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Colecciones de ejercicios
Derivadas
Selectividad CCNN 2010
1. [ANDA] [SEP-B] Considera la función f:[0,4]   definida por: f(x) = x
2+ax+b si 0  x  2
cx si 2 < x  4
.
a) Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica f(0) = f(4), determina los valores de a, b y c.
b) Para a = -3, b = 4 y c = 1 halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).
2. [ANDA] [SEP-A] Una hoja de papel tiene que contener 18 cm2 de texto. Los márgenes superior e inferior han de tener 2 cm cada
uno y los laterales 1 cm. Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo.
3. [ANDA] [JUN-B] Calcula lim
x0
ex-esenx
x2
.
4. [ANDA] [JUN-A] Sea f la función definida como f(x) = ax
2+b
a-x
 para x  a.
a) Calcula a y b para que la gráfica de f pase por el punto (2,3) y tenga una asíntota oblicua con pendiente -4.
b) Para el caso a = 2, b = 3, obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.
5. [ARAG] [SEP-B] El número de socios de una ONG viene dado por la función n(x) = 2x3-15x2+24x+26, donde x indica el número de
años desde su fundación.
a) Calcular el número de socios iniciales en el momento fundacional y en el quinto año.
b) ¿En qué año ha habido el menor número de socios? ¿Cuántos fueron?
c) El cuarto año se produjo un cambio en la junta directiva, ¿influyó en el ascenso o descenso del
número de socios?
6. [ARAG] [SEP-A] Sea la función f(x) = xlnx+(1-x)ln(1-x) con x(0,1).
a) Calcular sus extremos relativos.
b) Estudiar su crecimiento y decrecimiento y razonar si posee algún punto de inflexión.
7. [ARAG] [JUN-B] Sea f(x) = 2x
2-x
x2-x3
.
a) Calcular el dominio f(x).
b) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de f(x).
c) Analizar las asíntotas de f(x) y calcular las que existan.
8. [ARAG] [JUN-A] Encontrar el polinomio de grado dos p(x) = ax2+bx+c sabiendo que satisface: en x = 0 el polinomio vale 2, su
primera derivada vale 4 para x = 1 y su segunda derivada vale 2 en x = 0. Estudiar si el polinomio obtenido es una función par.
¿Tiene en x = 0 un punto de inflexión?
9. [ASTU] [SEP-B] Calcule lim
x
2
(1+2cosx)
1
cosx
10. [ASTU] [SEP-A] Sabiendo que f(x) = 
4 si x  0
4-x2 si x > 0
a) Estudie su continuidad en el punto x = 0.
b) Usando la definición de derivada calcule, si existe, la derivada de la función f en x = 0.
c) Dibuje la gráfica de la función.
11. [ASTU] [JUN-B] Se considera la función f(x) = x
2
1+x
. 
a) Determine las asíntotas de la función anterior. 
b) Halle, si existen, los máximos, mínimos y puntos de inflexión.
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c) Dibuje aproximadamente su gráfica.
12. [ASTU] [JUN-A] Se considera la función f(x) = ax+b si x < 0
5senx-2cosx si x  0
a) Determine el valor de b para que la función sea continua en el punto x= 0.
b) Calcule el valor de y para que la función sea derivable en el punto x = 0.
13. [C-LE] [SEP-B] Sea la función f(x) = x 4-x2.
a) Determinar el dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos.
b) Esbozar su gráfica.
14. [C-LE] [SEP-A] Se divide un alambre de 100 m de longitud en dos segmentos de longitud x y 100-x. Con el de longitud x se forma
un triángulo equilátero, y con el otro un cuadrado. Sea f(x) la suma de las áreas. ¿Para qué valor de x dicha suma es mínima?
15. [C-LE] [JUN-B] Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 270 cm3. Para la tapa y la superficie
lateral se usa un material que cuesta 5€/cm2 y para la base un material un 50% más caro. Hallar las dimensiones de la caja para
que el coste sea mínimo.
