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Colecciones de ejercicios
Geometría
Selectividad CCNN 2005
1. [ANDA] [JUN-A] Considera el punto P(2,0,1) y la recta r x+2y = 6
z = 2
.
a) Halla la ecuación del plano que contiene a P y a r.
b) Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r.
2. [ANDA] [SEP-A] Considera el plano  x+y+mz = 3 y la recta r x = y-1 = z-2
2
.
a) Halla m para que r y  sean paralelos.
b) Halla m para que r y  sean perpendiculares.
c) ¿Existe algún valor de m para que la recta r esté contenida en el plano ?
3. [ANDA] [SEP-B] Sean los planos 1 2x+y-z+5 = 0 y 2 x+2y+z+2 = 0.
a) Calcula las coordenadas del punto P sabiendo que está en el plano 1 y que su proyección ortogonal sobre el plano 2 es el punto
1,0,-3 .
b) Calcula el punto simétrico de P respecto del plano 2.
4. [ARAG] [JUN-A] Escribir la ecuación de la circunferencia con centro (2,-1) y cuyo radio es 3, y luego determinar los puntos de
esta circunferencia que equidistan de los ejes.
5. [ARAG] [JUN-B] Sea el plano : 2x-3y+z = 1 y el punto A(5,-5,4).
(a) Determinar el punto simétrico de A respecto de .
(b) Volumen de la figura del espacio limitado por el plano  y los tres planos cartesianos.
6. [ARAG] [SEP-A] Determinar le punto simétrico del (3,-8,4) respecto del plano x-3y+2z = 7.
7. [ARAG] [SEP-B] Sea r la intersección de los dos planos x+2y-z = 3
2x-y+z = 1
(a) Determinar el plano  que contiene a la recta r y pasa por el origen de coordenadas.
(b) Escribir la ecuación de la recta perpendicular a  y que pasa por el punto (1,0,1).
8. [ASTU] [JUN] Sea el punto A(1,0,0) y el plano : 2x+y-z = 1. Halla:
a) La ecuación de la recta que pasa por A y es perpendicular a .
b) La ecuación del plano ' que pasa por A y no corta a .
c) La distancia entre los dos planos.
9. [ASTU] [SEP] Sea el tetraedro de la figura formado por A 3,0,0 , B 0,2,0 , C 0,0,6 y D ,3,1 . Calcula:
a) El área del triángulo limitado por los puntos A, B y C.
b) La ecuación del plano  que pasa por los puntos A, B y C.
c) El valor de  para que el vector AD sea perpendicular al plano  anterior.
d) Para  = 5, el punot D' simétrico de D respecto al plano .
10. [C-LE] [JUN-A] Calcúlese la distancia del origen al plano  que pasa por A(1,2,0) y contiene a la recta r x+2
2
 = y-1
3
 = z.
11. [C-LE] [JUN-B] (a) Determínese el simétrico de A(-3,1,-7) respecto de la recta r x+1 = y-3
2
 = z+1
2
.
(b) Hállese la distancia entre A y r.
12. [C-LE] [JUN-B] Dados el punto A(3,5,-1) y la recta r x-1
2
 = y+2 = z+1
4
, hállese el punto B perteneciente a r tal que el vector de
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extremos A y B es paralelo al plano  de ecuación 2x-2y+z+5 = 0.
13. [C-LE] [SEP-A] (a) Calcúlense los valores de a para los cuales las rectas r 3x+ay-6az+1 = 0
-x+y+3z-3 = 0
 y s 
x = -1-
y = 3+
z = 1+a
 son perpendiculares.
(b) Para a = 1, calcúlese la recta que pasa por (1,1,1) y se apoya en r y s.
14. [C-LE] [SEP-A] Calcúlese el simétrico del punto P(1,1,1) respecto del plano x+y+z = 0.
15. [C-LE] [SEP-B] Calcúlese el volumne del tetraedro de vértices A(1,1,1), B(1,2,3), C(2,3,1), D(3,1,2).
