mm0803020911

Vista previa del material en texto

MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Integrales
Selectividad CCNN 2011
1. [ANDA] [JUN-A] Sea f:(1,+) la función definida como f(x) = ln(x+1), donde ln denota logaritmo neperiano.
a) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, el eje OY y la recta y = 1. Calcula los puntos de corte de las gráficas.
b) Halla el área del recinto anterior.
2. [ANDA] [JUN-B] Halla e
x
e2x-1 ex+1
dx (Sugerencia: Efectúa el cambio de variable t = ex).
3. [ANDA] [SEP-A] Considera las funciones f, g:  definida por f(x) = 6x-x2 y g(x) = x2-2x.
a) Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.
b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.
4. [ANDA] [SEP-B] Sean f, g:  las funciones definidas por f(x) = - 1
4
x2+4 y g(x) = x2-1.
a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = -2.
b) Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta y = x+5. Calcula el área de este recinto.
5. [ARAG] [JUN-A] a) Utilizar el cambio de varaiable t6 = 1+x para calcular x+1+2
(x+1)2/3- x+1
dx.
b) Para f(x) = e-3x calcular sus derivadas sucesivas y concluir cuál de las siguientes opciones es la correcta:
i) f(n)(x) = 3ne-3x ; ii) f(n)(x) = (-3)(n+1)e-3x ; iii) f(n)(x) = (-3)ne-3x
6. [ARAG] [SEP-A] Para la función f(x) = 2x+1
x-1
,
a) Estudiar su continuidad.
b) Razonar si g(x) = x2-1 f(x) es una función derivable.
c) Calcular 
3
f(x)dx
2
.
7. [ARAG] [SEP-B] a) Calcular: lim
x+
cos x+1
x2
 ; lim
x
4
1+sen2x
1-cos4x
 ; lim
x
x+4
x-4
x
 ; lim
x+0
1- 1-x
x
.
b) Utilizar el cambio de variable t2 = 1+x2 para calcular 
x3
1+x2
dx.
8. [ASTU] [JUN-A] Sea f:  la función definida por f(x) = 
x2 si x < 0
mx+n si 0  x < 1
2 si 1  x
a) Calcule m y n para que f sea continua en todo su dominio.
b) Para esos valores hallados calcule el área del recinto limitado por la gráfica de f y la recta y = 1.
9. [ASTU] [JUN-B] Sea f:  la función definida por f(x) = 
2x+4 si x  0
(x-2)2 si x > 0
a) Dibuje la gráfica de la función.
b) Halle el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas.
10. [ASTU] [SEP-A] a) Calcule la función f(x) sabiendo que su derivada es f'(x) = (x-1)ex y f(2) = e.
b) Demuestre que f(x) tiene un extremo relativo en un punto del eje de abscisas y razone si es máximo o mínimo.
Página 1 de 5 5 de diciembre de 2011
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Integrales
Selectividad CCNN 2011
11. [ASTU] [SEP-B] Las gráficas de la curva y = x3 y de la parábola y = x2+2x encierran un recinto plano.
a) Dibuje ese recinto.
b) Calcule su área.
12. [C-LE] [JUN-A] Calcular el área de la región finita y limitada por la gráfica de la función f(x) = x3-x+1 y la recta tangente a la
gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.
13. [C-LE] [JUN-B] a) Hallar el valor de los parámetros reales a y b para los que la función f(x) = 
sen(x)-ax
x2
si x > 0
x2+b si x  0
 es continua
en .
b) Calcular ln(x)
x2
dx.
14. [C-LE] [SEP-A] a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f(x) = |x-1| en el intervalo [-2,2]. Calcular la función
derivada de f(x) en ese intervalo.
b) Calcular el área del recinto delimitado en el primer cuadrante por la gráfica de la función y = ln x y las rectas y = 0, y = 1 y
x = 0.
15. [C-LE] [SEP-B] Hallar el valor de m para que el área delimitada, en el primer cuadrante, por la función y = 4x3, y la recta y = mx
sea de 9 unidades cuadradas.
16. [C-MA] [JUN-A] Calcula las siguientes integrales:
1. cos(2x)+senx·cosx dx 2. x
3-1
x+2
dx
17. [C-MA] [JUN-B] a) Representa gráficamenete la región del primer cuadrante limitada por las gráficas de las funciones f(x) = 1
x
y g(x) = 1
x2
, y la recta y = 2.
b) Calcula el área de dicha región.
