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Colecciones de ejercicios
Integrales
Selectividad CCNN 2004
1. [ANDA] [JUN-A] De la función f:(-1,+) se sabe que f ´(x ) = 3
(x+1)2
 y que f(2) = 0.
(a) Determinar f.
(b) Hallar la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0,1).
2. [ANDA] [JUN-B] Determinar b sabiendo que b > 0 y que el área de la región limitada por la curva y = x2 y la recta y = bx es igual
a 9
2
.
3. [ANDA] [SEP-A] Siendo Lnx el logaritmo neperiano de x, halla el área de la superficie
sombreada.
4. [ANDA] [SEP-B] Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la recta y = 2x y por las curvas y = x2 e y = x
2
2
.
5. [ARAG] [JUN-A] Calcular el área encerrada entre la gráfica de la función exponencial f(x) = ex y la cuerda a la misma que une los
puntos de abscisas x = -1 y x = 1.
6. [ARAG] [JUN-B] Sea la función f(x) = x·senx. Determinar:
(a) El área encerrada entre su gráfica y el eje de abscisas entre los valores x = 0 y x = .
(b) El área encerrada entre la tangente en x =  y los dos ejes coordenados.
7. [ARAG] [SEP-A] Calcular el área encerrada entre la gráficas de la recta y = x+2 y la parábola y = x2.
8. [ARAG] [SEP-B] Sea la parábola f(x) = x2-6x+9.
a) Probar que es tangente a uno de los ejes coordenados, indicando a cual.
b) Calcular el área encerrada entre la gráfica de la parábola y los dos ejes coordenados.
9. [ASTU] [JUN] Calcula:
a) El punto C de la figura, punto de corte de la parábola p: 4-(x-2)2 y el eje de abscisas.
b) El punto D y la ecuación de la recta r2 paralela a r4.
c) El área sombreada, limitada por la parábola p y la recta r1, r2, r3 y r4.
10. [ASTU] [SEP] Sea la curva descrita por la función f(x) = 2x+1
x-2
 para los valores de x > 2. Calcula:
a) La recta tangente a la gráfica en el punto P de la curva de abscisa x = 3.
b) El punto de corte de esta recta tangente y la asíntota horizontal de la curva.
c) El área encerrada por la curva, el eje de abscisas y las rectas de ecuaciones x = 3, x = 4.
11. [C-LE] [JUN-A] Sea la función f(x) = 2e-2|x|.
a) Estúdiese su monotonía, extremos relativos y asíntotas.
b) Calcúlese el área de la región plana comprendida entre la gráfica de la función y las rectas x = 1 y x = -1.
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12. [C-LE] [JUN-A] De todas las primitivas de la función f(x) = 2tg(x)·sec2(x), hállese la que pasa por el punto P 
4
,1 .
13. [C-LE] [JUN-B] Sea f(x) = x3+ax2+bx+c. Determínese a, b y c de modo que f(x) tenga un extremo relativo en x = 0, la recta
tangente a la gráfica de f(x) en x = 1 sea paralela a la recta y-4x = 0, y el área comprendida por la gráfica de f(x), el eje OX y las
rectas x = 0 y x = 1 sea igual a 1.
14. [C-LE] [JUN-B] Calcúlese 
(x-1)2
x
dx.
15. [C-LE] [SEP-A] Hállese el área del recinto limitado por las parábolas de ecuaciones respectivas: y = 6x-x2 ; y = x2-2x.
16. [C-LE] [SEP-B] a) Dada la función f:[1,e] definida por f(x) = 1
x
 + lnx, determínese de entre todas las rectas tangentes a la
gráfica de f la que tiene máxima pendiente.
b) Calcúlese una función primitiva de f(x) que pase por el punto P(e,2).
17. [C-LE] [SEP-B] Hállese el área limitada por las gráficas de las funciones y = 3x-x2, y = 2x-2.
18. [C-MA] [JUN] La curva y = 2x2 divide al cuadro de vértices A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1) en dos recintos.
a) Dibuja dichos recintos.
b) Halla el área de cada uno de ellos.
