3-ESO-Unidad-Didáctica-Sistemas-de-Ecuaciones

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MATEMÁTICAS APLICADAS - 3º ESOA, CURSO 2015/2016 
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Breve historia de los sistemas de ecuaciones lineales. 
Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las 
incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen, sin que tuvieran relación con 
problemas de medida. 
Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los 
siguientes términos: 
 1/4 anchura + longitud = 7 manos 
 longitud + anchura = 10 manos 
También resolvían sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática. 
Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. 
Thymaridas (400 a. de C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de n 
ecuaciones con n incógnitas. 
Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero 
transformándolos en una ecuación lineal. 
Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener 
métodos generales de resolución, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones. 
El libro El arte matemático, de un autor chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos problemas 
donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del método de las matrices para resolver 
sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones 
lineales por dicho método matricial. 
 
 
Cita el nombre de tres culturas que han utilizado sistemas de ecuaciones 
 
 
 
Si Thymaridas encontró una fórmula para resolver sistemas de ecuaciones en el año 400 aC, ¿Cuántos 
años hace? 
 
 
Plantea la ecuación de la tablilla babilónica sustituyendo los términos anchura y longitud por las 
incógnitas x e y 
 
 
 
 
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Dando valores a las incógnitas. 
En las siguientes ecuaciones, averigua el valor de la expresión para el valor numérico 
indicado. Para ello indica los cálculos que haces. 
𝑦 = 3𝑥 + 5 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −2 
𝑦 = −2𝑥 − 35 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −1 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 3 
𝑥 =
𝑦
3
+ 7 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 1 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = −3 
𝑥 = −2𝑦 + 6 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = −1 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 3 
Despejando variables 
Despeja en cada ecuación la variable que te resulte más sencilla: 
2𝑦 = 𝑥 + 5 
𝑦 + 3 = 2𝑥 − 2 
−𝑥 + 2𝑦 = 5 
2𝑦 = 3𝑥 + 5 
3𝑥 + 𝑦 − 3 = 4 
Multiplicar una ecuación por un número. 
Multiplica las ecuaciones por el número indicado (debes de multiplicar todos los elementos que 
aparecen en la ecuación 
2𝑦 = 𝑥 + 5 (·3) 
𝑦 + 3 = 2𝑥 − 2 (·(-1)) 
−𝑥 + 2𝑦 = 5 (·2) 
2𝑦 = 3𝑥 + 5 (·(-2)) 
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3𝑥 + 𝑦 − 3 = 4 (·5) 
Simplificar ecuaciones. 
Simplifica las siguientes ecuaciones, para ello realiza primero los paréntesis en caso de que existan y 
después agrupa las incógnitas a un lado y los números a otro. 
4(𝑦 + 3) = 𝑥 + 5 
2𝑦 = 2(3𝑥 − 1) − 2 
−2(𝑥 + 1) + 2𝑦 = 5 
5(𝑦 + 2) = 3(𝑥 + 7) + 5 
3𝑥 + 6(3 − 2𝑦) − 3 = 4𝑥 
 
Métodos de Resolución: 
Método de sustitución: 
Consiste en despejar una variable en una de las ecuaciones para sustituir en la otra ecuación 
Para ello: Elige la variable que sea más fácil de despejar 
Una vez despejada, sustituye su valor en la otra ecuación que aún no has utilizado. 
 
a) {
2𝑥 + 𝑦 = 8
3𝑥 − 𝑦 = 7
 
①Despejamos la incógnita ______ de la ____ ecuación  
②Sustituimos la expresión_______________ en la otra ecuación: 
③Resolvemos la ecuación: 
 
 
 
 
④Averiguamos el valor de la otra variable, para ello utilizamos la expresión inicial: 
 
 
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b) {
𝑥 + 𝑦 = 5
2(𝑥 − 3) = 𝑦 − 2
 
 
①Quitamos el paréntesis de la segunda ecuación y agrupamos: 
Seguimos los pasos del apartado anterior 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método de reducción 
Consiste en multiplicar cada ecuación por un número distinto de forma que una misma incógnita (x o 
y) quede con el mismo coeficiente, pero cambiado de signo, para así poder reducir y obtener una 
ecuación con una incógnita fácil de despejar. 
a) {
3𝑥 + 5𝑦 = 15 − − − − − −→
2𝑥 − 3𝑦 = −9 − − − − − −→
 
 
 
 
 
 
 
b) {
−2𝑥 + 3𝑦 = 14 − − − − − −→
3𝑥 − 𝑦 = −14 − − − − − −→
 
 
 
 
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Método gráfico: 
𝑎) {
−2𝑥 + 𝑦 = 2 − − − 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 𝑦 − −−→
𝑥 − 𝑦 = 1 − − − − − 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 𝑦 − −−→
 
Realiza una tabla de valores para cada valor de y 
X Y= X Y= 
 
 
 
 
 
Representa los puntos anteriores en el plano y obtén dos rectas. Indica el punto de corte. 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑏) {
2𝑥 + 𝑦 = 1 − − − 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 𝑦 − −−→
2𝑥 − 𝑦 = 2 − − − − − 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 𝑦 − −−→
 
Realiza una tabla de valores para cada valor de y 
X Y= X Y= 
 
 
 
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𝑐) {
𝑥 + 2𝑦 = 0 − − − 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 𝑦 − −−→
−𝑥 + 2𝑦 = 4 − − − − − 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 𝑦 − −−→
 
Realiza una tabla de valores para cada valor de y 
X Y= X Y= 
 
 
 
 
 
Representa los puntos anteriores en el plano y obtén dos rectas. Indica el punto de corte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Responde las siguientes preguntas: 
 
¿En qué se diferencian los sistemas a) y c) del b)? 
 
Escribe, fijándote en la tabla los valores de x e y donde se cortan las rectas en cada caso. 
 
 
¿Qué dos tipos de sistemas aparecen en las tres gráficas? 
 
 
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Resolución de problemas 
Pablo y Alicia llevan entre los dos 160€. Si Alicia le da 10€ a Pablo, ambos tendrán la misma 
cantidad. ¿Cuánto dinero lleva cada uno? Para resolverlo ayúdate de esta tabla. 
 Inicialmente Alicia le da 10€ a Pablo 
Pablo 
Alicia 
 
 
 
 
 
El perímetro de un rectángulo es de 22 cm, y sabemos que su base es 5 cm más larga que su altura. 
Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo para hallar las dimensiones del rectángulo. 
 
 
La suma de las edades de dos hermanos es 29 y, dentro de 8 años, la edad del mayor será el doble 
que la edad del menor. ¿Cuántos años tiene cada hermano? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Un alumno realiza un examen de diez preguntas. Por cada pregunta acertada le dan 2 puntos 
y por cada pregunta que falla le quitan 1 punto. Sabiendo que la calificación final fue 
de 8 puntos, ¿cuántos aciertos y fallos tuvo? 
Elegimos las incógnitas: x----------- 
 y----------- 
Planteamos el problema: 
 
Resuelve el sistema por el método que creas más adecuado. 
 
En un hotel hay 120 habitaciones dobles e individuales. Si el número total de camas es 195, 
¿cuántas habitaciones hay de cada tipo? 
Elegimos las incógnitas: x----------- 
 y----------- 
Planteamos el problema: 
 
 
Resuelve el sistema por el método que creas más adecuado.