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Colecciones de ejercicios
Derivadas
Selectividad CCNN La Rioja
1. [2014] [EXT-A] Sea f(x) = (x-2)
2
x-1
.
i) Determina el dominio de f.
ii) Halla sus asíntotas.
iii) Determina los extremos relativos y estudia la monotonía de f.
iv) Dibuja la gráfica de f destacando los elementos hallados anteriormente.
2. [2014] [EXT-B] Sean A una constante positiva y p(x) un polinomio de tercer grado tal que su derivada es p'(x) = Ax(x-1),
- < x < .
i) Determina la abscisa de los extremos relativos y estudia la monotonía de p.
ii) Enuncia el teorema de Rolle.
iii) Justifica que existe b > 1 tal que p(b) = p(0).
3. [2014] [JUN-A] Sea g(x) = 1 - lnx
x
i) Determina el dominio de g.
ii) Halla sus asíntotas.
iii) Determina los extremos relativos y estudia la monotonía de g.
iv) Dibuja la gráfica de g destacando los elementos hallados anteriormente.
4. [2014] [JUN-B] Sea h(x) = x4-2x3-1.
i) Enuncia el teorema de Bolzano.
ii) Determina los extremos relativos y estudia la monotonía de h.
iii) Utiliza el teorema de Bolzano pra probar que la ecución h(x) = 0 tiene exactamente dos soluciones reales.
5. [2013] [EXT-A] Un segmento de longitud l se apoya en los eje coordenados del primer cuadrante determinando con ellos un
triángulo rectángulo. Hallar el valor mínimo de la abscisa en que se apoya para que el área del triángulo mencionado, de hipotenusa
l, sea máximo.
6. [2013] [EXT-B] i) Si h(x) es una función real tal que h(0) = 0 y h'(0) = 1 y g(x) = esen(h(x)), aplica la regla de la cadena para
calcular la derivada g'(0).
ii) Calcula los posibles valores de a, b, c para los que f(x) = alnx + bx + cx2 tiene en (1,0) un mínimo relativo y cumple que
lim
x+
f(x)
x2
 = 1.
7. [2013] [JUN] Dependiendo de los valores de a, estudia la continuidad de la función f(x) = 
ex-1 2
ex2-1
si x  0
a si x = 0
.
8. [2013] [JUN-B] Calcula el dominio, las asíntotas, los intervalos de crecimiento, máximos y mínimos y los puntos de inflexión de la
función f(x) = xex. Con los datos obtenidos, haz una representación gráfica aproximada de f(x).
9. [2012] [EXT] Calcula lim
x0
ex-xcosx-1
senx-x+1-cosx
10. [2012] [EXT] Para a(0,+) determina el dominio y estudia la continuidad y derivabilidad de la función f(x) = 1+a
x si x  0
ln x2+a si x > 0
.
Describe la función derivada f'(x).
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11. [2012] [EXT] Enuncia el teorema de Bolzano y úsalo para probar que la ecuación x = cosx tiene una única solución. Debes
justificar adecuadamente por qué es única. (Puede serte útil dibujar las gráficas de las funciones f(x) = x y g(x) = cosx).
12. [2012] [JUN] Calcula el siguiente límite: lim
x0
1+x-ex
sen2x
.
13. [2012] [JUN] Calcula el dominio y representa gráficamente la función f(x) = ln x
x+1
.
14. [2012] [JUN] Enuncia el teorema de Rolle. Encuentra los ceros de la primera derivada de la función f(x) = x3-12x+a. Usa
finalmente la información previa para probar que, con independencia del valor de a, la ecuación x3-12x+a = 0 no tiene dos
soluciones distintas en el intervalo [-2,2].
15. [2011] [EXT] Encuentra a, b para que la función definida como f(x) = 
x2 si x < 1
ax+b si 1  x  2
2x2 si x > 2
 sea continua en los puntos x = 1, x = 2.
Determina, para los valores de a, b hallados, si la función es derivable en x = 1, x = 2.
16. [2011] [EXT] Encuentra los valores de a, b, c para los que la función f(x) = alnx+bx+cx2 tiene en el punto (1,0) un mínimo relativo y
cumple lim
x+
f(x)
x2
 = 1.
