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2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMA 1.- MATRICES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES 
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1.- CONCEPTO DE MATRIZ. 
 
Definición de matriz 
 
Una matriz real A es un conjunto de números reales dispuestos en filas y en columnas. 
Por ejemplo, 
1 3 4
A
0 5 2
− 
=  − 
 es una matriz de 2 filas y 3 columnas. 
En general, una matriz A de m filas y n columnas se puede escribir así: 
 
 
 
 = =
 
 
 
 
11 12 1n
21 22 2n
ij
m1 m2 mn
a a . . a
a a . . a
A (a ). . . . .
. . . . .
a a . . a
 
En (a
ij
), el primer subíndice, i, indica la fila y el segundo, j, indica la columna. 
Por ejemplo, a
21
 es el elemento que está en la fila 2 y en la columna 1 
 
Orden o dimensión de una matriz 
 
Si una matriz tiene m filas y n columnas diremos que es de orden o dimensión m x n. 
Por ejemplo, 
1 3 4
A
0 5 2
− 
=  − 
es una matriz de orden 2 x 3 
 
Traspuesta o transpuesta de una matriz 
 
La traspuesta de una matriz A es la que se obtiene escribiendo las filas de A por columnas. 
Se representa por At 
Por ejemplo, la traspuesta de 
3 1 4
2 5 7
− 
 − 
A= es t
3 2
A 1 5
4 7
 
 = − 
 − 
 
Puedes comprobar que siempre se cumple: (At)t = A 
 
Matrices iguales 
 
Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y cada elemento de A coincide con su 
respectivo elemento de B 
 
2.- TIPOS DE MATRICES 
 
Matriz nula o matriz cero 
 
Es aquella con todos sus elementos 0. Por ejemplo, 
0 0
0 0 0
0 0
 
 =  
 
 
 es la matriz nula de orden 3 x 2 
 
Matriz fila 
 
Es la que tiene sólo una fila. Por ejemplo, ( )0 1 7 4 2− es una matriz fila de orden 5 
Matriz columna 
 
Es la que tiene una sola columna. Por ejemplo, 
9
5
2
 
 
 
 − 
 es una matriz columna de orden 3 
 
 
 
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Matriz cuadrada 
 
Es la que tiene el mismo número de filas que de columnas 
Por ejemplo, 
1 2 0
A 3 1 4
3 0 1
 
 =  
 
 
 es una matriz cuadrada de orden 3. 
Todas las matrices cuadradas tienen una diagonal principal y otra secundaria: 
 
 
Matriz triangular 
 
Una matriz cuadrada A es una matriz triangular superior, si los elementos por debajo la diagonal 
principal son cero. 
Por ejemplo, A = es una matriz triangular superior de orden 3 
Una matriz cuadrada A es una matriz triangular inferior, si los elementos por encima de la diagonal 
principal son cero. 
Por ejemplo, A = es una matriz triangular inferior de orden 3 
 
Una matriz cuadrada A es una matriz triangular, si es triangular superior o triangular inferior 
 
Matriz diagonal 
 
Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos de fuera de la diagonal principal 
Por ejemplo, A = es una matriz diagonal de orden 3 
 
 
Matriz identidad 
 
Es la matriz diagonal con todo 1 en la diagonal principal 
Ejemplos: 
1 0
2
0 1
1 0 0
0 1 0 3
0 0 1
  
=  
 
  
  =  
   
es la matriz identidad de orden
es la matriz identidad de orden
2
3
I
I
 
En general, la matriz identidad de orden n se representa por In o simplemente por I 
 
Matriz simétrica 
 
Una matriz cuadrada A es simétrica si es igual que su traspuesta, es decir si At = A 
Por ejemplo, la matriz 
2 1 7
A 1 5 3
7 3 0
− 
 = − 
 
 
 es simétrica, pues t
2 1 7
A 1 5 3 A
7 3 0
− 
 = − = 
 
 
 
Puedes observar que los elementos de A son simétricos respecto de la diagonal principal 
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3.- OPERACIONES CON MATRICES 
 
Suma y resta de matrices 
 
Para poder sumar o restar matrices, deben tener exactamente el mismo orden. 
En tal caso, se suman o restan los elementos que ocupan el mismo lugar en las matrices. 
 
Ejemplos: 
 
1 2 4 3 2 0
A y B
2 7 6 5 6 1
− −   
= =   −   
 ⇒ 
1 2 4 3 2 0 4 4 4
A B
2 7 6 5 6 1 7 13 5
1 2 4 3 2 0 2 0 4
A B
2 7 6 5 6 1 3 1 7
− − −     
+ = + =     −     
− −     
− = − =     − −     
 
 
 
 
Propiedades más importantes 
 
 
1) Conmutativa: A + B = B + A 2) Elemento neutro: A + 0 = A 
3) Elemento opuesto: A + (–A) = 0 4) Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) 
5) (A + B)t = At + Bt 6) (A – B)t = At – Bt 
 
 
Producto de un número por una matriz 
 
Para multiplicar un número por una matriz se multiplica el número por cada elemento de la matriz. 
 
