Stephen	Hawking	e	Igor	Novikov	nos	hablan	sobre	el	viaje
en	el	tiempo:	un	tema	que	parece	extraño	e	iconoclasta	incluso	para	una	comunidad
científica	para	 la	que	 los	 agujeros	negros	 resultan	 tan	 cómodos	 como	unos	 zapatos
viejos.	Luego	interviene	Kip	Thorne	para	llevarnos	en	una	dirección	muy	diferente,	la
de	las	ondas	gravitatorias,	oscilaciones	del	espaciotiempo	que	serán	detectadas	en	el
futuro	cercano	por	experimentos	a	escala	mundial;	y	Kip	hace	predicciones	sobre	lo
que	se	descubrirá.	Mientras	las	elucubraciones	sobre	el	viaje	en	el	tiempo	tratan	con
lo	que	las	leyes	de	la	naturaleza	podrían	hacer	imposible,	Kip	elucubra	sobre	lo	que	la
tecnología	puede	hacer	posible.	Elucubraciones	de	un	tipo	muy	diferente	aparecen	en
otros	capítulos.	Alan	Lightman	expone	sus	ideas	sobre	las	diferencias	entre	los	actos
creativos	de	escribir	y	de	resolver	un	problema	científico.	¿Cómo	puede	comunicarse
la	 maravilla	 de	 este	 tipo	 de	 ciencia	 a	 quienes	 carecen	 de	 formación	 técnica?	 Tim
Ferris,	que	ha	tenido	un	éxito	excepcional	haciendo	esto	precisamente,	nos	da	algunas
respuestas	en	su	contribución.
Esta	 introducción	 pretende	 establecer	 el	 escenario	 en	 el	 que	 actuarán	 los
colaboradores.	 Presentaré	 un	 esbozo	minimalista	 de	 lo	 que	 hacen	 exactamente	 los
físicos	 cuando	 dicen	 que	 están	 trabajando	 sobre	 el	 espaciotiempo.	 Puesto	 que	 mi
introducción	saldría	perdiendo	inevitablemente	en	una	comparación	con	algunas	otras
introducciones	al	tema,	permítanme	rebajar	las	expectativas	del	lector.	Aquí	no	voy	a
describir	 la	 interacción	 entre	 los	 lados	 técnico	 y	 humano	 de	 la	 historia,	 como	 tan
bellamente	hace	Kip	en	su	reciente	libro	de	divulgación	Black	Holes	and	Time	Warps.
[1]	 Tampoco	 voy	 a	 exponer	 las	 ideas	 introductorias	 con	 tanta	 perfección	 y	 claridad
matemática	 como	 hacen	 Edwin	 Taylor	 y	 John	 Wheeler	 en	 su	 maravilloso	 librito
Spacetime	Physics.[2]	Si	 esta	 introducción	despertara	 el	 interés	del	 lector,	 los	 libros
citados	 son	 excelentes	 textos	 de	 consulta.	Aquí	 tocaré	 sólo	 la	 superficie,	 y	 a	 veces
flotaré	sobre	la	superficie.	El	objetivo	principal	de	esta	introducción	es	la	brevedad,	y
eso	 se	 ha	 conseguido.	 Espero	 que	 no	 sea	 el	 único	 logro.	 Creo	 que	 sí	 da	 cierta
sustancia	a	algunas	de	las	ideas	que	aparecen	en	las	colaboraciones	aquí	recogidas.
Las	preguntas	no	son	nuevas.	El	interés,	quizá	la	obsesión,	por	la	naturaleza	del
espacio	 y	 el	 tiempo	 es	 tan	 viejo	 como	 el	 pensamiento	 humano.	 Los	 pensadores
clásicos	 tuvieron	 mucho	 que	 decir	 sobre	 el	 tema.[3]	 Algo	 de	 ello	 parece	 ahora
curiosamente	 ingenuo,	 y	 algo	 de	 ello	 sigue	 siendo	 impresionantemente	 profundo.
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(Para	 mí,	 Zenón,	 en	 particular,	 parece	 haber	 envejecido	 bien).	 La	 discusión	 se
limitará	 aquí	 a	 las	 ideas	 modernas,	 ideas	 que	 necesitaron	 miles	 de	 años	 para
evolucionar	y	que	encontraron	su	implementación	precisa	en	las	matemáticas.	Es	una
sorpresa	 agradable	 que	 las	 claves	 de	 una	 discusión	 tan	moderna	 sean	 accesibles	 a
quienes	no	tienen	una	amplia	formación	en	matemáticas	y	física.	Lo	importante	será
trabajar	 de	 entrada	 con	 algunas	 palabras	 centrales	 que	 proceden	 del	 discurso
cotidiano	pero	que	han	adquirido	un	significado	especial	y	preciso	en	conexión	con	el
espaciotiempo.	La	 física	 no	 es	muy	diferente	 de	 otras	 empresas	 en	 este	 sentido.	Si
uno	no	sabe	lo	que	se	entiende	por	«cascar»	un	huevo,	no	sabrá	hacer	una	tortilla;	si
uno	 no	 sabe	 lo	 que	 es	 un	 «suceso»,	 no	 puede	 entender	 la	 geometría	 del
espaciotiempo.
Observadores	discrepantes
Una	 introducción	 a	 los	 términos	 especiales	 no	 tiene	 por	 qué	 ser	 abstracta	 o
incómoda.	La	prueba	de	ello	es	el	libro	de	Taylor	y	Wheeler,	que	con	tanta	claridad
introduce	 los	 términos,	 las	 ideas	 y	 las	 matemáticas.	 Mi	 más	 sincero	 halago	 será
tomar,	sin	modificación,	algunas	de	las	imágenes	del	comienzo	de	dicho	libro.
La	historia	 se	abre	con	una	persona	de	pie	en	mitad	de	un	pequeño	puente	que
cruza	un	 río	 recto	y	 estrecho	que	 corre	por	un	paisaje	 llano.	Mira	directamente	 río
arriba	y	quiere	dar	una	descripción	cuantitativa	de	 la	 localización	de	 los	 lugares	de
interés,	 como	 el	 campanario	 de	 la	 vieja	 iglesia.	 Podría	 hacerlo	 de	 muchas	 formas
diferentes.	 Podría	 decir	 que	 el	 campanario	 está	 a	 924	 metros	 de	 ella,	 y	 en	 una
dirección	a	un	ángulo	de	30	grados	a	la	izquierda.	Alternativamente,	podría	advertir
que	 la	 campana	 está	 a	 800	metros	 «hacia	 delante»	 (en	 dirección	 río	 arriba)	 y	 462
metros	«a	 la	 izquierda»	(lo	que	significa	462	metros	a	 la	 izquierda	del	río,	véase	 la
fig.	1).	Lo	que	es	común	a	ambos	métodos	de	descripción	(y	a	cualquier	otro	método)
es	 que	 debe	 especificar	 dos	 números.	 Por	 esa	 razón	 decimos	 que	 el	 conjunto	 de
localizaciones	en	el	paisaje	es	un	mundo	bidimensional.	En	física	se	suele	decir	que
las	medidas	están	hechas	por	un	«observador»	y	el	método	de	localizar	puntos	es	un
«sistema	 de	 referencia»	 asociado	 al	 observador.	 Los	 números	 concretos	 a	 los	 que
llega	 nuestro	 observador	 (tales	 como	 800	 metros	 y	 462	 metros)	 se	 denominan
«coordenadas»	de	una	localización.
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FIGURA	1.	La	misma	localización	con	diferentes	coordenadas.
La	 existencia	 e	 importancia	 de	 estos	 términos	 especiales	 sugiere	 correctamente
que	puede	haber	otros	observadores	y	otros	sistemas	de	referencia.	De	hecho,	de	esto
es	de	lo	que	trata	la	relatividad:	de	la	relación	entre	medidas	(es	decir,	coordenadas)
en	 diferentes	 sistemas	 de	 referencia.	 Es	 crucial,	 entonces,	 que	 tengamos	 otro
observador	 y	 que	 nuestros	 observadores	 discrepen	 en	 las	 medidas.	 Pongamos	 que
nuestro	 segundo	 observador	 está	 de	 pie	 en	 medio	 del	 puente,	 junto	 al	 primer
observador.	Él	 también	está	 compilando	una	descripción	 cuantitativa	del	paisaje,	 el
mundo	 bidimensional	 de	 localizaciones,	 y	 también	 lo	 hace	 utilizando	 el	 método
«hacia	delante	y	hacia	la	izquierda».	Esto	no	nos	aportaría	nada	nuevo	si	él	estuviera
mirando	río	arriba:	estaría	de	acuerdo	con	el	primer	observador	y	no	habría	ninguna
discrepancia	 instructiva.	 Supongamos,	 por	 lo	 tanto,	 que	 mira	 en	 una	 dirección
diferente	de	la	del	primer	observador.	Mirará	en	una	dirección	a	un	cuarto	del	camino
entre	 las	direcciones	«hacia	delante»	y	«hacia	 la	 izquierda»	o,	dicho	de	otra	 forma,
estará	mirando	a	22,5	grados	a	 la	 izquierda	de	la	dirección	río	arriba.	Esto	le	da	un
sistema	de	referencia	diferente	y	le	coloca	mirando	en	una	dirección	más	próxima	a	la
del	 campanario	 de	 la	 vieja	 iglesia.	 Como	 consecuencia,	 él	 mide	 coordenadas
diferentes:	 el	 campanario	 está	 a	 916	 metros	 hacia	 delante	 y	 121	 metros	 hacia	 la
izquierda.
Entendemos	que	realmente	hay	sólo	un	campanario	en	una	sola	posición,	y	que
los	dos	observadores	no	discrepan	sobre	la	localización,	sino	sólo	sobre	los	números
(coordenadas)	 que	 la	 caracterizan.	 Sabemos	 además	 que	 debe	 haber	 una	 relación
entre	las	coordenadas	marcadas	por	el	primer	y	el	segundo	observador.	Esta	relación
entre	 las	 coordenadas	 de	 cualquiera	 de	 los	 observadores	 se	 denomina	 una
«transformación»,	otro	de	aquellos	términos	especiales.	Es	una	expresiónmatemática
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de	 un	 tipo	 de	 relatividad,	 una	 relación	 entre	 las	 coordenadas	 medidas	 por	 un
observador	 y	 por	 el	 otro.	 Dicha	 relación	 viene	 dada	 por	 fórmulas	 que	 se	 podrían
enseñar	 con	 las	 matemáticas	 que	 se	 estudian	 en	 la	 enseñanza	 secundaria.	 No	 son
fórmulas	difíciles,	pero	las	matemáticas	distraen	la	atención	de	las	ideas	básicas	que
representan.	 Más	 que	 presentar	 fórmulas,	 en	 la	 figura	 2	 muestro	 las	 matemáticas
como	un	aparato	en	donde	se	introducen	como	datos	de	entrada	las	posiciones	hacia
la	izquierda	y	hacia	delante	según	el	primer	observador	y	da	como	salida	los	valores
tal	 como	 los	marca	 el	 segundo	 observador.	 Por	 supuesto,	 debe	 haber	 otro	 dato	 de
entrada	para	esta	máquina:	la	forma	de	especificar	la	relación	entre	los	dos	sistemas
de	 referencia.	 En	 nuestro	 caso,	 esto	 significa	 que	 debemos	 introducir	 la
especificación	«22,5	grados».