17. [2011] [JUN] Contesta razonadamente si, para la función f(x) =ln x2+3x , existe algún punto en el que la tangente a la gráfica de
f(x) es perpendicular a la recta 2x-y+2 = 0.
18. [2011] [JUN] Calcula el dominio, las asíntotas, los intervalos de crecimiento, máximos y mínimos y los puntos de inflexión de la
función f(x) = x-ln x2-1 . Representa la gráfica de f(x) a partir de los datos obtenidos.
19. [2011] [JUN] Con una cuerda de 2 metros queremos construir un cuadrado de lado l y un círculo de radio r de modo que la suma
de sus áreas sea mínima. ¿Cuánto deben medir l y r?
20. [2010] [EXT] Encuentra a, b, para que la función definida como f(x) = 
x2 si x < 1
ax+b si 1  x  2
2x2 si x > 2
 sea continua en los puntos x = 1, x = 2.
Determina, para los valores de a, b hallados, si la función es derivable en los puntos x = 1, x = 2.
21. [2010] [EXT] Encuentra todos los valores a, b, c para los que la función f(x) = alnx+bx+cx2 tiene en el punto (1,0) un mínimo
relativo y cumple lim
x+
f(x)
x2
 = 1.
22. [2010] [JUN] Halla el valor de a para que la función f(x) = x
2+x+a
3x+1
 verifique f'(1) = 0.
23. [2010] [JUN] Calcula los siguientes límites: lim
x0
x-sen(x)
xsen(x)
 ; lim
x+
2x+x
ex
.
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24. [2010] [JUN] Para la función ln x2-9 , calcula su dominio, sus asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y
mínimos y puntos de inflexión. Haz su representación gráfica.,
25. [2009] [EXT] Calculad, si es posible, los siguinetes límites:
lim
x0
x·ln x ; lim
x0
x+cosx+ex
x2
 ; lim
x0
x+cosx-ex
x2
26. [2009] [EXT] Calculad el dominio, las asíntotas, los intervalos de crecimiento, los extremos relativos y los puntos de inflexión de
la función f(x) = 2x6-3x4. Haced una gráfica de la función que refleje los datos obtenidos.
27. [2009] [JUN] Hallad para qué valores de a, b, la función f(x) = 
ax+b si x  1
4x
1+x
si x > 1 es continua y derivable en el punto x = 1.
Calculad, para los valores a, b calculados anteriormente, lim
x-
f(x), lim
x+
f(x).
Haced una gráfica de la función que refleje los datos obtenidos.
28. [2008] [EXT] Sea f(x) = x3e-x. Calculad su dominio, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, y sus puntos de inflexión.
Calculad lim
x+
f(x) y lim
x-
f(x). Dibujad una gráfica de la función que refleje los datos obtenidos.
29. [2008] [JUN] Dada la función f(x) = x-1
3+x2
, hallad su dominio, sus asíntotas, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y sus
mínimos. Haced una representación gráfica de la función que refleje los datos obtenidos.
30. [2008] [JUN] Consideramos la función f(x) = 2arctgx - x. Calculad su dominio, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y sus
mínimos.. Calculad f(0) y lim
x+
f(x) y lim
x-
f(x).
Dibujad una gráfica de la función que refleje los datos obtenidos.
31. [2007] [EXT] Calcula lim
x0
 x - senx
tagx - senx
.
32. [2007] [JUN] Determina a y b para que la función f(x) = ax3+bx2-x+2 tenga un mínimo en x = 2 y un punto de inflexión en x = 1
3
.
33. [2007] [JUN] Sea la función f(x) = x2ex. Calcula sus asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos, mínimos y
puntos de inflexión.Represéntala gráficamente.
34. [2006] [EXT] Estudia (dominio, crecimiento, máximos y mínimos, asíntotas) y representa gráficamente la función y = ln(x)
x
.
35. [2006] [JUN] Calcula, si existen, los siguientes límites:
lim
x0+
sen(x) tg(x) ; lim
x0
sen(x)
|x|
 ; lim
xa
x- a
x-a
 (con a > 0)
36. [2006] [JUN] Estudia (dominio, crecimiento, máximos y mínimos, asíntotas) y representa gráficamente la función y = 2x-1
x-x2
.
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37. [2005] [EXT] Estudia y representa la función y = e-x4.
