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Colecciones de ejercicios
Geometría
Selectividad CCNN Castilla-La Mancha
1. [2014] [EXT-B] a) Estudia, en función del valor del parámetro a  , la posición relativa de los planos:
1  x+y-z = 3 ; 2  x-y+az = -1 ; 3  ax+y-z = 5
b) Calcula, en función del parámetro a  , la distancia entre los planos 1 y 3.
2. [2014] [JUN-A] a) Halla a para que las rectas r  x+2y-z = 1
-x+y-3z = 2
 y s  x+y = 0
3x+2y+z = a
 se corten en un punto.
b) Para dicho valor de a, da la ecuación implícita de un plano  que contenga a r y s.
3. [2014] [JUN-B] Dados el plano   x-y = 4 y la recta r  x+z = 1
2x+y+az = 0
, a, se pide:
a) Estudia si existe algún valor del parámetro a para el que r y  sean paralelos.
b) Estudia si existe algún valor del parámetro a para el que r y  se corten perpendicularmente.
c) Para a = 1, da la ecuación implícita de un plano ' que contenga a r y corte perpendicularmente a .
4. [2013] [EXT-A] a) Estudia la posición relativa de las rectas: r  x-2z = 1
y-z = 2
 y s  x+y+z = 1
x-2y+2z = a
 en función del parámetro a.
b) Encuentra el punto de corte de las rectas en el caso en que sean secantes.
5. [2013] [EXT-B] a) Dados los puntos P(4,2,3) y Q(2,0,-5), da la ecuación implicita del plano  de modo que el punto simétrico de P
respecto a  es Q.
b) Calcula el valor del parámetro  para que el plano determinado por los puntos P, Q y R(,1,0) pase por el origen de
coordenadas.
6. [2013] [JUN-A] a) Estudia la posición realtiva del plano   x-y-z = a y la recta r  2x+y+az = 0
x-2y = 0 
 en función del parámetro a.
b) Calcula la distancia entre  y r para cada valor de a.
7. [2013] [JUN-B] a) Estudia la posición relativa de las rectas r  x+y-z = 1
2x+y-2z = 1
 y s  x-z = 0
x+2y-z = 12
b) Calcula la distancia entre las rectas r y s.
8. [2012] [EXT-A] Dado el plano   x+y+2z = 7 y el punto P(1,0,0):
a) Calcula el punto Q de  que hace mínima la distancia a P.
b) Calcula el punto simétrico P' de P respecto del plano .
9. [2012] [EXT-B] Dado el punto P(1,0,0) y la recta r  
x = 2
y = 3+
z = -1
 
a) Da unas ecuaciones paramétricas de la recta s que pasa por P y corta perpendicularmente a r.
b) Calcula la distancia de P a r.
10. [2012] [JUN-A] a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano   x-y+3z = -3 con los
ejes de coordenadas.
b) Si llamamos A, B y C a los vértices del triángulo del apartado anterior, encuentra el valor del parámetro  para que el
tetraedro de vértices A, B, C y D -2,2+,-3 tenga volumen mínimo.
11. [2012] [JUN-B] Dados el plano   2x-z = 6 y la recta r  y+z = 0
x-y+az = 4
a) Encuentra el valor del parámetro aR para el que  y r son paralelos.
b) Para el valor de a del apartado anterior, da la ecuación general del plano ' que contiene a r y es perpendicular a .
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12. [2011] [EXT-A] Dadas las rectas r  x-y = 1
y+z = 1
 y s  
x = t
y = 1-t
z = t
 , t, se pide:
a) Determina su posición relativa.
b) Halla el ángulo que forman sus vectores de dirección.
13. [2011] [EXT-B] Consideramos el plano   x-ky = 0 y la recta r  x+y-z = 3
x-y = 1
.
a) Halla el valor del parámetro k para que el plano  y la recta r sean paralelos.
b) Para el valor de k obtenido, calcula la distancia de la recta r al plano .
14. [2011] [JUN-A] Consideramos el plano   x-z = 0 y la recta r  
x = 1+at
y = 1-t
z = 2t
 , t.
a) Determina el parámetro a para que la recta r y el plano  sena paralelos.
b) Para el valor de a determinado, obtén las ecuaciones paramétricas de una recta r' paralela al plano  y que corte
perpendicularmente a la recta r en el punto P(1,1,0).
