mm0803020903

Vista previa del material en texto

MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Integrales
Selectividad CCNN 2003
1. [ANDA] [JUN-A] Sea Ln 1-x2 el logaritmo neperiano de 1-x2 y sea f:(-1,1) la función definida por f(x) = Ln 1-x2 . Calcula la
primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0,1).
2. [ANDA] [JUN-A] Se sabe que la función f: definida por f(x) = x3+ax2+bx+c tiene un extremo relativo en el punto de
abscisa x = 0 y que su gráfica tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa x = -1. Conociendo además que 
1
f(x)dx
0
 = 6, halla
a, b y c.
3. [ANDA] [JUN-B] Dadas la parábola de ecuación y = 1+x2 y la recta de ecuación y = 1+x, se pide:
(a) Área de la región limitada por la recta y la parábola.
(b) Ecuación de la recta paralela a la dada que es tangente a la parábola.
4. [ANDA] [SEP-B] Sea f:(0,+) la función definida por f(x) = (x-1)lnx, donde lnx es el logaritmo neperiano de x. Calcula la
primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto 1 , - 3
2
.
5. [ARAG] [JUN-A] Sean las parábolas y = x2-4x+13 e y = 2x2-8x+16.
a) Representar sus gráficas.
b) Calcular los puntos donde se cortan entre si ambas parábolas.
c) Hallar la superficie encerrada entre las dos parábolas.
6. [ARAG] [JUN-B] Sea la función f(x) = xex.
a) Calcular la ecuación de su tangente en el origen de coordenadas.
b) Determinar los extremos de la función f.
c) Hallar el área encerrada entre la gráfica de esta curva, el eje de abscisas y la recta x = 1.
7. [ARAG] [SEP-A] Sea la parábola y = x2-4x+3.
a) Determinar los puntos de corte de la parábola con los dos ejes coordenados.
b) Calcular el área encerrada entre la parábola y el eje de abscisas.
c) Calcular el área encerrada entre la parábola y el eje de ordenadas.
8. [ARAG] [SEP-B] Sea la función f(x) = x
x2+1
.
a) Definir su dominio.
b) Calcular su límite en el infinito.
c) Determinar sus extremos.
d) Calcular el área encerrada por la gráfica de f entre las abscisas 0 y 1.
9. [ASTU] [JUN] a) Dibujar el recinto limitado por las curvas y = x, y = x2, y = x
2
4
.
b) Calcular el área del recinto anterior.
10. [C-LE] [JUN-A] Dada la función f(x) = x
x2+1
, hallar:
a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos relativos.
b) El área de la región limitada por la gráfica de f, el eje OX y las rectas x = -1, x = 1.
11. [C-LE] [JUN-B] Hallar el área de la región limitada por la curva y = x2 y la recta y = 2x+3.
Página 1 de 4 5 de diciembre de 2009
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Integrales
Selectividad CCNN 2003
12. [C-LE] [SEP-A] Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función f(x) = (x-2)2(x+2), el eje OX y la rectas x = -3,
x = 2.
13. [C-LE] [SEP-B] a) Hallar las coordenadas del punto P de la gráfica de la función y = 2cosx, siendo 0  x  
2
 con la propiedad de
que la suma de la ordenada y la abscisa sea máxima.
b) Calcular el área comprendida por la curva y = 2cosx y la recta y = 1 en el intervalo - 
2
, 
2
.
14. [C-MA] [JUN] Dada la curva y = x2-4x y la recta y = 3x-6:
a) Dibuja la gráfica de ambas.
b) Señala el recinto plano comprendido entre ellas.
c) Calcula el área del recinto señalado.
15. [C-MA] [SEP] Calcula la siguiente integral: 
e3
L x
x
dx
e
(L = logaritmo neperiano).
16. [CANA] [JUN-A] Calcular la primitiva siguiente: Ln 25+x2 dx.
17. [CANA] [SEP-B] Dadas las funciones f(x) = -2x2+12x-10 y g(x) = -x2+6x-5, se pide:
a) Representar el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones.
b) Calcular el área de dicho recinto.
18. [CATA] [JUN] Calcule 
e
2ln3(x)
x
dx
1
19. [CATA] [SEP] Dada f(x) = (2x+1)e x
2+x , determine la función g(x) tal que g'(x) = f(x) (es decir, una primitiva de f(x)) y que su
gráfica pase por el punto (0,2).
20. [EXTR] [JUN-A] Representar gráficamente el recinto plano limitado por la recta y = x-2 y la parábola de ecuación
y2 = x. Calcular su área.
21. [EXTR] [JUN-B] Calcular el valor de la siguiente integral, donde ln denota el logaritmo neperiano: 
e2
dx
x(lnx)
e
.
Puede hacerse con el cambio de variable x = et
22. [EXTR] [SEP-A] Calcular el valor de la integral puede hacerse el cambio t = e-x : 
1
dx
ex+1
0
23. [EXTR] [SEP-B] Representar gráficamente la figura plana limitada por la curva y = ex, su recta tangente en el punto de abscisa x
= 0, y la recta x = 1. Calcular su área.
Página 2 de 4 5 de diciembre de 2009
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Integrales
Selectividad CCNN 2003
24. [MADR] [SEP-A] Sea la función f(x) = sen x
2 - cos x
 definida en el intervalo cerrrado y acotado [-2,2]. Se pide:
a) Calcular los puntos del intervalo dado donde f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos.
b) Dibujar la gráfica de f en el intervalo dado.
c) Calcular 
/3
f(x)dx
0
.
25. [MADR] [SEP-B] Sea la función f(x) = 2x|4-x|.
a) Estudiar su continuidad y derivabilidad.
b) Dibujar su gráfica.
c) Calcular el área del recinto acotado por la gráfica y = f(x), las rectas x = 0, x = 5, y el eje OX.
26. [MURC] [JUN] a) Enuncie la regla de Barrow.
b) Calcule dx
x2-4
.
c) Encuentre el área de la región del plano determinada por la curva y = 1
x2-4
 y las rectas x = 1, x = -1 e y = -5.
27. [MURC] [JUN] a) Enuncie el teorema funcadmental del cálculo integral.
b) Calcule ln x2 dx.
c) Encuentre el valor del área determinada por la curva y = ln x2 , el eje de abscisas y las rectas x = 9 y x = 12.
28. [MURC] [SEP] Encuentre el área del recinto determinado por las curvas y = |x| e y = 2-x2.
29. [MURC] [SEP] Calcule dx
x2-5x+6
30. [RIOJ] [JUN] Halla una función f(x) que verifique x4f'(x)+x3+2x = 3, para x  0.
31. [RIOJ] [JUN] Hallar el área del recinto limitado por la curva y = x2lnx, el eje OX y la recta tangente a la curva en el punto
e,e2 .
32. [RIOJ] [JUN] Dada la función f:  definida por f(x) = 
x2 si x < 0
ax+b si 0  x < 1
2 si 1  x
 , se pide:
a) Hallar a y b para que la función sea continua.
b) Estudiar la derivabilidad de la función resultante.
c) Calcular el área del recinto limitado por la recta y = 1 y la gráfica de la función f(x).
33. [RIOJ] [SEP] Calcula la integral indefinida 
x+4
1-x2
dx
34. [RIOJ] [SEP] a) Representa gráficamente la curva y = x
x2+4
. Para ello calcula asíntotas, puntos críticos e intervalos de
crecimiento.
b) Calcula el área del recinto limitado por la curva anterior y las rectas x = a y x = b, donde a y b son las abscisas de los puntos
donde la curva alcanza su mínimo y máximo.
Página 3 de 4 5 de diciembre de 2009
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Integrales
Selectividad CCNN 2003
35. [VALE] [JUN-A] a) Dibujar la recta de ecuación y = 2

