Ejercicios de Geometría analítica en el espacio Recta y plano 2

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Geometría analítica
Recta y plano 2
1. Expresar en forma paramétrica y reducida la recta x+2
3
 = y-1
5
 = z
-2
2. Hallar el valor de m para que los puntos A(3,m,1), B(1,1,-1) y C(-2,10,-4) pertenezcan a la misma recta.
3. Probar que todos los planos de la familia (3+λ)x + (3-λ)y + (5-2λ)z = λ (con λ∈ℜ) contienen una misma recta y hallar
unas ecuaciones paramétricas de dicha recta.
4. Hallar la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(1,0,1), B(0,2,0) y C(-1,2,1). Indicar la ecuación de una
recta que pertenezca a ese plano.
5. Consideremos los puntos P(-1,1,1), Q(7,1,7) y R(-4,1,5). Se pide:
a) Demostrar que son los vértices de un triángulo rectángulo y calcular la longitud de cada cateto y el área del
rectángulo.
b) Obtener la ecuación del plano que los contiene.
c) Hallar un punto T de manera que los puntos P, Q, R y T formen un rectángulo.
6. Hallar la ecuación general del plano que contiene al punto y recta:
1. A(3,-1,2) ; r ≡ 
x = λ
y=2 - λ
z=3+2λ
2. A(3,-1,2) ; recta intersección del plano π: x - 2y + z - 3 = 0 con el plano YZ.
7. Hallar la ecuación general del plano que contiene a las rectas r ≡ x-1
2
 = y+2
3
 = z-3
-1
 y s ≡ x-1
-2
 = y+2
-1
 = z-3
2
8. Determinar a y b para que los planos ax+by+4z-1 = 0 y 3x-5y-2z+5 = 0 sean paralelos.
9. Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta 
x= - t
y=3+ t
z= 1+5t
 y es paralelo a la recta y = -2x
z = x + 3
10. Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo al plano determinado por el punto
A(1,-1,0) y la recta que pasa por el punto B(2,2,2) y tiene por vector director (1,2,3).
11. Dada la recta r ≡ 2x - y + z = 1
x - 2y - z = -2
 , hallar:
a) La ecuación de un plano que contenga a la recta r.
b) La ecuación de un plano paralelo a la recta r.
c) La ecuación de un plano que corte a la recta r.
12. Halla la ecuación del plano p que contiene a la recta r≡ x+2y-3z+1 = 0
2x-y+z-2 = 0
 y es perpendicular al plano q≡ x+2y-4z = 1.
13. Dado el punto A(-1,5,2) y el plano π: 3x+y-2z+5 = 0, hallar un punto B tal que la recta que pasa por A y B sea paralela
al plano π.
14. Dos vértices consecutivos de un rectángulo son P(1,1,-3) y Q(-1,0,0) y los otros dos pertenecen a una recta r que
pasa por el punto A(4,3,-5). Se pide:
a) Ecuación de la recta r y ecuación del plano que contiene al rectángulo.
b) Las coordenadas de los otros dos vértices del rectángulo.
15. Dados los puntos A(2,-1,-2) y B(-1,-1,2):
a) Determinar los puntos del segmento que lo dividen en tres partes iguales.
b) Encontrar un punto C sobre la recta r de ecuaciones r≡ x-1
1
 = y-1
-1
 = z-1
2
 de forma que el triángulo ABC sea
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Recta y plano 2
rectángulo en C.
16. Determinar el valor de α para que los puntos A(α,-1,5), B(7,2,1), C(-1,-3,-1) y D(1,0,3) sean coplanarios.
17. Comprobar si la recta de ecuaciones 
x= 1 + t
y= -2 -5t
z= -3+2t
 está contenida en el plano de ecuación 2x + y - z + 2 = 0.
