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Colecciones de ejercicios
Geometría
Selectividad CCNN 2003
1. [ANDA] [JUN-A] Sabiendo que las rectas r x = y = z y s 
x = 1 + 
y = 3 + 
z = - 
 se cruzan, halla los puntos A y B, de r y s
respectivamente, que están a mínima distancia.
2. [ANDA] [JUN-B] Determina el punto P de la recta r x-1
2
 = y+1
1
 = z
3
 que equidista de los planos: 1 x+y+z+3 = 0 y
2 
x = -3 +  
y = -  + 
z = -6 - 
 .
3. [ANDA] [SEP-A] Se sabe que los puntos A(1,0,-1), B(3,2,1) y C(-7,1,5) son vértices consecutivos de un paralelogramo ABCD.
(a) Calcula las coordenadas del punto D.
(b) Halla el área del paralelogramo.
4. [ANDA] [SEP-B] Los puntos A(1,1,0) y B(2,2,1) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. Además, se sabe que losvértices
C y D están contenidos en una recta que pasa por el origen de coordenadas. Halla C y D.
5. [ARAG] [JUN-A] Sean los puntos A(3,2) y B(5,3). Calcular:
a) Ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto B y tiene su centro en A.
b) Ecuación de la tangente a esta circunferencia en B.
c) Área del triángulo formado por la tangente anterior y los ejes coordenados.
6. [ARAG] [JUN-B] Sea el plano : x-2y+4z = 12 y el punto P(2,-1,1).
a) Hallar la distancia  entre el plano  y el punto P.
b) Hallar la ecuación de un plano paralelo a  y distinto del mismo, que también diste de P la misma distancia .
c) Calcular el volumen de la figura limitada por el plano  y los tres planos coordenados.
7. [ARAG] [SEP-A] Sea C una circunferencia cuyo centro es el punto (1,1) y que es tangente a los dos ejes coordenados.
a) Escribir su ecuación general.
b) Determinar los puntos de C donde la tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
8. [ARAG] [SEP-B] Sea el triángulo de vértices A(4,2), B(13,5) y C(6,6).
a) Hallar la ecuación de la altura que pasa por el vértice C.
b) Calcular la longitud de los dos segmentos en que la altura anterior corta al lado AB.
9. [ASTU] [JUN] Sean los planos 1: 2x+3y+z = 2 y 2: x+y-z = 1.
a) Determinar la posición relativa de los mismos.
b) Calcular una recta que esté contenida en el plano 2: x+y-z = 1, sea paralela a la intersección de esos dos planos y que pase por
el punto (5,-3,1).
10. [ASTU] [JUN] Sea la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas, tiene su centro en la bisectriz del 4º cuadrante y su
radio mide 2 unidades.
a) Obtener sus elementos característicos.
b) Determinar su ecuación.
11. [C-LE] [JUN-A] a) Hallar el valor del parámetro a para que los planos de ecuaciones 
2x-y+z = 3
x-y+z = 2
3x-y+az = 4
 se corten en una recta r.
b) Obtener la ecuación del plano que pasa por el punto P(2,3,1) y contiene a la recta r del apartado anterior.
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Geometría
Selectividad CCNN 2003
12. [C-LE] [JUN-A] Hallar la distancia del punto P(2,1,1) a la recta r  
x = 1
3
y = 2
3
 + 
z = 
13. [C-LE] [JUN-B] Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,2,-1), es paralela al plano   2x+y-z-3 = 0 y perpendicular
a la recta r  x = y-1
-1
 = z-4
3
.
14. [C-LE] [JUN-B] ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia de centro (3,2) que es tangente al eje OX?
15. [C-LE] [SEP-B] Dadas las rectas r y s: r  x-2z = 0
y-z = 2
 , s  x+y = 5
x+2z = a
a) hallar el valor de a para que ambas rectas estén en el mismo plano.
b) Hallar la ecuación de dicho plano.
16. [C-LE] [SEP-B] ¿Cuál es el ángulo que forma la recta x = y = z con el eje OX?
17. [C-LE] [SEP-B] Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (3,5) y es tangente a la recta 4x+3y-2 = 0.
18. [C-MA] [JUN] Las rectas de ecuaciones r  x+y-z = 4
x+2y = 7
 y s  x = 2
y = -5
 se cruzan en el espacio.
a) Escribe las ecuaciones paramétricas de ambas rectas.
b) Halla un punto de r y otro de s tales que el vector con origen en uno y extremo en el otro sea perpendicular a ambas rectas.
