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MasMates.com Colecciones de ejercicios Geometría Selectividad CCNN Murcia 1. [2014] [EXT-A] a) Estudie la posición relativa de las rectas r y s en función del parámetro a: r: x+3y = 8 4y+z = 10 ; s: x 7 = y a-4 = z+6 5a-6 b) Para el valor del parámetro a = 4, determine, si es posible, el punto de corte de ambas rectas. 2. [2014] [EXT-B] Considere la recta r y el plano dados por las ecuaciones siguientes: r: x-2 3 = y+4 -4 = z+1 0 y : 7x-y = 8 a) Compruebe que la recta r corta al plano y calcule el ángulo que forman. b) Determine el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano . 3. [2014] [JUN-A] a) Determine para qué valor del parámetro a la recta r: x+y+z = 1 -x-2y+z = 0 es perpendicular al plano : -6x+ay+2z = 0. b) Demuestre que si a = -8, la recta r corta al plano en un punto y calcule dicho punto de corte. 4. [2014] [JUN-B] Dos de los tres vértice de un triángulo son A=(1,1,1) y B=(1,1,3). El tercer vértice C está en la recta r que pasa por los puntos P=(-1,0,2) y Q=(0,0,2). a) Determine la ecuación de la recta r. b) Calcule las coordenadas del vértice C para que el área del triángulo sea 15 unidades cuadradas. Observación: Hay dos soluciones distintas; basta con calcular una de ellas. 5. [2013] [EXT-A] Tres de los cuatro vértices de un tetraedro son los puntos A=(3,4,0), B=(2,1,0) y C=(5,1,0). El cuarto vértice D está en la recta r que pasa por los puntos (1,2,3) y (-1,4,5). a) Determine la ecuación de la recta r. b) Calcule las coordenadas del vértice D para que el volumen del tetraedro sea 6 unidades cúbicas. Observación: Hay dos soluciones distintas; basta con calcular una de ellas. 6. [2013] [EXT-B] a) Determine la ecuación de la recta r que pasa por los puntos A=(2,3,0) y B=(-1,8,1). b) Determine la ecuación del plano que pasa por el punto (1,2,3) y es perpendicular a la recta r. 7. [2013] [JUN-A] Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son A = (1,3,-4), B = (2,6,7) y C = (5,-1,2). a) Calcule el área del paralelogramo. b) Determine el cuarto vértice, D. 8. [2013] [JUN-B] a) Determine la ecuación del plano que contiene a los puntos A=(3,2,0), B=(5,1,1) y C=(2,0,-1). b) Determine la ecuación de la recta r que pasa por los puntos D=(1,2,1) y E=(2,-6,0). c) Estudie la posición relativa de r y . 9. [2012] [EXT-A] Determine la ecuación implícita (o general) del plano que contiene al punto A = (0,1,2) y es perpendicular a la recta r: 2x+y-z = -1 x-y+z = 3 . 10. [2012] [EXT-B] Considere las rectas r y s dadas por las ecuaciones r: x 7 = y a-4 = z+6 5a-6 y s: x-5 3 = y-1 -1 = z-6 4 . a) Estudie la posición relativa de r y s en función del parámetro a. b) Calcule el punto de corte de r y s en los casos en que se corten. 11. [2012] [JUN-A] Considere la recta r y el plano dados por las ecuaciones r: x+1 2 = y-1 -1 = z-2 1 y : x-2y-z = 4. Página 1 de 5 17 de julio de 2015 MasMates.com Colecciones de ejercicios Geometría Selectividad CCNN Murcia a) Calcule el ángulo que forman la recta r y el plano . b) Determine el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano . 12. [2012] [JUN-B] a) Halle la ecuación implícita (o general) del siguiente plano : x = 1+2- y = -3+ z = 2+3 . b) Determine la ecuación de la recta que es perpendicular al plano y pasa por el punto (-1,2,3). 13. [2011] [EXT-A] Determine el punto de la recta r: x+3 2 = y+5 3 = z+4 3 que equidista del origen de coordenadas y del punto A=(3,2,1). 14. [2011] [EXT-B] Considere los puntos A=(2,0,1) y B=(2,0,3) y la recta r: x+1 -1 = y 0 = z-2 0 . Determine los puntos C de la recta r para los cuales el área del triángulo ABC es 2. (Indicación: Hay dos puntos C que son solución del sistema) 15. [2011] [JUN-A] Determine el plano que contiene a la recta 3x+2y-5z = -2 4x-3y-2z = -1 y es paralelo a la recta x-5 3 = y+2 -2 = z-17 -1 . 