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Colecciones de ejercicios
Integrales
Selectividad CCNN 2005
1. [ANDA] [JUN-A] Se sabe que las dos gráficas del dibujo corresponden a la función f:
definida por f(x) = x2ex y a su función derivada f'.
a) Indica, razonando la respuesta, cuál es la gráfica de f y cuál la de f'.
b) Calcula el área de la región sombreada.
2. [ANDA] [JUN-B] Considera la función f: definida por f(x) = e
-x
2 .
a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.
b) Calcula el área de la región acotada que está limitada por la gráfica de f, la recta de ecuación x = 2 y la recta tangente
obtenida en a).
3. [ANDA] [SEP-A] De una función f: se sabe que f(0) = 2 y que f'(x) = 2x.
a) Determina f.
b) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f, por el eje de abscisas y por las rectas de ecuaciones x = -2 y x = 2.
4. [ANDA] [SEP-B] De una función f:[0,5] se sabe que f(3) = 6 y que su función derivada está dada por
f'(x) = 5x-2 si 0 < x < 1
x2-6x+8 si 1  x < 5
.
a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 3.
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que
se obtienen y valores que alcanza la función).
5. [ANDA] [SEP-B] Considera la integral definida I = 
8
1
1+x-1
dx
3
.
a) Exprésala aplicando el cambio de variable 1+x-1 = t.
b) Calcula I.
6. [ARAG] [JUN-B] Sea la función f(x) = x·sen2x. Calcular la integral de esta función entre x = 0 y su primer cero positivo. (Nota:
Llamamos cero de una función a aquellos puntos donde se anula).
7. [ARAG] [SEP-A] Sea  la región plana encerrada entre las parábolas f(x) = x2+2x+4 y g(x) = 2x2-x+6.
(a) Hallar la superficie de .
(b) Razonar (no valen las comprobaciones con la calculadora) cuál de las dos parábolas está en la parte inferior de la región .
8. [ARAG] [SEP-B] Determinar le área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x2senx y el eje de abscisas entre el origen y el
primer punto positivo donde f se anula.
9. [ASTU] [JUN] Sea la función f(x) = (x+2)
2-4 , x < 0
-a(x-2)2+4a , x  0
a) Determina los valores de a que hacen continua la función en x = 0.
b) Determina los valores de a que hacen derivable la función en x = 0.
c) Con a = 1, calcula el ára de la región limitada por la gráfica de la función y el eje de abscisas cuando x varía entre -4 y 4.
10. [ASTU] [JUN] Sea la función f(x) = sen x
2-cos x
. Calcula:
a) Su dominio de definición. Sus máximos y mínimos en el intervalo [0,2].
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b) 
/3
f(x)dx
0
.
11. [ASTU] [SEP] Sea la función con valores reales f(x) = x 4-x2 (se considera sólo la raíz positiva). Calcula:
a) La recta tangente a la gráfica de la función f en el punto (0,0).
b) 
1
f(x)dx
-1
.
c) El área encerrada por la curva, el eje de abscisas y las rectas x = -1 y x = 1.
12. [C-LE] [JUN-A] (a) Calcúlense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = e1-x2, sus extremos relativos,
puntos de inflexión y asíntotas.
(b) Esbócese la gráfica de f y calcúlese 
3
xf(x)dx
1
.
13. [C-LE] [JUN-B] Hállese el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones y = x2; y = x
2
2
; y = 2x.
14. [C-LE] [SEP-A] (a) Estúdiense la derivabilidad de f(x) = ln 1+x
2 , x > 0
x2 , x  0
 , sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus
puntos de inflexión. Esbócese su gráfica.
(b) Calcúlese el área limitada por la gráfica de f(x) y las rectas x = -1, x = 1, y = 0.
15. [C-LE] [SEP-B] Sea P(a,sena) un punto de la gráfica de la función f(x) = sen(x) en el intervalo [0,]. Sea rp la recta tangente a
dicha gráfica en el punto P y Ap el área de la región determinada por las rectas rp, x = 0, x = , y = 0.
Calcúlese el punto P para el cual el área Ap es mínima (Nota: Puede asumirse, sin demostrar, que la recta rp se mantiene por
encima del eje OX entre = y ).
16. [C-LE] [SEP-B] Calcúlese 1
x2+4x+13
dx.
17. [C-MA] [JUN] Determina f(x) sabiendo que f'''(x) = 24x, f''(0) = 2, f'(0) = 1 y f(0) = 0.
18. [C-MA] [SEP] Calcula la primitiva de x+ x
x2
dx
19. [CANA] [JUN-A] Hallar el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x3-4x2+5x-2 y las rectas y = 0, x = 1 y x = 3.
20. [CANA] [JUN-B] Calcular el área encerrada entre la curva y =ex y la cuerda de la misma que tiene por extremos los puntos de
abscisas 0 y 1.
21. [CANA] [SEP-B] Hallar la función f(x) tal que f''(x) = 1
x2
, f(1) = 0 y f(e) = -1.
22. [CATA] [JUN] Dada la función f(x) = 
x
5x2-4
:
a) Calcule la integral f(x)dx.
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b) Halle la primitiva F de f que verifica F(1) = 1.
23. [CATA] [SEP] Considere la función f(x) = x
2+x+b si x < 0
aebx si x  0
 , donde a y b son números reales.
a) ¿Qué condición tienen que cumplir a y b para que f sea continua en todo ?
b) Halle los valores de a y b para los cuales f sea continua pero no derivable en todo .
c) Para a = 1 y b = 1, calcule 
1
f(x)dx
-1
.