19. [C-MA] [JUN] Considera la recta dada por r  x-4y+9 = 0
3y-z-9 = 0
a) Determina el plano que pasa por el punto P(1,4,0) y contiene a r.
b) ¿Para cualquier valor de , el plano x-4y+9+(3y-z-9) = 0 contiene a r?
c) Determina los valores de  para que el plano diste 3 unidades del origen de coordenadas.
20. [C-MA] [SEP] Sea  el plano de ecuación 3x-2y-6z = 1 y r la recta dada por (x,y,z) = (1,0,1)+(2,-1,1).
a) Define la relación de paralelismo entre una recta y un plano.
b) Averigua si la recta r y el plano  son paralelos.
c) Define la relación de perpendicularidad entre una recta y un plano.
d) Averigua si la recta r y el plano  son perpendiculares.
21. [C-MA] [SEP] Dados los planos   x+y+z = 1 y '  x-y = 0:
a) Calcula el ángulo que forman  y '.
b) Determina las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P(1,2,3) y es perpendicular al plano .
22. [CANA] [JUN-A] Se sospecha que el plano definido por el punto (1,0,5) y los vectores u = (3,1,1) y v = (-1,3,2) se corta en un
punto con la recta cuyas ecuaciones en forma continua son x-2
3
 = y-7
10
 = z-2
-5
. Decidir razonadamente la cuestión.
23. [CANA] [JUN-B] Hallar la ecuación cartesiana de un plano que pasa por el punto (3,0,3) y contiene a la recta cuyas ecuaciones
son: x
-2
 = y+1 = z-3
3
.
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Geometría
Selectividad CCNN 2003
24. [CANA] [SEP-A] Dada la recta r: x+y+z-1 = 0
-x-2y+z = 0
 y el plano : 2x+y+mz-3 = 0, estudiar la posición relativa de la recta r y el plano 
según los valores del parámetro m. Hallar también el punto de intersección de la recta r y el plano  en el caso de m = 1.
25. [CANA] [SEP-B] Obtener la ecuación del plano paralelo a las dos rectas siguientes: r1: 
x-2
-1
 = y
1
 = z+1
2
,
r2: 
2x-y+z = -2
-x+y+3z = 1
 y que pasa por el punto (1,1,2).
26. [CATA] [JUN] De un triángulo sabemos que la suma de las longitudes de dos lados a y b es de 11 m, que el ángulo C opuesto al
tercer lado vale 30º y que el área es de 7 m2. Calcule:
a) La longitud de cada uno de los lados del triángulo.
b) Los ángulos del triángulo.
27. [CATA] [JUN] Considere el punto P = (5,-2,9) y la recta r: x-1
-2
 = y+1
-3
 = z
6
.
a) Calcule la ecuación de la recta s que corta perpendicularmente a r y pasa por P.
b) Calcule el punto de corte T entre las rectas r y s.
28. [CATA] [SEP] Un segmento de extremos A = (5,3,1) y B = (4,2,-1) se divide en tres partes iguales mediante dos planos
perpendiculares a este segmento. Calcule las ecuaciones de los dos planos y la distancia entre ellos
29. [CATA] [SEP] Calcule el área del triángulo ABC representado en el siguiente esquema: 
30. [CATA] [SEP] Considere los puntos del espacio A = (0,-2a-1,4a-2), B = (1,-3,4), C = (3,-5,3).
a) Compruebe que el triángulo de vértices A, B y C es rectángulo en B para cualquier valor de a.
b) Calcule los valores de a que hacen que este triángulo sea isóceles.
31. [EXTR] [JUN-A] Determinar una constante a para que el plano de ecuación ax+y+z = 2 forme un ángulo de 
3
 radianes con el plano
z = 0.
32. [EXTR] [SEP-B] Determinar un plano que, pasando por el origen de coordenadas, sea paralelo a la recta de ecuaciones x+y = 1,
y+z = 2, y también sea paralelo a la recta que pasa por los puntos de coordenadas 1,1,0 y 0,1,1 .
33. [MADR] [JUN-A] Dadas las recta en el espacio r  x-2
3
 = y-1
-2
 = z
1
 , s  x+1
2
 = y+2
-1
 = z-1
2
a) Hallar la distancia entre las dos rectas.
b) Determianr las ecuaciones de la perpendicular común a r y s.