18. [C-MA] [SEP-A] Calcula la integral x
2-3x+1
x3-5x2+8x-4
dx.
19. [C-MA] [SEP-B] Sean las funciones f(x) = x2 y g(x) = a, con a, a > 0. Calacula el valor del parámetro a para que el área
encerrada por la gráficas de f(x) y g(x) sea 32
3
.
20. [CANA] [JUN-A] Calcular las siguinetes integrales
1. x·lnxdx 2. 
2
3
x2+4
dx
0
21. [CANA] [JUN-B] Dadas las funciones y = -x2+4x e y = 2x2-2x,
a) Representar la región que determinan sus gráficas.
b) Calcular el área de dicha región.
Página 2 de 5 5 de diciembre de 2011
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Integrales
Selectividad CCNN 2011
22. [CATA] [JUN] Definimos las funciones f(x) = a 1-x2 y g(x) = x
2-1
a
, en que a > 0.
a) Compruebe que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones es: 4 1+a
2
3a
.
b) Calcule el valor del parámetro a para que esta área sea mínima.
23. [CATA] [SEP] Sea f(a) = 
1/a
a2+x2 dx
0
, para a > 0.
a) Compruebe que f(a) = 1
3a3
+a.
b) Calcule el valor del parámetro a para que la función f(a) tenga un mínimo relativo.
24. [EXTR] [JUN-A] a) Represente, de forma aproximada, la figura plana limitada por la curva y = -2(x-1)3, su recta tafngente en el
punto (1,0) y la recta x = 0. (puede ser útil calcular los puntos de corte de la curva con los ejes coordenados).
b) Calcule el área de dicha figura plana.
25. [EXTR] [JUN-B] a) Enuncie el teorema del Valor Medio del Cálculo Integral.
b) Calcule el punto al que se refiere dicho teorema para la función f(x) = ex+1 en el intervalo[0,1].
26. [EXTR] [SEP-A] Calcule, utilizando la fórmula de integración por partes, una primitiva F(x) de la función f(x) = x2·lnx2 que cumpla
F(1) = 0.
27. [EXTR] [SEP-B] a) Represente, de forma aproximada, la gráfica de la función f(x) = xex2-1. Señale el recinto plano limitado por
dicha gráfica, el eje OX, la recta x = -1 y la recta x = 1.
b) Calcule el área del recinto del apartado anterior.
28. [MADR] [JUN-A] a) Calcular la integral 
3
x 4+5x2dx
1
.
b) Hallar los valores mínimo y máximo absolutos de la función f(x) = 12-3x2.
29. [MADR] [SEP-A] a) Calcular los límites: lim
x+
2
4+e-(x+1)
 y lim
x-
2
4+e-(x+1)
.
b) Calcular la integral 
1
x
1+3x2
dx
0
.
c) Hallar el dominio de definición de la función f(x) = x2-9x+14. Hallar el conjunto de puntos en los que la función tiene
derivada.
30. [MADR] [SEP-B] a) Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de f(x) = -senx y el eje OX entre las abscisas x = 0 y x = 2.
b) Hallar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar la gráfica de f(x) = -senx alrededor del eje OX entre
las abscisas x = 0 y x = 2.
31. [MURC] [JUN-A] a) Calcular la integral indefinida 
x
1+ x
dx utilixando el método de cambio de variable (o método de
sustitución).
b) Calcule la integral definida 
1
ln 1+x2 dx
0
, donde ln denota la función logaritmo neperiano, utilizando el método de integración
Página 3 de 5 5 de diciembre de 2011
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Integrales
Selectividad CCNN 2011
por partes.
32. [MURC] [JUN-B] a) Dada la función f(x) = 3x
1-x2
 definida para los valores -1 < x < 1, determine los puntos de corte de la recta
y = 4x con la gráfica de f.
b) Calcule el área del recinto limitado por la recta y = 4x y la gráfica de f.
33. [MURC] [SEP-A] a) Calcule la integral indefinida sen(x)
1+cos2(x)
dx.
b) Evalúe la integral definida 
/2
sen(x)
1+cos2(x)
dx
0
.
34. [MURC] [SEP-B] a) Calcule la integral indefinida x2exdx.
b) Evalue la integral definida 
1
x2exdx
0
.