16. [2011] [JUN-B] Se llama mediana de un triángulo a cada una de las rectas que pasan por el vértice de un triángulo y por el punto medio del lado opuesto a dicho vértice. a) Calcule las tres medianas del triángulo de vértices A=(5,-1,4), B=(-1,7,6) y C=(5,3,2). b) Compruebe que las tres medianas se cortan en un punto (llamado baricentro) y calcule las coordenadas de dicho punto. 17. [2010] [EXT-A] Calcular el punto más cercano al punto P=(1,0,-1) de entre todos los puntos del plano determinado por los puntos Q=(2,2,1), R=(0,1,2) y S=(0,0,1). Calcular la distancia de punto P al plano. 18. [2010] [EXT-B] Estudiar la posición relativa de las rectas r: x+1 = y = 1-z y s: x = y = 1+ z = 2- y calcular la distancia entre ellas. 19. [2010] [JUN-A] Calcular el punto más cercano al punto P=(1,3,0) de entre todos los puntos de la recta determinada por el punto Q=(-2,2,1) y el vector v=(1,1,1). Calcular la distancia del punto P a la recta. 20. [2010] [JUN-B] Comprobar que las rectas r: x+1 = y+2 2 = z-1 3 y s: x = y = 1+ z = 2- no se cortan y no son paralelas. Calcular la distancia entre ellas. 21. [2009] [EXT] Calcule el punto de la recta r: x-1 2 = y 3 = z-1 más cercano al punto P = (1,-2,-7). 22. [2009] [EXT] Calcule la distancia entre las rectas r1: x = y = z y r2: x-1 2 = y 3 = z-1. 23. [2009] [JUN] Calcule la ecuación del plano determinado por los puntos P=(1,0,1), Q=(2,2,2) y R=(1,-1,0) y la distancia entre dicho plano y la recta determinada por el punto S=(1,0,0) y el vector v=(1,1,0). Página 2 de 5 17 de julio de 2015 MasMates.com Colecciones de ejercicios Geometría Selectividad CCNN Murcia 24. [2009] [JUN] Calcule el punto del plano x+y+z = 1 más cercano al punto (1,2,-3). Calcule la distancia entre ambos puntos. 25. [2008] [EXT] Dada la recta r determinada por el punto P=(1,2,-3) y el vector de dirección v = (1,-1,2), calcule el punto de r más cercano al punto Q=(1,0,2). 26. [2008] [EXT] Dadas las rectas r1: x = y = z y r2 determinada por los puntos P=(1,2,3) y Q=(1,-1,0), calcule la ecuación de la recta que une ambas rectas por el camino más corto. 27. [2008] [JUN] Calcule la distancia entre la recta r1: x+1 = y = z-3 y la recta r2 determinada por el punto P2= 1,-1,3 y el vector de dirección v2= 1,0,3 . 28. [2008] [JUN] Calcule el punto del plano 2x+y-z = 1 más cercano al punto (1,2,-3). 29. [2007] [EXT] Estudie si las rectas siguientes se cruzan, se cortan, son paralelas o son coincidentes y calcule la distancia entre ellas: r1: x-1 2 = y+2 3 = 1-z 2 ; r2: x = y = 1+3 2 z = 2- . 30. [2007] [EXT] Estudie si existe algún punto que pertenezca a la vez a los tres planos siguientes. Calcule los puntos en común (si existen): 1: x-y+z = 0, 2: x = 2y, 3: x = 1+ y = 1++ z = 1+2- . 31. [2007] [JUN] Un helicóptero situado en el punto P= 1,2,1 quiere aterrizar en el plano : x+y+3z = 0. i) Calcule la ecuación en forma continua de la recta de la trayectoria que le lleve al punto más cercano del plano . ii) Calcule dicho punto. iii) Calcule la distancia que deberá recorrer. 32. [2007] [JUN] Un asteroide, que sigue aproximadamente la trayectoria dada por la recta r: x+1 = y 2 = 2z+1, se está acercando a un planeta situado en el punto P= 1,1,2 . i) Calcule la distancia más cerca a la que se encontrará del planeta. ii) Calcule el punto de la trayectoria del asteroide donde se alcanzará dicha distancia mínima. iii) Si inicialmente el asteroide se encuentra en el punto Q= -1,0,- 1 2 , calcule la distancia que deberá recorrer para alcanzar dicho punto. 33. [2006] [EXT] Calcule la distancia del punto P=(1,-1,3) a la recta r: x = 1+ y = 1- z = 1+2 . 34. [2006] [EXT] i) Demuestre que las rectas siguientes se cortan en un punto. ¿Cuál es ese punto? r1: x = 2- y = 3+ z = 1+2 , r2: x = 1+ y = 6+ z = 6+ . ii) Calcule la ecuación general del plano determinado por ambas rectas. 