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Colecciones de ejercicios
Derivadas
Selectividad CCNN 2006
1. [ANDA] [SEP-A] Sea f: la función definida por f(x) = x2-|x|.
a) Estudia la derivabilidad de f.
b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.
c) Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se alcazan y valor de la función).
2. [ANDA] [SEP-B] Un alambre de 1 metro de longitud se divide en dos trozos, con uno se forma un cuadrado y con el otro una
circunferencia. Calcula las longitudes de los dos trozos para que la suma de las áreas de ambos recintos sea mínima.
3. [ANDA] [JUN-A] Determina un punto de la curva de ecuación y = xe-x2 en el que la pendiente de la recta tangente sea máxima.
4. [ANDA] [JUN-B] Sea f la función definida por f(x) = x
4+3
x
, para x0.
a) Halla, si existen, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la gráfica de f.
b) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f.
c) Esboza la gr´fica de f.
5. [ARAG] [SEP-A] Comprobar si f(x) = e
x+senx
ex
 tiene un máximo relativo en x = 
4
.
6. [ARAG] [SEP-B] Sea f: una función polinómica de grado menor o igual a tres que tiene un mínimo relativo en 0,0 y un
máximo relativo en 2,2 . Calcular la expresión de dicha función.
7. [ARAG] [JUN-A] Calcular los valores de a y b para que la función f(x) = bx
x-a
 tenga como asíntota vertical la recta x = 2 y como
asíntota horizontal la recta y = 3. Razonar si para a = 2 y b = 3 la función f(x) tiene algún mínimo relativo.
8. [ARAG] [JUN-B] Descomponer el número 8 en dos sumandos positivos de manera que la suma del cubo del primer sumando más el
cuadrado del segundo sea mínima.
9. [ASTU] [SEP] Un campo tiene forma de trapecio rectángulo. Las longitudes de las bases son 24 m
y 40 m y la de su altura 40 m. Se divide en dos campos rectangulares C1 y C2. Situando el campoen
el origen de coordenadas como se muestra en la figura, calcula:
a) La ecuación de la recta r que contiene al lado inclinado del trapecio.
b) El área de los campos en función de la anchura x de C1.
c) Se quiere sembrar maíz en el campo C1 y trigo en C2. El beneficio del maíz es de 1,2 euros por
m2 y el del trigo 1 euro. ¿Cuáles son las dimensiones de los campos que hacen el beneficio máximo?
10. [ASTU] [SEP] Calcula:
a) lim
x0
ex-x-cosx
sen2x
b) lim
x+
1+2
x
x
11. [ASTU] [JUN] El triángulo isósceles, descrito en la figura, mide 10 cm de base y 20 cm de altura.
a) ¿Cuál es la ecuación de la recta r señalada en la figura que contiene el lado del triángulo?
b) Dado el rectángulo inscrito cuya base mide a, calcula las coordenadas de los puntos B y C en función
de a.
c) Halla el valor de a que hace máximo el área del rectángulo.
12. [ASTU] [JUN] Sea la función f(x) = 
x2+6x+8 , x  2
2x+4 , -2 < x  0
a cosx , x > 0
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Derivadas
Selectividad CCNN 2006
a) Estudia su continuidad en toda la recta real en función de a.
b) Estudia su derivabilidad en toda la recta real en función de a.
c) Para a = 4, haz un dibujo aproximado de su gráfica.
13. [C-LE] [SEP-A] a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) = xe-x, sus máximos y mínimos relativos,
asíntotas y puntos de inflexión. Demuéstrese que para todo x se tiene que f(x)  1
e
.
b) Prúebese que la ecuación 3x = ex tiene alguna solución en (-,1].
14. [C-LE] [SEP-A] Calcúlese lim
x0
ln cos(x) -1+cos(x)
x2
15. [C-LE] [SEP-B] ¿Existen máximo y mínimo absolutos de la función f(x) = cos(x)+1 en el intervalo 0, ? Justifíquese su existencia
y calcúlense.
16. [C-LE] [SEP-B] Calcúlense las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función f(x) = x
2
x2+1
 en el punto x = 0.