La	máquina	 de	 la	 figura	 2	 no	 es	 otra	 cosa	 que	 las	 fórmulas:	 fórmulas	 que,	 en
conjunto,	un	profesor	de	matemáticas	de	instituto	podría	llamar	una	«transformación
rotacional».	La	máquina	podría	ser	en	realidad	un	chip	de	computador	muy	 sencillo
diseñado	 para	 no	 hacer	 otra	 cosa	 que	 ejecutar	 las	 computaciones	 sencillas	 de	 la
transformación	rotacional.	En	la	época	maravillosa	en	que	vivimos,	sólo	costaría	unos
céntimos	construir	cada	una	de	estas	máquinas.
FIGURA	 2.	 Las	 fórmulas	 de	 la	 transformación	 rotacional
representadas	como	una	máquina.
Hay	una	característica	importante	del	conjunto	de	sistemas	de	referencia	que	han
utilizado	nuestros	observadores.	Para	ver	 esto	mejor,	 consideremos	una	 forma	muy
diferente	 de	 identificar	 estructuras:	 por	 números	 ID.	 Supongamos	 que	 todas	 las
estructuras	 de	 la	 ciudad	 son	 identificadas	 por	 números	 con	 el	 objetivo	 de	 gravar	 y
cobrar	impuestos	de	propiedad.	Estos	números	fueron	asignados	de	cierta	manera	por
comodidad	 contable.	 Sigamos	 y	 supongamos	 que	 cambiara	 el	 sistema	 de	 asignar
números	 fiscales	 ID	 (quizá	 se	 compró	 un	 nuevo	 ordenador	 para	 la	 oficina	 de
contabilidad).	Hay	que	mantener	una	tabla	de	las	relaciones	entre	los	viejos	números
ID	y	los	nuevos;	aquí	se	muestran	dos	ítems	de	dicha	tabla.
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Esta	 tabla	 es	 una	 relación	 entre	 dos	 sistemas	 de	 coordenadas,	 y	 —en	 cierto
sentido—	es	un	tipo	de	transformación.
La	 intuición	 nos	 grita	 que	 este	 tipo	 de	 transformación	 es	 de	 algún	modo	muy
diferente	 de	 la	 transformación	 rotacional,	 pero	 ¿cuál	 es	 exactamente	 la	 diferencia
real?	Nuestra	intuición	insiste	en	que	los	ID	fiscales	y	su	relación	son	arbitrarios;	son
asignados	por	conveniencia	de	algún	ordenador.	Podría	utilizarse	cualquier	sistema	de
identificación	y	podría	«transformarse»	en	cualquier	nuevo	sistema	de	identificación.
Por	 el	 contrario,	 las	 distancias	 hacia	 delante	 y	 hacia	 la	 izquierda	 medidas	 por	 los
observadores	 en	 el	 puente	 no	 son	 arbitrarias.	 Pero	 ¿qué	 institución,	 qué	 autoridad
superior,	 les	impide	ser	arbitrarias?	¿Qué	garantiza	que	la	transformación	rotacional
sea	 correcta?	 En	 última	 instancia,	 es	 el	 hecho	 de	 que	 el	 escenario	 en	 el	 que	 están
situadas	 las	 estructuras	 tiene	 cierta	 geometría,	 la	 geometría	 (normalmente	 llamada
«geometría	euclídea»)	de	un	plano.	Entre	dos	localizaciones	cualesquiera,	digamos	el
campanario	y	el	granero,	de	dicho	plano	hay	una	cierta	distancia.	Dicha	distancia	es
una	 verdad	 inmutable,	 aunque	 las	 coordenadas	 (la	 coordenada	 hacia	 delante	 y	 la
coordenada	 hacia	 la	 izquierda)	 utilizadas	 para	 describir	 la	 posición	 son	 variables.
Puesto	que	hay	una	verdad	inmutable	no	sometida	a	los	caprichos	de	los	sistemas	de
referencia,	la	relación	entre	coordenadas	basadas	en	distancias	en	diferentes	sistemas
de	referencia	no	puede	ser	«cualquier	cosa».
Relatividad	galileana
Provistos	de	una	jerga	bastante	especial	podemos	ahora	meter	la	punta	del	pie	en
el	 espaciotiempo.	 Igual	 que	 las	 localizaciones	 son	 los	 lugares	 en	 un	 paisaje,	 los
«sucesos»	 son	 los	 lugares	 en	 el	 espaciotiempo.	 Un	 suceso	 es	 cierto	 lugar	 y	 cierto
tiempo.	 Es	 una	 posición	 en	 el	 tiempo	 tanto	 como	 en	 el	 espacio.	 Evidentemente	 el
mundo	 de	 tales	 sucesos	 —el	 mundo	 que	 llamamos	 espaciotiempo—	 es
tetradimensional.	 Se	 necesitan	 tres	 coordenadas	 para	 especificar	 el	 «dónde»	 de	 un
suceso,	y	una	coordenada	para	especificar	el	«cuándo».
Para	 tener	 una	 comprensión	 más	 concreta	 de	 esto	 necesitaremos	 considerar	 la
discrepancia	entre	observadores,	y	por	ello	necesitaremos	al	menos	dos	observadores
diferentes	 con	 dos	 sistemas	 de	 referencia	 diferentes.	Uno	de	 nuestros	 observadores
será	una	granjera	de	pie	en	su	campo	mientras	pasa	lentamente	un	tren,	y	el	segundo
observador	será	el	tren,	o	un	pasajero	sentado	en	el	tren.	Nuestros	observadores	en	el
puente	encuentran	una	discrepancia	en	las	coordenadas	que	utilizaron	porque	miraban
en	diferentes	direcciones	y,	por	ello,	entendían	cosas	diferentes	por	«delante»	y	«a	la
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izquierda».	Ahora	estamos	interesados	en	un	tipo	de	relación	diferente,	de	modo	que
evitamos	 la	 discrepancia	 delante/izquierda	 haciendo	 que	 nuestra	 granjera	 y	 nuestro
pasajero	miren	en	la	misma	dirección.	Para	generar	una	discrepancia	haremos	que	el
tren	se	mueva	en	dirección	hacia	delante	a	3	m/s.	(A	partir	de	ahora	abreviaremos	a
veces	 metros,	 kilómetros	 y	 segundo	 como	m,	 km	 y	 s,	 respectivamente;	 así,	 3	m/s
significa	una	velocidad	de	tres	metros	por	segundo).
Hay	dos	características	importantes	del	escenario	que	vamos	a	construir.	Una	es
que	hemos	 simplificado	 la	 acción	haciendo	que	 sólo	 sea	 importante	una	dimensión
espacial.	 Sólo	 las	 posiciones	 a	 lo	 largo	 de	 la	 vía	 son	 interesantes;	 las	 distancias
perpendiculares	a	la	vía	son	triviales	porque	todos	los	sucesos	tienen	lugar	a	lo	largo
de	la	vía.	Por	lo	tanto	hemos	eliminado	dos	coordenadas.	Y	lo	que	es	más	importante,
hemos	 añadido	 una	 coordenada.	Al	 introducir	 el	movimiento	 en	 la	 historia,	 hemos
abierto	la	puerta	para	que	entre	la	coordenada	temporal.
Por	simplicidad	diremos	que	el	 instante	 t	=	0	es	el	momento	en	que	el	pasajero
está	pasando	frente	a	la	granjera.	Es	el	momento	en	el	que	ambos	coincidirían	en	las
observaciones	 de	 un	 suceso.	 Es	 crucial	 para	 nosotros	 que	 seamos	 testigos	 de	 la
discrepancia	sobre	sucesos,	así	que	idearemos	un	incidente	interesante	en	el	instante	t
=	2	s.	Supongamos	que	dicho	incidente	consiste	en	que	un	halcón	atrapa	un	ratón,	y
que	 esto	 sucede	 en	 una	 posición	 a	 16	m	 por	 delante	 de	 la	 granjera.	 Puesto	 que	 el
pasajero	(que	se	mueve	a	3	m/s)	se	ha	desplazado	a	6	metros	más	allá	de	la	granjera
en	el	instante	t	=	2	segundos,	la	captura	del	ratón	sucederá	en	una	posición	a	sólo	10
metros	por	delante	del	pasajero.	Esta	situación	simple	se	representa	en	la	figura	3.
La	granjera	y	el	tren	constituyen	dos	sistemas	de	referencia	diferentes	en	los	que
están	 marcadas	 las	 coordenadas	 de	 posición	 y	 tiempo	 de	 los	 sucesos.	 La	 relación
entre	 las	 coordenadas	 es,	 por	 supuesto,	 una	 transformación,	 y	 se	 conoce	 como	 la
«transformación	de	Galileo».	La	 idea	general	de	 la	relación	que	da	 las	coordenadas
medidas	 en	 sistemas	 de	 referencia	 en	 movimiento	 se	 denomina	 «relatividad
galileana».
En	 la	 figura	4	 las	matemáticas	de	 la	 transformación	de	Galileo	(en	realidad	dos
ecuaciones	 muy	 sencillas)	 se	 representan	 como	 una	 máquina.	 Las	 posiciones
espaciotemporales	medidas	por	la	granjera	se	introducen	en	los	terminales,	y	lo	que
da	como	salida	son	las	posiciones	en	el	sistema	de	referencia	del	tren.	Por	supuesto,
la	máquina	debe	 estar	 preparada	para	dar	 la	 relación	 correcta	 entre	 los	 sistemas	de
referencia.	Esto	está	determinado	por	 la	velocidad,	3	m/s,	a	 la	que	el	 tren	se	mueve
cuando	pasa	frente	a	la	granjera.	Esta	relación	más	específicase	introduce	en	el	panel
de	control	de	la	máquina.
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FIGURA	 3.	 Un	 suceso	 observado	 en	 dos	 sistemas	 de	 referencia
diferentes.
Habría	 que	 comparar	 esta	 transformación	 con	 la	 transformación	 entre
coordenadas	medidas	 por	 los	 dos	 observadores	 en	 el	 puente	 (véase	 la	 fig.	 2).	 Esta
transformación	 tiene	 una	 forma	 de	 algún	 modo	 similar	 pero	 con	 importantes
diferencias.	 Para	 los	 observadores	 sobre	 el	 puente	 había	 una	 mezcla	 completa	 de
hacia	 delante	 y	 hacia	 la	 izquierda.	 El	 delante	 y	 la	 izquierda	 del	 primer	 observador
determinaban	 el	 delante	 y	 la	 izquierda	 del	 segundo	 observador.	 En	 nuestra
transformación	entre	tren	y	granjera	hay	sólo	una	mezcla	parcial.	La	coordenada	de
distancia	medida	por	 la	 granjera	 está	 afectada	 tanto	por	 la	 coordenada	de	distancia
como	por	la	coordenada	temporal	medidas	por	el	pasajero,	pero	el	tiempo	medido	por
la	 granjera	 no	 está	 influenciado	por	 la	 coordenada	 del	 suceso.	La	 segunda	 fórmula
incorporada	en	nuestra	máquina	de	transformación	dice	simplemente	que	2	segundos
es	igual	a	2	segundos.	El	espacio	no	se	mezcla	en	el	tiempo.