16. [C-MA] [JUN] a) Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r 
x = 2t
y = 3+t
z = 1-t
 y al punto P(2,-1,2).
b) Calcula la distancia desdel el plano obtenido al punto Q(0,1,0).
17. [C-MA] [JUN] Halla el área y las longitudes de las tres alturas de un triángulo cuyos véertices son: A 1,1,1 , B 0,3,5 y C 4,0,2 .
18. [C-MA] [SEP] Calcula la ecuación de una recta que pasa por el punto de intersección del plano  x+y-z+6 = 0 con la recta
s x
3
 = y-2 = z+1 y es paralela a la recta r 3x+y-4 = 0
4x-3y+z-1 = 0
19. [C-MA] [SEP] Dados los puntos A(1,-2,3) y B(0,2,1), se pide:
a) La ecuación paramétrica de la recta que pasa por ambos puntos.
b) La ecuación del plano  que está a igual distancia de A y B.
c) La distancia al origen de la recta intersección del plano 2y-z = 0 con el plano  del apartado b).
20. [CANA] [JUN-A] a) Comprueba que las rectas
r (x,y,z) = (1,2,-1)+(1,0,-1)
s (x,y,z) = (0,3,1)+(-2,1,3)
se cortan en un punto.
a) Hallar la ecuación general del plano que contiene a las rectas dadas en el apartado anterior.
21. [CANA] [JUN-B] a) Estudiar, según los valores del parámetro , la posición relaticva de los planos 
x-2y+z = 0
10x-y+5z = 0
4x+3y-z = 0
b) Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos (0,1,2), (1,0,3) y (2,-1,0).
22. [CANA] [SEP-A] Dada la recta r x-1
-2
 = y+1
3
 = z-2
1
, hallar la ecuación del plano que contiene a ésta y pasa por el punto P 0,-2,1 .
23. [CANA] [SEP-B] Estudiar la posición relativa del plano  5x+y-2z+1 = 0 y la recta r 2x-y = 1
x-y+2z = -1
 según los valores del
parámetro .
24. [CATA] [JUN] Una pirámide de base cuadrada tiene el vértice en el plano de ecuación z = 3.Tres de los vértices de la base sonlos
puntos del plano OXY: A= 1,0,0 , B= 1,1,0 y C= 0,1,0 .
a) Haga un gráfico de los elementos del problema. ¿Cuáles son las coordenadas del cuarto vértice de la base, D?
b) ¿Cuál es el volumen de la pirámide? Volumnen = área base x altura
3
.
c) Si el vértice de la pirámide es el punto V=(a,b,3), ¿cuál es la ecuación de la recta que contiene la altura sobre la base?
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25. [CATA] [SEP] Halle la distancia de la recta r: x-3
2
 = y-1
-3
 = z+2
3
 y el plano : 2x-3y+3z+5 = 0.
26. [CATA] [SEP] Dados los puntos A=(1,0,0) y B=(0,0,1):
a) Halle un punto C sobre la recta de ecuación paramétrica 
x = 1
y = 1+
z = 1+
 de manera que el triángulo ABC sea rectángulo en C.
b) Halle el área del triángulo ABC.
27. [EXTR] [JUN-A] Determinar las coordenadas de un punto que diste 2 unidades de la recta x-1
1
 = y
1
 = z-1
-1
.
28. [EXTR] [JUN-B] Si los lados de un rectángulo ABCD miden 1 cm y 4 cm, calcular el coseno del ángulo PAC,
donde P es el punto medio del lado BC.
29. [EXTR] [SEP-A] Si A, B y C son los puntos de coordenadas (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) respectivamente:
a) Calcular el área del triángulo que forman los puntos A, B y C.
b) Determinar el ángulo que forman los vectores AB y AC .
30. [MADR] [JUN-A] Dado el punto P(1,3,-1), se pide:
a) Escribir la ecuación que deben verificar los puntos X(x,y,z) cuya distancia a P sea igual a 3.
b) Calcular los puntos de la recta 
x = 3
y = 1+
z = 1-4
 cuya distancia a P es igual a 3.