16. [C-LE] [JUN-B] Hallar el valor de a para que se verifique que lim
x+
2x+a
2x-1
x+5
 = lim
x0
x2-x3
sen2(x)
.
17. [C-MA] [SEP-B] Dada la función definida por f(x) = 
3x 1 0
0 x 1
-1 0 x-6
 , se pide:
a) Halla su expresión polinómica simplicada calculando el determinante.
b) Calcula las coordenadas de su punto de inflexión y los intervalos en donde sea cóncava hacia arriba () y cóncava hacia abajo
().
18. [C-MA] [SEP-A] a) Denición de derivada de una función en un punto.
b) Dada la función f(x) = 
ax+senx
2x-x2
si x < 0
bx+c si 0  x < 1
1
1+x
si x  1
 , determina los parámetros a, b, c   para que f(x) sea una función continua en x
= 0, y además sea continua y derivable en x = 1.
19. [C-MA] [JUN-B] La velocidad de una partícula, medida en m/s, esta determinada en función del tiempo t  0, medido en segundos,
por la expresion v(t) = (t2+2t)e-t. Se pide:
a) ¿En qué instante de tiempo del intervalo [0,3] se alcanza la velocidad maxima?
b) Calcula lim
t
v(t), e interpreta el resultado obtenido.
20. [CANA] [SEP-B] Hallar valores de m para que la función f(x) = m
2senx si x  0
e-mx-1 si x > 0
 sea derivable en toda la recta real.
21. [CANA] [SEP-A] Dada la función f(x) = ax2+bx+c, determinar los valores de a , b y c para que se cumplan las siguientes
condiciones:
i) Que la gráfica de f(x) pase por el punto (0,4).
ii) Que la recta y = -4x+7 sea tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 1.
22. [CANA] [SEP-A] Para la fabricación de un determinado producto, se necesita invertir dinero en contratar operarios y comprar
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máquinas. El dueño de la fábrica ha estimado que si compra “y” máquinas y contrata “x” operarios, el número de unidades de
producto que puede fabricar viene dado por la función: P=105x2y?. Cada máquina le supone una inversión de 2000 € y cada
contrato de un operario le cuesta 1600 €. Si el empresario sólo dispone de un presupuesto de 12000 € para este fin, determina el
número de operarios que debe contratar y el número de máquinas que debe comprar para maximizar la producción.
23. [CANA] [JUN-B] Dada la función f(x) = e
bx+a2x si x < 0
b+cosax si x  0
 , determinar valores de a y de b para que resulte derivable en toda la
recta real.
24. [CANA] [JUN-B] Determinar dos números positivos cuya suma sea 24 y tales que el producto de uno por el cubo del otro sea
máximo.
25. [CANA] [JUN-A] Representar la gráfica de una función f(x) que cumpla las siguientes propiedades:
a) Tiene dos asíntotas verticales, x = -1 y x = 3.
b) Para x±, se cumple f(x)2.
c) f (-3) = f (0) = f (2) = f (5) = 0.
d) Es decreciente en (-,-1)(-1,1) y es creciente en (1,3)(3,+) .
e) f(1) = -1.
26. [CATA] [SEP] Considere todos los prismas rectos de base cuadrada con un volumen V fijado. Sea x el lado de la base del prisma e
y su altura.
a) Encuentre la expresión del volumen y del área total del prisma en función de las variables x e y.
b) Compruebe que el que tiene área total mínima es en realidad un cubo.
27. [CATA] [JUN] Un segmento de longitud fijada m se apoya sobre los ejes de coordenadas.
Calcule el valor del ángulo a que forma el segmento con el eje OX para que el triángulo
rectángulo determinado por el segmento con los ejes y del cual m es la hipotenusa tenga área
máxima. Compruebe que se trata realmente de un máximo.
28. [EXTR] [SEP-B] Halle todos los puntos de la gráfica de la función f(x) = x3+x2+x+1 en los que su recta tangente sea paralela a la
recta de ecuación 2x-y = 0.