FIGURA	 4.	 La	 transformación	 de	 Galileo	 entre	 sistemas	 de
referencia	en	movimiento	relativo.
En	 realidad,	 lo	 que	 nos	 dice	 parece	 obvio,	 demasiado	 obvio	 para	 merecer	 un
nombre	 rimbombante.	 La	 expresión	 «relatividad	 galileana»	 es,	 de	 hecho,	 una
expresión	moderna	 que	 sólo	 utilizamos	ahora	 para	 distinguir	 las	 nociones	 clásicas
obvias	de	espacio	y	tiempo	de	las	nociones	nada	obvias	en	la	relatividad	einsteiniana.
Estas	 nociones,	 junto	 con	 la	 estética	 y	 la	 psicología,	 son	 el	 fundamento	 para	 el
desarrollo	de	 las	 revoluciones	científicas.	En	muchos	aspectos	es	una	historia	de	 la
evolución	de	lo	que	es	y	de	lo	que	no	es	obvio.
Aunque	la	relatividad	galileana	era	obvia,	fue	de	gran	importancia	para	la	física
de	Newton.	Newton	había	dado	al	mundo	el	mandamiento	F	=	m	x	a;	la	aceleración
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es	proporcional	a	 la	fuerza.	Todos	 los	observadores	(granjeros,	 trenes	y	demás)	ven
las	mismas	fuentes	de	fuerza.	Ven	la	misma	curvatura	de	un	arco,	por	ejemplo,	y	por
ello	 la	misma	 fuerza	 impartida	 a	 una	 flecha.	 Cuando	 se	 suelta	 la	 cuerda	 del	 arco,
todos	 ellos	 deben	 ver	 que	 la	 flecha	 experimenta	 la	 misma	 aceleración.	 Si	 no	 lo
hicieran,	entonces	el	mandamiento	de	Newton	sólo	funcionaría	en	algunos	sistemas
de	 referencia;	 incluso	 podría	 no	 funcionar	 en	 ninguno.	 Pero	 la	 aceleración	 es	 una
medida	del	modo	en	que	cambia	 la	posición	espacial	 cuando	cambia	el	 tiempo.	La
comparación	de	la	aceleración	en	dos	sistemas	de	referencia	diferentes	depende	de	las
reglas	 de	 transformación	 entre	 dichos	 sistemas	 de	 referencia.	 Resulta	 que	 una
consecuencia	de	 la	 transformación	de	Galileo	es	que	 la	 aceleración	es	 la	misma	en
todos	 los	sistemas	de	 referencia.	Cuando	marcan	 las	posiciones	de	 la	 flecha	en	una
secuencia	de	instantes,	la	granjera	y	el	pasajero	en	el	tren	sí	llegan	al	mismo	número
para	 la	 aceleración	 de	 la	 flecha	 mientras	 la	 cuerda	 la	 está	 impulsando.	 El
mandamiento	 fundamental	 de	Newton	 funciona	 en	 efecto	 en	 todos	 los	 sistemas	 de
referencia.
¡Esto	 incomodaba	 a	 Newton!	 Por	 sus	 particulares	 razones	 filosóficas,
psicológicas	 o	 estéticas,	 él	 anhelaba	 un	 universo	 físico	 en	 el	 que	 un	 sistema	 de
referencia	especial	—quizá	el	sistema	de	referencia	de	la	granjera—	fuera	el	único	y
verdadero	sistema	de	referencia	para	la	física.	Pero	no	había	razones	en	su	física	para
creer	en	la	existencia	de	semejante	sistema	de	referencia	«correcto».	Quizá	la	actitud
de	 Newton	 estaba	 enraizada	 en	 una	 necesidad	 humana	 de	 que	 haya	 algo	 sólido	 y
absoluto,	un	sistema	verdadero.	Si	es	así,	resulta	interesante	que	haya	cambiado	tanto
la	moda	filosófica	o	psicológica	de	los	físicos.	Para	los	ojos	y	las	mentes	modernas,	la
democracia	 de	 los	 sistemas	 de	 referencia	 es	 una	 característica	 atractiva	 de	 la
mecánica	newtoniana.
Maxwell	provoca	una	crisis
Salvo	la	 incomodidad	de	Newton,	el	mundo	físico	parecía	 tener	sentido	durante
los	siglos	XVIII	y	XIX.	El	conocimiento	no	avanza	uniformemente	como	un	patinador
sobre	el	hielo.	Avanza	a	saltos,	como	cuando	se	saca	un	tapón	de	una	botella.	Cuanto
más	tiempo	está	cerrada	la	botella,	más	adherido	está	el	tapón.	Una	idea	como	la	de
un	universo	geocéntrico	estaba	extraordinariamente	adherida	porque	había	estado	en
su	lugar	durante	mucho	tiempo.	Durante	siglos,	los	astrónomos	precopernicanos	no	se
cuestionaron	 si	 la	 Tierra	 era	 o	 no	 el	 centro	 del	 universo.	 Si	 había	 dificultades,
buscarían	 remedios	 en	 otro	 lugar.	 Aquellos	 astrónomos	 elaboraron	 un	 método	 de
cálculo	extraordinariamente	complejo	para	predecir	y	explicar	el	movimiento	de	los
cuerpos	celestes.	Se	partía	de	un	método	de	predicción	originalmente	simple	que	se
mostró	 inadecuado	 a	 medida	 que	 mejoraban	 las	 observaciones	 del	 movimiento
planetario.	 Se	 invocaron	 construcciones	matemáticas,	 los	 «epiciclos»,	 para	mejorar
las	predicciones,	y	se	forzó	la	teoría	básica	para	que	pareciera	que	funcionaba.	Este
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ciclo	 de	 mejoras	 continuó,	 añadiendo	 primero	 observaciones	 astronómicas,	 y
añadiendo	luego	más	componentes	poco	flexibles	al	método.
Cuando	 miramos	 atrás	 a	 lo	 que	 estaban	 haciendo,	 nos	 resulta	 difícil	 de	 creer.
¿Cómo	 no	 se	 dieron	 cuenta	 de	 que	 la	 idea	 simple	 y	 elegante	 de	 un	 mundo
heliocéntrico	lo	explicaba	todo?	Si	se	equivocaron	tanto	en	lo	que	ahora	parece	obvio
es	porque,	a	cada	paso,	se	sentían	seducidos	para	seguir	por	el	camino	equivocado.	El
inicio	del	camino	apuntaba	en	una	dirección	razonable,	y	una	vez	bien	entrados	en	el
camino	era	difícil	ver	que	había	caminos	alternativos.	Hay	momentos	críticos	en	 la
ciencia	en	los	que	la	presión	ha	aumentado	tanto	que	el	tapón	está	a	punto	de	soltarse,
pero	estos	momentos	especiales	requieren	mentes	especiales.	Los	hechos	se	enseñan
al	mismo	tiempo	que	las	falsas	ideas.	Quienes	conocían	los	detalles	del	movimiento
planetario	 habían	 quedado	 sumidos	 en	 un	 discurso	 geocéntrico.	 En	 los	 momentos
especiales	se	necesita	un	genio	(un	término	ciertamente	justificado)	que	sea	capaz	de
separar	los	hechos	robustos	de	los	dogmas	frágiles.	El	momento	crítico	para	entender
el	sistema	solar	llegó	a	finales	del	siglo	XVI,	y	fue	Copérnico	el	genio	en	el	lugar	y	el
momento	adecuados.
Otro	momento	crítico	surgió	a	comienzos	del	siglo	XX,	y	en	este	instante	preciso	y
lugar	preciso	fue	Albert	Einstein	la	persona	adecuada.	Una	fantasía	habitual	consiste
en	 volver	 al	 pasado	 en	 posesión	 del	 conocimiento	 de	 un	 hecho	 crucial	 o	 una	 idea
clave,	algo	ampliamente	conocido	ahora	pero	desconocido	en	el	pasado:	el	material
correcto	 para	 utilizar	 como	 filamento	 de	 una	 bombilla	 eléctrica,	 la	 idea	 de	 que	 las
nebulosas	 son	 islas	 de	 estrellas	 distantes,	 el	 modelo	 nuclear	 del	 átomo…	 En	 el
momento	correcto	en	el	pasado,	cada	uno	de	estos	fragmentos	de	magia	calificarían
de	genio	a	quien	los	poseyese.	La	magia	que	se	necesitaba	a	principios	del	siglo	XX
era	 una	 idea	 simple	 que	 hoy	 es	 más	 o	 menos	 entendida	 por	 la	 mayoría	 de	 los
licenciados	 en	 física.	 Esta	magia	 es	matemáticamente	 simple,	 puede	 enunciarse	 de
forma	sucinta	y	tiene	su	raíz	en	el	trabajo	de	otro	genio.
A	finales	del	siglo	XIX,	James	Clerk	Maxwell	añadió	una	pieza	que	faltaba	a	una
ecuación	denominada	«ley	de	Ampère»,	y	al	hacerlo	unió	todo	lo	que	se	sabía	sobre
electromagnetismo	(electricidad	y	magnetismo).	Para	aquellos	que	 las	practican,	 las
matemáticas	pueden	tener	una	belleza.	La	teoría	de	Maxwell	no	sólo	explicaba	todo
lo	que	se	sabía	sobre	electromagnetismo	sino	que	lo	hacía	de	una	forma	tan	bella	que
aún	es	un	modelo	para	otras	teorías.
La	 teoría	 de	Maxwell	 consiste	 en	 cuatro	 ecuaciones.	 Estas	 ecuaciones	 trabajan
con	fuerzaseléctricas	y	magnéticas,	pero	también	implican	al	espacio	y	al	tiempo.	Un
término	 típico	 en	 una	 de	 las	 ecuaciones	 de	 Maxwell	 multiplicaría	 una	 fuerza
magnética	 en	 cierto	 punto	 del	 espacio	 por	 la	 coordenada	 espacial	 de	 dicho	 punto.
Otro	 término	 típico	 representa	 el	 ritmo	 al	 que	 está	 cambiando	 la	 fuerza	 eléctrica
cuando	 cambia	 el	 tiempo.	 Las	 ecuaciones	 de	 Maxwell	 son	 relaciones	 entre	 tales
términos:	 el	 primer	 término	 más	 4π	 veces	 el	 segundo	 término	 es	 igual	 al	 tercer
término,	algo	tan	simple	como	A	+	B	=	C.	Supongamos	que	nuestra	granjera,	de	pie
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junto	a	la	vía	del	tren,	hiciera	un	cálculo	de	cada	uno	de	los	términos	en	una	de	las
ecuaciones	 de	 Maxwell.	 Multiplicaría	 la	 fuerza	 magnética	 en	 un	 punto	 por	 la
coordenada	espacial	de	dicho	punto	en	su	sistema	de	 referencia;	encontraría	cuánto
cambia	 la	 fuerza	 eléctrica	 en	 cada	milisegundo	 de	 su	 tiempo;	 y	 así	 sucesivamente.
