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Colecciones de ejercicios
Derivadas
Selectividad CCNN Canarias
1. [2014] [EXT-A] Sea la función f(x) = ex2+ax+b
a) Calcular a y b para que f(x) tenga un extremo en el punto (1,1).
b) Calcular los extremos de la función f(x) cuando a = 0 y b = 0.
2. [2014] [EXT-B] En la figura siguiente se muestran la parábola de ecuación f(x) =4-x2
y la recta r que pasa por los puntos A y B de la parábola de abscisas respectivas-1 y
2. Hallar la ecuación de una recta s tangente a la parábola f(x) y paralela a r.
3. [2014] [JUN-A] Se sabe que la gráfica de f(x) = ax
2+b
x
 tiene una recta tangente horizontal en el punto P(2,4). Hallar los valores
de a y b.
4. [2014] [JUN-A] La fabricación de x tabletas gráficas supone un coste total dado por la función C(x) = 1.500x+1.000.000. Cada
tableta se venderá a un precio unitario dado por la función P(x) = 4.000-x. Suponiendo que todas la tabletas fabricadas se
venden, ¿cuál es el número que hay que producir para obtener el beneficio máximo?
5. [2014] [JUN-B] a) Calcular lim
x0
1 - cos(x)
x2
b) Calcular lim
x0
1 - 1-x2
x
c) Calcular el valor de m de tal forma que lim
x+
(1-mx)(2x+3)
x2+4
 = 6.
6. [2013] [EXT-A] a) Calcular la ecuación de la recta tangente a la función y = x2+1 en su punto extremo.
b) Calcular lim
x4
x+2
6
1
x-4
c) Calcular lim
x0
x2-1
x2
 - 1
x
.
7. [2013] [EXT-B] Dada la función f(x) = 
(x+a)2 x  -1
bx
x+2
 x > -1
Hallar los valores de a y b para que f(x) sea derivable en todo .
8. [2013] [EXT-B] Entre todos los rectángulos de área 8 m2 hallar las dimensiones del que minimiza el producto de las diagonales.
9. [2013] [JUN-A] Determinar los valores de a y b para que la función f(x) = e
ax si x  0
2a+bsenx si 0 < x
 sea derivable.
10. [2013] [JUN-B] a) Determinar los valores de a, b y c sabiendo que la función f(x) = x3+ax2+bx+c tiene extremos relativos en
x = 1 y x = -3, y que corta a su función derivada en x = 0. Determinar asimismo la naturaleza de los extremos.
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b) Calcular el límite: lim
x2
x+2 - 2
2x-3 - 1
11. [2013] [JUN-B] La figura siguiente muestra un rombo inscrito dentro de un rectángulo, de
forma que los vértices del rombo se sitúan en los puntos medios de los lados del rectángulo.
El perímetro del rectángulo es de 100 metros. Calcular las longitudes de sus lados para que
el área del rombo inscrito sea máxima.
12. [2012] [EXT-A] Dada la función f(x) = 2x
2+3
x2-4
a) Obtener su dominio y los cortes de su gráfica con los ejes de coordenadas (explicar).
b) Hallar las asíntotas horizontales y verticales de su gráfica, justificándolas.
c) Determinar intervalos de crecimiento, intervalos de decrecimiento y extremos relativos de esta función.
Justificar los resultados obtenidos.
13. [2012] [EXT-A] La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un cierto proceso de 6 horas de
duración, viene dada en función del tiempo t transcurrido en ese proceso por la expresión T = 20+ 5t-15
t2-6t+10
 (con 0  t  6)
Determinar en qué momento del proceso la pieza alcanza su temperatura máxima y en qué momento alcanza su temperatura
mínima. Justificar las respuestas.
14. [2012] [EXT-B] a) Dada la función f (x) = cos2(3x), hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a su gráfica en el punto
de abscisa x = /12 (explicar).
b) Hallar los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función g(x) = 2x3-3x2-12x+5. Justificar los resultados obtenidos.
15. [2012] [JUN-A] Dada la función f(x) = 
3x2+sen2x+2 si x  0
3 x+2a·cosx si 0 < x < 
3 x+b-2 si   x
a) Hallar valores de a y b para que f (x) sea continua en todo  (explicar).
b) Estudiar derivabilidad en todo  de la función f(x), con los valores de a y b obtenidos anteriormente.
16. [2012] [JUN-B] a) Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones, justificando en cada caso si la función es
creciente o decreciente en el punto indicado:
i) f(x) = arc sen (2x)- tag (3x) , en x = 0.
ii) g(x) = ex2-4+cos(x), en x = 2.
b) Calcular el siguiente límite, explicando cómo lo hace: lim
x0
senx(1-cosx)
ln3(x+1)
.