17. [C-LE] [JUN-A] Considérense las funciones f(x) = ex y g(x) = -e-x. Para cada recta r perpendicular al eje OX, sean A y B los
puntos de corte de dicha recta con las gráficas de f y g respectivamente. Determínese la recta r para la cual el segmento AB es
de longitud mínima.
18. [C-LE] [JUN-A] Calcúlese el valor de lim
x0
ln(cos2x)
x2
19. [C-LE] [JUN-B] Sea f(x) = ax3+bx2+cx+d. Determínese a, b, c y d para que la recta y+1 = 0 sea tangente a la gráfica de f en el
punto 0,-1 , y la recta x-y-2 = 0 sea tangente a la gráfica de f en el punto 1,-1 .
20. [C-MA] [SEP] Determina, si es posible, los valores del parámetro k para que la función definida por
f(x) = 
x+1-ex
2x+1-e2x
si x < 0
(2x-k)2 si x  0
 sea continua en x = 0.
21. [C-MA] [SEP] Para la función f(x) = (x+2)ex se pide:
a) Estudia su dominio y continuidad.
b) Determina sus puntos de corte con los ejes.
c) Obtén las coordenadas de los máximos y mínimos relativos.
d) Determina las coordenadas de los puntos de inflexión.
(Recuerda que ex0, x)
22. [C-MA] [JUN] Determina los valores a, b, c  para que la función f(x) = x3+ax2+bx+c pase por el origen de coordenadas, tengaun
punto de inflexión en x = -1, y su recta tangente en x = 1 tenga pendiente 3.
23. [C-MA] [JUN] Enuncia el teorema de Rolle. En los ejemplos siguientes f(-2) = f(2) pero no hay ningún valor c -2,2 tal que f'(c)
= 0. Justifica en cada caso por qué no contradicen el teorema de Rolle:
a) f(x) = 1
x4
.
b) f(x) = 2-|x| (Nota: |x| representa el valor absoluto de x).
24. [CANA] [SEP-A] La potencia f(x) en vatios consumida por cierto aparato eléctrico, en función de su resistencia (x) en ohmios
viene dada por la expresión f(x) = 4x
(x+12)2
. Hallar la potencia máxima y el correspondiente valor de x.
25. [CANA] [SEP-B] ¿Para qué valores de a la recta ax+y = Ln(3) es tangente a la curva f(x) = Ln x+2
x+1
 en el punto de abscisa x = 0?
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Selectividad CCNN 2006
26. [CANA] [JUN-A] Sea la función real de variable real f(x) = 
1-x2 2 si x  2
36
2+x
si x > 2
.
a) Razonar si la función es continua en toda la recta real.
b) Razonar si la función es derivable en toda la recta real.
27. [CANA] [JUN-A] El consumo de un barco navegando a una velocidad de x nudos (millas/hora) viene dado por la expresión
C(x) = x
2
60
 + 450
x
. Calcular las velocidad más económica y el coste equivalente.
28. [CATA] [SEP] Sea f: la función definida por f(x) = ex(ax+b), donde a y b son números reales.
a) Calcule los valores de a y b para que la función tenga un extremoa relativo en 3,e3 .
b) Para los valores de a y b obtenidos, diga que tipo de extremo tiene la función en el punto citado.
29. [CATA] [JUN] Considere la función f(x) = x4+ax3+bx2+cx+7.
a) Calcule c sabiendo que su recta tangente en el punto de abscisa x = 0 es horizontal.
b) Para el valor de c encontrado en el apartado anterior, calcule a y b sabiendo que esta función tiene un extremo relativo en el
punto de abscisa x = -2 y que corta al eje OX cuando x = 1.
c) Para los valores obtenidos en los otros apartados, calcule los intervalos donde la función crece y decrece, sus extremos
relativos y dibuje una representación gráfica aproximada.
30. [EXTR] [SEP-A] Dada la función f(x) = senx+sen(x+1)
cosx-cos(x+1)
, en el intervalo 0 < x , calcula su derivada, simplificándola en lo posible. ¿Es
constante esta función f(x)?