Entonces	vería	si	todos	los	términos	que	ha	calculado	se	«suman»,	si	satisfacen	o	no
la	ecuación	adecuada	de	Maxwell.
Supongamos	que	encuentra	que	los	términos	se	suman,	que	para	ella	la	ecuación
de	Maxwell	es	correcta.	Nuestra	curiosidad	se	vuelve	entonces	hacia	el	pasajero	del
tren.	La	forma	en	que	éste	asigna	coordenadas	de	posición	a	los	sucesos	será	diferente
de	 la	 de	 la	 granjera,	 de	 modo	 que	 los	 valores	 de	 los	 términos	 en	 la	 ecuación	 de
Maxwell	 serán	diferentes	de	 los	valores	que	calcula	 la	granjera.	Entonces	debemos
hacer	una	pregunta	crucial.	¿Pueden	los	términos	de	Maxwell	«sumar»	lo	mismo	para
el	 pasajero	 que	 para	 la	 granjera?	 ¿Conspiran	 todos	 los	 cambios	 en	 los	 términos	 de
modo	que	la	teoría	de	Maxwell	funcione	para	ambos	observadores?
La	 respuesta	 es	 no.	 Si	 relacionamos	 los	 términos	 mediante	 la	 relatividad
galileana,	 las	 ecuaciones	 de	Maxwell	 no	 pueden	 funcionar	 para	 ambos,	 granjera	 y
pasajero.	 Sólo	 pueden	 ser	 válidas	 en	 un	 único	 sistema	 de	 referencia.	 La	 teoría	 de
Newton	 de	 fuerzas	 y	 movimiento	 funciona	 en	 cualquier	 sistema	 de	 referencia;	 la
teoría	 del	 electromagnetismo	 de	 Maxwell	 sólo	 puede	 funcionar	 en	 uno.	 Cuando
terminaba	el	siglo	XIX,	parecía	que	la	sospecha	de	Newton	dos	siglos	antes	había	sido
correcta.	Había	un	sistema	de	referencia	especial	para	las	leyes	físicas;	era	el	sistema
de	 referencia	 en	 el	 que	 funcionaban	 las	 ecuaciones	 de	 Maxwell.	 ¿Quién	 podría
oponerse	a	que	se	llamase	a	éste	el	verdadero	sistema	de	referencia	del	mundo	físico?
De	modo	que,	¿cuál	era	exactamente	este	verdadero	sistema?	Los	experimentos
para	 descubrir	 el	 verdadero	 sistema	 requerían	 gran	 precisión	 y	 no	 eran	 fáciles.	 La
búsqueda	experimental	de	este	sistema	es	una	historia	muy	repetida,	y	el	final	de	la
historia	 es	 bien	 conocido.	 No	 se	 encontró	 ningún	 sistema	 especial.	 La	 teoría	 de
Maxwell	 funcionaba	para	 ambos,	granjera	y	 tren.	Los	 experimentos	decían	que	era
así,	 pero	 las	 matemáticas	 decían	 que	 esto	 era	 imposible.	 Esta	 imposibilidad,	 por
supuesto,	estaba	basada	en	una	cierta	manera	de	relacionar	las	coordenadas	espaciales
y	 el	 tiempo	de	 la	 granjera	 y	 el	 tren.	Es	 decir,	 la	 imposibilidad	 estaba	 basada	 en	 la
relatividad	 galileana.	 El	 detective	 científico	 (aunque	 de	 ficción)	 Sherlock	 Holmes
decía	 al	 Dr.	 Watson	 que	 cuando	 uno	 se	 enfrenta	 a	 un	 misterio	 debe	 rechazar	 las
alternativas	 menos	 plausibles	 hasta	 que	 sólo	 quede	 una	 posibilidad,	 y	 dicha
posibilidad	 —por	 implausible	 que	 sea—	 debe	 ser	 la	 respuesta.	 Pero	 priorizar	 la
plausibilidad	es	algo	subjetivo.	Para	la	mayoría	de	los	científicos,	la	única	conclusión
posible	era	modificar	la	bella	teoría	de	Maxwell.	Había	que	añadir	algo	parecido	a	los
epiciclos.	Estas	modificaciones	eran	complicadas	pero,	 lo	que	es	aún	peor,	no	pudo
encontrarse	 ninguna	modificación	 que	 funcionara.	 Todas	 contradecían	 la	 evidencia
experimental.
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La	revolución	de	Einstein
Albert	Einstein,	un	empleado	de	la	oficina	de	patentes	en	Berna,	Suiza,	tenía	otro
conjunto	 de	 prioridades.	 Para	 él	 era	 plausible	 que	 la	 relatividad	 galileana	 no	 fuera
correcta.	 Para	 él	 era	 concebible	 que	 las	 coordenadas	 de	 posición	 y	 tiempo,	 para	 la
granjera	 y	 para	 el	 pasajero,	 estuvieran	 relacionadas	 de	 una	 forma	 diferente	 de	 la
relatividad	galileana.	Se	necesitaba	otra	relación	de	coordenadas.	Resulta	irónico	que
la	nueva	relación	ya	hubiera	sido	desarrollada	por	el	físico	holandés	Hendrik	Lorentz.
Esta	 relación	 se	 denomina	 ahora	 transformación	 de	 coordenadas	 de	 Lorentz,	 y	 no
transformación	 de	 Einstein.	 Para	 el	 caso	 de	 la	 muerte	 del	 ratón,	 el	 suceso	 que
describimos	 anteriormente	 con	 la	 transformación	 de	 Galileo,	 la	 transformación	 de
Lorentz	se	ilustra	en	la	figura	5.
La	 diferencia	 entre	 los	 resultados	 numéricos	 y	 los	 que	 resultan	 de	 la
transformación	de	Galileo	(véase	la	fig.	4)	son	minúsculos,	pero	esto	se	debe	a	que	el
panel	de	control	de	la	transformación	está	fijado	en	3	m/s.	Si	aumentamos	este	valor,
la	diferencia	aumenta.	Así,	si	el	tren	está	pasando	junto	a	la	granjera	a	una	velocidad
extraordinariamente	alta,	las	diferencias	pueden	ser	sustanciales.	Hay	algo	curioso	en
la	dependencia	detallada	de	la	transformación	de	Lorentz	respecto	a	esta	fijación	de	la
velocidad.	Si	aumentamos	la	velocidad	hasta	un	valor	muy	próximo	a	300	000	km/s,
entonces	la	transformación	empieza	a	hacer	predicciones	muy	exóticas,	y	de	hecho	no
podemos	escoger	una	velocidad	mayor	de	300	000	km/s.	 (En	 términos	matemáticos
resulta	que	esto	implicaría	tomar	la	raíz	cuadrada	de	un	número	negativo).	Este	límite
superior	 sobre	 la	 velocidad	 relativa	 que	 puede	 intervenir	 en	 la	 transformación	 de
Lorentz	es	tan	característico	de	la	transformación	que	le	damos	un	símbolo	especial.
Esta	velocidad	de	300	000	km/s	se	denota	por	c.[4]	(En	realidad	es	299	792,458	km/s,
pero	la	redondearemos	ligeramente).
FIGURA	 5.	 La	 transformación	 de	 Lorentz	 entre	 sistemas	 de
referencia	en	movimiento	relativo.
Lorentz	creía	que	el	«tiempo»	y	la	«distancia»	descritos	por	sus	matemáticas	no
eran	el	tiempo	y	la	distancia	verdaderos,	sino	más	bien	el	tiempo	y	la	distancia	que
medirían	 los	 instrumentos	 inevitablemente	 distorsionados	 por	 los	 efectos
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electromagnéticos.	 Si	 la	 granjera	 representaba	 el	 sistema	 de	 reposo	 absoluto	 en	 el
universo	físico,	entonces	el	pasajero	en	el	tren	necesariamente	estaría	moviéndose,	y
—según	Lorentz—	el	material	de	sus	instrumentos	de	medida	estaría	afectado	por	los
campos	 electromagnéticos	 de	 tal	 modo	 que	 darían	 lecturas	 falsas	 del	 espacio	 y	 el
tiempo.	 Si	 se	 utilizaran	 estas	 distancias	 y	 tiempos	 falsos	 en	 las	 ecuaciones	 de
Maxwell,	 las	ecuaciones	parecerían	funcionar.	Así,	 la	plataforma	se	comprimiría	de
modo	 que	 siempre	parecería	 que	 las	 ecuaciones	 de	Maxwell	 funcionaban.	Cuando
ahora	 echamos	 la	 vista	 atrás	 es	 díficil	 no	 pensar	 en	 «epiciclos»,	 pero	 deberíamos
recordar	que	la	naturaleza	errónea	de	distancia	y	tiempo	parecía	muy	obvia,	y	que	la
botella	había	estado	tapada	mucho	tiempo.
Einstein	sacó	el	 tapón	de	la	botella	diciendo	al	mundo	que	la	transformación	de
Lorentz	no	era	una	descripción	de	medidas	distorsionadas,	 sino	de	 la	distancia	y	el
tiempo	 reales.	 No	 era	 algo	 especial	 de	 la	 teoría	 del	 electromagnetismo,	 sino	 algo
básico	acerca	de	la	naturaleza	del	mundo	físico.	La	transformación	de	Lorentz,	con	la
que	Einstein	tendría	que	reemplazar	a	la	relatividad	galileana,	es	un	sencillo	conjunto
de	 ecuaciones.	 Las	 ecuaciones	 están	 al	 nivel	 de	 las	 matemáticas	 de	 instituto	 y	 no
contienen	 nada	 más	 sofisticado	 que	 una	 raíz	 cuadrada.	 Por	 esto	 es	 por	 lo	 que	 el
pequeño	 truco	 de	magia	 de	 Einstein	 parece	 haber	 tenido	 un	 sabor	 diferente	 de	 los
avances	 conceptuales	 previos.Era	 —en	 cierto	 sentido—	 condenadamente	 fácil,
carecía	de	complejidad.	Copérnico	tuvo	que	lidiar	durante	años	con	observaciones	del
sistema	solar,	y	Newton	tuvo	que	inventar	el	cálculo	infinitesimal	para	demostrar	la
aplicación	de	sus	leyes	de	movimiento.	Einstein	sólo	tuvo	que	señalar	un	conjunto	de
ecuaciones	sencillas	y	decir	al	mundo	que	pensase	en	ellas	de	otra	forma.
Fue	la	enormidad	del	salto	conceptual,	y	no	la	complejidad	de	su	contexto,	la	que
dio	 testimonio	 del	 genio	 de	 Einstein.	 Otros	 saltos	 hacia	 adelante	 habían	 requerido
cambios	revolucionarios	en	la	visión	del	mundo:	el	Sol,	no	la	Tierra,	era	el	centro	del
sistema	solar.	Pero	en	estos	cambios	estábamos	reemplazando	un	conocimiento	que
había	sido	aprendido.	La	revolución	de	Einstein	nos	exigía	que	abandonáramos	lo	que
nuestros	ojos,	cabezas	y	corazones	sabían	que	era	cierto.