17. [2012] [JUN-B] Obtener razonadamente dos números positivos, de forma que se cumplan los siguientes requisitos:
i) La suma de ambos debe ser 60.
ii) El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro resulte de valor máximo.
18. [2011] [EXT-A] Estudiar la derivabilidad de la siguiente función en todo su dominio, dando expresiones de la derivada donde
exista: 
sen2x+ 1
3
e-2x si x  0
x+1
3
 +ln(x+1) si 0 < x < 2
x2-2x si x  2
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19. [2011] [EXT-A] Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima situado en el primer cuadrante, que tenga un vértice en el
origen de coordenadas, un vértice sobre el eje OX, otro sobre el eje OY y otro sobre la recta de ecuación 4x+3y = 12.
20. [2011] [EXT-B] Representar la gráfica de una función f(x) que tenga las siguientes propiedades:
a) Es continua en todos los reales salvo -4 y 0.
b) Tiene asíntotas verticales en x = -4 y x = 0.
c) Para x  +, se cumple f(x)  0.
d) Corta al eje OX solamente en un punto, que es de inflexión.
e) Su segunda derivada es negativa en (-,-6) y en (-4,0), siendo positiva en (-6,-4) y en (0,+).
21. [2011] [EXT-B] Se desea hacer una ventana con forma de triángulo rectángulo, de modo que el lado mayor sea de 2 metros.
¿Cuáles deben ser las dimensiones de los otros dos lados para que la ventana tenga área máxima?
22. [2011] [JUN-A] Estudiar la derivabilidad de la siguiente función en todo su dominio, dando expresiones de la derivada donde
exista: 
1+sen2x si x  0
x3+1 si 0 < x < 1
ex2-1 si x  1
.
1 2 3 4 5-1-2-3-4
1
2
3
-2
-3
-4
X
Y23. [2011] [JUN-B] Indicar, para una función f(x), sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los
valores de x que correpsonden a sus máximos y mínimos relativos, así como sus intervalos de
concavidad y de convexidad, sabiendo que su función derivada tiene la gráfica de la derecha (a=-1.33
y b=3.33).
24. [2010] [EXT-A] Dada la función f(x) = ax2+bx+c, determinar los valores de a , b y c para que se cumplan las siguientes
condiciones:
i) Que la gráfica de f(x) pase por el punto (0,4).
ii) Que la recta y = -4x+7 sea tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 1.
25. [2010] [EXT-A] Para la fabricación de un determinado producto, se necesita invertir dinero en contratar operarios y comprar
máquinas. El dueño de la fábrica ha estimado que si compra “y” máquinas y contrata “x” operarios, el número de unidades de
producto que puede fabricar viene dado por la función: P=105x2y?. Cada máquina le supone una inversión de 2000 € y cada
contrato de un operario le cuesta 1600 €. Si el empresario sólo dispone de un presupuesto de 12000 € para este fin, determina el
número de operarios que debe contratar y el número de máquinas que debe comprar para maximizar la producción.
26. [2010] [EXT-B] Hallar valores de m para que la función f(x) = m
2senx si x  0
e-mx-1 si x > 0
 sea derivable en toda la recta real.
27. [2010] [JUN-A] Representar la gráfica de una función f(x) que cumpla las siguientes propiedades:
a) Tiene dos asíntotas verticales, x = -1 y x = 3.
b) Para x±, se cumple f(x)2.
c) f (-3) = f (0) = f (2) = f (5) = 0.
d) Es decreciente en (-,-1)(-1,1) y es creciente en (1,3)(3,+) .
e) f(1) = -1.
28. [2010] [JUN-B] Dada la función f(x) = e
bx+a2x si x < 0
b+cosax si x  0
 , determinar valores de a y de b para que resulte derivable en toda la
recta real.
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29. [2010] [JUN-B] Determinar dos números positivos cuya suma sea 24 y tales que el producto de uno por el cubo del otro sea
máximo.
30. [2009] [EXT] Obtener los puntos de la curva y = x3-3x2+15 donde la recta tangente seaparalela a la recta que pasa por los
puntos (0,-12) y (1,12).
31. [2009] [EXT] Obtener dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como máximos y mínimos de la función y = x
2+8
x2-4
.
32. [2009] [JUN] Obtener razonádamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos de la
función f(x) = x3+ 3
2
x2-6x+5.
33. [2009] [JUN] Hallar el valor que ha de tener m para que la función f(x) = 
6-m(x+2)2 si x  -1
3+ 2
m(x+2)
si x > -1
 sea derivable en x = -1.
34. [2009] [JUN] Se desea vallar una parcela rectangular aprovechando una pared recta como uno de los lados de la misma. Si se
dispone de una valla de 120 m de longitud para marcar los otros tres lados, determinar las dimensiones de la parcela para que su
área sea máxima.