31. [EXTR] [SEP-B] Calcula las asíntotas y determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
f(x) = 1+x2 -1. A partir de los resultados obtenidos, dibuja la gráfica de la función f(x).
32. [EXTR] [JUN-A] Calcula lim
x0
1+x-ex
sen2x
33. [EXTR] [JUN-B] Defien el concepto de máximo relativo de una función f(x) y enuncia su relación con las derivadas suxcesivas de
f(x).
34. [MADR] [SEP-A] a) Calcular los valores de a y b para que la función f(x) = 
3x+2 si x < 0
x2+2a·cosx si 0  x < 
ax2+b si x  
 sea continua para todo valor
de x.
b) Estudiar la derivabilidad de f(x) para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior.
35. [MADR] [JUN-A] a) Dibujar la gráfica de la función f(x) = 2x
x+1
 indicando su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y
asíntotas.
b) Demostrar que la sucesiónan= 
2n
n+1
 es monótona creciente.
c) Calcular lim
x
n2 an+1-an .
36. [MURC] [SEP] i) Definición de función continua en un punto.
ii) Estudie la continuidad de la función f(x) = x
2-1
x2+3x+2
 y clasifique según los distintos tipos de discontinuidad.
iii) Estudie si tiene asíntotas horizontales o verticales.
37. [MURC] [SEP] i) Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.
ii) Calcule la recta tangente a la curva f(x) = ln x2 en el punto x = 2.
iii) Calcule el punto de corte de dicha recta con el eje Y.
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38. [MURC] [JUN] Dada la función f(x) = x
x2-1
, se pide:
i) Dominio de definición y corte con los ejes.
ii) Intervalos en los que es positiva y en los que es negativa.
iii) Asíntotas.
iv) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
v) Representación aproximada.
39. [MURC] [JUN] Construir un triángulo rectángulo de perímetro 3 con área máxima.
40. [RIOJ] [SEP] Estudia (dominio, crecimiento, máximos y mínimos, asíntotas) y representa gráficamente la función y = ln(x)
x
.
41. [RIOJ] [JUN] Calcula, si existen, los siguientes límites:
lim
x0+
sen(x) tg(x) ; lim
x0
sen(x)
|x|
 ; lim
xa
x- a
x-a
 (con a > 0)
42. [RIOJ] [JUN] Estudia (dominio, crecimiento, máximos y mínimos, asíntotas) y representa gráficamente la función y = 2x-1
x-x2
.
43. [VALE] [SEP-A] Un incendio se extiende en forma circular uniformemente. El radio del círculo quemado crece a la velocidad
constante de 1,8 m/min.
a) Obtener el área quemada en función del tiempo transcurrido desde el comienzo del incendio.
b) Calcular la velocidad de crecimiento del área del círculo quemado en el instante en que el radio alcance 45 m.
44. [VALE] [SEP-B] a) Obtener la derivada de la función f(x) = ax+b+senx. Calcular a y b si O=(0,0) es un punto de la curva
y = ax+b+senx, cuya recta tangente en O 0,0 es el eje OX.
b) Justificar que la función g(x) = -2

x+senx se anula en dos puntos del intervalo [0,].
c) Calcular esos dos puntos.
45. [VALE] [SEP-B] Dos postes de 3 m y 4 m se hallan clavados verticalmente en el suelo. Sus bases distan 5 m y, en el segmento que
las une, hay un punto P que dista x metros de la base del poste más bajo. El extremo superior de cada poste se une con Pmediante
un segmento rectilíneo de cable. Se pide:
a) Obtener la expresión f(x) de la longitud total de cable utilizado en ambos segmentos.
b) Demostrar que esa longitud total de cable es mínima cuando son iguales los valores absolutos de las pendientes de los dos
segmentos considerados. Calcular esa longitud mínima.