Diagramas	espaciotemporales
La	 mezcla	 de	 una	 medida	 de	 distancia	 y	 una	 medida	 de	 tiempo	 parece	 algo
similar	a	la	forma	en	que	uno	de	los	observadores	de	la	figura	1	mezcla	los	dos	tipos
de	distancia	—«hacia	delante»	y	«hacia	la	izquierda»—	para	obtener	nuevos	valores
de	delante	e	izquierda.	No	hay	un	significado	absoluto	de	delante	e	izquierda.	Cuando
uno	gira	un	poco	a	su	derecha,	su	nueva	dirección	de	delante	se	mezcla	con	su	vieja
idea	de	delante	y	con	alguna	cantidad	negativa	de	su	vieja	idea	de	izquierda.	Si	gira
completamente	(es	decir,	90	grados)	a	su	derecha,	hará	un	intercambio	completo	de
los	dos	tipos	de	distancias.	Su	nueva	izquierda	es	su	viejo	delante,	y	su	nuevo	delante
es	el	negativo	de	su	vieja	izquierda.
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En	cierto	sentido,	la	relación	entre	dos	sistemas	de	referencia	para	los	sucesos	es
similar	a	rotar	un	sistema	de	referencia	en	el	espaciotiempo	con	respecto	al	otro.	En
un	 nuevo	 sistema	 de	 referencia,	 el	 tiempo	 y	 la	 distancia	 del	 viejo	 sistema	 de
referencia	 se	 mezclan	 en	 los	 nuevos	 tiempo	 y	 distancia,	 igual	 que	 cuando	 un
observador	 gira	 en	 el	 puente.	 ¡La	 analogía,	 por	 supuesto,	 no	 puede	 ser	 perfecta!
Después	 de	 todo,	 para	 los	 observadores	 del	 puente	 delante	 e	 izquierda	 eran	 en
realidad	 cosas	 del	 mismo	 tipo:	 ambas	 eran	 distancias.	 Simplemente	 les	 dimos	 por
casualidad	nombres	diferentes	asociados	a	la	dirección	concreta	en	la	que	miran.	En
el	 espaciotiempo	 de	 la	 transformación	 de	 Lorentz,	 por	 el	 contrario,	 el	 tiempo	 y	 el
espacio	 no	 son	 la	 misma	 cosa.	 De	 hecho,	 una	 de	 las	 diferencias	 es	 que	 con	 la
transformación	de	Lorentz	no	podemos	convertir	completamente	tiempo	en	distancia,
o	viceversa.
Lo	 que	 esto	 significa	 realmente	 se	 ilustra	 muy	 bien	 con	 un	 tipo	 de	 figura
denominada	 un	 «diagrama	 espaciotemporal».	 Éste	 es	 un	 tipo	 de	 mapa	 de	 la
localización	 de	 los	 sucesos	 en	 el	 espaciotiempo.	 En	 este	 mapa	marcamos	 el	 valor
numérico	 de	 las	 posiciones	 y	 tiempos	 de	 los	 sucesos.	 El	 eje	 de	 «posición»,	 u
horizontal,	utiliza	unidades	de	kilómetros,	ciertamente	una	unidad	razonable	para	la
distancia.	Para	el	eje	de	«tiempo»	(vertical),	sin	embargo,	hacemos	algo	que	añade	un
poco	 de	 complejidad	 a	 la	 explicación,	 pero	 resulta	 ventajoso	 para	 la	 utilidad	 del
diagrama.	Denotamos	también	el	tiempo	en	unidades	de	kilómetros.	Para	hacer	esto
simplemente	multiplicamos	la	coordenada	temporal	del	suceso	por	c	=	300	000	km/s.
De	 este	 modo,	 si	 el	 tiempo	 de	 un	 suceso	 es	 1	 segundo,	 lo	 marcamos	 como	 si
sucediese	 en	 un	 tiempo	 de	 300	000	 kilómetros.	 Decir	 que	 un	 suceso	 tiene	 una
coordenada	temporal	de	1	km	es	lo	mismo	que	decir	que	su	coordenada	temporal	es
1/300	000	de	segundo.
Puesto	 que	 estamos	 marcando	 coordenadas	 concretas	 de	 posición	 y	 tiempo,
debemos	 estar	 utilizando	 un	 sistema	 de	 referencia	 concreto.	 Un	 diagrama
espaciotemporal	 siempre	 corresponde	 a	 un	 sistema	 de	 referencia	 concreto;	 la
localización	 de	 los	 sucesos	 en	 un	 sistema	 de	 referencia	 diferente	 requiere	 un
diagrama	espaciotemporal	diferente.
Pongamos	un	 ejemplo	 concreto,	 no	demasiado	 alejado	de	 nuestra	 historia	 de	 la
granjera	y	el	tren.	Supongamos	que	el	diagrama	de	la	figura	6	corresponde	al	sistema
de	 referencia	 de	 la	 granjera.	 Para	 hacer	 las	 cosas	 interesantes	 supondremos	 que
nuestro	único	 tren	 lento	es	reemplazado	por	dos	 trenes	extraordinariamente	 rápidos
que	van	por	vías	paralelas.	Sea	B	el	suceso	de	sonar	el	silbato	de	uno	de	los	trenes,	y
C	el	de	sonar	el	silbato	del	otro.	Por	una	feliz	coincidencia,	los	dos	sucesos	se	dan	al
mismo	tiempo,	el	tiempo	que	la	granjera	llama	3	kilómetros	o,	lo	que	es	equivalente,
1/100	000	de	segundo.	El	suceso	A	es	el	suceso	en	el	que	los	trenes	parecen	estar	en
el	 mismo	 lugar,	 el	 lugar	 en	 el	 que	 permanece	 la	 granjera	 y	 que	 ella	 llama	 «0
kilómetros».	Un	poco	de	aritmética	nos	dice	que	el	suceso	B	ocurrió	en	un	tren	que	va
a	una	velocidad	de	100	000	km/s.	Puesto	que	el	otro	tren,	que	había	en	el	suceso	C,
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avanza	 un	 50	 por	 100	 más	 en	 la	 misma	 cantidad	 de	 tiempo,	 ese	 tren	 marcha	 a	
150	000	km/s.
En	la	figura	6	se	ha	dibujado	una	línea	recta	que	conecta	los	sucesos	A	y	B.	Cada
punto	de	esta	línea	podría	representar	un	suceso	que	tiene	lugar	en	el	tren	más	lento.
En	cierto	sentido,	es	una	representación	de	todos	los	sucesos	de	la	existencia	del	tren.
Esta	historia	del	 tren	 se	denomina	 su	«línea	de	universo».	El	 tren	más	 rápido	 tiene
otra	 línea	 de	 universo,	 la	 línea	AC,	 que	 está	más	 inclinada	 hacia	 la	 horizontal.	 La
mayor	 inclinación	hacia	 la	horizontal	 significa	que	«se	cubre	más	espacio	en	cierta
cantidad	 de	 tiempo».	 Ésta	 es	 una	manera	 larga	 de	 decir	 «más	 rápido».	 ¿Cómo	 de
inclinada	 puede	 estar	 una	 línea	 de	 universo?	 Supongamos	 que	 está	 inclinada	 45
grados.	Esto	significa	que	se	cubre	una	distancia	de	1	kilómetro	por	cada	kilómetro
de	tiempo	(o	1/300	000	de	segundo).	En	otras	palabras,	está	marchando	a	300	000	km
/s.	 ¡Está	marchando	a	c!	De	modo	que	 la	máxima	 inclinación	que	puede	 tener	 una
línea	de	universo	es	45	grados.	Ir	más	rápido	que	c	violaría	la	ley	física,	de	modo	que
es	físicamente	ilegal	inclinar	más	de	45	grados	la	línea	de	universo.	Ésta	es	la	bella
ganancia	 visual	 que	 obtenemos	 por	 utilizar	 «kilómetros	 de	 tiempo»	 en	 nuestros
diagramas	espaciotemporales.
FIGURA	 6.	 Diagrama	 espaciotemporal	 para	 el	 sistema	 de
referencia	de	la	granjera.
El	diagrama	espaciotemporal	en	la	figura	6	no	es,	por	supuesto,	ninguna	especie
de	verdad	absoluta.	Es	simplemente	la	historia	contada	en	el	sistema	de	referencia	de
la	 granjera.	 La	 figura	 7	muestra	 de	 qué	 forma	 se	 representarían	 los	 sucesos	 en	 un
diagrama	espaciotemporal	que	utilice	el	sistema	de	referencia	del	tren	más	lento.	No
es	demasiado	sorprendente	que	en	dicho	sistema	de	referencia	el	tren	permanezca	en
el	 mismo	 lugar,	 el	 lugar	 llamado	 «0	 kilómetros»	 en	 dicho	 sistema	 de	 referencia.
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Ambos	 sucesos	 A	 y	 B	 ocurren	 en	 dicho	 lugar,	 pero	 (por	 supuesto)	 en	 tiempos
diferentes.	 El	 suceso	 B	 ocurre	 en	 los	 2,83	 kilómetros	 de	 tiempo,	 o	 0,00000943
segundos,	 después	 del	 suceso	 A.	 Esto	 es	 ligeramente	 menor	 que	 el	 1/100	000	 de
segundo	que	separaba	los	sucesos	en	el	sistema	de	referencia	de	la	granjera,	pero	no
es	nada	nuevo	que	el	tiempo	entre	los	sucesos	sea	diferente	en	diferentes	sistemas	de
referencia.	 También	 se	muestran	 las	 coordenadas	 del	 suceso	C.	 Estas	 coordenadas
(como	 las	 de	 B)	 fueron	 calculadas	 utilizando	 la	 transformación	 de	 Lorentz,	 la
«rotación	en	el	espaciotiempo».
FIGURA	 7.	 Diagrama	 espaciotemporal	 para	 el	 sistema	 de
referencia	del	tren	más	lento.
La	 clave	 para	 entender	 la	 mezcla	 de	 tiempo	 y	 espacio	 está	 contenida	 en	 la
comparación	de	las	figuras	6	y	7.	En	la	figura	7,	la	línea	AB	(es	decir,	desde	A	hasta
B)	 está	 en	 una	 dirección	 puramente	 temporal;	 no	 tienecomponente	 espacial.	 En	 la
figura	6,	AB	está	inclinada;	sí	tiene	una	componente	espacial.	Al	pasar	a	los	sistemas
de	referencia	en	movimiento	relativo	podemos	inclinar	estas	direcciones	verticales	en
los	 diagramas	 espaciotemporales	 un	 poco	 hacia	 la	 izquierda	 y	 un	 poco	 hacia	 la
derecha,	pero	sólo	un	poco.	Hay	un	límite.	Si	una	línea	está	predominantemente	en	la
dirección	temporal	(es	decir,	más	vertical	que	horizontal),	nunca	podremos	encontrar
un	sistema	de	referencia	en	el	que	la	línea	esté	predominantemente	en	una	dirección
espacial	 (es	 decir,	 más	 horizontal	 que	 vertical).	 Una	 dirección	 predominantemente
temporal	 puede	 estar	 inclinada,	 pero	 no	 puede	 transformarse	 en	 una	 dirección
predominantemente	espacial.