15. [2011] [JUN-B] Dados los puntos de coordenadas A(0,1,0), B(1,2,3), C(0,2,1) y D(k,1,1), donde k:
a) Determina el área del triángulo de vértices A, B y C.
b) ¿Para qué valores del parámetro k el tetraedro cuyos vértices son A, B, C y D tiene un volumen de 5 u3?
16. [2010] [EXT-A] Dado el punto P(0,0,1) y la recta r  x+y+z = 3
x-y = 0
, se pide:
a) Calcula la distancia desde el punto P a la recta r.
b) Halla unas ecuaciones paramétricas de una recta s que pase por el punto P y corte perpendicularmente a la recta r.
17. [2010] [EXT-B] Consideremos los planos   ax+by+3z = c, '  2x-y+z = 3 y la recta r  2x+3z = 0
y+2z = -4
.
a) Determina los parámetros a, b   para que los planos  y ' sean paralelos.
b) Para los valores a y b obtenidos, estudia la posición relativa del plano  y la recta r en función de c  .
18. [2010] [JUN-A] a) Estudia la posición relativa de la recta r  
x = -
y = 0
z = 1+
 , , y el plano de ecuacion general   2x-y+3z = 6.
b) Encuentra la ecuacion general de un plano ' perpendicular a  que contenga a r.
19. [2010] [JUN-B] Dado el plano   x + z = 4 y el punto P(1,1,0), se pide:
a) Encuentra la ecuación general del plano ' paralelo a  que pasa por P.
b) Halla unas ecuaciones paramétricas de la recta r perpendicular a  que pasa por P.
20. [2009] [EXT] Di si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas y razona tu respuesta:
1) Dados un plano  y un punto P que no esté contenido en , existe un único plano perpendicular a  que pasa por P.
2) Dados una recta r y un punto P que no esté contenido en r, existe un único plano perpendicular a r que pasa por P.
21. [2009] [EXT] Dadas las rectas r  
x = t
y = -t
z = 1-t
 y r'  
x = 2+s
y = s
z = a+s
 , con s,t,
a) Encuentra un valor del parámetro a para que las rectas r y r' estén contenidas en un mismo plano. Halla la ecuación general
de dicho plano.
b) Para a = 0, calcula las ecuaciones paramétricas de un plano  que contenga a la recta r y unas ecuaciones paramétricas de otro
plano ' que contenga a la recta r', de forma que  y ' sean paralelos.
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22. [2009] [JUN] a) Estudia, en función del parámetro k, la posición relativa de los planos 1 x+y-z = 1 y 2 x+y-k
2z = k.
b) ¿Existe algún valor de k para el que los planos 1 y 2 sean perpendiculares?
23. [2009] [JUN] a) Halla la ecuación general de un plano  que contenga a la recta r  x+z = 1
y+z = 0
 y que pase por el origen de
coordenadas.
b) Halla las ecuaciones paramétricas de una recta r' contenida en dicho plano, que sea perpendicular a r y que pase por el punto
P(1,0,0).
24. [2008] [EXT] Dado el plano   x-y+z+k = 0, donde k, y la recta r  x-3
2
 = y+1 = -z, se pide:
a) Demuestra que para cualquier k, la recta r es paralela al plano .
b) Determina el valor de k de forma que la recta r esté contenida en el plano .
25. [2008] [EXT] Dado el punto P(2,2,1) y el plano  de ecuaciones 
x = 1+t-s
y = 1-t+s
z = t
, se pide:
a) Distancia desde el punto P al plano .
b) Ecuaciones generales de la recta que pasa por el punto P y es perpendicular a .
26. [2008] [JUN] Dados los puntos A(1,1,1), B(1+,2,1-) y C(1+,1+,2+), donde :
a) Prueba que los vectores AB y AC forman un ángulo de 90º, independientemente del valor de .
b) Determina los valores de  para que la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo de vértices A, B y C sea igual a 3.
27. [2007] [EXT] Consideramos los planos 1 x+2y-z = 1, 2 3x-z = 3 y 3 -x+2y+z = 7.
a) Determina su posición relativa.
b) Halla el ángulo que forman los planos 1 y 2.