x y la curva de ecuación y = senx cuando - 
2
  x  
2
. Obtener
razonadamente por cálculo integral el área limitada entre la recta y la curva.
b) Calcular la integral del producto de las dos funciones consideradas en el apartado antereior, es decir 2

xsenxdx, indicando
los pasos realizados.
36. [VALE] [SEP-B] a) Representar la superficie S limitada entre el eje OX y la curva y = x2-4, cuando -2  x  2. Obtener
razonadamente, mediante una integral, el área de la superficie S.
b) Hallar el volumen del cuerpo engendrado al dar un giro completo alrededor del eje OX la superficie S considerada en el
apartado anterior, indicando cómo se ha obtenido el volumen.
 Soluciones
1. F(x) = x·ln 1-x2 + 2x + ln x-1
x+1
 + 1 2. a = 3 , b = 0 , c = 19
4
 3. 1
6
 ; 4x - 4y + 3 = 0 4. F(x) = x
2
2
 - x lnx - x
2
4
 + x - 9
4
 5. a) 
4 8-4-8
4
8
12
X
Y
 b) (1,10), (3,10) c) 4
3
6. a) y = x b) min: -1,-1
e
 c) 1 7. a) (1,0), (3,0), (0,3) b) 4
3
 c) 4
3
 8. a)  b) 0 c) min: -1,-1
2
; max: 1, 1
2
 d) 2ln5 9. a) b) 15
6
 10. a) Crec: (-1,1);
max: 1, 1
2
; min: -1,-1
2
 b) ln2 11. 32
3
 12. 129
4
 13. a) 
6
, 3 b) 2 3- 2
3
 14. 
3 6 9 15-3
3
9
X
Y
 125
6
 15. 7
2
 16. F(x) = xln 25+x2 -2x+10arctgx
5
 +c 17. a)
 b) 32
3
 18. 1
2
 19. g(x) = e x
2+x +1 20. 9
2
 21. ln2 22. ln 2e
e+1
 23. 2e-5
2
 24. a) max: 
3
, 3
3
, - 5
3
, 33
;
min: - 
3
,- 3
3
, 5
3
,- 3
3
 b) 
2 4 6-2-4-6
2
-2
X
Y
 c) ln3
2
 25. a) ; -{4} b) 
2 4 6 8-2
2
6
X
Y
 c) 25 26. b) - 1
4
ln|x+2|+ 1
4
ln|x+2| +c c) 10- ln3
2
 27. b)
xlnx2-2x+c c) 48ln2-12ln3-6 28. 10
3
 29. -ln|x-2|+ln|x-3|+c 30. f(x) = -ln|x|+ 1
x2
 - 1
x3
 +c 31. e
3+2
18
 32. a) 2, 0 b) -{0,1} c) 11
12
 33. - 1-x2+4arcsenx+c 34. a)
1 2 3-1-2-3
1
-1
X
Y
 b) ln2 35. a) 
1-1
1
-1
X
Y
 4-
2
 b) 2

(-xcosx+senx)+c 36. a) 32
3
 b) 512
15
Página 4 de 4 5 de diciembre de 2009