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Geometría
Selectividad CCNN Canarias
1. [2014] [EXT-A] Sea P el punto de coordenadas P(1,0,1) y r la recta de ecuación r  x+y-z = 0
x-2z = 1
.
a) Hallar la ecuación en forma continua de una recta que pase por el punto P y sea paralela a la recta r.
b) Hallar la ecuación general de un plano que para por el punto P y contenga a la recta r.
2. [2014] [EXT-B] Determinar la posición relativa de los siguientes planos:
1  
x = -1+3-2
y = 4+
z = -2+2-5
 , 2  x+y+z = 2 , 3  
x-2 1 2
y+1 2 3
z 1 1
 = 0
3. [2014] [JUN-A] Dados los puntos A(-1,0,3), B(2,4,1) y C(-4,3,1):
a) Estudiar si los puntos A, B y C están alineados.
b) Hallar la ecuación de la recta paralela al segmento AB y que pasa por C. Expresarla como intersección de dos planos.
4. [2014] [JUN-B] Determinar el valor de a para que la recta r de ecuación r  x-y+2z = 2
2x+y+z = 3
 sea paralela al plano   x-ay+10z = -3.
5. [2013] [EXT-A] Dados el punto P(2,2,-2) y la recta r: 2x+y+z = -2
x+3y+z = 0
a) Hallar la ecuación del plano 1 que contiene a r y pasa por P.
b) Hallar la ecuación del plano 2 que contiene a P y es perpendicular a r.
6. [2013] [EXT-B] Dadas las rectas: r: x
5
 = y+1
3
 = z
4
 s: 
x = 2+3
y = 2
z = -1
a) Determinar la ecuacion general del plano paralelo a las rectas r y s que pasa por el origen de coordenadas.
b) Hallar el ángulo que forman r y s.
7. [2013] [JUN-A] Dados la recta r: x-2y+z = 0
-x+2y+z = 2
 y el punto P(1,0,1) exterior a r,
a) Hallar la ecuación en forma general del plano  que contiene a r y P.
b) Hallar la ecuación (como intersección de dos planos) de la recta s que pasa por P y es paralela a la recta r.
8. [2013] [JUN-B] Dada la recta r: x-2y+z = 0
x-z = 0
 y los puntos P(1,-2,0) y Q(0,1,3)
a) Hallar la ecuación del plano  que contiene a r y es paralelo a PQ.
b) Hallar la ecuación de la recta s perpendicular a r que pasa por Q e intersecta a r.
9. [2012] [EXT-A] Estudiar la posición relativa de las rectas r: x-2
3
 = y+3
-2
 = z
5
 y s: 4x-2y+z = 0
2x-y+z = 5
(explicar el procedimiento utilizado)
10. [2012] [EXT-B] Dado el plano : 
x = -1+3-2
y = 4+
z = -2+2-5
 () () y dado el punto P(0,3,-1) exterior a , obtener las ecuaciones en
forma continua, en forma paramétrica y como intersección de dos planos, de la recta r que pasa por P y es perpendicular al plano
, explicando el procedimiento utilizado.
11. [2012] [JUN-A] Dadas las rectas secantes: r1: 
x = -1+
y = 3-4
z = -2+3
 () y r2: 
5x-y+z = 2
-5x+y+z = 0
,
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obtener las ecuaciones en forma continua y en forma paramétrica de la recta s que pasa por el punto de intersección de las
rectas dadas y es perpendicular a ambas, explicando el procedimiento utilizado.
12. [2012] [JUN-B] Dada la recta r: 
x = -1+3
y = -5
z = 2+2
 () y dado el punto P (2,-2,3) exterior a r,
a) Hallar la ecuación en forma general del plano p que los contiene, explicando el procedimiento utilizado.
b) Obtener las ecuaciones en forma paramétrica, en forma continua y como intersección de dos planos, de la recta s que pasa por
P y es perpendicular al plano , explicando el procedimiento utilizado.