18. Dada la recta r: x+1
1
 = y
-2
 = z-2
1
 y el plano π: 2x+my+2z-3 = 0, hallar, razonadamente:
a) El valor de m para que r y π sean paralelos.
b) Los valores de m para que r y π sean perpendiculares.
c) ¿Existe algún valor de m para el que la recta r esté contenida en el plano π?
r ≡ 
x =3 -5t
y= 1+2t
z=3 
 ; s ≡ 3x - y + z = 0
x + 2y - z = 0
19. Hallar la ecuación de un plano que pasa por A(-1,-1,0) y es paralelo a las rectas
r y s. Hallar la intesección de dicho plano con los ejes de coordenadas.
20. Dado el sistema 
λx + 4y + z = 3
3x - y + 2z = λ
2x - 5y + z = -2
:
a) Discutirlo según los valores del parámetro λ e interpreter geométricamente el resultado.
b) Resolverlo para λ = -1.
21. En cada uno de los siguientes casos pon un ejemplo de un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas e indica su
significado geométrico:
(1) El rango de la matriz de los coeficientes es 2 y el de la matriz ampliada, 3.
(2) El rango de la matriz de los coeficientes es 2 y el de la matriz ampliada, 2.
(3) El rango de la matriz de los coeficientes es 1 y el de la matriz ampliada, 2.
(4) El rango de la matriz de los coeficientes es 1 y el de la matriz ampliada, 1.
22. Estudiar, según los valores de m, la posición relativa de los planos: mx+y-z = 1 , 2x-y+mz = 3m y x-2y+(m+1)z = 3m-1.
x + (1+a)y + z=0
(2+a)x - y -2z=0
3x - z= a
23. Estudiar la situación relativa de los planos dados, según los valores de a. Hallar la
intersección de los tres planos para el valor de a con el cual esta intersección contiene
más de un punto.
24. Hallar el valor de k para que los planos x+y+z = 2, 2x+3y+z = 3 y kx+10y+4z = 11 tengan una recta común.
25. Considerar los tres planos π1≡ x+y+z = 1, π2≡ x-y+z = 2 y π3≡ 3x+y+3z = 5. ¿Se cortan π1 y π2? ¿Hay algún punto que
pertenezca a los tres planos?
26. Las coordenadas de dos puntos distintos P p1,p2p3 y Q q1,q2,q3 satisfacen a un mismo sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas. Se pide deducir, razonablemente:
1º. Las coordenadas de su punto medio también lo satisfacen.
2º. El determinante de la matriz de los coeficientes del sistema es nulo.
27. Comprobar si las rectas x-1
2
 = y-2
-4
 = z
-5
 y 
x= 3+2t
y= -2 - t
z= -5 -3t
 determinan un plano y, en caso afirmativo, hallar su ecuación.
28. Hallar el valor de m para que sean coplanarias las rectas:
1. r ≡ 
x-m
m
 = y-4
-3
z = 6
 ; s ≡ y = -3x + 4
z = -2x
2. r≡ 
x = λ
y = m + λ
z = 0
 ; s≡ 
x = 1 + λ
y = 1 - λ
z = -1 + λ
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29. Dadas las rectas r ≡ 
x =2+ 3λ
y=4+ 5λ
z= mλ
 y s ≡ 
y = 2x + 1
z = x
2
 - 3
2
a) Calcular el valor de m para que r y s sean concurrentes.
b) Determinar, para ese valor de m, el punto intersección de r y s.
30. Hallar la posición relativa de las rectas r ≡ 
x =2 -2λ
y= 1 -2λ
z=2-4λ
 y s ≡ 
x =3+λ
y=2 -λ
z=4 
31. Dadas la rectas r: x + z - 13 = 0
ax + y + z - 12 = 0
 y s: x - a + 1 = 0
y + z - a(a-1) = 0
, ¿existe algún valor de a de manera que las rectas sean
coplanarias y perpendiculares?. Razona la respuesta.