29. [EXTR] [SEP-A] Diga, razonando la respuesta, qué valor debe tomar c para que sea continua la función f(x) = 
c si x = 0
ex-1-x
x2
si x  0.
30. [EXTR] [JUN-B] a) Escriba la "regla de la cadena" para la derivación de funciones compuestas.
b) Calcule, y simplifique en lo posible, la derivada de la función f(x) = ln1-cosx
1+cosx
, 0 < x < .
31. [MADR] [SEP-B] Los puntos P(1,2,1), Q(2,1,1) y A(a,0,0) con a > 3, determinan un plano  que corta a los semiejes positivos de OYy
OZ en los puntos B y C respectivamente. Calcular el valor de a para que el tetraedro determinado por los puntos A, B, C y elorigen
de coordenadas tenga volumen mínimo.
32. [MADR] [SEP-A] Calcular los límites: lim
x0
(1+arctan x)a/x ; lim
x
3x+2ex7x+5ex
.
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33. [MADR] [JUN-B] Dada la función: f(x) = 
xlnx
2x
si x > 0
x+k si x  0
 , donde ln x significa logaritmo neperiano de x, se pide:
a) Determinar el valor de k para que la función sea continua en .
b) Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
c) Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = 1.
34. [MADR] [JUN-A] Dada la función: f(x) =x
2+2
x2+1
, se pide:
a) Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x).
b) Hallar los puntos de inflexión de la gráfica de f(x).
c) Hallar las asíntotas y dibujar la gráfica de f(x).
d) Hallar el área del recinto acotado que limitan la gráfica de f(x), el eje de abscisas y las rectas y = x+2, x = 1.
35. [MURC] [SEP-B] Definición de derivada de una función en un punto. Demostrar que la derivada de la función f(x)=x2 es f'(x)=2x.
36. [MURC] [SEP-A] Dada la función f(x) = x+1
4-x2
 , se pide:
i) Dominio y cortes con los ejes.
ii) Estudiar si existen asíntotas verticales y calcular los límites laterales.
iii) Estudiar si existen asíntotas horizontales u oblicuas y calcularlas.
iv) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos.
v) Representación gráfica aproximada.
37. [MURC] [JUN-B] La vela mayor de un barco tiene forma de triángulo rectángulo. Sabiendo que la hipotenusa debe medir 6
metros, calcular sus dimensiones para que la superficie de la vela sea máxima.
38. [MURC] [JUN-A] Dada la función f (x) = 4+x2, se pide:
i) Dominio y cortes con los ejes.
ii) Estudio de simetrías y de regiones para el signo de f(x).
iii) Estudiar si existen asíntotas horizontales u oblicuas.
iv) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos.
v) Representación gráfica aproximada.
39. [RIOJ] [SEP] Encuentra a, b, para que la función definida como f(x) = 
x2 si x < 1
ax+b si 1  x  2
2x2 si x > 2
 sea continua en los puntos x = 1, x = 2.
Determina, para los valores de a, b hallados, si la función es derivable en los puntos x = 1, x = 2.
40. [RIOJ] [SEP] Encuentra todos los valores a, b, c para los que la función f(x) = alnx+bx+cx2 tiene en el punto (1,0) un mínimo
relativo y cumple lim
x+
f(x)
x2
 = 1.
41. [RIOJ] [JUN] Halla el valor de a para que la función f(x) = x
2+x+a
3x+1
 verifique f'(1) = 0.
42. [RIOJ] [JUN] Calcula los siguientes límites: lim
x0
x-sen(x)
xsen(x)
 ; lim
x+
2x+x
ex
.
43. [RIOJ] [JUN] Para la función ln x2-9 , calcula su dominio, sus asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y
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mínimos y puntos de inflexión. Haz su representación gráfica.,
44. [VALE] [SEP-B] Dos elementos de un escudo son una circunferencia y un triángulo. La circunferencia tiene centro (0,0) y radio 5.