13. [2011] [EXT-A] Dados los puntos A(-1,2,0) y B(2,1,-1)
a) Determinar si el punto C(5,0,-2) está alineado con los anteriores, explicando el motivo (hacer un dibujo esquemático de la
situación).
b) Hallar las ecuaciones de la recta que contiene a los puntos A y B, en forma continua, en forma paramétrica y como intersección
de dos planos.
c) Hallar la ecuación en forma general del plano que pasa por B y es perpendicular a la recta AB.
14. [2011] [EXT-B] Dada la recta r: 2x-3y+z = 0
x+y-2z = 1
 y el punto P(-1,2,3), hallar la ecuación en forma general del plano que los contiene.
15. [2011] [JUN-A] Dados la recta r: x-2
3
 = y
-1
 = z-1
2
 y el punto P(1,2,3)
a) Hallar la ecuación general del plano que los contiene.
b) Hallar ecuaciones en forma continua, en forma paramétrica y como intersección de dos planos, correspondientes a la recta que
pasa por P y es perpendicular al plano anterior.
16. [2011] [JUN-B] Dadas las rectas secantes r: x-2
-1
 = y-5
2
 = z-1
1
 y s: (x,y,z) = (1,-1,0)+(-1,6,2)
a) Calcular su punto de intersección.
b) Hallar la ecuación del plano que las contiene.
17. [2010] [EXT-A] Dadas las siguientes rectas: r: (x, y, z) = (-8,-4,5) +(-2,1,-2) ; s: 4y-3x = 8
4z-5x = 60
a) Comprobar que se cortan en un punto y obtener sus coordenadas.
b) Hallar la ecuación de la recta paralela a s que pasa por el punto (1,0,-1).
18. [2010] [EXT-B] Dada la recta r: x-3
2
 = y
3
 = z+1 y los puntos A (1,1,0) y B (2,0,-3)
a) Hallar la ecuación general del plano que contiene a la recta r y al punto A.
b) Hallar el ángulo formado por la recta r y la recta que pasa por los puntos A y B.
19. [2010] [JUN-A] Obtener la ecuación en forma general del plano que pasa por el punto (0,3,2) y es paralelo a las dos rectas
siguientes:
r1: 
x
-1
 = y+3
2
 = z+1 ; r2: 
x-z = 5
2x+3y-z = 0
20. [2010] [JUN-B] Estudiar la posición relativa de los planos: 10x-y+5z = 2 ; 4x+3y-z = 6 ; -3x+2y-3z = 2.
21. [2009] [EXT] Calcular la ecuación del plano que contiene a la recta r: y = 1+x
z = 2
 y es paralelo a la recta s: 
x = 1-2
y = -2
z = 
.
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22. [2009] [EXT] Dado el plano : 3x-2y+z = 5 y la recta r: x
2
 = y-1
-2
 = z+3, hallar su posición relativa. Si se cortan en un punto, hallar
sus coordenadas. Y si son paralelos, hallar el plano que contenga a r y sea paralelo a .
23. [2009] [JUN] Dado el punto P(5,0,-1) exterior a la recta r: 
x = -
y = -4
z = 2+
 (), hallar el plano que contenga a r y pase por P.
24. [2009] [JUN] Estudiar la posición relativa de los tres planos:
1: 2x-3y+z = 2 ; 2: 3x-2y-z = 7 ; 3: x+y-2z = 5
En caso de que se corten en un punto, hallar éste. Y en caso de que se corten en una recta, determinarla.
25. [2008] [EXT] Calcula la ecuación de una recta que pasa por el punto intersección del plano   x+y-z+6 = 0 con la recta
r  x-3y+6 = 0
-x+3z+3 = 0
 y es paralela a la recta s  x-2
3
 = y
-1
 = z.
26. [2008] [EXT] Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto P(-1,0,2) y contiene a la recta s  x
2
 = y-1
-3
 = z+2.
27. [2008] [JUN] Dadas las rectas r x-y+2 = 0
z = -1
 y s x = 2
y-z-5 = 0
 ,
i) Determinar su posición relativa.
ii) En caso de cortarse, determinar el ángulo que forman y el punto de corte.