35. [2008] [EXT] Dada la función f(x) = 1-x2-e-x2, se pide:
i) Hallar las coordenadas de sus máximos y mínimos relativos.
ii) Calcular, si existe, la ecuación de la asíntota horizontal.
36. [2008] [EXT] Halla los valores de a, b y c de forma que la función f(x) sea continua en el intervalo [-2,3], derivable en el intervalo
(-2,3) y, tal que, f(-2) = f(3): f(x) = ax+bx
2 si -2  x < 0
c+ x+1 si 0  x  3
.
37. [2008] [JUN] Para la función dada por: f(x) = x
2+x+ e-x+1 si x > 1
sen(x-1) si x  1
.
Encontrar los valores de ,  y  que hacen que f(x) sea continua, y admita primera y segunda derivada en x = 1.
38. [2008] [JUN] Dada la función f(x) = ax3+bx2+cx+d, determinar los valores de a, b, c y d para que se cumplan las siguientes
condiciones:
1º) Que la recta tangente a la gráfica de f en el punto (0,2) sea paralela a la recta y+1 = 0.
2º) Que la recta x-y-2 = 0 sea tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.
39. [2008] [JUN] Calcular el valor de a para que la región plana encerrada entre la parábola y = x2 y la recta y = a sea el doble del
área de la región limitada por dicha parábola y la recta y = 1.
40. [2008] [JUN] Considérese el recinto limitado por la curva y = x2 y la recta y = 3.
De entre los rectángulos situados como el de la figura, determinar el que tiene área máxima.
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41. [2007] [EXT-A] Dada la función f(x) = 2x
2-3x
ex
a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f.
b) Calcula los máximos y mínimos de f.
42. [2007] [JUN-A] Hallar una función polinómica de tercer grado tal que tenga un extremo relativo en 1,1 y un punto de inflexión
en 0,3 . ¿Es 1,1 el único extremo de la función? Determinar los máximos y mínimos relativos de f.
43. [2007] [JUN-B] Determinar el dominio, recorrido, puntos de corte con
los ejes coordenados, asíntotas, máximos y mínimos relativos, puntos de
inflexión e intervalos de crecimiento, concavidad y convexidad
(concavidad hacia arriba y hacia abajo) de la función de la derecha.
44. [2006] [EXT-A] La potencia f(x) en vatios consumida por cierto aparato eléctrico, en función de su resistencia (x) en ohmios
viene dada por la expresión f(x) = 4x
(x+12)2
. Hallar la potencia máxima y el correspondiente valor de x.
45. [2006] [EXT-B] ¿Para qué valores de a la recta ax+y = Ln(3) es tangente a la curva f(x) = Ln x+2
x+1
 en el punto de abscisa x = 0?
46. [2006] [JUN-A] Sea la función real de variable real f(x) = 
1-x2 2 si x  2
36
2+x
si x > 2
.
a) Razonar si la función es continua en toda la recta real.
b) Razonar si la función es derivable en toda la recta real.
47. [2006] [JUN-A] El consumo de un barco navegando a una velocidad de x nudos (millas/hora) viene dado por la expresión
C(x) = x
2
60
 + 450
x
. Calcular las velocidad más económica y el coste equivalente.
48. [2005] [EXT-A] a) Determinar la abscisa de los puntos en los que la recta tangente a la función dada f(x) = Ln x+1
x-1
 es paralela a
la recta de ecuación 2x+3y = 4.
b) Obtener la ecuación de la recta tangente a la función dada en el apartado anterior en el punto de abscisa x = 3.
49. [2005] [EXT-A] Dada la gráfica de h'(x), deduce la monotonía y extremos
relativos de h(x), así como la curvatura y sus puntos de inflexión, explicandocómo
lo haces.
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50. [2005] [EXT-B] Dada la función f(x) = 1
x2-1
, determinar razonadamente:
a) El dominio.
b) Los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
c) Las ecuaciones de sus asíntotas, si las tiene.
d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos relativos.
e) Su representación gráfica.
51. [2005] [JUN-A] Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que dada
la estructura de la empresa sólo puede optar por dos tipos de alarmas, de tipoA o de tipo B; además asegura que la seguridad dela
empresa se puede expresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas de tipo A instaladas y el cuadradodel
número de alarmas instaladas de tipo B. ¿Cuántas alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maximizar la
seguridad?
52. [2004] [EXT-A] Discutir según los valores de m la continuidad y derivabilidad de la función f(x) = 
3-mx2 si x  1
2
mx
si x > 1
2 4 6-2-4-6
2
4
-2
-4
X
Y53. [2004] [EXT-B] La siguiente gráfica corresponde a la función f'(x), derivada de la función f(x).
Estudiar la monotonía, concavidad-convexidad, extremos relativos y puntos de inflexión de la
función f(x) interpretando dicha gráfica.