24. [EXTR] [JUN-A] Representar gráficamente el recinto limitado por las curvas y = ex, y = e-x y por la recta x = 1. Calcular su área.
25. [EXTR] [JUN-B] Calcular el valor de la siguiente integral, donde ln denota logaritmo neperiano: 
e
ln x
x2
dx
2
. (Puede hacerse por
partes)
26. [EXTR] [SEP-A] Calcular una primitiva de la función f(x) = (x+1)2x-1/2 que se anule en x = 1.
27. [EXTR] [SEP-B] Representar gráficamente el recinto plano limitado por la recta x-y = 1 y por la curva de ecuación y = x-1.
Calcular su área.
28. [MADR] [JUN-A] Sea f una función derivable en (0,1) y continua en [0,1] tal que f(1) = 0 y 
1
2xf'(x)dx = 1
0
. Utilizar la fórmula de
integración por partes para hallar 
1
f(x)dx
0
.
29. [MADR] [JUN-A] Calcular un polinomio de tercer grado p(x) = ax3+bx2+cx+d sabiendo que verifica:
i) Tiene un máximo relativo en x = 1.
ii) Tiene un punto de inflexión en el punto de coordenadas (01,).
iii) 
1
p(x)dx
0
 = 5
4
.
30. [MADR] [SEP-B] Se considera la función f(x) = e
x
1+ex 2
.
a) Calcular los extremos locales y/o globales de la función f(x).
b) Determinar el valor del parámetro a tal que 
a
f(x)dx
0
 = 1
4
.
31. [MURC] [JUN] (a) Se considrean, en el plano, las curvas de ecuaciones y = - x
2
4
 +x e y = x
4
4
 -x. Dibujar estas curvas.
(b) Encontrar el área del recinto determinado por dichas curvas.
32. [MURC] [JUN] Calcular el valor de la integral I = 
1
xexdx
0
.
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33. [MURC] [SEP] Hallar el área del recinto determinado por las curvas y = 2
1+x2
 e y = x2.
34. [MURC] [SEP] (a) Justificar geométricamente que si f y g son funciones positivas en el intervalo [a,b] y si para todo x en dicho
intervalo, f(x)  g(x), entonces 
b
f(x)dx
a
  
b
g(x)dx
a
.
(b) Demostrar que 1
2
  
1
dx
1+x4
0
.
35. [RIOJ] [JUN] Sea la función F(x) = 
x
sen(t)
t
dt
1
 definida para x  0. Halla sus máximos y mínimos relativos.
36. [RIOJ] [JUN] Evalúa el área comprendida entre las funciones f(x) = 2x2-1 y g(x) = x.
Representa gráficamente lo que estás calculando.
37. [RIOJ] [SEP] Calcula 
2
x·|x|dx
1
38. [RIOJ] [SEP] Evalúa el área comprendida entre las funciones f(x) = x
x+1
 y g(x) = - 1
x+1
 y las rectas de ecuaciones x = -2 y x = -3.
Representa gráficamente lo que estás calculando.
39. [VALE] [JUN-A] Dadas las curvas y = (x-1)3, y = 5-x2, calcular razonadamente:
a) Su punto de corte.
b) El área encerrada por ellas y el eje OY.
 Soluciones
1. a) f2 b) 2- 6
e2
 2. a) y = - 1
2
x+1 b) 1-2
e
 3. a) f(x) = x2+2 b) 40
3
 4. a) y = -x+9 b) Crec: 2
5
,2  4,5 ; max: 2,20
3
; min: 2
5
,133
30
, 4,16
3
 5. a) 2
2
t+1
t
dt
1
 b)
2+2ln2 6. 1 7. (a) 1
6
 (b) g(x) 8. 2-4 9. a)  b) 1 c) 64
3
 10. a) D: ; Max: 
3
, 3
3
; Min: 5
3
, - 3
3b) ln3
2
 11. a) y = 2x b) 0 c) 16-6 3
3
 12. (a) Crec:
(-,0); Max: (0,e); P.i: 2
2
, e , - 2
2
, e ; asint.hor: y = 0 b) 
1 2-1-2
1
2
X
Y
 ; e
8-1
2e8
 13. 4 14. (a) Derivable en . Creciente en (0,+). P.i: x=1.
1 2 3-1
1
2
X
Y
 (b) 1
3
 + 
2
 +ln2-2 15. 
2
,1 16. 1
3
arctgx+2
3
 +c 17. f(x) = x4+x2+x 18. xlnx-x-4 x+cx+d 19. 3
2
 20. 3-e
2
 21. -ln|x| 22. a) 1
5
5x2-4 +c b)
5x2-4+4
5
 23. a) a = b b) b = a, a{-1,1} c) 6e-1
6
 24. e
2-2e+1
e
 25. e+eln2-4
2e
 26. 6x
2+20x+30 x - 56
15
 27. 1
6
 28. -1
2
29. p(x) = - 1
5
x3+ 3
5
x+1 30. a) max: 0, 1
4
 b) ln3 31. (a) 
1 2 3 4 5
1
2
-1
-2
X
Y
 (b) 16
3
 32. 1 33. - 2
3
 35. Max: x = (2n+1), nN; Min: x = 2n, nN 36. 9
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 37. 7
3
 38. 1 39. a) (2,1) b) 22
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