31. [MADR] [JUN-B] Dadas las rectas r: x-1
2
 = y-1
3
 = z-1
4
 y s: x+1
1
 = y-2
-1
 = z
2
a) Hallar la ecuación de la recta t que corta a las dos y es perpendicular a ambas.
b) Calcular la mínima distancia entre r y s.
32. [MADR] [SEP-A] Discutir según los valores del parámetro real  la posición relativa de los planos: 
1: x+z = 
2: 4x+(-2)y+(+2)z = +2
3: 2(+1)x-(+6)z = -
33. [MADR] [SEP-A] Se consideran las rectas r: x-y = 3
x+y-z = 0
 y s: x-z = 4
2x-y = 7
a) Hallar la recta t, perpendicular a r y a s, que pasa por el origen.
b) Hallar las coordenadas del punto intersección de la recta s con la recta t obtenida en el apartado a).
34. [MADR] [SEP-B] Se considera la familia de planos mx+(m-2)y+3(m+1)z+(m+1) = 0.
a) Determinar la recta común a todos los planos de la familia.
b) Determinar el plano de esta familia que pasa por el punto P(1,1,0).
c) Determinar el plano de esta familia que es paralelo a la recta r: x-2z+1 = 0
-y+z+1 = 0
.
35. [MURC] [JUN] (a) Demostrar que las rectas L1= 
x = 1+2t
y = 1-t
z = t
 y L2= 
x = t
y = 0
z = 4-t
 se cortan en un punto. ¿Cuál es ese punto?
(b) Encontrar la ecuación del plano determinado por dichas rectas.
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36. [MURC] [SEP] (a) Estudiar si las recta L1= 
x = t
y = t
z = 2+t
 y L2= 
x+y-z+1 = 0
x+2y+3 = 0
 se cruzan.
(b) Encontrar la distancia entre dichas rectas.
37. [MURC] [SEP] (a) Demostrar que las recta L1= 
x = 1+ t
y =3+3t
z = 3+ t
 y L2= 
3x-y+4 = 0
x-z+4 = 0
 son paralelas.
(b) Encontrar la ecuación de un plano paralelo al determinado por dichas rectas y que diste de él 6.
38. [RIOJ] [JUN] Halla las coordenadas del punto intersección de la recta x-1
1
 = y-1
0
 = z-1
-1
 y del plano 2x-y+z-1 = 0.
39. [RIOJ] [JUN] San r1 y r2 las restas de ecuaciones: r1 
x-2y-1 = 0
y-z-2 = 0
 y r2
x+y+z-1 = 0
-2y+2z-a = 0
.
Determina el valor de a para que r1 y r2 sean coplanarias.
40. [RIOJ] [SEP] Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,1,0) y es paralela al eje Z (una ecuación: la que quieras). Haz un
esquema dibujando los ejes, el punto y la recta.
41. [RIOJ] [SEP] Sean los planos 2x+4y-z+5 = 0 y x+y+6z-8 = 0.
a) Prueba que son perpendiculares.
b) Halla la ecuación de la recta intersección de los planos, y exprésala de dos formas distintas.
c) Encuentra un punto que no pertenezca a la intersección de los planos y que esté a igual distancia de ambos.
42. [VALE] [JUN-A] Se considera el plano : y+z-12m = 0 (m parámetro real) y las rectas u: x = 1
y = z
, v: x = 2
y = 2z
 y w: x = 3
y = 3z
. Sean A, B
y C los puntos de intersección de  con u, v y w, respectivamente.
a) Calcular las coordenadas de A, B y C.
b) Hallar los valores de m para los que el área del triángulo ABC es 1 u.a.
43. [VALE] [JUN-B] Hallar las ecuaciones de los planos que pasan por el punto (-7,2,-3) y tales que las proyecciones ortogonales del
origen sobre dichos planos son puntos de la recta (x,y,z) = (0,4,1)+t(1,0,0).