Resulta	 también	 que	 una	 dirección	 predominantemente	 espacial	 nunca	 puede
convertirse	 en	una	dirección	predominantemente	 temporal.	En	 la	 figura	6	vemos	 la
dirección	 desde	 el	 suceso	B	 al	 suceso	C.	 Puesto	 que	 estos	 dos	 sucesos	 se	 dan	 al
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mismo	tiempo	(en	el	sistema	de	referencia	de	la	granjera),	 la	dirección	de	B	a	C	es
una	 dirección	 puramente	 espacial.	 Es	 horizontal.	 En	 la	 figura	 7	 la	 línea	 entre	 los
sucesos	 B	 y	C	 ya	 no	 es	 horizontal.	 Ahora	 hay	 una	 diferencia	 temporal	 entre	 los
sucesos,	 pero	 la	 línea	 es	 aún	 más	 horizontal	 que	 vertical.	 Si	 una	 dirección	 en	 un
diagrama	 espaciotemporal	 es	 predominantemente	 espacial,	 entonces	 es
predominantemente	espacial	en	todos	los	diagramas	espaciotemporales.
La	manera	sencilla	de	visualizar	estas	cosas	es	recordar	que	las	líneas	a	45	grados
en	 los	 diagramas	 espaciotemporales	 son	 barreras	 absolutas	 para	 la	 rotación	 del
espacio	y	el	tiempo.
Máquinas	del	tiempo
Todos	nosotros	viajamos	en	el	tiempo.	Sin	ningún	esfuerzo,	y	probablemente	sin
ninguna	 elección,	 nos	movemos	 hacia	 el	 futuro.	La	 frase	 «viaje	 en	 el	 tiempo»,	 sin
embargo,	está	asociada	con	la	idea	de	desviarse	del	camino	trazado	y	marchar	hacia
atrás	en	el	tiempo.	Explotando	el	vocabulario	que	acabamos	de	desarrollar,	podemos
describir	 esto	de	una	 forma	más	 sutil.	Supongamos	que	uno	está	presente	en	cierto
suceso	E.	¿Puede	volver	a	la	misma	posición	en	el	espacio	en	un	instante	ligeramente
anterior?	Esta	posibilidad	suena	fantástica,	por	supuesto.	Uno	podría	volverse	atrás	y
callarse	la	boca	antes	de	hacer	este	comentario	estúpido.	Uno	podría	dejar	de	invertir
en	esa	compañía	de	alta	tecnología	que	tan	prometedora	parecía	hace	un	año.	Aquí	no
vamos	 a	 entretenernos	 en	 las	 cuestiones	 de	 consistencia	 lógica	 que	 plantean	 tales
fantasías;	 éstas	 serán	 el	 tema	 central	 del	 ensayo	 de	 Igor	 Novikov.	 Aquí	 nuestra
preocupación	 será	 más	 restringida;	 sentar	 sólo	 las	 ideas	 básicas	 junto	 con	 el
vocabulario.	Lo	que	se	describe	aquí	en	la	Introducción	es	sólo	un	mecanismo	para	el
viaje	 en	 el	 tiempo:	 probablemente	 el	 mecanismo	 más	 simple,	 o	 al	 menos	 el	 más
simple	de	describir.	Novikov	describirá	un	mecanismo	relacionado,	aunque	diferente,
que	utiliza	un	campo	gravitatorio	intenso.	Stephen	Hawking	todavía	mencionará	otro
mecanismo	que	involucra	cuerdas	cósmicas.
Una	 característica	 subyacente	 a	 todos	 los	 mecanismos	 puede	 identificarse	 de
entrada.	Si	uno	pudiera	volver	a	la	posición	de	E	en	un	tiempo	algunos	instantes	antes
del	 suceso	E,	 entonces	 tras	 algunos	 instantes	 de	 espera	 uno	 estaría	 de	 nuevo	 en	E.
Habría	 visitado	 dos	 veces	 el	 mismo	 suceso.	 Sería	 como	 si	 usted	 empezara	 en	 el
mismo	punto	en	el	ecuador	y	se	dirigiera	hacia	el	este	sólo	para	volver	a	su	punto	de
partida;	 su	camino	se	cerraría.	Viajar	en	el	 tiempo	desde	el	 suceso	E	 a	de	nuevo	E
sería	un	camino	similar	en	el	espaciotiempo,	y	los	físicos	espaciotemporales	le	llaman
«camino	o	curva	cerrada	de	género	tiempo».	¿Por	qué	«de	género	tiempo»?	Porque
cuando	uno	 se	mueve	 a	 lo	 largo	de	dicho	 camino,	 siempre	 se	 está	moviendo	hacia
adelante	 en	 el	 tiempo.	 Su	 reloj	 está	 mostrando	 siempre	 números	 crecientes	 si	 es
digital	y	las	manecillas	se	están	moviendo	en	la	dirección	dextrógira	si	es	analógico.
El	 pequeño	 número	 de	 núcleos	 radiactivos	 que	 hay	 en	 su	 cuerpo	 se	 está
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desintegrando;	 los	 fragmentos	 radiactivos	 no	 se	 están	 acumulando	 en	 una
antidesintegración.	Su	corazón	está	bombeando	en	su	forma	habitual,	no	«hacia	atrás
en	 el	 tiempo»	 y	 con	 la	 sangre	 fluyendo	 en	 la	 dirección	 equivocada.	 ¡Ay!	 uno	 está
envejeciendo,	 no	 rejuveneciendo.	Y	 es	 su	yo	más	viejo	quien	 regresa	 (si	 ésta	 es	 la
palabra	correcta)	al	suceso	E	en	el	espaciotiempo.
¿Cuánto	 se	 tarda	 en	 recorrer	 una	 curva	 cerrada	 de	 género	 tiempo?	 La	 idea
subyacente	 a	 un	mecanismo	 básico	 está	 contenida	 en	 la	 figura	 6.	 Por	 simplicidad,
dicho	diagrama	se	repite	aquí	(como	figura	8)	pero	sólo	con	los	sucesos	B	y	C.	Los
sucesos	B	y	C	están	en	el	mismo	instante	(en	el	sistema	de	referencia	de	la	granjera
que	construyó	este	diagrama	espaciotemporal),	pero	el	suceso	C	está	H	kilómetro	más
hacia	la	derecha	que	el	suceso	B.	Supongamos	ahora,	sólo	supongamos,	que	hay	un
túnel	 secreto,	un	atajo	en	el	espacio	para	 ir	desde	 la	posición	del	 suceso	B	 a	 la	del
suceso	 C.	 Supongamos	 además	 que	 en	 la	 vía,	 en	 la	 señal	 de	 1	 kilómetro	 (la
localización	del	suceso	B),	hay	lo	que	parece	un	pozo.	Y	supongamos	que	cuando	uno
se	mete	 en	 dicho	 pozo,	 se	 encuentra	 saliendo	 instantáneamente	 en	 la	 señal	 de	 1,5
kilómetros	a	lo	largo	de	la	vía	(la	localización	del	suceso	C).
Podemos	hacernos	una	 idea	de	 lo	que	significa	 tal	atajo.	Probablemente	es	más
fácil	 entender	 este	 atajo	 que	 la	 geometría	 del	 espaciotiempo	 que	 pronto
encontraremos.	Aquí	al	menos	estamos	trabajando	sólo	con	un	atajo	en	el	espacio,	no
en	el	espaciotiempo.	Más	o	menos,	podemos	representar	el	espacio.
Consideremos	 una	 hoja	 plana	 de	 papel.	 Nos	 gustaría	 que	 fuera	 de	 extensión
infinita,	pero	sólo	podemos	imaginar	e	ilustrar	una	parte	finita	de	ella.	Sobre	la	hoja
de	papel,	mostrada	a	la	izquierda	en	la	figura	9,	se	han	marcado	dos	puntos	en	negro,
B	 y	C.	 La	 distancia	 (es	 decir,	 la	 distancia	 más	 corta)	 entre	 estos	 dos	 puntos	 es,
digamos,	1	m.	Pero	supongamos	que	el	papel	se	dobla	como	se	muestra	a	la	derecha,
y	que	hay	un	túnel	minúsculo,	una	especie	de	puente	o	agujero	de	gusano,	desde	el
punto	 B	 al	 C.	 Aparte	 de	 la	 posibilidad	 de	 añadir	 este	 agujero	 de	 gusano,	 nada
importante	cambia	en	el	papel	cuando	lo	doblamos.	En	particular,	todas	las	distancias
medidas	a	lo	largo	del	papel	(por	ejemplo,	la	longitud	de	cualquier	trazo	de	lápiz	que
hayamos	dibujado)	sigue	siendo	la	misma	cuando	se	dobla	el	papel,	de	modo	que	la
geometría	del	papel	no	cambia.	Pero	el	agujero	de	gusano	nos	proporciona	un	atajo
de	B	a	C,	y	podemos	hacer	este	atajo	de	agujero	de	gusano	tan	corto	como	queramos.
Éste	es	el	tipo	de	agujero	de	gusano	que	queremos	entre	las	señales	de	1	kilómetro	y
1,5	 kilómetros	 en	 la	 vía	 del	 tren.	El	modelo	 del	 papel	 doblado	 no	 es	 perfecto,	 por
supuesto.	 Es	 una	 superficie	 bidimensional,	 y	 nosotros	 estamos	 interesados	 en	 un
agujero	 de	 gusano	 entre	 dos	 puntos	 en	 el	 mundo	 espacial	 tridimensional	 de	 la
granjera	 y	 la	 vía.	 (Sólo	 utilizamos	 una	 única	 dimensión	 espacial	 en	 nuestros
diagramas	espaciotemporales,	pero	el	agujero	de	gusano	entre	los	dos	puntos	de	la	vía
tendrá	que	existir	en	tres	dimensiones).
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FIGURA	 8.	 Dos	 sucesos	 que	 ocurren	 al	 mismo	 tiempo	 en	 un
sistema	de	referencia.
Hasta	hace	poco	tiempo	los	científicos	del	espaciotiempo	no	pensaban	mucho	en
agujeros	de	gusano	que	conectasen	lugares	en	el	espacio.	A	mediados	de	la	década	de
1980,	Kip	Thorne	llegó	a	interesarse	en	la	forma	en	que	podrían	utilizarse	agujeros	de
gusano	 espaciales	 para	 construir	 máquinas	 del	 tiempo,	 y	 pronto	 se	 vio	 a	 muchos
físicos	 del	 espaciotiempo	 agitando	 losbrazos	 y	 discutiendo	 sobre	 las	 bocas	 de	 los
agujeros	 de	 gusano.	 Una	 explicación	 de	 cómo	 empezó	 todo	 esto,	 a	 partir	 de	 una
historia	 de	 ciencia-ficción	 de	 Carl	 Sagan,	 puede	 encontrarse	 en	 el	 capítulo	 14	 del
libro	de	divulgación	de	Kip	Black	Holes	and	Time	Warps.