46. [VALE] [JUN-B] Dada la función f(x) = ln x en el intervalo cerrado [1,e], siendo e = 2,718281....:
a) Razonar que existe un punto P de la gráfica de y = lnx en el que la recta tangente a ella es paralela a la recta que pasa por los
puntos A= 1,0 y B= e,1 .
b) Obtener el punto P considerado en a).
c) Calcular la pendiente de la recta tangente a y = lnx en ese punto P.
47. [VALE] [JUN-B] El coste del marco de una ventana rectangular es de 12,5 euros por metro lineal de los lados verticales y 8 euros
por metro lineal de los lados horizontales.
a) Calcular razonadamente las dimensiones que debe tener el marco de una ventana de 1 m2 de superficie para que resulte lo más
económico posible.
b) Calcular, además, el coste de ese marco más económico posible considerado en a).
 Soluciones
1. a) -{0} b) Creciente en - 1
2
,0  1
2
,+ c) Máximo: 0,0 . Mínimos: -1
2
,-1
4
, 1
2
,-1
4
 2. 44 cm (circunferencia) y 56 cm 3. 0,0 4. a) No corta a los ejes.
Asíntotas: x = 0 b) Creciente: -,-1  1,+ . Mínimo: 1,4 . Máximo: -1,-4 c) 
8
8
-8
X
Y
 5. si 6. f(x) = - 1
2
x3+3
2
x2 7. a=2, b=3, no 8. 11
6
 y 37
6
 9. a) y =
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-5
2
x+100 b) 200x-5x
2
2
 ; 60x-1440 c) 30mx25m; 24mx15m 10. a) 1 b) e2 11. a) y = 4x b) B 10-a
2
,0 ; C 10-a
2
,20-2a c) 5 12. a) a=4, ; a4: -{0} b) -{0} c)
1 3 5 7 9-1-3-5
1
3
-3
X
Y
 13. a) Creciente: -,1 . Máximo: 1, 1
e
. P. inflexión: 2, 2
e2
. Asíntotas: y = 0 14. -1 15. Máximo: 0,2 ; mínimo ,0 16. y=0; x=0
17. x=0 18. -2 19. 1, -1, 0, -1 20.  1
2
 21. a)  b) -2,0 , 2,0 c) Mínimo -3, -1
e3
 d) -4, -2
e4
 22. 3, -6, 0 23. a) no está definida en el 0 b) no es derivable en
el 0 24. x = 12; f(12) = 1
12
 25. no existe 26. a)  b) -{2} 27. velocidad: 23,81 nudos; consumo: 28,35 28. a) -1, 4 b) máximo 29. a) 0 b) 0, -8 d) Crecimiento:
-2,0  2,+ . Max: 0; min: -2, 2. Gráfica: 30. f'(x) = 0. Es constante 31. 
1 2-1
1
-2
X
Y
 32. -1
2
 34. a) 1, 2 b) derivable en -{0} 35. a) Dom:
-{1}. Crec: . Asint: x = -1, y = 2. 
1 2 3-1-3
1
3
-2
X
Y
 c) 2 36. ii) Disc: x = -2: infinita; x = -1: evitable iii) x = -2, y = 1 37. ii) y = x-2+ln4 iii) 0,ln4-2 38. i)
-{-1,1}; 0,0 ii) Positiva: -1,0  1,+ iii) x = 1, x = -1, y = 0 iv) Decrec. en  v) 
1 2-1-2
1
2
-2
X
Y
 39. catetos: 6-3 2
2
 40. Dom: +. Crec: 0,e . Max: e, 1
e
.
Asíntotas: x = 0, y = 0. Gráfica: 1 2 3 4
1
-1
-2
X
Y
 41. 1; no; a
2a
 42. Dom: -{0,1}. Crec: . Sin max. ni min. Asíntotas: y = 0. 
1 2-1-2
1
2
-2
X
Y
 43. a) 81
4
t2 b)
5725,55 m2/min 44. a= f'(x) = a+cosx ; a=1; b=0 c) 0, 
2
 45. a) f(x) = x2+9+ x2-10x+41 b) 8,6 m 46. P e-1,ln(e-1) ; m = 1
e-1
 47. a) 125x80 b) 40€
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