44. [VALE] [SEP-A] Un paralepípedo rectangular (u ortoedro) tiene tres de sus aristas sobre las rectas l: x = 0
y = 0
, m: x-2y = 0
z = 0
 y
n: 2x+y = 0
z = 0
, y uno de sus vértices es (12,21,-11). Se pide:
a) Hallar los vértices restantes.
b) Calcular su volumen.
45. [VALE] [SEP-B] De los planos : 5x-y-z = 0, : x+y-z = 0 y el punto P(9,4,-1), determinar:
a) La ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a  y a .
b) El punto simétrico de P respecto de la recta r, intersección de los planos  y .
 Soluciones
1. a) x+2y-4z+2 = 0 b) 18
5
,16
5
,3 2. a) -1 b) 2 c) no 3. a) -7
3
,-20
3
,-19
3
 b) 13
3
,20
3
, 1
3
 4. x2+y2-2x+2y-4 = 0 ; -1,-1 , 2,2 , 3+ 17
2
,- 3+ 17
2
, 3- 17
2
,- 3- 17
2
5. (a) (-3,7,0) (b) 1
36
 6. (-1,4,-4) 7. (a) 5x-5y+4z = 0 (b) 
x = 1+5
y = -5
z = 1+4
 8. a) 
x = 1+2
y = 
z = -
 b) 2x+y-z-2 = 0 c) 1
2
 9. a) 3 14 b) 2x+3y+z-6 = 0 c) 5 d) (1,-3,-1) 10.
5 59
59
 11. (a) (-3,-3,-3) (b) 2 2 12. -7
3
,-11
3
,-23
3
 13. (a) 3 (b) x-y-3z+3 = 0
x+y-2 = 0
 14. (-1,-1,-1) 15. 3
2
 16. a) 3x+4y+10z-22 = 0 b) 18 5
25
 17. 230
2
 ; 4830
21
,
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2530
11
, 1955
17
 18. 
x = -9+
y = -1-3
z = -4-13
 19. a) 
x = 1-
y = -2+4
z = 3-2
 b) 2x-8y+4z-9 = 0 c) 9
2
 20. b) x-y+z+2 = 0 21. a) =3: Se cortan en una recta; 3: Se cortan en un punto b)
x+y-1 = 0 22. 2x+3y-5z+11 = 0 23.  = -2: paralelos ;   -2: se cortan 24. a) (0,0,0) b) 1 c) 
x = a
y = b
z = 3+
 25. se cortan 26. a) 1, 1
2
, 1
2
 b) 3
4
 27. 1, 2, 2+1 28.
9 85
85
 29. a) 3
2
 b) 60º 30. a) x2+y2+z2-2x+6y+2z+2 = 0 b) (0,1,1), (3,2,-3) 31. a) 
x = 27
25
 -2
y = 28
25
z = 29
25
 +
 b) 3 5
5
 32.   -8
3
,2 : dos planos paralelos cortados por otro; 
 -8
3
,2 : se cortan en un punto 33. a) 
x = -3
y = 
z = 
 b) 3,-1,-1 34. a) -2y+3z+1 = 0
x+y+3z+1 = 0
 b) x-5y+12z+4 = 0 c) x+13y-15z-5 = 0 35. (a) (3,0,1) (b) x+3y+z-4 = 0 36. (a) si
(b) 4242
7
 37. (b) x-y+2z+2 = 0 ó x-y+2z-10 = 0 38. (0,1,2) 39. -4 40. 
x = 1
y = 1
z = k
 41. b) 2x+4y-z+5 = 0
x+y+6z-8 = 0
 42. a) A(1,6m,6m), B(2,8m,4m), C(3,9m,3m) b)  2 43.
4x-y-4z+33 = 0; 3x-4y-z+26 = 0 44. (0,0,0), (0,0,-11), (18,9,0), (18,9,-11), (-6,12,0), (-6,12,-11), (12,21,0) 45. a) x+2y+3z-14 = 0 b) (-7,0,7)
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