28. [2007] [EXT] Dados los puntos de coordenadas A(3,1,1), B(0,2,2) y C(-1,-1,-1) se pide:
a) Determina la ecuación general del plano que los contiene.
b) Calcula la distancia desde el punto P(0,0,4) a dicho plano.
29. [2007] [JUN] Consideramos las rectas r1 
x+y = 5
y+z = 2
, r2 
y = 1
x+y+z = 6
 y r3 
x-y = 1
y-z = 3
. Se pide:
a) Demuestra que las rectas r1 y r2 se cortan en un único punto.
b) Halla las ecuaciones en forma continua de la recta que pasa por el punto intersección de r1y r2 y es paralela a r3.
30. [2007] [JUN] Dados los planos  x+y-z = 1 y  
x = 1+t+s
y = 1-t
z = 2+s
, con t,s, se pide:
a) Determina su posición relativa.
b) Calcula la distancia entre ellos.
31. [2006] [EXT] Dadas las rectas r 
x = 3+t
y = 5+t
z = 6+t
 y s x = 1
-2y+z = 1
 , se pide:
a) Analiza su posición relativa.
b) Halla la ecuación general del plano  que contiene a la recta s y es paralelo a la recta r.
32. [2006] [EXT] a) Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P 2,-1,3 y es perpendicular a la recta r
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x = -1+2
y = 3-
z = 0
.
b) Halla las coordenadas del punto P', simétrico del punto P respecto de la recta r.
33. [2006] [JUN] El plano  de ecuación general x+y+z = 10, corta a las rectas r1: x =y = 1, r2: y = z = 2 y r3: x = z = 3 en los puntos A,
B y C respectivamente. Se pide:
a) Halla el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D 1,2,3 .
b) Determina la distancia desde el vértice D hasta la cara opuesta del tetraedro.
34. [2006] [JUN] a) Halla un punto de la recta 
x = 1+2t
y = -t
z = -1
 equidistante de los puntos P -1,2,1 y Q 0,3,1 .
b) Calcula la ecuación implícita de un plano  de modo que el simétrico del punto P respecto del plano  sea el punto Q.
35. [2005] [EXT] Calcula la ecuación de una recta que pasa por el punto de intersección del plano  x+y-z+6 = 0 con la recta
s x
3
 = y-2 = z+1 y es paralela a la recta r 3x+y-4 = 0
4x-3y+z-1 = 0
36. [2005] [EXT] Dados los puntos A(1,-2,3) y B(0,2,1), se pide:
a) La ecuación paramétrica de la recta que pasa por ambos puntos.
b) La ecuación del plano  que está a igual distancia de A y B.
c) La distancia al origen de la recta intersección del plano 2y-z = 0 con el plano  del apartado b).
37. [2005] [JUN] a) Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r 
x = 2t
y = 3+t
z = 1-t
 y al punto P(2,-1,2).
b) Calcula la distancia desdel el plano obtenido al punto Q(0,1,0).
38. [2005] [JUN] Halla el área y las longitudes de las tres alturas de un triángulo cuyos véertices son: A 1,1,1 , B 0,3,5 y C 4,0,2 .
39. [2004] [EXT] Halla la distancia del plano 1 4x-10y+2z = -1 al plano 2 
x = 2 + 3
y =  + 
z =  - 
.
40. [2004] [EXT] Considera la recta r que pasa por los puntos A(2,1,0) y B(-4,-2,0) y la recta s determinada por el punto C 2,3,5 y
el vector dirección v 1,3,0 .
a) Calcula el ángulo formado por r y s.
b) Calcula la distancia de r a s.
41. [2004] [JUN] Se considera la recta r x+2z = 3
y+4z = 5
 y el plano  3x-y+2z = 1. Se pide:
a) Comprueba que r y  son paralelos.
b) Calcula la distancia entre r y .
c) Determina dos rectas distintas que estén contenidas en  y sean paralelas a r.
42. [2004] [JUN] Considera los puntos A(2,0,0), B(0,2,0), C(2,2,1) y D(1,1,2) y calcula:
a) El volumen del tetraedro que determinan.
b) La ecuación cartesiana o implícita del plano que contiene al punto D y es paralelo al que contiene a los puntos A, B y C.