19. [C-MA] [SEP] Considera la función f(x) = -x4+4x3. Calcula:
a) Puntos de corte con los ejes.
b) Máximos y mínimos.
c) Puntos de inflexión.
d) Halla el área de la región encerrada por la gráfica y el eje X.
20. [C-MA] [SEP] Considera la función f(x) = x
3 si x < 1
-x2+2x si x  1
a) Haz un dibujo aproximado de su gráfica.
b) Calcula el área encerrada por la gráfica y el eje X.
21. [CANA] [JUN-A] a) Dibujar el recinto plano limitado por las funciones: f(x) = -x2+5x, g(x) = x+3.
b) Hallar su área.
22. [CANA] [SEP-A] a) Dibujar los recintos limitados por y = x2 y las rectas y = x, x = 2.
b) Calcular el área de dichos recintos.
23. [CANA] [SEP-B] Calcular 3x
x2+3x-10
dx
24. [CATA] [JUN] Dada la función f(x) = cosx - cos3x:
a) Halle su integral indefinida.
b) ¿Cuál es la primitiva de f(x) que pasa por el punto 
2
,0 ?
(Indicación: Recuerde que sen2x+cos2x = 1)
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25. [CATA] [SEP] Calcule el valor de la siguiente integral: 
3
x+1+ x+1
x+1
dx
0
26. [EXTR] [JUN-A] Definir el concepto de primitiva de una función. ¿Existe alguna primitiva de la función f(x) = x-1 que no tome
ningún valor positivo en el intervalo 1  x  2?
27. [EXTR] [JUN-B] Representar gráficamente el recinto plano limitado, en la región donde la abscisa x es positiva, por la curva
y = x3+x y por la recta y = 2x. Calcular su área.
28. [EXTR] [SEP-A] Representar gráficamente la figura plana limitada en el primer cuadrante x  0, y  0 por la recta y = x y la
curva x = y3. Calcular su área.
29. [EXTR] [SEP-B] Calcular el valor de la siguiente integral: (puede hacerse por el cambio de variable x2-1 = t3)
2
x
3
x2-1dx
1
30. [MADR] [JUN-A] Se considera la función f(x) = (2x-1)
2
4x2+1
.
a) Calcular las asíntotas, el máximo y el mínimo de la función f(x).
b) Calcular 
1
f(x)dx
0
.
31. [MADR] [SEP-B] Sea la función f(x) = 2x+1
x2+x+1 2
.
a) Hallar sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas.
b) Dibujar la gráfica de la función, utilizando la información obtenida en el apartado anterior, teniendo en cuenta, además, que f
tiene exactamente tres puntos de inflexión, cuyas abscisas son: x1 = 
-1- 3
2
, x2 = - 
1
2
 y x3 = 
-1+ 3
2
 respectivamente.
c) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función f, el eje OX, la recta x = 0 y la recta x = 2.
32. [MURC] [JUN] Contestar, razonando la respuesta, si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) 
b
f(x)dx
a
 + 
c
f(x)dx
b
 = 
c
f(x)dx
a
.
b) 
b
f(x)g(x)dx
a
 = 
b
f(x)dx
a
b
g(x)dx
a
.
c) Si 
b
f(x)dx
a
 = 0, entonces a = b.
d) Si 
b
f(x)dx
a
 = 0 y f(x) > 0, para todo x, entonces a = b.
e) 
b
[f(x)+g(x)]dx
a
 = 
b
f(x)dx
a
 + 
b
g(x)dx
a
.
33. [MURC] [JUN] Calcular el área determinada por la curva y = x
2
x2+1
 , el eje de abscisas y las rectas x = 1 y x = -1.
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34. [MURC] [SEP] Encontrar el área determinada por la curvas y = |x| e y = x3.
35. [MURC] [SEP] Calcular la integral 
7
x
x2-4
dx
3
. ¿Qué representa geométricamente el valor de esa integral?
36. [RIOJ] [JUN] Calcula la integral indefinida dx
(x-1)2
.
37. [RIOJ] [SEP] Dibuja la figura limitada por la curva y = x
2
4
 +1 y la recta y = x+3. Calcula el área de dicha figura.