Ejemplos: 
3 2 6 4
2 1 5 2 10
4 7 8 14
− −   
   − − = −   
   − −   
 
35 10 107 2 65 3 3
12 0 33 20 0 5
− − 
 =   −  − 
 
 
 
Producto de una matriz fila por una matriz columna 
 
Para multiplicar una matriz fila por una matriz columna deben tener ambas el mismo número de 
elementos. En tal caso, se multiplican elemento a elemento y luego se suman los resultados 
Ejemplo: 
( )
5
3 1 2 7
4
− 
 −  
 
 
= 3.(–5) + 1.7 + (–2).4 = –16 
En general, la regla para multiplicar una fila por una columna es: 
( ) ...
 
 
 
 
 
 
 
+ + += n n1 1 2 2
1
2
n1 2
n
b
b ab ab ab
...
b
a a ......a
 
 
 
Producto de matrices 
 
Dadas dos matrices A y B, para poder realizar la multiplicación AB es imprescindible que el nº de 
columnas de A sea igual al nº de filas de B. 
Si A es de orden m x k , B de orden k x n → A.B es de orden m x n 
 
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En tal caso, para hacer el producto AB se multiplican las filas de A por las columnas de B. 
 
Ejemplo: 
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
0 4 1
3 2 1 4 1 2 1 16 16 5
2 5 3 2 2 0 2 5 22 11
3 2 1
2 4 4 3 2 3
FC FC FC
F C F C F C
Orden x Orden x Orden x
− 
 − −      ⋅ = =      − −    
 
 
���������
1
2
C C C1 2 3
F
F
 
 
( )
0
1
3 2 1 4 . 3.0 2.1 1.2 4.3
2
3
 
 
 = − = − + + + = 
  
 
161 1F .C
 
( )
4
2
3 2 1 4 . 3.( 4) 2.( 2) 1.0 4.2
0
2
− 
 
− = − = − − + − + + = 
  
 
161 2F .C
 
 
( )
1
1
3 2 1 4 . 3.1 2.1 1.2 4.1
2
1
 
 
 = − = − + + + = 
  
 
51 3F .C
 
( )
0
1
2 5 3 2 . 2.0 5.1 3.2 ( 2).3
2
3
 
 
 = − = + + + − = 
  
 
52 1F .C
 
 
( )
4
2
2 5 3 2 . 2.( 4) 5.( 2) 3.0 ( 2).2
0
2
− 
 
− = − = − + − + + − = 
  
 
-222 2F .C
 
( )
1
1
2 5 3 2 . 2.1 5.1 3.2 ( 2).1
2
1
 
 
 = − = + + + − = 
  
 
112 3F .C
 
 
La regla general es: 
 
 
 
Propiedades más importantes del producto de matrices: 
 
 
1) Elemento neutro: A I = I A = A 2) No conmutativa: AB ≠ BA 3) Asociativa: (AB)C = A(BC) 
 
 
4) Distributiva respecto de la suma y la resta: A(B+C) = AB + AC y A(B – C) = AB – AC 
 
 
5) A. 0 = 0 . A = 0 (matriz nula) 6) (AB)t = BtAt 
 
 
Ten en cuenta: 
* Como el producto de matrices no es conmutativo, no se pueden aplicar las fórmulas de las 
identidades notables. 
Ejemplo: 
 
2 2 2 2 2
Como AB BA,
no se pueden reducir
(A B) (A B)(A B) A AB BA B A 2AB B
≠
+ = + + = + + + − +≠
����������2 2 2
2 2
(A B) A 2AB B
Razonando de forma similar :
(A B)(A B) A B
 − ≠ − +

+ − ≠ −
 
* Sólo se puede sacar factor común cuando el factor que se repite está siempre a la izquierda o 
siempre a la derecha. 
Por ejemplo, en AB + CA no se puede sacar factor común A 
 
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4.- POTENCIAS SUCESIVAS DE UNA MATRIZ CUADRADA 
 
Dada una matriz cuadrada A, se pueden calcular las sucesivas potencias de A de la siguiente forma: 
A2 = A A A3 = A2A A4 = A3A o también A4 = A2 A2 , etc 
 
Se puede comprobar que In = I 0n = 0 (kA)n = kn An. 
 
En algunos casos se puede calcular An en función de n, siempre que las sucesivas potencias de A 
sigan una cierta regularidad. 
 
5.- APLICACIONES DE LAS MATRICES 
 
Situaciones reales 
Muchas veces se dispone de una serie de datos y queremos organizarlos para que sean rápidamente 
identificados y su manipulación resulte sencilla. 
Una forma de hacerlo es mediante matrices en las que las filas y las columnas tienen un significado 
determinado. 
 
Por ejemplo, supongamos que la distribución por sexo y edad de un grupo de personas viene dada 
por la tabla 
 La matriz asociada sería 
8 6
9 7
6 4
 
 
 
 
 
 
 
 
Grafos 
Un grafo es un esquema formado por una serie de puntos (llamados nodos o vértices) unidos por 
segmentos o arcos (llamados aristas) que sirve para representar las relaciones existentes entre los 
elementos de un conjunto. 
 
Si las aristas son líneas sin orientación se llama grafo no dirigido. En otro caso, las aristas llevan punta 
de flecha y se llama grafo dirigido o digrafo 
 
 
 
En un grafo, se llama camino a una sucesión de aristas 
 
Cualquier grafo lleva asociada una matriz A (llamada matriz de adyacencia) que se obtiene poniendo 
el número de aristas que relacionan dos nodos.