32. Analizar, en función de a, cuándo las rectas r ≡ x+1
1
 = y+5
2
 = z+2
1
 y s ≡ 2x - (a+1)z = 2
y - 2az = 0
 son paralelas y obtener, en
ese caso, las ecuaciones del plano que las contiene.
33. Dada la recta r≡ x+1
4
 = y-3
-1
 = z
2
, describir un procedimiento para obtener:
(1) Una recta que corte a r.
(2) Un plano que contenga a r.
(3) Un plano perpendicular a r.
Poner un ejemplo de lo que se pide en cada caso.
34. Considerar el plano π y la recta r dados por: π≡ ax + 2y - 4z + b = 0, r≡ x-3
4
 = y-1
-4
 = z+3
1
(1) Halla todos los valores de a y b para los que r está incluida en π.
(2) ¿Existe algún valor de a y alguno de b para los que r es perpendicular a π? Razona la respuesta.
35. Determinar b para que la recta x+1
3
 = y+5
b
 = z+2
6
 no corte al plano 2x-4y+5z = 6.
36. Discutir, según los valores de a, la posición relativa de la recta r de ecuaciones r≡ 2x+2y+(a+1)z-3 = 0
-x+y+z = 1
 respecto al
plano ax + 2y + 3z = 3.
37. Calcular la ecuación de una recta que pasa por el punto de intersección del plano π≡ x + y + z = 6 con la recta
s≡ x
3
 = y-2 = z+1 y es paralela a la recta r≡ 3x+4y-4 = 0
4x-3y+z-1 = 0
.
38. (1) Determinar las ecuaciones de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano
determinado por el punto (1,1,1) y la recta de ecuaciones r≡ y = 0
2x + 3z = 1
(2) El mismo problema para la recta de ecuaciones s≡ x+2y+3z = 6
3x+2y+z = 1
39. Calcular el ángulo formado por el plano 2x + 3y - 2z + 5 = 0 y la recta 3x + y - z = 0
x - 2y + z = 0
40. Calcular el ángulo que forman los planos x+2y-z = 3 y 2x-y+3z = 0.
41. Calcular el coseno de los ángulos determinados por el plano 2x-3y+2z = 0 con cada uno de los planos XOY, XOZ y
YOZ.
42. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(-1,0,0) y esparalela a los planos: π1: 2x-y-z+1 = 0 y
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Recta y plano 2
π2: x+3y+z-5 = 0.
r: x-1
2
 = y
5
 = z-2
-1
 ; s: 2x+1 = y-3 = z+243. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2,-1,0) y por las
rectas r y s.
44. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P(1,0,2) y corta a las recta r y s dadas por r≡ x
3
 = y+2
1
 = z
1
 y
s≡ 2x+6y+2 = 0
y+2z = 0
r ≡ 
x = 1 + λ
y= -1 + λ
z= 1+2λ
s ≡ x-2
2
 = y
1
 = z
1
45. Se quiere atar una cuerda que pasa por una argolla, situada en el punto A(2,1,1) a dos postes r y s
de modo que la longitud de la cuerda empleada sea la menor posible.
a) Hallar los puntos B sobre r y C sobre s a los que debe anudarse la cuerda.
b) ¿Qué ángulo forman las cuerdas AB y AC?
46. (1) ¿Cuál es el punto A de la recta r dada por r≡ x+y+2z = 1
x-2y-4z = 1
 que está más cerca del punto P(2,3,-1)?
(2) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son A, P y B(1,0,0).
47. Dados los puntos A(1,5,-2), B(4,0,1) y C(-3,2,0):
a) Probar que son los vértices de un triángulo.
b) Hallar la longitud del segmento que determina el punto B y su proyección sobre el lado AC.
48. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,5,0), es paralela al plano π de ecuación x+2y-3z = 1 y
corta a la recta r dada por r≡ x-1
1
 = y-2
-1
 = z-2
-1
.
49. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,1,1), está contenida en el plano π≡ x+y+z-3 = 0 y es
perpendicular a la recta r≡ x = 2z + 3
y = -z + 4
50. Hallar los valores de a para que los planos: p: -x+y+az = 0 y q: ax+2y+2z = 0 corten al plano t: x-y+z = 1 en dos
rectas perpendiculares.
51. Determinar la condición que deben verificar las coordenadas de un punto P(x,y,z) para que equidiste de los puntos
A(2,0,-1) y B(0,2,-1). Comprobar que la condición obtenida es la ecuación de un plano que pasa por el punto medio de
AB.
52. Hallar el punto del plano de ecuación x - z = 3 que está más cerca del punto A(3,1,4) así como la distancia entre el
punto A y el plano dado.
53. Dado el plano 2x+y-z-5 = 0, calcular la ecuación general de los planos paralelos al anterior. Calcular también un plano
paralelo al anterior cuya distancia al mismo sea 7. ¿Es único ese plano?
54. Determina todos los puntos que equidistan de los planos π1 y π2 dados por: π1≡ 3x-4y-1 = 0 y π2≡ 4x-4y-2z = 0. ¿Qué
figura representan?
55. Determinar el punto (o puntos) de la recta r ≡ x-1
2
 = y+1
3
 = z+2
2
 que equidiste de los planos: π1≡ 3x+4y-1 = 0 y
π2≡ 4x-3z-1 = 0.
56. Dado el triángulo de vértices A(1,1,1), B(0,3,5) y C(4,0,2), hallar su área y las longitudes de las tres alturas.
57. Calcular la distancia del punto P(1,0,3) a la recta r: x + y = 0
2x - z = 0
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Recta y plano 2
58. Hallar el punto de la recta x = y+2
2
 = z-3
-1
 que equidista del punto A(1,2,1) y del origen de coordenadas.
59. Sea la recta r de ecuaciones r≡ 3x+2y = 0
3x+z = 0
.
(a) Hallar los puntos de r cuya distancia al origen es de 7 unidades.
(b) Hallar la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por el punto P(1,2,-1).
60. Determinar todos los puntos del plano 2x-y+2z-1 = 0 que equidistan de los puntos A(3,0,-2) y B(1,2,0). ¿Qué
representan geométricamente?
61. Considerar los puntos A(1,2,3), B(3,2,1) y C(2,0,2). Hallar el punto simétrico del origen de coordenadas respecto del
plano que contiene a A, B y C.
62. Hallar el simétrico del punto A(1,0,1) respecto del plano x - y + z = 1.
63. Sea π el plano que pasa por los puntos (1,0,0), (0,1,1) y (1,1,1). Sea A el punto (1,2,3) y sea B el simétrico de A
respecto al plano π.
(1) Hallar la recta que pasa por A y por el punto medio del segmento AB.
(2) Hallar la recta paralela a la anterior que pasa por el punto (2,2,2).
64. Hallar el punto simétrico del punto A(1,2,1) respecto de la recta x - y + 3 = 0
4x - z + 7 = 0
65. Hallar el simétrico del punto A(1,2,-3) respecto de la recta x-1
2
 = y-3
5
 = z-2
3
.
66. Determinar la perpendicular común a las rectas r≡ x + y = z + 4
x + 2y = 7
 y s≡ x - 2 = 0
y + 3 = 0
.
 Soluciones
1. 
x = -2 + 3λ
y = 1 + 5λ
z = - 2λ
 ; 
y = 5
3
x + 13
3
z = - 2
3
x - 4
3
 2. -5 4. x + y + z - 2 = 0 5. a) Rectángulo en P ; PQ = 10 , PR = 5 ; Área = 25 u2. ; b) y-1 = 0 ; c) T(4,1,11)
6.1. x + y - 2 = 0 6.2. x + 6y - 3z + 9 = 0 8. -6 ; 10 9. -11x - 6y - z + 19 = 0 10. 5x - y - z = 0 12. 38x - 9y + 5z - 30 = 0 13. B(a , 2c-3a-2 ,
c) ∀a,c∈ℜ 14. 
x = 4 - 2λ
y = 3 - λ
z = -5 + 3λ
 ; -4x + 5y - z - 4 = 0 ; (2,2,-2) ; (0,1,1) 15. a) 1 , -1 , - 2
3
 ; 0 , -1, 2
3
 ; b) 1
2
 , 3
2
 , 0 y 4
3
 , 2
3
 , 5
3
 16. -3 17.