38. [RIOJ] [SEP] Dados a y b dos números reales, calcula la integral indefinida sen x
(a+bcosx)2
dx.
Preta atención a las posibilidades de a = 0 ó b = 0.
39. [VALE] [JUN-A] En un plano, el trazado de una carretera discurre según la ecuación y = x
2
4
 -x, siendo un río el eje OX. En el
terreno entre el río y la carretera hay un pinar. Si expresamos las distancias en kilómetros, ¿cuánto vale el pinar si la hectárea
se paga a 60 euros?
40. [VALE] [JUN-B] Hallar todos los valores reales z tales que 
z
-16
x2-2x-15
dx
0
 = ln25.
41. [VALE] [SEP-A] Sea f(x) = x2+mx (donde m es un parámetro real) y f'(x) la función derivada de f(x). Se pide:
a) Hallar el valor del parámetro m para que f(x) tenga un mínimo relativo en x = - 3
4
.
b) Para el valor de m calculado en a), determinar el área de la región comprendida entre la curva y = f(x) y la recta de ecuación
y = f'(x).
42. [VALE] [SEP-A] Se tienen inicialmente 10 bacterias en un cultivo de laboratorio y cada día se duplican. Averigua, razonadamente,
el número de bacterias que habrá cuando hayan transcurrido 10 días.
b) Para otro cultivo, sea P(t) el número de bacterias transcurrido el tiempo t medido en días. Averiguael aumento de bacterias al
cabo de 10 días, sabiendo que P(0) = 500, P(3) = 1100 y que la derivada P'(t) es constante para 0  t  10.
43. [VALE] [SEP-B] a) Obtener razonadamente la siguiente integral: 4x+11
(x+1)2+1
dx.
b) Aplicando la regla de Barrow, calcular 
3-1
4x+11
(x+1)2+1
dx
0
.
 Soluciones
1. (a) f(x) = -3x+1 ; (b) F(x) = -3·ln|x+1| + x + 1 2. 3 3. 2 4. 4 5. 2
e
 6. (a)  (b) 
3
2
 7. 10
3
 8. a) OX b) 9 9. a) (4,0) b) (0,-4); y = -x-4 c) 104
3
 10. a) y =
-5x+22 b) (4,2) c) 2+5ln2 11. a) Creciente: (-,0); max: (0,2); asínt: y = 0 b) 2- 2
e2
 12. F(x) = tg
2(x)
2
 + 1
2
 13. 1
2
, 0, 7
12
 14. 6x
2-20x+30 x
15
 +c 15. 64
3
 16. a)
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x-4y+4ln2 = 0 b) F(x) = ln|x|+xlnx-x+1 17. 9
2
 18. a) b) 2
3
, 3- 2
3
 19. a) (0,0), (4,0) b) Máximo en (3,27) c) (0,0), (2,16) d) 256
5
 20. a)
1 2-1
1
-1
X
Y
 b) 11
12
 21. a) b) 4
3
 22. a) b) 1
6
, 5
6
 23. 15
7
ln|x+5|+ 6
7
ln|x-2|+c 24. a) sen
3x
3
 +c b) sen
3x-1
3
 25. 5 26. y = lnx+c;
c < -ln2 27. 1
4
 28. 1
4
 29. 9
3 3
8
 30. a) y = 1; max: -1
2
,2 ; min: 1
2
,0 b) 1- ln5
2
 31. a) max: (0,1); min: (-1,-1); asint: y = 0 b)
1 2-1-2
1
-1
X
Y
 c) 6
7
 32. a) si b) no c) no d) si e) si 33. 4-
2
 34. 1
4
 35. ln 15; área del recinto de la gráfica, eje OX y rectas x=3, x=7. 36. -1
x-1
 +c 37.
2 4 6 8-2
2
6
X
Y
 8 3 38. b=0: -cosx
a2
 +c ; b0: -1
a+bcosx
 +c 39. 16000€ 40. 3, 9 41. a) 3
2
 b) 125
48
 42. a) 10240 b) 2500 43. a) 2ln (x+1)2+1 +7arctag(x+1)+c b)
ln4+7
12
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