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43. [2003] [EXT] Sea  el plano de ecuación 3x-2y-6z = 1 y r la recta dada por (x,y,z) = (1,0,1)+(2,-1,1).
a) Define la relación de paralelismo entre una recta y un plano.
b) Averigua si la recta r y el plano  son paralelos.
c) Define la relación de perpendicularidad entre una recta y un plano.
d) Averigua si la recta r y el plano  son perpendiculares.
44. [2003] [EXT] Dados los planos   x+y+z = 1 y '  x-y = 0:
a) Calcula el ángulo que forman  y '.
b) Determina las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P(1,2,3) y es perpendicular al plano .
45. [2003] [JUN] Las rectas de ecuaciones r  x+y-z = 4
x+2y = 7
 y s  x = 2
y = -5
 se cruzan en el espacio.
a) Escribe las ecuaciones paramétricas de ambas rectas.
b) Halla un punto de r y otro de s tales que el vector con origen en uno y extremo en el otro sea perpendicular a ambas rectas.
46. [2003] [JUN] Considera la recta dada por r  x-4y+9 = 0
3y-z-9 = 0
a) Determina el plano que pasa por el punto P(1,4,0) y contiene a r.
b) ¿Para cualquier valor de , el plano x-4y+9+(3y-z-9) = 0 contiene a r?
c) Determina los valores de  para que el plano diste 3 unidades del origen de coordenadas.
 Soluciones
8. a) (2,1,2) b) (3,2,4) 9. a) 
x = 1-7
y = 14
z = -5
 b) 3 30
5
 10. a) 3 11
2
 b) -1
2
 11. a) -3
2
 b) 2x+5y+4z-8 = 0 12. a) se cortan b) 109º28'16'' 13. a) 1 b) 2
2
 14. a) 2 b)
x = 1+k
y = 1+4k
z = k
 15. a) 3 2
2
 b) -29
4
, 31
4
 16. a) 2 2
3
 b) 
x = 
y = 
z = 1+
 17. a) 6, -3 b) c=12: recta contenida; c12: recta paralela 18. a) se cortan en (-3,0,4) b) x+5y+z-1 = 0
19. a) x+z = 1 b) 
x = 1+
y = 1
z = 
 20. 1) falsa 2) cierta 21. a) a = 1; y-z+1 = 0 b)   
x = k+m
y = -k+m
z = 1-k+m
 ; '  
x = 2+k+m
y = -k+m
z = -k+m
 22. a) k= -1: paralelos; k -1: se cortan b)  2 23. a)
y+z = 0 b) 
x = 1
y = 
z = -
 24. b) -4 25. a) 2 b) 
x = 2+k
y = 2+k
z = 1
 26. b) - 7
5
 ; 1 27. a) se cortan dos a dos b) 58º54'33'' 28. a) y-z = 0 b) 2 2 29. a) 4,1,1 b) x-4
1
 = y-1
1
 =
z-1
1
 30. a) paralelos b) 3
3
 31. a) Se cruzan b) x-2y+z-2 = 0 32. a) 
x = 2+
y = -1+2
z = 3
 b) 4,3,-3 33. a) 26
3
 b) 4 3
3
 34. a) 3,-1,-1 b) x+y-2 = 0 35. 
x = -9+
y = -1-3
z = -4-13
36. a) 
x = 1-
y = -2+4
z = 3-2
 b) 2x-8y+4z-9 = 0 c) 9
2
 37. a) 3x+4y+10z-22 = 0 b) 18 5
25
 38. 230
2
 ; 4830
21
, 2530
11
, 1955
17
 39. 30
60
 40. a) 45º b) 5 41. b) 3 14
14
 42.
a) 4
3
 b) x+y-2z+2 = 0 43. b) no d) no 44. a) 90º b) 
x = 1+
y = 2+
z = 3+
 45. a) r  
x = 7-2
y = 
z = 3-
 s  
x = 2
y = -5
z = 
 b) (7,0,3), (2,-5,3) 46. a) x+2y-2z-9 = 0 b) si c) 2, 4
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