28. [2008] [JUN] Se consideran las rectas r 
x = 2+t
y = 2+2t
z = 3+3t
, el plano  2x-4y-2z = 0 y el punto P 1,1,1 . Se pide:
i) Determinar la ecuación del plano 1 que pasa por el punto P y es paralelo al plano .
ii) Determinar la ecuación general del plano 2 que contiene a la recta r y pasa por el punto P.
29. [2007] [EXT-A] Dadas las rectas r x-y-2 = 0
y-z+3 = 0
 y s x-1
-2
 = y+1 = z-2:
a) Determinar su posición relativa.
b) En caso de cortarse, determinar el ángulo que forman y el punto de corte.
30. [2007] [EXT-B] Determinar la ecuación general (implícita) del plano paralelo a las rectas r x = y+1 = z y s 
x = 2+3t
y = 2
z = -1
 y que pasa
por el origen de coordenadas.
31. [2007] [JUN-A] Dada la recta r x = -1
y-z-1 = 0
 y el plano  x+y-2 = 0:
a) Determinar su posición relativa.
b) En caso de cortarse, determinar el ángulo que forman y el punto de corte.
32. [2007] [JUN-B] a) Determinar si los puntos A(-1,0,3), B(2,4,1) y C(-4,3,1) están alineados.
b) Expresar en dos formas diferentes la ecuación de la recta que pasa por A y B.
33. [2006] [EXT-A] Estudiar la posición relativa de las rectas r y s. En caso de que se corten en un punto hallar las coordenadas del
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mismo: r x-1
-1= y+2
2
 = z
1
; s 
x = -
y = -8
z = --1
.
34. [2006] [EXT-B] Hallar la ecuación implícita del plano que pasa por el punto A 0,-1,0 y es paralelo a las rectas: r 
x = 1-
y = 2-
z = 3
 y
s 
x = 2-
y = 1
z = -3
.
35. [2006] [JUN-A] a) Hallar la ecuación del plano determinado por los puntos A 1,3,2 , B 2,0,1 y C 1,4,3 .
b) Estudiar la posición relativa de la recta r 
x = 3-1
y = +2
z = 2
 respecto al plano anterior, hallando el punto de intersección en caso de
que se corten.
36. [2006] [JUN-B] Estudiar la posición relativa de los siguientes planos según los valores del parámetro :
x+y+z-4 = 0 ; x+3y+z-5 = 0 ; x+y+z-4 = 0.
37. [2005] [EXT-A] Dada la recta r x-1
-2
 = y+1
3
 = z-2
1
, hallar la ecuación del plano que contiene a ésta y pasa por el punto P 0,-2,1 .
38. [2005] [EXT-B] Estudiar la posición relativa del plano  5x+y-2z+1 = 0 y la recta r 2x-y = 1
x-y+2z = -1
 según los valores del
parámetro .
39. [2005] [JUN-A] a) Comprueba que las rectas
r (x,y,z) = (1,2,-1)+(1,0,-1)
s (x,y,z) = (0,3,1)+(-2,1,3)
se cortan en un punto.
a) Hallar la ecuación general del plano que contiene a las rectas dadas en el apartado anterior.
40. [2005] [JUN-B] a) Estudiar, según los valores del parámetro , la posición relaticva de los planos 
x-2y+z = 0
10x-y+5z = 0
4x+3y-z = 0
b) Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos (0,1,2), (1,0,3) y (2,-1,0).
41. [2004] [EXT-A] Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (2,-4,0) y contiene a la recta r: x+y = 4
-3x+z = -2
42. [2004] [EXT-B] Dados los planos de ecuaciones 
ax -2z= 15
2x+y+ z= -7
x+y+ az=-8a
, determinar los valores de a para que los tres planos pasen por
una recta. Justificar.
43. [2004] [JUN-A] a) Están alineados los puntos A(1,0,-1), B(-1,1,2) y C(3,0,1)? Justificar la respuesta.
b) En caso afirmativo, determinar la ecuación de la recta que los contiene. En caso negativo, determinar la ecuación del plano que
pasa por los tres puntos.
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44. [2004] [JUN-B] Hallar la ecuación del plano que contiene al punto A(0,-2,4) y a la recta de ecuación: x+1
2
 = y-3 = z+2
-2
.