FIGURA	 9.	Un	 agujero	 de	 gusano	 que	 ataja	 entre	 dos	 puntos	 en
una	geometría	plana.
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Pero	¿cómo	llevan	estos	agujeros	de	gusano	espaciales	al	viaje	en	el	tiempo	(o	—
para	utilizar	un	término	más	serio—	a	curvas	cerradas	de	género	tiempo)?	Para	verlo,
supongamos	que	algún	explorador	espaciotemporal	presencia	el	suceso	B	y,	viajando
rápidamente	a	través	del	agujero	de	gusano	espacial	entre	B	y	C,	se	encuentra	en	el
suceso	C.	Resulta	que	en	el	suceso	C	está	pasando	un	tren	que	viaja	a	100	000	km/s.
Es	interesante	ver	qué	aspecto	tienen	los	sucesos	B	y	C	en	el	sistema	de	referencia	de
dicho	tren.	Ya	hemos	dibujado	dicho	diagrama	espaciotemporal,	como	la	figura	7.	La
parte	relevante	de	dicha	figura	se	repite	en	la	figura	10.
Hasta	 ahora	 nuestro	 explorador	 espaciotemporal	 ha	 viajado	 de	 B	 a	 C.	 Ahora
debemos	pasar	a	suponer	que	el	tren	es	suficientemente	largo	y	que	también	lleva	un
agujero	de	gusano	espacial.	Tenemos	una	suerte	increíble:	resulta	que	un	extremo	(o
«boca»)	 de	 dicho	 agujero	 de	 gusano	 del	 tren	 está	 precisamente	 en	 la	 señal	 de	 1,5
kilómetros	cuando	el	explorador	surge	del	agujero	de	gusano	de	la	vía	(suceso	C).	Sin
pérdida	de	tiempo,	se	agarra	al	tren	y	salta	a	la	boca	del	agujero	de	gusano	del	tren
que	está	precisamente	frente	a	él;	todo	esto	es	actividad	en	el	suceso	C.	Y	una	suerte
todavía	más	increíble:	resulta	que	la	otra	boca	está	en	la	marca	de	0	kilómetros	en	el
tren.	El	explorador	emerge	de	dicha	boca,	habiendo	pasado	un	 tiempo	despreciable
yendo	desde	una	boca	del	agujero	de	gusano	muy	corto	a	la	otra.	En	la	figura	10	se
indica	 el	 suceso	 de	 su	 emergencia	 de	 dicha	 boca	 como	 suceso	D.	 Nótese	 que	 los
sucesos	 C	 y	 D	 están	 en	 la	 misma	 posición	 vertical	 en	 la	 figura	 10.	 Ésta	 es	 la
materialización	gráfica	del	hecho	de	que	pasa	un	tiempo	despreciable	entre	la	entrada
y	 la	 salida	 del	 agujero	 de	 gusano	 del	 tren,	 de	modo	 que	 la	 entrada	 y	 la	 salida	 son
esencialmente	 simultáneas	 (en	 el	 sistema	 de	 referencia	 del	 tren),	 y	 la	 figura	 10	 es,
después	de	todo,	una	muestra	de	los	sucesos	en	dicho	sistema	de	referencia.
FIGURA	 10.	 El	 espaciotiempo	 para	 el	 sistema	 de	 referencia	 del
tren	en	movimiento.
Él	ha	recorrido	ahora	el	camino	B	 	C	 	D.	Aproximadamente	en	este	instante,
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como	 uno	 podría	 imaginar,	 su	 cabeza	 está	 dando	 vueltas,	 de	 modo	 que	 planta
firmemente	sus	talones	y	se	queda	quieto	en	el	tren.	Permanece	en	la	misma	posición
en	el	sistema	de	referencia	del	tren,	pero	no	en	el	mismo	instante.	Al	no	moverse	en
el	espacio,	se	«mueve»	en	la	figura	10	desde	el	suceso	D	al	suceso	B.	Ha	completado
una	curva	cerrada	de	género	 tiempo	y	ha	vuelto	a	B,	el	 lugar	y	el	 tiempo	en	el	que
empezó.
Todo	 lo	 que	 se	 necesita	 para	 esta	 «vuelta	 en	 el	 espaciotiempo»	 son	 dos	 cosas:
primero,	es	necesario	rotar	un	poco	las	direcciones	en	el	espaciotiempo.	Ésta	es	una
consecuencia	 inmediata	 de	 la	 transformación	 de	 Lorentz	 y	 pocos	 físicos	 la
cuestionan.	En	segundo	lugar,	se	necesitan	agujeros	de	gusano	espaciales,	y	éstos	han
sido	cuestionados	por	muchos	físicos.	La	pregunta	no	ha	sido	respondida	aún,	pero
parece	que	las	leyes	de	la	física	no	permiten	agujeros	de	gusano	espaciales,	y	con	más
generalidad	no	permiten	máquinas	del	tiempo.	En	el	ensayo	de	Stephen	Hawking	se
describe	 cómo	 los	 efectos	 mecanocuánticos	 destruirían	 (probablemente)	 cualquier
agujero	de	gusano	en	ciernes.
¿Por	qué	tiene	una	geometría	el	espaciotiempo?
Aunque	 hay	 claras	 diferencias	 de	 detalle	 entre	 diagramas	 espaciotemporales,
mapas	 de	 sucesos	 y	 mapas	 de	 puntos	 en	 un	 plano	 bidimensional,	 existen	 algunas
similitudes	fascinantes.	Las	dos	preguntas	aquí	son:	(1)	¿son	realmente	el	mismo	tipo
de	objeto?,	y	(2)	¿qué	significa	«mismo	tipo	de	objeto»?
Las	matemáticas	de	la	rotación	—las	ecuaciones	de	la	transformación	rotacional
—	son	una	expresión	del	hecho	de	que	existe	una	geometría	para	dicho	plano.	Existe
una	estricta	relación	entre	distancias	que	es	inviolable,	y	cualquier	forma	de	describir
distancias	 debe	 ser	 compatible	 con	 dicha	 realidad	 subyacente.	 Las	 matemáticas
rotacionales	 son	 simplemente	 la	 punta	 inevitable	 del	 iceberg.	 La	 geometría	 es	 el
iceberg,	la	vasta	y	sólida	realidad.
¿Qué	pasa	con	la	transformación	de	Lorentz?	¿Hay	también	un	iceberg	debajo	de
esta	punta?	¿Es	la	transformación	de	Lorentz	tan	sólo	una	descripción	de	una	relación
que	está	garantizada	por	una	geometría	de	sucesos	subyacente?	No	hay	 respuesta	a
esto,	puesto	que	no	hay	un	significado	inequívoco	para	la	realidad	de	las	matemáticas
subyacentes.	Supongamos	que	se	nos	dieran	las	matemáticas	de	la	rotación	y	se	nos
dijera	 que	 describen	 exactamente	 la	 relación	 entre	 medidas	 hechas	 por	 diferentes
sistemas	de	referencia	(los	observadores	en	el	puente).	Un	metafísico	podría	afirmar,
poniendo	una	cara	muy	seria,	que	la	existencia	de	la	geometría	es	simplemente	una
construcción	mental	 para	 ayudarnos	 a	 recordar	 las	matemáticas	 rotacionales.	No	es
necesario	considerar	que	la	geometría	es	real.
La	mayoría	de	los	físicos	se	muestran	poco	pacientes	ante	tales	argumentos.	En	el
caso	de	la	geometría	del	plano,	parece	un	juego	absurdo	«fingir»	que	la	geometría	no
es	real.	Pero	la	defensa	real	de	la	geometría	no	es	exactamente	de	la	variedad	«yo	sé
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lo	 que	 veo».	 Se	 trata	 más	 bien	 de	 que	 la	 idea	 de	 que	 haya	 una	 geometría	 es
tremendamente	 útil.	No	 sólo	 nos	 ayuda	 en	 efecto	 a	 recordar	 las	matemáticas	 de	 la
rotación,	sino	que	también	nos	ayuda	a	manipular	las	matemáticas	y	descubrir	nuevas
relaciones.	Aunque	la	geometría	no	sea	real,	resulta	tan	útil	que	su	propia	utilidad	la
hace	real.
Cuando	 Einstein	 propuso	 por	 primera	 vez	 que	 la	 transformación	 de	 Lorentz
describe	 la	 relación	 entre	 coordenadas	 de	 sucesos	 en	 diferentes	 sistemas	 de
referencia,	 no	 se	 refería	 a	 cualquier	 geometría.	 En	 su	 artículo	 inicial	 de	 1905	 en
donde	exponía	la	relatividad,	Einstein	presentaba	la	transformación	de	Lorentz	como
la	 única	 realidad.	 Fue	 Hermann	 Minkowski	 quien	 señaló	 a	 Einstein	 que	 estas
transformaciones	podrían	verse	como	expresiones	de	una	geometría	subyacente,	algo
que	 acabaríamos	 llamando	 la	 «geometría	 de	 Minkowski	 del	 espaciotiempo	 de	 los
sucesos».	La	geometría	de	Minkwoski	estaba	basada	en	el	modo	de	asignar	un	nuevo
tipo	de	distancia	a	sucesos	separados,	una	distancia	que	combinaba	tiempo	y	espacio.
En	diferentes	sistemas	de	referencia	habrá	discrepancias	sobre	el	 tiempo	que	separa
los	 sucesos	 y	 sobre	 la	 distancia	 espacial	 entre	 ellos,	 pero	 habrá	 acuerdo	 sobre	 la
distancia	de	Minkowski.
Al	 principio,	 la	 geometría	 de	Minkowski	 parecía	 una	 construcción	 interesante,
pero	esta	construcción	se	hizo	rápidamente	tan	útil	que	se	desvaneció	la	idea	de	que
era	 «sólo	 una	 construcción».	 Hoy	 la	 relatividad	 einsteiniana	 es	 universalmente
considerada	como	una	descripción	de	un	espaciotiempo	de	sucesos	con	la	geometría
espaciotemporal	 de	 Minkowski,	 y	 la	 tranformación	 de	 Lorentz	 es	 una	 especie	 de
rotación	en	dicha	geometría	espaciotemporal.
¿Por	qué	es	«curva»	la	geometría	del	espaciotiempo?