35. [RIOJ] [JUN] Halla la función f(x) que pasa por el punto (0,1) y tal que f'(x) = x2-4 ex.
36. [RIOJ] [SEP] Dibuja la dos curvas y = x3-1, y = -x2+x. Halla el área comprendida entre ellas.
37. [VALE] [JUN-A] Sea la función f definida por f(x) = x
x2-3x+2
. Obtener razonadamente:
a) El domino y las asíntotas de la función f(x).
b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x).
c) La integral f(x)dx = x
x2-3x+2
dx.
38. [VALE] [SEP-B] Un coche recorre el arco de parábola  de ecuación 2y = 36-x2, variando la x de -6 a 6. Se representa por f(x) a
la distancia del punto (9,0) al punto (x,y) del arco  donde está situado el coche. Se pide obtener razonadamente:
a) La expresiónde f(x).
b) Los puntos del arco  donde la distancia f(x) tiene mínimos relativos.
c) Los valores máximo y mínimo de la distancia f(x).
d) El área de la superficie limitada por el arco de parábola  y el segmento rectilíneo que une los puntos (-6,0) y (6,0).
 Soluciones
1. a) 
1 2
1
X
Y
 (e-1,1) b) e-2 2. 1
4
ln ex-1 - 1
4
ln ex+1 + 1
2ex+2
 +x 3. a) 
2 4 6 8-2
2
4
6
8
X
Y
 (0,0), (4,8) b) 64
3
 4. a) y = x+5 b) 
1 3 5-1-3
1
3
5
7
X
Y
 15
2
 5. a)
6 x+1
6
 + (x+1)
2/3
4
 + (x+1)
2
3
 - (x+1)
3
2
 -x-1-ln 6 x+1-1 +c b) iii) 6. a) -{1} b)  c) 2+3ln2 7. a) 1, 1, e8, 1
2
 b) x
2-2
3
1+x2+c 8. a) 2, 0 b) 11
12
 9. a) 
1 2 3 4-1
1
3
-2
X
Y
 b)
Página 4 de 5 5 de diciembre de 2011
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Integrales
Selectividad CCNN 2011
20
3
 10. a) (x-2)ex+e b) min: 1 11. a) 
1 2 3-1
1
3
5
7
-2
X
Y
 12. 27
4
 13. a) 1, 0 b) - lnx
x
 - 1
x
 + c 14. a) cont (-2,2); derv (-2,1)(1,2); f'(x) = -1 si -2 < x < 1
1 si 1 < x < 2
 b) e-1 15.
12 16.1. 1
2
sen2x+ 1
2
sen2x+c 16.2. x
3
3
 -x2+4x-9ln|x+2|+c 17. a) 
1 2 3
1
-1
X
Y
 b) 2 2-2-ln2 18. 2ln|x-2|-ln|x-1|+ 1
x-2
+c 19. 4 20.1. x
2
2
lnx- 1
2
+c 20.2.
3
8
 21. a) 
1 2 3
1
2
3
4
-1
X
Y
 b) 4 22. b) 1 23. b) 6
3
 24. a) 
1 2
1
2
-1
-2
X
Y
 b) 1
2
 25. ln(e-1) 26. x
3
3
lnx2- 2x
3
9
+2
9
 27. a) 
1-1
1
-1
X
Y
 b) e-1
e
 28. a) 316
15
 b)
max: 0; min: -2, 2 29. a) 1
2
, 0 b) ln2
3
 c) Dom. (-,2][7,+); Der: (-,2)(7,+) 30. a) 4 b) 2 31. a) x-2 x+2ln x+1 +c b) ln2-2+
2
 32. a) -1
2
,-2 , (0,0), 1
2
,2
b) 1+3ln3
4
 33. a) -arctgcosx+c b) 
4
 34. a) x2-2x+2 ex+c b) e-2 35. x2-2x-2 ex+3 36. 
1 2-1
-1
-2
-3
XY
 4
3
 37. D: -{1,2}; x = 1, x = 2, y = 0 b) crec
- 2,1  1, 2 c) 2ln|x-1|-ln|x-3|+c 38. a) f(x) 0 x
4-32x2+324
2
 b) (-4,01), (4,10) c) 117, 17 d) 144
Página 5 de 5 5 de diciembre de 2011