Uno de los vértices del triángulo es el punto A = (-5,0) . Los otros dos vértices del triángulo son los puntos de la circunferencia B
= (x,y) y C = (x,-y) . Se pide obtener razonadamente:
a) El área del triángulo en función de x.
b) Los vértices B y C para los que es máxima el área del triángulo.
c) El valor máximo del área del triángulo.
45. [VALE] [JUN-B] Dada la función polinómica f (x) = 4-x2, se pide obtener razonadamente:
a) La gráfica de la curva y = 4-x2.
b) El punto P de esa curva cuya tangente es perpendicular a la recta de ecuación x + y = 0.
c) Las rectas que pasan por el punto (-2,1) y son tangentes a la curva y = 4-x2, obteniendo los puntos de tangencia.
46. [VALE] [JUN-A] Se quiere construir un estadio vallado de 10000 metros cuadrados de superficie. El estadio está formado por un
rectángulo de base x y dos semicírculos exteriores de diámetro x , de manera que cada lado horizontal del rectángulo esdiámetro
de uno de los semicírculos. El precio de un metro de valla para los lados verticales del rectángulo es de 1 euro y elprecio de un
metro de valla para las semicircunferencias es de 2 euros. Se pide obtener razonadamente:
a) La longitud del perímetro del campo en función de x.
b) El coste f(x) de la valla en función de x.
c) El valor de x para el que el coste de la valla es mínimo.
 Soluciones
1. a) -3, 4, 1 b) max: (0,4), (4,4); min: 3
2
,7
4
 2. 5x10 3. 0 4. a) 4, -10 b) y = 9x-4 5. a) 26, 21 b) 4; 10 c) si 6. a) min: 1
2
,-ln2 b) crec: 1
2
,1 ; no 7. a) -{0,1}
b) crec:  c) x = 0; x = 1; y = 0 8. x2+2x+2; no 9. e2 10. a) si b) 0 c) 
1 2-1-3
1
3
X
Y
 11. a) x = -1; y = x-1 b) min: 0; max: -2 c) 
1 2 3-1-3
1
-2
-4
X
Y
 12. -2, 5 13.
a) [-2,2]; crec: - 2, 2 ; min: - 2; max: 2 b) 
1 2-1-2
1
-2
X
Y
 14. 56'5 15. 6; 7'5 16. -1 17. a) 3x3-18x2-1 b) conv: (2,+); p.i: 2 18. b) 1
2
,-1
4
,3
4
 19. a) 2
b) 0 20.  21. -3, 2, 4 22. 5, 2 23. 0, 0 24. 6, 18 26. a) v=x2y; s=4xy+2x2 b) 3 v 27. 45º 28. (-1,0), 1
3
,40
27
 29. 1
2
 30. b) 2
senx
 31. 9
2
 32. ea; 2
5
 33.
a) 0 b) (0,0), (1,0) c) y = 1
2
x- 1
2
 34. a) crec: (0,+) b)  3
3
 c) 
1 2 3-1
1
3
-2
X
Y
 d) 12+
4
 36. i) -{-2,2}; (-1,0), 0, 1
4
 ii) x = -2; x = 2 iii) creciente; sin extremos iv)
1 2 3-1-3
1
3
-2
X
Y
 37. 18, 18,6 38. i) ; (0,2) ii) eje OY; positiva iii) y = x; y = -x iv) crec: (0,+) v) 
1 2 3-1
1
3
X
Y
 39. 7, -6; no 40. -1, -1, 1 41. 2 42. 0; 0
43. (-,-3)(3,+); x = -3, x = 3; crec: (3,+); sin extr. ni p.i.; 44. a) (x+5) 25-x2 b) B 5
2
,5 3
2
, C 5
2
,-5 3
2
 c) 75 3
4
 45. a) 
1 2 3-1-3
1
3
X
Y
 b) -1
2
,15
4
 c) y =
6x+13, (-3,-5); y = 2x+5, (-1,3) 46. a) 20000
x
 + x
2
 b) 20000
x
 + 3x
2
 c) 65'15
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