Una	 razón	 por	 la	 que	 la	 introducción	 por	 parte	 de	 Minkowski	 de	 la	 idea	 de
geometría	 espaciotemporal	 resultaba	 tan	 importante	 es	 que	 permitió	 a	 Einstein
utilizar	 la	 idea	 de	 geometría	 espaciotemporal	 curva	 para	 describir	 la	 gravedad.	 La
propia	frase	«espaciotiempo	curvo»	tiene	una	imaginería	tan	mística	que	demasiado	a
menudo	se	 rechaza	como	 incomprensible.	Al	menos	en	un	 sentido,sin	embargo,	el
argumento	de	que	la	gravedad	curva	el	espaciotiempo	no	sólo	es	comprensible,	sino
que	es	obligado.	Lo	que	sí	hay	que	abandonar	es	cualquier	esperanza	de	visualizar	el
espaciotiempo	 curvo	 con	 la	 misma	 claridad	 con	 que	 se	 visualizan	 superficies
espaciales	 bidimensionales	 curvas.	 No	 hay	 que	 pensar	 que	 los	 teóricos	 del
espaciotiempo	 constituyen	 una	 casta	 sacerdotal	 de	 personas	 que	 pueden	 realmente
representarse	 un	 espaciotiempo	 tetradimensional	 curvo.	 No	 podemos	 hacerlo.
(Espero	 no	 estar	 aquí	 hablando	 sólo	 en	 mi	 nombre).	 ¡Después	 de	 todo,	 es
espaciotiempo!	 Y	 es	 tetradimensional.	 Dibujaremos	 diagramas,	 pero	 éstos	 serán
sugerentes,	 a	 menudo	 metafóricos	 y	 a	 veces	 potencialmente	 equívocos.	 Nuestra
incapacidad	 para	 representar	 el	 espaciotiempo	 curvo	 nos	 reduce,	 pero	 no	 anula,
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nuestra	 capacidad	 para	 entenderlo.	 Aún	 tenemos	 matemáticas,	 y	 aún	 tenemos
palabras.
Las	 ideas	 empiezan	 con	 la	 consideración	 de	 líneas	 de	 universo,	 las	 líneas	 que
muestran	 los	 sucesos	 de	 un	 objeto	 a	 medida	 que	 se	 mueve	 hacia	 adelante	 en	 el
tiempo.	Las	líneas	de	universo	en	las	figuras	6	y	7	son	las	líneas	de	universo	de	trenes
en	 dos	 sistemas	 de	 referencia	 diferentes.	 Estas	 líneas	 de	 universo	 tienen	 una
inclinación	constante	(el	ángulo	a	que	se	desvían	de	la	vertical).	Esto	significa	que	la
cantidad	de	distancia	que	cambian	por	cantidad	de	tiempo	es	siempre	la	misma:	son
líneas	de	universo	de	velocidad	constante.	Los	objetos	no	irán	a	velocidad	constante
si	hay	fuerzas	actuando	sobre	ellos.	Supongamos	que	en	la	región	del	espaciotiempo
ilustrada	en	la	figura	11	hay	cierta	influencia	eléctrica	intensa.	Por	claridad,	digamos
que	está	causada	por	una	gran	cantidad	de	carga	eléctrica	positiva	en	algún	lugar	a	la
derecha	de	la	figura.
Un	 objeto	 eléctricamente	 cargado	 en	 la	 región	 de	 la	 figura	 11	 se	 aceleraría	 (es
decir,	 cambiaría	 su	 velocidad)	 debido	 a	 la	 influencia	 eléctrica.	 Este	 cambio	 en
velocidad,	 esta	 aceleración,	 se	manifiesta	 en	 el	 diagrama	 espaciotemporal	 como	 la
inclinación	variable	de	una	línea	de	universo.	Puesto	que	la	línea	de	universo	1	en	la
figura	es	recta,	debe	contar	la	historia	de	un	objeto	no	cargado	y,	por	consiguiente,	no
acelerado.	(Además	de	ser	recta,	la	línea	de	universo	es	vertical,	lo	que	significa	que
el	 objeto	 no	 sólo	 no	 está	 acelerado,	 sino	 que	 también	 permanece	 en	 una	 misma
posición	en	este	sistema	de	referencia).	La	forma	de	la	línea	de	universo	2	nos	dice
que	la	partícula	que	representa	debe	estar	cargada	positivamente,	puesto	que	se	está
acelerando	y	alejando	de	la	carga	positiva	(oculta	en	alguna	parte	a	 la	derecha)	que
crea	 la	 influencia	 eléctrica.	 Análogamente,	 la	 línea	 de	 universo	 3	 debe	 ilustrar	 los
sucesos	de	una	partícula	cargada	negativamente.	Si	miramos	más	de	cerca	podemos
ver	 que	 la	 línea	 de	 universo	 3	 está	 curvada	más	 espectacularmente	 que	 la	 línea	 de
universo	 2;	 su	 partícula	 está	 experimentando	 una	 aceleración	mayor.	 Las	 líneas	 de
universo	2	y	3	podrían	 representar	un	protón	y	un	electrón.	Tienen	cargas	de	 igual
magnitud	y	signo	opuesto,	y	la	masa	mucho	más	pequeña	del	electrón	daría	cuenta	de
la	curvatura	más	espectacular	de	la	línea	de	universo	3.
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FIGURA	11.	Líneas	de	universo	de	una	partícula	en	una	región	del
espaciotiempo	con	influencia	eléctrica.
Un	punto	crucial	ilustrado	por	la	figura	11	es	que	cada	línea	de	universo	nos	dice
algo	 sobre	 las	 propiedades	 físicas	de	 la	 partícula	que	 representa.	Comparemos	 esto
ahora	con	líneas	de	universo	que	representan	influencia	gravitatoria.	Supongamos	que
la	región	del	espaciotiempo	en	la	figura	12	está	sometida	a	una	influencia	gravitatoria
debida	 a	 una	 gran	 cantidad	de	masa	 en	 alguna	parte	 a	 la	 derecha	 de	 la	 figura.	Las
líneas	de	universo	1,	2	y	3	representan	una	bola	de	bolos,	un	tejido	y	un	«abscual»,
respectivamente.	Una	bola	de	bolos	y	un	 tejido,	en	ausencia	de	 resistencia	del	aire,
sufren	 exactamente	 la	 misma	 aceleración	 bajo	 influencia	 gravitatoria;	 caen	 a	 la
misma	 velocidad.	 Aquí	 uso	 «abscual»	 para	 significar	 «absolutamente	 cualquier
objeto».	Cualquiera	que	sea,	caerá	a	la	misma	velocidad	que	la	bola	o	el	tejido.
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FIGURA	12.	Líneas	de	universo	de	una	partícula	en	una	región	del
espaciotiempo	con	influencia	gravitatoria.
El	 punto	 importante	 de	 la	 figura	 12	 es	 que	 las	 líneas	 de	 universo	 curvadas	 nos
dicen	todo	sobre	la	influencia	de	la	gravedad	en	esta	región	del	espaciotiempo,	y	la
misma	línea	de	universo	describe	la	influencia	de	la	gravedad	para	cualquier	objeto.
El	punto	de	vista	muy	razonable	de	Einstein	era	que	la	forma	de	la	línea	de	universo
por	 sí	 misma	—y	 no	 cierta	 «fuerza»—	 debería	 ser	 la	 descripción	 adecuada	 de	 la
gravedad.	 En	 la	 imagen	 de	 Einstein,	 los	 objetos	 que	 experimentan	 sólo	 influencia
gravitatoria	se	mueven	sólo	en	líneas	de	universo	especiales.	Los	detalles	de	dichas
líneas	de	universo	contienen	los	detalles	de	la	influencia	gravitatoria.
¿Cuáles	 son	 estas	 líneas	 especiales	 en	 el	 espaciotiempo?	 En	 una	 región	 del
espaciotiempo	libre	de	gravedad	—en	el	espaciotiempo	de	Minkowski—	los	objetos
que	 no	 sufren	 ninguna	 otra	 influencia	 se	 mueven	 siempre	 en	 una	 dirección	 fija	 a
velocidad	constante.	Sus	líneas	de	universo	son	rectas.	De	modo	que	sólo	conocemos
un	ejemplo	de	 líneas	especiales,	y	éste	nos	da	una	clave	de	cómo	conjeturar	 lo	que
queremos	en	general.	Resulta	que	las	líneas	rectas	no	existen	en	cualquier	geometría.
Si	 tratamos	 de	 construir	 curvas	 con	 todas	 las	 propiedades	 de	 líneas	 rectas,
normalmente	fracasaremos.	Consideremos	el	ejemplo	habitual	(y	un	buen	ejemplo):
la	superficie	de	una	Tierra	perfectamente	esférica.	¿Podemos	dibujar	dos	líneas	tales
que	la	distancia	de	separación	se	mantiene	constante	tal	como	sucede	con	las	líneas
paralelas?	 Si	 encontramos	 que	 es	 posible	 dibujar	 una	 línea	 recta	 en	 cualquier
dirección	 a	 través	 de	 un	 punto,	 decimos	 que	 estamos	 trabajando	 en	 un	 espacio	 (o
espaciotiempo)	«plano».	Cualquier	otro,	por	definición,	es	curvo.
En	 un	 espacio	 o	 espaciotiempo	 curvo,	 existe	 una	 generalización	 sencilla	 del
concepto	 de	 una	 línea	 recta:	 es	 simplemente	 la	 curva	más	 recta	 posible	 que	 puede
dibujarse.	 Semejante	 curva	 tiene	 el	 sofisticado	 nombre	 de	 «geodésica».	 Cuando
consideramos	una	porción	muy	pequeña	de	una	geometría	curva,	parece	casi	plana.	Si
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se	 dibuja	 una	 geodésica	 a	 través	 de	 dicha	 pequeña	 porción,	 la	 geodésica	 será	 casi
recta.
Para	que	la	gravedad	tenga	sus	propiedades	familiares,	las	líneas	de	universo	de
los	 objetos	 influidos	 por	 la	 gravedad	 no	 pueden	 ser	 verdaderas	 líneas	 rectas.
Consideremos	un	 ejemplo	 sencillo:	 dos	 satélites	 en	órbita	 alrededor	 de	 la	Tierra	 se
cruzan,	y	unas	pocas	órbitas	después	se	cruzan	de	nuevo.	Esto	significa	que	las	líneas
de	universo	de	los	satélites	se	tocan	(o	casi	se	tocan)	en	dos	lugares.	Las	líneas	rectas
no	 pueden	 hacer	 esto.	 La	 conclusión	 es	 inevitable:	 si	 hay	 que	 exhibir	 efectos
gravitatorios,	entonces	el	espaciotiempo	debe	ser	curvo.
Aunque	las	matemáticas	de	las	curvas	especiales,	las	geodésicas,	no	son	triviales,
tampoco	 son	 terriblemente	 difíciles.	Una	vez	 que	 se	 especifica	 una	geometría	—es
decir,	una	vez	que	se	da	una	fórmula	que	dice	las	distancias	que	separan	puntos	en	un
espacio	 o	 un	 espaciotiempo—	 es	 relativamente	 fácil	 encontrar	 las	 geodésicas.	 En
muchos	 cursos	 (normalmente	 de	 licenciatura)	 sobre	 la	 teoría	 de	 Einstein,	 las
matemáticas	 de	 las	 curvas	 especiales	 se	 estudian	 al	 principio.	 Lo	 que	 llega	mucho
más	 tarde	 es	 la	 parte	 difícil	 de	 la	 teoría:	 la	 forma	 en	 que	 el	 contenido	 del
espaciotiempo	 (las	 estrellas,	 los	 planetas