38. [2004] [EXT] Calcula lim
x0
senx - x
tan x
.
39. [2004] [EXT] Representa la gráfica de la función f(x) = 3
5
x5-x3. Para ello calcula asíntotas, intervalos de crecimiento, extremos
relativos y puntos de inflexión.
40. [2004] [JUN] De una función f:(0,2), se sabe que f'(x) = cos(x)
-x
. Obtén los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así
como los extremos relativos de f.
41. [2004] [JUN] Se considera la función f: definida por: f(x) = 
-1 si x < -4
x+2 si -4  x < 2
8
x
si 2  x
. Se pide:
a) Representar gráficamente la función.
b)Estudiar la continuidad y derivabilidad de f(x).
42. [2004] [JUN] Halla los extremos relativos de la función f(x) = x4-2x2+2.
Calcula también los extremos absolutos de dicha función en el intervalo [-2,2].
43. [2003] [EXT] Estudia la derivabilidad de la función f(x) = 
senx si x > 0
x2-x si x  0
44. [2003] [EXT] Calcula las dimensiones del triángulo isósceles, inscrito en una circunferencia de radio 1, que tiene área máxima.
45. [2003] [JUN] Calcula lim
x0
(cosx+senx)1/x.
46. [2003] [JUN] UNa caja con tapa y base cuadrada debe tener un volumen de 160 cm3. El precio del material utilizado para la base
es de 3 euros por cm2 y el utilizado para los lados y la tapa es de 2 euros por cm2. Calcular las dimensiones de la cja para que
resulte lo más económica posible.
 Soluciones
9. 1 10. Dom: ; cont en  si a=e2; deriv. en -{0}; f'(x) = 
axlna si x < 0
2x
x2+a
si x > 0 12. 
-1
2
 13. D(f) = (-,-1)(1,+) 1 2-1-2
1
-2
X
Y
 15. 7, -6; no 16. -1, -1, 1 17.
(-6,ln18) 18. D: (-,-1)(1,+); asint: x = -1, x = 1; crec: (-,-1) 1+ 2,+ ; min: 1+ 2 19. 28 cm, 14 cm 20. 7, -6; no 21. -1, -1, 1 22. 2 23. 0; 0 24.
(-,-3)(3,+); x = -3, x = 3; crec: (3,+); sin extr. ni p.i.; 25. 0, +, -1 26. D: ; asin: no; crec: (-1,0)(1,+); max: 0; min: -1,1; p.i:  15
5
; 
1 2-1
1
2
-1
X
Y
 27. a=b=1;
-, 4; 
1 2 3 4-1
1
3
-2
X
Y
 28. D:  ; crec: (-,3) ; p.i: 0, 3 5 ; lim
x-
f(x) = - ; lim
x+
f(x) = 0 ; 1 2 3 4 5 6 7-1
1
-2
X
Y
 29. dom: ; asin: y = 0; crec: (-1,3); min: -1; max:
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3; 1 2 3 4-1
1
-1
X
Y
 30. dom: ; crec: (-1,1); min: -1; max: 1; f(0) = 0; lim:  31. 1
3
 32. 1
8
, -1
8
 33. Asíntotas: y = 0. Creciente:
-,-2  0,+ . P. inlexión: -2+ 2, -2- 2. Gráfica: 34. Dom: +. Crec: 0,e . Max: e, 1
e
. Asíntotas: x = 0, y = 0. Gráfica: 1 2 3 4
1
-1
-2
X
Y
 35.
1; no; a
2a
 36. Dom: -{0,1}. Crec: . Sin max. ni min. Asíntotas: y = 0. 
1 2-1-2
1
2
-2
X
Y
 37. 
1-1
1
X
Y
 38. 0 39. crec: (-,-1)(1,+); p.i: 0; max: -1; min: 1;
1-1
1
-1
X
Y
 40. creciente en 
2
,3
2
; min: 
2
; max: 3
2
 41. a) 
2 4 6-2-6
2
-4
X
Y
 b) cont: -{4}; deriv: -{-4,2} 42. min. rel. y abs: (-1,1), (1,1); max. rel: (0,2);
max.abs: (-2,10), (2,10). 43. -{0} 44. equilátero de 3 de lado 45. e 46. 5 cm x 5 cm x 6,4 cm
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