No 18. 2 , -4 , No 19. 14x + 35y - 18z + 49 = 0 ; - 7
2
 , 0 , 0 , 0 , - 7
5
 , 0 , 0 , 0 , 49
18
 20. λ = 1, se cortan en una recta.
λ ≠ 1, se cortan en un punto.
 ; -1 , 2
9
 , 10
9
 22.
m = 1, se cortan en una recta.
m ≠ 1, se cortan en un punto.
 23. 
a = 0, se cortan en una recta.
a = 3, se cortan dos a dos.
a ∉ {0,3}, se cortan en un punto.
 ; 
x = λ
y = -4λ
z = 3λ
 24. 7 25. 
π1 y π2 se cortan en una recta.
π1, π2 y π3 no tienen puntos comunes.
 27. 7x - 4y
+ 6z - 15 = 0 28.1. 3
2
 29. 2 , (-1,-1,-2) 30. Se cortan en (3,2,4) 31. No 32. 1 ; x - z - 1 = 0 34. 3 , -23 ; No 35. 9 36.
a = -3, recta y plano paralelos.
a = 2, recta contenida en el plano.
a ∉ {-3,2}, se cortan en un punto.
 37. x-3
4
 = y-3
-3
 = z
-25
 38. 
x = 2λ
y = -4λ
z = 3λ
 ; 
x = λ
y = 2λ
z = 3λ
 39. 0º 40. 70º 53' 36'' 41. 60º 58' 58'' , 43º 18'
50'' , 60º 58' 58'' 42. 
x = -1 + 2λ
y = - 3λ
z = 7λ
 43. 
x = 2 + 2λ
y = -1 + 61λ
z = 23λ
 44. 
x = 1 - 5λ
y = 2λ
z = 2 + 2λ
 45. B 3
2
 , - 1
2
 , 2 , C 8
3
 , 1
3
 , 1
3
 ; 90º 46. A 1 , 14
5
 , - 7
5
 , 74
10
47. 33814
29
 48. 
x = 4 + 9λ
y = 5 - 21λ
z = - 11λ
 49. 
x = 1 2λ
y = 1 + λ
z = 1 - 3λ
 50. 6 51. x - y = 0 52. (5,1,2) , 2 53. 2x + y - z + k = 0 , 
π1≡ 2x + y - z + 7 6 - 5 = 0
π2≡ 2x + y - z - 7 6 - 5 = 0
 54.
x + 2y - 5z + 3 = 0 , 19x - 22y - 5z - 3 = 0 ; Planos bisectrices de los dados. 55. 38
16
 , 17
16
 , - 10
16
 ; 3
10
 , - 41
20
 , - 27
10
 56. 230
2
 ; 230
21
 , 230
11
 ,
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Recta y plano 2
115
17
 57. 66
6
 58. (1,0,2) 59. (2,-3,6) , 2x - 3y + 6z + 10 = 0 60. 2x - y + 2z - 1 = 0
x - y - z - 2 = 0
 , una recta 61. (4,0,4) 62. 1
3
 , 2
3
 , 1
3
 63. 
x = 1
y = 2 + λ
z = 3 - λ
, 
x = 2
y = 2 + λ
z = 2 - λ
 64. - 11
3
 , 2
3
 , 7
3
- 11
3
 , 2
3
 , 7
3
 65. - 21
19
 , 100
19
 , 73
19
 66. 
x = 2 + λ
y = -3 + 2λ
z = 8
5
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