35. [2006] [JUN] Las trayectorias de dos aviones vienen dadas por las rectas r1: x = 1+ y = 1- z = 1+2 , r2: x = 1- y = z = 2 . Página 3 de 5 17 de julio de 2015 MasMates.com Coleccionesde ejercicios Geometría Selectividad CCNN Murcia i) Estudie si las trayectorias se cortan, se cruzan o son coincidentes. ii) Calcule la distancia mínima entre ambas trayectorias. 36. [2006] [JUN] La trayectoria de un proyectil viene dada por la recta r: x = 2- y = 3+ z = 1+2 . i) Estudie si el proyectil impactará con la superficie determinada por el plano 3x+y-z = 0. ii) Calcule el punto del impacto y la distancia recorrida por el proyectil desde el punto inicial P= 2,3,1 hasta el punto de impacto. 37. [2005] [EXT] (a) Estudiar si las recta L1= x = t y = t z = 2+t y L2= x+y-z+1 = 0 x+2y+3 = 0 se cruzan. (b) Encontrar la distancia entre dichas rectas. 38. [2005] [EXT] (a) Demostrar que las recta L1= x = 1+ t y = 3+3t z = 3+ t y L2= 3x-y+4 = 0 x-z+4 = 0 son paralelas. (b) Encontrar la ecuación de un plano paralelo al determinado por dichas rectas y que diste de él 6. 39. [2005] [JUN] (a) Demostrar que las rectas L1= x = 1+2t y = 1-t z = t y L2= x = t y = 0 z = 4-t se cortan en un punto. ¿Cuál es ese punto? (b) Encontrar la ecuación del plano determinado por dichas rectas. 40. [2004] [EXT] a) Estudiar, según los valores del parámetro real a, la dependencia lineal de los vectores e1 = (1,0,a), e2 = (2,a,-1) y e3 = (0,1,a). b) Para a = 2, escribir el vector (-4,-8,3) como combinación lineal de los e1, e2 y e3. 41. [2004] [EXT] Encontrar la distancia del punto P(1,-1,2) al plano que contiene a la recta : x = t y = 2-t z = 3+t y pasa por el punto 2,1,3 . 42. [2004] [EXT] Dadas las rectas 1 = x = 4+t y = 7+2t z = -t y 2 = x+y-5 = 0 3x+z-8 = 0 , se pide: a) Demostrar que están contenidas en un plano cuya ecuación se determinará. b) Encontrar la perpendicular común a dichas rectas. 43. [2004] [JUN] a) Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta dada por la intersección de los planos: 1: x+y-z-1 = 0 y 2: 2x-y+z = 0. b) Encontrar la distancia del punto (1,0,1) a dicha recta. 44. [2004] [JUN] a) Demostrar que las rectas 1= x = t y = -t z = 2+t y 2= x+y-z = 0 2x+y+1 = 0 se cruzan en el espacio. b) Encontrar la distancia entre dichas rectas. 45. [2003] [EXT] Encuentre la distancia del punto P(1,0,1) a la recta determinada por los planos 1, que pasa por los puntos A(1,1,1), B(0,1,1) y C(-1,0,0), y 2, de ecuación x+y = 2. Página 4 de 5 17 de julio de 2015 MasMates.com Colecciones de ejercicios Geometría Selectividad CCNN Murcia 46. [2003] [EXT] Encuentre la distancia del punto P(0,6,1) al plano determinado por el punto A(0,1,3) y la recta L que pasa por los puntos B(1,0,1) y C(0,0,2). 47. [2003] [JUN] a) Estudie si las rectas L1 = x = 1 - t y = 1 - t z = 2 y L2 = x = t y = 1 + t z = 2 - t se cruzan en el espacio. b) Encuentre la distancia entre dichas rectas. Soluciones 9. y+z-3 = 0 10. a) a = 4: secantes; a 4: se cruzan b) (8,0,10) 11. 30º; x+y-z+2 = 0 12. a) 3x-6y+z-23 = 0 b) x = -1+3 y = 2-6 z = 3+ 13. (-1,1,2) 14. (0,0,2), (4,0,2) 15. 2x+7y-8z+3 = 0 16. a) x = 5+k y = -1-2k z = 4 ; x = -1+2m y = 7-m z = 6-m ; x = 5+p y = 3 z = 2-p b) (3,3,4) 17. 4 3 ,-1 3 ,-2 3 ; 3 3 18. paralelas; 2 6 3 19. (1,3,2); 2 2 20. 42 7 21. (-1,-3,0) 22. 6 6 23. x-y+z-2 = 0; 3 3 24. 4 3 ,7 3 ,-8 3 ; 3 3 25. (3,0,1) 26. x = 1 y = 1- z = 1+ 27. 4 14 7 28. (-1,1,-2) 29. paralelas ; d=11 17 17 30. 1 3 , 1 6 ,-1 6 31. i) x-1 1 = y-2 1 = z-1 3 ii) 5 11 ,16 11 ,-7 11 iii) 6 11 11 32. i) 6 ii) 0,2,0 iii) 21 2 33. 2 34. i) 0,5,5 ii) x-3y+2z+5 = 0 35. i) se cruzan ii) 2 2 36. i) si ii) 0,5,5 , 2 6 37. (a) si (b) 4242 7 38. (b) x-y+2z+2 = 0 ó x-y+2z-10 = 0 39. (a) (3,0,1) (b) x+3y+z-4 = 0 40. a) a = -1: l.d. a -1: l.i. b) 2e1-3e2-2e3 41. 6 42. a) 7x-2y+3z-14 = 0 b) x = 2-7 y = 3+2 z = 2-3 43. a) x = 1 3 y = 2 3 + z = b) 66 6 44. b) 14 14 45. 6 3 46. 7 3 3 47. a) si b) 2 2 Página 5 de 5 17 de julio de 2015
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