54. [2004] [JUN-B] Hallar las dimensiones de un depósito abierto superiormente, en forma de prisma recto de base
cuadrada, de 50 m3 de volumen, que tenga superficie mínima.
55. [2003] [EXT-A] Hacer un esquema de la gráfica de una función f(x) que cumpla las siguientes propiedades:
a) Tiene dos asíntotas verticales: x = -3 y x = 3.
b) Para x   , se cumple f(x)  0.
c) f(-4) = f(4) = 25
16
.
d) Es creciente en (-,-3)(-3,0) y decreciente en (0,3)(3,+).
e) f(0) = 0 y f'(0) = 0.
56. [2003] [EXT-A] De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 15 cm, halla las dimensiones del que tiene área máxima.
57. [2003] [EXT-B] De la función f(x) definida por f(x) = 
sen x , x < 0
-x2+ax+b , x  0
 determianr los valores de a y b para que resulte
derivable en todos los puntos donde esté definida.
58. [2003] [JUN-A] Se pide trazar razonadamente la gráfica de una cierta función f(x) que tiene las siguientes propiedades:
a) Está definida para todo valor de x, excepto x = -4 y x = 4.
b) Es decreciente cuando x < 0 y creciente cuando x > 0.
c) La gráfica pedida es simétrica respecto al eje vertical.
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59. [2003] [JUN-B] La gráfica que aparece en la figura representa la derivada de una
cierta función g(x).
Describir a partir de ella los intervalos de concavidad y convexidad, así como sus
puntos de inflexión y máximos y mínimos.
 Soluciones
12. a) -{-2,2}; 0,-3
4
 b) x = -2; x = 2; y = 2 c) crec: (-,-2)(-2,0); max: 0,-3
4
 13. max: (4,22'5); min: (2,17'5) 14. a) y = -3x+ +2
4
; y = 1
3
x- -18
36
 b) max: -1; min: 2;
p.i: 1
2
 15. a) 1, 0 b) -{0} 16. a) f'(x) = 2
1-4x2
 - 3
cos23x
; dec; g'(x) = 2xe
x2-4-sen(x)
2 ex2-4+cos(x)
; crec b) 1
2
 17. 24, 36 18. Derv: -{2} f'(x) = 
2cosx- 2
3
e-2x si x  0
x+4
3x+3
si 0 < x < 2
x-1
x2-2x
si x > 2
19. 1'5x2 21. 2, 2 22. Der: -{1} f(x) = 
sen2x si x  0
3x2
2 x3+1
si 0 < x < 1
2xex2-1 si x > 1
 23. crec: (-3,1)(5,+); min: -3; max: 1; conv: (-,-1'33)(3'33,+); p.i: -1'33, 3'33 24. -3, 2, 4
25. 5, 2 26.  28. 0, 0 29. 6, 18 30. (-2,-5), (4,31) 31. D: - {-2,2}; crec: (-,-2)(-2,0); max: 0 32. crec: (-,-2)(1,+); max: -2; min: 1 33. 1 34. 30, 60, 30
35. i) max: (0,1); min: -1,e-1
e
, 1,e-1
e
 ii) y = 1 36. 1
2
, 8, -1 37. 1, -1, 0 38. 7, -10, 0, 2 39. 3 4 40. (x,y) = (1.1), un cuadrado de lado 2 41. a) Creciente: 1
2
,3 b)
Máximo: 3, mínimo:1
2
 42. f(x) = x3-3x+3. Mínimo: -1. Máximo: 1 43. D: -{3}; R: ; Cortes: -3,0 , 0,0 ; Asíntotas: x = 3, y = -2; Max. -2,3 ; Min. 0,0 ; Crec.
-4,-2  0,+ ; Conv. -4,3 44. x = 12; f(12) = 1
12
 45. no existe 46. a)  b) -{2} 47. velocidad: 23,81 nudos; consumo: 28,35 48. a) 2 b) y = - 1
4
x+ 3
4
 +Ln2
49. Creciente: (-3,2)(6,7)(7,+) ; Max: 2 ; Min: 3, 6 ; Cóncava: (0,4)(7,+) ; P.i: 0, 4 50. a) -{-1,1} b) (0,-1) c) y = 0; x = -1; x = 1 d) creciente: (-,0); max: (0,-1) e)
1 2 3-1-2-3
1
2
-2
X
Y
 51. 3 de A y 6 de B 52. continua: m{1,2} derivable: m = 1 53. Creciente: (-,4). Cóncava: . Máximo: x = 4. P. inflex.: no 54. base 3 50, altura
50 56. catetos de 7,5 cm. 57. 1, 0 59. cóncava en (-2,-1'5)(0'25,1'5); p.infl: -1'5; 0'25; min: -1; max: 1
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