34. [MADR] [JUN-B] Dados el plano   x+3y-z = 1 y la recta r  x+2
6
 = y-1
2
 = z
1
, se pide:
a) Hallar la ecuación general del plano ' que contiene a r y es perpendicular a .
b) Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos  y '.
35. [MADR] [SEP-A] Dados los puntos A(1,0,1), B(0,2,0) y el plano   x-2y-z-7 = 0, determinar el plano que es perpendicular al plano
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 y pasa por los puntosA y B.
36. [MADR] [SEP-A] Dadas las rectas r  x-1
-1
 = y+1
1
 = z-k
1
 y s  x-y+z = 3
3x+z = 1
a) Hallar el valor de k para que las dos rectas estén contenidas en el mismo plano.
b) Para el valor de k obtenido en el apartado anterior, determinar la ecuación general del plano que las contiene.
37. [MADR] [SEP-B] Dado el plano   x+y+z = 0 y la recta r  x-1
1
 = y
2
 = z+1
2
, se pide:
a) Calcular el punto Q en el que se cortan el plano  y la recta r.
b) Encontrar un plano ', paralelo a , tal que el punto Q' en el que se cortan el plano ' y la recta r esté a distancia 2 del punto Q
hallado en el apartado anterior.
38. [MURC] [JUN] a) Estudie si las rectas L1 = 
x = 1 - t
y = 1 - t
z = 2
 y L2 = 
x = t
y = 1 + t
z = 2 - t
 se cruzan en el espacio.
b) Encuentre la distancia entre dichas rectas.
39. [MURC] [SEP] Encuentre la distancia del punto P(1,0,1) a la recta determinada por los planos 1, que pasa por los puntos A(1,1,1),
B(0,1,1) y C(-1,0,0), y 2, de ecuación x+y = 2.
40. [MURC] [SEP] Encuentre la distancia del punto P(0,6,1) al plano determinado por el punto A(0,1,3) y la recta L que pasa por los
puntos B(1,0,1) y C(0,0,2).
41. [RIOJ] [JUN] Halla la ecuación del plano que contiene a la recta x-2y = 1
x+y = 1
 y al punto (2,-1,2).
42. [RIOJ] [JUN] Calcula el valor de a para que se corten en un punto las rectas r y s de ecuaciones:
r  4x-y+z = -2
3x-y+az = -2
 , s  2x+4y+2z = -1
2x-ay+z = -1
Halla el valor de a obtenido en el punto en el que se cortan.
43. [RIOJ] [SEP] Determina m, si es posible, para que el plano de ecuación 2mx+6(m-1)y+(m+3)z+2m+4 = 0 sea ortogonal a la recta
que pasa por los puntos A = (2,0,-3) y B = (3,2,-2).
44. [RIOJ] [SEP] Discute, según los valores de a, la posición relativa de los siguientes planos, indicando las figuras que determinan
(no es necesario resolverlo)
1 (a+1)x +y +z = 3
2 x +2y +az = 4
3 x +ay +2z = 2a
45. [RIOJ] [SEP] Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A = (1,1,2) y es paralelo a las rectas:
r  
x = 2-t
y = t
z = -1+2t
 y s  2x-y+z = -2
-x+y+3z = 1
46. [VALE] [JUN-A] Sean r y r' las rectas del espacio 3, determinadas del modo siguiente: r pasa por los puntos A=(3,6,7) y
B=(7,8,3) y r' es la recta intersección de los planos de ecuaciones: x-4y-z = 10 y 3x-4y+z = -2. Se pide:
a) Calcular de cada una de las rectas r y r' una ecuación paramétrica y determinar la posición relativa de ambas.
b) Calcular la distancia entre las rectas r y r'.
c) Calcular el área del triángulo de vértices A, B y C, siendo C un punto cualquiera de la recta r'.
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47. [VALE] [JUN-B] Sea r la recta y  el plano de 3, determinados del siguiente modo: r pasa por los puntos (2,2,4) y (-1,2,1) y 
pasa por los puntos (1,0,1), (1,-1,0) y (3,0,0). Se pide:
a) Probar que la recta r no es paralela a .
b) Calcular el punto P intersección de r y  y el ángulo que forman la recta r y el plano .
c) Determinar los puntos S y T de la recta r que cumplan que su distancia a  sea 4.