45. [2003] [EXT-A] Dada la recta r: x+y+z-1 = 0
-x-2y+z = 0
 y el plano : 2x+y+mz-3 = 0, estudiar la posición relativa de la recta r y el plano 
según los valores del parámetro m. Hallar también el punto de intersección de la recta r y el plano  en el caso de m = 1.
46. [2003] [EXT-B] Obtener la ecuación del plano paralelo a las dos rectas siguientes: r1: 
x-2
-1
 = y
1
 = z+1
2
,
r2: 
2x-y+z = -2
-x+y+3z = 1
 y que pasa por el punto (1,1,2).
47. [2003] [JUN-A] Se sospecha que el plano definido por el punto (1,0,5) y los vectores u = (3,1,1) y v = (-1,3,2) se corta en un punto
con la recta cuyas ecuaciones en forma continua son x-2
3
 = y-7
10
 = z-2
-5
. Decidir razonadamente la cuestión.
48. [2003] [JUN-B] Hallar la ecuación cartesiana de un plano que pasa por el punto (3,0,3) y contiene a la recta cuyas ecuaciones son:
x
-2
 = y+1 = z-3
3
.
 Soluciones
9. se cruzan 10. 
x = -5
y = 3+11
z = -1+2
 ; x
-5
 = y-3
11
 = z+1
2
 ; 11x+5y-15 = 0
2x+5z+5 = 0
 11. 
x = -5k
y = -1+k
z = 1+3k
 12. a) x-3y-9z+19 = 0 b) 
x = 2+k
y = -2-3k
z = 3-9k
 ; x-2
1
 = x+2
-3
 = z-3
-9
 ; 3x+y-4 = 0
3y-z+9 = 0
 13. a) si b)
x+1
3
 = y-2
-1
 = z
-1
; 
x = -1+3k
y = 2-k
z = -k
; x+3z = -1
y-z = 2
 c) 3x-y-z-6 = 0 14. 7x-23y+16z+5 = 0 15. a) 6x+8y-5z-7 = 0 b) x-1
6
 = y-2
8
 = z-3
-5
; 
x = 1+6
y = 2+8
z = 3-5
; 4x-3y = -2
5x+6z = 23
 16. a) (-1,11,4) b)
2x-y+4z-3 = 0 17. a) (-8,-4,5) b) 
x = 1+4
y = 3
z = -1+5
 18. a) x-2y+4z+1 = 0 b) 71º11'46'' 19. 7x+6y-5z-8 = 0 20. se cortan en una recta 21. x-y+2z-3 = 0 22. punto
20
11
,-9
11
,-23
11
 23. 2x-y+2z-8 = 0 24. recta 2x-3y+z = 2
3x-2y-z = 7
 25. 
x = -9+3k
y = -1-k
z = -4+k
 26. 11x+9y+5z+1 = 0 27. i) se cortan ii) 60º, (2,4,-1) 28. i) x-2y-z+2 = 0 ii) x+y-z-1 = 0
29. a) se cortan b) 90º, 1,1,2 30. y-z = 0 31. a) se cortan b) 30º , -1,3,2 32. a) no b) 
x = -1+3
y = 4
z = 3-2
 ; 4x+3y+4 = 0
y+2z-6 = 0
 33. se cruzan 34. x-y+z-1 = 0 35. a)
2x+y-z-3 = 0 b) Se cortan en 4
5
,13
5
,6
5
 36. {1,3}: se cortan en un punto;  = 1: se cortan en una recta;  = 3: sin puntos comunes 37. 2x+3y-5z+11 = 0 38.  = -2:
paralelos ;   -2: se cortan 39. b) x-y+z+2 = 0 40. a) =3: Se cortan en una recta; 3: Se cortan en un punto b) x+y-1 = 0 41. 11x+2y-3z-14 = 0 42. -1 43. a) no b)
x+5y-z-2 = 0 44. 4x+14y+11z-16 = 0 45. m = 4: paralelos; m  4: se cortan; m = 1: (2,-1,0). 46. 15x-7y+11z-30 = 0 47. cierto 48. 3x-9y+5z-24 = 0
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