48. [VALE] [SEP-A] En el espacio 3 se consideran el punto P=(3,2,3) y la recta r intersección de los planos de ecuaciones:
x+3y-4z = 0 y x+2y-2z = 1. Se pide determinar:
a) La distancia d del punto P a la recta r.
b) Los puntos M y N de la recta r que cumplan que su distancia al punto P es 5d.
c) El área del triángulo de vértices P, M y N.
49. [VALE] [SEP-B] Sean  y ' los planos del espacio 3, determinados del siguiente modo: El plano  pasa por los punto (0,2,1),
(3,-1,1) y (1,-1,5) y el plano ' pasa por los puntos (3,0,2), (2,1,1) y (5,4,-2). Se pide calcular:
a) Una ecuación paramétrica de la recta r intersección de los planos  y '.
b) El ángulo  que forman los planos  y '.
c) La ecuación del plano que contiene a la recta r y forma un ángulo de 90º con el plano .
 Soluciones
1. A(1,1,1), B(0,2,1) 2. P(-1,-2,-3) 3. (a) D(-9,-1,3) (b) 1208 4. C 5
3
 , 5
3
 , 5
3
 y D 2
3
 , 2
3
 , 2
3
 5. a) x2+y2-6x-4y+8 = 0 b) y = -2x+13 c) 169
4
 6. a) 4 21
21
 b)
x-2y+4z-4 = 0 c) 36 7. a) (x-1)2+(y-1)2 = 1 b) 2+ 2
2
,2- 2
2
, 2- 2
2
,2+ 2
2
 8. a) 3x+y-24 = 0 b) 10, 2 10 9. a) se cortan en una recta b) 
x = 5-4
y = -3+3
z = 1-
 10.
centro: 2,- 2 ; ecuación: x2+y2-2 2x+2 2y = 0 11. a) 1 b) 3x-y+z-4 = 0 12. 3 13. 
x = 1+2
y = 2-7
z = -1-3
 14. (x-3)2+(y-2)2 = 4 15. a) 4 b) x+4y-6z-8 = 0 16.
54º44'8'' 17. (x-3)2+(y-5)2 = 25 18. a) r  
x = 7-2
y = 
z = 3-
 s  
x = 2
y = -5
z = 
 b) (7,0,3), (2,-5,3) 19. a) x+2y-2z-9 = 0 b) si c) 2, 4 20. b) no d) no 21. a) 90º b) 
x = 1+
y = 2+
z = 3+
22. cierto 23. 3x-9y+5z-24 = 0 24. m = 4: paralelos; m  4: se cortan; m = 1: (2,-1,0). 25. 15x-7y+11z-30 = 0 26. a) a = 7; b = 4; c = 4,06 b) A= 120º29'16'' B=
29º30'44'' 27. a) 
x = 5+6
y = -2+2
z = 9+3
 b) (-1,-4,6) 28. 3x+3y+6z-20 = 0; 3x+3y+6z-18 = 0; 6
9
 29. 106,86 cm2 30. b) 1, 8
5
 31.  2 32. x+2y+z = 0 33. a) 11 26
13
 b)
x-3y-9z+1 = 0
7x-8y-11z+2 = 0
 34. a) 5x-7y-16z+17 = 0 b) 
x = -2+5
y = 1 - 
z = 2
 35. 4x+2y-3 = 0 36. a) 4 b) x+2y-z+5 = 0 37. a) (1,0,-1) b) 3x+3y+3z-8 = 0 ó 3x+3y+3z+8 = 0 38. a) si
b) 2
2
 39. 6
3
 40. 7 3
3
 41. x+y-1 = 0 42. a = -1; -3
5
, -1
10
, 3
10
 43. 3 44. a = 2: dos planos coincidentes, cortados por otro ; a {-3,0} se corta dos a dos ; a 
{-3,0,2}: se cortan en un punto. 45. 15x-7y+11z-30 = 0 46. a) r: 
x = 3+2k
y = 6+k
z = 7-2k
 s: 
x = 2+2t
y = t
z = -8-2t
 b) 1853
3
 47. b) P(1,2,3); 45º c) (5,2,7); (-3,2,-1) 48. a) 3 b) (5,-3,-1),
(-3,5,3) c) 18 49. a) 
x = 3
2
 -k
y = 2k
z = 2-2k
 b) 45º c) 2x-y-2z+1 = 0
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